M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

1) Tečenje pod pritiskom

Najvažniji zahtevi koje jedna distribuciona mreža treba da ispuni jesu:

da dovede odgovarajuće količine vode svakom korisniku kada mu je to potrebno da obezbedi dovoljne pritiske na svakom mestu korišćenja

Osnovne pretpostavke

Cevi i čvorovi su osnovni elementi distribucione mreže. Duž jedne cevi poprečni preseci su konstantni (D =const).

Mesto gde se menja poprečni presek cevi, priključuje druga cev, ili nalazi rezervoar, naziva se čvor.

Ostali elementi mreže : zatvarači, pumpe, reduciri pritiska, zahtevaju poseban tretman.

Dve osnovne veličine odredjuju stanje u mreži:

1) pritisci u odredjenim tačkama i 2) proticaji kroz cevi.

Umesto pritisaka koriste se i pijezometarske kote, a prikazuju se, najčešće, u čvorovima mreže.

Matematički model strujanja vode u cevnim mrežama:

1) jednačina kontinuiteta i 2) dinamička (odnosno energetska) jednačina

Osnovne pretpostavke:

1) tečenje je ustaljeno2) fluid je nestišljiv3) sve veličine su integrisane po poprečnom preseku cevi i zamenjene

reprezentativnim, kao što su proticaj, srednja brzina, pijezometarska kota ...

Pojednostavljenja:

1) mali pojedinačni priključci duž cevi ne uzimaju se u razmatranje posebno nego se ukupni proticaj na svim priključcima duž cevi deli i dodeljuje susednim čvorovima kao ”čvorna potrošnja”

2) slobodne cevi (cevi koje ne formiraju prstenove) manjeg prečnika sa poznatom potrošnjom isključuju se, a njihovi proticaji dodaju se na čvornu potrošnju čvora gde je slobodna cev spojena sa glavnom

3) brzinske visine se najčešće zanemaruju 4) standardni lokalni gubici (promena prečnika, spojevi, krivine itd.) najčešće se

zanemaruju, ili uzimaju integralno (povećana efektivna dužina cevi ili povećan koef. trenja)

5) lokalni gubici na regulacionim zatvaračima, reducirima pritiska i sličnim elementima, koji aktivno utiču na distribuciju vode moraju se uzeti u obzir

1 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Na ovaj način dolazi se do računskog modela mreže, koji, iako je znatno jednostavniji od stvarne distribucione mreže, treba da omogući pouzdanu inženjersku analizu.

Definicije, uslovi i pretpostavke za proučavanje ustaljenih strujanja nestišljivih fluida

Struja (tok) je izduženo strujno polje sa određenim pravcem prenošenja tečnosti.

Primeri za struje su tečenja u cevima, kanalima, rekama, itd.

U pogledu načina strujanja u hidraulici se mogu izdvojiti dve odvojene grupe strujanja:

1. Strujanje pod pritiskom

Apsolutni pritisak tečnosti u gornjem delu provodnika kroz koji tečnost struji veći od atmosferskog pritiska.

Pijezometarska linija se nalazi iznad provodnika, a provodnik je potpuno ispunjen tečnošću.

2. Strujanje sa slobodnom površinom

Gornji sloj tečnosti u nekom provodniku izložen je dejstvu atmosferskog pritiska. Pijezometarska linija se poklapa sa linijom slobodne površine tečnosti.

Primer takvih strujanja su strujanja u kanalima i rekama.

2 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Karakteristike fluida:

Realni fluidi i idealni fluidi Stišljiv i nestišljiv fluid Homogen i nehomogen fluid

Vrste strujanja:

Ustaljeno i neustaljeno Jednoliko i nejednoliko Laminarno i turbulentno

Ustaljeno i neustaljeno strujanje

Ukoliko se posmatrane veličine ne menjaju u određenom, konačnom vremenskom intervalu strujanje je ustaljeno.

Uslov za ustaljeno strujanje: ∂φ∂ t

= 0 u intervalu vremena t1 i t2

Q = constJednoliko i nejednoliko strujanje

Pod jednolikim tečenjem podrazumeva se tečenje kog koga su veličine kojima se opisuje kretanje istovetne u svim poprečnim presecima u jednom vremenskom trenutku.

Uslov za jednoliko tečenje: ∂φ∂ xi

= 0 za preseke i = 1,2,3 ... za trenutak t = tj

Ustaljenost je vezana za promene po vremenu u jednom preseku fluidne struje, a jednolikost je vezana za promenu duž fluidne struje u jednom vremenskom trenutku.

Laminarno i turbulentno

3 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Laminarno: tečenje u slojevima, koji se međusobno ne mešaju; trajektorija pravolinijska; javlja se samo pri vrlo malim brzinama toka

Turbulentno: vrlo intenzivno mešanje između slojeva; trajektorija vrlo složena i nepravilna; kretanje trodimenzionalno i neustaljeno (promene i u prostoru i u vremenu); javlja se kod većih brzina

Trajektorije delića kod laminarnog i kod turbulentnog kretanja

Trajekotorija - linija koja opisuje putanju jednog delića kroz vreme

Strujnica - linija koja povezuje položaje različitih delića u istom vremenskom trenutku.

Emisiona linija – linija koja za jedan vremenski trenutak opisuje položaje svih delića koji su prošli kroz jednu tačku

Kod proučavanja struja najčešće upoređujemo stanje u dva poprečna preseka.

4 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Iskustvo nam govori da će tečnost koja malom brzinom struji kroz cev glatkih zidova, ili pak optiče telo koje ima glatku površinu, teći laminarno - Re < 2320

Suprotno, pri dovoljno velikoj brzini će doći do turbulencija - Re > 5000Ako je brzina strujanja negde izmedju malih

(kada je strujanje sigurno laminarno) i velikih (kada je strujanje sigurno turbulentno) karakter strujanja se ne može predvideti, strujanje je nestabilno – 2320 > Re > 5000

Veličina na osnovu čije vrednosti može da se odredi karakter strujanja se naziva Rejnoldsov broj.

Re = ρ v dη

= vdν

…….. bezdimenzionalna veličina

ρ - gustina fluidav - njegova brzinaη - koeficijent viskoznostid - prečnik preseka cevi𝛎 – kinematska viskoznost

Za proučavanje se uvek bira onaj presek kod koga je strujanje pravolinijsko, paralelno i upravno na presek.

Veličine koje opisuju struje u poprečnom preseku najčešće su pijezometarska kota i prosečna brzina strujanja.

5 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Osnovne predpostavke i uslovi za izučavanje ustaljenih strujanja nestišljivih fluida

1) Za dati presek struje mora biti ista za ceo presek. Za bilo koji presek predpostavlja se da vlada hidrostatički raspored pritiska.

2) Brzina strujanja u datom preseku izražava se preko srednje (prosečne) brzine za presek (v).

Označimo sa Q proticaj tečnosti, odnosno proteklu zapreminu tečnosti u jedinici vremena kroz presek struje A.

Srednju odnosno prosečnu brzinu u preseku , v , definisaćemo kao odnos proticaja Q i površine A.

v = Q / A

6 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

3) Proučavaju se samo nestišljive tečnosti, odnosno tečnosti kod kojih je gustina r = const. Fluid je nestišljiv, gustina se ne menja ni po vremenu ni od tačke do tačke. Ista masa uvek i svuda zauzima istu zapreminu, koja se ne menja bez obzira na vladajući pritisak, jer je fluid, kako sam naziv kaže, nestišljiv.

4) Pri proučavanju kretanja tečnosti predpostavlja se da od zapreminskih sila (sile proporcionalne masi) deluje samo težina tečnosti.

5) Pri proučavanju kretanja tečnosti predpostavlja se da od površinskih sila deluju sile usled dejstva pritiska (sile pritiska) i sile usled napona trenja između fluidnih delića (sile trenja).

6) Između dva poprečna preseka struje, struja je ograničena omotačem. Ako je omotač čvrsta nepokretna granična površina, onda između njega i struje nema izmene energije (nema rada jer se on ne kreće).

Većina praktičnih problema u hidraulici se može rešiti primenom tri osnovne jednačine:

1) jednačina kontinuiteta

2) energetska jednačina

3) jednačina količine kretanja (dinamička jednačina)

Sva tri ova zakona poštuju načelo održanja ili nepromenljivosti.

Masa je nepromenljiva, jer se ne može ni uništiti ni stvoriti. Količina kretanja se održava sve dok je sila ne promeni. Zakon održanja energije dozvoljava samo prelazak iz jedne vrste energije u drugu, a

kao i masa energija se ne može ni uništiti ni stvoriti.

1) Jednačina Kontinuiteta

7 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Masa fluida koja u određenom trenutku zauzima zapreminu između poprečnih preseka 1 i 2 struje, ostaje nepromenjena i uvek će potpuno ispunjavati prostor koji zauzima (ne prekida se). Stoga su jednake zapremine koju posmatrana masa za vreme dt napusti, odnosno osvoji (fluid je konstantne gustine pa jednakost masa znači i jednakost zapremina a ustaljenost ne dopušta promenu zapremine između preseka).

= m / V ....... m = · V ....... Q = V / tρ Δ Δ Δ ρ Δ Δ Δ

masa u jedinici vremena ........ m / t = · V / t = · Q = · Δ Δ ρ Δ Δ ρ ρ v · A

masa u jedinici vremena koja ulazi u cev = masa u jedinici vremena koja izlazi iz cevi

ρ1 · v1 · A1 = ρ2 · v2 · A2 ........ = ρ const

Q1 = Q2

Za nestišljive fluide kao što su tečnosti jednačina nepromenljivosti mase odnosno jednačina kontinuiteta (neprekidnosti) se može izraziti i u sledećem obliku:

v1×A1 = v2×A2 = vn×An = Q = const

v - srednja brzina u preseku strujeA - površina poprečnog preseka

Ako se struja račva: Qm = Q1 + Qn

8 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

2) Energetska (Bernulijeva) jednačina

Bernulijeva jednačina izražava zakon o održanju energije ⟹ zbir potencijalne i kinetičke energije na jedinicu težine tečnosti je konstantan duž strujnice idealne tečnosti. Prema zakonu o održanju energije ⟹ energija u jednom zatvorenom sistemu se ne može ni uništiti ni stvoriti. Energija koja je ušla u sistem mora biti jednaka energiji koja je napustila sistem.

Rad je skalarni proizvod sile i pomeranja pod uticajem te sile.

Polazi se od stava da je: priraštaj kinetičke energije posmatrane mase u vremenskom intervalu Dt jednak radu svih realnih sila na toj masi umanjen za energiju koja iz mehaničke pređe u toplotnu.

9 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

• Kinetička energija posmatrane mase je: mv2/2

• Priraštaj kinetičke energije za trenutke (t+Dt) i (t)

mv2

2 ( t+Δt )−m v2

2(t )=∑ Fi x i−ΔE

Fi - sve realne sile koje deluju na masu

U preseku 1 se gubi kinetička energija:

Ukupni priraštaj kinetičke energije za celokupnu masu fluida je:

Za posmatranu masu fluida između preseka 1 i 2, radovi pojedinih sila su:

Rad sile težine:

Rad potreban da se premesti ² napuštena ² u ² osvojenu ² zapreminu, pri čemu se rad vrši samo u z pravcu:

G( z1−z2 )= ρ gQ Δt ( z1−z2 )

Rad sile pritiska:

na presecima 1 i 2 je proizvod sile pritiska P1 = p1 · A1 i P2 = p2 · A2 na pomeranjima usled dejstva tih sila:

p1 A1 v1Δt−p2A2v2 Δt=QΔt ( p1−p2 )

Rad konturne sile

se razdvaja na deo usled normalne sile N i sile tangencijalnih napona (trenja) T.

10 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Radom sile trenja nastaje, odnosno energija koja se ² troši ² na prelazak korisne mehaničke energije u toplotnu:

Izjednačavanjem jednačine (*) sa sumom svih radova, dobija se jednačina mehaničke energije:

Ako se jednačina podeli sa težinom fluida, odnosno sa silom, dobija se izraz koji ima dimenziju dužine:

Daljim sređivanjem izraza, mogu se članovi rada sile težine i sile pritiska grupisati po presecima:

Pijezometarska kota predstavlja potencijalnu energiju fluida po jedinici težine, odnosno sposobnost fluida da obavi rad.

Potencijalnu energiju čini:

energija usled visinskog položaja delića z energija usled delovanja pritiska ...... p/rg

- pijezometarska kota se može shvatiti kao združena potencijalna energija usled težine i pritiska, izražena u odnosu na nultu kotu i nulti pritisak.

v2

2g …. je takozvana brzinska visina, odnosno kinetička energija po jedinici težine.

11 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

E=Π+ v2

g=const

……… je energetska kota, odnosno ukupna kota (potencijalna ++ kinetička), sve po jedinici težine.

Prikazivanje pritiska i brzine odgovarajućim visinama

brzinska visina i visina pritiska položajna, pijezometarska i energetska kota. pijezometarska linija i linija energije

Usled zaustavljanja struje na ulazu, Pitot cev će pokazivati izmenjenu kotu B = din (tzv. dinamičku kotu, za razliku od pijezometarske kote, koju ćemo obeležiti sa a = stat).

Prema Bernulijevoj jednačini povećanje brzine delića je moguće samo na račun smanjenja potencijalne energije i obrnuto.

Iz jednačine se vidi da je brzinska visina za strujnu liniju za kotu otvora Pitove cevi, jednaka razlici kota koju pokazuju Pito i Pijezo cevi.

Može se izmeriti nadvišenje u Pito cevi i sa time je izmerena brzina. Ovo je jedan od načina merenja brzine.

Pijezometarska linija spaja pijezometarske kote za različite preseke duž struje.Linija energije spaja energetske kote za različite preseke duž struje.

Energetska linija niz struju stalno opada, a pijezometarska linija može i da raste ako brzina opada.

12 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Ako je pijezometarska kota ispod preseka, pritisak je u tom preseku manji od atmosferskog.

Pijezometarska kota se poklapa sa položajnom kotom, kada je pritisak jednak nuli.

Pijezometarska i energetska kota se poklapaju ako je brzina jednaka nuli.

Jednačina održanja količine kretanja (Dinamička jednačina)

Ako se za posmatranu masu fluida površine ulaznog A1 i izaznog preseka A2 razlikuju, primenom jednačine kontinuiteta dobija se da će fluidni delići od ulaznog do izlaznog preseka promeniti brzinu:

v1A1= v 2A2 Þ v 1¹ v 2

13 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Do promene brzine fluida unutar mase dolazi pod uticajem sila koje deluju na masu. Tada mora biti ispunjen princip održanja količine kretanja i primenjuje se stav da je promena količine kretanja posmatrane mase u vremenskom intervalu Dt jednaka impulsu sila.

Količinom kretanja nekog tela nazivamo proizvod njegove mase i brzine:

m× v = količina kretanja

Promena količine kretanja jednaka je razlici količine kretanja posmatrane mase za trenutke (t+Dt) i (t).

m× v t+Dt - m× v t = F · Σ Dt

Zakon o održanju količine kretanja zasniva se na drugom Njutnovom zakonu i može se formulisati na sledeći način:

Priraštaj količine kretanja posmatrane mase u jednici vremena (D(m×v)/ D t) jednak je rezultanti sila koje na tu masu deluju.

iliSila koja pokreće telo u nekom pravcu je jednaka promeni količine kretanja tela u pravcu te sile.

m × a = Fmasa × ubrzanje = sila

Drugi Njutnov zakon- promena kretanja nekog tela srazmerna je delujućoj sili i obavlja se u pravcu te sile.

14 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

I = r × Q × v ......... Inercijalna sila je usmerena uvek ka masi tečnosti, pa je inercijalna sila u preseku 1 u pravcu brzine strujanja vI a u preseku 2 smer inercijalne sile je suprotno od smera brzine vII. Inercijalna sila deluje u težištu preseka.

P = pT × A .......... Sile pritiska u presecima se određuju po načelima hidrostatike

G = g × V .......... G težina tečnosti između dva preseka.

Sve sile moraju stajati u ravnoteži, pa se zatvaranjem poligona sila u koji ulaze i fiktivne inercijalne sile nalazi sila K kojom omotač deluje na tečnost.

15 / 16

M E H A N I K A F L U I D A - H I D R O D I N A M I K A

Nas obično interesuje sila kojom fluid deluje na konturu, a to je sila istog intenziteta ali suprotnog znaka od sile K kojom kontura deluje na fluid.

Jednačina održanja količine kretanja najčešće se primenjuje za rešavanje dva tipa zadataka:

1. Ako se traži sila kojom tečnost deluje na konturu (npr. krivina)

2. Ako su lokalni uslovi tečenja toliko složeni da se promene energije ne mogu definisati za taj lokalitet. Tada se jednačina održanja količine kretanja primenjuje na granicama lokaliteta na kome dominiraju složeni uslovi tečenja. (npr. suženje)

Gubici energije ......

16 / 16