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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Sondage aléatoire à probabilités égales
Myriam Maumy-Bertrand1
1IRMA, Université de StrasbourgStrasbourg, France
Master 2ème Année 05-10-2011
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Ce chapitre s’appuie essentiellement sur trois livres :« Éléments de statistiques »,de Jean-Jacques Droesbeke,Université de Bruxelles, 2001.« Les techniques de sondage »de Pascal Ardilly,éditions Technip, 2006.« Exercices corrigés de méthodes de sondage »de Pascal Ardilly et de Yves Tillé,éditions Ellipses, 2003.
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Sommaire
1 Introduction
2 Sondage aléatoire à probabilités égales avec remise
3 Sondage aléatoire à probabilités égales sans remise
4 Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionUn sondage aléatoire est simple (SAS) si tous les échantillonsde taille n fixée a priori, prélevés au sein d’une population Ud’effectif N, sont réalisables avec la même probabilité.
RemarqueDans ce cas, les individus de la population U ont tous la mêmeprobabilité d’être choisis pour faire partie de l’échantillon S :leur probabilité d’inclusion est une constante.
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Remarque
Rappelez ce qu’est une probabilité d’inclusion !
RéponseVous pouvez trouver la réponse :
soit en relisant le cours d’introductionsoit en lisant une définition p: 51 dans le livre de Ardillysoit en allant regarder sur le lien internet suivant :« images.math.cnrs.fr/pdf2006/Lejeune.pdf ».
RemarqueSi nous reprenons le choix d’une seule observation, chaqueindividu de la population U a une probabilité égale à 1/N d’êtreprélevé dans la population U afin de constituer l’échantillon S.
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Il y a deux méthodes pour sélectionner des individus pourconstituer un échantillon S.
La première méthodeElle consiste à replacer chaque valeur observée dans lapopulation U avant le tirage suivant et cela n fois de suite.⇒ Prélèvement avec remise. Ce type de sondage est ditsondage à probabilités égales avec remise (PEAR).
La deuxième méthodeElle consiste à ne pas remettre l’individu dans la population U àchaque tirage.⇒ Prélèvement sans remise. Ce type de sondage est ditsondage à probabilités égales sans remise (PESR).
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Sommaire
1 Introduction
2 Sondage aléatoire à probabilités égales avec remise
3 Sondage aléatoire à probabilités égales sans remise
4 Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Propriété
Dans ce cas, il y a Nn échantillons S possibles.
RemarqueUn même individu peut-être sélectionné plusieurs fois !
Remarque
À chaque tirage, la population U est toujours la même.
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Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Chaque valeur observée est prise indépendamment des autres.
PropriétéL’échantillon S est alors considéré comme une suite devariables aléatoires indépendantes et équidistribuées{Y1, . . . ,Yn}, où Yi est la valeur observée pour le i-èmeindividu sélectionné, telles que
∀i = 1, . . . ,n E [Yi ] = Y = µY et Var [Yi ] = σ2Y ,
où µY est la moyenne de la population U et σ2Y la variance de la
population U.
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
DéfinitionUn estimateur classique de la moyenne µ d’une population Use définit par
µn =1n
∑i∈S
Yi .
PropriétéUn calcul direct montre que
E [ µn ] = µY et Var [ µn ] =σ2
Yn·
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique que µnest un estimateur sans biais de la moyenne µY de la populationU.
RemarqueDans l’expression de la variance de µn, nous remarquons quele terme de la variance σ2
Y de la population U intervient. Or,dans la plupart des cas, nous ne connaissons pas la varianceσ2
Y de la population U. Nous serons donc amené à construireun estimateur de la variance de µn.
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Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
DéfinitionUn estimateur de la variance de µn se définit par
Var [ µn ] =S2
cn,
où S2c désigne la variance corrigée de l’échantillon S.
PropriétéUn calcul direct montre que
E[
Var [ µn ]]=σ2
Yn·
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Remarque
Rappelons que la variance corrigée S2c de l’échantillon S se
définit par
S2c =
1n − 1
∑i∈S
(Yi − µn)2
et que S2c est un estimateur sans biais de la variance σ2
Y de lapopulation U.
Remarque
De cette dernière propriété, nous en déduisons que S2c/n est
un estimateur sans biais de la variance de l’estimateur µn.
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Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
DéfinitionUn estimateur classique du total TY d’une population U sedéfinit par
Tn = Nµn =Nn
∑i∈S
Yi .
PropriétéUn calcul direct montre que
E[
Tn
]= TY et Var
[Tn
]= N2σ
2Yn·
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique queTn est un estimateur sans biais du total TY de la population U.
Remarque
Dans l’expression de la variance de Tn, nous remarquons quele terme de la variance σ2 de la population U intervient. Or,dans la plupart des cas, nous ne connaissons pas la varianceσ2
Y de la population U. Nous serons donc amené à construireun estimateur de la variance de l’estimateur Tn.
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Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Définition
Un estimateur de la variance de Tn se définit par
Var[Tn
]= N2 S2
cn,
où S2c désigne la variance corrigée de l’échantillon S.
PropriétéUn calcul direct montre que
E[
Var[Tn
] ]= N2σ
2Yn·
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Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Remarque
De cette dernière propriété, nous en déduisons que N2 S2c
nest
un estimateur sans biais de la variance de l’estimateur Tn.
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Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Rappelons que :
Définition
Un estimateur classique de la variance σ2 d’une population Use définit par
S2c =
1n − 1
∑i∈S
(Yi − µn)2 .
PropriétéDes calculs montrent que
E[
S2c
]= σ2
Y et Var[
S2c
]=
1n(n − 1)
[(n − 1)µ4,Y − (n − 3)σ4
Y
].
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique queS2
c est un estimateur sans biais de la variance σ2Y de la
population U.
Remarque
Dans l’expression de la variance de l’estimateur S2c , nous
remarquons que le terme σ4Y , qui est le carré de la variance de
la population U, intervient ainsi que le moment d’ordre 4, µ4,Y .Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons ni σ4
Y , ni µ4,Y .Nous serons donc amené à construire un estimateur de lavariance de l’estimateur S2
c , si besoin est.
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Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Le prélèvement avec remise est susceptible de fournirplusieurs fois un individu de la population. Deux situations seprésentent.
Les n tirages fournissent n individus distincts.Dans ce cas, S correspond à un sous-ensemble de U de taillen.
Les définitions de µn,Tn et S2c sont équivalentes si nous
renumérotons les individus de la population U de telle sorte que
S = {1, . . . ,n}.
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Quelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la varianceRemarque
Les n tirages fournissent m individus, où m < n.Dans ce cas, deux comportements sont à envisager.
Le premier consiste à prendre en compte les observationsautant de fois qu’elles ont été recueillies.Le second consiste de prendre la moyenne des m valeursdistinctes observées dont l’ensemble est désigné par Sm :
µm =∑
k∈Sm
Yk .
Il est clair que dans ce cas, la taille de n de l’échantillonn’est plus une constante mais devient elle-même une v.a.,fonction du processus de prélèvement.
Nous montrons que, en moyenne, µm est encore égal à µY .
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Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
Sommaire
1 Introduction
2 Sondage aléatoire à probabilités égales avec remise
3 Sondage aléatoire à probabilités égales sans remise
4 Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Myriam Maumy-Bertrand Sondage aléatoire à probabilités égales
IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
DéfinitionUn sondage aléatoire est sans remise si l’observationprélevée au i-ème tirage n’est pas replacée dans la populationavant les prélèvements suivants. Ce type de sondage estappelé un sondage à probabilités égales sans remise (PESR)
RemarqueUn individu est choisi au plus une fois, chaque tirage faitdécroître la population U d’une unité.⇒ Les observations ne sont plus des variables aléatoiresindépendantes les unes des autres.
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DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
DéfinitionUn estimateur classique de la moyenne µ d’une population Use définit par
µn =1n
∑i∈S
Yi .
PropriétéDes calculs (Ardilly, pages 259 à 261) montrent que
E [ µn ] = µY ,
et
Var [ µn ] =N − nN − 1
σ2Yn
= (1− f )N
N − 1σ2
Yn
= (1− f )σ2
Y ,c
n·
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique que µnest un estimateur sans biais de la moyenne µY de la population.
RemarqueSi la taille N de la population U est grande, la variance de µnvaut :
Var [ µn ] ≈ (1− f )σ2
Yn·
RemarqueDans l’expression de la variance de µn, nous remarquons quele terme de la variance corrigée σ2
Y ,c de la population Uintervient. Nous serons donc amené à construire un estimateurde la variance de µn.
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
Remarque
Rappelons que la variance corrigée S2c de l’échantillon S se
définit par
S2c =
1n − 1
∑i∈S
(Yi − µn)2
et que S2c est un estimateur sans biais de la variance corrigée
σ2Y ,c de la population U.
Remarque
De cette dernière propriété, nous en déduisons que (1− f )S2
cn
est un estimateur sans biais de la variance de l’estimateur µn.
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DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
DéfinitionUn estimateur classique du total T d’une population U sedéfinit par
Tn = Nµn =Nn
n∑i∈S
Yi .
PropriétéDes calculs (Ardilly, pages 196 à 198) montrent que
E[
Tn
]= TY et Var
[Tn
]= N2(1− f )
σ2Y ,c
n·
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
RemarqueL’avant dernière égalité de la dernière propriété implique queTn est un estimateur sans biais du total TY de la population U.
Remarque
Dans l’expression de la variance de Tn, nous remarquons quele terme de la variance corrigée σ2
Y ,c de la population Uintervient. Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissonspas la variance corrigée σ2
Y ,c de la population U. Nous serons
donc amené à construire un estimateur de la variance de Tn.
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Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
Définition
Un estimateur de la variance de Tn se définit par
Var[Tn
]= N2(1− f )
S2Y ,c
n,
où S2c désigne la variance corrigée de l’échantillon S.
PropriétéUn calcul direct montre que
E[
Var[Tn
] ]= N2(1− f )
σ2c
n·
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DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
RemarqueDe cette dernière propriété, nous en déduisons que
N2(1− f )S2
cn
est un estimateur sans biais de la variance de
l’estimateur Tn.
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DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
Définition
Un estimateur de la variance σ2 d’une population U, dans lecas d’un sondage aléatoire à probabilités égales sans remise,se définit par
σ2n =
N − 1N
S2c =
N − 1N
1n − 1
∑i∈S
(Yi − µn)2 .
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
PropriétéDes calculs (Ardilly et Tillé, pages 43 à 49) montrent que
E[σ2
n
]= E
[N − 1
NS2
c
]= σ2
Y
et
Var[σ2
n
]=
(N − n)n(n − 1)N(N − 2)(N − 3)
×
{µ4,Y (N − 1) [N(n − 1)− (n + 1)]
−σ4Y
[N2(n − 3) + 6N − 3(n + 1)
]}.
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DéfinitionEstimateur de la moyenneEstimateur du totalEstimateur de la variance
Remarque
L’avant dernière égalité de la dernière propriété implique que σ2n
est un estimateur sans biais de la variance σ2Y de la population
U.
Remarque
Dans l’expression de la variance de l’estimateur σ2n, nous
remarquons que le terme σ4Y , qui est le carré de la variance de
la population U, intervient ainsi que le moment d’ordre 4, µ4,Y .Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons ni σ4
Y , ni µ4,Y .Nous serons donc amené à construire un estimateur de lavariance de l’estimateur σ2
n, si besoin est.
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Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Sommaire
1 Introduction
2 Sondage aléatoire à probabilités égales avec remise
3 Sondage aléatoire à probabilités égales sans remise
4 Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
RemarqueLes deux méthodes conduisent toutes les deux à desestimateurs µn qui sont, en moyenne égaux au paramètre µYde la population.
RemarquePar contre les variances de µn ne sont pas égales !
Problème :Qui est le meilleur estimateur de la moyenne µY de lapopulation parmi ces deux estimateurs ?
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Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser uneméthode.
RemarqueEn général, les estimateurs que nous devons comparer sont enmoyenne égaux au paramètre à estimer. Ils ne différent que parleur variance. (La variance est un paramètre de précision del’estimateur.)
PropositionPour comparer deux estimateurs ou deux méthodes quiproduisent des estimateurs différents, nous utilisons l’effet desondage.
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IntroductionSondage aléatoire à probabilités égales avec remiseSondage aléatoire à probabilités égales sans remise
Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
DéfinitionL’effet de sondage est défini par :
D(θ∗|θ) =Var[θ∗]
Var[θ] ·
Remarque
Si D(θ∗|θ) < 1, alors θ∗ sera plus précis que θ.
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Rappelons
Propriété
Var[µPEAR
]=σ2
Yn
et Var[µPESR
]=σ2
Yn
N − nN − 1
·
Il s’en suit que
D (PESR|PEAR) =N − nN − 1
·
Si n > 1, alors nous avons N − n < N − 1. Par conséquent,nous obtenons
D(PESR|PEAR) < 1.
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ConclusionLa précision de l’estimateur est donc meilleure si nous utilisonsun échantillon aléatoire à probabilités égales sans remise qu’unéchantillon aléatoire à probabilités égales avec remise.
RemarqueCe dernier résultat est intuitif car il y a une perte d’informationdès que certains individus sont observés plus d’une fois, ce quiest impossible lors d’un tirage sans remise.
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Remarques1 Si la taille de la population est grande, l’effet de sondage
est tel que
D(PESR|PEAR) =N − nN − 1
≈ N − nN
= 1− f ,
où f est le taux de sondage. L’amélioration de la précisionest d’autant meilleure que f est grand.
2 La différence entre les deux procédures faiblit quand lataille de l’échantillon est petite par rapport à celle de lapopulation, i.e. quand f est faible ! Dans ce cas l’effet desondage est proche de 1, les deux méthodes fournissentdes estimateurs de précision analogue.
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