1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut...
Transcript of 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut...
![Page 1: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/1.jpg)
Persamaan Diferensial
Febrizal, MTFebrizal, MT
![Page 2: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/2.jpg)
PendahuluanPendahuluan
dif i l k• Persamaan diferensial merupakan persamaanyang berkaitan dengan turunan dari suatufungsi atau memuat suku‐suku dari fungsitersebut dan atau turunannya.
• Bila fungsi tersebut tergantung pada satu peubah bebas riil maka disebut Persamaan pDiferensial Biasa (PDB). Sedangkan bila fungsiterdiri dari lebih dari satu peubah bebas makaterdiri dari lebih dari satu peubah bebas makadisebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
![Page 3: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/3.jpg)
ContohContoh
• Persamaan berikut merupakan PDB dengan peubah bebas x dan peubah tak bebas y.
![Page 4: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/4.jpg)
ContohContoh
• Persamaan berikut merupakan PDP
![Page 5: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/5.jpg)
Orde Persamaan DiferensialOrde Persamaan Diferensial
• Orde persamaan diferensial adalah besarturunan tertinggi yang terjadi pada PD gg y g j ptersebut. Dari contoh di atas persamaanBernoulli mempunyai orde 1 sedangkanBernoulli mempunyai orde 1 sedangkanpersamaan Airy, Bessel dan Van Der Polberorde 2berorde 2.
![Page 6: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/6.jpg)
Sifat KelinieranSifat Kelinieran
• Berdasarkan sifat kelinieran dari peubah tak bebasnya, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi PD Linier danPD tidak linierPD tidak linier.
• Bentuk umum PD linier orde n diberikan :
![Page 7: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/7.jpg)
il f( ) k di b i i• Bila f(x) = 0 maka disebut PD Linier Homogen sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD Linier takHomogen.
• Bila tidak dapat dinyatakan seperti bentuk dip y patas dikatakan PD tidak Linier.
• Dari contoh terdahulu persamaan Airy danDari contoh terdahulu, persamaan Airy danBessel merupakan PD Linier ( Homogen ) sedangkan persamaan Bernoulli dan Van Dersedangkan persamaan Bernoulli dan Van DerPol merupakan PD tidak linier.
![Page 8: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/8.jpg)
LatihanLatihan
• Klasifikasikan PD berikut berdasarkan: Orde, linier atau tidaklinier, homogen atau tidak homogen
![Page 9: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/9.jpg)
Penyelesaian PD Orde IPenyelesaian PD Orde I
• Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, kita harus mencari fungsi yang memenuhig y gpersamaan tsb, artinya yang membuatpersamaan tsb menjadi benarpersamaan tsb menjadi benar.
• Hal ini berarti bahwa kita harus mengolahb k hpersamaan tsb sedemikian rupa sehingga
semua koefisien diferensialnya hilang dantinggallah hubungan antara y dan x.
![Page 10: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/10.jpg)
1 Integral Langsung1. Integral Langsung
• Jika suatu PD dapat disusun dalam bentuk, maka persamaan tsb bisa diselesaikan dengan
i t l d h)(xf
dxdy
=
integral sederhana.
![Page 11: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/11.jpg)
S i k li ki i lk f i k• Setiap kali kita mengintegralkan suatu fungsi, konstantaintegrasi C harus selalu disertakan.S ti kit k t h i b h il i C tid k d t• Seperti yang kita ketahui, bahwa nilai C tidak dapatditentukan kecuali jika diberi keterangan tambahantentang fungsi tsbtentang fungsi tsb.
• Penyelesaian PD yang masih mengandung konstanta C tersebut disebut sebagai solusi umum PD.tersebut disebut sebagai solusi umum PD.
• Jika kita diberitahu nilai y untuk nilai x tertentu, makakonstanta C bisa dihitung. Penyelesaian PD yang g y y gdiketahui nilai C nya disebut sebagai Solusi Khusus PD
![Page 12: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/12.jpg)
74 +−= −xey
![Page 13: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/13.jpg)
2 Pemisahan Variabel2. Pemisahan Variabel
• Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapatdipisahkan sehingga peubah x dapat dikelompokan dengan dxdan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yangdan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yang berbeda.
• Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung denganSehingga solusi umum PD dapat secara langsung denganmengintegralkan kedua ruas.
• Bentuk umum PD yang bisa dipisahkan variabel nya adalah:y g p y
• Solusi umum PD nya didapat dengan menyelesaikan:
![Page 14: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/15.jpg)
LatihanLatihan
![Page 16: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/17.jpg)
3 Dengan Substitusi y = vx3. Dengan Substitusi y = vx
• Beberapa bentuk PD tak linier order satu denganpeubah tak terpisah namun koefisiennya merupakanf i h d d d di ifungsi homogen dengan order sama dapat dicarisolusinya menggunakan metode substitusi sehinggadid tk b t k PD b h t i hdidapatkan bentuk PD peubah terpisah.
• Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n єh b l k (k k ) k ( ) d b dR sehingga berlaku F(k x,k y) = knF(x, y). n disebut order
dari fungsi homogen F(x,y).• Solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dandy/dx = v + x dv/dx ke dalam PD sehingga didapatkanbentuk PD dengan peubah terpisah.
![Page 18: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/18.jpg)
contohcontoh
• Perhatikan persamaan berikut:
• Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttpp p pternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antarafaktor x dan faktor y nya sehingga kita tidak bisamenyelesaikan persamaan tsb dengan cara integral langsung.
• Untuk menyelesaikannya kita substitusikan persamaantsb dengan y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx
![Page 19: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/19.jpg)
• Sehingga persamaan menjadi:Sehingga persamaan menjadi:
![Page 20: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/20.jpg)
• Dalam bentuk yg terahir kita bisa menyele‐• Dalam bentuk yg terahir, kita bisa menyele‐saikan persamaan tsb dengan cara pemisahan
i b lvariabel
![Page 21: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/21.jpg)
LatihanLatihan
![Page 22: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/22.jpg)
4 Menggunakan Faktor Integral4. Menggunakan Faktor Integral
bi di l ik d f k i l• PD yang bisa diselesaikan dengan faktor integral adalah PD linier orde pertama yang berbentuk: d /d P Qdy/dx + Py = Q .
• Dengan P dan Q adalah fungsi dari x (ataukonstanta.
• Cara penyelesaiannya yaitu dengan mengalikankedua ruas PD tsb dgn faktor integral (FI) yang berbentuk e∫P dx.
• sehingga didapat solusi PD tsb adalah:y.FI = ∫ Q. FI dxy ∫ Q
![Page 23: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/23.jpg)
contohcontoh
![Page 24: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/24.jpg)
• Sehingga solusi PD nya adalah:
![Page 25: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/27.jpg)
LatihanLatihan
![Page 28: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/28.jpg)
Penyelesaian PD BernoulliPenyelesaian PD Bernoulli
• PD Bernoulli adalah PD yang berbentuk
dimana P dan Q adalah fungsi x atau konstanta.• Langkah2 penyelesaian:• Langkah2 penyelesaian:
– Bagi kedua ruasnya dengan yn, sehingga diperoleh
– Misalkan z = y1‐n
Sehingga dengan mendiferensialkannya akan diperoleh– Sehingga dengan mendiferensialkannya, akan diperoleh
![Page 29: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/29.jpg)
• Jika kita kalikan (ii) dengan (1‐n), maka suku pertamanya akan menjadi dz/dx. j /
• Dan persamaan tsb bisa ditulis menjadi:• dz/dx + (1‐n)P1z = (1‐n)Q1/ ( ) 1 ( )Q1
• Sehingga persamaan tsb bisa diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi.
![Page 30: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/30.jpg)
contohcontoh
S l ik l h PD• Selesaikanlah PD • Jawab:
k d d 2 h d l h• Bagi kedua ruas dengan y2, sehingga diperoleh:
• Misalkan z = y1‐n, dlm hal ini z = y1‐2 = y‐1
• Kalikan persamaan tsb dg ‐1, agar suku pertama menjadi dz/dx
![Page 31: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/31.jpg)
• Persamaan tsb menjadiPersamaan tsb menjadi
• Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan• Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi.
![Page 32: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/32.jpg)
Contoh 2Contoh 2
• Selesaikan• Jawaban• Pertama‐tama kita haru menuliskannya dalam bentuk
• Apa yang harus dilakukan?
• Sehingga diperoleh:
![Page 33: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/33.jpg)
• Bagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang adaBagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang ada diruas kanan, sehingga diperoleh....
• Selanjutnya gunakan substitusi z = y1‐n yang dalam contoh ini j y g y y gadalah z = y1‐4 = y‐3
• z = y‐3, berarti dz/dx = .....
• Kalikan persamaan dengan ‐3, agar suku pertamanya menjadi dz/dx, maka kita dapatkan..
![Page 34: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/36.jpg)
Contoh 3Contoh 3
• selesaikannlah
![Page 37: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh 4Contoh 4
• selesaikanlah
![Page 40: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/40.jpg)
![Page 41: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: 1. Persamaan Diferensial · contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020105/5e2427f11b9a6963ae5293a5/html5/thumbnails/42.jpg)
LatihanLatihan
d xyydxdy 3* =+
yeydxdy x 4* =+
xyydxdy
dx3 )1(2* −=+
xyxyddy
dx22 tantan2* =− yy
dx