1 Nouveaux programmes de mathématiques Les différentes formes de calcul.
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1
Nouveaux programmes de mathématiques
Les différentes formes de calculLes différentes formes de calcul
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2
Nouveaux programmes de mathématiques
Calcul mentalCalcul mental
Calcul poséCalcul posé
Calcul instrumentéCalcul instrumenté
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Calculessentiellementmental
résultats mémorisés procédures automatisées
procédures construites ou reconstruites choix des arrondis
calcul
papier-crayon
techniques opératoires (calcul posé)
procédures construites ou reconstruites choix des arrondis
calculmachine
calculs usuels
Ex : division
euclidienne avec calculatrice
ordinaire
résultat exact résultat approché
CALCUL AUTOMATISÉ
CALCUL RÉFLÉCHI ou RAISONNÉ
Les différentes formes de calcul
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Le calcul posé
Le calcul instrumenté
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5
recentré sur une maîtrise des cas « simples »
travail sur la compréhension et la justification des techniques
Le calcul posé
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6
Pour une utilisation contrôlée de la machine
Il a sa place dans la résolution de problèmes
Il a sa place comme source de problèmes
Le calcul instrumenté
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Le calcul mental
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utile dans la vie ordinaire
nécessaire à la mise en place d’automatismes
indispensable pour un calcul posé
un outil de contrôle
le lieu d’établissement de relations entre calcul et raisonnement
indispensable à l’acquisition de nouvelles connaissances, à la construction de leur représentation mentale
une aide à la construction d’exemples génériques
Le calcul mental
il doit être travaillé tout au long du collège il peut se travailler à tous les niveaux
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connaître les tables d’addition, de multiplication calculer des sommes ou différences de nombres entiers ou
décimaux, des produits de deux nombres entiers, d’un nombre entier par un nombre décimal et de deux nombres décimaux dans des cas simples
établir un ordre de grandeur d’une somme, d’une différence, d’un produit
connaître le vocabulaire : somme, différence, terme, produit, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste
Le calcul mentalDes compétences à développer en sixième
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calculer le quotient et le reste d’une division d’un entier par un entier dans des cas simples
multiplier un nombre entier ou décimal par un quotient de deux entiers sans effectuer la division
calculer un quotient décimal de deux nombres entiers ou d’un décimal par un entier dans des cas simples
multiplier un nombre par 10, 100, 1 000 et par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
diviser par 10, 100, 1 000
Le calcul mental Des compétences à développer en sixième et au-delà…
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1) Dans chaque cas, parmi les réponses proposées, choisis mentalement celle qui approche le plus le bon résultat.
2) Ensuite, avec ta calculatrice, donne les réponses exactes.
53 % de 360112 ; 191 ; 280
75 % de 8 2129 100 ; 6 150 ; 2 050
Le calcul mental
Un exemple
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I) Les tables de multiplication :
67 98 mais aussi 12 : 4 18 : 3 24 : 6
Enchaînements d’opérations :
1+23 6-(2+3) 6-2+3 9+3
4
Le calcul mental
Des exemples en cinquième
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Opérations avec les nombres en écriture fractionnaire
58 +
38
12 +
14
etc…
-
58
-28
23
–-26 etc…
125
x 43
13
x6 3 x
17
etc…
I) II) Calcul littéral :
si x = 4, calculer 2x, x+6, x2
, 5x-3, etc…
Si a = 2 et b = 3, calculer ab, b-a, 5a-2b, 3a+1, etc…
III) Addition et soustraction de nombres relatifs : 5 + (-2) -6 + 4 3 + (-1,5) etc… 2 - (-4) -5 - (-2) 10 - (+12) etc… –5 - 4 3 - 8 -5,5 - 1,5 10 - 11,5 etc…
IV) Conversions : convertir en m² : 5dm² 20dam² 6 000cm² etc… convertir en cm3 12m3 6mm3 50cm3 etc…
Le calcul mental
Des exemples en cinquième
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I) II) Calcul littéral :
si x = 4, calculer 2x, x+6, x2, 5x-3, etc…
Si a = 2 et b = 3, calculer ab, b-a, 5a-2b, 3a+1, etc…
III) Addition et soustraction de nombres relatifs : 5 + (-2) -6 + 4 3 + (-1,5) etc… 2 - (-4) -5 - (-2) 10 - (+12) etc… –5 - 4 3 - 8 -5,5 - 1,5 10 - 11,5 etc…
IV) Conversions : convertir en m² : 5dm² 20dam² 6 000cm² etc… convertir en cm3 12m3 6mm3 50cm3 etc…
Le calcul mental
Des exemples en cinquième
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Le calcul mental
Des exemples en cinquième
Calculer l’aire des triangles et des parallélogrammes sans oublier de préciser l’unité du résultat
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Associer le carré et le double d’un même nombre4 8
36 2
64 18
9 4
49 12
100 16
81 6
1 14
Le calcul mental
Des exemples en quatrième
Citer dix nombres élevés au carré, les élèves devant écrire leur double, au fur et à mesure.
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17...
Le calcul mental
Des exemples en quatrième
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Entrée
Sortie ?
Le calcul mental
Des exemples en quatrième
Pour entretenir le calcul littéral : un labyrinthe
2(12x – 3) 24x 6 18x 6 – 24x
24x 3 6(-1 + 4x) 63x 6(1 – 4x)
21x 3(8x – 2) -3(-8x + 2) -6 + 24x
3(8x + 2) 24x + 6 3(8x + 2) 6(4x 1)
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2x = 72 x - 2 = 0
x + 2 = 7 x - 2 = 7
2x + 2 = 7 2x - 2 = 7
2x + 7 = 0 x - 2 = 7 2
2x = 2 7 2x + 7 = 2
Le calcul mental
Des exemples en troisième
Tester si un nombre est solution
Quelles sont les solutions des équations suivantes?
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a ² 9 2 50d ²
y² 3 3 302z
x² 0 f 2 4 0
x² 9
4
x2 1 0
b² 4 a2 7
3
S’entraîner aux résolutions d’équations
Le calcul mental
Des exemples en troisième
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21
537 3 7 21
2
12
2
12
527
5553 6
2
11
1111 535,2
2425 841094
Entretenir le calcul mental
Le calcul mental
Des exemples en troisième
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En classeQuestions : posées oralement ou retro-projetées ou données sur une ficheRéponses : sur le cahier ou une grille préparée par le professeur Correction : immédiate ou différée
À la maisonFiches d’auto-entraînement suivies d’un contrôle en classe calqué sur les séries d’entraînement.
Le calcul mental
Des modalités pratiques
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Le calcul sur les grandeurs
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Calcul sur les grandeurs au collège
Puisque les grandeurs peuvent s’additionner, se soustraire…les écritures suivantes sont correctes et leur utilisation est recommandée :
3 cm + 15 mm = 30 mm + 15 mm = 45 mm = 4,5 cm
3 kg + 500 g = 3,5 kg = 3500 g
3 h 45 min + 1h 28 min = 4 h 73 min = 5 h 13 min
(document d’accompagnement des programmes – école primaire)
Calcul sur les grandeurs et pas seulement sur les nombres
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25
Calcul sur les grandeurs au collège
Soit un rectangle de longueur 5 m et de largeur 3 m. Périmètre = 5 m + 5 m + 3 m + 3 m = 16 mAire = 5 m 3 m = 15 m2
Convertir une vitesse de kmh1 en ms1
Calcul sur les grandeurs et pas seulement sur les nombres
10 cm
5 = 2 cm
2
AM
AB = 10 cm
cm = 5
– –72 km h 1 = 72 km 1 h
= 72 1000 m
3600 s =
72000 m3600 s
= 20 m s 1
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Des documents de référence
![Page 27: 1 Nouveaux programmes de mathématiques Les différentes formes de calcul.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062318/551d9da4497959293b8d4edc/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Des documents d’accompagnement publiés ou à venir
1- Résolution de problèmes : des procédures personnelles aux procédures
expertes
2- Proportionnalité, fonctions
3- Organisation et gestion de données
4- Evolution des nombres tout au long du collège
5- Les différentes formes de calcul
6- Le passage du numérique au littéral
7- Justification, preuve, démonstration
8- Grandeurs et mesures
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28
Texte de cadrage sur le calcul au collège de l’inspection
Rapport sur le calcul de la commission Kahane
Documents d’application et d’accompagnement des programmes de l’école
Programme de sixième en application à la rentrée 2005 BO hors série n°4 du 9 septembre 2004Programme du cycle central en application à la rentrée 2006
BO hors série n°5 du 25 août 2005
Documents d’accompagnement des programmes du collège
Des références sur les sites académiques ou sur le site eduscol.education.fr
![Page 29: 1 Nouveaux programmes de mathématiques Les différentes formes de calcul.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062318/551d9da4497959293b8d4edc/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Des références pour le calcul mental
Repères-IREM, n°62 et n°41
Calcul mental et automatismes par une équipe de l’IREM de Clermont-Ferrand
Sur différents sites académiques, réflexions sur les activités mentales et de nombreux exemples de fiches
![Page 30: 1 Nouveaux programmes de mathématiques Les différentes formes de calcul.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062318/551d9da4497959293b8d4edc/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Pour les liaisons « école - collège »
Document à l’attention de l’enseignant(évaluation à l’entrée en sixième)
Lecture comparée des programmes cycle3 – sixièmewww.ac-amiens.fr
Comparaison entre le programme de cycle 3, les anciens et les nouveaux programmes de sixièmewww.ac-reunion.fr
Documents d’accompagnement des programmes (école primaire) Articulation école – collège
Apprentissages numériques et résolution de problèmes (INRP – Hatier Ermel)