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1
Planification de la production : Modèles et algorithmes pour les
problèmes de dimensionnement de lots
Par : Nadjib BRAHIMI
Maître assistant associé, EMNantes
Laboratoire d'Informatique, Laboratoire d'Informatique,
Tours 17 juin 2005Tours 17 juin 2005Ecole des Mines de Nantes Université de Nantes
Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes
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2
Plan de l’exposé
Introduction Une classification Introduction des contraintes de fenêtres de temps
Problème à un produit sans contraintes de capacité
Problèmes avec capacité : Problème à plusieurs produits avec capacité et fenêtres de temps Cas particulier : problème à un produit avec capacité Problème avec temps de préparation
Conclusions et perspectives
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3
IntroductionUn problème de dimensionnement de lots d’un
produit
commande n° 814
commande n° 813
commande n° 812
commande n° 811
commande n° 823
commande n° 822
commande n° 821
commande n° 832
commande n° 831
commande n° 843
commande n° 842
commande n° 841
semaine 1 semaine 2 semaine 3 semaine 4
Demande dt (peutêtre prévisionnelle)
Périodes t (semaine, mois)
Ex. Palettes
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4
IntroductionProblème de dimensionnement de lots à un
produit
p3p1 p2Coût de production
h3h1 h2Coût de stockage
s3s1 s2Coût de lancement (préparation)
X3X1 X2Quantité à fabriquer
I3I1 I2Niveau de stock
Y3Y1 Y2Période de production
31 2TTd1 d2 d3
{0,1}
O(TlogT) par Wagelmans, Van Hoesel et Colen (1992), Aggarwal et Park (1993) et Federgruen et Tzur (1991)
Résolu en O(T2) par Wagner et Whitin (1958)
1
Minimiser T
t t t t t tt
s Y p X h I
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5
Une classification des problèmes de dimensionnement de lots (PDL)
PDL
un niveau
multi niveaux
un produit
multi produits
Ruptures de stock
Produits périssables
Refabrication
Avec capacité
Sans capacité
Zangwill (1969)
Hsu (2000)
Golany, Yan, Yu (2001)
Florian et Klein (1971)
Wagner et Whitin (1958)
Kuik et Salomon (1990)
Salomon, Kuik, Van Wassenhove (1993)
Etat de l’artBrahimi et al. 2003
Etat de l’artBrahimi et al. 2004Wolsey 1995
multi produits
Fenêtres de temps sur les
demandes
Lee, Cetinkaya, Wagelmans (2001)
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6
Une classification des problèmes de dimensionnement de lots (PDL)
PDL
un niveau
multi niveaux
un produit
multi produits
Ruptures de stock
Produits périssables
Refabrication
Avec capacité
Temps de préparation
Préparations communes
Manne (1958)
Trigeiro et al. (1989)
Suerie et Stadtler (2003)
Millar et Yang (1993)
Friedman et Hoch (1978)
Richter et Sonbrutzki (2000)
Kuik et Salomon (1990)
Salomon et al. (1993)
Etat de l’artBrahimi et al. 2003
Etat de l’artBrahimi et al. 2004Wolsey 1995
multi produits
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7
d4
d5
Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5
d3
d2
d1
Hypothèse insuffisante
Dans le modèle classique sans fenêtres de temps, toutes les demandes peuvent êtres produites dès la première période.
d4
d5
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8
Représentation par fenêtres de temps
Semaine 1
Semaine 2
Semaine 3
Semaine 4
Semaine 5
d14
d34
d12
d25
Cas avec clients spécifiques (CS)(Structure générale des fenêtres de temps)
d14
d25
d35
d12
Semaine 1
Semaine 2
Semaine 3
Semaine 4
Semaine 5
Cas avec clients non spécifiques (NCS)(Structure particulière des fenêtres de temps)
d34
d25
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9
Applications du modèle avec fenêtres de temps
Traitement des déchets industriels (CS, NCS)
Problèmes avec stock périssable (NCS)
Disponibilité de la matière première Sans traçabilité (NCS) Avec traçabilité (CS)
Résolution des problèmes de dimensionnement de lots à plusieurs niveaux (NCS)
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10
Intégration des contraintes de fenêtres de temps aux problèmes de dimensionnement de lots
PDL
un niveau
multi niveaux
un produit
multi produits
Rupture de stock
Produits périssables
Refabrication
Avec capacité
Sans capacité
Avec capacité
Temps de lancement
Lancements communs
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11
Intégration des contraintes de fenêtres de temps aux problèmes de dimensionnement de lots
PDL
un niveau
multi niveaux
un produit
multi produits
Ruptures de stock
Produits périssables
Refabrication
Avec capacité
Sans capacité
Sans temps de préparation
Avec temps de préparation
Lancements communs
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12
Problème à un produit sans contraintes de capacité
multi niveaux
multi produits
Rupture de stock
Produits périssables
Refabrication
Avec capacité
Sans temps de préparation
Avec temps de préparation
Lancements communs
PDL
un niveau
un produit
Sans capacitéDauzère-Pérès, Brahimi, Najid et Nordli (2002)
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13
1
T
t t t t t tt
s Y p X h I
1t t t tI X d I t
1 1
t t T
k ksk k s k
X d t
2 2 2
1 1
1 2 1 2, ( )t t t
k klk t k t l k
X d t t t t
T
t t kk t
X Y d t
, 0t tI X t
0 ou 1tY t
Minimiser
Sous :
Modèle mathématique
Problème de Wagner-Whitin
Problème à clients spécifiques
Problème à clients non spécifiques
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14
Complexité et algorithme de résolution du problème à clients spécifiques (CS)
Semaine 1
Semaine 2
Semaine 3
Semaine 4
Semaine 5
d14
d34
d12
d25
Problème NP-difficile ?
Résolu par programmation dynamiqueen temps exponentiel [Dauzère-Pérès, Brahimi, Najid et Nordli (2002)]
Non divisibilité de la demande : Il existe une solution optimale du problème où dst est produite dans une même période s≤ k ≤t.
Regroupement des demandes :ds2t2
ds1t1
k
ds1t1
ds2t2
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15
Algorithme de programmation dynamique pour le problème à clients
spécifiques (CS)
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
780
840
900
960
13 14 15 16 17 18 19 20 21
Nombre de périodes de l'horizon de planification
Sec
on
des
Temps de calcul (secondes) par rapport à l’horizon de planification et à la densité des fenêtres de temps
TWD = 0.8
TWD = 0.6
TWD = 0.4
TWD = Densité des fenêtres de temps = Nombre de demandes positives
Nombre maximal possible de demandes
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16
L’algorithme exponentiel du problème à clients spécifiques
(CS) s’exécute en O(T4) quand les fenêtres de temps sont à
clients non spécifiques (NCS)
Algorithme de programmation dynamique pour la problème à clients
non spécifiques (NCS)
d14
d24
d35
d12
Semaine 1
Semaine 2
Semaine 3
Semaine 4
Semaine 5
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17
Problèmes à plusieurs produits avec contraintes de capacité et sans temps de
préparation
multi niveaux
un produit
Rupture de stock
Produits périssables
Refabrication
Avec capacité
Sans capacité
Avec temps de préparation
Lancements communs
PDL
un niveau
multi produits
Sans temps de préparation
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18
Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité
•Planifier la production de N produits sur T périodes•Une ressource à capacité limitée.•La production d’une unité du produit i à la période t
consomme σi unités de la capacité Ct.
Complexité:
Le problèmes sans fenêtres de temps est NP-difficile au sens fort (Chen & Thizy, 1990).
Le problèmes avec fenêtres de temps est NP-difficileau sens fort.
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19
, 1i t it it itI X d I ,i t
1
N
i it ti
X C
t
,i tT
it il itl t
X d Y
,i t0 ou 1itY
,i t0itX 0itI
Sous :
1 1
t t T
ik iksk k s k
X d
,i t
2 2 2
1 1
t t t
ik iklk t k t l k
X d
1 2 1 2, , ( )i t t t t
Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité.
Modèle mathématique (clients spécifiques CS)
1 1
N T
it it it it it iti t
s Y p X h I
Min
21
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20
, 1i t it it itI X d I ,i t
1
N
i it ti
X C
t
,i tT
it il itl t
X d Y
,i t0 ou 1itY
,i t0itX 0itI
Sous :
1 1
t t T
ik iksk k s k
X d
,i t
2 2 2
1 1
t t t
ik iklk t k t l k
X d
1 2 1 2, , ( )i t t t t
Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité.
Modèle mathématique (clients NON spécifiques NCS)
1 1
N T
it it it it it iti t
s Y p X h I
Min
22
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21
Points clés d’une heuristique Lagrangienne :
(e.g. Fisher, 1984)1. Relaxer les contraintes difficiles
Contraintes de capacité
+/- contraintes de fenêtres de temps
2. Résoudre le problème relaxé
Problèmes à un produits sans contraintes de capacité
(1) Sans fenêtres de temps (Wagner-Whitin),
(2) Avec fenêtres de temps à clients non spécifiques
(3) Avec fenêtres de temps à clients spécifiques
3. Modifier le problème relaxé et construire des solutions réalisablesHeuristiques basées sur trois procédures
4. Mettre à jour les multiplicateurs Lagrangiens
Méthode du sous gradient
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22
2 2 2
1 1
t t t
ik iklk t k t l k
X d
1 2 1 2, , ( )i t t t t
Exponentiel
, 1i t it it itI X d I ,i t
1
N
i it ti
X C
t
,i tT
it il itl t
X d Y
,i t0 ou 1itY
,i t0itX 0itI
Sous :
1 1
t t T
ik iksk k s k
X d
,i t
Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité.
Quelles contraintes relaxer (CS) ?
O(TlogT)
O(T4)
1 1
N TL
it it it it it iti t
s Y p X h I
1
t T TLit it i t ikl ik
k l t k t
p p
Min + constante
t1 2it t
it
CS
WW
NCS
26
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23
, 1i t it it itI X d I ,i t
1
N
i it ti
X C
t
,i tT
it il itl t
X d Y
,i t0 ou 1itY
,i t0itX 0itI
Sous :
1 1
t t T
ik iksk k s k
X d
,i t
Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité.
Quelles contraintes relaxer (NCS) ?
O(TlogT)
O(T4)
1 1
N TL
it it it it it iti t
s Y p X h I
Min + constante
tit
WW
NCS
27
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24
Résumé des différentes relaxations
Nom de la relaxation
Sous- problèmes
Résolus en
Clients spécifiques
CS-CS CS Exponentiel
CS-NCS NCS O(T4)
CS-WW WW O(TlogT)
Clients non spécifiques
NCS-NCS NCS O(T4)
NCS-WW WW O(TlogT)
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25
Construction de solutions réalisables
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26
Construction de solutions réalisables
Première contrainte de fenêtres de
temps
Début
Deuxième contrainte de
fenêtres de temps
Satisfaire les contraintes de
capacité
Fin
La production dépasse ce qui est disponible
La production n’est pas suffisante pour satisfaire la demande désagrégée
La production dépasse la capacité
Produit par produit
Considérer l’ensemble des produits (basée sur
TTM 1989)
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27
Utilisation des inégalités valides Problème à clients spécifiques (CS)
Dans les relaxations CS-NCS et CS-WW
Si ditt>0 alors Yit=1
,ittit T
ill t
dY i t
D
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28
Utilisation des inégalités valides Exemple : Relaxation CS-WW
, 1i t it it itI X d I tT
it il itl t
X d Y
0 ou 1itY
0itX 0itI
Sous :
1
Min T
Lit it it it it it
t
s Y p X h I
t
t
t
Pour chaque produit i on a le problème
,ittit T
ill t
dY i t
D
Exemple : écart entre la borne inférieure et la borne supérieure
0.97 %5.85 %
Avec inégalités valides
Sans inégalités valides
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29
Résultats numériques : Résumé
UB - LBEcart (%) 200*
UB LB
•Données générées aléatoirement pour plusieurs paramètres (nombre de produits, densité des fenêtres de temps, coût de préparation…)
•Longueur de l’horizon : T=12 périodes
•Nombre maximum d’itérations : 100
Clients spécifiques
Ecart moyen
Temps de calcul
CS-CS 0.02 % 2.04 secs
CS-NCS 0.25 % 0.59 secs
CS-WW 0.34 % 0.08 secs
Clients non spécifiques
Ecart moyen
Temps de calcul
NCS-NCS 0.07 % 0.27 secs
NCS-WW 0.91 % 0.07 secs
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30
Résultats numériques détaillésProblème à clients spécifiques (CS)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0.1 0.6 0.9 10 20 50 100 200 20 40 60 80 50 100 200 400 1 1.2 1.6 2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 6 12 6 3 2
CS-WW
CS-NCS
CS-CSMoyennes
0.34 %
0.25 %
0.02 %
TWD Produits Demande Prépa/stock Capa/dem absorption LMIN LMAX
~Opt = 2
UB(CS-CS) +LB(CS-CS) Solutions optimales estimées :
Ecart (%) entre la borne supérieure et et les bornes inférieures
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31
CS-WW
CS-NCS
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.1 0.6 0.9 10 20 50 100 200 20 40 60 80 50 100 200 400 1.0 1.2 1.6 2.0 0.4 0.6 0.8 1.0 1 3 6 12 6 3 2
TWD Produits Demande prépa/stock Capa/Dem Absorbtion LMIN LMAX
0.40
0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
0.10
0.10
0.00
UB
LB
Résultats numériques détaillésProblème à clients spécifiques (CS)
Ecart de la borne inférieure par rapport à l’optimum estimé
~Opt = 2
UB(CS-CS) +LB(CS-CS)
Ecart de la borne supérieure par rapport à l’optimum estimé
LMIN = 2UB -> 1.38 %LB -> 1.84 %
Absorption
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32
Résultats numériques détaillésProblème à clients non spécifiques
0
0.5
1
1.5
2
2.5
NCS-WW
NCS-NCS
Moyenne
0.91 % (NCS-WW)
0.07 % (NCS-NCS)
Ecart (%) entre la borne supérieure et et les bornes inférieures
TWD Produits Demande Prépa/stock Capa/dem absorption LMIN LMAX
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33
Suggestions pour la résolution des problèmes à plusieurs produits
Problèmes à clients spécifiques
Problèmes à clients non spécifiques
T ≤ 18 périodes CS-CS NCS-NCS
19 ≤ T ≤ 48 périodes
CS-NCS NCS-NCS
T > 48 périodes CS-WW NCS-WW
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34
multi produits
Sans temps de préparation
Problèmes à un produit avec contraintes de capacité
multi niveaux
Rupture de stock
Produits périssables
Refabrication
Sans capacité
Avec temps de préparation
Lancements communs
PDL
un niveau
un produit
Avec capacité
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35
Problème avec fenêtres de temps à un produit et avec
contraintes de capacité
Problème NP-difficile (Florian, Lenstra et Rinnooy Kan, 1980)
Résolution heuristique basée sur la relaxation Lagrangienne.
Utiliser l’heuristique Lagrangienne développée pour le problème multi-produits
Etudier les caractéristiques de ce problème et adapter l’approche
Versus
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36
Min
Cas du problème à un produit avec contraintes de capacité
(Problème à clients spécifiques)
1. Quelles contraintes relaxer ? Multi produits ou Un produit ?
1
T
t t t t t tt
s Y p X h I
1t t t tI X d I t
1 1
t t T
k ksk k s k
X d t
2 2 2
1 1
1 2 1 2, ( )t t t
k klk t k t l k
X d t t t t
T
t t kk t
X Y d t
, 0t tI X t
0 ou 1tY t
Sous :
t tX C t
min( , )T
t t k tk t
X C d Y t
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37
2. Pré-lissage de la demande
Capacité
Notre contribution : Pré-lissage de la demande disponible
Bitran et Yanasse (1982) : Pré-lissage de la demande agrégée
Problème initial Problème équivalent
0
5
10
15
Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 40
5
10
15
Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4
0
5
10
15
Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 40
5
10
15
Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4
Capacité
Problème initial Problème équivalent
Demande agrégée dépasse la capacité
Demande disponible dépasse la capacité
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38
Problèmes à un produit avec contraintes de capacité
Problèmes à clients spécifiques (CS) : Résultats numériques
Ancienne approche
Nouv. contraintes de capacité (seules)
Pré-lissage
(seul)
Nouvelle approche
Famille 1 15.28 % 3.49 % 1.68 % 0.58 %
Famille 2 16.15 % 4.64 % 1.91 % 0.65 %
Famille 3 26.99 % 5.35 % 1.95 % 0.79 %
Famille 4 15.90 % 8.65 % 0.07 % 0.07 %
Famille 5 16.15 % 4.64 % 1.91 % 0.65 %
Famille 6 0.98 % 0.61 % 0.53 % 0.24 %
Moyenne 15.24 % 4.56 % 1.34 % 0.50 %
Ecarts moyens (%) entre les bornes inférieures et les bornes supérieures : Relaxation CS-NCS
Conclusion : L’exploitation de la structure des problèmes à un produit améliore considérablement la qualité des heuristiques Lagrangiennes
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39
un produit
Sans capacité
Problèmes à plusieurs produits avec contraintes de capacité et avec temps de
préparation
multi niveaux
Rupture de stock
Produits périssables
Refabrication
Avec capacité
Sans temps de préparation
Lancements communs
PDL
un niveau
multi produits Avec temps de
préparation
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40
Temps de préparation (e.g. Trigeiro, Thomas, et McClain, 1989)
Semaine 1 Semaine 2
Prod 1 Prod 2 Prod 1 Prod 2
Semaine 1 Semaine 2
Prod 1 Prod 2 Prod 1 Prod 2
Préparation Production
Optimisation Problème NP-difficile au sens fort
Faisabilité Problème NP-complet Maes, McClain et Van Wassenhove (1991)
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41
2 2 2
1 1
t t t
ik iklk t k t l k
X d
1 2 1 2, , ( )i t t t t
, 1i t it it itI X d I ,i t
1
i i
N
i it ti
tX Y C
t
,i tT
it il itl t
X d Y
,i t0 ou 1itY
,i t0itX 0itI
Sous :
1 1
t t T
ik iksk k s k
X d
,i t
Extension du modèle mathématique
1 1
N TL
it it it it it iti t
s Y p X h I
Min
41
Adapter l’heuristique Lagrangienne du problème à plusieurs produits pour prendre en considération les temps de préparation
Adapter l’heuristique Lagrangienne du problème à plusieurs produits pour prendre en considération les temps de préparation
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42
Résultats numériques
Jeux de données obtenus en transformant les problèmes de Trigeiro, Thomas et McClain (1989) en problèmes avec fenêtres de temps.
Périodes : T=20 Produits : N=10, 20, 30 Résultats pour les relaxations CS-NCS et CS-WW;
NCS-NCS et NCS-WW
Aucune solution réalisable pour 38 problèmes sur 540.C’est aussi le cas pour un logiciel standard d’optimisation
(Xpress-MP) après plusieurs jours d’exécution.
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43
Résultats numériquesProblèmes avec temps de
préparation
Clients spécifiques
Ecart moyen
Temps de calcul
CS-NCS 6.34 % 4 secs
CS-WW 6.66 % 0.4 secs
Clients non spécifiques
Ecart moyen
Temps de calcul
NCS-NCS 2.57 % 4 secs
NCS-WW 5.04 % 0.3 secs
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44
Conclusions
Etat de l’art sur les problèmes à un produit Intégration des fenêtres de temps Résolution des problèmes à un produit (méthodes
exactes et heuristiques) Etat de l’art sur les problèmes à plusieurs produits Heuristiques Lagrangiennes pour les problèmes à
plusieurs produits avec et sans temps de préparation
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45
Perspectives
A court terme Complexité du problème à un produit avec fenêtres de
temps à clients spécifiques Améliorer les algorithmes de programmation dynamique
pour le problème à un produit Méthode exacte pour analyser les bornes des relaxations
A moyen terme Utiliser ces résultats pour résoudre des problèmes à
plusieurs niveaux Intégration des contraintes d’ordonnancement