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Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.
Variáveis aleatóriasVariáveis aleatórias
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Variável aleatóriaVariável aleatória
“Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral.
X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;
= {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}
X:
0 1 2x
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Exemplos de variáveis Exemplos de variáveis aleatóriasaleatórias
Vida útil (em horas) de um televisor;
Número de peças com defeito em um lote produzido;
Número de veículos que passam num pedágio num determinado dia;
Numero de Caras no lançamento de 3 moedas
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Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.
Variáveis aleatóriasVariáveis aleatórias
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Tipos de variáveis Tipos de variáveis aleatóriasaleatórias
1. Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado.
Ex: número de mulheres em uma sala de aula;
2. Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado.
Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;
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Variáveis aleatóriasVariáveis aleatóriasvariável aleatória
discreta
os possíveis resultados estão contidos em um
conjunto finito ou enumerável
contínua
os possíveis resultados abrangem todo um intervalo
de números reais
0 1 2 3 4 ... 0número de defeitos em ... tempo de resposta de ...
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Distribuição Binomial: modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas
Modelos de Distribuição de Modelos de Distribuição de ProbabilidadeProbabilidade
Distribuição Normal: modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas
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Experimento Experimento binomialbinomial
consiste de n ensaios;
cada ensaio tem somente dois resultados: “sucesso” /
“fracasso”;
os ensaios são independentes, com P(sucesso) = p (0
< p < 1 constante ao longo dos ensaios);
====> X = número de sucesso nos n ensaios
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ExemplosExemplos
Número de caras em 3 lançamentos de uma moeda;
Número de itens defeituosos numa amostra de 15 peças de uma linha de produção (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande).
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Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em
experimentos binomiaisexperimentos binomiaisEXEMPLO 1
Seja:X = número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com P(cara) = p;
X = {0, 1, 2, 3}
P(X=1)=?
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Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em
experimentos binomiaisexperimentos binomiaisSeja:
Cara = C Coroa = K
X = 0 se ocorrer KKK;X = 1 se ocorrer CKK, KCK ou KKC;X = 2 se ocorrer CCK, CKC ou KCC;X = 3 se ocorrer CCC;
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Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em
experimentos binomiaisexperimentos binomiais
P(X = 1) = 3 p (1 - p)2
P(X = 1) =P(CKK)+P(KCK)+P(KKC)
Como:
P(CKK)=P(KCK)=P(KKC)=p(1-p)2
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Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em
experimentos binomiaisexperimentos binomiaisAnalogamente pode-se obter P(X=0), P(X=2), P(X=3)
P(X=0)= (1-p)3
P(X=1)= 3p(1-p)2
P(X=2)= 3p(1-p)2
P(X=3)= 3p3
P(X=0)= 1 p0(1-p)3
P(X=1)= 3 p1(1-p)2
P(X=2)= 3 p2(1-p)1
P(X=3)= 1 p3(1-p)0
Número de maneiras distintas de se obter “x” caras em 3 lançamentos de moedas
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De uma maneira geral:
)!(!
!
xnx
n
x
n
No nosso caso em particular n = 3:
)!1(!
!33
xxx
Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em
experimentos binomiaisexperimentos binomiais
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15
xnx ppx
xXP
1
3)(
Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em
experimentos binomiaisexperimentos binomiais
Considere p=0,5 e use a formula acima para calcular P(X=1)
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O modelo binomialO modelo binomial
xnx ppx
nxXP
1)(
Para um “n” qualquer
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1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?(a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5
2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?(a) 3.265 (b) 3.174 (c) 3.285 (d) 3.327
3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-americanas entre 1990 e 1991?(a) 2.320 (b) 2.350 (c) 2.360 (d) 2.240
4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?(a) 2.946 (b) 8.972 (c) 9.943 (d) 7.341
Tente adivinhar as Tente adivinhar as respostasrespostas
e = 2.718281828459045
5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?(a) 60.000 (b) 80.000 (c) 75.000 (d) 83.000
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Resultados do testeResultados do teste
Conte o número de questões a que você respondeu corretamente. Chamemos esse número de x.
Que tipo de experimento acabamos de realizar?
Quais são os valores de n, p e q?
n=5, p=0,25, q= 0,75
Quais são os valores possíveis de x? X={1,2,3,4,5}
As respostas corretas são:1. d 2. a 3. b 4. c 5. b
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Probabilidades Probabilidades binomiaisbinomiais
Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste.
P(X=3) = 0,088 P(X=4) = 0,015 P(X=5) = 0,001
237,075,025,00
5)0( 50
XP
396,075,025,01
5)1( 41
XP
264,075,025,02
5)2( 32
XP
Verifique que a soma das
probabilidades e igual a 1
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Probabilidades Probabilidades binomiaisbinomiais
Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste.
P(3) = 0,088 P(4) = 0,015 P(5) = 0,001
P(X=0)=0,237
P(X=1)= 0,396
P(X=2)= 0,264
50
5
4
5
1
0
5)0(
XP 237,0
5
4
5
1
)!05(!0
!5)0(
50
XP
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Probabilidades Probabilidades binomiaisbinomiais
Esperança e variância!!!!
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MMédia ou Esperança édia ou Esperança MatemáticaMatemática
Média
Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial:
E(X) = np
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VarianciaVariancia
Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial:
var(X) = npq
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ExerciciosExercicios
Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se onze pacientes realizarem a cirurgia, qual é a probabilidade que
a) todos sobrevivam;b) ninguém sobreviva;c) nove ou mais sobrevivam;d) no mínimo oito sobrevivam?
Quais são as pressupostos que você assumiu para poder usar distribuição binomial?