1 Zadatak 061 (Dora, gimnazija) U valjkastoj posudi polumjera osnovke 12 cm i visine 72 cm nalazi se...

1

Zadatak 061 (Dora gimnazija) U valjkastoj posudi polumjera osnovke 12 cm i visine 72 cm nalazi se voda do pola visine Za koliko će se podignuti razina vode u posudi ako u vodu uronimo kuglu polumjera 10 cm

Rješenje 061 Ponovimo Obujam valjka Uspravni i kosi valjak polumjera osnovke (baze) r i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam iznosi

2V S v V r vπ= sdot rArr = sdot sdot

Obujam kugle Obujam (volumen) kugle polumjera r iznosi

3

4

3V r π= sdot sdot

Kada kuglu uronimo u vodu razina vode podigne se za v jer je povećanje obujma vode u valjkastoj posudi jednako obujmu uronjene kugle Budući da je polumjer osnovke valjkaste posude r = 12 cm a polumjer kugle r1 = 10 cm slijedi

4 42 3 2 31 13

1 23

V V r v r r

r

r vπ π π ππ

∆ = rArr sdot sdot ∆ = sdot sdot rArr sdot sdot ∆ = sdot sdotsdot

sdot rArr

( )

( )

3 34 4 101 926 2 23 3 12

r cmv v v cm

r cm

sdot sdotrArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ =

sdot sdot

∆∆∆∆v

Vježba 061 U valjkastoj posudi polumjera osnovke 120 mm i visine 72 dm nalazi se voda do pola visine Za koliko će se podignuti razina vode u posudi ako u vodu uronimo kuglu polumjera 1 dm

Rezultat 926 cm Zadatak 062 (Ivan gimnazija) Jedna litra ulja je prolivena na površini mirnog mora Zamislite da je sloj ulja debljine samo jedne molekule Promjer molekule ulja iznosi h = 2 10-10 m Koliki je promjer d nastale mrlje ulja

Rješenje 062 V = 1 l = 1 dm3 = 10-3 m3 h = 2 10-10 m d = Ponovimo Obujam uspravnog valjka

bull ako je zadan polumjer r osnovke (baze) i visina h 2

V r vπ= sdot sdot bull ako je zadan promjer d osnovke (baze) i visina h

4

2d

V vπsdot

= sdot

2

1inačica Pretpostavimo da mrlja ulja ima oblik valjka Tada je

2 24 4 42 24

4 4

d d V V V

V v V v d dhh

dh hπ

π π

π π π

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr = =

sdotsdot sdotsdot

sdot

3 34 10

252313 10

2 10

mm

mπ

minussdot

= =minus

sdot sdot


2 2 222 2 22 1

d r d r d rd r

V VV r v r rV r v

v vvππ

ππ πsdot

= sdot = sdot = sdot= sdotrArr rArr rArr rArr

= sdot sdot = == sdot sdotsdot sdotsdot

2 3 310

2 2 25231metoda

supstitucije3

102 10

d rV m

d mVvr m

vπ π

π

= sdot minus

rArr rArr rArr = sdot = sdot =minussdot= sdot sdot

sdot

Vježba 062 Jedna litra ulja je prolivena na površini mirnog mora Zamislite da je sloj ulja debljine samo jedne molekule Promjer molekule ulja iznosi h = 2 10-12 cm Koliki je promjer d nastale mrlje ulja

Rezultat 252313 m Zadatak 063 (Mimi Ivonchy HTT) Kugla promjera 4 cm pretopi se u manje kuglice promjera 1 cm Koliko se dobije manjih kuglica

Rješenje 063

Ponovimo

1

ann

n a c a c a d a abn ncb d b d b c bb

d

sdot sdot= sdot = = =

sdot sdot

Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od središta S manja ili jednaka polumjeru r Omeđena je sferom polumjera r Sfera je skup točaka prostora čija je udaljenost od središta S jednaka r Promjer je duljina dužine koja prolazi kroz središte kugle i čiji se krajevi nalaze na sferi Obujam kugle polumjera r iznosi

3

4

3V r π= sdot sdot

1inačica Izračunamo obujam

bull velike kugle

2 4 2 4 21 1 1 4 432 84 4 43 3 3 1 13 3

1

2

1 1 1 1 13 3 3

r r r

V VV r V r V r

π ππ π π

sdot = sdot = =

rArr rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot sdot rArr= sdot sdot = sdot sdot = sdot sdot

4 8 32 32 31 1 13 1 3 3

V V V cmπ π πrArr = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot

bull male kugle

3

12 1 2 1 32 2 2 4 1 4 124 43 3 2 24 3 2 3 83

2 2 2 23 3 2 23

2r r r

V VV r V r

V r

π ππ π

π

sdot = sdot = =

rArr rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot sdot rArr= sdot sdot = sdot sdot

= sdot sdot

1 1 1 1 1 32 2 2 23 3 2 6 6

4

8V V V V cmπ π π πrArr = sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot

Broj manjih kuglica n dobije se dijeljenjem obujma veće kugle V1 obujmom manje kuglice V2

32 32 32 32 323

3 3 31 1 641 1 1 1 13

26 6 66

3

2

3

3cmV

n n n n n n nV

c

cm

m cm

ππ

π π

sdot sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

sdot sdot

2inačica

Neka su obujmovi

bull 4 3

veće kugle 1 13V r π= sdot sdot

bull 4 3

manje kugle 2 23V r π= sdot sdot

Broj manjih kuglica dobije se dijeljenjem većeg s manjim obujmom

4 3 3 331 131 1

4proširimo3

4 razloma1

34 3 32 22

k s 232 23

r rV r rn n n n n

V rrr r

π

π

π

π

sdot sdot sdot sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr rArr

sdot sdot sdot sdot

2 412 1

3 32 4 31 4 642 2 12

rn n n

rn

r r

sdotrArr = rArr rArr =

sdot =

sdotrArr =

=rArr =

sdot

Vježba 063 Kugla promjera 5 cm pretopi se u manje kuglice promjera 1 cm Koliko se dobije manjih kuglica

Rezultat 125 Zadatak 064 (Ademir Branko srednja škola) Pravokutnik stranica a i b (a gt b) rotira oko dulje i kraće stranice Odredi razliku obujama tako dobivenih tijela

Rješenje 064

Ponovimo Uspravni i kosi valjak istog polumjera baze (osnovke) r i visine h imaju jednake obujme (volumene) Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Kada pravokutnik stranica a i b rotiramo oko stranice b dobije se valjak polumjera r = a i visine h = b Njegov obujam iznosi

22 1

r a h bV a b

V r hπ

π

= =rArr = sdot sdot

= sdot sdot

4

h = b

r = ab

a

Kada pravokutnik stranica a i b rotiramo oko stranice a dobije se valjak polumjera r = b i visine h = a Njegov obujam iznosi

22 2

r b h aV b a

V r hπ

π

= =rArr = sdot sdot

= sdot sdot

h = a

r = b

b

a

Razlika obujama je

( )2 21 2 1 2V V a b b a V V a b a bπ π πminus = sdot sdot minus sdot sdot rArr minus = sdot sdot sdot minus

Vježba 064 Pravokutnik stranica 17 cm i 13 cm rotira oko dulje i kraće stranice Odredi razliku obujama tako dobivenih tijela

Rezultat 884 π cm2 Zadatak 065 (Katarina gimnazija)

Opseg osnog presjeka uspravnog stošca je 48 a ploština plašta 128 π Koliko mu je oplošje

Rješenje 065

Ponovimo Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Svaka stranica trokuta manja je od zbroja preostalih dviju stranica (nejednakost trokuta)

a b c b a c c a blt + lt + lt + Na osnovi odnosa među duljinama stranica trokut može biti 1) raznostraničan 2) jednakokračan 3) jednakostraničan Jednakostraničan trokut ima sve tri stranice jednake Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake Stranice jednakih duljina zovemo kracima trokuta Opseg trokuta kojemu su duljine stranica a b i c iznosi

O a b c= + + Osnovka ili baza stošca je krug Točku V nazivamo vrhom stošca Visina stošca v udaljenost je vrha

do ravnine baze Plašt stošca opisuju izvodnice VP kad točka P putuje obodom kruga Stožac je

uspravan ako je spojnica VS okomita na ravninu baze Presjek stošca s ravninom koja prolazi njegovim vrhom i bilo kojim promjerom baze nazivamo osni presjek Ako je stožac uspravan onda su osni presjeci sukladni jednakokračni trokuti s osnovicom duljine 2 r i krakovima duljine s Opseg osnog presjeka dan je formulom

5

( )2 2 2O r s O r s= sdot + sdot rArr = sdot +

v s

rr

s

S

V

P

Ploština plašta uspravnog stošca jednaka je

P r sπ= sdot sdot Oplošje uspravnog stošca Oplošje uspravnog stošca s bazom polumjera r i izvodnicom s iznosi

( )O r r sπ= sdot sdot +

s s s

rrr r

sv

SSP

V

Iz uvjeta zadatka dobije se sustav jednadžbi

( ) ( ) ( ) 22 48 2 48 2 48

128 128 128

O r s O r s r s

P r s P r s r sπ π π π π ππ

= sdot + = sdot + = sdot + =rArr rArr rArr

= sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot

( )metoda

supstitu

24 24 224 128 24 128

128 128cije

r s r ss s s s

r s r s

+ = = minusrArr rArr rArr rArr minus sdot = rArr sdot minus = rArr

sdot = sdot =

( )2 2 224 128 0 24 128 0 24 128 10 s s s s s srArr sdot minus minus = rArr minus + sdot minus = rArr minus sdot minus = sdot minus+ rArr

1 24 1282

2 24 128 0 224 128 0 41 24 128

12 2

a b c

s ss s

b b a ca b c s

a

= = minus =

minus sdot + =rArr minus sdot + = rArr rArr rArr

minus plusmn minus sdot sdot= = minus = =

sdot

( ) ( )2

24 24 4 1 128 24 576 512 24 6412 12 122 1 2 2

s s sminus minus plusmn minus minus sdot sdot plusmn minus plusmn

rArr = rArr = rArr = rArrsdot

24 8 32161 124 8 2 2 1 12 24 8 16 82 2

2 22 2

s s ss

ss s

+= = =plusmn

rArr = rArr rArr rArrminus =

= =

6

Sada računamo polumjer

bull 24

24 16 816

r sr r

s

= minusrArr = minus rArr =

=

Ako je r = 8 s = 16 osni presjek uspravnog stošca je jednakostraničan trokut pa je oplošje stošca jednako

( ) ( )8 8 16 8 24 192 P r r s P P Pπ π π π= sdot sdot + rArr = sdot sdot + rArr = sdot sdot rArr = sdot

16 16

8 8rr

s s

bull 24

24 8 168

r sr r

s


=

Ako je r = 16 s = 8 nije ispunjena nejednakost trokuta trokut nije moguć Mora biti

2 r s ssdot lt + a to ne vrijedi

Vježba 065 Opseg osnog presjeka uspravnog stošca je 26 a ploština plašta 40 π Koliko mu je oplošje

Rezultat 65 π Zadatak 066 (Fran srednja škola)

Kolika je najmanja duljina vrlo tankog užeta kroz kojeg kad mu spojite krajeve možete provući kuglu obujma 01 m3

628 181 141 314A m B m C m D m

Rješenje 066

Ponovimo Kugla polumjera r ima obujam (volumen)

3

4

3V r π= sdot sdot

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga

2 O r π= sdot sdot

r

Iz obujma kugle odredimo njezin polumjer

4 4 3 33 33 3 3 33 3

3 3 4 4 44

V V VV r V r r r rπ π

π ππ π

sdot sdot sdot= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = rArr = rArr =

sdot sdot sdotsdot

sdot

Budući da je uže omotano oko kugle polumjera r duljina užeta jednaka je opsegu kruga polumjera r

7

2 33 3 01332 2 181 33 4 4

4

O rV m

O O O mVr

π

π ππ π

π

= sdot sdotsdot sdot

rArr = sdot sdot rArr = sdot sdot rArr =sdotsdot sdot=

sdot

Odgovor je pod B

Vježba 066 Kolika je najmanja duljina vrlo tankog užeta kroz kojeg kad mu spojite krajeve možete provući kuglu obujma 100 dm3

628 181 141 314A dm B dm C dm D dm

Rezultat B Zadatak 067 (Sanja srednja škola)

Šuplju metalnu kuglu vanjskog polumjera 25 cm i debljine 3 cm treba pretopiti u punu kuglu Polumjer pune kugle je

21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rješenje 067

Ponovimo Kugla je skup svih točaka u prostoru čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kugle manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kugle Kugla polumjera r ima obujam (volumen)

3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam šuplje metalne kugle jednak je razlici obujma kugle polumjera r1 = 25 cm i obujma kugle polumjera r2 = 25 cm ndash 3 cm = 22 cm

( )4 4 43 3 3 31 2 1 23 3 3

V r r V r ršk šk

π π π= sdot sdot minus sdot sdot rArr = sdot sdot minus

Budući da šuplju metalnu kuglu obujma Všk treba pretopiti u punu kuglu polumjera r obujam Všk mora biti jednak volumenu pune kugle Vpk pa vrijedi

( ) ( )4 4 4 43 3 3 3 3 31 2 1 23 3 3 3

V V r r r r r ršk pk

π π π π= rArr sdot sdot minus = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot sdot minus rArr

( )4 43 3 3 3 3 3 3 3 31 2 1

33

4 2 1 23 3r r r r r r r r r

ππ πrArr sdot sdot = sdot sdot sdot

sdotminus rArr = minus rArr = minus rArr

( ) ( )3 3 33 33

25 22 17073 1 2r r r r cm cm r cmrArr = minus rArr = minus rArr =

Odgovor je pod C

r

r2

r1

Vježba 067

Šuplju metalnu kuglu vanjskog polumjera 25 dm i debljine 03 dm treba pretopiti u punu kuglu Polumjer pune kugle je

21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rezultat C

8

Zadatak 068 (Vesna srednja škola)

Polumjer jednakostraničnog stošca uvećan je za 30 Koliko će se postotaka uvećati obujam stošca

30 1315 1197 1706A B C D

Rješenje 068

Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

Stožac je rotacijsko tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne njegove katete Uspravni stožac jest tijelo izgrađeno od dužina koje povezuju vrh stošca smješten točno iznad središta njegove kružne baze s točkama njegove kružne baze Pravac određen točkama V i S zove se os stošca Dužinu

AV zovemo izvodnicom stošca i označavamo sa s Ona povezuje vrh stošca s točkom na obodu baze

osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V

Jednakostraničan stožac je stožac kojemu je svaka izvodnica jednaka promjeru baze Obujam jednakostraničnog stošca polumjera baze r računa se po formuli

1 33

3V r π= sdot sdot sdot

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Ako se broj x poveća p pišemo

1100 100

p p

x x x

+ sdot = sdot +

Neka je r polumjer baze jednakostraničnog stošca Ako se polumjer uveća za 30 iznosit će

3003 13

100R r r r r r= + sdot = + sdot = sdot

Tada je bull stari obujam

1 331 3

V r π= sdot sdot sdot

bull novi obujam

( )1 1 133 3 3

3 13 3 13 32 2 23 3 3V R V r V rπ π π= sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr

1 13 3 3 3 313 3 13 3 13 2 2 2 13 3

V r V r V Vπ πrArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot

Računamo koliko će se postotaka uvećati obujam stošca

9

1197313 2197 11972 1 2 1 2 1 1 2 1 1100

V V V V V V V V V V= sdot rArr = sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr

1197 2 1 1V V VrArr = + sdot

Odgovor je pod C

Vježba 068


50 2375 150 1505A B C D Rezultat B Zadatak 069 (Docx strukovna škola)

Puna metalna kocka brida a pretopljena je u kuglu Koliki je promjer kugle

098 124 133 164A a B a C a D asdot sdot sdot sdot Rješenje 069


3

4

3V r π= sdot sdot

Kocka (heksaedar) spada u pravilne poliedre Omeđena je sa šest sukladnih strana koje su kvadrati ima 8 vrhova i 12 bridova Ako kocka ima brid a tada je obujam

3V a=

Budući da se puna metalna kocka pretopi u kuglu njihovi obujmovi ostaju jednaki

4 34 41 3 3 3 333 33

2

31 2 4

V r obujam kugler a r a

V a obujam kocke

V Vπ

π ππ

= sdot sdot minusrArr rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

=

=sdot

minus

sdot

33 3 33 3 3 333 3 3 4 4 4

4

a a ar r r r a

π π π π

sdot sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = sdot

sdot sdot sdot sdot

Promjer kugle iznosi

332 2 2 124 4

r a r aπ

sdot = sdot sdot rArr sdot = sdotsdot

Odgovor je pod B

Vježba 069

Puna metalna kocka brida a pretopljena je u kuglu Koliki je polumjer kugle

062 049 068 082A a B a C a D asdot sdot sdot sdot Rezultat A Zadatak 070 (TP gimnazija)

Duljina prostorne dijagonale drvene kocke je 24 cm Iz kocke je izrezan valjak najvećega mogućega obujma Koliki je obujam valjka

3 3 3 3 384 3 192 3 772 1536A cm B cm C cm D cmπ π π πsdot sdot sdot sdot sdot sdot

Rješenje 070

Ponovimo

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c

sdot= sdot = sdot sdot =

Kocka (heksaedar) spada u pravilne poliedre Omeđena je sa šest sukladnih strana koje su kvadrati ima 8 vrhova i 12 bridova Ako kocka ima brid a tada je duljina prostorne dijagonale

3D a= sdot

Obujam valjka Uspravni i kosi valjak polumjera osnovke (baze) r i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam iznosi

2V r vπ= sdot sdot

Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Budući da je zadana duljina prostorne dijagonale kocke duljina brida iznosi

metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D

= sdotrArr rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot

rArr rArr = sdot rArr = rArr = rArr

24

3

38 3 a a cm

sdotrArr = rArr = sdot

rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3

2 2 2r a r r r v a v= sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot = rArr = sdot

Računamo obujam valjka

( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ

= sdot = sdotrArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr

= sdot sdot

316 3 8 3 384 3 V V cmπ πrArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 070

Duljina prostorne dijagonale drvene kocke je 8 3sdot cm Iz kocke je izrezan valjak najvećega

mogućega obujma Koliki je obujam valjka

3 3 3 3 64 128 32 256A cm B cm C cm D cmπ π π πsdot sdot sdot sdot

Rezultat B Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Koliko litara (L) vode stane u posudu oblika valjka čija je visina 15 cm a promjer baze 9 cm (Napomena 1 litra = 1 dm3)

0424 0954 4241 9543A L B L C L D L Rješenje 071

Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot

Budući da je zadan promjer baze valjka d = 9 cm polumjer iznosi

91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42

r cm v cmV cm cm V cm cm

V r v

π π

π

= =rArr = sdot sdot rArr = sdot sdot rArr

= sdot sdot

[ ]3 3 395426 095426 0954 095495426 1000V cm V dm V dm V LrArr = rArr rArr = rArr asymp rArr =

Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L

Rezultat A Zadatak 072 (WWW tehnička škola)

Ploština plašta kružnog stošca jednaka je dvostrukoj ploštini osnovke stošca Izračunaj prikloni kut izvodnice prema ravnini osnovke

Rješenje 072

Ponovimo Osnovka ili baza stošca je krug Točku V nazivamo vrhom stošca Visina stošca v udaljenost je vrha


uspravan ako je spojnica VS okomita na ravninu baze Presjek stošca s ravninom koja prolazi njegovim vrhom i bilo kojim promjerom baze nazivamo osni presjek Ako je stožac uspravan onda su osni presjeci sukladni jednakokračni trokuti s osnovicom duljine 2 r i krakovima duljine s

v s

rr

s

S

V

P


P r sπ= sdot sdot Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutan trokut ima jedan pravi kut (90ordm) Stranice koje su međusobno okomite zovu se katete a najdulja stranica zove se hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer katete uz taj kut i hipotenuze Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash puta veći od broja b

a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα

ssssssssssss vvvvvvvvvvvv

rrrrrrrr rrrr

Budući da je ploština plašta Pp kružnog stošca jednaka dvostrukoj ploštini osnovke Po stošca (kruga polumjera r) vrijedi

12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π

π= sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr =

sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s

s ssdotrArr sdot = rArr sdot = =

sdotrArr

Na slici uočimo pravokutan trokut čije su katete r i v a hipotenuza s Pomoću funkcije kosinus izračunamo kut α

metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus

rArr rArr = rArr = rArr =

=

Vježba 072

Ploština plašta kružnog stošca jednaka je trostrukoj ploštini osnovke stošca Izračunaj prikloni kut izvodnice prema ravnini osnovke

Rezultat 70deg 31 44 Zadatak 073 (Tihomir strukovna škola)

Oplošje i obujam uspravnoga kružnog stošca izraženi su istim mjernim brojem Odredite vezu između polumjera osnovke (r) visine (v) i izvodnice (s) stošca

Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14

Oplošje uspravnog stošca s bazom polumjera r i izvodnicom s iznosi


Obujam uspravnog stošca s bazom polumjera r i visinom v iznosi

3

2r v

Vπsdot sdot

=

Budući da su oplošje i obujam uspravnoga kružnog stošca izraženi istim mjernim brojem slijedi

( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3

r v r vO V r r s r r s r v

rs r

π π

ππ π sdot

sdot sdot sdot sdot= rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot + = sdot

sdot

Vježba 073


Rezultat ( )3 3 r v ssdot minus = sdot

Zadatak 074 (Oggy tehnička škola)

Zbroj obujmova dviju kugli iznosi 324 middot π a polumjer jedne kugle je 6 Polumjer druge kugle je

2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=

Obujam kugle polumjera r iznosi

3

4

3V r π= sdot sdot

Polumjer r2 druge kugle je

4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3

4V V r r r rπ π π π π π π

π+ = sdot rArr sdot sdot + sdot sdot = sdot sdotrArr sdot sdot + sdot sdot =

sdotsdot rArr

3 3 3 3 3 3243 6 243 216 243 243 2161 2 2 2 261 rrr r r rrArr + = rArr rArr + = rArr + = == rArr minus rArr

33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2

3 2r r r r rrArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D

Rezultat C Zadatak 075 (Mario tehnička škola)

Posuda oblika šupljeg valjka polumjera r i visine v sa zanemarivom debljinom stijenki napunjena je tekućinom do 80 svoje visine Ako se u posudu urone tri metalne kugle polumjera r2 posuda se napuni tekućinom do svog vrha Nađi visinu v

Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Kada tri metalne kugle uronimo u vodu razina vode podigne se do visine valjka Kada se valjak napuni tekućinom do svog vrha bit će

2V r vπ= sdot sdot

Kada je valjak napunjen tekućinom do 80 svoje visine vrijedi

80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5

V r v V r v V r v V r vπ π π π= sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot

Tri uronjene metalne kugle imaju obujam

3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28

r r rV V V V rπ π π π= sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot

Iz uvjeta zadatka slijedi 4 12 2 3

1 2 5 2V V V r v r v rπ π π= + rArr sdot sdot = sdot sdot sdot + sdot sdot rArr

4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ

π sdotrArr sdot sdot = sdot sdot sdot + sdot sdot rArr = +sdot

sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510

2v v r v v r v v r v rrArr = sdot + sdot rArr sdot = sdot + sdot rArr sdot minus sdot = sdot rArr sdot = sdotsdot rArr

25

2 5 2

v r v rrArr sdot = sdot rArr = sdot

Vježba 075

Posuda oblika šupljeg valjka polumjera 8 dm i visine v sa zanemarivom debljinom stijenki napunjena je tekućinom do 80 svoje visine Ako se u posudu urone tri metalne kugle polumjera 4 dm posuda se napuni tekućinom do svog vrha Nađi visinu v

Rezultat 20 dm

16

Zadatak 076 (Zlatko tehnička škola)

Izvodnica uspravnog kružnog stošca ima duljinu l i zatvara s bazom stošca kut od 60ordm Tada volumen stošca iznosi

33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot sdot

sdot

Rješenje 076

Ponovimo

Osnovka ili baza stošca je krug Točku V nazivamo vrhom stošca Visina stošca v udaljenost je vrha


uspravan ako je spojnica VS okomita na ravninu baze Presjek stošca s ravninom koja prolazi njegovim vrhom i bilo kojim promjerom baze nazivamo osni presjek Ako je stožac uspravan onda su osni presjeci sukladni jednakokračni trokuti s osnovicom duljine 2 r i krakovima duljine s Obujam uspravnog stošca s bazom polumjera r i visinom v iznosi

1 2

3V r vπ= sdot sdot sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze

( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1

a c a c n m n ma a a a a

b d b d

sdot +sdot = = sdot =

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0

60SA r SV v AV l SAV α= = = ang = =

17

Uočimo pravokutan trokut AVS Tada je

bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l

AV l l l llα = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot

bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l

lα = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot

Volumen stošca iznosi

2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r

lπ π π= sdot sdot sdot rArr rArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot

=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l

V V Vπ π πrArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr

3 31

8 13 8 3

l lV V

π πsdotrArr = sdot sdot rArr =

sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot

Rezultat B Zadatak 077 (Zlatko tehnička škola)

Ako se polumjer baze i visina stošca smanje dva puta volumen stošca smanji se

2 4 6 8A puta B puta C puta D puta Rješenje 077

Ponovimo

an n

a a a c a c a dbn cb b d b d b cb

d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2


volumen prvog stošca a 1 2

1 1 13V r vπ= sdot sdot sdot

volumen stošca čiji su polumjer baze r1 i visina v1 smanjeni dva puta

1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8

r v r v rV r v V V V vπ π π π= sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr

1 1 121 18 3 8

V r v V VπrArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot

Odgovor je pod D

2inačica

Računamo kvocijent V1 i V

11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2

r vr v r vV V V r v V

V V V Vr v r vr v r v

rr

vv

π

π π

π = sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr rArr = rArr

sdot sdotsdot sdot sdot sdot sdot =sdot

22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot

sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077

Ako se polumjer baze i visina stošca povećaju dva puta volumen stošca poveća se

2 4 6 8A puta B puta C puta D puta Rezultat D Zadatak 078 (4A TUPŠ)

Puna metalna kocka brida a pretopljena je u kuglu Koliki je promjer te kugle


Ponovimo 3 33 3

3a a a b a b= sdot = sdot


19

3

4

3V r π= sdot sdot

Promjer kugle polumjera r je 2 d r= sdot


3V a=

Budući da je kocka duljine brida a pretopljena u kuglu polumjera duljine r vrijedi 3

4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ

sdot= rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr =

sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π

sdot sdotrArr = rArr = rArr = sdot rArr = sdot

sdot sdot sdot

Promjer kugle je 062

2 062 124 2

r ad a a

d r

= sdotrArr = sdot sdot = sdot

= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078

Puna metalna kocka brida 1 pretopljena je u kuglu Koliki je promjer te kugle

098 124 133 164A B C D Rezultat B Zadatak 079 (Martina gimnazija)

Visina uspravnog valjka jednaka je 16 cm a polumjer osnovke 10 cm Dužini duljine 20 cm jedan je kraj na rubu donje a drugi na rubu gornje osnovke Kolika je najkraća udaljenost te dužine od osi valjka

Rješenje 079

Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutan trokut ima jedan pravi kut (90ordm) Stranice koje su međusobno okomite zovu se katete a najdulja stranica zove se hipotenuza Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat duljine hipotenuze jednak zbroju kvadrata duljina kateta Valjak je oblo geometrijsko tijelo omeđeno dvama sukladnim krugovima koji leže u usporednim ravninama i dijelom zakrivljene plohe Krugove nazivamo baze valjka a zakrivljenu plohu nazivamo plašt valjka Visina valjka je međusobna udaljenost baza Kod uspravnog valjka visina je spojnica središta baza Valjak je rotaciono tijelo što znači da nastaje rotacijom pravokutnika oko jedne svoje stranice

20

r

A

B

S

C

v v v

d

r

Dužinom AB položit ćemo ravninu usporednu (paralelnu) osi SC valjka Ta ravnina siječe valjak u pravokutniku A1BB1A

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se

10 161 1 1 1SA SB CA CB r AA SC BB v= = = = = = = = =

20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Iz pravokutnog trokuta AA1B (ili BB1A) pomoću Pitagorina poučka dobije se

2 22 2 2 2 2 2 2 220 16 400 2561 1A B AB AA x d v x x= minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr

2 2

144 144 144 12 x x x x cmrArr = rArr = rArr = rArr =

Udaljenost koju tražimo je udaljenost točke C od dužine 1A B (ili udaljenost točke S od dužine 1AB )

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1

Promotrimo jednakokračan trokut A1BC Visina CP dijeli ga na dva sukladna pravokutna trokuta A1PC i PBC Sa slika vidi se

110 12 6 1 1 1 12

CA CB r A B A P PB A B CP y= = = = = = sdot = =

Uočimo na primjer pravokutan trokut PBC i pomoću Pitagorina poučka izračunamo y

2 2 2 2 2 2 2 210 6 100 36 64CP CB PB y y y= minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

264 64 8 y y y cmrArr = rArr = rArr =

Tražena udaljenost jednaka je duljini visine y tj jednaka je 8 cm

Vježba 079


Rezultat 3 cm Zadatak 080 (Martina gimnazija)

Čašu oblika valjka s promjerom osnovke 6 cm punu vode stavimo na kosinu s kutom 30deg Kolika je količina vode što pritom isteče iz čaše

Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =

Valjak je oblo geometrijsko tijelo omeđeno dvama sukladnim krugovima koji leže u usporednim ravninama i dijelom zakrivljene plohe Krugove nazivamo baze valjka a zakrivljenu plohu nazivamo plašt valjka Visina valjka je međusobna udaljenost baza Kod uspravnog valjka visina je spojnica središta baza Valjak je rotaciono tijelo što znači da nastaje rotacijom pravokutnika oko jedne svoje stranice Obujam valjka Uspravni i kosi valjak polumjera osnovke (baze) r i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam iznosi

2V r vπ= sdot sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutan trokut ima jedan pravi kut (90ordm) Stranice koje su međusobno okomite zovu se katete a najdulja stranica zove se hipotenuza Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut Kutovi s paralelnim kracima Kutovi s paralelnim kracima su sukladni ili su suplementni (zbroj kutova je 180ordm)

23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Kosina je ravnina nagnuta pod oštrim kutom prema horizontalnoj ravnini i omogućuje podizanje ili spuštanje tereta

αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24

2 6 AB DC r cm AD BC SP h= = sdot = = = =

3 30AS SB DP PC r cm CDB DBA α= = = = = ang = ang = =

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Uočimo pravokutan trokut DBC (ili ABD) i pomoću funkcije tangens izračunamo duljinu h

3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6

BC h h h htg tg h cm

DCα = rArr = rArr = rArr rArr =sdot= rArr = sdot

Kada punu čašu stavimo na kosinu količina vode što pritom isteče jednaka je polovici volumena valjka čiji je polumjer osnovke r a visina h

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm

h cmV r hπ π= sdot sdot sdot

=rArr rArr = sdot sdot sdot sdot rArr

= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22

2V cm cm V cm cm V cmπ π πrArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot

25

Vježba 080

Čašu oblika valjka s promjerom osnovke 06 dm i visinom 1 dm punu vode stavimo na kosinu s kutom 30deg Kolika je količina vode što pritom isteče iz čaše

Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

2


2 24 4 42 24

4 4

d d V V V

V v V v d dhh

dh hπ

π π

π π π

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr = =

sdotsdot sdotsdot

sdot

3 34 10

252313 10

2 10

mm

mπ

minussdot

= =minus

sdot sdot


2 2 222 2 22 1

d r d r d rd r

V VV r v r rV r v

v vvππ

ππ πsdot

= sdot = sdot = sdot= sdotrArr rArr rArr rArr

= sdot sdot = == sdot sdotsdot sdotsdot

2 3 310

2 2 25231metoda

supstitucije3

102 10

d rV m

d mVvr m

vπ π

π

= sdot minus

rArr rArr rArr = sdot = sdot =minussdot= sdot sdot

sdot

Vježba 062 Jedna litra ulja je prolivena na površini mirnog mora Zamislite da je sloj ulja debljine samo jedne molekule Promjer molekule ulja iznosi h = 2 10-12 cm Koliki je promjer d nastale mrlje ulja

Rezultat 252313 m Zadatak 063 (Mimi Ivonchy HTT) Kugla promjera 4 cm pretopi se u manje kuglice promjera 1 cm Koliko se dobije manjih kuglica

Rješenje 063

Ponovimo

1

ann

n a c a c a d a abn ncb d b d b c bb

d

sdot sdot= sdot = = =

sdot sdot

Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od središta S manja ili jednaka polumjeru r Omeđena je sferom polumjera r Sfera je skup točaka prostora čija je udaljenost od središta S jednaka r Promjer je duljina dužine koja prolazi kroz središte kugle i čiji se krajevi nalaze na sferi Obujam kugle polumjera r iznosi

3

4

3V r π= sdot sdot

1inačica Izračunamo obujam

bull velike kugle

2 4 2 4 21 1 1 4 432 84 4 43 3 3 1 13 3

1

2

1 1 1 1 13 3 3

r r r

V VV r V r V r

π ππ π π

sdot = sdot = =

rArr rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot sdot rArr= sdot sdot = sdot sdot = sdot sdot

4 8 32 32 31 1 13 1 3 3

V V V cmπ π πrArr = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot

bull male kugle

3

12 1 2 1 32 2 2 4 1 4 124 43 3 2 24 3 2 3 83

2 2 2 23 3 2 23

2r r r

V VV r V r

V r

π ππ π

π

sdot = sdot = =


= sdot sdot

1 1 1 1 1 32 2 2 23 3 2 6 6

4



32 32 32 32 323

3 3 31 1 641 1 1 1 13

26 6 66

3

2

3

3cmV

n n n n n n nV

c

cm

m cm

ππ

π π

sdot sdot


sdot sdot

2inačica

Neka su obujmovi

bull 4 3


bull 4 3



4 3 3 331 131 1

4proširimo3

4 razloma1

34 3 32 22

k s 232 23

r rV r rn n n n n

V rrr r

π

π

π

π

sdot sdot sdot sdot


sdot sdot sdot sdot

2 412 1

3 32 4 31 4 642 2 12

rn n n

rn

r r


sdot =

sdotrArr =

=rArr =

sdot



Rješenje 064


2V r hπ= sdot sdot



22 1

r a h bV a b

V r hπ

π

= =rArr = sdot sdot

= sdot sdot

4

h = b

r = ab

a


22 2

r b h aV b a

V r hπ

π

= =rArr = sdot sdot

= sdot sdot

h = a

r = b

b

a

Razlika obujama je





Rješenje 065






5


v s

rr

s

S

V

P




s s s

rrr r

sv

SSP

V


( ) ( ) ( ) 22 48 2 48 2 48

128 128 128

O r s O r s r s




( )metoda

supstitu

24 24 224 128 24 128

128 128cije

r s r ss s s s

r s r s


sdot = sdot =


1 24 1282

2 24 128 0 224 128 0 41 24 128

12 2

a b c

s ss s

b b a ca b c s

a

= = minus =



sdot

( ) ( )2

24 24 4 1 128 24 576 512 24 6412 12 122 1 2 2



24 8 32161 124 8 2 2 1 12 24 8 16 82 2

2 22 2

s s ss

ss s

+= = =plusmn


= =

6


bull 24

24 16 816

r sr r

s


=



16 16

8 8rr

s s

bull 24

24 8 168

r sr r

s


=






628 181 141 314A m B m C m D m

Rješenje 066


3

4

3V r π= sdot sdot


2 O r π= sdot sdot

r


4 4 3 33 33 3 3 33 3

3 3 4 4 44


π ππ π


sdot sdot sdotsdot

sdot


7

2 33 3 01332 2 181 33 4 4

4

O rV m

O O O mVr

π

π ππ π

π



sdot

Odgovor je pod B


628 181 141 314A dm B dm C dm D dm



21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rješenje 067


3

4

3V r π= sdot sdot


( )4 4 43 3 3 31 2 1 23 3 3

V r r V r ršk šk



( ) ( )4 4 4 43 3 3 3 3 31 2 1 23 3 3 3



( )4 43 3 3 3 3 3 3 3 31 2 1

33

4 2 1 23 3r r r r r r r r r



( ) ( )3 3 33 33


Odgovor je pod C

r

r2

r1

Vježba 067


21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rezultat C

8



30 1315 1197 1706A B C D

Rješenje 068

Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot



osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 33




9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


1100 100

p p

x x x

+ sdot = sdot +


3003 13



1 331 3


bull novi obujam

( )1 1 133 3 3


1 13 3 3 3 313 3 13 3 13 2 2 2 13 3



9

1197313 2197 11972 1 2 1 2 1 1 2 1 1100


1197 2 1 1V V VrArr = + sdot

Odgovor je pod C

Vježba 068






3

4

3V r π= sdot sdot


3V a=


4 34 41 3 3 3 333 33

2

31 2 4


V a obujam kocke

V Vπ

π ππ


=

=sdot

minus

sdot

33 3 33 3 3 333 3 3 4 4 4

4

a a ar r r r a

π π π π


sdot sdot sdot sdot


332 2 2 124 4

r a r aπ


Odgovor je pod B

Vježba 069





Rješenje 070

Ponovimo

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c



3D a= sdot


2V r vπ= sdot sdot


0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D


=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot


24

3

38 3 a a cm


rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

3

12 1 2 1 32 2 2 4 1 4 124 43 3 2 24 3 2 3 83

2 2 2 23 3 2 23

2r r r

V VV r V r

V r

π ππ π

π

sdot = sdot = =


= sdot sdot

1 1 1 1 1 32 2 2 23 3 2 6 6

4



32 32 32 32 323

3 3 31 1 641 1 1 1 13

26 6 66

3

2

3

3cmV

n n n n n n nV

c

cm

m cm

ππ

π π

sdot sdot


sdot sdot

2inačica

Neka su obujmovi

bull 4 3


bull 4 3



4 3 3 331 131 1

4proširimo3

4 razloma1

34 3 32 22

k s 232 23

r rV r rn n n n n

V rrr r

π

π

π

π

sdot sdot sdot sdot


sdot sdot sdot sdot

2 412 1

3 32 4 31 4 642 2 12

rn n n

rn

r r


sdot =

sdotrArr =

=rArr =

sdot



Rješenje 064


2V r hπ= sdot sdot



22 1

r a h bV a b

V r hπ

π

= =rArr = sdot sdot

= sdot sdot

4

h = b

r = ab

a


22 2

r b h aV b a

V r hπ

π

= =rArr = sdot sdot

= sdot sdot

h = a

r = b

b

a

Razlika obujama je





Rješenje 065






5


v s

rr

s

S

V

P




s s s

rrr r

sv

SSP

V


( ) ( ) ( ) 22 48 2 48 2 48

128 128 128

O r s O r s r s




( )metoda

supstitu

24 24 224 128 24 128

128 128cije

r s r ss s s s

r s r s


sdot = sdot =


1 24 1282

2 24 128 0 224 128 0 41 24 128

12 2

a b c

s ss s

b b a ca b c s

a

= = minus =



sdot

( ) ( )2

24 24 4 1 128 24 576 512 24 6412 12 122 1 2 2



24 8 32161 124 8 2 2 1 12 24 8 16 82 2

2 22 2

s s ss

ss s

+= = =plusmn


= =

6


bull 24

24 16 816

r sr r

s


=



16 16

8 8rr

s s

bull 24

24 8 168

r sr r

s


=






628 181 141 314A m B m C m D m

Rješenje 066


3

4

3V r π= sdot sdot


2 O r π= sdot sdot

r


4 4 3 33 33 3 3 33 3

3 3 4 4 44


π ππ π


sdot sdot sdotsdot

sdot


7

2 33 3 01332 2 181 33 4 4

4

O rV m

O O O mVr

π

π ππ π

π



sdot

Odgovor je pod B


628 181 141 314A dm B dm C dm D dm



21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rješenje 067


3

4

3V r π= sdot sdot


( )4 4 43 3 3 31 2 1 23 3 3

V r r V r ršk šk



( ) ( )4 4 4 43 3 3 3 3 31 2 1 23 3 3 3



( )4 43 3 3 3 3 3 3 3 31 2 1

33

4 2 1 23 3r r r r r r r r r



( ) ( )3 3 33 33


Odgovor je pod C

r

r2

r1

Vježba 067


21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rezultat C

8



30 1315 1197 1706A B C D

Rješenje 068

Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot



osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 33




9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


1100 100

p p

x x x

+ sdot = sdot +


3003 13



1 331 3


bull novi obujam

( )1 1 133 3 3


1 13 3 3 3 313 3 13 3 13 2 2 2 13 3



9

1197313 2197 11972 1 2 1 2 1 1 2 1 1100


1197 2 1 1V V VrArr = + sdot

Odgovor je pod C

Vježba 068






3

4

3V r π= sdot sdot


3V a=


4 34 41 3 3 3 333 33

2

31 2 4


V a obujam kocke

V Vπ

π ππ


=

=sdot

minus

sdot

33 3 33 3 3 333 3 3 4 4 4

4

a a ar r r r a

π π π π


sdot sdot sdot sdot


332 2 2 124 4

r a r aπ


Odgovor je pod B

Vježba 069





Rješenje 070

Ponovimo

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c



3D a= sdot


2V r vπ= sdot sdot


0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D


=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot


24

3

38 3 a a cm


rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

4

h = b

r = ab

a


22 2

r b h aV b a

V r hπ

π

= =rArr = sdot sdot

= sdot sdot

h = a

r = b

b

a

Razlika obujama je





Rješenje 065






5


v s

rr

s

S

V

P




s s s

rrr r

sv

SSP

V


( ) ( ) ( ) 22 48 2 48 2 48

128 128 128

O r s O r s r s




( )metoda

supstitu

24 24 224 128 24 128

128 128cije

r s r ss s s s

r s r s


sdot = sdot =


1 24 1282

2 24 128 0 224 128 0 41 24 128

12 2

a b c

s ss s

b b a ca b c s

a

= = minus =



sdot

( ) ( )2

24 24 4 1 128 24 576 512 24 6412 12 122 1 2 2



24 8 32161 124 8 2 2 1 12 24 8 16 82 2

2 22 2

s s ss

ss s

+= = =plusmn


= =

6


bull 24

24 16 816

r sr r

s


=



16 16

8 8rr

s s

bull 24

24 8 168

r sr r

s


=






628 181 141 314A m B m C m D m

Rješenje 066


3

4

3V r π= sdot sdot


2 O r π= sdot sdot

r


4 4 3 33 33 3 3 33 3

3 3 4 4 44


π ππ π


sdot sdot sdotsdot

sdot


7

2 33 3 01332 2 181 33 4 4

4

O rV m

O O O mVr

π

π ππ π

π



sdot

Odgovor je pod B


628 181 141 314A dm B dm C dm D dm



21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rješenje 067


3

4

3V r π= sdot sdot


( )4 4 43 3 3 31 2 1 23 3 3

V r r V r ršk šk



( ) ( )4 4 4 43 3 3 3 3 31 2 1 23 3 3 3



( )4 43 3 3 3 3 3 3 3 31 2 1

33

4 2 1 23 3r r r r r r r r r



( ) ( )3 3 33 33


Odgovor je pod C

r

r2

r1

Vježba 067


21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rezultat C

8



30 1315 1197 1706A B C D

Rješenje 068

Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot



osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 33




9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


1100 100

p p

x x x

+ sdot = sdot +


3003 13



1 331 3


bull novi obujam

( )1 1 133 3 3


1 13 3 3 3 313 3 13 3 13 2 2 2 13 3



9

1197313 2197 11972 1 2 1 2 1 1 2 1 1100


1197 2 1 1V V VrArr = + sdot

Odgovor je pod C

Vježba 068






3

4

3V r π= sdot sdot


3V a=


4 34 41 3 3 3 333 33

2

31 2 4


V a obujam kocke

V Vπ

π ππ


=

=sdot

minus

sdot

33 3 33 3 3 333 3 3 4 4 4

4

a a ar r r r a

π π π π


sdot sdot sdot sdot


332 2 2 124 4

r a r aπ


Odgovor je pod B

Vježba 069





Rješenje 070

Ponovimo

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c



3D a= sdot


2V r vπ= sdot sdot


0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D


=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot


24

3

38 3 a a cm


rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

5


v s

rr

s

S

V

P




s s s

rrr r

sv

SSP

V


( ) ( ) ( ) 22 48 2 48 2 48

128 128 128

O r s O r s r s




( )metoda

supstitu

24 24 224 128 24 128

128 128cije

r s r ss s s s

r s r s


sdot = sdot =


1 24 1282

2 24 128 0 224 128 0 41 24 128

12 2

a b c

s ss s

b b a ca b c s

a

= = minus =



sdot

( ) ( )2

24 24 4 1 128 24 576 512 24 6412 12 122 1 2 2



24 8 32161 124 8 2 2 1 12 24 8 16 82 2

2 22 2

s s ss

ss s

+= = =plusmn


= =

6


bull 24

24 16 816

r sr r

s


=



16 16

8 8rr

s s

bull 24

24 8 168

r sr r

s


=






628 181 141 314A m B m C m D m

Rješenje 066


3

4

3V r π= sdot sdot


2 O r π= sdot sdot

r


4 4 3 33 33 3 3 33 3

3 3 4 4 44


π ππ π


sdot sdot sdotsdot

sdot


7

2 33 3 01332 2 181 33 4 4

4

O rV m

O O O mVr

π

π ππ π

π



sdot

Odgovor je pod B


628 181 141 314A dm B dm C dm D dm



21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rješenje 067


3

4

3V r π= sdot sdot


( )4 4 43 3 3 31 2 1 23 3 3

V r r V r ršk šk



( ) ( )4 4 4 43 3 3 3 3 31 2 1 23 3 3 3



( )4 43 3 3 3 3 3 3 3 31 2 1

33

4 2 1 23 3r r r r r r r r r



( ) ( )3 3 33 33


Odgovor je pod C

r

r2

r1

Vježba 067


21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rezultat C

8



30 1315 1197 1706A B C D

Rješenje 068

Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot



osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 33




9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


1100 100

p p

x x x

+ sdot = sdot +


3003 13



1 331 3


bull novi obujam

( )1 1 133 3 3


1 13 3 3 3 313 3 13 3 13 2 2 2 13 3



9

1197313 2197 11972 1 2 1 2 1 1 2 1 1100


1197 2 1 1V V VrArr = + sdot

Odgovor je pod C

Vježba 068






3

4

3V r π= sdot sdot


3V a=


4 34 41 3 3 3 333 33

2

31 2 4


V a obujam kocke

V Vπ

π ππ


=

=sdot

minus

sdot

33 3 33 3 3 333 3 3 4 4 4

4

a a ar r r r a

π π π π


sdot sdot sdot sdot


332 2 2 124 4

r a r aπ


Odgovor je pod B

Vježba 069





Rješenje 070

Ponovimo

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c



3D a= sdot


2V r vπ= sdot sdot


0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D


=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot


24

3

38 3 a a cm


rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

6


bull 24

24 16 816

r sr r

s


=



16 16

8 8rr

s s

bull 24

24 8 168

r sr r

s


=






628 181 141 314A m B m C m D m

Rješenje 066


3

4

3V r π= sdot sdot


2 O r π= sdot sdot

r


4 4 3 33 33 3 3 33 3

3 3 4 4 44


π ππ π


sdot sdot sdotsdot

sdot


7

2 33 3 01332 2 181 33 4 4

4

O rV m

O O O mVr

π

π ππ π

π



sdot

Odgovor je pod B


628 181 141 314A dm B dm C dm D dm



21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rješenje 067


3

4

3V r π= sdot sdot


( )4 4 43 3 3 31 2 1 23 3 3

V r r V r ršk šk



( ) ( )4 4 4 43 3 3 3 3 31 2 1 23 3 3 3



( )4 43 3 3 3 3 3 3 3 31 2 1

33

4 2 1 23 3r r r r r r r r r



( ) ( )3 3 33 33


Odgovor je pod C

r

r2

r1

Vježba 067


21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rezultat C

8



30 1315 1197 1706A B C D

Rješenje 068

Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot



osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 33




9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


1100 100

p p

x x x

+ sdot = sdot +


3003 13



1 331 3


bull novi obujam

( )1 1 133 3 3


1 13 3 3 3 313 3 13 3 13 2 2 2 13 3



9

1197313 2197 11972 1 2 1 2 1 1 2 1 1100


1197 2 1 1V V VrArr = + sdot

Odgovor je pod C

Vježba 068






3

4

3V r π= sdot sdot


3V a=


4 34 41 3 3 3 333 33

2

31 2 4


V a obujam kocke

V Vπ

π ππ


=

=sdot

minus

sdot

33 3 33 3 3 333 3 3 4 4 4

4

a a ar r r r a

π π π π


sdot sdot sdot sdot


332 2 2 124 4

r a r aπ


Odgovor je pod B

Vježba 069





Rješenje 070

Ponovimo

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c



3D a= sdot


2V r vπ= sdot sdot


0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D


=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot


24

3

38 3 a a cm


rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

7

2 33 3 01332 2 181 33 4 4

4

O rV m

O O O mVr

π

π ππ π

π



sdot

Odgovor je pod B


628 181 141 314A dm B dm C dm D dm



21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rješenje 067


3

4

3V r π= sdot sdot


( )4 4 43 3 3 31 2 1 23 3 3

V r r V r ršk šk



( ) ( )4 4 4 43 3 3 3 3 31 2 1 23 3 3 3



( )4 43 3 3 3 3 3 3 3 31 2 1

33

4 2 1 23 3r r r r r r r r r



( ) ( )3 3 33 33


Odgovor je pod C

r

r2

r1

Vježba 067


21123 21092 17073 17053A cm B cm C cm D cm

Rezultat C

8



30 1315 1197 1706A B C D

Rješenje 068

Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot



osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 33




9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


1100 100

p p

x x x

+ sdot = sdot +


3003 13



1 331 3


bull novi obujam

( )1 1 133 3 3


1 13 3 3 3 313 3 13 3 13 2 2 2 13 3



9

1197313 2197 11972 1 2 1 2 1 1 2 1 1100


1197 2 1 1V V VrArr = + sdot

Odgovor je pod C

Vježba 068






3

4

3V r π= sdot sdot


3V a=


4 34 41 3 3 3 333 33

2

31 2 4


V a obujam kocke

V Vπ

π ππ


=

=sdot

minus

sdot

33 3 33 3 3 333 3 3 4 4 4

4

a a ar r r r a

π π π π


sdot sdot sdot sdot


332 2 2 124 4

r a r aπ


Odgovor je pod B

Vježba 069





Rješenje 070

Ponovimo

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c



3D a= sdot


2V r vπ= sdot sdot


0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D


=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot


24

3

38 3 a a cm


rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

8



30 1315 1197 1706A B C D

Rješenje 068

Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot



osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 33




9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


1100 100

p p

x x x

+ sdot = sdot +


3003 13



1 331 3


bull novi obujam

( )1 1 133 3 3


1 13 3 3 3 313 3 13 3 13 2 2 2 13 3



9

1197313 2197 11972 1 2 1 2 1 1 2 1 1100


1197 2 1 1V V VrArr = + sdot

Odgovor je pod C

Vježba 068






3

4

3V r π= sdot sdot


3V a=


4 34 41 3 3 3 333 33

2

31 2 4


V a obujam kocke

V Vπ

π ππ


=

=sdot

minus

sdot

33 3 33 3 3 333 3 3 4 4 4

4

a a ar r r r a

π π π π


sdot sdot sdot sdot


332 2 2 124 4

r a r aπ


Odgovor je pod B

Vježba 069





Rješenje 070

Ponovimo

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c



3D a= sdot


2V r vπ= sdot sdot


0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D


=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot


24

3

38 3 a a cm


rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

9

1197313 2197 11972 1 2 1 2 1 1 2 1 1100


1197 2 1 1V V VrArr = + sdot

Odgovor je pod C

Vježba 068






3

4

3V r π= sdot sdot


3V a=


4 34 41 3 3 3 333 33

2

31 2 4


V a obujam kocke

V Vπ

π ππ


=

=sdot

minus

sdot

33 3 33 3 3 333 3 3 4 4 4

4

a a ar r r r a

π π π π


sdot sdot sdot sdot


332 2 2 124 4

r a r aπ


Odgovor je pod B

Vježba 069





Rješenje 070

Ponovimo

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c



3D a= sdot


2V r vπ= sdot sdot


0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D


=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot


24

3

38 3 a a cm


rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

10

( ) ( ) 2

b a bn n n

a a a b a b ac c



3D a= sdot


2V r vπ= sdot sdot


0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


metoda 1

komparacije

3 243 24 3 24

324 3

D aa a a

D


=sdot

( )

24 3 24 3242 3

racionalizacija 3

nazivnika 33 3

a a asdot sdot


24

3

38 3 a a cm


rrrr

rrrr

vvvv aaaa

aaaa

aaaa

Sa slike vidi se

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

11

1 1 88 3 3 4 3 8 3



( ) ( )4 3 8 3 2 22

4 3 8 3 4 3 8 32

r vV V

V r v

π ππ


= sdot sdot


Odgovor je pod A

Vježba 070







Ponovimo 3

1 1 1 10 1 0 1l dm dm cm cm dm= = =

3 3 3 31 1000 1 00 0 1

b a bdm cm cm dm a

c c

sdot= = sdot =


2V r vπ= sdot sdot


91 9

9 12 2

2

d cm

r cm cmr d

=

rArr = sdot == sdot


12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

12

9 2 15 9 81 22 15 152 42


V r v

π π

π


= sdot sdot


Odgovor je pod B

Vježba 071


1909 1954 4241 9543A L B L C L D L



Rješenje 072




v s

rr

s

S

V

P



2P r π= sdot


a a

a n b n bb n

= sdot = =

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

13

αααα


rrrrrrrr rrrr


12 22 2 2 20 P P r s r r s r sp

rrπ π π π


sdotsdotsdot rArr

1

1

22 2

2

rr s r s


sdotrArr


metoda

supstitucije

cos1 11 0

cos cos 60 1 2 2

2

r

s

r

s

α

α α α

=minus


=

Vježba 072




Rješenje 073




v s

rr

s

S

V

P

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

14




3

2r v

Vπsdot sdot

=


( ) ( ) ( )3

2 2

3 3 3


rs r

π π

ππ π sdot


sdot

Vježba 073





2 3 4 5A B C D

Rješenje 074

Ponovimo

3 3

a a=


3

4

3V r π= sdot sdot


4 4 4 43 3 3 3324 324 3241 2 1 2 1 23 3

3 3

3



sdotsdot rArr


33 3 3327 27 27 3 32 2 2 2


Odgovor je pod B

Vježba 074


4 5 6 7A B C D



Rješenje 075

Ponovimo


15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

15


9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot




3

4

3V r π= sdot sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


2V r vπ= sdot sdot


80 4 480

1

2 2 2 21 1 1 1100 500 5



3 3 34 4 1 3

3 3 2 2 2 23 2 3 8

43

3 28




4 1 4 12 2 3

5 2 5

12 2

r v r v r v v r

r

π ππ


sdot sdot rArr

4 110 8 5 10 8 5 2 5

510


25

2 5 2


Vježba 075


Rezultat 20 dm

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

16



33 3 3

3 8 3

lA l B C l D l

ππ π π


sdot

Rješenje 076

Ponovimo




1 2



( ) 23 10 0

sin 60 cos 6 02

2 1

n na a n

a a nnb b

= = = = =

1


b d b d


sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

l

ααααr

v

S

V

A

Sa slike vidi se 0


17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

17


bull 3 3 3 30

sin s in 602 2 2 2

SV v v v vv l


bull 1 1 10

cos cos 60 2 2 2 2

SA r r r r l

rAV l l l l



2

3

2

2 23 31 1 12

3 3 2 2 3 4 2

l lV r v V l

l

v l

V

r


=

= sdot

sdot sdot rArr

( ) ( )

3 3 31 1 1

3 323 8 8 83 3

32l l l


3 31

8 13 8 3

l lV V


sdot

Odgovor je pod B

Vježba 076


33 3 3

8

lA l B C l D l

ππ π π

sdotsdot sdot sdot




Ponovimo

an n


d

sdot sdot= sdot = =

sdot sdot




1 2



0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

18

Neka je 1 2





1 2

1 2

rr

vv

=

=

1inačica

Tada je 2 2 2

1 1 1 121 1 1 1 1 13 3 2 2 3 4 2 3 8


1 1 121 18 3 8


Odgovor je pod D

2inačica


11 23

11

21 2 2 2

1 1 1 1 2 231 1 1 1 1 12 21 2 2

3 3 2



rr

vv

π

π π



22

1 1 18 81 4 2 1 1 1 1

2

1

1

22 2 8 8 8

1

rr vr vV V V V V

V VV V V V Vr

v

V

v r vv r

sdot sdotsdot


sdotsdot sdot

Odgovor je pod D

Vježba 077





Ponovimo 3 33 3



19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

19

3

4

3V r π= sdot sdot



3V a=


4 4 33 3 3 3 3

3 3

3

44

aV V r a r a r

kugla kockaπ π

ππ


sdot sdotsdot rArr

3 33 3 333 3 06

3 2

4 4 4

a ar r r a r a

π π π


sdot sdot sdot


2 062 124 2

r ad a a

d r


= sdot

Odgovor je pod B

Vježba 078




Rješenje 079

Ponovimo


20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

20

r

A

B

S

C

v v v

d

r


A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

Sa slike vidi se


20 1 1AB d AB A B x= = = =

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

21

A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x



2 2



A

B

S

C

A1

B1

r

r

v v v

d

x

r

r

x

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

22

A1 B

C

rry

PP

yr r

C

BA1


110 12 6 1 1 1 12






Vježba 079




Rješenje 080

Ponovimo

3

303

tg =


2V r vπ= sdot sdot


23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

23

a

bc

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | | | a c b d α β= | | | | 0

180a d b c α β+ =


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


αααα

r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

Sa slike vidi se

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

24



r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα


3 3 330 2 3

6 3 6 6 3 6 3 6




r

r

S

P h

h

αααα

αααα

r

r

r

r

V

D

C

B

A

αααα

( )3 1 2

3 2 31 2

2 22 3

r cmV cm cm



= sdot

1 12 2 39 2 3 9 3 9 3

22


25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

25

Vježba 080


Rezultat 3

9 3 cmπsdot sdot

1 Zadatak 061 (Dora, gimnazija) U valjkastoj posudi polumjera osnovke 12 cm i visine 72 cm nalazi se...

Documents

Transcript of 1 Zadatak 061 (Dora, gimnazija) U valjkastoj posudi polumjera osnovke 12 cm i visine 72 cm nalazi se...