1 LE CHOIX EN CONTEXTE DINCERTITUDE. 2 Note: On considère ici des situations risquées...
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1
LE CHOIX EN
CONTEXTE
D’INCERTITUDE
2
Note: On considère ici des situations risquées (incertaines)
auxquelles sont associées des paiements et des probabilités connues.
On cherche:
- à quantifier le risque
- à voir comment un consommateur compare des alternatives risquées
- à voir comment représenter les préférences vis-à-vis du risque
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La valeur espérée
La valeur espérée d’une situation risquée (incertaine) est la moyenne pondérée des résultats possibles, les poids étant les probabilités associées à chacun des résultats.
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Ex: Jeu #1: 1 $ à pile ou face
Événement A (pile) B (face)
Probabilité (P) PA = 1/2 PB = 1/2
Paiement (X) XA = + 1 $ XB = - 1 $
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La valeur espérée ou (le paiement espéré) E(X)
du jeu #1 est:
E(X) = PA * XA + PB * XB
= (1/2) * 1$ + (1/2) * (-1$)
= 0
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Ex: Jeu #2: 2000 $ à pile ou face
Événement A (pile) B (face)
Probabilité (P) PA = 1/2 PB = 1/2
Paiement (X) XA =+ 2000 $
XB =- 2000 $
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La valeur espérée ou (le paiement espéré) E(X) du jeu #2 est:
E(X) = PA * XA + PB * XB
= (1/2) * 2000$ + (1/2) * (-2000$)
= 0
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Les deux jeux (1 et 2) ont le même paiement espéré, i.e. 0.
Dans ce cas, êtes-vous vraiment indifférents entre les deux jeux ?
Est-ce que les individus basent leur décision uniquement sur la base de la valeur
espérée ?
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Les individus tiennent compte de la valeur espérée mais aussi du risque.
Le risque est associé à la variabilité des résultats
Comment le mesurer ?
La variance peut être utilisée comme mesure du risque.
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La variance
La variance (2 ) est la moyenne pondérée des carrés des écarts par rapport à la valeur espérée E(X) (les poids sont les probabilités associées à chacun des événements)
2 = p1 [(X1 - E(X))2 ] + p2 [(X2 - E(X))2 ]
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Note:
L’écart-type (), qui correspond simplement à la racine carrée de la variance, peut aussi être utilisé.
2 =
12
Variance du jeu #1:
2 = (1/2) * (1-0)2 + (1/2) * (-1-0)2 = 1
Variance du jeu #2:
2 = (1/2) * (2000-0)2 + (1/2) * (-2000-0)2
= 4 000 000
le jeu #2 est beaucoup plus risqué
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Ex: Jeu #3: Pile ou face
Événement A (pile) B (face)
Probabilité (P) PA = 1/2 PB = 1/2
Paiement (X) XA =+ 2000 $
XB = - 1600 $
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La valeur espérée ou (le paiement espéré) E(X) du jeu #3 est:
E(X) = PA * XA + PB * XB
= (1/2) * 2000$ + (1/2) * (-1600$)
= 200
Comment savoir comment un individu évalue le jeu #3 ? (jouera-t-il ou non) ?
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L’utilité espérée
Un individu associe à chaque niveau de revenu (R) un niveau d’utilité (satisfaction) selon une fonction U = f (R).
Dans un contexte de risque (incertitude), les individus fondent leurs décisions sur l’utilité espérée E(U(R)) plutôt que sur le revenu espéré E(R).
E(U(R)) = pA U(RA) + pB U(RB)
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Ex: Considérons un niveau de revenu initial de R= 3 000 $ et le jeu #2.
Le revenu espéré est:
E(R) = PA* RA + PB * RB
= PA* (R + XA) + PB * (R + XB)
= 1/2 * (3000 + 2000) +
1/2 * (3000 - 2000)
= 3000
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Pour l’individu qui refuse de jouer (qui a de
l’aversion pour le risque), la perte d’utilité associée à la perte des 2000 $ est supérieure au gain d’utilité associé au gain des 2000 $.
U(3000)- U(1000) > U(5000) - U(3000)
perte d’utilité > gain d’utilité
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U = f(R) pour un individuU = f(R) pour un individu «risquophobe» «risquophobe»
U
R0
U(1000)
30001000 5000
U(3000)
U(5000)Gain
Perte
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Un individu qui a de l’aversion pour le risque (risquophobe) préférera un revenu certain R à une situation risquée d’espérance E(R) = R.
L’individu risquophobe a une fonction d’utilité U = f(R) concave
Pour l’individu risquophobe, l’utilité marginale du revenu est décroissante
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U
R0
U(2000)
30002000 4000
U(3000)
U(4000)
U = f(R) pour un individu U = f(R) pour un individu neutre au risqueneutre au risque
Perte
Gain
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Un individu qui est neutre face au risque sera indifférent entre un revenu certain R et une situation risquée d’espérance E(R) = R.
L’individu neutre face au risque a une fonction d’utilité U = f(R) linéaire
Pour l’individu neutre face au risque, l’utilité marginale du revenu est constante
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U
R0
U(2000)
30002000 4000
U(3000)
U(4000)
U = f(R) pour un individu U = f(R) pour un individu « risquophile »« risquophile »
Gain
Perte
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Un individu qui est risquophile (aime le risque) préférera une situation risquée d’espérance E(R) = R à un revenu certain R.
L’individu risquophile a une fonction d’utilité U = f(R) convexe
Pour l’individu risquophile, l’utilité marginale du revenu est croissante
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Supposons qu’un individu ayant de l’aversion pour le
risque a une fonction d’utilité U = f(R) = R 1/2
Il ne jouera pas au jeu # 2 car:
E(U(R)) = pA U(RA) + pB U(RB)
= 1/2* (5000)1/2 + 1/2* (1000)1/2
= 51,17
est inférieur à U(3000) = 30001/2 = 54,77
qui correspond à l’utilité de la situation certaine, i.e. (celle de ne pas jouer)
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Comment évalue-t-il le jeu #3 ?
E(U(R)) = pA U(RA) + pB U(RB)
= pA U(R + XA) + pB U(R + XB)
= 1/2* (3000 + 2000)1/2
+ 1/2* (3000 - 1600)1/2
= 54,05
Ce qui est inférieur à U(3000)1/2 = 54,77.
Donc l’individu ne jouera pas.