1 Unidad 2: La derivada Pendiente y razones La derivada.
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1
Unidad 2: La derivada
Pendiente y razones
La derivada
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2
¿Cómo determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y=x2 en x=1 ó x=2 ó en cualquier otro punto?
¡Reflexión!
Empecemos por la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función y = f(x) en x=xo.
x
y
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3
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
h0
h
hx
)( 0 hxf
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4
x
y
0x
)( 0xf)( 0xf
x0
Tangente!!!
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5
En el límite, cuando h 0, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0, y podemos decir que:
Pendiente de la recta secante
Note que: 0 0
SL
f x h f xm
h
0 0
0 0lim lim
T SL Lh h
f x h f xm m
h
Pendiente de la recta tangente
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Razón de cambio
Recuerde que el cociente
se llama razón de cambio promedio de y respecto a x.
Del gráfico ¿cuál es la razón de cambio promedio de y al empleari) De x = 1 a x = 4 operarios?ii) De 1 a 3?iii) De 1 a 2?
01
01 )()(
xx
xfxf
x
y
Número de docenas de pantalones producidos diariamente.
Número de operarios.
5.5
1.5
*
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x0 h x1
f(x1)
f(x0) *
7
Razón de cambio instantánea
se llama razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = x0.
h
xfhxf
x
y )()( 00
Note que si x1 = x0 + h
hxfhxf
xy
hx
)()(limlim 00
00
entonces
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La derivada de la función f respecto de la variable x, en x0 se denota por f ´(x0) y se define por:
La Derivada en un valor xo
Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.
0 00
0limh
f x h f xf x
h
)()(́ oo xfdx
dxf Notación:
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9
La derivada de una función f en x0 es:
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0
La razón de cambio instantánea de la función f en x0
0 0
0limh
f x h f x
h
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La derivada de la función f respecto de x se denota por f ´ se define por:
f ´(x) =
La f en cualquier x
Se dice que f (x) es derivable en x si existe f ´(x)
h
xfhxflímh
)()(0
ydxd
yxfdxd
xf ´)()(́Notación
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1. Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x) = x b) f (x) = x2
c) f (x) = x -1
Ejemplo
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones en x = 2:
a) f (x) = x2 b) f (x) = x -1
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Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)),
entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no
vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P.
Derivabilidad y continuidad
Esto indica que una función f es continua en cualquier punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde pueda dibujarse una recta tangente.
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Es importante saber que: una función continua no
necesariamente es derivable en todos los puntos.
1/3La gráfica de la curva
presenta una línea tangente vertical
en 0
y x
x
2/3La gráfica de la curva
presenta una cúspide en 0
y x
x
La gráfica de la curva
presenta un punto ánguloso
cuando 0
y x
x
Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en x=0, pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0
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x
y
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Para la función f(x) = x2, ¿alrededor de qué punto (1; 1) o (2; 4), la gráfica cambia con mayor rapidez?
x
y
x
y
Ejemplo
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EjemploDado el gráfico de la función f.
Ordene de menor a mayor los siguientes valores: f ´(1), f ´(2), f ´(4) y f ´(5,8)
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Fórmulas de derivación
1. Si f(x) = c, entonces f ´(x) = 0
2. Si f(x) = mx + b, entonces f ´(x) = m
3. Si f (x) = xr, entonces f ´(x) = rxr-1
4. Si f(x) = ex, entonces f ´(x) = ex
5. Si f(x) = lnx, entonces f ´(x) = 1/x
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Reglas de DerivaciónSi f y g son funciones diferenciables y c es una constate, entonces:
1.
2.
( ) ( )d
c f x c f xdx
)´()´()()( xgxfxgxfdxd
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3.
4.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
f x g x f x g x g x f xdx
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d f x f x g x g x f x
dx g x g x