1. teoría moderna de carteras y downside risk measures

Fernando Ruiz García, CAIA [email protected]

Teoría Moderna de carteras y downside risk measures

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1.  Conceptos básicos.

2.  Teoría moderna de carteras.

3.  Modelo de mercado.

4. Capital Asset Pricing Model.

5.  Evidencia Empírica.

6. Safety First – Downside Risk Measures.

Índice

Conceptos básicos


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Ø Desde la aparición de los primeros trabajos de Markowitz en los años cincuenta, la teoría de carteras se ha basado en el supuesto de que a los inversores sólo les preocupa el rendimiento esperado (media) y la incertidumbre asociada a este rendimiento (varianza), a la hora de discriminar entre distintas inversiones

Ø Bajo este modelo, la incertidumbre se modela de una forma ”bastante restringida” al asociar el riesgo de una inversión con la variabilidad de rendimiento de la misma respecto a su valor medio o esperado.

Ø Implícitamente, se está asumiendo cierta normalidad o por lo menos cierta simetría en la distribución de rendimientos.

Ø En el contexto de la teoría moderna de carteras, también existe un modelo de valoración fundamental que establece cuál debería ser el precio de un activo en función de su nivel de riesgo.

Ø Este modelo de valoración se basa en el equilibrio del mercado, lo que está estrechamente ligado con la conducta racional de los inversores que buscan la diversificación, que no es más que la minimización del riesgo.

Ø Aunque no alcanzaron la popularidad de Markowitz, existen en la literatura financiera otros modelos menos restrictivos y que en la actualidad han cobrado bastante relevancia, gracias a la aparición de activos financieros cuyas distribuciones de rentabilidad cada vez se parecen menos a una normal.

Consideraciones iniciales

Conceptos básicos

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Rentabilidad de un activo financiero

1PDP

PPDPR

1ti,

ti,ti,

1ti,

1ti,ti,ti,ti, −

+=

−+=

−−

−

La rentabilidad simple de cualquier activo i en un periodo t (Ri,t) se define como:

Ri,t = Rentabilidad simple del valor i en el periodo t (desde t-1) Di,t = Dividendos, derechos y demás rentas percibidas entre (t-1) y t. Pi,t = Precio del activo i en t —precio final— Pi, t-1 = Precio del activo i en (t-1) —precio inicial—

Ø  La rentabilidad esperada de un activo financiero se puede definir de la siguiente manera:

Donde S es el número total de posibles escenarios de la naturaleza, πs es la probabilidad de ocurrencia del estado s, y Ris es el rendimiento del activo i en el estado s.

[ ] ∑=

=S

1ssi,si RπRE

Conceptos básicos

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Supongamos que compramos una acción de la que esperamos obtener los siguientes rendimientos en conjunto (incluyendo tanto los dividendos como los cambios de precios) bajo 3 posibles escenarios:

Si, en promedio, un tercio de los años anteriores han sido normales, otro tercio se caracterizó por un rápido crecimiento, y el último tercio por una recesión, entonces sería razonable tomar la frecuencias relativas del pasado y considerarlas las mejores predicciones (probabilidades) de realización de las condiciones en el futuro negocio. El rendimiento esperado del título será:

Rendimiento Esperado = 1/3 (0,30) + 1/3 (0,10) + 1/3 (-0,10) = 0,10

Sin embargo, los rendimientos anuales serán bastantes variables, pasando desde un 30% de ganancias hasta un 10% de pérdidas.

Condiciones Económicas Probabilidad de Ocurrencia Rendimiento

Condiciones Normales 1 de cada 3 10%

Rápido Crecimiento 1 de cada 3 30%

Recesión 1 de cada 3 -10%

Conceptos básicos

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Ø La rentabilidad de un título se conoce de forma cierta a posteriori (ex post): en el instante t conocemos la rentabilidad obtenida en el intervalo (t-1, t).

Ø Sin embargo, a priori (ex ante), la rentabilidad de un título es un variable desconocida, una variable aleatoria cuyo valor futuro es incierto y que depende de las expectativas del inversor.

Ø Para representar la distribución de rendimientos de un activo financiero es habitual escoger la distribución normal. Esto tiene sus ventajas, pues sólo necesitamos conocer la rentabilidad esperada y su nivel de riesgo asociado para conocer cómo se distribuyen los rendimientos de un activo financiero.

Ø También es muy común estimar el rendimiento esperado de un activo o cartera utilizando una serie de datos pasada para calcular el rendimiento medio que se ha producido durante el período disponible y emplearlo como estimación del rendimiento medio o esperado para el futuro.

Ø Aunque la media muestral, que es un estimador insesgado de la rentabilidad esperada, como todo estimador posee un error de estimación, que al realizar la anualización aumenta.

Ø Es sumamente difícil estimar la rentabilidad esperada de cualquier activo financiero. Por este motivo, suelen emplearse series temporales muy largas y grandes dosis de sentido común.

[ ] ∑=

=T

t

ti

TR

1

,iRE

Conceptos básicos

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Riesgo de un activo financiero Ø La medida de riesgo por antonomasia en la teoría de carteras es la varianza, que mide la dispersión de los rendimientos alrededor de la media y nos da una idea de la variabilidad que experimentan los precios de los activos.

Ø Utilizando los datos del ejemplo anterior, la varianza sería:

Varianza = 1/3 (0,30 – 0,10)² + 1/3 (0,10 – 0,10) ² + 1/3 (-0,10 – 0,10) ² = 0,0267

Ø Debido a que la varianza no se expresa en las mismas unidades que la variable rendimiento, se suele emplear la desviación típica que no es más que la raíz cuadrada de la varianza. En este ejemplo es 0,1634 o un 16,34%.

Ø Como en el caso de la rentabilidad esperada, también es posible emplear observaciones pasadas para estimar la varianza.

Ø La desviación típica es conocida en este contexto como volatilidad.

( )[ ] ( )[ ]2ii

S

1ss

2ii

2i RERπREREσ −=−= ∑

=

( )[ ]∑=

−=

T

1t

2iti,2

i

RERσ

T

Conceptos básicos

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Riesgo de un activo financiero Ø Las limitaciones de la varianza/desviación típica como medida de riesgo son bien sabidas:

Ø La propia definición de riesgo puede ser distinta según el inversor. Ø Desviaciones respecto a rentabilidad media, no respecto a un objetivo. Ø El mismo peso para desviaciones positivas (ganancias) que negativas (pérdidas) Ø No es adecuado cuando los activos tienen rentabilidades asimétricas: opciones, gestión alternativa Ø Varía en función del tiempo

Ø Conviene destacar que la desviación típica es una medida adecuada para medir el riesgo siempre y cuando la probabilidad de la rentabilidad de la cartera forme una función de densidad simétrica.

Ø Aunque la distribución de rendimientos históricos de los valores individuales no haya sido por regla general simétrica, para intervalos pequeños de tiempo (rendimientos diarios/mensuales), sí que se pueden considerar simétricos y parecidos a una distribución normal aunque con “un poco de curtosis” en el caso de valores de renta variable y plazos cortos.

Ø Por tanto, otras medidas de riesgo además de la media y la desviación típica se hacen necesarias cuando la distribución de rentabilidades se aleja de una distribución simétrica o normal.

Ø Los “principales problemas” que presentan las distribuciones de rendimientos suelen ser la asimetría y la curtosis.

Conceptos básicos

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Asimetría y curtosis Ø La asimetría caracteriza el grado de simetría de una distribución con respecto a su media. La asimetría positiva indica una distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos. La asimetría negativa indica una distribución que se extiende hacia valores más negativos.

Ø La correlación negativa entre los cambios en los precios y la volatilidad de los rendimientos es una manera de comprender que las distribuciones de los rendimientos suelen presentar distribuciones asimétricas por la izquierda. Es decir, caídas en los mercados van acompañadas por incrementos en la volatilidad.

Ø La asimetría o tercer momento normalizado se define como:

Ø La curtosis representa la elevación o achatamiento de una distribución, comparada con la distribución normal. Una curtosis positiva indica una distribución relativamente elevada, mientras que una curtosis negativa indica una distribución relativamente plana. Las distribuciones con colas gruesas donde se encuentra más masa de probabilidad adicional en los extremos presentan exceso de curtosis. La curtosis o cuarto momento normalizado se define como:

Ø La distribución normal, como el resto de las distribuciones simétricas, tiene asimetría igual a cero y curtosis igual a 3. En ocasiones, se emplea una curtosis menos 3 como medida del exceso de curtosis.

[ ]( )3

T

1t

3t

σ1)-(T

RRAsimetria

×

−=∑=

E

[ ]( )4

T

1t

4t

σ1)-(T

RERCurtosis

×

−=∑=

Conceptos básicos

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Asimetría y curtosis Ø  En la siguiente tabla, el amplio índice de renta variable europea, DJ Stoxx 600, presenta una ligera asimetría

negativa. En cambio, el índice representativo de las estrategias de hedge funds, HF Research Index Global, presenta una asimetría mucho más negativa. La asimetría indica que la distribución tiene a dar más probabilidad a los valores por debajo de la media.

Ø  Por su parte, la curtosis de los rendimientos del Stoxx 600 alcanza un cercano al que tiene una distribución simétrica como la normal (3), por el contrario, el índice representativo de las estrategias de gestión alternativa arroja un valor muy alejado del nivel del que tendría una distribución normal.

Ø  Una asimetría muy negativa implicaría que la cola izquierda de la distribución es muy gruesa, lo que se traduciría en un alto valor de la curtosis.

Ø  Normalmente, la existencia de una asimetría muy negativa sugiere la existencia de una correlación negativa entre la volatilidad y los rendimientos, es decir, que las caídas en los mercados bursátiles vienen acompañadas por aumentos en la volatilidad de los activos, como podemos observar en el ejemplo de la página siguiente.

Ø  La asimetría se acentúa cuanto menor es la frecuencia de los rendimientos, es decir, la asimetría de distribuciones de rendimientos diarios será menor que la asimetría de rendimientos mensuales.

Conceptos básicos

Asimetría y curtosis: RV Vs. Inversión Alternativa DJ STOXX 600 HF Research

Index GlobalMedia 0,27% 0,10%

Volatilidad 1,59% 0,64%Asimetría -0,57 -1,34Curtosis 4,17 7,69

*Rendimientos semanales desde 31/03/03 hasta 05/10/07

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Asimetría y curtosis

Conceptos básicos

Frecuencia de rendimientos y funciones de densidad

Diario Semanal MensualMedia 0,02% 0,11% 0,49%

Volatilidad 1,14% 2,24% 4,66%Kurtosis 5,98 4,50 3,55

Asimetria -0,09 -0,33 -0,64

S&P 500

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Asimetría y curtosis

Conceptos básicos

Funciones de densidad por clases de activo

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El término “prima de riesgo de mercado” se utiliza para definir tres conceptos distintos: 1.  La rentabilidad incremental que un inversor exige a un activo con riesgo por encima del activo libre

de riesgo: Ø  Ésta es la acepción más útil porque es la que nos sirve para calcular la rentabilidad exigida a las

acciones.

Ø  A este concepto es al que nos referiremos como prima de riesgo del mercado o required market risk premium.

2.  La diferencia entre la rentabilidad histórica de un activo con riesgo y la rentabilidad histórica del activo libre de riesgo:

Ø  Éste es un dato histórico informativo que puede resultar más o menos interesante.

Ø  Nos referiremos a él como “rentabilidad diferencial” o historical market risk premium.

3.  El valor esperado de la diferencia entre la rentabilidad futura de un activo con riesgo y la rentabilidad futura del activo libre de riesgo. Ø  Nos referiremos a esta expectativa como “expectativa de la rentabilidad diferencial” o expected

market risk premium.

Ø  Es bastante difícil de estimar.

Prima de riesgo

Conceptos básicos

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Prima de riesgo

The worldwide equity premium: a smaller puzzle (Dimson, Marsh & Staunton, 2006)

Conceptos básicos

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Prima de riesgo

The worldwide equity premium: a smaller puzzle (Dimson, Marsh & Staunton, 2006)

Conceptos básicos

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Ø Una de las hipótesis en que se fundamentan la mayoría de los modelos financieros es la de expectativas homogéneas, es decir, que todos los inversores tienen las mismas expectativas de rentabilidad y riesgo para todos los activos.

Ø En este caso, todos los inversores tendrían carteras compuestas por deuda sin riesgo y una cartera de acciones con la misma composición porcentual que el mercado (la bolsa). Ya veremos más adelante la demostración formal.

Ø Pero es obvio que los inversores no tienen las mismas expectativas, que no todos los inversores tienen carteras de acciones de composición idéntica y que no todos los inversores tienen una cartera compuesta por todas las acciones del mercado.

Ø Podemos saber cuál es la prima de riesgo del mercado de un inversor (required market risk premium) preguntándosela. Sin embargo, es imposible determinar la prima de riesgo “del mercado” porque tal número no existe.

Prima de riesgo

Conceptos básicos

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Ø La rentabilidad esperada de una cartera, E[Rc], se obtiene como suma de las rentabilidades esperadas individuales de cada título que la componen, E[Rj], ponderadas por el peso de cada activo, ωj.

Ø Donde la ponderación de cada activo es el cociente entre el valor de la inversión en dicho activo y el valor total de la cartera. La suma de las ponderaciones ha de ser igual a 1.

Ø Para conocer la varianza de la cartera necesitamos conocer las varianzas de cada título y las covarianzas entre ellos, que se obtiene como:

Ø Como en el caso de la rentabilidad esperada y la volatilidad, también es posible emplear observaciones pasadas para estimar la covarianza:

Ø Si la covarianza es positiva (negativa), rendimientos mejores de los esperados en un valor se corresponden con rendimientos superiores (inferiores) a lo esperado en el otro.

Rentabilidad y riesgo esperados de una cartera

[ ] [ ]∑=

=N

1jjjC RERE ω

( ) ( )( ) ( )( )[ ]jjiijiji, RERRERER,Rcovσ −−==

Conceptos básicos

sInversione TotalValor jActivoInversiónValorω j =

( ) ( )( ) ( )( )∑=

−−==

T

t 1

jtj,iti,jiji, T

RERRERR,Rcovσ

∑=

=n

1j 1ω

j

19

Ø Una medida asociada a la covarianza es el coeficiente de correlación. Trata de normalizar la covarianza de forma que acotemos sus valores entre –1 y 1.

Ø Para ello dividimos la covarianza entre el producto de las desviaciones estándar de dos activos, obteniendo el coeficiente de correlación.

Ø De tal forma que el coeficiente de correlación entre el activo i y el activo j, ρi,j se obtiene como:


( )ji

jijiji σσρσσρ ji,,,ji,ji

σσR,Rcov =⇒==

Conceptos básicos

20


Conceptos básicos

Interpretación del coeficiente de correlación

21

Ø La varianza de una cartera dependerá de la varianza de los títulos que la componen (riesgo individual de cada uno de ellos), de sus covarianzas (riesgo conjunto, tomando pares de títulos) y el peso de cada título en la cartera

Ø De forma matricial, la varianza se puede expresar:

∑ ∑ ∑∑=

≠= = =

=+=N

1i

N

ji1ji,

N

1i

N

1jji,jiji,ji

2i

2i

2p σσσσ ωωωωω

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

N

2

1

2NN,1

222,1

N1,1,221

N212p ...

σ......σ..................σσσ...σσ

...σ

ω

ω

ω

ωωω


Conceptos básicos

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Ø Concentrar en una única clase de activos puede no ser óptimo desde el punto de vista rentabilidad – riesgo. Puesto que existe la incertidumbre, y el riesgo nos preocupa, diversificar tiene sentido. Esto es, una combinación de activos puede ser más óptima para el inversor que una única apuesta.

Ø Supongamos que los datos de rentabilidad y riesgo de los 2 activos anteriores son que aparecen en la siguiente tabla:

Ø Cambiando el grado de asociación del comportamiento de los 2 activos anteriores, lo que conocemos como coeficiente de correlación obtendremos distintas combinaciones de rentabilidad y riesgo.

Ø Antes de comenzar con el ejemplo, simplificaremos un poco las expresiones de la rentabilidad esperada y volatilidad de la cartera.

Diversificación

Activos Rendimiento

Esperado Volatilidad 1 16% 10% 2 10% 4%

Conceptos básicos

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Ø En general, el rendimiento esperado de una cartera compuesta únicamente por 2 activos viene expresado:

Ø Mientras que la varianza de una cartera formada por 2 activos es:

Ø Y la desviación típica o volatilidad es:

2,12122

22

21

21

2p 2σ σωωσωσω ++=

Diversificación

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ]21112211C RE1RERERERE ×−+×=×+×= ωωωω

( ) ( ) ( )( ) 212,1212

1122

21

21

21

21

2,12122

22

21

21p 1212σ ρσσωωσωσωσωωσωσω −+−+=++=

Conceptos básicos

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Diversificación Ø En el caso de correlación perfecta y positiva (ρ1,2=+1) entre los rendimientos de los activos anteriores, la varianza de la cartera es:

Ø Por lo que la volatilidad o desviación típica es simplemente la combinación lineal:

Ø Usando los datos del ejemplo, la rentabilidad y la volatilidad son:

Ø Si no admitiésemos las ventas en corto, la volatilidad sería la media ponderada de las volatilidades de los activos que componen la cartera.

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]2211121

211

22

21

21

21

2,1212

1122

21

21

21

2p

1121

121σ

σωσωσσωωσωσω

ρσσωωσωσω

−+=−+−+=

−+−+=

( )[ ] ( ) %101%16

%41%10σ

21

21c

ωω

ωω

−+=

−+=

cRE

( ) 2211c σ1σσ ωω −+=

w1 w2 Rend. Esperado Vol.

150,00% -50,00% 19,00% 13,00%100,00% 0,00% 16,00% 10,00%75,00% 25,00% 14,50% 8,50%25,00% 75,00% 11,50% 5,50%0,00% 100,00% 10,00% 4,00%-50,00% 150,00% 7,00% 1,00%

Conceptos básicos

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Diversificación Ø En el caso de correlación perfecta y negativa (ρ1,2=-1) entre los rendimientos de los activos anteriores, la varianza de la cartera es:


Ø Ahora todas las combinaciones se encuentran en un par de rectas.


( ) ( )( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]221112p

2

21112p

212

1122

21

21

21

2,1212

1122

21

21

21

2p

1σ1σ

121

121σ

σωσωσωσω

σσωωσωσω

ρσσωωσωσω

−+−=−−=⇒

⇒−−−+=

−+−+=

ó

( ) ( )[ ] ( ) %101%16

%41%10σ%41%10σ

21

21c21c

ωω

ωωωω

−−=

−+−=−−=

cRE

ó

( ) ( ) 2211c2211c σ1σσσ1σσ ωωωω −+−=−−= ó


150,00% -50,00% 19,00% 17,00%100,00% 0,00% 16,00% 10,00%75,00% 25,00% 14,50% 6,50%25,00% 75,00% 11,50% 0,50%0,00% 100,00% 10,00% 4,00%-50,00% 150,00% 7,00% 11,00%

Conceptos básicos

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Diversificación Ø En el caso de correlación nula entre los rendimientos de los activos anteriores, la varianza de la cartera es:


Ø Ahora todas las combinaciones se encuentran en una hipérborla.


( ) ( )( ) 2

22

121

21

2p

2,1212

1122

21

21

21

2p

1σ

121σ

σωσω

ρσσωωσωσω

−+=

−+−+=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) %101%16

%41%10σ

21

222

221c

ωω

ωω

−−=

−−=

cRE

( )( ) 2122

22

21

21c σ1σσ ωω −−=


150,00% -50,00% 19,00% 15,13%100,00% 0,00% 16,00% 10,00%75,00% 25,00% 14,50% 7,57%25,00% 75,00% 11,50% 3,91%0,00% 100,00% 10,00% 4,00%-50,00% 150,00% 7,00% 7,81%

Conceptos básicos

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Diversificación Ø En términos de rentabilidad-riesgo, existen tres tipos de beneficios derivados de la diversificación de activos

Ø  Aumentar la rentabilidad obtenida disminuyendo el riesgo Ø  Aumentar la rentabilidad asumiendo un mismo nivel de riesgo Ø  Aumentar la rentabilidad más de lo que aumenta el nivel de riesgo o lograr reducir el riesgo más de lo que disminuye la rentabilidad

Ø La diversificación reduce el riesgo.

Ø La reducción del riesgo es mayor cuanto menor es la correlación entre los activos:

• correlación = -1 reducción máxima

• correlación = 0 reducción media • correlación = 1 no hay reducción

Ø  La volatilidad de una cartera siempre es menor o igual que la media ponderada de los riesgos de los activos que la componen

Conceptos básicos

28

Diversificación Ø Como hemos visto, la forma del conjunto de oportunidades de inversión depende del nivel de correlación entre los activos, en concreto, la curvatura de la hipérbola es tanto mayor cuanto menor sea el coeficiente de correlación.

Ø Este resultado es lógico, cuanto menor sea el coeficiente de correlación, la diversificación es mayor, lo que significa que para un mismo nivel de rentabilidad, la cartera posee una menor volatilidad.

Ø Así pues, este enfoque descansa en la combinación de activos (acciones de diferentes sectores, mercados geográficos, bonos, etc.) con una correlación imperfecta o negativa que permita reducir el riesgo total de la cartera sin sacrificar la rentabilidad o, al menos, en menor medida que la reducción del riesgo

Ø En la práctica, obtener correlaciones negativas o incluso cercanas a cero es bastante difícil. Sin embargo, posiciones en derivados sí que pueden conseguir el efecto deseado de diversificación.

Conceptos básicos

Teoría moderna de carteras


30

Frontera eficiente Ø  Aunque antes ya existían trabajos y tratados sobre inversiones, no fue hasta 1952 cuando se estableció un

marco cuantitativo para la modelización de las decisiones sobre inversión tras la publicación de dos trabajos que dieron nacimiento a la Teoría Moderna de Carteras.

Ø  Markowitz es considerado el padre de la Teoría Moderna de Carteras debido a que fue “el primero” en modelar de forma matemática la relación de intercambio entre rentabilidad y riesgo en la elección de inversiones en activos con riesgo.

Ø  En concreto, Markowitz estableció que dentro del universo de posibilidades de inversión, el objetivo del inversor es sencillamente generar ganancias por diversificación, las cuales se concretan en:

1.  Obtener la cartera de mayor rentabilidad para un nivel máximo de riesgo deseado. 2.  Obtener la cartera de menor riesgo para un nivel de rentabilidad deseado.

Ø  Markowitz supone que los rendimientos de los activos siguen una distribución normal multivariante. Esto supone que la distribución del rendimiento de un activo puede describirse por su rendimiento esperado y por su varianza.

Ø  Las carteras que satisfacen la segunda condición se denominan carteras de menor varianza, de manera que cualquier cartera de menor varianza es el resultado de un problema de optimización .

Ø  También es conocida como cartera eficiente en términos de rentabilidad-riesgo ya que no existe otra: (1) con mayor rentabilidad y menor riesgo esperados, (2) con la misma rentabilidad esperada pero con menos riesgo (3) con el mismo riesgo pero mayor rentabilidad esperada.


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Ø El problema de selección de carteras puede ser planteado entonces como un problema de programación cuadrática, con restricciones en forma de igualdad:

Ø Sujeto a las restricciones,

Ø Para un determinado nivel de rentabilidad exigida, E[Re], se trata de minimizar el riesgo total de la cartera, σc2.

Ø Este problema es fácilmente resoluble por el método de los multiplicadores de Lagrange.

{ }1...Nj;ω

σmin

j

2C

=

[ ] [ ]

∑

∑

=

=

=

=

N

jj

e

N

jjj RERE

1

1

1ω

ω

Frontera eficiente


32

Ø Para resolver el problema de optimización, planteamos el siguiente lagrangiano:

Ø Donde λ1 y λ2 son los multiplicadores de Lagrange, que resulta conveniente definirlos así (multiplicados por 2).

Ø Derivando la expresión anterior respecto a los pesos ϖj e igualando a cero obtenemos:

Ø Donde:

Frontera eficiente

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+ ∑∑

==

N

jj

N

jjjec RERE

12

11

2 122 ωλωλσ

( ) 022 21

2

=−−∂

∂λλ

ωσ

jj

c RE

∑∑∑=

≠=

≠=

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+=+=

∂

∂ N

hjhh

N

jhh

hjhjj

N

jhh

hjhjjj

c

11

2

1

22

2222 σωσωσωσωσωωσ


33

Ø Por tanto, las condiciones de primer orden del problema de optimización pueden escribirse como:

Ø Las N ecuaciones anteriores junto con las restricciones determinan los valores de los multiplicadores de Lagrange (λ1 y λ2) y las ponderaciones óptimas que recibe cualquier activo en la cartera de menor varianza, que tiene un rendimiento esperado justo igual a E(Re).

Ø De manera que el problema de optimización se simplifica y consiste en resolver un sistema lineal de N+2 ecuaciones con N+2 incógnitas.

Frontera eficiente

( ) ( ) NjRERE j

N

hjhhj

N

hjhh ,...,1;00222 21

121

1

==−−⇒=−− ∑∑==

λλσωλλσω

( ) NjRE j

N

hjhh ,...,1;021

1==−−∑

=

λλσω

[ ] [ ]

∑

∑

=

=

=

=

N

jj

e

N

jjj RERE

1

1

1ω

ω


34

Ø Llamaremos frontera eficiente al conjunto de carteras eficientes disponible en el conjunto factible, es decir, aquellas carteras entre las que el inversor deberá elegir una de ellas como su cartera óptima, en función de sus objetivos de rentabilidad y restricciones de riesgo.

Ø La frontera eficiente se obtiene resolviendo de forma iterativa para cada nivel de rentabilidad esperada, el problema de optimizacion anterior.

Frontera Eficiente


35

Cómo calcular la frontera eficiente en Matlab Ø En Matlab, existe una toolbox que implementa todas las funciones necesarias para la optimización de carteras. En particular, la más útil es portopt, que devuelve la frontera eficiente para una matriz de varianzas covarianzas, rendimientos esperados y una serie de restricciones Ø Matlab permite resolver el problema de optimización incorporando restricciones de mínimo (lb) y máximo (ub) para cada activo:

Ø Sujeto a las restricciones,

Ø La toolbox emplea la rutina quadprog que permite la resolución de problemas de programación cuadrática.

{ }1...Nj;ω

σmin

j

2C

=

[ ] [ ]

iji

N

jj

e

N

jjj

ublb

RERE

≤≤

=

=

∑

∑

=

=

ω

ω

ω

1

1

1


36

Cómo calcular la frontera eficiente en Matlab

Ø La función más útil de la toolbox es:

[PortRisk, PortReturn, PortWts] = portopt(ExpReturn, ExpCovariance,NumPorts,PortReturn,ConSet)

Ø Donde: Ø ExpReturn: es la rentabilidad esperada de los activos. Ø ExpCovariance: es la matriz de varianzas y covarianzas. Ø NumPorts: número de carteras para pintar la frontera eficiente. Ø PortReturn (opcional): es la rentabilidad exigida a las carteras. Ø ConsSet (opcional): matriz que contiene las restricciones, para ello hay que utilizar portcons.

Ø Ejemplo: ExpReturn = [0.1 0.2 0.15];

ExpCovariance = [ 0.005 -0.010 0.004; -0.010 0.040 -0.002;

0.004 -0.002 0.023]; NumPorts = 25;

[PortRisk, PortReturn, PortWts] =portopt(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts);


37

Ejercicio

El fichero Ejemplo_ibex35.xls contiene las cotizaciones de las 35 compañías que componen el índice IBEX 35. Se pide hallar:

1)  La rentabilidad esperada de cada compañía. 2)  Volatilidad. 3)  Correlaciones. 4)  Frontera eficiente.

Es importante analizar la sensibilidad de los resultados a la estimación de rentabilidad.

Cómo calcular la frontera eficiente en Matlab


38

Elección del inversor Ø  El trabajo original del Markowitz no se quedaba sólo en la elección de la frontera eficiente, sino que modelizaba el

comportamiento del inversor.

Ø  Para ello, se emplean las denominadas curvas de indiferencia, esto es, aquellos conjuntos de pares de valores de rentabilidad y riesgo que proporcionan el mismo nivel de utilidad para el inversor.

Ø  Uno de los factores a tener en cuenta cuando un inversor se posiciona en la frontera eficiente es su grado de aversión al riesgo.

Ø  En la teoría moderna de carteras, es habitual elegir funciones de utilidad cuadráticas, donde lo único que le importará al inversor será la rentabilidad esperada y la volatilidad (varianza) de su cartera:

Ø  Donde A recoge el nivel de aversión al riesgo, y E[R] y σ son la rentabilidad y volatilidad esperadas. En la literatura financiera, existe múltiples funciones de utilidad, esta es una de las más sencillas.

Ø  La curva de indiferencia es tan sólo aquel conjunto de valores de E[R] y σ que reportan el mismo nivel de utilidad al inversor (curva isocuanta).

Ø  Los inversores con funciones de utilidad cuadráticas pueden abordar la selección de su cartera en un proceso de dos fases: 1.  Determinarán la frontera eficiente de carteras

2.  Y dado su nivel de aversión al riesgo, seleccionarán aquella cartera de la frontera que maximice su función de utilidad.

[ ] 2σAREU −=


39

Elección del inversor

Ø  Una curva de indiferencia es aquel conjunto de valores que reporta el mismo nivel de utilidad.

Ø  Las curvas de indiferencia que reportan mayor utilidad al inversor son aquellas más desplazadas hacia arriba y hacia la izquierda.

Ø  El coeficiente de aversión al riesgo es la pendiente de las curvas de indiferencia. A mayor pendiente mayor, nivel de aversión al riesgo.

Ø  A mayor nivel de aversión, es necesaria una mayor rentabilidad para reportar el mismo nivel de utilidad.


40

Frontera eficiente y elección del inversor

Ø  Al cruzar las preferencias del inversor (curvas de utilidad) con la frontera eficiente de carteras obtenemos la cartera óptima óptima para el inversor.

Ø  La cartera óptima es aquella que es tangente a la curva de utilidad de mayor satisfacción (la más desplazada hacia arriba y a la izquierda).

Ø  En la práctica financiera, nadie utiliza curvas de indiferencia para modelizar el comportamiento del inversor, debido a la dificultad de estimar el coeficiente de aversión al riesgo.


41

Frontera eficiente y elección del inversor

Ejercicio

Para un inversor con una función de utilidad cuadrática y un nivel de aversión al riesgo igual a 2. El universo de inversión está formado por 3 activos con las siguientes características:

Rentabilidad esperada:

Matriz de varianzas y covarianzas:

Se pide:

1) Hallar la frontera eficiente compuesta por 25 carteras.

2) Hallar la cartera que maximiza la función utilidad del inversor de entre las 25 carteras anteriores.

3) Comparar la solución anterior con la obtenida analíticamente, para ello, plantea el correspondiente lagrangiano y maximiza la utilidad del inversor sujeto a la restricción de presupuesto (todas las ponderaciones suman 1).

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∑

0,02300,0020-0,00400,0020-0,04000,0100-0,00400,0100-0,0050

[ ] [ ]15%20%10%=RE


42

Ø El teorema de la separación en dos fondos fue un desarrollo a las proposiciones originales de Markowitz, realizado por el también Nóbel de Economía James Tobin, con el que demostró que todas las carteras eficientes en el sentido media varianza pueden construirse como el promedio ponderado de dos carteras cualesquiera eficientes.

Ø Supongamos a partir de ahora, que el universo de inversión cuenta con una clase de activo más, el activo libre de riesgo, por tanto, los inversores van a poder prestar (invertir) y tomar prestado (apalancarse) al tipo de intéres de este activo libre de riesgo.

Ø La incorporación del activo libre de riesgo al universo de inversión modifica la forma del conjunto de carteras eficientes.

Ø  la cartera óptima será una combinación entre la cartera M de activos con riesgo y un porcentaje invertido en el activo sin riesgo,

Ø  la función de utilidad del inversor sólo recoge ese tipo de decisión y no la de la composición de la Cartera M de activos con riesgo.

Ø Ahora, la cartera de mínima varianza será aquella que invierta 100% en el activo sin riesgo, y por tanto, dicha cartera formará parte de la frontera eficiente.

Ø Sólo necesitamos encontrar una cartera de activos con riesgo para que aplicando el teorema de la separación en dos fondos podamos encontrar toda la frontera eficiente. ¿Cuál es esta cartera de activos con riesgo?

Teorema de separación en dos fondos


43


Ø Un inversor puede invertir en cualquier combinación entre el activo libre de riesgo, con rentabilidad rf, y la cartera de mínima varianza de activos con riesgo, CMV.

Ø De esta manera, el conjunto de pares de rentabilidades y riesgos de las carteras en las que podría invertir como resultado de esta combinación, es el que se recoge en la línea que une rf y CMV.

Ø Imaginemos que un inversor desea invertir en la cartera A que se encuentra en esta recta. Sin embargo, esta cartera no es eficiente pues existen otras que para el mismo nivel de volatilidad ofrecen mayor nivel de rentabilidad.

Ø Podría mejorar la rentabilidad invirtiendo en la cartera B, lo que aumentaría la pendiente de la recta, pero podría mejorar aún más si lo hace en la cartera M, que precisamente se encuentra en la frontera eficiente.

Ø Conviene resaltar que no existe otra recta con mayor pendiente que la rf-M, dado el conjunto de activos con riesgo y el activo libre de riesgo. Esta recta es la nueva frontera eficiente.


44

Teorema de separación en dos fondos Ø La existencia del activo libre de riesgo modifica la forma de la frontera eficiente, ahora ya no tiene forma cóncava, se ha convertido en una línea recta.

Ø La cartera de activos con riesgo es única y es la misma para todos los inversores, por ello, es conocida como la cartera de mercado. Corresponde al punto tangente de la Línea del Mercado de Capitales con la frontera eficiente.

Ø Para que la cartera M sea la cartera de mercado, es necesario suponer que los mercados son competitivos, los inversores racionales y las expectativas homogéneas. Como veremos, esto dará lugar a un modelo de valoración por ausencia de oportunidades de arbitraje conocido como Capital Asset Pricing Model (CAPM).

Ø Ahora el inversor sólo tiene que decidir qué cantidad destina al activo libre de riesgo y qué cantidad a la cartera de activos con riesgo, en función de sus preferencias. Hay que buscar un punto tangente con la curva de utilidad más satisfactoria de todas las del inversor; de forma análoga al procedimiento empleado en el enfoque media-varianza para activos con riesgo.

Ø Deseamos conocer la composición de la cartera óptima de activos con riesgo, ¿Cómo podemos llegar a conocerla? ¿Qué ha cambiado realmente?


45

Ø Sea E[RM] la rentabilidad esperada de una cartera compuesta únicamente por activos con riesgo (p.e. acciones).

Ø Sea rf la rentabilidad del activo libre de riesgo, al que se puede tanto invertir como tomar prestado.

Ø Sea w el porcentaje de su riqueza que el inversor destina a la cartera de activos con riesgo.

Ø Entonces la rentabilidad esperada, E[Rp], de una cartera formada por una combinación del activo libre de riesgo (préstamo o inversión) y una cartera de activos con riesgo, es:

Ø Por su parte, la volatilidad de la cartera, (sabemos que el activo libre de riesgo no tiene volatilidad) es:

Ø La volatilidad de la cartera P sólo depende del porcentaje de la riqueza del inversor destinada a la cartera de activos con riesgo, M, y de la volatilidad de esta. Despejamos el peso destinado a la cartera de activos con riesgo como:


fMp rω)(ω]E[R]E[R −+= 1

Mp ωσσ =

M

p

σσ

ω=


46

Ø De esta manera llegamos a un resultado bastante familiar y que más tarde Sharpe llamará CAPM.

Ø Para conocer la cartera óptima de activos con riesgo, basta con maximizar la pendiente de la recta anterior, que tiene una expresión que nos debería resultar familiar. Esta pendiente es conocida como el ratio de Sharpe, y es una de las medidas de performance por excelencia.

Ø Sujeto a la restricción:

Ø Donde Xi es la ponderación que recibe cada uno de los activos con riesgo que componen la cartera M.


E[Rp ]=E[RM ]σ p

σM

!

"#

$

%&+ 1−

σ p

σM

!

"#

$

%& rf ⇒ E[Rp ]=rf + E[RM ] − rf( )

σ p

σM

θ =E[RM ]− rf

σM

Xi =1i=1

N

∑


47

Ø Dejando la expresión de la pendiente de la nueva frontera eficiente en función de:

Ø  Xi = ponderación del activo i. Ø E[Ri] = rentabilidad esperada del activo i. Ø  σI

2 = varianza del activo i. Ø  σIJ = covarianza entre el activo i y el activo j.

Ø Resulta conveniente escribir la restricción de presupuesto de la siguiente manera:

Ø Así podemos reescribir:

Ø Entonces el problema de hallar la cartera óptima de activos con riesgo se reduce a un simple problema de maximización, que consiste en derivar la expresión anterior respecto a las N ponderaciones y resolver el siguiente conjunto de ecuaciones simultaneas:

0

...

0

0

2

1

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

NX

X

X

θ

θ

θ[ ]( )

21

1 1 1

22

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−=

∑ ∑∑

∑

= =≠=

=

N

i

N

i

N

jij

ijjii

N

ifii

σXXσX

rREXθ

i


f

N

iiff rXrr ×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=×= ∑

=11

[ ] [ ] [ ]( )fi

N

iif

N

iii

N

iifi

N

iifM rREXrXREXrREXrRE −=−=−=− ∑∑∑∑

==== 1111

][


48

Ø La derivada parcial respecto de Xi la podemos expresar de la siguiente manera:

Ø Donde λ es una constante “casi igual ratio de Sharpe de la cartera óptima” (emplea la varianza en lugar de la desviación típica).

Ø Definimos una nueva variable Zi como:

( ) 0][...0 332211 =−+++++−⇒=∂

∂fiNiNiii

i

rREXXXXX

σλσλσλσλθ

ii XZ λ=


2M

fM

σr]E[R

λ−

=


49

Ø Entonces la expresión anterior se transforma en:

Ø Y nos permite transformar en el sistema de ecuaciones anteriores en algo con un aspecto más amigable y fácil de resolver:

( ) 0][...0 332211 =−+++++−⇒=∂

∂fiNiNiii

i

rREZZZZX

σσσσθ

!"#$$$$ !$$$$ "#$$!$$"#z

NNNN

N

N

N

rRE

fN

f

f

f

NNNNNNfN

NNf

NNf

NNf

Z

ZZZ

rRE

rRErRErRE

ZZZZrRE

ZZZZrREZZZZrREZZZZrRE

f

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

++++=−

++++=−

++++=−

++++=−

Σ−

......

............

][...

][

][][

...][...

...][

...][

...][

3

2

1

13121

1312111

2232221

1312111

][

3

2

1

332211

33332321313

23232221212

13132121111

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ



50

Ø La solución del anterior sistema de ecuaciones es:

Ø Las Zs son proporcionales a la cantidad óptima a invertir en cada activo, para conocer las ponderaciones óptimas primero debemos resolver el sistema de ecuaciones con las Zs, lo cual resulta sencillo pues son N incógnitas y N ecuaciones.

Ø Un vez conocidas las Zs, si queremos obtener las Xi, basta saber que:

Ø Por tanto, la cartera óptima es simplemente el producto de la inversa de la matriz de covarianzas y el vector que contiene los excesos de rentabilidad de los activos frente al tipo libre de riesgo.

[ ][ ]frREz −Σ= −1

∑=

= N

ii

ii

Z

ZX

1



51

Ø Veamos un ejemplo sencillo, formar una cartera con Cintra, Telefónica, Banco Sabadell y dinero, con los datos recogidos en la tabla siguiente (ver fichero: Markowitz3activos.xls)

Ø El sistema a resolver es:

Ø Recordando que primero tenemos que hallar las Zs.

321

321

321

020,0006,0003,0%13006,0023,0002,0%15003,0002,0044,0%8

ZZZZZZZZZ

++=

++=

++=

!zrRE

ZZZ

f

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Σ−

3

2

1

][

020,0006,0003,0006,0023,0002,0003,0002,0044,0

%13%15%8

""" #""" $%#$%


E[R] - rf VolatilidadCintra 8% 21% 1 0,07 0,09Telefónica 15% 15% 0,07 1 0,28Banco Sabadell 13% 13% 0,09 0,28 1

Matriz de Correlaciones


52

Ø En nuestro caso particular las Zs y las Xs son:

Ø Hasta ahora sólo hemos hallado un punto de la frontera eficiente, la famosa cartera M o cartera de Mercado, para conocer toda la frontera eficiente sólo necesitamos ir variando el tipo libre de riesgo (rf) y resolviendo el problema de optimización.

Ø Es decir, hay que maximizar el ratio de Sharpe haciendo variar el tipo de interés para obtener toda la frontera eficiente.

1 1

2 2

3 3

1 2 3

1,21,2 10,86%11,405,35,3 46,25%11,404,94,9 42,90%11,40

11,40

Z X

Z X

Z X

Z Z Z

= ⇒ = =

= ⇒ = =

= ⇒ = =

+ + =



53

Ejercicio

Para un inversor con una función de utilidad cuadrática y un nivel de aversión al riesgo igual a 2. El universo de inversión está formado por el activo libre de riesgo y 3 activos con las siguientes características:

Rentabilidad esperada:

Matriz de varianzas y covarianzas:

Se pide:

1) Hallar la frontera eficiente haciendo variar el tipo libre de riesgo.

2) Hallar la cartera que maximiza la función utilidad del inversor de entre las carteras anteriores.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∑

0,02300,0020-0,00400,0020-0,04000,0100-0,00400,0100-0,0050

[ ] [ ]15%20%10%=RE



54

Ø Todo lo que acabamos de ver es un optimización estática, esto es, para un solo período. La realidad es mucho más compleja e implica la toma de decisiones de forma continua.

Ø Un aspecto crucial es la estimación de los inputs necesarios para la optimización. La estimación de la matriz de varianzas y covarianzas no presenta grandes dificultades y los resultados no son extremadamente sensibles a cambios en estos parámetros.

Ø Como se ha puesto de manifiesto con los ejemplos vistos hasta ahora, el resultado es muy sensible frente a cambios en las rentabilidades esperadas, lo que unido a la dificultad para estimarlas, hace que las optimizaciones de carteras no sean muy usadas en la práctica financiera.

Ø Una posible solución al problema de la falta de estabilidad del resultado frente a cambios en la rentabilidad esperada, es la fijación de rangos de gestión. Es decir, la frontera eficiente no es una simple línea que determina una única cartera óptima para una determinado nivel de rentabilidad y riesgo. Por tanto:

Ø Cambios en los parámetros, pueden conducir a carteras dentro de ese mismo intervalo de confianza o fuera de ese intervalo. Ø Cuando estas nuevas carteras derivadas de nuevos parámetros lleven a soluciones dentro del mismo intervalo de confianza, la cartera inicialmente encontrada no debe ser modificada. Ø Solo debe serlo cuando la nueva solución quede fuera del intervalo de confianza hallado previamente

Ø Otra posible solución es la que ofrecen Black Litterman (1992) que proponen una estimación de rentabilidades esperadas “más robusta” y que tiene en cuenta las opiniones del inversor.

Conclusiones


Modelo de mercado


56

Ø El modelo de mercado es el más sencillo de todos los modelos factoriales y el primero propuesto por William Sharpe (1964).

Ø Los modelos factoriales han sido empleados como la forma más natural para descomponer el riesgo en diversas fuentes. El modelo de mercado emplea un único factor de riesgo y éste suele ser un índice de mercado.

Ø Sostiene que el comportamiento de cualquier activo financiero se puede explicar por medio de la siguiente expresión:

Donde: Ø α y εi: son los componentes del rendimiento del activo i que son independientes del rendimiento del mercado, αi no suele ser significativo y εi es un componente aleatorio. Ø Rm: Es el rendimiento del factor M, que normalmente es un índice de mercado (p.e. IBEX35, S&P500...) Ø βi: Es una constante que mide el cambio esperado en la rentabilidad del activo i (Ri) dado un cambio en el rendimiento del mercado (Rm).

Ø El modelo de mercado asume los siguientes supuestos:

Descripción del modelo. Supuestos.

titMititi RR ,,,, εβα ++=

[ ] [ ] [ ] 220,0Ii

EyEE jii εσεεεε ===

Modelo de mercado

57

Ø La beta del activo i es igual a la covarianza entre sus rendimientos y el rendimiento del índice de mercado dividida por la varianza de los rendimientos del índice de mercado.

Ø El modelo de mercado asume que los rendimientos del mercado capturan los riesgos sistemáticos asociados a las variables de estado macroeconómicas (shocks relacionados con la inflación, cambios en la estructura temporal de tipos de interés, variación en la producción industrial...).

Ø El riesgo sistemático es aquel que afecta al mercado en su conjunto, a todos los activos financieros negociados, y se corresponde y tiene su origen en el comportamiento de variables económicas, financieras, políticas, etc. que afectan a todos los emisores de valores y a la valoración de los activos. Por su carácter general también se le suele denominar riesgo de mercado

Ø La beta es una medida del riesgo sistemático, nos informa de si un valor es más o menos arriesgado que el conjunto del mercado, a través de la mayor o menor variabilidad de sus rentabilidades

Ø Así conocer la respuesta de la rentabilidad de un activo frente a su índice de referencia es conocer su mayor o menor exposición a los riesgos sistemáticos.

Descripción del modelo. Supuestos

( )2

,cov

M

Mii

RRσ

β =

Modelo de mercado

58

σ i2 = βi

2 ×σM2

RiesgoSistemático

!"# $#+ σ

εi

2

RiesgoEspecífico

!

Ø Asumiendo los supuestos del modelo de mercado, el riesgo de un activo se puede descomponer como:

Ø El riesgo específico es el riesgo que afecta a un título en particular y que depende de las características intrínsecas de la compañía. Este riesgo se puede reducir e incluso eliminar a través de la diversificación.

Ø La covarianza entre el activo i y el activo j según este modelo es:

2, Mjiji σββσ =

Descomposición de riesgo. Diversificación.

Modelo de mercado

59

Ø La beta de una cartera es simplemente la media ponderada de las betas de los títulos que la componen:

Ø La neutralización del riesgo específico se produce paulatinamente según se introducen más activos en la cartera, ya que los efectos específicos de cada activo se van compensando unos con otros.

Ø Donde:

Ø La reducción del riesgo total según aumenta la diversificación de la cartera se traduce directamente en una reducción de la volatilidad de la misma, hasta un nivel que recoge exclusivamente el riesgo sistemático, que no se puede eliminar, pero sí modular a través de la beta.

∑=

=N

iiip X

1

ββ

! !EspecificoRiesgo

2

osistemáticRiesgo

2M

2P

lRiesgoTota

2P ε

σσβσ +×= "#$%

2

1

22εεσσ

i

N

iiX∑

=

=


Modelo de mercado

60

0σlim

σlim 2

1

22εε=

∞→=

∞→ ∑=

i

N

iiXNN

Ø  Veamos mediante un ejemplo cómo la diversificación consigue reducir el riesgo total eliminando el riesgo específico.

Ø  Supongamos que invertimos la misma cantidad en N activos: invertimos por tanto 1/N en cada activo.

Ø  Por simplificar, supongamos que la beta de todos ellos es igual a 1. Entonces la volatilidad de la cartera es igual a:

Ø  A medida que aumenta el número de activos en cartera, el riesgo total de la cartera disminuye hasta ser igual al riesgo de mercado o sistemático.

( ) 2

1

22M

2P ε

σ1σσi

N

iN∑

=

+=


Modelo de mercado

61

Ø El modelo de mercado funciona es válido tanto para analizar un activo individual como para analizar una cartera, como por ejemplo, la de un un fondo de inversión.

Ø En función de su beta, los activos pueden ser clasificados como:

Ø Títulos agresivos (β>1): Los rendimientos del activo tienden a fluctuar más que los movimientos del mercado

Ø Títulos neutros (β=1): Los rendimientos tienden a fluctuar igual que los del mercado.

Ø Títulos defensivos (β<1): Los rendimientos tienden a fluctuar menos que los del mercado.

Ø Conviene tener en cuenta que la beta refleja la exposición de un activo al riesgo sistemático, y este tiene su origen en el comportamiento de variables económicas, financieras, políticas, etc. que afectan a todos los emisores de valores y a la valoración de los activos.

Aplicaciones del modelo de mercado.

Modelo de mercado

62

Ejercicio

Hallar la separación entre riesgo específico y sistemático tanto para las compañías que aparecen en el fichero Ejemplo_ibex35.xls como para los fondos que aparecen en FFII_eltongruber.xls.

Aplicaciones del modelo de mercado.

Modelo de mercado

Capital Asset Pricing Model (CAPM)


64

Ø En 1964, W. Sharpe y J. Lintner desarrollaron el modelo de valoración de activos conocido como CAPM (Capital Asset Pricing Model) por el cual recibirían años más tarde, en 1990, el Premio Nobel de Economía.

Ø El CAPM es un modelo de equilibrio que establece la rentabilidad esperada de un activo en función de su riesgo sistemático. Es una relación lineal.

Ø El CAPM indica cómo la rentabilidad esperada de todo activo con riesgo está formado por el rendimiento del activo libre de riesgo más una prima que compensa a ese inversor por el riesgo asumido en el título, pero sólo por el riesgo sistemático, el único que remunera el mercado.

Ø El único riesgo remunerado es el sistemático o de mercado, pues el riesgo específico se puede eliminar mediante la diversificación.

Ø Entonces según este modelo no invertiríamos en fondos que no estén diversificados (es decir, que mantengan riesgo específico) ¿O no?

Ø En la realidad, existen muchos fondos que no diversifican su riesgo específico, y no por ello, dejamos de invertir en ellos. Invertimos cuando al menos nos ofrecen la rentabilidad que predice el CAPM, es decir, cuando generan un exceso de rentabilidad que compensa al menos su riesgo específico.

Ø  Aunque no todos los gestores son capaces de conseguir rentabilidades que compensen su riesgo específico, tendremos que seleccionar a los mejores.

Introducción

Capital Asset Pricing Model

65

Ø El CAPM o Capital Asset Pricing Model se basa en los siguientes supuestos:

Ø Es un modelo estático, es decir, de un solo período.

Ø Existe un activo libre de riesgo. Ø Todos los inversores escogen sus carteras según su rentabilidad y riesgos esperados.

Ø Expectativas homogéneas. Ø Los mercados son competitivos.

Ø No existen costes de transacción Ø No existen oportunidades de arbitraje.

Ø Si todo esto se cumple, la cartera de mercado o cartera M es la cartera óptima en la que todo inversor racional invertirá. ¿Por qué?

Ø Dado un universo de inversión y bajo una determinadas expectativas de rentabilidad, la existencia del activo libre de riesgo y el teorema de separación en dos fondos garantizan que la cartera óptima de activos con riesgo para un inversor es única.

Supuestos y derivación del modelo


66

Ø El supuesto de expectativas homogéneas implica que todos los inversores cuentan con la misma información. Esta información se encontrará descontada en el precio de los activos, por tanto, las expectativas de rentabilidad sobre los activos será la misma para todos los inversores.

Ø Como ya hemos visto, la cartera de activos con riesgo óptima para un inversor racional es aquella que maximiza la pendiente de la recta SML. Además, todas las carteras compuestas por activos con riesgo y el activo libre de riesgo que se encuentran en la SML son eficientes.

Ø Recordemos la expresión de la rentabilidad de una cartera compuesta por el activo libre de riesgo y una cartera de activos con riesgo:

Ø La condición de primer orden para hallar la cartera óptima de activos con riesgo consistía en:

Ø La parte izquierda de esta ecuación es igual a λcov(Ri,RM), desarrollando esta expresión podemos comprobarlo tras unas cuantas manipulaciones.

( )p

M

fMfp σ

σr]E[R

r]E[R−

+=

fiNiNiiii

rREXXXXX

−=++++⇒=∂

∂ ][...0 332211 σλσλσλσλθ



67

Ø Sean XiM las proporciones de la cartera de mercado, expresemos la rentabilidad esperada de esta cartera como:

Ø Desarrollando la covarianza entre el activo i y la cartera de mercado se obtiene:

Ø De manera que podemos reescribir la condición de primer orden como:

[ ] [ ]∑=

=N

ii

MiM REXRE

1

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= ∑∑∑

===

N

iii

Miii

N

ii

Mi

N

ii

MiiiMi RERXRERERXERXRERERR

111,cov

[ ]( ) [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ]

[ ]( ) [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ]

( )MiNiMNi

Mi

MNi

MNi

Mi

M

NNiiMNii

Mii

M

NNiiMNii

Mii

M

RRXXXXXX

RERREREXRERREREXRERREREX

RERRERXERERRERXERERRERXE

,cov......

...

...

,2,21,1,2,21,1

222111

222111

λσλσλσλσσσ =+++⇒+++=

=−−++−−+−−=

=−−++−−+−−=

( ) [ ] fiMi rRERR −=,covλ



68

Ø Como la condición anterior tiene que cumplirse para todos los activos que componen el universo de inversión, también tiene que cumplirse para todas las carteras.

Ø Veamos qué ocurre con la condición de primer orden, si la escribimos para la cartera de mercado:

Ø De la expresión anterior podemos despejar el valor para λ y escribir la condición de primer orden como:

Ø Y esta es precisamente la expresión del CAPM:

( ) [ ] [ ] fMMfiMM rRErRERR −=⇒−= 2,cov λσλ

[ ] [ ]( ) [ ]( )fMifMi

M

fMfi rRErRR

rRErRE −+=

−+= β

σ,cov2


[ ] [ ]( )fMifi rRErRE −+= β


69

Ø El CAPM es un modelo que se basa en la ausencia de arbitraje, y establece cual debe ser el precio de cualquier activo en condiciones de equilibrio. Veamos como funciona.

Ø Según el modelo de mercado, el riesgo de cualquier activo se puede descomponer en riesgo sistemático y en riesgo específico.

Ø El riesgo específico es el único riesgo que se puede diversificar, por lo que en equilibrio este riesgo no debería ser remunerado.

Ø Uno de los supuestos del CAPM es que los inversores son racionales, por lo que no pagaran más por un activo que de lo que el propio CAPM establece en función de su riesgo beta o sistemático.

Ø Supongamos que para una determinada acción i:

Ø Dado que la rentabilidad esperada del título j se define como:

Ø  Entonces el precio P0 cae debido a una menor demanda, por lo que la rentabilidad esperada E(Ri) aumenta hasta que el desequilibrio desaparece y la ecuación del CAPM se vuelve a cumplir.

[ ] [ ][ ]fMifi rRErRE −+<− β

0i,

0i,i,1i,1ti,

PPDPR −+

=

Ausencia de oportunidades de arbitraje y equilibrio.


70

Ø  Título j está sobrevalorado en el punto A:

Ø  Cae el precio Ø  Aumenta la rentabilidad esperada

Ø  Por el contrario, en el punto B, el título j se encuentra infravalorado:

Ø  Aumenta el precio Ø  Cae la rentabilidad esperada

rf

E(RM)

β=1 βj Beta

A

B

E(R)

E(Rj)



71

Ejercicio

Comparar la rentabilidad que predice el CAPM y la rentabilidad histórica para los activos del fichero eurostoxx50.xls. Según este modelo, los activos a tener en cartera son aquellos que ofrecen una rentabilidad por encima de la que le corresponde según su riesgo beta.



72

Eficiencia del mercado.

Ø Uno de los supuestos más discutidos del CAPM es que los mercados son competitivos, lo que viene a significar que ningún participante del mercado cuenta con una ventaja comparativa respecto a los demás. En los mercados financieros, esta ventaja comparativa se basa en la diferencia de información entre los inversores.

Ø Si todos los inversores cuentan con la misma información, esta información se encontrará descontada en el precio de los activos y no podrá ser utilizada para obtener beneficios extras una vez compensado el riesgo soportado.

Ø Por el contrario, solamente una información conocida por una minoría y, por tanto, no reflejada en el precio de los activos, confiere una ventaja comparativa frente a los demás inversores.

Ø Por tanto, un mercado es eficiente si ofrece las rentabilidades que se corresponden con el riesgo asumido, en otras palabras, no existen diferencias de información entre los inversores y se cumple el CAPM.


Evidencia empírica


74

y = -0,4599x + 0,5242R2 = 0,1117

-100%

-50%

0%

50%

100%

150%

200%

250%

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6Beta 31 diciembre 2001

Ren

tabi

lidad

31

dic.

200

1 -

Nov

iem

bre

2003

Relación entre las betas calculadas de empresas españolas y su rentabilidad en los años siguientes

Evidencia empírica: Cuidado con la Beta

Fuente: Pablo Fernández, IESE.

75

Análisis de 54 fondos de Inversión 1997-2001 Rentabilidad Vs Beta

Índice

-5

0

5

10

15

20

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2

Beta

Rent

abilid

adEvidencia empírica: Cuidado con la Beta


76

Análisis de 54 fondos de Inversión 1997-2001 Rentabilidad Vs Volatilidad

Índice

-5

0

5

10

15

20

4 5 6 7 8 9Volatilidad

Renta

bilida

dEvidencia empírica


Safety First - Downside Risk Measures


78

Introducción Ø El nacimiento de la Teoría moderna de carteras tuvo lugar en 1952 tras la publicación de dos trabajos distanciados en el tiempo por unos pocos meses de diferencia.

Ø El primero de ellos fue el realizado por Markowitz donde se establecía tanto un modelo para el comportamiento de los activos que componen la cartera óptima que descansaba de forma primordial en la varianza para medir el riesgo como un modelo para representar la preferencias de rentabilidad – riesgo del inversor basado en las funciones de utilidad.

Ø Tres meses después de la aparición del trabajo de Markowitz, apareció el de Roy en el que además de resolver matemáticamente el problema que Markowitz tan sólo planteó, empleó un enfoque práctico mucho más cercano a la realidad financiera para modelizar el intercambio entre rentabilidad y riesgo.

Ø En esencia, Roy prescindió de las funciones de utilidad para modelizar las preferencias de rentabilidad – riesgo de inversor. Roy prefiere hablar del Safety first criterion que establece que el inversor prefiere primero la seguridad de su capital invertido y fijar un rendimiento mínimo aceptable que asegure el capital invertido.

Ø La idea de Roy sirvió de inspiración para el desarrollo de lo que se ha dado en conocer como las downside risk measures. Incluso Markowitz reconoció en 1959 la importancia de este criterio y sobre todo la importancia de las downside risk measures. Es más, la primera medida de riesgo que quiso tener en cuenta fue la semivarianza, que es una de la medidas por excelencia que trata de medir el downside risk.

Ø El desarrollo de las downside risk measures dio lugar a otro tipo de medidas de riesgo mucho más amplias y que se basan en momentos de la distribución de rendimientos que van más allá del momento de orden 1 y 2.


79

Safety first criterion

Ø El primero en desarrollar el criterio del Safety first fue Roy en 1952, pero existen otras dos formulaciones de este principio, la de Katatoka y la de Telser.

Ø En palabras del propio Roy, lo que realmente preocupa al inversor es que el rendimiento de su inversión sea inferior a un determinado nivel rd, llamado el disaster level o rendimiento mínimo deseable.

Ø Aunque el inversor no puede determinar con certeza el rendimiento de su inversión Rp sí que puede conocer su nivel de incertidumbre σp.

Ø Por tanto, el inversor puede acotar la probabilidad de que el rendimiento de su inversión Rp sea inferior al nivel mínimo deseable rd .

Ø Según Roy, el inversor preferirá aquellas inversiones con menor probabilidad de que el rendimiento de su inversión Rp sea inferior a rendimiento mínimo deseable rd

Ø Aunque el análisis original de Roy se hizo suponiendo normalidad, iguales resultados se obtienen para distribuciones de rendimientos cuyos momentos de orden 1 y 2 existen. La aplicación de la desigualdad de Tchebycheff nos llevará a un resultado bastante conocido.


80

Ø  Si el rendimiento final de la inversión es una variable aleatoria Rp con esperanza E[Rp] y desviación típica σp aplicando la desigualdad de Tchebycheff tenemos que:

Ø  Y podemos encontrar una cota para la probabilidad de que la rentabilidad de la cartera Rp quede por debajo de rd (cuando rd < Rp) es

Ø  En lugar de minimizar la probabilidad de que el rendimiento de la inversión Rp sea inferior al rendimiento mínimo deseable, minimizamos la cota anterior, lo que equivale a maximizar lo que Roy denominó disaster ratio:

[ ] [ ]( ) [ ]( )22

dp

pdppp rRErRERERP

−≤−≥−

σ

( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )22

dp

pdpppdpppdp rRErRERREPrRERREPrRP

−≤−≥−≤−≥−=≤

σ

( ) [ ]( )[ ]

p

dp

dp

pdp

σ

rREMax

rREσ

MinrRPMin−

⇒−

⇒≤



81

Ø Roy llego al mismo resultado que años más tarde llegaría Sharpe, para comprobarlo basta con sustituir el rendimiento mínimo deseable por el rendimiento del activo libre de riesgo en el disaster ratio.

Ø De esta manera, se resuelve el problema de selección de una cartera óptima prescindiendo de funciones de utilidad y coeficientes de aversión al riesgo. Tan sólo es necesario conocer el rendimiento mínimo necesario.

[ ]p

dp

σ

rREMax

−



82

Ø La segunda versión del criterio Safety first fue propuesta por Katatoka, y propone la maximización de rendimiento mínimo deseable acotando la probabilidad de que la rentabilidad de la cartera se encuentre por debajo de dicho nivel:

Ø La otra versión fue desarrollada por Telser, y sugiere la maximización de la rentabilidad esperada de la cartera acotando la probabilidad de que la rentabilidad de la misma se encuentre por debajo del rendimiento mínimo deseable:


[ ] α≤< dp

d

rRPtsrMax

:.:

[ ][ ] α≤< dp

P

rRPtsREMax

:.:


83

Ø La idea inspiradora de Roy de que la seguridad es lo primero sirvió, como ya comentamos al principio, de inspiración para el desarrollo de las denominadas downside risk measures y su generalización a otras medidas basadas en lower partial moments.

Ø La relevancia de estas medidas se debe a que: (1) al inversor realmente le preocupa el riesgo de que el valor de su inversión caiga por debajo de un determinado nivel (safety first); (2) las distribuciones de rendimientos pueden no ser normales o simétricas, por lo que la varianza deja de ser una medida relevante del riesgo de la inversión.

Ø Las medidas del downside risk y la varianza ofrecen la misma respuesta en el caso de distribuciones normales; sin embargo, las medidas del downside risk en distribuciones no normales son las únicas que ofrecen la respuesta correcta.

Ø En 1959, Markowitz propuso dos medidas para tratar de medir el downside risk:

Ø La semivarianza computada a partir de la rentabilidad esperada o rentabilidad esperada E[R]:

Ø Y la semivarianza computada a partir de una rentabilidad objetivo RTarget:

Downside risk measures

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )∑∑∫==

∞−−≈−≈−=

T

1t

22S

1ss

RE 2 RE,0maxT1RE,0maxπ)(RESVm ts RRRdFR

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )∑∑∫==

∞−−≈−≈−=

T

1t

22S

1ss

R 2 RE,0maxT1RE,0maxπ)(RESVt Target

ts RRRdFR


84

Downside risk measures Ø A pesar de las ventajas prácticas de la semivarianza, el modelo basado en la varianza como medida del riesgo triunfó y es el más conocido debido a la mayor tratabilidad analítica de ésta, ya que en muchos casos es fácil conseguir una solución.

Ø Existe una relación interesante entre la varianza y la semivarianza (respecto a la rentabilidad esperada) es que en el caso de una distribución normal, la semivarianza es la mitad de la varianza. Por tanto, si el el ratio:

Se aleja de 2, entonces la distribución de rentabilidades presenta evidencias de ser asimétrica.

zaSemivarianVarianza


85

Medidas basadas en otros momentos de la distribucion

Ø El primero en definir los modelos del tipo LPM (lower partial moments) fue Bawa en 1975 como una familia de medidas de riesgo relativo a una rentabilidad objetivo Rtarget .en términos de la tolerancia al riesgo. Para un nivel de tolerancia a, el lower partial moment se define como:

Ø La semivarianza es tan sólo un caso particular de los modelos del tipo LPM, que emplean solo la cola izquierda de la distribución de rendimientos para medir el riesgo de pérdida

( ) ( )( ) ( )( )ata

setT RRRdFRLPM(a,R −≈−≈−= ∑∑∫==

∞− Target

T

1tTarget

S

1ss

R aTargetarg R0,max

T1R0,maxπ)(R) Target

Period Returns

1 10 5 252 10 5 253 10 5 254 10 5 255 10 5 256 10 5 257 10 5 258 10 5 259 35 0 010 35 0 0

Rtarget=15 20

LPM para a=2 y Rtarget = 15

( )R−TargetR,0max ( )2TargetR,0max R−

( )( )=−∑=

2Target

T

1tR,0max

T1 R


86

Medidas basadas en otros momentos de la distribución

Ø El parámetro a refleja el nivel de aversión al riesgo:

Ø a<1 se correspondería un inversor amante del riesgo. Ø a=1 se correspondería un inversor neutral frente al riesgo. Ø a>1 se correspondería un inversor averso al riesgo.

Ø El LPM para a=0 es simplemente la probabilidad de que la rentabilidad se encuentre por debajo del rendimiento objetivo RTarget:

Ø El LPM para a=1 es simplemente la desviación media frente al rendimiento objetivo RTarget:

∫ ∞−=TargetR

arg )()0 RdF,RLPM( etT

( ) )(R)1 TargetR

Targetarg RdFR,RLPM( etT ∫ ∞− −=


87


Ø Cuanto mayor sea el parámetro a, mayor aversión al riesgo tendrá el inversor.

Ø La tabla muestra un ejemplo de cálculo de LPM para distintos niveles de aversión al riesgo.

Return Prob. Return Prob.-5 20% 10 80%20 80% 35 20%

Mean ReturnVarianceSkewnessLPM a=0LPM a=0,5LPM a=1LPM a=1,5LPM a=2LPM a=3Rtarget=15

1600,0 100,0

4,0 4,017,9 8,9

0,2 0,80,9 1,8

15,0100,0-1,5

15,0100,01,5

Activo 2Activo 1

Degrees of the Lower Partial Moment

80,0 20,0

Ø El activo 1 muestra una asimetría negativa lo que indica que es una inversión con mayor downside risk que el activo 2.

Ø Cuando a<1, el LPM tiende a penalizar al activo 2 frente al activo 1, lo que es consistente con un inversor amante del riesgo.

Ø Por el contrario, cuando a>1 el LPM tiende a favorecer al activo 2 frente al activo 1, al que penaliza cada vez más, cuando a>1.


88


Ø David Nawrocki, ferviente defensor de las downside risk measures y de LPM, propuso en 1983 la utilización del algoritmo de correlación constante desarrollado por Elton y Gruber para optimizar carteras empleando como medidas de riesgo la semivarianza y el LPM para distintos niveles de aversión al riesgo.

Ø El trabajo original de Nawrocki empleaba el cociente entre el exceso de rentabilidad sobre el activo libre de riesgo y la semivarianza, conocido como el ratio de Sortino, para ordenar los activos de mayor a menor.

Sortino =E Ri[ ]− rf

Semivar ianzai


89

Omega ratio Ø El Omega ratio parte de una idea muy sencilla y entronca con la filosofía de las medidas del tipo LPM y downside risk. Además no sufre las limitaciones de la volatilidad en presencia de curtosis y asimetría, ya que no requiere como paso previo el cálculo de estadísticos como la media y la desviación típica, y trabaja con la distribución de probabilidad de los rendimientos sin realizar ningún supuesto sobre su forma.

Ø Al igual que el downside risk requiere de la fijación de un umbral o una rentabilidad mínima (Rtarget). Por encima de este umbral se considera una ganancia y por debajo una pérdida. Intuitivamente el ratio se puede interpretar como la relación entre la ganancia condicionada cuando la rentabilidad se encuentra por encima del umbral y la perdida condicionada a estar por debajo. O en términos más coloquiales, el Omega ratio es la relación entre cuál es la ganancia cuando se gana, y cuál es la pérdida cuando se pierde.

Ø Matemáticamente, se define como el cociente entre los rendimientos que quedan por encima del umbral ponderados por su probabilidad, y los rendimientos que quedan por debajo ponderados por su probabilidad:

Ø En la práctica financiera, se suele emplear la simplificada para Rtarget <=0:

OR(RTarget )=(1−F(r))dr

RTarget

∞

∫F(r)dr

−∞

RTarget∫=

(1−P[X < r])drRTarget

∞

∫P[X < r]dr

−∞

RTarget∫=

(r −RTarget )drRTarget

∞

∫(RTarget − r)dr−∞

RTarget∫

[ ] [ ][ ] [ ]TargetTarget

TargetTargetTarget RRRRRP-

RRRRRP)OR(R

<×<

>×>=

E

E


90

Omega ratio

Ø La expresión anterior del omega ratio ofrece una segunda lectura, se puede entender como el cociente de la ganancia media (por encima del umbral) ajustada por la probabilidad de esta ganancia y la pérdida media (por debajo del umbral) ajustada por probabilidad de esta pérdida.

Ø El uso que originalmente Keating y Sadhwich (2002) dieron al omega ratio fue el de una medida de performance, que otorga una calificación superior a aquellas carteras que para un mismo umbral mínimo de rentabilidad reservan una masa probabilística superior mayor más allá de dicho nivel de rentabilidad, siempre y cuando no sea a costa de incurrir en pérdidas extremas.

Ø En la actualidad, muchos son los interesados en construir (optimizar) carteras bajo este criterio, algo harto difícil con las herramientas analíticas que hemos visto hasta ahora, se hacen necesarios otros métodos.


91

Omega ratio


92

Omega ratio


93

[email protected]

1. teoría moderna de carteras y downside risk measures

Economy & Finance

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