1. Teorema Dalam Suku Banyak a. Teorema Sisa Pada persamaan ...
Transcript of 1. Teorema Dalam Suku Banyak a. Teorema Sisa Pada persamaan ...
1. Teorema Dalam Suku Banyak a. Teorema Sisa
Pada persamaan untuk pembagian linier jika 𝑥 = 𝑎 , maka 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 ℎ 𝑥 + 𝑠𝑓 𝑎 = 𝑎 − 𝑎 ℎ 𝑥 + 𝑠𝑓 𝑎 = 0 ℎ 𝑥 + 𝑠𝑓 𝑎 = 𝑠
Jika fungsi suku banyak 𝑓 𝑥 berderajat 𝑛 dibagi dengan 𝑥 − 𝑎 maka sisanya adalah
𝑠 = 𝑓 𝑎
b. Teorema Faktor I Pada pelajaran tentang pembagian bilangan bulat , !!= ℎ + !
!
Bilangan 𝑝 habis dibagi dengan 𝑞 jika sisanya 𝑠 = 0 !!
= ℎ + !!
!!
= ℎ + !!
!!
= ℎ𝑝 = 𝑞ℎ
Bilangan 𝑞 dan ℎ merupakan faktor dari bilangan 𝑝 Dengan prinsip yang sama dalam suku banyak jika 𝑠 = 𝑓 𝑎 = 0
𝒙− 𝒂 adalah faktor dari 𝒇 𝒙 jika dan hanya jika 𝒇 𝒂 = 𝟎 Jika 𝑥 − 1 adalah faktor dari 𝑓 𝑥 , maka 𝑓 1 = 0 𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!!!𝑥!!! + 𝑎!!!𝑥!!! +⋯+ 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎!𝑓 1 = 𝑎! 1 ! + 𝑎!!! 1 !!! + 𝑎!!! 1 !!! +⋯+ 𝑎! 1 ! + 𝑎! 1 + 𝑎!0 = 𝑎! + 𝑎!!! + 𝑎!!! +⋯+ 𝑎! + 𝑎! + 𝑎!0 = 𝑎!!!!
!!!
Jika 𝑥 + 1 adalah faktor dari 𝑓 𝑥 , maka 𝑓 −1 = 0 𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!!!𝑥!!! + 𝑎!!!𝑥!!! +⋯+ 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎!𝑓 1 = 𝑎! −1 ! + 𝑎!!! −1 !!! + 𝑎!!! −1 !!! +⋯+ 𝑎! −1 ! + 𝑎! −1 + 𝑎!0 = ±𝑎! ∓ 𝑎!!! ± 𝑎!!! ∓⋯+ 𝑎! − 𝑎! + 𝑎!
Jika 𝑛 genap 𝑎! − 𝑎!!! + 𝑎!!! −⋯+ 𝑎! − 𝑎! + 𝑎! = 0 Jika 𝑛 ganjil −𝑎! + 𝑎!!! − 𝑎!!! +⋯+ 𝑎! − 𝑎! + 𝑎! = 0
c. Teorema Faktor II
Jika 𝑟! dan 𝑟! adalah akar akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! , maka 𝑓 𝑥 = 𝑎! 𝑥 − 𝑟! 𝑥 − 𝑟!𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! = 𝑎! 𝑥 − 𝑟! 𝑥 − 𝑟!!!!!𝑥! + !!
!!𝑥 + !!
!!= 𝑥! − 𝑟!𝑥 − 𝑟!𝑥 + 𝑟!𝑟!
𝑥! + !!!!𝑥 + !!
!!= 𝑥! − 𝑟! + 𝑟! 𝑥 + 𝑟!𝑟!
Persamaan di atas benar jika 𝑟! + 𝑟! = − !!
!! 𝑟!𝑟! =
!!!!
Jika 𝑟! , 𝑟! dan 𝑟! adalah akar akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! , maka 𝑓 𝑥 = 𝑎! 𝑥 − 𝑟! 𝑥 − 𝑟! 𝑥 − 𝑟!𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! = 𝑎! 𝑥! − 𝑟! + 𝑟! 𝑥 + 𝑟!𝑟! 𝑥 − 𝑟!!!!!𝑥! + !!
!!𝑥! + !!
!!𝑥 + !!
!!= 𝑥! − 𝑟! + 𝑟! 𝑥! + 𝑟!𝑟!𝑥 − 𝑟!𝑥! − 𝑟! 𝑟! + 𝑟! 𝑥 + 𝑟!𝑟!𝑟!
𝑥! + !!!!𝑥! + !!
!!𝑥 + !!
!!= 𝑥! − 𝑟! + 𝑟! + 𝑟! 𝑥! + 𝑟!𝑟! + 𝑟!𝑟! + 𝑟!𝑟! 𝑥 − 𝑟!𝑟!𝑟!
Persamaan di atas benar jika 𝑟! + 𝑟! + 𝑟! = − !!
!! 𝑟!𝑟! + 𝑟!𝑟! + 𝑟!𝑟! =
!!!! 𝑟!𝑟!𝑟! = − !!
!!
Dengan cara yang sama bisa didapatkan untuk suku banyak derajat 𝑛
d. Teorema Akar Akar Rasional Persamaan pada bagian sebelumnya untuk suku banyak derajat 𝑛 akan didapatkan
𝑟!𝑟!𝑟!⋯ 𝑟! = −1 ! !!!! 𝑟! + 𝑟! + 𝑟!⋯ 𝑟! = − !!!!
!!
Jika 𝑝! , 𝑞! ,𝑎! ∈ Integer dimana 𝑖 = 1 , 2, 3 ,⋯ ,𝑛 dan 𝑟! =
!!!! , maka
𝑟!𝑟!𝑟!⋯ 𝑟! = −1 ! !!
!!!!!!
!!!!
!!!!
⋯ !!!!
= −1 ! !!!!
!!!!!!⋯!!!!!!!!⋯!!
= −1 ! !!!!
𝒂𝟎 = 𝒑𝟏𝒑𝟐𝒑𝟑⋯𝒑𝟒 atau 𝒑𝟏𝒑𝟐𝒑𝟑⋯𝒑𝟒 adalah faktor dari 𝒂𝟎 𝒂𝒏 = 𝒒𝟏𝒒𝟐𝒒𝟑⋯𝒒𝟒 atau 𝒒𝟏𝒒𝟐𝒒𝟑⋯𝒒𝟒 adalah faktor dari 𝒂𝒏