1 MOTI PIANI Cosenza 2009-2010 Ottavio Serra. 2 La velocità è tangente alla traiettoria v (P P,...
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11
MOTI PIANI
Cosenza 2009-2010Cosenza 2009-2010
Ottavio SerraOttavio Serra
22
La velocità è tangente alla traiettoria
(P’ →P, s→t, (P’–P)/(t’-t)→vv
33
L’accelerazione punta verso l’interno
a(media)= (v’ –v)/(t’–t) = Δv/Δt
44
Decomponendo a secondo la tangente e la normale, si vede che aτ modifica il
modulo di v, an la direzione.
55
Se il modulo di v è costante, a è normale alla tangente, quindi a v; se poi il raggio di curvatura è costante, il moto è circolare.
66
T=2πr/v, f=1/T, ω=2π/T=2πf, α= ωt, v= ωr.
x=rcos(ωt), y=rsen(ωt);
Vx= –ωr.sen(ωt), Vy = ωr.cos(ωt).
L’accelerazione è radiale e punta al centro del cerchio: accelerazione centripeta.
Vedere fig.4 e la prossima fig.5
77
'v PP r v v vv r s r v
v r r r r r
88
Segue che a=v.ω e perciò anche
2 2 /a r v r
2
2
2
.cos( )
. ( ).
x
y
a r ta r
a r sen t
COMPONENTI:
99
Moto armonico.
E’ la proiezione su una retta (un diametro)
di un moto circolare uniforme. Detta x la retta, le equazioni sono:
2 2
.cos( )
. ( )
.cos( )
x r t
v r sen t
a r t x
1010
Forza elastica: F = -kx.
a= -(k/m)x 2a x
Perciò il moto è armonico con pulsazione
k
m
e periodo 2
mT
k
1111
Moto pendolare
1212
( )a gsen verss
( / )( )gsen s l verss
Se α è piccolo, senα =α (circa) e
( / )a g l s
1313
Il moto è approssimativamente armonico,
con periodo
2l
Tg
1414
Tensione del filo. Nel caso statico (mettere un chiodo in P), il modulo di T è T=mgcosα (vedi fig.6). Durante il moto il filo deve esercitare anche la forza centripeta e 2cos /T mg mv l Per determinare v applico la conservazione dell’energia (vedi la seguente fig.7)
1515
1616
2 / 2mgh mgy mv 0(1 cos ), (1 cos )h l y l
202 (cos cos )v gl
0cos 2 (cos cos )T mg mg
0(3cos 2cos )mg
1717
Si noti che il calcolo di v e di T (tensione) non è limitato alle piccole ocillazioni. Per es. se
0 90 La tensione del filo nel punto più basso O è il triplo del peso e se
0 180 ,T=5mg.
1818
Esercizi. 1) Al soffitto di un veicolo è sospeso un pendolo di massa m=200 grammi. In fase
di accelerazione il filo di sospensione forma un angolo di 20° con la verticale. Calcolare l’accelerazione del veicolo e la tensione del
filo (g = 9,8 m/s2).
1919
2) Una pallina di 300 grammi è appesa a una molla tenuta verticale che, allungata di tre centimetri, oscilla compiendo due oscillazioni al secondo. Calcolare la costante elastica della molla e la velocità massima della pallina.
2020
5. Moti centrali.
Un moto si dice centrale se la forza agente su una particella è diretta verso un punto fisso, eventualmente all’infinito. F = α(r).r . Il momento della forza è ( ) 0r F r r r
Il momento angolare è L r mv
La cui derivata temporale è ' ' ' ' ' ' 0L r mv r mv r mr r mv r mv r ma
2121
Dunque L è costante e il raggio vettore r=OP, essendo ortogonale ad L, descrive un’orbita piana. Velocità areale. L’elemento d’area ( fig. 8) è
1 1 1
2 2 2
LdA r dr r vdt dt
m
2222
Perciò la velocità areale è costante (per tutti i moti centrali, non solo per quelli newtoniani):
2
dA LA
dt m
2323
Energia. Il lavoro compiuto dalla forza F quando sposta il suo punto di applicazione da P0 a P1 è W=
indipendente dalla traiettoria. (i campi di forza centrale sono conservativi). Posto U(r)=-β(r), W=U(r0)-U(r1). U si chiama energia potenziale.
0 1 0 1( , ) ( , )
( ). ( ) . cos( )P P P P
F r ds r r ds
0 11 0( , )
( ) ( ) ( )P P
r rdr r r
2424
N.B. Ho chiamato ds il vettore che nella fig. 8 chiamavo dr, in modo che nell’ultimo integrale ho potuto porre dr=ds.cos(θ).
Siccome la variazione di energia cinetica è
1
0 1 0 1 0
2 21 0
( , ) ( , )
1 1.
2 2
v
P P P P v
ma vdt mvdv mvdv mv mv
0 1
1 0
( , )
( ).P P
K K F r ds
2525
Segue: K1-K0=W=U0-U1 : in un campo centrale la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale si mantiene costante nek tempo: K+U=E.
Osservazione. La forza d’attrito, essendo parallela (e discorde) con lo spostamento, non è conservativa. Si noti che non è una forza centrale; ma una forza può essere conservativa senza essere centrale.
2626
6. Campo newtoniano. E’ un campo centrale:
2
Mm rF G
r r
Perciò vale la seconda legge di Keplero. L’energia potenziale è
2( ).
GMm GMmU F r dr dr
r r
E vale la conservazione dell’energia:
2727
21
2
MmE mv G
r
Più difficile è dimostrare la prima legge di Keplero: le orbite sono ellissi. La terza legge si dimostra in modo elementare nel caso di orbite circolari, uguagliando la forza di Newton alla forza centripeta:
2828
22
2
GMm mv GMv
r r r
e detto T il periodo orbitale:
22
r rT r
v GM
2 2
3
4T
r GM
Sostituendo v nella formula dell’energia,si ha
2
GMmE
r
2929
In fisica elementare si trova che l’energia potenziale di gravità è U = mgh >0, mentre qui abbiamo U = -GMm/r <0. Come si concilia? Dipende dalla scelta del potenziale 0 di riferimento: livello del suolo o punto all’infinito; ma il lavoro, che solo ha significato fisico, non cambia.
3030
Se un sasso cade da quota h, il lavoro della gravità è W=mgh-0 = mgh. Ricordo ora che trascurando la rotazione della Terra, mg = GMm/R2, M massa, R raggio della Terra:
2
GMg
R
1 1( )
( )
GMm GMm GMW GMm m h
R h R R R h R R h
2
GMm h mghR
se h è trascurabile rispetto a R.
3131
Esercizi: a) Determina la massa della Tera, conoscendo R,g,G.
b) La massa del Sole.
c) Fino al 1969 era più difficile calcolare la massa della Luna; se non sai come si faceva, immagina un metodo semplice applicabile ora.
3232
Maree. La forza di marea è la differenza tra la forza di attrazione alla superficie e la forza di attrazione al centro della Terra da parte del corpo che la produce: Luna, Sole…
3333
Sia R il raggio della Terra, r la distanza Terra – Luna. In A:
2
2 2 2 2 3
2 2
( ) ( )Luna Luna
marea Luna Luna
GM GM Rr R RF GM GM
r R r r R r r
In B:
2
2 2 2 2 3
2 2
( ) ( )Luna Luna
marea Luna Luna
GM GM Rr R RF GM GM
r R r r R r r
Massa del Sole circa 27 milioni di massa lunare, ma distanza 400 volte maggiore e la sua forza di marea è meno della metà.
3434
7. Caduta nel centro di un campo centrale attrattivo. In un campo attrattivo si definisce velocità di fuga la velocità v taLe che E = ½ mv2 + U(r) = 0. Dunque vf = -2U/m. Se v<vf il moto è limitato e se L=0, la particella punta e cade nel centro di forza O. Ma se L≠0, sotto quale condizione la particella cade in O? Decomposta v nelle componenti radiale r’ e trasversa rθ’, si ha:
22 2 2 2 2
2 4
1 1 1( ) ( ) 0.( )
2 2 2
LE m r r U r mr E U r mr
m r
2
2.( ) 0
2
LE U r
mr
3535
(La grandezza 2
22
L
mrsi chiama energia potenziale centrifuga). Segue che
22 2( ) 0
2
Lr U r Er
m
Siccome2
2
L
m è una costamte >0,
r può 0 solo se U(r) –∞ come 1/rn con n>2 oppure come -α/r2 con α>L2/2m.
3636
Nel caso newtoniano U=-GMm/r, perciò la particella non può cadere nel centro O del campo. Come mai allora i meteoriti cadono sulla Terra? (o sulla Luna, ecc.?). Perché la Terra non è un punto, l’impatto avviene quando la traiettoria del meteorite lo porterebbe a una distanza dal centro della Terra minore del raggio.