1. Ukol - Reseni 2011
-
Upload
tomas-burian -
Category
Documents
-
view
263 -
download
0
Transcript of 1. Ukol - Reseni 2011
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
1
Skupina A
Příklad 1
a) ryze kvazikonvexní, neboť pro každou konvexní kombinaci bodů x1, x2 . k≠0,1 x1≠x2 (
) platí:
ryze kvazikonkávní, neboť pro každou konvexní kombinaci bodů x1, x2 . k≠0,1 x1≠x2
platí:
b) ryze kvazikonkávní,
neboť pro každou konvexní kombinaci bodů x1, x2 . k≠0,1 x1≠x2
platí:
ryze konkávní, neboť pro každá x1 x2 Є I, x1≠x2 a pro každou λ Є(0,1):
f(λ x1 + (1- λ)x2) > λf(x1) + (1- λ)f(x2)
c) ryze kvazikonvexní, neboť pro každou konvexní kombinaci bodů x1, x2 . k≠0,1 x1≠x2 (
) platí:
konkávní, neboť pro každá x1 x2 Є I, a pro každou λ Є<0,1>:
f(λ x1 + (1- λ)x2) ≥ λf(x1) + (1- λ)f(x2)
konvexní, neboť pro každá x1 x2 Є I, a pro každou λ Є<0,1>:
f(λ x1 + (1- λ)x2) ≤ λf(x1) + (1- λ)f(x2)
Příklad 2
a) kvazikonkávní
b) (ryze) kvazikonkávní i (ryze) kvazikonvexní
c) (ryze) kvazikonkávní
Příklad 3
Množina je neprázdná, není uzavřená, je omezená a je konvexní
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
2
Příklad 4
Původní rozpočtové omezení: 100 : 25
a) 125 : 25 b) 150 : 30 c) 120 : 30 -> 150 : 30
Příklad 5
x1 - Jídlo ve firemní kantýně, x2 - Jídlo mimo kantýnu (měřítka os jsou různá)
Rozpočtová čára / sklon subvencované nesubvencované
B1 -3 -6
B2 -2 -4
B3 -3 -4
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
3
Příklad 6
a)
Pro 5 x1 < 2 x2:
MRS12 = 0
MRS21 = +∞
------------------------
Pro 5 x1 > 2 x2:
MRS21 = 0
MRS12 = +∞
------------------------
b)
MRS12 = 5/3
MRS21 =3/5
c)
MRS12 = 4 x1/ x2
MRS21 = x2/ 4x1
Skupina B
Příklad 1
(a) Tato křivka je konvexní a zároveň
ryze kvazikonvexní ( ( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b%
( ) min[ ( ), ( )]f x f a f b% f
(b) Tato křivka je ryze kvazikonvexní
(c) Tato křivka je ryze konkávní
( ) min[ ( ), ( )]f x f a f b% f
( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b% p
Příklad 2
(a) Kvazikonvexní
(b) Kvazikonvexní
(c) Kvazikonvexní, kvazikonkávní
Příklad 3
Množina je neprázdná, není uzavřená, je omezená a je konv
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1
a zároveň konkávní. Splňuje ( )f x f≤ %% a zároveň
( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b% p ; (0,1)k ∈ ; a b≠ ) a ryze kvazikonkávní
( ) min[ ( ), ( )]f x f a f b ; (0,1)k ∈ ; a b≠ )
ryze kvazikonvexní ( ( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b% p ; (0,1)k ∈ ;
ryze konkávní ( ( )f x f%% f ; (0,1)k ∈ ). Dále je ryze kvazikonkávní
( ) min[ ( ), ( )]f x f a f b ; (0,1)k ∈ ; a b≠ ) a ryze kvazikonvexní (
( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b ; (0,1)k ∈ ; a b≠ )
Kvazikonvexní, kvazikonkávní
Množina je neprázdná, není uzavřená, je omezená a je konvexní
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
4
a zároveň ( )f x f≥ %% . Dále je
ryze kvazikonkávní (
(0,1) a b≠ )
ryze kvazikonkávní(
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
5
Příklad 4
Příklad 5
Příklad 6
a) { }1 2 1 2( , ) max 4 ,u x x x x=
Pro 4 x1 > x2:
MRS12 = 0
MRS21 = +∞
------------------------
Pro 4 x1 < x2:
MRS21 = 0
MRS12 = +∞
b)
1 2
3 31 2 1 2( , )u x x x x=
MRS21 = 1/2 * x2 / x1 ; MRS12 = 2 * x
c) 1 2 1 2( , ) 5u x x x x= +
MRS21 = 5 ; MRS12 = 1/5
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1
= 2 * x1 / x2
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
6
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
7
Skupina C
Příklad 1
a) Konvexní na intervalu ��, protože ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 ����í ��� + 1 − �� ≤
��� + 1 − ���
Ryze kvazikonvexní na intervalu ��, protože ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 ����í ��� +
1 − �� < ������� , ��� �
b) Konkávní na intervalu �� - ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 : ��� + 1 − �� ≥ ��� +
1 − ���
Konvexní na intervalu �� - ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 : ��� + 1 − �� ≤ ��� +
1 − ���
Kvazikonkávní - ��� + 1 − �� ≥ ������� , ��� �
Kvazikonvexní - ��� + 1 − �� ≤ ������� , ��� �
c) Ryze konvexní na intervalu �� - ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 : ��� + 1 − �� < ��� +
1 − ���
Ryze kvazikonvexní - ��� + 1 − �� < ������� , ��� �
Ryze kvazikonkávní - ��� + 1 − �� > ������� , ��� �
Příklad 2
a) Kvazikonvexní, kvazikonkávní
b) Ryze kvazikonvexní
c) Kvazikonkávní
Příklad 3
Řešením je vyšrafovaná modrá část včetně krajních bodů. Je neprázdná, uzavřená, omezená a není
ryze konvexní
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
8
Příklad 4
Příklad 5
V závislosti na pochopení zadání dvě alternativy řešení.
VARIANTA 1
Za předpokladu, že by v základní variantě dodávky plynu byly jednotkové ceny různé pro KAŽDOU
spotřebovanou kWh v závislosti na odebraném množství, dostali bychom nespojité rozpočtové
omezení.
a) (hnědá, fialová a modrá – pokračuje až do x1 = 12 000) a c) (zelená)
b) Rozpočtové omezení nezaručuje jednoznačné řešení, také nezaručuje globálnost maxima d) Spotřebitel by volil nové rozpočtové omezení (zelené), dokud by jeho spotřeba plynu byla
pod 2000, od vyšší spotřeby plynu by volil původní rozpočtové omeze
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
9
VARIANTA 2
Za předpokladu, že by v základní variantě dodávky plynu byly jednotkové ceny různé pro KAŽDOU
DALŠÍ spotřebovanou kWh (tedy snížená cena jednotek 1000 – 2000 kWh neovlivní cenu prvních
1000 kWh), rozpočtové omezení je spojité a zalomené.
a) zelené rozpočtové omezení (B1) a c) modré rozpočtové omezení (B2)
b) Nezaručuje jednoznačné řešení pro spojité, monotonní a ryze konvexní preference a
nezaručuje, že lokální maximum je též i globálním maximem.
d) Spotřebitel by se rozhodl pro původní rozpočtové omezení, pokud by spotřeboval více než
6000 kWh. Pokud spotřebuje méně než 6000 kWh, vybere si nové rozpočtové omezení
Příklad 6
a)
"#$�� =
&���, �� &��
&���, �� &��
=2��
��
, "#$�� =
&���, �� &��
&���, �� &��
=��
2��
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
10
b)
"#$�� =��
��
, "#$�� =��
��
c)
Pro X1>3X2 : "#$�� = 0; "#$�� = +∞ Pro X1<3X2 : "#$�� = +∞; "#$�� = 0
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
11
Skupina D
Příklad 1
a) Funkce není ani konvexní ani konkávní. Funkce je kvazikonvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M a pro všechna k ∈ < 0,1 > platí:
f(k x1 + (1-k) x
2) ≤ max {f(x
1), f(x
2)}
b) Funkce je ryze konvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ (0, 1) platí:
f (k x1 + (1-k) x
2) < k f(x
1) + (1-k) f(x
2)
Funkce je ryze kvazikonvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ 0,1 platí: f(k x
1 + (1-k) x
2) < max {f(x
1), f(x
2)}
Funkce je ryze kvazikonkávní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ 0,1 platí: f(k x
1 + (1-k) x
2) > min {f(x
1), f(x
2)}
c) Funkce je konvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M a pro všechna k ∈ < 0,1 > platí: f (k x
1 + (1-k) x
2) ≤ k f(x
1) + (1-k) f(x
2)
Funkce je konkávní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M a pro všechna k ∈ < 0,1 > platí: f (k x
1 + (1-k) x
2) ≥ k f(x
1) + (1-k) f(x
2)
Funkce je ryze kvazikonvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ 0,1 platí:
f(k x1 + (1-k) x
2) < max {f(x
1), f(x
2)}
Funkce je ryze kvazikonkávní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ 0,1 platí:
f(k x1 + (1-k) x
2) > min {f(x
1), f(x
2)}
Příklad 2
a) Kvazikonvexní, kvazikonkávní
b) (ryze) kvazikonvexní
c) (ryze) kvazikonvexní
Příklad 3
řípustná množina je neprázdná, uzavřená, omezená a není ryze konvexní
Příklad 4
a)
c)
Příklad 5
a) a c)
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1
b)
d)
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
12
LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení
13
b) Přípustná množina není konvexní, pro dané preference lze najít indiferenční křivku, která se
dotýká rozpočtové linie ve dvou bodech, tzn. řešení nemusí být jednoznačné.
d) Pokud bude spotřebitel spotřebovávat méně než 4000 jednotek statku x1 , vybere si
rozpočtové omezení B2 a pokud bude spotřebovávat více než 4000 jednotek, vybere si
rozpočtové omezení B1.
Příklad 6
a)
MRS21=
)*
)+,)*
)+-
=.
�/-=
�
/-
MRS12=
)*
)+-)*
)+,
=�/-
.=
/-
�
b)
MRS21=
)*
)+,)*
)+-
=/-
/,
MRS12=
)*
)+-)*
)+,
=/,
/-
c)
Pro 7 x1 < 2 x2:
MRS12 = 0
MRS21 = +∞
------------------------
Pro 7 x1 > 2 x2:
MRS21 = 0
MRS12 = +∞