1 VECTOR DI BIDANG R DAN RUANG R - … · Contoh : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan...
Transcript of 1 VECTOR DI BIDANG R DAN RUANG R - … · Contoh : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan...
VECTOR DI BIDANG R2
DAN RUANG R3
1
Nurdinintya Athari(NDT)
VEKTOR DI BIDANG (R2) DAN DI RUANG (R3)Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :• Proses Grafika Komputer• Kuantisasi pada proses kompresi• Least Square pada Optimasi• Klasifikasi sinyal
Notasi dan Operasi
Vektor besaran yang mempunyai arah
Notasi vektor 321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccckcjcicccc
c
Panjang vektor adalah
3
2
1
ccc
c2
32
22
1 cccc
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
Penjumlahan Vektor
u
v vu
u vu v
Misalkan dan adalah vektor-vektor yang berada di ruang yang sama, maka vektordidefinisikan :
u
u
u2
u2
Perkalian vektor dengan skalar
u uk
u
uu
Perkalian vektor dengan skalar k, didefinisikansebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektordengan arah
Jika k > 0 searah denganJika k < 0 berlawanan arah dengan
321 ,, aaaa 321 ,, bbbb
332211 ,,.1 babababa
332211 ,,.2 babababa
321 ,,.3 kakakaak
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas
dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka :
Misalkan
Perkalian antara dua vektor• Hasil kali titik (dot product)• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3 yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)
Dot Product
Misalkan adalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana: panjang
: panjang
: sudut antara keduanya
cosbaba
,a b
a
b
a
b
Contoh :Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan Jawab :
karena tan = 1 atau = 450
= 4
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2
cosbaba
2182
Ingat Aturan Cosinus
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac
b
a
b
a
b
a b
2 2 22 2 cosa b a b a b b a
b
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
cosba
22221 abba
cos1. baba
222
21
2....2 naaaa
222
21
2....3 nbbbb
2222
211
2....4 nn abababab
nnnn
nn
abababaaabbb
2...22......
11
222
21
222
21
nnbabababa ...2211
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Contoh:Tentukan hasil kali titik dari vektor dan
= 2 (2) + 0 (2)= 4
Beberapa sifat hasil kali titik :1.2.3.
2211 bababa
nnbabababa ...2211
abba
cabacba Rkbkabakbak dimana,
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2
DOT PRODUCT
vuvu .cos
cos. vuvu Persamaan dapat dinyatakan sebagai :
Persamaan hasil kali titik (dot product) dapatdigunakan untuk menghitung sudut () diantaradua buah vektor
sudut lancip jika dan hanya jika u.v > 0 sudut tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 = /2 jika dan hanya jika u.v = 0
OPERASI VEKTOR
2222
11, ababABBAd
2332
222
11. abababABBAd
22
21|||| uuu Misal u = (u1,u2), maka
Misal u = (u1,u2,u3), maka 23
22
21|||| uuuu
Misal A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3) adalah dua titik di R3. Maka, jarak antara titik A dan B adalah
Jarak antara dua buah titik (Vektor)Misal A(a1, a2) dan B(b1, b2) adalah dua titik di R2. Maka, jarak antara titik A dan B adalah
OPERASI VEKTOR
2 2 2. 2 1 3 1 4 1 14d A B
Contoh 1Misalkan u = (1,2,2), ||u||= ?
39221|||| 222 u
Jawab :
Contoh 2Hitunglah jarak antara titik A(1, 1, 1) dan B(2, 3, 4)
Jawab :
1 aw proy u
1 2
1 1
2
, ( u pada )a
a
u w wkarena w proj u w proyeksi amaka w u proj u
u
a
2w
1 2
2 1
22
2
22
1
1 2
.....................( )...........( )
..........................( 0)
,a
a
u w wu ka w w kau a ka w a a
u a k a w au ak w aa
Karena w proj u kau amaka w proj u aa
2
2
2
......( )
............( 0)
cos .......( cos )
a
a
a
a
u aproj u aa
u aproj u a ku k ua
u aproj u a
a
proj u u u a u a
PROYEKSI ORTOGONAL
24
3w
431
v
Contoh
Carilah proyeksi ortogonal vektor
relatif pada vektor
2
2 2 2
Proy
2 14 3
13 4
31 3 ( 4) 4
12 ( 12) ( 12) 3
264
1 126 3 3
264 4
vw vw vv
Jawab :
LATIHAN1. Misalkan a = (k,k,1) dan b = (k,3,-4). Carilah nilai k
a. Jika sudut antara a dan b runcing
b. Jika sudut antara a dan b tumpul
c. Jika sudut antara a dan b ortogonal
2. Carilah proyeksi ortogonal vektor a relatif pada vektor b
. (6 , 2 ), (3, 9 )
. (5, 6 ), (2, 1)
. (1, 0, 0 ), (4, 3, 8). (3, 2, 6 ), (1, 2, 7 )
a a bb a bc a bd a b
CROSS PRODUCTDefinisi
Cross product (hasil kali silang) merupakan hasil kali antara duavektor di ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurusterhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
Misalkan a =(a1,a2,a3) dan b = (b1,b2,b3) adalah vektor di R3, makacross product a x b adalah vektor yang didefinisikan
1 2 3
1 2 3
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
, ,
i j ka b a a a
b b b
a a a a a ai j k
b b b b b b
a a a a a ab b b b b b
CROSS PRODUCT
(1) ( )(2) ( ) ( ) ( )(3) ( ) ( ) ( )
( ) ( )(5) 0 0 0(6) 0
(4)
a b c a b a ca b c a c b c
k a b k
a b b a
a aa a
a b a kb
Sifat dari Cross Product Jika a, b, and c adalah vektor di ruang R3 dan k skalar, maka
Hubungan antara Cross Product dan Dot Product( a x b ortogonal terhadap a)
( a x b ortogonal terhadap b)
(Identitas Lagrange)2 2 2 2
(1) ( ) 0(2) ( ) 0
(3) ( )
a a bb a b
a b a b a b
CROSS PRODUCT
, sinMaka a xb a b
22 22a b a b a b
222 cosa b a b
2 22 2 2cosa b a b
22 21 cosa b
22 2sina b
Contoh :Carilahdimana
Jawab :
vuw
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
1 2 23 0 1
ˆˆ ˆ2.1 0( 2) 3( 2) 1.1 1.0 3.2ˆˆ ˆ2 7 6
i j k i j kw u u u
v v v
i j k
i j k
1,2, 2 , (3, 0, 1)u v
CROSS PRODUCTInterpretasi Geometri
Apakah ini?
b
a
||a|| sin
||b||
Luas Jajargenjang/Parallelogram
Luas Segitiga
sina b a b
sina b a b
1 1sin2 2
a b a b
Contoh:Misalkan koordinat titik A, B, dan C sbb :
A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)
Gunakan cross product untuk mencari luas segitigaABC dan luas parallelogram ABCD!
Jawab :• A sebagai acuan
• Luas segitiga ABC
• Luas parallelogram
B – A 4,1, 0 – 1, – 1, – 2 (3, 2 , 2 )
– A 2, 3, 3 – 1, – 1, – 2 1, 4 , 5
A B
A C C
A
C
Bˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ3 2 2 2 13 101 4 5
i j kAB AC i j k
1 14 169 100 2732 2
4 169 100 273
• B sebagai acuan
1, 1, 2 – 4,1,0 3, 2, 2
2,3,3 – 4,1,0 2,2,3
BA a b
BC c b
ˆˆ ˆˆˆ ˆ3 2 2 2 13 10
2 2 3
i j kBA BC i k j
1 1 14 169 100 2732 2 2
BA xBC
Luas segitiga ABC
Luas parallelogram 4 169 100 273
B
C
A
LATIHAN1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut :
a. dan b. dan
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:
a. dan b. dan
3. DiketahuiCari :
21
u
8
6v
73
1u
22
8v
12
a
23
b
31
2a
221
b
(3,4), (5, 1), (7,1)u v w . (7 ) . ( )
. ( ) . ( )
a u v w b u v w
c u v w d u v w
4. Tentukan dua buah vektor satuan di bidang yang
tegak lurus terhadap vektor
5. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
dan
6. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2,0,–3), Q (1,4,5), dan R (7,2,9) dan tentukan luasparalellogram!
2
3u
137
u
402
v