(1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1....
Transcript of (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1....
![Page 2: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/2.jpg)
Pada materi sebelumnya telah
dijelaskan bahwa Teorema Nilai
Rata-Rata (TNR diferensial)
memegang peranan penting dalam
kalkulus.
Pembuktian TNR membutuhkan
Teorema ROLLE (kalkulus diferensial)
yang selanjutnya akan dipakai pada
Penggunaan Turunan, Kalkulus
Integral danAnalisis Numerik.
![Page 3: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/3.jpg)
Penggunaan Turunan yang akan
dibahas adalah
1. Penggambaran grafik fungsi
2. Pencarian nilai optimum
Pada materi tersebut dibutuhkan
beberapa teorema dan beberapa
konsep yang akan saling menunjang
satu sama lain.
![Page 4: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/4.jpg)
Pada materi turunan dijelaskan bahwa
kemiringan garis singgung merupakan
tafsiran geometris dari TURUNAN
fungsi, sehingga turunan dapat digunakan
sebagai alat bantu menggambar grafik
fungsi.
Bantuan tersebut dalam hal penentuan
titik-titik garis singgung atau penentuan
interval dimana grafik terletak di atas
garis singgung atau dibawahnya dst.
![Page 5: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/5.jpg)
ILUSTRASI GRAFIK
11, yxA
22 , yxB
33 , yxC
44 , yxD
55 , yxE
66 , yxF
77 , yxG
y
x
naik
cekung kebawah
cekung keatas
maks mutlak
min lokal
maks lokal
min mutlak
maks lokal
min lokal
naik
turun
cekung keatas
cekung kebawah
titik belok
88 , yxH
![Page 6: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/6.jpg)
ekstrim relatif/ekstrim lokal
(i) F punya nilai maksimum
relatif di c jika ada selang
terbuka I memuat c dimana f
terdefinisi, sehingga f(c)≥f(x),
xI a c b x
a c b x
(ii) F punya nilai minimum
relatif di c jika ada selang
terbuka I memuat c dimana f
terdefinisi, sehingga f(c)≤f(x),
xI
![Page 7: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/7.jpg)
Jika fungsi f mempunyai nilai
maksimum relatif atau nilai minimum
relatif di c, maka f dikatakan
mempunyai ekstrim relatif di c.
Jika f(x) ada untuk semua nilai x dalam
selang terbuka (a,b) dan jika f
mempunyai ekstrim relatif di c dimana
a<c<b maka f’(c) ada dan f’(c) = 0.
TEOREMA 1
![Page 8: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/8.jpg)
(ii) f punya minimum relatif di c. Jika
f’(c) ada maka
menurut definisi (ii) >0 sehingga jika
0c)( -)(c0 fxfx
c
c)( -)(limc)('
x
fxff
cx
B
U
K
T
I
(i) f punya maksimum relatif di c. Jika
f’(c) ada maka
menurut definisi (i) >0 sehingga jika
0c)( -)(0 fxfcx
c
c)( -)(limc)('
x
fxff
cx
![Page 9: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/9.jpg)
kasus (i)
0)c('0
c
)c(lim
0c
)c(0c
0)c('0c
)c(lim
0c
)c(c0
fx
fxf
x
fxfx
fx
fxf
x
fxfx
cx
cx
-Jika x mendekati c dari kanan x – c > 0 & jika
berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka
-Jika x mendekati c dari kiri x – c < 0 & jika
berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka
0)c(' 0)c(' 0)c(' fffKarena f’(c) ada dan serta maka
![Page 10: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/10.jpg)
-Jika x mendekati c dari kanan x – c > 0 & jika
berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka
-Jika x mendekati c dari kiri x – c < 0 & jika
berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka
0)c('0
c
)c(lim
0c
)c(0c
0)c('0c
)c(lim
0c
)c(c0
fx
fxf
x
fxfx
fx
fxf
x
fxfx
cx
cx
0)c(' 0)c(' 0)c(' fffKarena f’(c) ada dan serta maka
kasus (ii)
![Page 11: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/11.jpg)
Bila fungsi f didefinisikan di suatu
bilangan c maka syarat perlu
(bukan syarat cukup) agar f
mempunyai ekstrim relatif di c
adalah f’(c)=0 atau f’(c) tidak ada.
Bila c bilangan dalam daerah asal f
dan bila f ’(c)=0 atau f ’(c) tidak ada
maka c dikatakan bilangan kritis
dari f.
![Page 12: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/12.jpg)
Andaikan f didefinisikan pada suatu
selang yang memuat c, misalkan I.
Jika f(c) adalah titik ekstrim maka c
haruslah suatu titik kritis , yakni c
berupa salah satu :
1. Titik ujung dari selang
2. Titik stasioner dari f [f ’(c)=0]
3. Titik singular dari f [f ’(c) tidak
ada]
TEOREMA 2
![Page 13: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/13.jpg)
(1) f(c) nilai maksimum relatif f pada I
Andaikan c bukan titik ujung dan bukan titik
singular maka c titik stasioner. Karena f(c)
maksimum dari definisi (i), f(c)≥f(x), xI
f(x)-f(c)≤0.
(2) f(c) nilai minimum relatif f pada I
Andaikan c bukan titik ujung dan bukan titik
singular maka c titik stasioner. Karena f(c)
minimum dari definisi (ii), f(c)f(x), xI
f(x)-f(c)0.
B
U
K
T
I
![Page 14: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/14.jpg)
0)c('maka0)c('serta0)c('danada)c('Karena
0)c('0)c(
lim )c('
shg ada,)c('singulark bukan titi c karena
0)c(
sehingga,0 maka ,cjika
0)c('0)c(
lim)c('
shg ada,)c('singulark bukan titi c karena
0)c(
sehingga,0 maka,cjika
-
ffff
fcx
fxff
f
cx
fxf
cxx
fcx
fxff
f
cx
fxf
cxx
cx
cx
kasus (1)
![Page 15: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/15.jpg)
.0)c('maka0)c('serta0)c('danada)c('karena
0)c('0)c()(
lim)c('
shgada, )c(' makasingular k bukan titi c karena
0)c()(
sehingga 0 maka cjika
0)c('0)c()(
lim)c('
shgada, )c(' makasingular k bukan titi c karena
0)c()(
sehingga0makacjika
ffff
fcx
fxff
f
cx
fxf
cxx
fcx
fxff
f
cx
fxf
cxx
cx
cx
kasus (2)
![Page 16: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/16.jpg)
1. f(c) dikatakan nilai maksimummutlak fungsi f jika c di daerah asalf dan f(c)≥f(x) untuk semua nilai xdalam daerah asal f.
2. f(c) dikatakan nilai minimummutlak fungsi f jika c di daerah asalf dan f(c) ≤ f(x) untuk semua nilai xdalam daerah asal f.
ekstrim mutlak/ekstrim global
![Page 17: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/17.jpg)
Ekstrim mutlak suatu fungsi fadalah nilai maksimum mutlak
atau nilai minimum mutlak
fungsi didaerah asal f.
Daerah asal disini bisa berupa
suatu selang ataupun himpunan
dst.
![Page 18: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/18.jpg)
Misalkan f fungsi yg didefinisikan pd [-4,3]
Cari titik-titik kritisnya dan nilai ekstrim nya!
862
1
3
1)( 23 xxxxf
Jawab
•titik-titik ujungnya adalah -4 dan 3
•titik stasionernya x =-3 dan x=2 [jika f ’(x)=0
•titik singularnya tidak ada.
titik-titik kritisnya adalah -4, -3, 2 dan 3
contoh 1
![Page 19: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/19.jpg)
Nilai f(x) pada titik-titik kritisnya adalah
x = -4 f(-4) = 18,67;
x = -3 f(-3) = 21,5;
x = 2 f(2) = 0,67;
x = 3 f(3) = 3,5
Jadi pada selang [-4,3]
f punyai nilai maksimum mutlak 21,5
f punya nilai minimum mutlak 0,67
![Page 20: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/20.jpg)
862
1
3
1)( 23 xxxxf
![Page 21: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/21.jpg)
Bila fungsi f kontinu pada selang
tertutup [a,b] maka fungsi f
mempunyai nilai maksimum dan nilai
minimum mutlak (nilai ekstrim) pada
[a,b] (syarat cukup bukan syarat perlu)
TEOREMA 3
Bukti dapat dilihat pada buku teks
kalkulus lanjut, pada kuliah ini teorema
ini hanya akan dipakai tanpa dibuktikan.
![Page 22: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/22.jpg)
Cari titik kritis fungsi pd I
nilai maksimum & nilai minimum
fungsi kontinu pada selang tertutup I
Terbesar Terkecil
Maksimum Minimum
ujung
stasioner
singular
Hitung fungsi f pd titik kritis
![Page 23: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/23.jpg)
Jawab
f fungsi polinomial → f kontinu pada
[-½,2] sehingga teorema-teorema nilai
ekstrim dapat digunakan
contoh 2
Cari nilai maksimum dan minimum dari
fungsi berikut pada [-½,2]
23 32 xxxf
![Page 24: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/24.jpg)
I.Dicari titik kritis
- Titik ujung adalah -½ dan 2
- Titik stasioner f’(x)=6x2 +6x=-6x(x-1)=0
diperoleh x=0 dan x=1
- Titik singular tidak ada
Jadi titik kritis -½,0,1,2
II. f(-½)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-4
- Nilai maksimum 1 pada x=1 dan x= -½
- Nilai minimum –4 pada x =2
![Page 25: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/25.jpg)
y
x
![Page 26: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/26.jpg)
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang I,
(i) f naik pada I jika untuk setiap pasangan
bilangan x1 dan x2 dalam I
x1 x2 f(x1)f(x2)
(ii) f turun pada I jika untuk setiap
pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I
x1 x2 f(x1)f(x2)
(iii) f monoton pada I jika f naik atau f
turun pada suatu selang I.
kemonotonan
![Page 27: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/27.jpg)
Misalkan f kontinu pada
selang [a,b], dan terdiferensiasi
pada (a,b):
(i) Jika f’(x)0 untuk setiap x pada
(a,b) maka f naik pada [a,b]
(ii) Jika f’(x)0 untuk setiap x pada
(a,b) maka f turun pada [a,b]
TEOREMA 4
![Page 28: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/28.jpg)
Misalkan x1,x2[a,b] dgn x1x2.
Karena f kontinu pada [x1,x2] dan
terdiferensial pada (x1,x2), dari
teorema TNR bilangan c pada
[x1,x2] sehingga
Dari x1x2 → x2–x10 & f ’(c)0,
sehingga f(x2)–f(x1)0 f(x1)f(x2)
→ f naik pada [a,b]■
12
12 )()((c)'
xx
xfxff
BUKTI
i
![Page 29: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/29.jpg)
Misalkan x1, x2[a,b] dgn x1 x2.
Karena f kontinu pada [x1,x2] dan
terdiferensial pada (x1,x2), dari
teorema TNR bilangan c pada
[x1,x2] sehingga
Dari x1x2 → x2–x10 dan f ’(c)<0,
sehingga f(x2)–f(x1)< 0 f(x1)>f(x2)
→ f turun pd [a,b]■
12
12 )()((c)'
xx
xfxff
BUKTI
ii
![Page 30: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/30.jpg)
Diberikan fungsi f(x) = 2x3+9x2-24x.
Dengan menggunakan teorema
kemonotonan, cari dimana fungsi yang
diberikan naik dan dimana turun.
24186)('
2492)(
2
23
xxxf
xxxxf
contoh 3
Jawab
![Page 31: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/31.jpg)
)(1,dan )4,( padanaik Jadi
04)1)(-(043024186
0)(' jikanaik i)(
22
f
xxxxxx
xff
)1,4( pada turun Jadi
04)1)(-(043024186
0)(' jika turun (ii)
22
f
xxxxxx
xff
![Page 32: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/32.jpg)
f(x) =2x3 + 9x2 - 24x
-20-10
0102030405060708090
100110120
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
![Page 33: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/33.jpg)
Andaikan f terdefinisi pada (a,b) yang memuat c
sehingga xc(a,b), titik (x,f(x)) pada grafik terletak
1. Diatas garis singgung pada grafik dititik (c,f(c))
maka grafik fungsi f cekung keatas dititik (c,f(c)).
2. Dibawah garis singgung pada grafik dititik (c,f(c))
maka grafik fungsi f cekung kebawah dititik
(c,f(c)).
(c,f(c))
(c,f(c))
cekung
kebawah
cekung
keatas
kecekungan fungsi
![Page 34: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/34.jpg)
Misalkan f fungsi terdiferensial pada
selang terbuka yang memuat c, maka :
(i) f”(c)>0, f cekung keatas di (c,f(c)).
(ii) f”(c)<0, f cekung kebawah di (c,f(c)).
cekung keatas
x0
y
cekung kebawah
x0
y
TEOREMA 5
![Page 35: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/35.jpg)
c ,0c
)c(')('
limit eoremaberdasar t
0c
)c(')('lim 0)c("
karena
c
)c(')('lim)c("
xx
fxf
x
fxff
x
fxff
cx
cxBUKTI
i
![Page 36: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/36.jpg)
(c , f(c))
Q(x , f(x))
f(x)
T
c x
)c)(c(')c( xffy
Tinjau garis singgung pada grafik f
dititik (c,f(c)). Persamaan garisnya :
![Page 37: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/37.jpg)
Misalkan :
x bilangan pada selang terbuka sehingga x c.
Q titik pada grafik f dengan titik (x , f(x)).
T titik perpotongan garis singgung dan garis
sejajar sumbu y melalui Q.
)c)(c(')]c()([
)]c)(c(')c([)(
xffxfTQ
xffxfTQ
0TQ
Untuk membuktikan f cekung keatas dititik
(c,f(c)) akan ditunjukkan xc diselang
terbuka tersebut.
![Page 38: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/38.jpg)
Menurut TNR terdapat bilangan d antara x dan c
sehingga
Jadi
karena d antara x dan c, dan d pada selang terbuka
yang sama sehingga dengan mengambil x = d.
Diperoleh
)c)(d(')c()(c
)c()()d('
xffxf
x
fxff
0cd
)c(')d('
ff
)]c(')d(')[c(
)c)(c(')c)(d('
ffxTQ
xfxfTQ
![Page 39: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/39.jpg)
)).c(,c( di keatas cekung Jadi
0
positipbilangan sama yang tandapunya
(c)]'-(d)'[dan c)-(
sehingga
0)c(')d(' cdc0c- jika
0)c(')d(' cdc0c- jika
)]c(')d(')[c(
Diketahui
ff
TQ
TQ
ffx
ffxx
ffxx
ffxTQ
![Page 40: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/40.jpg)
c ,0c
)c(')('
limit eoremaberdasar t
0c
)c(')('lim 0)c("
karena
c
)c(')('lim)c("
xx
fxf
x
fxff
x
fxff
cx
cxBUKTI
ii
![Page 41: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/41.jpg)
)c)(c(')c( xffy
Tinjau garis singgung pada grafik f
dititik (c,f(c)). Persamaan garisnya :
![Page 42: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/42.jpg)
Misalkan :
x bilangan pada selang terbuka sehingga x c.
Q titik pada grafik f dengan titik (x , f(x)).
T titik perpotongan garis singgung dan garis
sejajar sumbu y melalui Q.
0TQ
Untuk membuktikan f cekung kebawah dititik
(c,f(c)) akan ditunjukkan xc diselang
terbuka tersebut.
)c)(c(')]c()([
)]c)(c(')c([)(
xffxfTQ
xffxfTQ
![Page 43: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/43.jpg)
Menurut TNR terdapat bilangan d antara x dan c
sehingga
Jadi
karena d antara x dan c, dan d pada selang terbuka
yang sama sehingga dengan mengambil x = d.
Diperoleh
)c)(d(')c()(c
)c()()d('
xffxf
x
fxff
0cd
)c(')d('
ff
)]c(')d(')[c(
)c)(c(')c)(d('
ffxTQ
xfxfTQ
![Page 44: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/44.jpg)
)).c(,c( dikebawah cekung Jadi
0
negatifbilangan beda yang tandapunya
(c)]'-(d)'[dan c)-(
sehingga
0)c(')d(' cdc0c- jika
0)c(')d(' cdc0c- jika
)]c(')d(')[c(
Diketahui
ff
TQ
TQ
ffx
ffxx
ffxx
ffxTQ
![Page 45: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/45.jpg)
Titik (c,f(c)) titik belok (balik) dari fungsi f jika
mempunyai garis singgung di titik (c,f(c)) dan
terdapat selang buka yang memuat c sehingga
untuk x diselang tersebut berlaku :
(i) f”(x) < 0 jika x < c dan f”(x) > 0 jika x > c.
(ii) f”(x) > 0 jika x < c dan f”(x) < 0 jika x > c.
cc
titik belok
![Page 46: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/46.jpg)
Bila fungsi f terdiferensial pada
interval terbuka yang memuat c
dan (c,f(c)) suatu titik belok
(balik) dari grafik fungsi f maka
f ’’(c) ada dan f ’’(c) = 0.
TEOREMA 6
![Page 47: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/47.jpg)
Misalkan g(x)=f ’(x) g’(x)=f”(x).
Karena (c,f(c)) titik belok grafik f menurut
kecekungan fungsi maka f”(x) berganti tanda
di c akibatnya g’(x) berganti tanda di c.
Berdasar teorema uji turunan pertama maka g
mempunyai ekstrim relatif di c dan c bilangan
kritis dari g.
Karena:
g’(c) = f”(c) dan f”(c) ada g’(c) ada
Sehingga berdasarkan teorema
g’(c) = 0 sehingga f”(c) = 0.■
BUKTI
![Page 48: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/48.jpg)
Diberikan fungsi f(x)=1/3x3–x2–3x+4.
Tentukan titik belok, grafik cekung
keatas dan cekung kebawah, sketsa
grafik dan segmen garis singgung
pembelokan grafik f ?
contoh 4
Jawab
f(x) = 1/3x3 – x2 – 3x + 4
f ’(x) = x2–2x–3 = (x–3)(x + 1)
f”(x) = 2x – 2 = 2(x – 1)
![Page 49: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/49.jpg)
f’(x) =(x – 3)(x + 1) = 0
titik kritis x = 3 dan x = -1 titik stasioner
f(-1) = 17/3 (maksimum relatif)
f(3) = -5 (minimum relatif)
f ”(x) = 2(x – 1) = 0
2(x – 1) > 0 (x – 1) > 0 x > 1
maka f ”(x) > 0 jika x > 1 cekung keatas
2(x – 1) < 0 (x – 1) < 0 x < 1
maka f”(x) < 0 jika x < 1 cekung kebawah
titik belok x = 1 f(1) = 1/3
![Page 50: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/50.jpg)
)(xf )(' xf )('' xfx Keterangan
x < -1 + - naik, cekung kebawah
x = -1 0 -4 Maksimum relatif
-1< x < 1 - - turun, cekung kebawah
x = 1 -4 0 Titik belok
1< x < 3 - + turun, cekung keatas
x = 3 -5 0 4 Minimum relatif
x > 3 + + naik, cekung keatas
317
31
![Page 51: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/51.jpg)
![Page 52: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/52.jpg)
Diberikan fungsi f(x)=(1–2x)3. Tentukan
titik belok, titik dimana grafik cekung
keatas dan cekung kebawah, sketsa
grafik grafik f ?
contoh 5
Jawab
f(x) = (1 – 2x)3
f ’(x) = -6(1 – 2x)2
f”(x) = 24(1 – 2x)
![Page 53: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/53.jpg)
f’(x)= -6(1 – 2x)2 = 0
titik kritis x = ½ (titik stasioner)
f(½) = 0
f ”(x) = 24(1 – 2x) = 0
(1 – 2x) > 0 x < ½
maka f ”(x) > 0 jika x < ½ cekung keatas
(1 – 2x) < 0 x > ½
maka f”(x) < 0 jika x > ½ cekung kebawah
titik belok x = ½ f (½) = 0.
![Page 54: (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012318/5a7757fe7f8b9a4b538de78f/html5/thumbnails/54.jpg)
x Keterangan
x < ½ - + turun, cekung keatas
x = ½ 0 0 0 Titik belok
x > ½ - - turun, cekung kebawah
)(xf )(' xf )('' xf