1 Principios Electromecanicos[1]. Introducción
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Introducción
Entrada
Sistema Salida
Definición
TipoLinealNo Lineal
TiempoContinuoDiscreto
Variación con el
Tiempo
VarianteInvariante
Causalidad
CausalAnticausal
Tipos de Sistema
Criterios de Desempeño Diseño Construcció
n Verificación
Bases para el control
Sistemas de Control
Método Empírico
Experiencia Ensayo y Error Costo y Riesgo
Método Analítico
Modelado matemático
Indispensable en situaciones de alto riesgo
Metodología para el desarrollo
Método Empírico
Realizado a través de dispositivos
físicos
Costo Riesgo
Método Analítico
Modelos
Simulación Computer Aided Design (CAD)
Experimentación
Método Empírico
Se toman experiencias
pasadas para tomar las bases de la implantación
Método Analítico
Inexactitud del Modelo
Mejorar la respuesta del sistema
Experiencia
Modelado
Obtener las ecuaciones matemática
s
Análisis Diseño
Método Analítico
El éxito de un diseño depende si el sistema físico fue modelado
adecuadamente o no
Modelado
Entendimiento de la
estructura del sistema
Proceso de Diseño
Sistemático Reducción de errores
Desastres Defectuoso
Método Analítico
Modelado
Observar el sistema físico
Formular las ecuaciones para explicar las observaciones
Predecir el comportamiento
Probar la validez del modelo
Generalidades
Teoría
Pensamiento especulativo basado en
Observaciones
Modelo
Representación de una teoría
Puede ser usado para predicción y
control
Modelos y Teorías
Definición
Modelo
Representación
Dinámica de un Sistema
Precisa
Responde a Interrogantes
Análisis y Simulación
Depende de las preguntas a responder
Variedad
Análisis y Síntesis
Descripción Matemática
Características relevantes del sistema
Parámetros fácilmente calculables
Modelo
Realista
Fácil de Manipular
Dificultad
Simplicidad Precisión
Matemática Sofisticada
Modelo Complejo y
Realista
Matemática Sencilla
Modelo Sencillo
No tiene sentido elegir un modelo que se asemeje al dispositivo físico pero que no pueda ser analizado usando los métodos matemáticos existentes.
Asimismo, es inútil elegir un modelo que se analice fácilmente pero no se asemeje al dispositivo físico
Modelado Matemático
Buen Modelo
Similitud entre la simulación y lo
realInexactitud
Discrepancia entre lo simulado
y lo real
Entonamiento del sistema
Ensayos repetitivos
Período de pruebas
Modelo Matemático
Modelado
Obtener las ecuaciones matemática
s
Análisis Diseño
Modelado Matemático
Predicción Simulación Optimización
Análisis Control Detección de Fallas
Niveles
Predicción
Modelo
u(k-i)
y(k-i)
y(k)^
Simulación
Modelo
u(k-i)
y(k)^
Optimización
Estrategia Modelo Evaluaciónu y
Análisis
Proceso????
Modelo!!!!!
u
u
y
y
Control
Controlador Proceso
ModeloDiseño
r u y
Detección de Fallas
Proceso
Modelo Nominal
Modelo (Falla 1)
u y
y0
y1
e0
e1
Sistema no existente o muy
costoso de construir
Experimentación sobre el sistema es
peligrosa
TiempoAyuda para entender el
sistema estudiado
Modelado y simulación
Representación de los sistemas
Ecuaciones diferenciales
Representaciones de los sistemas
ai y bi: Constantes realesn≥m
1
1 1 01
1
1 1 01
n n
n nn n
m m
m mm m
d y t d y t dy ta a a a y t
dt dt dtd u t d u t du t
b b b b u tdt dt dt
Función de Transferencia◦ Cociente entre la transformada de Laplace de la
salida y la transformada de Laplace de la entrada
Representaciones de los sistemas
Y sG s
U s
Ecuaciones en el Espacio de Estados
◦ A: Matriz de Estado◦ B: Matriz de Entrada◦ C: Matriz de Salida◦ D: Matriz de Transmisión Directa
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
Representaciones de los sistemas
Ecuaciones en el Espacio de Estados◦ Estado: Conjunto de variables mas pequeño, de forma tal
que el conocimiento de estas variables en t=to junto al conocimiento de la entrada para t≥to determinan el comportamiento del sistema para t≥to
◦ Variables de estado: Variables que constituyen el menor conjunto de variables que determinan el estado del sistema dinámico No requieren ser físicamente medibles o cantidades
observables◦ Vector de Estado: Si se necesitan n variables de estado
para describir completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces esas variables son las componentes de un vector x, el cual es el vector de estados
Representaciones de los sistemas
Representaciones
Espacio de Estados
Sistemas Complejos
Múltiples Entradas y Salidas
Función de Transferencia
Expresa la ecuación
diferencial
Puede establecerse
experimentalmente
Representaciones de los sistemas
Conversión entre Representaciones
Conversión Función de Transferencia
Espacio Estado
Y s
G sU s
.
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
Conversión Aplicando la transformada de Laplace a las
ecuaciones espacio estado se tiene:
La ecuación algebraica anterior puede expresarse de la siguiente forma:
0sX s X AX s BU s
Y s CX s DU s
0sI A X s X BU s
Conversión Resolviendo
La matriz de transferencia define Y(s)/X(s)Respuesta a entrada cero Respuesta a estado cero
1 10X s sI A X sI A BU s
Dimensión: m*rm: Nº de Salidasr: Nº de Entradas
1 10Y s C sI A X C sI A B D U s
1G s C sI A B D
Conversión Sea la siguiente una función de
transferencia:
Se tienen formas canónicas entre ellas destaca la forma canónica controlable y observable
11 1
11 1
n no n nn n
n n
Y s b s b s b s bU s s a s a s a
Controlable Forma Canónica Controlable
.
11.
2 2
.1
1
. 1 2 1
1
21 1 1 1
0 1 0 0 00 0 1 0 0
0 0 0 1 01
nn
n n n n
n
n n o n n o o o
n
x xx x
u txx
a a a a xx
xx
y b a b b a b b a b b u t
x
Observable Forma Canónica Observable
.
1 1.
1 2 1 12
. 1 1 1
1
2
0 0 01 0 0
0 0 1
0 0 1
n n n o
n n n o
n on
o
n
x a x b a ba x b a bx u t
a x b a bx
xx
y b u t
x
Resistor
Capacitor
Inductor
Sistemas Eléctricos
v t R i t
dv ti t C
dt
di tv t L
dt
Sistemas Rotacionales Masa Rotacional
Coeficiente de Amortiguamiento
Resorte
2
2J
dT J
dt
w1w2
21D
dT D
dt
w1w2
21kT k
ddt
Engranajes
Sistemas Rotacionales
1 1 2
2 2 1
T NT N
Diagrama de Bloques
Diagramas de Bloques Consisten en bloques operacionales
unidireccionales que representan las funciones de transferencia de las variables de interés
Para dibujar un diagrama de bloques, se escriben cada una de las ecuaciones que describe el comportamiento dinámico de cada componente, luego se integran los elementos en el diagrama de bloques completo
Relación entre las variables Los sistemas se componen de uniones Por ejemplo, un termómetro electrónico,
produce una señal eléctrica proporcional a la temperatura
Relación entre las variables Dos bloques pueden unirse para crear un
sistema compuesto
No se pueden conectar arbitrariamente dos dispositivos
Representar el sistema usando los diagramas de bloques
Diagrama de BloquesR1=1R2=2C1=1C2=2L1=1V=20
Representación Espacio de Estados
Diagrama de Bloques
1 1 111 1
1 11 1
22
2 2 2
1 10 1
1 10 0
01 1
0
cc
L L
cc
R C CV V R Ci i V
L LVV
C R C
1
1
2
0 0 1 0c
L
c
Vy i V
V
R1=1R2=2C1=1C2=2L1=1V=20
Diagrama de bloques
Diagrama de BloquesR1=1R2=2C1=1C2=2L1=1V=20
Comparación
Diagrama de Bloques
R1=1R2=2C1=1C2=2L1=1V=20
Representar el sistema usando los diagramas de bloques
Diagrama de Bloques
R1=2R2=2R3=3C1=1C3=1C2=2L=1V=10
Representación Espacio de Estados
Diagrama de Bloques
1 1 2 1 21
11 1
2 22 2 2 2 2
33
3
3
1 1 1 10 0
11 1 1
00
1 00 0 00
1 10
cc
c c
cc
L
L
C R R C RV V
C RV VC R C R C V
VViC
i RL L L
1
2
3
1 0 0 0 1
c
c
c
L
VV
y VVi
R1=2R2=2R3=3C1=1C3=1C2=2L=1V=10
Diagrama de bloques
Diagrama de Bloques
R1=2R2=2R3=3C1=1C3=1C2=2L=1V=10
Comparación
Diagrama de Bloques
R1=2R2=2R3=3C1=1C3=1C2=2L=1V=10