1 PROYECTO FIN DE CARRERA Diagramas de nudos: casi alternancia y adecuación. Aplicaciones en...
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1
PROYECTO FIN DE CARRERA
Diagramas de nudos: casi alternancia y adecuación. Aplicaciones en ingeniería
Autor: Francisco Cordovilla Baró
Junio 2009
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Nudos y Diagramas
Implicaciones • sistemas dinámicos,• geometría algebraica,• grupos cuánticos,• física teórica,• etc.
Nudo (espacial
)
Diagrama
(plano)
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Problema de clasificación: ¿cuándo dos diagramas
representan el mismo nudo?
=
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4
Solución matemática: teoría de invariantes
Polinomio de Jones (Medalla Field en 1990).
VL(t) = t –4 + t –3 – t –1L =
Corchete de Kauffman (1987).
‹ › = – A –5 – A3 + A7
ancho ‹ › = 7 – (–5) = 12
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5
Estados de un diagrama
A
A
A A
B
A A
A
B B
A
A
A
B
B B
A
B B
B
B
Un estado s de un diagrama D es un etiquetado de cada uno de los cruces de D mediante una letra A ó B.
Los ocho estados posibles del Trébol
B A
B
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Estados como instrucción para suavizar el diagrama
Cada etiqueta A ó B es una instrucción para suavizar el cruce correspondiente.
BA
A B
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Estados extremos y número de círculos
|sAD| + |sBD| = 3 + 2 = 5
A
A
A
B
B
B|sBD| = 2
|sAD| = 3
Número de círculos de D = |sAD| + |sBD|
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El ancho del corchete de Kauffman
ancho (<D>) 2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4
Para diagramas alternantes el número de círculos es n + 2 y por tanto ancho (<D>) 4n.
El proyecto estudia esta cota para diagramas casi-alternantes y 2-casi-alternantes, analizando el número de círculos.
Número de círculos
Es conocida la siguiente cota superior del ancho de <D>:
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Diagramas alternantes y k-casi-alternantes
Diagrama alternante
Diagrama casi-alternante
Diagrama 2-casi-alternante
Cruce desalternador
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Teorema sobre diagramas 2-casi-alternantes
Sea D un diagrama conexo, reducido, fuertemente primo con n cruces.
Supongamos que D es 2-casi-alternante.
Sean c1 y c2 sus desalternadores.
Sea r el número de regiones que colindan simultáneamente con c1 y c2.
Se verifica entonces que r ≤ 3 y se tienen las siguientes igualdades:
• Si r = 0, 1 o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de igual color, |sAD| + |sBD| = n - 2 .
• Si r = 3, o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de distinto color, |sAD| + |sBD| = n.
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Ejemplo con r = 3, n = 9
|sAD| = 3 |sBD| = 6
Como predice el teorema,
|sAD| + |sBD| = 3 + 6 = 9 = n.
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12
Ejemplo con r = 2, mismo color, n = 10
Como predice el teorema,
|sAD| + |sBD| = 7 + 3 = 10 = n.
|sAD| = 7 |sBD| = 3
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Ejemplo con r = 2, distinto color, n = 8
|sAD| = 1 |sBD| = 5
Como predice el teorema,
|sAD| + |sBD| = 1 + 5 = 6 = n - 2.
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Ancho del corchete y diagramas adecuados
<D> = amAm + ... + aMAM
Se conocen las siguientes fórmulas:
M = n + 2|sAD| - 2
m = - n – 2|sBD| + 2
Por tanto ancho (<D>) 2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4
Si los hipotéticos coeficientes extremos am y aM no se anulan, entonces se tiene una igualdad en la fórmula anterior. ¿Cuándo ocurre esto?
Por ejemplo, en el caso de los llamados diagramas adecuados.
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Grafos convertiblesPartiendo del estado extremo sA de un diagrama D, se construye un grafo GD
A
=
Los grafos obtenidos por este procedimiento, o sea, los grafos de tipo GD
A son llamados grafos convertibles.
El proyecto contiene un anexo en donde se abunda en la caracterización de este tipo de grafos.
D sAD
GDA
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Independencia promedio de grafosTodo grafo G lleva asociado un número entero I(G), llamado independencia promedio.
aM = I(GDA)
am = I(GDB)
Teorema (Morton-Bae)
Gr (r hexágonos)
I(Gr) = r + 1
La independencia promedio del grafo vacío es 1.
r
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Diagramas adecuados y grafos convertibles
Adecuado
Luego para los diagramas adecuados
ancho (<D>) = 2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4
Alternante
+
Reducido
GAD= Ø
GBD= Ø
I(GDA) = 1
I(GDB) = 1
aM = 1
am = 1
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Aplicaciones basadas en la teoría de trenzas
Aplicaciones Bioquímica, criptografía, robótica, mecánica de fluidos, etc.
Trenza (espacial) Diagrama (plano) Clausura del diagrama
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Mecánica de fluidos: homogeneización
Mezclar homogéneamente dos fluidos
Distribuir homogéneamente una propiedad en un único fluido
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¿Cómo mezclan fluidos las trenzas ?
El hilo de líquido rosa se mezcla con el líquido azul siguiendo una trenza.
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Hay trenzas buenas y trenzas malas
Trenza periódica σ1 σ2 σ3 σ2
No mezcla bien.
Trenza pseudo-Anosovσ1 σ2
-1 σ3 σ2-1
Sí mezcla bien.
La entropía topológica mide si las trenzas mezclan bien o mal.
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El mezclador plateado
Mecanismo para el mezclado de fluidos
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VGAs en una planta industrialSe trata de diseñar sistemas de control para los VGAs que cumplan las siguientes tres especificaciones:
1. Los VGAs no deben colisionar con los obstáculos.
2. Los VGAs no deben colisionar entre si.
3. Los VGAs deben ser capaces de completar su trabajo con eficiencia, en relación a determinados parámetros.
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Desplazamiento de VGAs siguiendo una trenza
B A
BA
BA
BA
Una trenza contiene la información del posible movimiento simultáneo de varios VGAs, tantos como cuerdas tenga la trenza.
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Espacios de configuraciónEl tiempo es la variable z según la cual se desarrolla la trenza.
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FIN
MUCHAS GRACIAS
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Demostración del caso r = 1
Ya que D* es alternante y conexo sabemos que |sAD*| + |sBD*| = n + 2
Se prueba que :|sAD| = |sAD*| - 2
|sBD| = |sBD*| - 2
de modo que:
|sAD| + |sBD| = (n + 2) – 4 = n – 2.
D D*
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Caso r = 1 (continuación)
|sAD| = |sAD*| - 2
D D*
sAD sAD*
sAD sAD*