1. Kumputasi Hal 55 Inversi
-
Upload
izelpinata -
Category
Documents
-
view
62 -
download
19
description
Transcript of 1. Kumputasi Hal 55 Inversi
Komputasi untuk Sains dan Teknik
Supriyanto Suparno
( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu )
( Email: [email protected] atau [email protected] )
Edisi II
Revisi terakhir tgl: 2 Maret 2008
Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia
Dipublikasikan pertama kali pada September 2007
Untuk
Nina Marliyani
Muflih Syamil
dan
Hasan Azmi
Ketekunan adalah jalan yang terpercaya untuk mengantarkan kita menuju kesuksesan
(Supriyanto, 2007)
Kata Pengantar
Secara garis besar, ilmu fisika dapat dipelajari lewat 3 jalan, yaitu pertama, dengan meng-
gunakan konsep atau teori fisika yang akhirnya melahirkan fisika teori. Kedua, dengan cara
eksperimen yang menghasilkan aliran fisika eksperimental, dan ketiga, fisika bisa dipelajari
lewat simulasi fisika yang sangat mengandalkan komputer serta algoritma numerik.
Tujuan penyusunan buku ini adalah untuk meletakkan pondasi dasar dari bangunan pema-
haman akan metode-metode komputasi yang banyak digunakan pada simulasi-simulasi fenom-
ena fisika.
Rujukan utama buku ini bersumber pada buku teks standar yang sangat populer di dunia
komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul
Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Aca-
demic Resource Center. Disamping itu, buku ini dilengkapi oleh sejumlah contoh aplikasi
komputasi pada upaya penyelesaian problem-problem fisika.
Dalam edisi ke-2 ini, algoritma numerik disalin ke dalam 2 bahasa pemrograman, yaitu For-
tran77 dan Matlab. Disamping itu penjelasan lebih terperinci tentang bagaimana menentukan
indeks i, j dan k dalam proses looping disajikan pada Bab I, untuk memberi pondasi yang san-
gat penting bagi berdirinya bangunan pemahaman akan teknik-teknik numerik selanjutnya.
Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede
Djuhana yang telah berkenan memberikan format LATEX-nya sehingga tampilan tulisan pada
buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Rasa terima kasih juga in-
gin saya teruskan kepada Sarah Wardhani yang telah memicu langkah awal penulisan buku
ini hingga masuk ke Edisi-2. Tak lupa, saya pun sepatutnya berterima kasih kepada selu-
ruh rekan diskusi yaitu para mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika
PTA 2006/2007 di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia. Tiga orang mahasiswi
dari Universitas Pakuan yaitu Eni Nurliani, Saidah Al-adawiyah dan Deni Fitri A juga perlu
saya tulis disini sebagai ungkapan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan mereka yang turut
memperkaya isi buku ini.
Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat menyumbangkan
energi bagi terciptanya gelombang kebangkitan ilmu pengetahuan pada bangsa Indonesia yang
saat ini sedang terpuruk. Saya wariskan ilmu ini untuk anak bangsa. Saya izinkan anda untuk
meng-copy dan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tu-
juan komersial. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan
dikirimkan ke email: [email protected]
Depok, 16 September 2007
Supriyanto Suparno
iii
iv
Daftar Isi
Lembar Persembahan i
Kata Pengantar iii
Daftar Isi iv
Daftar Gambar vii
Daftar Tabel ix
1 Matrik dan Komputasi 1
1.1 Pengenalan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Inisialisasi matrik dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Macam-macam matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Matrik transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Matrik bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.4 Matrik diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.5 Matrik identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.6 Matrik upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.7 Matrik lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.8 Matrik tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.9 Matrik diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.10 Matrik positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.11 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Komputasi penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4 Komputasi perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Metode Eliminasi Gauss 19
2.1 Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
v
vi
2.3 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Algoritma eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Menghitung invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 41
3.1 Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Metode LU Decomposition 63
4.1 Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Metode Iterasi 73
5.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.1 Script perhitungan norm dalam Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.2 Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Script Matlab untuk menghitung iterasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.2 Optimasi script Matlab untuk menghitung iterasi . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.3 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.4 Program dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.1 Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4.3 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.5 Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Interpolasi 95
6.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Interpolasi Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
vii
7 Diferensial Numerik 105
7.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3.1 Script Finite-Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3.2 Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8 Pers. Diferensial Parsial Numerik 125
8.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2 PDP eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2.2 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3 PDP parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3.1 Metode Forward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3.3 Metode Backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.3.4 Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Integral Numerik 139
9.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.3 Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10 Metode Newton 145
10.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11 Metode Monte Carlo 147
11.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12 Inversi 151
12.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Daftar Pustaka 157
Indeks 159
viii
Daftar Gambar
3.1 Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1 Fungsi f(x) dengan sejumlah titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Pendekatan dengan polinomial cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Profil suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.5 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.6 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2 Trend error metode euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.4 Kurva muatan q terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5 Kurva suatu fungsi f(x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang
dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah X0 = a hingga batas atas
x6 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.1 Distribusi temperatur pada lempeng logam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.2 Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur.
Jarak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3 Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005 . . . 135
8.4 Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan
forward-difference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin
meningkat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Metode Composite Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.1 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 148
11.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 149
ix
x DAFTAR GAMBAR
Daftar Tabel
3.1 Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . 41
3.2 Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . 46
3.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Hasil perhitungan norm-selisih (dengan ℓ2) hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . 83
5.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.1 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2
adalah solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-
difference. Kolom ke-4 dan ke-6 adalah selisih solusi analitik dan numerik . . . . 136
8.2 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode
backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
xi
xii DAFTAR TABEL
Bab 1
Matrik dan Komputasi
Objektif :
⊲ Mengenalkan matrik dan jenis-jenis matrik.
⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik.
⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer.
⊲ Membuat script operasi matrik.
1.1 Pengenalan matrik
Notasi suatu matrik berukuran n x m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya
An×m. Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matrik tersusun
dari elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil diikuti angka-angka indeks, misalnya
aij , dimana indeks i menunjukan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke-j.
A = (aij) =
a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
......
...
an1 an2 . . . anm
(1.1)
Contoh 1: Matrik A2×3
A =
[
3 8 5
6 4 7
]
dimana masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan
a23 = 7.
Contoh 2: Matrik B3×2
B =
1 3
5 9
2 4
1
2 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI
dimana masing-masing elemennya adalah b11 = 1, b12 = 3, b21 = 5, b22 = 9, b31 = 2, dan
b32 = 4.
1.2 Inisialisasi matrik dalam memori komputer
Dalam bahasa pemrograman Fortran77, cara mengisi memori komputer dengan elemen-elemen
matrik A2×3, sesuai dengan Contoh 1 adalah
1 A(1,1) = 3
2 A(1,2) = 8
3 A(1,3) = 5
4 A(2,1) = 6
5 A(2,2) = 4
6 A(2,3) = 7
Sedangkan untuk matrik B3×2, sesuai Contoh 2 adalah
1 B(1,1) = 1
2 B(1,2) = 3
3 B(2,1) = 5
4 B(2,2) = 9
5 B(3,1) = 2
6 B(3,2) = 4
Sementara dalam Matlab, cara mengisi memori komputer dengan elemen-elemen matrik
A2×3, sesuai dengan Contoh 1 adalah
1 clear all
2 clc
3
4 A(1,1) = 3;
5 A(1,2) = 8;
6 A(1,3) = 5;
7 A(2,1) = 6;
8 A(2,2) = 4;
9 A(2,3) = 7;
10 A
Sedangkan untuk matrik B3×2, sesuai Contoh 2 adalah
1 clear all
2 clc
3
4 B(1,1) = 1;
5 B(1,2) = 3;
6 B(2,1) = 5;
7 B(2,2) = 9;
8 B(3,1) = 2;
9 B(3,2) = 4;
10 B
1.3. MACAM-MACAM MATRIK 3
1.3 Macam-macam matrik
1.3.1 Matrik transpose
Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen dalam satu kolom
menjadi elemen-elemen dalam satu baris; demikian pula sebaliknya. Notasi matrik tranpose
adalah AT atau At.
Contoh 3: Operasi transpose terhadap matrik A
A =
[
3 8 5
6 4 7
]
At =
3 6
8 4
5 7
1.3.2 Matrik bujursangkar
Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.
Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matrik bujursangkar
orde 3
A =
1 3 8
5 9 7
2 4 6
1.3.3 Matrik simetrik
Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik A bernilai sama den-
gan matrik transpose-nya (At).
Contoh 5: Matrik simetrik
A =
2 −3 7 1
−3 5 6 −2
7 6 9 8
1 −2 8 10
At =
2 −3 7 1
−3 5 6 −2
7 6 9 8
1 −2 8 10
1.3.4 Matrik diagonal
Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali
elemen-elemen diagonalnya.
Contoh 6: Matrik diagonal orde 3
A =
11 0 0
0 29 0
0 0 61
4 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI
1.3.5 Matrik identitas
Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali
elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.
Contoh 7: Matrik identitas orde 3
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1.3.6 Matrik upper-triangular
Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen di-
agonal bernilai 0 (nol).
Contoh 8: Matrik upper-triangular
A =
3 6 2 1
0 4 1 5
0 0 8 7
0 0 0 9
1.3.7 Matrik lower-triangular
Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diago-
nal bernilai 0 (nol).
Contoh 9: Matrik lower-triangular
A =
12 0 0 0
32 −2 0 0
8 7 11 0
−5 10 6 9
1.3.8 Matrik tridiagonal
Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada dis-
ekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).
Contoh 10: Matrik tridiagonal
A =
3 6 0 0
2 −4 1 0
0 5 8 −7
0 0 3 9
1.3. MACAM-MACAM MATRIK 5
1.3.9 Matrik diagonal dominan
Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi
|aii| >n
∑
j=1,j 6=i
|aij | (1.2)
dimana i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini
A =
7 2 0
3 5 −1
0 5 −6
B =
6 4 −3
4 −2 0
−3 0 1
Pada elemen diagonal aii matrik A, |7| > |2|+|0|, lalu |5| > |3|+|−1|, dan |−6| > |5|+|0|. Maka
matrik A disebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrik B,
|6| < |4|+ |−3|, |−2| < |4|+ |0|, dan |1| < |−3|+ |0|. Dengan demikian, matrik B bukan matrik
diagonal dominan.
1.3.10 Matrik positive-definite
Suatu matrik dikatakan positive-definite bila matrik tersebut simetrik dan memenuhi
xtAx > 0 (1.3)
Contoh 11: Diketahui matrik simetrik berikut
A =
2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 2
untuk menguji apakah matrik A bersifat positive-definite, maka
xtAx =[
x1 x2 x3
]
2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 2
x1
x2
x3
=[
x1 x2 x3
]
2x1 − x2
−x1 + 2x2 − x3
−x2 + 2x3
= 2x21 − 2x1x2 + 2x2
2 − 2x2x3 + 2x23
= x21 + (x2
1 − 2x1x2 + x22) + (x2
2 − 2x2x3 + x23) + x2
3
= x21 + (x1 − x2)
2 + (x2 − x3)2 + x2
3
Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat positive-definite, karena memenuhi
x21 + (x1 − x2)
2 + (x2 − x3)2 + x2
3 > 0
6 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI
kecuali jika x1=x2=x3=0.
1.3.11 Vektor-baris dan vektor-kolom
Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matrik dina-
makan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang diny-
atakan sebagai berikut
a =[
a11 a12 . . . a1m
]
=[
a1 a2 . . . am
]
(1.4)
Sedangkan suatu matrik dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom
dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut
a =
a11
a21
...
an1
=
a1
a2
...
an
(1.5)
1.4 Operasi matematika
1.4.1 Penjumlahan matrik
Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut
berukuran sama. Misalnya matrik C2×3
C =
[
9 5 3
7 2 1
]
dijumlahkan dengan matrik A2×3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D2×3
D = A + C
D =
[
3 8 5
6 4 7
]
+
[
9 5 3
7 2 1
]
=
[
3 + 9 8 + 5 5 + 3
6 + 7 4 + 2 7 + 1
]
=
[
12 13 8
13 6 8
]
Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi penjumlahan antara
matrik A2×3 dan C2×3, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik
tersebut, yaitu[
d11 d12 d13
d21 d22 d23
]
=
[
a11 + c11 a12 + c12 a13 + c13
a21 + c21 a22 + c22 a23 + c23
]
1.4. OPERASI MATEMATIKA 7
Dijabarkan satu persatu sebagai berikut
d11 = a11 + c11
d12 = a12 + c12
d13 = a13 + c13 (1.6)
d21 = a21 + c21
d22 = a22 + c22
d23 = a23 + c23
Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik
dij = aij + cij (1.7)
dimana i=1,2 dan j=1,2,3.
1.4.2 Komputasi penjumlahan matrik
Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (1.7) lebih cepat
berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada persamaan (1.6),
d11 = a11 + c11
d12 = a12 + c12
d13 = a13 + c13
Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai
3. Hal ini membawa konsekuensi pada script pemrograman, dimana looping untuk indeks j
harus diletakkan di dalam looping indeks i. Pokoknya yang looping-nya paling cepat harus
diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping paling luar adalah looping yang indeksnya
paling jarang berubah.
Dalam matlab, algoritma penjumlahan dua matrik ditulis sebagai berikut:
1 for i=1:2
2 for j=1:3
3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);
4 end
5 end
Sedangkan dalam Fortran77, operasi penjumlahan antara matrik ditulis sebagai berikut: A2×3
dan C2×3 adalah
1 do i=1,2
2 do j=1,3
3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)
4 end do
5 end do
8 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI
Perhatikan kedua script di atas! Penulisan indeks i harus didahulukan daripada indeks j.
Perlu dicatat bahwa ukuran matrik tidak terbatas hanya 2x3. Tentu saja anda bisa men-
gubah ukurannya sesuai dengan keperluan atau kebutuhan anda. Jika ukuran matrik diny-
atakan secara umum sebagai n x m, dimana n adalah jumlah baris dan m adalah jumlah kolom,
maka bentuk pernyataan komputasinya dalam matlab menjadi
1 for i=1:n
2 for j=1:m
3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);
4 end
5 end
sedangkan dalam Fortran77
1 do i=1,n
2 do j=1,m
3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)
4 end do
5 end do
Sekarang, mari kita lengkapi dengan contoh sebagai berikut: diketahui matrik A2×3
A =
[
3 8 5
6 4 7
]
dan matrik C2×3
C =
[
9 5 3
7 2 1
]
Program untuk menjumlahkan kedua matrik tersebut dalam matlab adalah:
1 clear all
2 clc
3
4 A(1,1) = 3;
5 A(1,2) = 8;
6 A(1,3) = 5;
7 A(2,1) = 6;
8 A(2,2) = 4;
9 A(2,3) = 7;
10 C(1,1) = 9;
11 C(1,2) = 5;
12 C(1,3) = 3;
13 C(2,1) = 7;
14 C(2,2) = 2;
15 C(2,3) = 1;
16 n=2
17 m=3
18 for i=1:n
19 for j=1:m
20 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);
21 end
22 end
1.4. OPERASI MATEMATIKA 9
sedangkan dalam Fortran77
1 A(1,1) = 3
2 A(1,2) = 8
3 A(1,3) = 5
4 A(2,1) = 6
5 A(2,2) = 4
6 A(2,3) = 7
7 C(1,1) = 9
8 C(1,2) = 5
9 C(1,3) = 3
10 C(2,1) = 7
11 C(2,2) = 2
12 C(2,3) = 1
13 n=2
14 m=3
15 do i=1,n
16 do j=1,m
17 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)
18 end do
19 end do
1.4.3 Perkalian matrik
Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama
sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran
sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrik A2×3 dikalikan dengan matrik
B3×2, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik E2×2
E2×2 = A2×3.B3×2
E =
[
3 8 5
6 4 7
]
1 3
5 9
2 4
=
[
3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4
6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4
]
=
[
53 101
40 82
]
Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara
matrik A2×3 dan B3×2, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik
tersebut, yaitu
[
e11 e12
e21 e22
]
=
[
a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 a11.b12 + a12.b22 + a13.b32
a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 a21.b12 + a22.b22 + a23.b32
]
10 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI
Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrik E2×2 adalah
e11 = a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 (1.8)
e12 = a11.b12 + a12.b22 + a13.b32 (1.9)
e21 = a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 (1.10)
e22 = a21.b12 + a22.b22 + a23.b32 (1.11)
Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e,
a dan b pada persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11). Perhatikan perubahan angka indeks
pertama pada elemen e seperti berikut ini
e1.. = ..
e1.. = ..
e2.. = ..
e2.. = ..
Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka indeks pertama dari elemen a
e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...
e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...
e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...
e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...
Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks
yang polanya sama
ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...
ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...
ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...
ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...
dimana i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjutnya,
masih dari persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11), marilah kita perhatikan perubahan angka
indeks masih pada elemen e dan elemen b,
ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1
ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2
ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1
ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2
1.4. OPERASI MATEMATIKA 11
Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks
yang polanya sama
eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j
eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j
eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j
eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j
dimana j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjutnya,
masih dari persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11), mari kita perhatikan perubahan angka
indeks masih pada elemen a dan elemen b, dimana kita akan dapati pola sebagai berikut
eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j
eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j
eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j
eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j
Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya
sama, dimana k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3.
eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj
eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj
eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj
eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj
Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut
eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj (1.12)
Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut
eij =
3∑
k=1
aikbkj (1.13)
dimana i=1,2; j=1,2; dan k=1,2,3.
Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matrik An×m yang dikalikan dengan ma-
trik Bm×p, akan didapatkan matrik En×p dimana elemen-elemen matrik E memenuhi
eij =m
∑
k=1
aikbkj (1.14)
dengan i=1,2,. . . ,n; j=1,2. . . ,p; dan k=1,2. . . ,m.
12 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI
1.4.4 Komputasi perkalian matrik
Komputasi operasi perkalian antara matrik A2×3 dan B3×2 dilakukan melalui 2 tahap; pertama
adalah memberikan nilai 0 (nol) pada elemen-elemen matrik E2×2 dengan cara (dalam matlab)
1 for i=1:2
2 for j=1:2
3 E(i,j)=0.0;
4 end
5 end
dalam Fortran77
1 do i=1,2
2 do j=1,2
3 E(i,j)=0.0
4 end do
5 end do
kedua adalah menghitung perkalian matrik dengan cara (dalam matlab)
1 for i=1:2
2 for j=1:2
3 for k=1:3
4 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);
5 end
6 end
7 end
dalam Fortran77
1 do i=1,2
2 do j=1,2
3 do k=1,3
4 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j)
5 end do
6 end do
7 end do
Sebentar.., sebelum dilanjut tolong perhatikan penempatan indeks i, j dan k pada script di atas.
Mengapa indeks i didahulukan daripada indeks j dan k? Ini bukan sesuatu yang kebetulan.
Dan ini juga bukan sekedar mengikuti urutan huruf abjad i,j,k. Sekali lagi ingin saya tegaskan
bahwa penempatan yang demikian semata-mata mengikuti aturan umum yaitu looping yang
indeksnya berubah paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping paling
luar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Kalau anda perhatikan dengan
teliti, pasti anda akan menemukan fakta bahwa indeks k paling cepat berubah. Kemudian
disusul oleh indeks j. Lalu yang paling jarang berubah adalah indeks i. Itulah sebabnya,
penempatan urutan indeks pada script di atas harus dimulai dari i terlebih dahulu sebagai
looping terluar, kemudian indeks j, dan yang terakhir indeks k sebagai looping terdalam.
1.4. OPERASI MATEMATIKA 13
Tentu saja anda bisa mengubah ukurannya sesuai dengan keperluan atau kebutuhan anda.
Jika ukuran matrik A dinyatakan secara umum sebagai n x m dan matrik B berukuran m x p,
maka bentuk pernyataan komputasinya dalam Matlab menjadi
1 for i=1:n
2 for j=1:p
3 E(i,j)=0.0;
4 end
5 end
6 for i=1:n
7 for j=1:p
8 for k=1:m
9 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);
10 end
11 end
12 end
dalam Fortran77
1 do i=1,n
2 do j=1,p
3 E(i,j)=0.0
4 end do
5 end do
6 do i=1,n
7 do j=1,p
8 do k=1,m
9 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j)
10 end do
11 end do
12 end do
dimana akan diperoleh hasil berupa matrik E yang berukuran n x p.
1.4.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom
Operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian an-
tara dua matrik. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x 1, dimana
m merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matrik A, pa-
da contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat dengan
mengatakan vektor-kolom x berukuran 3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolom y
y = Ax
14 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI
y =
[
3 8 5
6 4 7
]
2
3
4
=
[
3.2 + 8.3 + 5.4
6.2 + 4.3 + 7.4
]
=
[
50
52
]
Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara
matrik A dan vektor-kolom x, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu
[
y1
y2
]
=
[
a11.x1 + a12.x2 + a13.x3
a21.x1 + a22.x2 + a23.x3
]
Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolom y adalah
y1 = a11.x1 + a12.x2 + a13.x3
y2 = a21.x1 + a22.x2 + a23.x3
kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut
yi =
3∑
j=1
aijxj
dimana i=1,2.
Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matrik A berukuran n x m yang dikalikan
dengan vektor-kolom x berukuran m, maka akan didapatkan vektor-kolom y berukuran n x 1
dimana elemen-elemen vektor-kolom y memenuhi
yi =m
∑
j=1
aijxj (1.15)
dengan i=1,2,. . . ,n.
1.4.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom
Sama seperti perkalian dua matrik, komputasi untuk operasi perkalian antara matrik A beruku-
ran n x m dan vektor-kolom x berukuran m dilakukan melalui 2 tahap; pertama adalah mem-
berikan nilai 0 (nol) pada elemen-elemen vektor-kolom y yang berukuran n. Lalu tahap kedua
adalah melakukan proses perkalian. Kedua tahapan ini digabung jadi satu dalam program
berikut ini
1 for i=1:n
2 b(i,1)=0.0;
1.5. PENUTUP 15
3 end
4 for i=1:n
5 for j=1:m
6 b(i,1)=b(i,1)+A(i,j)*x(j,1);
7 end
8 end
dan dalam Fortran
1 do i=1,n
2 b(i,1)=0.0
3 end do
4 do i=1,n
5 do j=1,m
6 b(i,1)=b(i,1)+A(i,j)*x(j,1)
7 end do
8 end do
1.5 Penutup
Demikianlah catatan singkat dan sederhana mengenai jenis-jenis matrik dasar yang seringkali
dijumpai dalam pengolahan data fisika secara numerik. Semuanya akan dijadikan acuan atau
referensi pada pembahasan topik-topik numerik yang akan datang.
1.6 Latihan
Diketahui matrik A, matrik B, dan vektor x sebagai berikut
A =
1 3 −6 −2
5 9 7 5.6
2 4 8 −1
2.3 1.4 0.8 −2.3
B =
8 1 4 21
3 10 5 0.1
7 −2 9 −5
2.7 −12 −8.9 5.7
x =
0.4178
−2.9587
56.3069
8.1
1. Buatlah script untuk menyelesaikan penjumlahan matrik A dan matrik B.
2. Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan matrik B.
3. Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan vektor x.
4. Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan vektor x.
1.6. LATIHAN 17
============================================================
18 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI
Bab 2
Metode Eliminasi Gauss
Objektif :
⊲ Mengenalkan sistem persamaan linear.
⊲ Mengenalkan teknik triangularisasi dan substitusi mundur.
⊲ Aplikasi metode Eliminasi Gauss menggunakan matrik.
⊲ Membuat algoritma metode Eliminasi Gauss.
⊲ Menghitung invers matrik menggunakan metode Eliminasi Gauss.
2.1 Sistem persamaan linear
Secara umum, sistem persamaan linear dinyatakan sebagai berikut
Pn : an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn (2.1)
dimana a dan b merupakan konstanta, x adalah variable, n = 1, 2, 3, ....
Contoh pertama
Misalnya ada sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu P1,
P2, P3, dan P4 seperti berikut ini:
P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = -3P4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4
Problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti bagi vari-
abel x1, x2, x3, dan x4 sehingga semua persamaan diatas menjadi benar. Langkah awal penye-
lesaian problem tersebut adalah dengan melakukan penyederhanaan sistem persamaan linear.
19
20 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
2.2 Triangularisasi dan Substitusi Mundur
Ada banyak jalan untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, namun masalahnya, ki-
ta ingin mendapatkan sebuah algoritma program yang nantinya bisa berjalan di komputer,
sedemikian rupa sehingga apapun persamaannya, bisa disederhanakan oleh komputer. Kita
akan berpatokan pada tiga buah aturan operasi untuk menyederhanakan sistem persamaan
linear di atas, yaitu
• Persamaan Pi dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ, lalu hasilnya ditempatkan
di posisi persamaan Pi. Simbol operasi ini adalah (λPi) → (Pi).
• Persamaan Pj dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ kemudian dijumlahkan
dengan persamaan Pi, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan Pi. Simbol operasi
ini adalah (Pi + λPj) → (Pi).
• Persamaan Pi dan Pj dapat bertukar posisi. Simbol operasi ini adalah (Pi) ↔ (Pj).
Maka dengan berpegang pada aturan-aturan tersebut, problem sistem persamaan linear di atas
akan diselesaikan dengan langkah-langkah berikut ini:
1. Gunakan persamaan P1 untuk menghilangkan variabel x1 dari persamaan P2, P3 dan P4
dengan cara (P2 − 2P1) → (P2), (P3 − 3P1) → (P3) dan (P4 + P1) → (P4). Hasilnya akan
seperti ini
P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4,
P2 : −x2 − x3 − 5x4 = −7,
P3 : −4x2 − x3 − 7x4 = −15,
P4 : 3x2 + 3x3 + 2x4 = 8
2. Gunakan persamaan P2 untuk menghilangkan variabel x2 dari persamaan P3 dan P4
dengan cara (P3 − 4P2) → (P3) dan (P4 + 3P2) → (P4). Hasilnya akan seperti ini
P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4,
P2 : −x2 − x3 − 5x4 = −7,
P3 : 3x3 + 13x4 = 13,
P4 : −13x4 = −13
Kalau x3 masih ada di persamaan P4, dibutuhkan satu operasi lagi untuk menghilangkan-
nya. Namun hasil operasi pada langkah ke-2 ternyata sudah otomatis menghilangkan x3.
Bentuk akhir dari keempat persamaan di atas, dikenal sebagai bentuk triangular.
Sampai dengan langkah ke-2 ini, kita berhasil mendapatkan sistem persamaan linear
yang lebih sederhana. Apa yang dimaksud dengan sederhana dalam konteks ini? Su-
atu sistem persamaan linear dikatakan sederhana bila kita bisa mendapatkan seluruh ni-
lai pengganti variabelnya dengan cara yang lebih mudah atau dengan usaha yang tidak
2.2. TRIANGULARISASI DAN SUBSTITUSI MUNDUR 21
memakan waktu lama dibandingkan sebelum disederhanakan. Sekali kita mendapatkan
nilai pengganti bagi variabel x4, maka x3, x2 dan x1 akan diperoleh dengan mudah dan
cepat, sebagaimana yang dijelaskan pada langkah berikutnya.
3. Selanjutnya kita jalankan proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang perta-
ma kali didapat adalah nilai pengganti bagi variabel x4, kemudian x3, lalu diikuti x2, dan
akhirnya x1.
P4 : x4 =−13
−13= 1,
P3 : x3 =1
3(13 − 13x4) =
1
3(13 − 13) = 0,
P2 : x2 = −(−7 + 5x4 + x3) = −(−7 + 5 + 0) = 2,
P1 : x1 = 4 − 3x4 − x2 = 4 − 3 − 2 = −1
Jadi solusinya adalah x1 = −1, x2 = 2, x3 = 0 dan x4 = 1. Coba sekarang anda cek,
apakah semua solusi ini cocok dan tepat bila dimasukan ke sistem persamaan linear yang
pertama, yaitu yang belum disederhanakan?
OK, mudah-mudahan ngerti ya... Kalau belum paham, coba diulangi bacanya sekali lagi.
Atau, sekarang kita beralih kecontoh yang lain.
22 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
Contoh kedua
Misalnya ada sistem persamaan linear, terdiri dari empat buah persamaan yaitu P1, P2, P3,
dan P4 seperti berikut ini:
P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = -8P2 : 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = -20P3 : x1 + x2 + x3 = -2P4 : x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4
Seperti contoh pertama, solusi sistem persamaan linear di atas akan dicari dengan langkah-
langkah berikut ini:
1. Gunakan persamaan P1 untuk menghilangkan x1 dari persamaan P2, P3 dan P4 dengan
cara (P2 − 2P1) → (P2), (P3 −P1) → (P3) dan (P4 −P1) → (P4). Hasilnya akan seperti ini
P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,
P2 : −x3 − x4 = −4,
P3 : 2x2 − x3 + x4 = 6,
P4 : 2x3 + 4x4 = 12
Perhatikan persamaan P2! Akibat dari langkah yang pertama tadi, x2 hilang dari per-
samaan P2. Kondisi ini bisa menggagalkan proses triangularisasi. Untuk itu, posisi P2
mesti ditukar dengan persamaan yang berada dibawahnya, yaitu P3 atau P4. Supaya
proses triangularisasi dilanjutkan kembali, maka yang paling cocok adalah ditukar den-
gan P3.
2. Tukar posisi persamaan P2 dengan persamaan P3, (P2 ↔ P3). Hasilnya akan seperti ini
P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,
P2 : 2x2 − x3 + x4 = 6,
P3 : −x3 − x4 = −4,
P4 : 2x3 + 4x4 = 12
3. Gunakan persamaan P3 untuk menghilangkan x3 dari persamaan P4 dengan cara (P4 −2P3) → (P4). Hasilnya akan seperti ini
P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,
P2 : 2x2 − x3 + x4 = 6,
P3 : −x3 − x4 = −4,
P4 : 2x4 = 4
Sampai disini proses triangularisasi telah selesai.
2.3. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 23
4. Selanjutnya adalah proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertama kali
didapat solusinya adalah x4, kemudian x3, lalu diikuti x2, dan akhirnya x1.
P4 : x4 =4
2= 2,
P3 : x3 =−4 + x4
−1= 2,
P2 : x2 =6 + x3 − x4
2= 3,
P1 : x1 = −8 + x2 − 2x3 + x4 = −7
Jadi solusinya adalah x1 = −7, x2 = 3, x3 = 2 dan x4 = 2.
Berdasarkan kedua contoh di atas, untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear, diper-
lukan operasi triangularisasi dan proses backward-substitution. Kata backward-substitution
kalau diterjemahkan kedalam bahasa indonesia, menjadi substitusi-mundur. Gabungan pros-
es triangularisasi dan substitusi-mundur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dike-
nal sebagai metode eliminasi gauss.
2.3 Matrik dan Eliminasi Gauss
Sejumlah matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear. Sejenak,
mari kita kembali lagi melihat sistem persamaan linear secara umum seperti berikut ini:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . = . . .
. . . . . . . . . . . . . . . = . . .
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
Sementara, kalau dinyatakan dalam bentuk operasi matrik, maka akan seperti ini:
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
...
an1 an2 . . . ann
x1
x2
...
xn
=
b1
b2
...
bn
(2.2)
Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss, bentuk
operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang beruku-
24 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
ran n x (n + 1) seperti berikut ini:
a11 a12 . . . a1n | b1
a21 a22 . . . a2n | b2
......
... | ...
an1 an2 . . . ann | bn
=
a11 a12 . . . a1n | a1,n+1
a21 a22 . . . a2n | a2,n+1
......
... | ...
an1 an2 . . . ann | an,n+1
(2.3)
Berdasarkan contoh pertama yang ada dihalaman depan catatan ini, saya akan tunjukkan pros-
es triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem persamaan lin-
ear yang terdiri dari empat persamaan matematika, yaitu (silakan lihat kembali contoh pertama):
1 1 0 3
2 1 −1 1
3 −1 −1 2
−1 2 3 −1
x1
x2
x3
x4
=
4
1
−3
4
Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut:
1 1 0 3 | 4
2 1 −1 1 | 1
3 −1 −1 2 | −3
−1 2 3 −1 | 4
Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom
pertama, yaitu
1 1 0 3 | 4
0 −1 −1 −5 | −7
0 −4 −1 −7 | −15
0 3 3 2 | 8
lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya
1 1 0 3 | 4
0 −1 −1 −5 | −7
0 0 3 13 | 13
0 0 0 −13 | −13
Sebelum dilanjutkan ke substitusi-mundur, saya ingin menegaskan peranan angka-angka in-
deks dari masing-masing elemen matrik augment tersebut. Silakan perhatikan posisi masing-
2.4. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS 25
masing elemen berikut ini:
1 1 0 3 | 4
0 −1 −1 −5 | −7
0 0 3 13 | 13
0 0 0 −13 | −13
→
a11 a12 a13 a14 | a15
a21 a22 a23 a24 | a25
a31 a32 a33 a34 | a35
a41 a42 a43 a44 | a45
Dengan memperhatikan angka-angka indeks pada matrik augment di atas, kita akan menco-
ba membuat rumusan proses substitusi-mundur untuk mendapatkan seluruh nilai pengganti
variabel x. Dimulai dari x4,
x4 =a45
a44=
−13
−13= 1
ini dapat dinyatakan dalam rumus umum, yaitu
xn =an,n+1
ann
lalu dilanjutkan dengan x3, x2, dan x1.
x3 =a35 − a34x4
a33=
13 − [(13)(1)]
3= 0
x2 =a25 − (a23x3 + a24x4)
a22=
(−7) − [(−1)(0) + (−5)(1)]
(−1)= 2
x1 =a15 − (a12x2 + a13x3 + a14x4)
a11=
4 − [(1)(2) + (0)(0) + (3)(1)]
1= −1
ini juga dapat dinyatakan dalam rumus umum yaitu:
xi =ai,n+1 −
∑nj=i+1 aijxj
aii
Proses triangularisasi dan substitusi-mundur dibakukan menjadi algoritma metode eliminasi
gauss yang dapat diterapkan dalam berbagai bahasa pemrograman komputer, misalnya for-
tran, C, java, pascal, matlab, dan lain-lain.
2.4 Algoritma eliminasi Gauss
Secara umum, sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...... =
...
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
Algoritma dasar metode eliminasi gauss, adalah sebagai berikut:
1. Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik
26 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
yang berukuran n x (n + 1) seperti berikut ini:
a11 a12 . . . a1n | b1
a21 a22 . . . a2n | b2
......
... | ...
an1 an2 . . . ann | bn
=
a11 a12 . . . a1n | a1,n+1
a21 a22 . . . a2n | a2,n+1
......
... | ...
an1 an2 . . . ann | an,n+1
(2.4)
Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augment
adalah nilai dari bi; yaitu ai,n+1 = bi dimana i = 1, 2, ..., n.
2. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot
adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a11, a22, ..., ann
atau disingkat aii. Jika aii 6= 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen
diagonal yang bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar
posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) ↔ (Pj) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n,
sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, aii 6= 0. (Kalau kurang jelas, silakan lihat
lagi contoh kedua yang ada dihalaman 3. Sebaiknya, walaupun elemen diagonalnya tidak nol,
namun mendekati nol (misalnya 0,03), maka proses pertukaran ini dilakukan juga).
3. Proses triangularisasi. Lakukanlah operasi berikut:
Pj −aji
aiiPi → Pj (2.5)
dimana j = i + 1, i + 2, ..., n. Maka matrik augment akan menjadi:
a11 a12 a13 . . . a1n | a1,n+1
0 a22 a23 . . . a2n | a2,n+1
0 0 a33 . . . a3n | a3,n+1
......
.... . .
... | ...
0 0 0 0 ann | an,n+1
(2.6)
4. Hitunglah nilai xn dengan cara:
xn =an,n+1
ann(2.7)
5. Lakukanlah proses substitusi-mundur untuk memperoleh xn−1, xn−2, ..., x2, x1 dengan
cara:
xi =ai,n+1 −
∑nj=i+1 aijxj
aii(2.8)
dimana i = n − 1, n − 2, ..., 2, 1.
Demikianlan algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebut
perlu dirinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer.
2.4. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS 27
2.4.1 Algoritma
Algoritma metode eliminasi gauss untuk menyelesaikan n x n sistem persamaan linear.
P1 : a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
P2 : a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
... =...
Pn : an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
INPUT: sejumlah persamaan linear dimana konstanta-konstanta-nya menjadi elemen-elemen
matrik augment A = (aij), dengan 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n + 1.
OUTPUT: solusi x1, x2, x3, ..., xn atau pesan kesalahan yang mengatakan bahwa sistem per-
samaan linear tidak memiliki solusi yang unik.
• Langkah 1: Inputkan konstanta-konstanta dari sistem persamaan linear kedalam elemen-
elemen matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1) seperti berikut
ini:
a11 a12 . . . a1n | b1
a21 a22 . . . a2n | b2
......
... | ...
an1 an2 . . . ann | bn
=
a11 a12 . . . a1n | a1,n+1
a21 a22 . . . a2n | a2,n+1
......
... | ...
an1 an2 . . . ann | an,n+1
(2.9)
• Langkah 2: Untuk i = 1, ..., n − 1, lakukan Langkah 3 sampai Langkah 5.
• Langkah 3: Definisikan p sebagai integer dimana i ≤ p ≤ n. Lalu pastikan bahwa
api 6= 0. Jika ada elemen diagonal yang bernilai nol (aii = 0), maka program harus
mencari dan memeriksa elemen-elemen yang tidak bernilai nol dalam kolom yang
sama dengan kolom tempat elemen diagonal tersebut berada. Jadi saat proses ini
berlangsung, integer i (indeks dari kolom) dibuat konstan, sementara integer p (in-
deks dari baris) bergerak dari p = i sampai p = n. Bila ternyata setelah mencapai
elemen paling bawah dalam kolom tersebut, yaitu saat p = n tetap didapat nilai
api = 0, maka sebuah pesan dimunculkan: sistem persamaan linear tidak memiliki
solusi yang unik. Lalu program berakhir: STOP.
• Langkah 4: Namun jika sebelum integer p mencapai nilai p = n sudah diperoleh
elemen yang tidak nol (api 6= 0), maka bisa dipastikan p 6= i. Jika p 6= i maka
lakukan proses pertukaran (Pp) ↔ (Pi).
• Langkah 5: Untuk j = i + 1, .., n, lakukan Langkah 6 dan Langkah 7.
• Langkah 6: Tentukan mji,
mji =aji
aii
28 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
• Langkah 7: Lakukan proses triangularisasi,
(Pj − mjiPi) → (Pj)
• Langkah 8: Setelah proses triangularisasi dilalui, periksalah ann. Jika ann = 0, kirimkan
pesan: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik. Lalu program berakhir:
STOP.
• Langkah 9: Jika ann 6= 0, lakukan proses substitusi mundur, dimulai dengan menentukan
xn,
xn =an,n+1
ann
• Langkah 10: Untuk i = n − 1, ..., 1 tentukan xi,
xi =ai,n+1 −
∑nj=i+1 aijxj
aii
• Langkah 11: Diperoleh solusi yaitu x1, x2, ..., xn. Algoritma telah dijalankan dengan suk-
ses. STOP.
Saya telah membuat program sederhana dalam fortran untuk mewujudkan algoritma elim-
inasi gauss. Saya berasumsi bahwa anda sudah menguasai dasar-dasar pemrograman dalam
fortran. Program ini sudah dicoba di-compile dengan fortran77 under Linux Debian dan
visual-fortran under windows-XP.
Langkah-langkah yang tercantum pada program ini disesuaikan dengan langkah-langkah
yang tertulis di atas. Dalam program ini, ukuran maksimum matrik augment adalah 10 x
11, untuk mencari 10 variabel yang tidak diketahui. Jika anda bermaksud memperbesar atau
memperkecil ukuran matrik augment, silakan sesuaikan angka ukuran matrik yang anda in-
ginkan pada statemen pertama dari program ini, yaitu statemen DIMENSION. Inilah program-
nya,
1 DIMENSION A(10,11), X(10)
2 REAL MJI
3 WRITE (*,*) ’=PROGRAM ELIMINASI GAUSS=’
4 WRITE (*,*)
5 C LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT
6 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’
7 READ (*,*) N
8 WRITE (*,*)
9 WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT’
10 M = N + 1
11 DO 50 I = 1,N
12 DO 60 J = 1,M
13 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’
14 READ (*,*) A(I,J)
15 60 CONTINUE
16 50 CONTINUE
17 WRITE (*,*)
18 C MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT
2.4. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS 29
19 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK AUGMENT:’
20 DO 110 I = 1,N
21 WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,M)
22 110 CONTINUE
23 WRITE (*,*)
24 C LANGKAH 2: MEMERIKSA ELEMEN-ELEMEN PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI
25 NN = N-1
26 DO 10 I=1,NN
27 C LANGKAH 3: MENDEFINISIKAN P
28 P = I
29 100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 200
30 P = P+1
31 GOTO 100
32 200 IF(P.EQ.N+1)THEN
33 C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIK
34 WRITE(*,5)
35 GOTO 400
36 END IF
37 C LANGKAH 4: PROSES TUKAR POSISI
38 IF(P.NE.I) THEN
39 DO 20 JJ=1,M
40 C = A(I,JJ)
41 A(I,JJ) = A(P,JJ)
42 A(P,JJ) = C
43 20 CONTINUE
44 END IF
45 C LANGKAH 5: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI
46 JJ = I+1
47 DO 30 J=JJ,N
48 C LANGKAH 6: TENTUKAN MJI
49 MJI = A(J,I)/A(I,I)
50 C LANGKAH 7: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI
51 DO 40 K=JJ,M
52 A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K)
53 40 CONTINUE
54 A(J,I) = 0
55 30 CONTINUE
56 10 CONTINUE
57 C MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI
58 WRITE (*,’(1X,A)’) ’HASIL TRIANGULARISASI:’
59 DO 120 I = 1,N
60 WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,M)
61 120 CONTINUE
62 C LANGKAH 8: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N)
63 IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN
64 C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIK
65 WRITE(*,5)
66 GOTO 400
67 END IF
68 C LANGKAH 9: MENGHITUNG X(N)
69 X(N) = A(N,N+1)/A(N,N)
70 C LANGKAH 10: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR
71 L = N-1
72 DO 15 K=1,L
73 I = L-K+1
74 JJ = I+1
75 SUM = 0.0
76 DO 16 KK=JJ,N
77 SUM = SUM+A(I,KK)*X(KK)
30 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
78 16 CONTINUE
79 X(I) = (A(I,N+1)-SUM)/A(I,I)
80 15 CONTINUE
81 C LANGKAH 11: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN
82 WRITE (*,*)
83 WRITE (*,7)
84 DO 18 I = 1,N
85 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,F14.8)’) ’X(’,I,’) = ’,X(I)
86 18 CONTINUE
87 400 STOP
88
89 5 FORMAT(1X,’SISTEM LINEAR TIDAK MEMILIKI SOLUSI YANG UNIK’)
90 7 FORMAT(1X,’SOLUSI UNIK’)
91 END
Script eliminasi gauss dalam matlab juga telah dibuat. Namun dalam anda perlu memodifikasi
elemen-elemen matrik A agar sesuai dengan data yang hendak anda olah.
1 clear all
2 clc
3 A(1,1)=1;
4 A(1,2)=1;
5 A(1,3)=-1;
6 A(1,4)=0;
7 A(2,1)=6;
8 A(2,2)=-4;
9 A(2,3)=0;
10 A(2,4)=24;
11 A(3,1)=6;
12 A(3,2)=0;
13 A(3,3)=2;
14 A(3,4)=10;
15 A
16 n=3 %jumlah persamaan
17 pause
18
19 %========== Proses Triangularisasi =========
20 for j=1:(n-1)
21
22 %----mulai proses pivot---
23 if (A(j,j)==0)
24 for p=1:n+1
25 u=A(j,p);
26 v=A(j+1,p);
27 A(j+1,p)=u;
28 A(j,p)=v;
29 end
30 end
31 %----akhir proses pivot---
32 jj=j+1;
33 for i=jj:n
34 m=A(i,j)/A(j,j);
35 for k=1:(n+1)
36 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));
37 end
38 end
39 end
40 A
2.5. CONTOH APLIKASI 31
41 pause
42 %========= Akhir Proses Triangularisasi ===
43
44 %------Proses Substitusi mundur-------------
45 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);
46
47 for i=n-1:-1:1
48 S=0;
49 for j=n:-1:i+1
50 S=S+A(i,j)*x(j,1);
51 end
52 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);
53 end
54 x
2.5 Contoh aplikasi
2.5.1 Menghitung arus listrik
Gunakan metode Eliminasi Gauss untuk menentukan arus i1, i2 dan i3 yang mengalir pada
rangkaian berikut ini
jawab:
Berdasarkan Hukum Kirchhoff:
I1 + I2 = I3
10 − 6I1 − 2I3 = 0
−14 + 6I1 − 10 − 4I2 = 0
Lalu kita susun ulang ketiga persamaan di atas menjadi seperti ini:
I1 + I2 − I3 = 0
6I1 + 2I3 = 10
6I1 − 4I2 = 24
32 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
Kemudian dinyatakan dalam bentuk matriks:
1 1 −1
6 −4 0
6 0 2
I1
I2
I3
=
0
24
10
Selanjutkan kita susun matriks augmentasi sebagai berikut:
1 1 −1 0
6 −4 0 24
6 0 2 10
Langkah berikutnya adalah menghitung matriks triangularisasi dengan langkah-langkah se-
bagai berikut:
m =a21
a11=
6
1= 6
a21 = a21 − m.a11 = 6 − (6).(1) = 0
a22 = a22 − m.a12 = −4 − (6).(1) = −10
a23 = a23 − m.a13 = 0 − (6).(−1) = 6
a24 = a24 − m.a14 = 24 − (6).(0) = 24
m =a31
a11=
6
1= 6
a31 = a31 − m.a11 = 6 − (6).(1) = 0
a32 = a32 − m.a12 = 0 − (6).(1) = −6
a33 = a33 − m.a13 = 2 − (6).(−1) = 8
a34 = a34 − m.a14 = 10 − (6).(0) = 10
Sampai disini matriks augment mengalami perubahan menjadi
1 1 −1 0
0 −10 6 24
0 −6 8 10
2.6. MENGHITUNG INVERS MATRIK 33
Kelanjutan langkah menuju triangularisasi adalah
m =a32
a22=
−6
−10
a31 = a31 − m.a21 = 0 − (−6
−10).(0) = 0
a32 = a32 − m.a22 = −6 − (−6
−10).(−10) = 0
a33 = a33 − m.a23 = 8 − (−6
−10).(6) = 4, 4
a34 = a34 − m.a24 = 10 − (−6
−10).(24) = −4, 4
maka matriks triangularisasi berhasil didapat yaitu
1 1 −1 0
0 −10 6 24
0 0 4, 4 −4, 4
Sekarang tinggal melakukan proses substitusi mundur
I3 =a34
a33=
−4, 4
4, 4= −1
I2 =a24 − a23.I3
a22=
24 − (6).(−1)
−10= −3
I1 =a14 − (a13.I3 + a12.I2)
a11=
(0 − [(−1).(−1) + (1).(−3)]
1= 2
Dengan demikian, besar masing-masing arus pada rangkaian di atas adalah I1 = 2A, I2 = −3A
dan I3 = −1A. Tanda minus (-) memiliki arti bahwa arah arus yang sesungguhnya berlawanan
arah dengan asumsi awal yang kita gunakan.
2.6 Menghitung invers matrik
Sekali lagi saya ulangi apa yang pernah kita bahas di awal bab ini yaitu bahwa sistem per-
samaan linear dapat dinyatakan sebagai berikut:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . = . . .
. . . . . . . . . . . . . . . = . . .
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk operasi matrik,
Ax = b (2.10)
34 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
sehingga bentuknya menjadi seperti ini:
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
...
an1 an2 . . . ann
x1
x2
...
xn
=
b1
b2
...
bn
dimana
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
...
an1 an2 . . . ann
, x =
x1
x2
...
xn
, b =
b1
b2
...
bn
Dalam kaitannya dengan invers matrik, matrik A disebut matrik non-singular jika matrik
A memiliki matrik invers dirinya yaitu A−1. Atau dengan kata lain, matrik A−1 adalah invers
dari matrik A. Jika matrik A tidak memiliki invers, maka matrik A disebut singular. Bila
matrik A dikalikan dengan matrik A−1 maka akan menghasilkan matrik identitas I, yaitu suatu
matrik yang elemen-elemen diagonalnya bernilai 1.
AA−1 = I =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0...
.... . .
...
0 0 . . . 1
(2.11)
Misalnya diketahui,
A =
1 2 −1
2 1 0
−1 1 2
, A−1 =
−29
59 −1
949 −1
929
−13
13
13
Bila keduanya dikalikan, maka akan menghasilkan matrik identitas,
AA−1 =
1 2 −1
2 1 0
−1 1 2
−29
59 −1
949 −1
929
−13
13
13
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Lalu bagaimana cara mendapatkan matrik invers, A−1? Persamaan (2.11) bisa dijadikan
pedoman..
AA−1 = I
1 2 −1
2 1 0
−1 1 2
i11 i12 i13
i21 i22 i23
i31 i32 i33
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2.6. MENGHITUNG INVERS MATRIK 35
dalam hal ini matrik A−1 adalah
A−1 =
i11 i12 i13
i21 i22 i23
i31 i32 i33
Elemen-elemen matrik invers, A−1 dapat diperoleh dengan menerapkan metode eliminasi
gauss. Diawali dengan membentuk matrik augment:
1 2 −1 | 1 0 0
2 1 0 | 0 1 0
−1 1 2 | 0 0 1
Lalu dilanjutkan dengan proses triangularisasi: (P2−2P1)→(P2) dan (P3+P1)→(P3), kemudian
diikuti oleh (P3 + P2)→(P3):
1 2 −1 | 1 0 0
0 −3 2 | −2 1 0
0 3 1 | 1 0 1
→
1 2 −1 | 1 0 0
0 −3 2 | −2 1 0
0 0 3 | −1 1 1
Langkah berikutnya, matrik augment yang telah mengalami triangularisasi tersebut dipecah
menjadi tiga buah matrik augment seperti berikut ini:
1 2 −1 | 1
0 −3 2 | −2
0 0 3 | −1
1 2 −1 | 0
0 −3 2 | 1
0 0 3 | 1
1 2 −1 | 0
0 −3 2 | 0
0 0 3 | 1
Langkah pamungkasnya adalah melakukan proses substitusi mundur pada ketiga matrik aug-
ment di atas, sehingga diperoleh:
i11 = −29
i21 = 49
i31 = −13
i12 = 59
i22 = −19
i32 = 13
i13 = −19
i23 = 29
i33 = 13
Hasil tersebut digabung menjadi sebuah matrik, yaitu matrik A−1,
A−1 =
−29
59 −1
949 −1
929
−13
13
13
Keberadaan matrik A−1 bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
36 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
(mencari nilai x), dengan cara sebagai berikut
Ax = b
A−1Ax = A−1b
Ix = A−1b
x = A−1b (2.12)
Contoh berikut ini akan menjelaskan prosesnya secara lebih rinci. Misalnya diketahui sistem
persamaan linear
x1 + 2x2 − x3 = 2
2x1 + x2 = 3
−x1 + x2 + 2x3 = 4
Bila dikonversikan kedalam operasi matrik menjadi
1 2 −1
2 1 0
−1 1 2
x1
x2
x3
=
2
3
4
Berdasarkan persamaan (2.12), maka elemen-elemen vektor x dapat dicari dengan cara
x = A−1b
x =
−29
59 −1
949 −1
929
−13
13
13
2
3
4
=
7913953
Akhirnya diperoleh solusi x1 = 7/9, x2 = 13/9, dan x3 = 5/3. Penyelesaian sistem persamaan
linear menjadi lebih mudah bila matrik A−1 sudah diketahui. Sayangnya, untuk mendap-
atkan matrik A−1, diperlukan langkah-langkah, seperti yang sudah dibahas pada contoh per-
tama di atas, yang berakibat in-efisiensi proses penyelesaian (secara komputasi) bila diband-
ingkan dengan metode eliminasi gauss untuk memecahkan sistem persamaan linear. Namun
bagaimanapun, secara konseptual kita dianjurkan mengetahui cara bagaimana mendapatkan
matrik A−1.
Saya telah memodifikasi program eliminasi gauss yang terdahulu, untuk keperluan perhi-
tungan matrik invers. Program ini ditulis dengan bahasa fortran, sudah berhasil dikompilasi
dalam Linux Debian (g77) dan Windows XP (Visual Fortran). Inilah programnya,
1 DIMENSION A(10,20), D(10,10), X(10)
2 REAL MJI
3 INTEGER TKR, BK, TK, Q
4 WRITE (*,*) ’=PROGRAM INVERS MATRIK DENGAN ELIMINASI GAUSS=’
5 WRITE (*,*)
2.6. MENGHITUNG INVERS MATRIK 37
6 C LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK A
7 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’
8 READ (*,*) N
9 WRITE (*,*)
10 WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A’
11 M = N + 1
12 DO 50 I = 1,N
13 DO 60 J = 1,N
14 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’
15 READ (*,*) A(I,J)
16 60 CONTINUE
17 50 CONTINUE
18 C LANGKAH 2: MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS
19 WRITE (*,*) ’MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS’
20 DO 70 I = 1,N
21 DO 80 J = M,N+N
22 A(I,J) = 0
23 IF (I+N .EQ. J) THEN
24 A(I,J) = 1
25 END IF
26 80 CONTINUE
27 70 CONTINUE
28 WRITE (*,*)
29 C MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT
30 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK AUGMENT:’
31 DO 110 I = 1,N
32 WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,N+N)
33 110 CONTINUE
34 WRITE (*,*)
35 C MENGHITUNG JUMLAH TUKAR (TKR) POSISI. MULA2 TKR = 0
36 TKR = 0
37 C MENGHITUNG JUMLAH OPERASI BAGI/KALI (BK).
38 BK = 0
39 C MENGHITUNG JUMLAH OPERASI TAMBAH/KURANG (TK).
40 TK = 0
41 C LANGKAH 3: MEMERIKSA ELEMEN2 PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI
42 NN = N-1
43 DO 10 I=1,NN
44 C LANGKAH 4: MENDEFINISIKAN P
45 P = I
46 100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 200
47 P = P+1
48 GOTO 100
49 200 IF(P.EQ.N+1)THEN
50 C MENAMPILKAN PESAN SINGULAR
51 WRITE(*,5)
52 GOTO 400
53 END IF
54 C LANGKAH 5: PROSES TUKAR POSISI
55 IF(P.NE.I) THEN
56 DO 20 JJ=1,N+N
57 C = A(I,JJ)
58 A(I,JJ) = A(P,JJ)
59 A(P,JJ) = C
60 TKR = TKR + 1
61 20 CONTINUE
62 END IF
63 C LANGKAH 6: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI
64 JJ = I+1
38 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS
65 DO 30 J=JJ,N
66 C LANGKAH 7: TENTUKAN MJI
67 MJI = A(J,I)/A(I,I)
68 BK = BK + 1
69 C LANGKAH 8: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI
70 DO 40 K=JJ,N+N
71 A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K)
72 BK = BK + 1
73 TK = TK + 1
74 40 CONTINUE
75 A(J,I) = 0
76 30 CONTINUE
77 10 CONTINUE
78 C MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI
79 WRITE (*,’(1X,A)’) ’HASIL TRIANGULARISASI:’
80 DO 120 I = 1,N
81 WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,N+N)
82 120 CONTINUE
83 C LANGKAH 9: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N)
84 IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN
85 C MENAMPILKAN PESAN SINGULAR
86 WRITE(*,5)
87 GOTO 400
88 END IF
89 DO 500 J = 1,N
90 Q=N+J
91 C LANGKAH 10: MENGHITUNG A(N,N)
92 D(J,N) = A(N,Q)/A(N,N)
93 BK = BK + 1
94 C LANGKAH 11: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR
95 L = N-1
96 DO 15 K=1,L
97 I = L-K+1
98 JJ = I+1
99 SUM = 0.0
100 DO 16 KK=JJ,N
101 SUM = SUM+A(I,KK)*D(J,KK)
102 BK = BK + 1
103 TK = TK + 1
104 16 CONTINUE
105 D(J,I) = (A(I,Q)-SUM)/A(I,I)
106 BK = BK + 1
107 TK = TK + 1
108 15 CONTINUE
109 500 CONTINUE
110 C LANGKAH 12: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN
111 WRITE (*,*)
112 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK INVERS:’
113 DO 220 I = 1,N
114 WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (D(J,I),J=1,N)
115 220 CONTINUE
116 WRITE(*,8) TKR
117 WRITE(*,9) BK
118 WRITE(*,11) TK
119 400 STOP
120 5 FORMAT(1X,’MATRIK A BERSIFAT SINGULAR’)
121 8 FORMAT(1X,’JUMLAH TUKAR POSISI = ’,3X,I5)
122 9 FORMAT(1X,’JUMLAH OPERASI BAGI/KALI = ’,3X,I6)
123 11 FORMAT(1X,’JUMLAH OPERASI JUMLAH/KURANG = ’,3X,I6)
2.7. PENUTUP 39
124 END
2.7 Penutup
Silakan anda coba aplikasikan program di atas dengan berbagai sistem persamaan linear yang
pernah dijadikan contoh pada catatan terdahulu. Saya cukupkan sementara sampai disini.
Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu. Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan
hubungi saya melalui email yang tercantum di halaman paling depan.
Bab 3
Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah
Inversi
Objektif :
⊲ Mengenalkan model garis.
⊲ Mengenalkan model parabola.
⊲ Mengenalkan model bidang.
Pada bab ini, saya mencoba menuliskan aplikasi Metode Eliminasi Gauss sebagai dasar-
dasar teknik inversi yaitu meliputi model garis, model parabola dan model bidang. Uraian ap-
likasi tersebut diawali dari ketersediaan data observasi, lalu sejumlah parameter model mesti
dicari dengan teknik inversi. Mari kita mulai dari model garis.
3.1 Inversi Model Garis
Pengukuran temperatur terhadap kedalaman di bawah permukaan bumi menunjukkan bahwa
semakin dalam, temperatur semakin tinggi. Misalnya telah dilakukan sebanyak empat kali (N
= 4) pengukuran temperatur (Ti) pada kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel pengukuran
secara sederhana disajikan seperti ini: Lalu kita berasumsi bahwa variasi temperatur terhadap
Tabel 3.1: Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman
Pengukuran ke-i Kedalaman (m) Temperatur (OC)
1 z1 = 5 T1 = 352 z2 = 16 T2 = 573 z3 = 25 T3 = 754 z4 = 100 T4 = 225
kedalaman ditentukan oleh rumus berikut ini:
m1 + m2zi = Ti (3.1)
41
42 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
dimana m1 dan m2 adalah konstanta-konstanta yang akan dicari. Rumus di atas disebut mod-
el. Sedangkan m1 dan m2 disebut model parameter. Jadi pada model di atas terdapat dua
buah model parameter, (M = 2). Adapun yang berlaku sebagai data adalah nilai-nilai tem-
peratur T1, T2,..., dan T4. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan temperatur dan
kedalaman masing-masing sebagai berikut:
m1 + m2z1 = T1
m1 + m2z2 = T2
m1 + m2z3 = T3
m1 + m2z4 = T4
Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:
1 z1
1 z2
1 z3
1 z4
[
m1
m2
]
=
T1
T2
T3
T4
(3.2)
Lalu ditulis secara singkat
Gm = d (3.3)
dimana d adalah data yang dinyatakan dalam vektor kolom, m adalah model parameter, juga
dinyatakan dalam vektor kolom, dan G disebut matrik kernel. Lantas bagaimana cara menda-
patkan nilai m1 dan m2 pada vektor kolom m? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya
GtGm = Gtd (3.4)
dimana t disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan
elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:
1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu Gt
G =
1 z1
1 z2
1 z3
1 z4
⇒ Gt =
[
1 1 1 1
z1 z2 z3 z4
]
2. Tentukan GtG
GtG =
[
1 1 1 1
z1 z2 z3 z4
]
1 z1
1 z2
1 z3
1 z4
=
[
N∑
zi∑
zi∑
z2i
]
3.1. INVERSI MODEL GARIS 43
dimana N = 4 dan i = 1, 2, 3, 4.
3. Kemudian tentukan pula Gtd
Gtd =
[
1 1 1 1
z1 z2 z3 z4
]
T1
T2
T3
T4
=
[
∑
Ti∑
ziTi
]
4. Sekarang persamaan (3.4) dapat dinyatakan sebagai
[
N∑
zi∑
zi∑
z2i
] [
m1
m2
]
=
[
∑
Ti∑
ziTi
]
(3.5)
5. Aplikasikan metode Eliminasi Gauss dengan Substitusi Mundur. Untuk itu, tentukan
matrik augment-nya
[
N∑
zi | ∑
Ti∑
zi∑
z2i | ∑
ziTi
]
6. Untuk mempermudah perhitungan, kita masukan dulu angka-angka yang tertera pada
tabel pengukuran dihalaman depan.
[
4 146 | 392
146 10906 | 25462
]
7. Lakukan proses triangularisasi dengan operasi (P2 − (36, 5)P1) → P2. Saya sertakan
pula indeks masing-masing elemen pada matrik augment sebagaimana yang telah saya
lakukan pada catatan kuliah yang berjudul Metode Eliminasi Gauss. Hasilnya adalah
[
4 146 | 392
0 5577 | 11154
]
=
[
a11 a12 | a13
a21 a22 | a23
]
8. Terakhir, tentukan konstanta m1 dan m2 yang merupakan elemen-elemen vektor kolom
m, dengan proses substitusi mundur. Pertama tentukan m2
m2 =a23
a22=
11154
5577= 2
lalu tentukan m1
m1 =a13 − a12m2
a11=
392 − (146)(2)
4= 25
44 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
3.1.1 Script matlab inversi model garis
Script inversi model garis ini dibangun dari beberapa script yang sudah kita pelajari sebelum-
nya, yaitu script transpose matriks, perkalian matrik dan script eliminasi gauss. Silakan pela-
jari maksud tiap-tiap baris pada script ini.
1 clc
2 clear all
3
4 disp(’Data observasi’)
5 z1=5;
6 z2=16;
7 z3=25;
8 z4=100;
9
10 T(1,1)=35;
11 T(2,1)=57;
12 T(3,1)=75;
13 T(4,1)=225;
14
15 disp(’Elemen-elemen matriks kernel G’)
16 G(1,1)=1;
17 G(1,2)=z1;
18 G(2,1)=1;
19 G(2,2)=z2;
20 G(3,1)=1;
21 G(3,2)=z3;
22 G(4,1)=1;
23 G(4,2)=z4;
24 G
25 d=T;
26 d
27
28 N=4; %jumlah data
29 M=2; %model parameter
30
31 disp(’Mencari G transpos’)
32 for i=1:N
33 for j=1:M
34 GT(j,i)=G(i,j);
35 end
36 end
37 GT
38
39 disp(’Perkalian GT dan G’)
40 for i=1:M
41 for j=1:M
42 GTG(i,j)=0;
43 end
44 end
45 for i=1:M
46 for j=1:M
47 for k=1:N
48 GTG(i,j)=GTG(i,j)+GT(i,k)*G(k,j);
49 end
50 end
51 end
3.1. INVERSI MODEL GARIS 45
52 GTG
53
54 disp(’Perkalian GT dan d’)
55 for i=1:M
56 for j=1:1
57 GTd(i,j)=0;
58 end
59 end
60 for i=1:M
61 for j=1:1
62 for k=1:N
63 GTd(i,j)=GTd(i,j)+GT(i,k)*d(k,j);
64 end
65 end
66 end
67 GTd
68
69 A=GTG;
70 %====== Menggabungkan Vektor GTd kedalam matrik A ========
71 n=M;
72 for i=1:n
73 A(i,n+1)=GTd(i,1);
74 end
75 A
76
77 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
78 %---------Proses Triangularisasi-----------
79 for j=1:(n-1)
80
81 %----mulai proses pivot---
82 if (A(j,j)==0)
83 for p=1:n+1
84 u=A(j,p);
85 v=A(j+1,p);
86 A(j+1,p)=u;
87 A(j,p)=v;
88 end
89 end
90 %----akhir proses pivot---
91 jj=j+1;
92 for i=jj:n
93 m=A(i,j)/A(j,j);
94 for k=1:(n+1)
95 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));
96 end
97 end
98 end
99 %-------------------------------------------
100
101 %------Proses Substitusi mundur-------------
102 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);
103
104 for i=n-1:-1:1
105 S=0;
106 for j=n:-1:i+1
107 S=S+A(i,j)*x(j,1);
108 end
109 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);
110 end
46 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
111 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
112 disp(’Model parameter yang dicari’)
113 m=x
Sebetulnya, matlab telah menyediakan fungsi-fungsi intrinsik yang bisa digunakan sehing-
ga dapat memperkecil jumlah baris pada script di atas. Dari line 28 sampai line 113 dapat
dipangkas menjadi
1 m=inv(G’*G)*G’*d %Proses inversi linear
Lalu mengapa kita harus bersusah payah membangun script yang begitu panjang bila mat-
lab bisa melakukannya dengan mudah? Karena kita sedang mempelajari teknik-teknik kom-
putasi untuk menyelesaikan problem sains dan teknik. Kita tidak sedang belajar matlab. Ja-
di teknik-teknik yang dipelajari disini harus bisa diterapkan di selain matlab. Script singkat
m = inv(G′ ∗ G) ∗ G′ ∗ d hanya berlaku di matlab, sementara script yang panjangnya 113 line
dapat diterjemahkan dengan sangat mudah ke dalam bahasa pemrograman selain matlab.
Demikianlah contoh aplikasi metode Eliminasi Gauss dengan substitusi mundur. Anda
bisa mengaplikasikan pada kasus lain, dengan syarat kasus yang anda tangani memiliki ben-
tuk model yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan ini, yaitu model persamaan
garis atau disingkat model garis: y = m1 + m2x. Selanjutnya mari kita pelajari inversi model
parabola.
3.2 Inversi Model Parabola
Pengukuran temperatur terhadap kedalaman di bawah permukaan bumi menunjukkan bah-
wa semakin dalam, temperatur semakin tinggi. Misalnya telah dilakukan sebanyak delapan
kali (N = 8) pengukuran temperatur (Ti) pada kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel pen-
gukuran secara sederhana disajikan seperti ini:
Tabel 3.2: Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman
Pengukuran ke-i Kedalaman (m) Temperatur (OC)
1 z1 = 5 T1 = 21, 752 z2 = 8 T2 = 22, 683 z3 = 14 T3 = 25, 624 z4 = 21 T4 = 30, 875 z5 = 30 T5 = 40, 56 z6 = 36 T6 = 48, 727 z7 = 45 T7 = 63, 758 z8 = 60 T8 = 96
Lalu kita berasumsi bahwa variasi temperatur terhadap kedalaman ditentukan oleh rumus
berikut ini:
m1 + m2zi + m3z2i = Ti (3.6)
dimana m1, m2 dan m3 adalah konstanta-konstanta yang akan dicari. Rumus di atas disebut
model. Sedangkan m1, m2 dan m3 disebut model parameter. Jadi pada model di atas terdapat
3.2. INVERSI MODEL PARABOLA 47
tiga buah model parameter, (M = 3). Adapun yang berlaku sebagai data adalah nilai-nilai
temperatur T1, T2,..., dan T8. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan temperatur
dan kedalaman masing-masing sebagai berikut:
m1 + m2z1 + m3z21 = T1
m1 + m2z2 + m3z22 = T2
m1 + m2z3 + m3z23 = T3
m1 + m2z4 + m3z24 = T4
m1 + m2z5 + m3z25 = T5
m1 + m2z6 + m3z26 = T6
m1 + m2z7 + m3z27 = T7
m1 + m2z8 + m3z28 = T8
Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:
1 z1 z21
1 z2 z22
1 z3 z23
1 z4 z24
1 z5 z25
1 z6 z26
1 z7 z27
1 z8 z28
m1
m2
m3
=
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
(3.7)
Lalu ditulis secara singkat
Gm = d (3.8)
dimana d adalah data yang dinyatakan dalam vektor kolom, m adalah model parameter, juga
dinyatakan dalam vektor kolom, dan G disebut matrik kernel. Lantas bagaimana cara menda-
patkan nilai m1, m2 dan m3 pada vektor kolom m? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya
GtGm = Gtd (3.9)
dimana t disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan
elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:
48 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu Gt
G =
1 z1 z21
1 z2 z22
1 z3 z23
1 z4 z24
1 z5 z25
1 z6 z26
1 z7 z27
1 z8 z28
⇒ Gt =
1 1 1 1 1 1 1 1
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8
z21 z2
2 z23 z2
4 z25 z2
6 z27 z2
8
2. Tentukan GtG
GtG =
1 1 1 1 1 1 1 1
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8
z21 z2
2 z23 z2
4 z25 z2
6 z27 z2
8
1 z1 z21
1 z2 z22
1 z3 z23
1 z4 z24
1 z5 z25
1 z6 z26
1 z7 z27
1 z8 z28
=
N∑
zi∑
z2i
∑
zi∑
z2i
∑
z3i
∑
z2i
∑
z3i
∑
z4i
dimana N = 8 dan i = 1, 2, 3, ..., 8.
3. Kemudian tentukan pula Gtd
Gtd =
1 1 1 1 1 1 1 1
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8
z21 z2
2 z23 z2
4 z25 z2
6 z27 z2
8
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
=
∑
Ti∑
ziTi∑
z2i Ti
4. Sekarang persamaan (3.14) dapat dinyatakan sebagai (ini khan least square juga...!?)
N∑
zi∑
z2i
∑
zi∑
z2i
∑
z3i
∑
z2i
∑
z3i
∑
z4i
m1
m2
m3
=
∑
Ti∑
ziTi∑
z2i Ti
(3.10)
5. Aplikasikan metode Eliminasi Gauss dengan Substitusi Mundur. Untuk itu, tentukan
3.2. INVERSI MODEL PARABOLA 49
matrik augment-nya
N∑
zi∑
z2i | ∑
Ti∑
zi∑
z2i
∑
z3i | ∑
ziTi∑
z2i
∑
z3i
∑
z4i | ∑
z2i Ti
6. Untuk mempermudah perhitungan, kita masukan dulu angka-angka yang tertera pada
tabel pengukuran dihalaman depan.
8 219 8547 | 349, 89
219 8547 393423 | 12894, 81
8547 393423 19787859 | 594915, 33
7. Lakukan proses triangularisasi dengan operasi (P2 − (219/8)P1) → P2. Hasilnya adalah
8 219 8547 | 349, 89
0 2551, 88 159448, 88 | 3316, 57
8547 393423 19787859 | 594915, 33
8. Masih dalam proses triangularisai, operasi berikutnya (P3 − (8547/8)P1) → P3. Hasilnya
adalah
8 219 8547 | 349, 89
0 2551, 88 159448, 88 | 3316, 57
0 159448.88 10656457, 88 | 221101, 6
9. Masih dalam proses triangularisai, operasi berikutnya (P3 − (159448, 88/2551, 88)P2) →P3. Hasilnya adalah
8 219 8547 | 349, 89
0 2551, 88 159448, 88 | 3316, 57
0 0 693609, 48 | 13872, 19
(3.11)
Seperti catatan yang lalu, saya ingin menyertakan pula notasi masing-masing elemen
pada matrik augment sebelum melakukan proses substitusi mundur.
8 219 8547 | 349, 89
0 2551, 88 159448, 88 | 3316, 57
0 0 693609, 48 | 13872, 19
⇔
a11 a12 a13 | a14
a21 a22 a23 | a24
a31 a32 a33 | a34
10. Terakhir, tentukan konstanta m1, m2 dan m3 yang merupakan elemen-elemen vektor
kolom m, dengan proses substitusi mundur. Pertama tentukan m3
m3 =a34
a33=
13872, 19
693609, 48= 0, 02
50 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
lalu m2
m2 =a24 − a23m3
a22=
3316, 57 − (159448, 88)(0, 02)
2551, 88= 0, 05
dan m1
m1 =a14 − (a12m2 + a13m3)
a11=
349, 89 − [(219)(0, 05) + (8547)(0, 02)
8= 21
3.2.1 Script matlab inversi model parabola
Perbedaan utama script ini dengan script inversi model garis terletak pada inisialisasi elemen-
elemen matrik kernel. Elemen-elemen matrik kernel sangat ditentukan oleh model matematika
yang digunakan. Seperti pada script ini, matrik kernelnya diturunkan dari persamaan parabo-
la.
1 clc
2 clear all
3
4 z1=5;
5 z2=8;
6 z3=14;
7 z4=21;
8 z5=30;
9 z6=36;
10 z7=45;
11 z8=60;
12
13 T(1,1)=21.75;
14 T(2,1)=22.68;
15 T(3,1)=25.62;
16 T(4,1)=30.87;
17 T(5,1)=40.5;
18 T(6,1)=48.72;
19 T(7,1)=63.75;
20 T(8,1)=96;
21
22 G(1,1)=1;
23 G(1,2)=z1;
24 G(1,3)=z1^2;
25 G(2,1)=1;
26 G(2,2)=z2;
27 G(2,3)=z2^2;
28 G(3,1)=1;
29 G(3,2)=z3;
30 G(3,3)=z3^2;
31 G(4,1)=1;
32 G(4,2)=z4;
33 G(4,3)=z4^2;
34 G(5,1)=1;
35 G(5,2)=z5;
36 G(5,3)=z5^2;
37 G(6,1)=1;
38 G(6,2)=z6;
39 G(6,3)=z6^2;
40 G(7,1)=1;
41 G(7,2)=z7;
3.2. INVERSI MODEL PARABOLA 51
42 G(7,3)=z7^2;
43 G(8,1)=1;
44 G(8,2)=z8;
45 G(8,3)=z8^2;
46
47 G
48 d=T;
49 d
50
51 N=8; %jumlah data
52 M=3; %model parameter
53 pause
54
55
56 %%%%%===========Proses inversi==============
57 disp(’Mencari G transpos’)
58 for i=1:N
59 for j=1:M
60 GT(j,i)=G(i,j);
61 end
62 end
63 GT
64
65 disp(’Perkalian GT dan G’)
66 for i=1:M
67 for j=1:M
68 GTG(i,j)=0;
69 end
70 end
71 for i=1:M
72 for j=1:M
73 for k=1:N
74 GTG(i,j)=GTG(i,j)+GT(i,k)*G(k,j);
75 end
76 end
77 end
78 GTG
79
80 disp(’Perkalian GT dan d’)
81 for i=1:M
82 for j=1:1
83 GTd(i,j)=0;
84 end
85 end
86 for i=1:M
87 for j=1:1
88 for k=1:N
89 GTd(i,j)=GTd(i,j)+GT(i,k)*d(k,j);
90 end
91 end
92 end
93 GTd
94
95 A=GTG;
96 %====== Menggabungkan Vektor GTd kedalam matrik A ========
97 n=M;
98 for i=1:n
99 A(i,n+1)=GTd(i,1);
100 end
52 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
101 A
102 pause
103
104 disp(’Hasil Eliminasi Gauss’)
105 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
106 %---------Proses Triangularisasi-----------
107 for j=1:(n-1)
108
109 %----mulai proses pivot---
110 if (A(j,j)==0)
111 for p=1:n+1
112 u=A(j,p);
113 v=A(j+1,p);
114 A(j+1,p)=u;
115 A(j,p)=v;
116 end
117 end
118 %----akhir proses pivot---
119 jj=j+1;
120 for i=jj:n
121 m=A(i,j)/A(j,j);
122 for k=1:(n+1)
123 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));
124 end
125 end
126 end
127 %-------------------------------------------
128
129 %------Proses Substitusi mundur-------------
130 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);
131
132 for i=n-1:-1:1
133 S=0;
134 for j=n:-1:i+1
135 S=S+A(i,j)*x(j,1);
136 end
137 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);
138 end
139 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
140 %%%%%%%%%%%=====AKHIR DARI INVERSI MODEL GARIS==========
141 m=x
Demikianlah contoh aplikasi metode Eliminasi Gauss dengan substitusi mundur. Anda
bisa mengaplikasikan pada kasus lain, dengan syarat kasus yang anda tangani memiliki ben-
tuk model yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan ini, yaitu memiliki tiga buah
model parameter yang tidak diketahui dalam bentuk persamaan parabola: y = m1 + m2x +
m3x2. Pada catatan berikutnya, saya akan membahas model yang mengandung tiga model
parameter dalam 2 dimensi.
3.3 Inversi Model Bidang
Dalam catatan ini saya belum sempat mencari contoh pengukuran yang sesuai untuk model
2-dimensi. Maka, saya ingin langsung saja mengajukan sebuah model untuk 2-dimensi berikut
3.3. INVERSI MODEL BIDANG 53
ini:
m1 + m2xi + m3yi = di (3.12)
dimana m1, m2 dan m3 merupakan model parameter yang akan dicari. Adapun yang berlaku
sebagai data adalah d1, d2, d3, ..., di. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan temper-
atur dan kedalaman masing-masing sebagai berikut:
m1 + m2x1 + m3y1 = d1
m1 + m2x2 + m3y2 = d2
m1 + m2x3 + m3y3 = d3
......
......
...
m1 + m2xN + m3yN = dN
Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:
1 x1 y1
1 x2 y2
1 x3 y3
......
...
1 xN yN
m1
m2
m3
=
d1
d2
d3
...
dN
Lalu ditulis secara singkat
Gm = d (3.13)
dimana d adalah data yang dinyatakan dalam vektor kolom, m adalah model parameter, juga
dinyatakan dalam vektor kolom, dan G disebut matrik kernel. Lantas bagaimana cara menda-
patkan nilai m1, m2 dan m3 pada vektor kolom m? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya
GtGm = Gtd (3.14)
dimana t disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan
elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:
1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu Gt
G =
1 x1 y1
1 x2 y2
1 x3 y3
......
...
1 xN yN
⇒ Gt =
1 1 1 · · · 1
x1 x2 x3 · · · xN
y1 y2 y3 · · · yN
54 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
2. Tentukan GtG
GtG =
1 1 1 · · · 1
x1 x2 x3 · · · xN
y1 y2 y3 · · · yN
1 x1 y1
1 x2 y2
1 x3 y3
......
...
1 xN yN
=
N∑
xi∑
yi∑
xi∑
x2i
∑
xiyi∑
yi∑
xiyi∑
y2i
dimana N = jumlah data. dan i = 1, 2, 3, ..., N .
3. Kemudian tentukan pula Gtd
Gtd =
1 1 1 · · · 1
x1 x2 x3 · · · xN
y1 y2 y3 · · · yN
d1
d2
d3
...
dN
=
∑
di∑
xidi∑
yidi
4. Sekarang, persamaan (3.14) dapat dinyatakan sebagai
N∑
xi∑
yi∑
xi∑
x2i
∑
xiyi∑
yi∑
xiyi∑
y2i
m1
m2
m3
=
∑
di∑
xidi∑
yidi
(3.15)
5. Aplikasikan metode Eliminasi Gauss dengan Substitusi Mundur. Untuk itu, tentukan
matrik augment-nya
N∑
xi∑
yi | ∑
di∑
xi∑
x2i
∑
xiyi | ∑
xidi∑
yi∑
xiyi∑
y2i | ∑
yidi
6. Langkah-langkah selanjutnya akan sama persis dengan catatan sebelumnya (model lin-
ear dan model parabola)
Anda bisa mengaplikasikan data pengukuran yang anda miliki, dengan syarat kasus yang
anda tangani memiliki bentuk model yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan
ini, yaitu memiliki tiga buah model parameter yang tidak diketahui dalam bentuk persamaan
bidang (atau 2-dimensi): d = m1 + m2x + m3y.
Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu.
Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email: [email protected].
3.4. CONTOH APLIKASI 55
3.4 Contoh aplikasi
3.4.1 Menghitung gravitasi di planet X
Seorang astronot tiba di suatu planet yang tidak dikenal. Setibanya disana, ia segera mengelu-
arkan kamera otomatis, lalu melakukan ekperimen kinematika yaitu dengan melempar batu
vertikal ke atas. Hasil foto-foto yang terekam dalam kamera otomatis adalah sebagai berikut
Tabel 3.3: Data ketinggian terhadap waktu dari planet X
Waktu (dt) Ketinggian (m) Waktu (dt) Ketinggian (m)
0,00 5,00 2,75 7,620,25 5,75 3,00 7,250,50 6,40 3,25 6,770,75 6,94 3,50 6,201,00 7,38 3,75 5,521,25 7,72 4,00 4,731,50 7,96 4,25 3,851,75 8,10 4,50 2,862,00 8,13 4,75 1,772,25 8,07 5,00 0,582,50 7,90
Plot data pengukuran waktu vs ketinggian diperlihatkan sebagai berikut
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Waktu (detik)
Tin
ggi (
met
er)
Gambar 3.1: Grafik data pengukuran gerak batu
Anda diminta untuk membantu pengolahan data di atas. Jika anda menggunakan asumsi
56 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
model matematik dari Gerak-Lurus-Berubah-Beraturan (GLBB) seperti ini
ho + vot −1
2gt2 = h
maka gunakanlah prinsip-prinsip inversi untuk menentukan kecapatan awal, vo dan konstanta
gravitasi, g pada planet tersebut.
jawab:
Berdasarkan tabel di atas, diketahui terdapat 21 data. Ketinggian pada saat t = 0 adalah ho = 5
m. Untuk mencari vo dan g menggunakan metode inversi, mula-mula kita definisikan terlebih
dahulu m1 dan m2:
m1 = vo m2 = −1
2g
sehingga persamaan model GLBB menjadi
5 + m1ti + m2t2i = hi
dimana i menunjukkan data ke-i. Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai tiap-tiap ele-
men matrik kernel, yaitu dengan memasukan semua data kedalam persamaan model GLBB
5 + m1t1 + m2t21 = h1
5 + m1t2 + m2t22 = h2
5 + m1t3 + m2t23 = h3
...... =
...
5 + m1t20 + m2t220 = h20
Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:
5 t1 t215 t2 t225 t3 t235 t4 t24...
......
5 t19 t2195 t20 t220
[
m1
m2
]
=
h1
h2
h3
...
h19
h20
Sebelum dilanjut, coba perhatikan dengan teliti operasi matrik di atas. Adakah yang janggal??
Yep.. matrik kernel G berukuran 20x3 sementara vektor m berukuran 2x1, tentu saja operasi
perkalian matrik akan gagal. Untuk menghindarinya, kita tambahkan m0 pada vektor m, se-
3.4. CONTOH APLIKASI 57
hingga operasi tersebut menjadi
5 t1 t215 t2 t225 t3 t235 t4 t24...
......
5 t19 t2195 t20 t220
m0
m1
m2
=
h1
h2
h3
...
h19
h20
Namun, perlu dicatat bahwa m0 harus punya syarat, yaitu harus bernilai 1 atau m0 =1. Ini
boleh dibilang sebagai sebuah aksioma, atau sesuatu yang tak perlu dibuktikan lagi tapi tak
bisa dibantah. Tinggal nanti bisa kita periksa hasil inversinya. Bila m0 bernilai 1, maka proses
inversi dianggap sukses. Kemudian operasi matrik tersebut bisa ditulis secara singkat
Gm = d
Untuk menyelesaikan persamaan matrik ini, diperlukan modifikasi berikut
GT Gm = GTd (3.16)
dimana T disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan
m0, m1 dan m2, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:
1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu Gt
G =
5 t1 t215 t2 t225 t3 t235 t4 t24...
......
5 t19 t2195 t20 t220
⇒ GT =
5 5 5 5 . . . 5 5
t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20
t21 t22 t23 t24 . . . t219 t220
2. Tentukan GT G
GT G =
5 5 5 5 . . . 5 5
t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20
t21 t22 t23 t24 . . . t219 t220
5 t1 t215 t2 t225 t3 t235 t4 t24...
......
5 t19 t2195 t20 t220
=
25N 5∑
ti 5∑
t2i5
∑
ti∑
t2i∑
t3i5
∑
t2i∑
t3i∑
t4i
58 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
dimana N = 20 dan i = 1, 2, ..., 20.
3. Kemudian tentukan pula GTd
GTd =
5 5 5 5 . . . 5 5
t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20
t21 t22 t23 t24 . . . t219 t220
h1
h2
h3
h4
...
h19
h20
=
5∑
hi∑
tihi∑
t2i hi
4. Sekarang persamaan (3.16) dapat dinyatakan sebagai
25N 5∑
ti 5∑
t2i5
∑
ti∑
t2i∑
t3i5
∑
t2i∑
t3i∑
t4i
m0
m1
m2
=
5∑
hi∑
tihi∑
t2i hi
(3.17)
500 262, 5 896, 9
262, 5 179, 4 689, 1
896, 9 689, 1 2822, 9
m0
m1
m2
=
607, 5
273, 7
796, 3
Hasil operasi matriks ini dapat diselesaikan dengan metode Eliminasi Gauss, yaitu
m0
m1
m2
=
0, 9999
3, 2009
−0, 8169
Lihatlah! m0 = 0,9999 atau mendekati 1. Dan ini sesuai dengan aksioma yang telah dinyatakan
di awal bahwa memang m0 harus bernilai 1. Jika m0 tidak bernilai 1 berarti teknik inversinya
salah total.
Hasil inversi juga menunjukkan bahwa kecepatan awal yaitu saat batu dilempar ke atas
adalah sebesar m1 = vo = 3,2009 m/dt. Adapun percepatan gravitasi diperoleh dari m2 dimana
m2 = −12g = -0,8169. Sehingga nilai g adalah sebesar 1,6338 m/dt2.
Gambar 3.2 memperlihatkan grafik kurva hasil inversi. Garis berwarna biru merupakan
garis kurva fitting hasil inversi parabola. Sedangkan bulatan berwarna merah adalah data pen-
gukuran ketinggian (m) terhadap waktu (dt). Jelas terlihat bahwa garis kurva berwarna biru
benar-benar cocok melewati semua titik data pengukuran. Ini menunjukkan tingkat akurasi
yang sangat tinggi. Sehingga nilai kecepatan awal dan gravitasi hasil inversi cukup valid un-
tuk menjelaskan gerak batu di planet X.
3.4. CONTOH APLIKASI 59
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Waktu (dt)
Ket
ingg
ian
(m)
Gambar 3.2: Grafik hasil inversi parabola
Berikut adalah script inversi dalam Matlab untuk memecahkan masalah ini
1 clear all
2 clc;
3
4 N=20; %jumlah data
5 M=3; %model parameter
6 for i=1:N
7 t(i)=i*0.25;
8 end
9 h(1)=5.75;
10 h(2)=6.40;
11 h(3)=6.94;
12 h(4)=7.38;
13 h(5)=7.72;
14 h(6)=7.96;
15 h(7)=8.10;
16 h(8)=8.13;
17 h(9)=8.07;
18 h(10)=7.90;
19 h(11)=7.62;
20 h(12)=7.25;
21 h(13)=6.77;
22 h(14)=6.20;
23 h(15)=5.52;
24 h(16)=4.73;
25 h(17)=3.85;
26 h(18)=2.86;
27 h(19)=1.77;
28 h(20)=0.58;
29
30 for i=1:N
31 G(i,1)=5;
32 G(i,2)=t(i);
33 G(i,3)=t(i)^2;
60 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
34 end
35 G
36 for i=1:N
37 d(i,1)=h(i);
38 end
39 d
40
41 %%%%%===========Proses inversi==============
42 disp(’Mencari G transpos’)
43 for i=1:N
44 for j=1:M
45 GT(j,i)=G(i,j);
46 end
47 end
48 GT
49
50 disp(’Perkalian GT dan G’)
51 for i=1:M
52 for j=1:M
53 GTG(i,j)=0;
54 end
55 end
56 for i=1:M
57 for j=1:M
58 for k=1:N
59 GTG(i,j)=GTG(i,j)+GT(i,k)*G(k,j);
60 end
61 end
62 end
63 GTG
64
65 disp(’Perkalian GT dan d’)
66 for i=1:M
67 for j=1:1
68 GTd(i,j)=0;
69 end
70 end
71 for i=1:M
72 for j=1:1
73 for k=1:N
74 GTd(i,j)=GTd(i,j)+GT(i,k)*d(k,j);
75 end
76 end
77 end
78 GTd
79
80 A=GTG;
81 %====== Menggabungkan Vektor GTd kedalam matrik A ========
82 n=M;
83 for i=1:n
84 A(i,n+1)=GTd(i,1);
85 end
86 A
87 pause
88
89 disp(’Hasil Eliminasi Gauss’)
90 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
91 %---------Proses Triangularisasi-----------
92 for j=1:(n-1)
3.4. CONTOH APLIKASI 61
93
94 %----mulai proses pivot---
95 if (A(j,j)==0)
96 for p=1:n+1
97 u=A(j,p);
98 v=A(j+1,p);
99 A(j+1,p)=u;
100 A(j,p)=v;
101 end
102 end
103 %----akhir proses pivot---
104 jj=j+1;
105 for i=jj:n
106 m=A(i,j)/A(j,j);
107 for k=1:(n+1)
108 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));
109 end
110 end
111 end
112 %-------------------------------------------
113 %------Proses Substitusi mundur-------------
114 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);
115
116 for i=n-1:-1:1
117 S=0;
118 for j=n:-1:i+1
119 S=S+A(i,j)*x(j,1);
120 end
121 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);
122 end
123 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
124 %%%%%%%%%%%===== AKHIR DARI PROSES INVERSI ==========
125 m=x
126
127 %-------MENGGAMBAR GRAFIK----------------------
128 plot(t,h,’ro’);
129 xlabel(’Waktu (dt)’);ylabel(’Ketinggian (m)’);
130 hold on;
131 for i=1:20
132 hi(i)=5+m(2)*t(i)+m(3)*t(i)^2;
133 end
134 plot(t,hi);
135 hold off;
Bab 4
Metode LU Decomposition
Objektif :
⊲ Mengenalkan teknik faktorisasi matrik.
⊲ Mengenalkan aplikasi LU Decomposition pada sistem persamaan linear.
⊲ Merumuskan algoritma LU Decomposition.
4.1 Faktorisasi matrik
Pada semua catatan yang terdahulu, telah diulas secara panjang lebar bahwa sistem persamaan
linear dapat dicari solusinya secara langsung dengan metode eliminasi gauss. Namun perlu
juga diketahui bahwa eliminasi gauss bukan satu-satunya metode dalam mencari solusi sistem
persamaan linear, misalnya ada metode matrik inversi seperti yang dijelaskan pada catatan
yang paling terakhir. Terlepas dari masalah in-efisiensi penyelesaiannya, yang jelas metode
invers matrik bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Nah, pada catatan kali ini, saya ingin mengetengahkan sebuah metode yang lain untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear, yaitu metode faktorisasi matrik yang umum dikenal
sebagai LU-decomposition. Metode ini sekaligus menjadi pengantar menuju metode Singular
Value Decomposition, (SVD), suatu metode yang saat ini paling “handal” dalam menyelesaikan
sistem persamaan linear dan merupakan bagian dari metode least square.
Seperti biasa, kita berasumsi bahwa sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam op-
erasi matrik
Ax = b (4.1)
Pada metode LU-decomposition, matrik A difaktorkan menjadi matrik L dan matrik U, dimana
dimensi atau ukuran matrik L dan U harus sama dengan dimensi matrik A. Atau dengan kata
lain, hasil perkalian matrik L dan matrik U adalah matrik A,
A = LU (4.2)
63
64 BAB 4. METODE LU DECOMPOSITION
sehingga persamaan (6.4) menjadi
LUx = b
Langkah penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition, diawali den-
gan menghadirkan vektor y dimana,
Ux = y (4.3)
Langkah tersebut tidak bermaksud untuk menghitung vektor y, melainkan untuk menghitung
vektor x. Artinya, sebelum persamaan (4.3) dieksekusi, nilai-nilai yang menempati elemen-
elemen vektor y harus sudah diketahui. Lalu bagaimana cara memperoleh vektor y? Begini
caranya,
Ly = b (4.4)
Kesimpulannya, metode LU-decomposition dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut:
• Melakukan faktorisasi matrik A menjadi matrik L dan matrik U → A = LU .
• Menghitung vektor y dengan operasi matrik Ly = b. Ini adalah proses forward-substitution
atau substitusi-maju.
• Menghitung vektor x dengan operasi matrik Ux = y. Ini adalah proses backward-substitution
atau substitusi-mundur.
Metode LU-decomposition bisa dibilang merupakan modifikasi dari eliminasi gauss, karena
beberapa langkah yang mesti dibuang pada eliminasi gauss, justru harus dipakai oleh LU-
decomposition. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Diketahui sistem persamaan
linear sebagai berikut
P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = -3P4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4
Sistem tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik Ax = y,
1 1 0 3
2 1 −1 1
3 −1 −1 2
−1 2 3 −1
x1
x2
x3
x4
=
4
1
−3
4
(4.5)
Pada metode eliminasi gauss, matrik A dikonversi menjadi matrik triangular melalui urutan
operasi-operasi berikut: (P2 − 2P1) → (P2), (P3 − 3P1) → (P3), (P4 − (−1)P1) → (P4), (P3 −4P2) → (P3), (P4 − (−3)P2) → (P4). Disisi lain, vektor b ikut berubah nilainya menyesuaikan
4.1. FAKTORISASI MATRIK 65
proses triangularisasi,
1 1 0 3
0 −1 −1 −5
0 0 3 13
0 0 0 −13
x1
x2
x3
x4
=
4
−7
13
−13
(4.6)
Lain halnya dengan metode LU-decomposition dimana vektor b tidak mengalami perubahan.
Yang berubah hanya matrik A saja, yaitu menjadi matrik L dan matrik U, A = LU
A =
1 1 0 3
2 1 −1 1
3 −1 −1 2
−1 2 3 −1
=
1 0 0 0
2 1 0 0
3 4 1 0
−1 −3 0 1
1 1 0 3
0 −1 −1 −5
0 0 3 13
0 0 0 −13
Jadi matrik L dan U masing-masing adalah
L =
1 0 0 0
2 1 0 0
3 4 1 0
−1 −3 0 1
U =
1 1 0 3
0 −1 −1 −5
0 0 3 13
0 0 0 −13
Coba bandingkan matrik U di atas dengan matrik hasil triangularisasi dari metode eliminasi
gauss pada persamaan (4.6), sama persis bukan? Jadi, cara memperoleh matrik U adalah den-
gan proses triangularisasi! Lantas, bagaimana cara memperoleh matrik L? Begini caranya: (1)
elemen-elemen diagonal matrik L diberi nilai 1 (Asal tahu saja, cara ini dikenal dengan metode
Doolittle). (2) elemen-elemen matrik L yang berada di atas elemen-elemen diagonal diberi ni-
lai 0. (3) sedangkan, elemen-elemen matrik L yang berada di bawah elemen-elemen diago-
nal diisi dengan faktor pengali yang digunakan pada proses triangularisasi eliminasi gauss.
Misalnya pada operasi (P2 − 2P1) → (P2), maka faktor pengalinya adalah 2; pada operasi
(P3 − 3P1) → (P3), maka faktor pengalinya adalah 3, dan seterusnya.
Inilah letak perbedaannya, seluruh faktor pengali tersebut sangat dibutuhkan pada metode
LU-decomposition untuk membentuk matrik L. Padahal dalam metode eliminasi gauss, seluruh
faktor pengali tersebut tidak dimanfaatkan alias dibuang begitu saja. Disisi lain, vektor b tidak
mengalami proses apapun sehingga nilainya tetap. Jadi, proses konversi matrik pada metode
LU-decomposition hanya melibatkan matrik A saja!
Setelah langkah faktorisasi matrik A dilalui, maka operasi matrik pada persamaan (4.5)
menjadi,
1 0 0 0
2 1 0 0
3 4 1 0
−1 −3 0 1
1 1 0 3
0 −1 −1 −5
0 0 3 13
0 0 0 −13
x1
x2
x3
x4
=
4
1
−3
4
(4.7)
66 BAB 4. METODE LU DECOMPOSITION
Langkah berikutnya adalah menentukan vektor y, dimana Ly = b,
1 0 0 0
2 1 0 0
3 4 1 0
−1 −3 0 1
y1
y2
y3
y4
=
4
1
−3
4
Dengan proses substitusi-maju, elemen-elemen vektor y dapat ditentukan,
y1 = 4,
2y1 + y2 = 1,
3y1 + 4y2 + y3 = −3,
−y1 − 3y2 + y4 = 4
maka diperoleh y1 = 4, y2 = −7, y3 = 13, y4 = −13.
Langkah terakhir adalah proses substitusi-mundur untuk menghitung vektor x, dimana Ux =
y,
1 1 0 3
0 −1 −1 −5
0 0 3 13
0 0 0 −13
x1
x2
x3
x4
=
4
−7
13
−13
Melalui proses ini, yang pertama kali didapat solusinya adalah x4, kemudian x3, lalu diikuti
x2, dan akhirnya x1.
x4 = 1
x3 =1
3(13 − 13x4) = 0
x2 = −(−7 + 5x4 + x3) = 2
x1 = 4 − 3x4 − x2 = −1
akhirnya diperoleh solusi x1 = −1, x2 = 2, x3 = 0, dan y4 = 1. Demikianlah contoh penyelesa-
ian sistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition.
Sekali matrik A difaktorkan, maka vektor b bisa diganti nilainya sesuai dengan sistem per-
samaan linear yang lain, misalnya seluruh nilai di ruas kanan diganti menjadi
P1 : x1 + x2 + 3x4 = 8P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 7P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = 14P4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = -7
4.2. ALGORITMA 67
Dalam operasi matrik menjadi
1 1 0 3
2 1 −1 1
3 −1 −1 2
−1 2 3 −1
x1
x2
x3
x4
=
8
7
14
−7
(4.8)
Perhatikan baik-baik! Matrik A sama persis dengan contoh sebelumnya. Perbedaannya hanya
pada vektor b. Selanjutnya, dengan metode LU-decomposition, persamaan (4.8) menjadi
1 0 0 0
2 1 0 0
3 4 1 0
−1 −3 0 1
1 1 0 3
0 −1 −1 −5
0 0 3 13
0 0 0 −13
x1
x2
x3
x4
=
8
7
14
−7
(4.9)
Silakan anda lanjutkan proses perhitungannya dengan mencari vektor y sesuai contoh yang
telah diberikan sebelumnya. Pada akhirnya akan diperoleh solusi sebagai berikut: x1 = 3,
x2 = −1, x3 = 0, dan y4 = 2.
4.2 Algoritma
Sekarang saatnya saya tunjukkan algoritma metode LU decomposition. Algoritma ini dibuat
untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, dengan cara menfaktorkan matrik A = (aij)
berukuran n x n menjadi matrik L = (lij) dan matrik U = (uij) dengan ukuran yang sama.
Algoritma LU-decomposition yang anda lihat sekarang merupakan modifikasi dari algorit-
ma eliminasi gauss. Silakan anda periksa langkah-langkah mana saja yang telah mengalami
modifikasi! Tapi asal tahu saja bahwa ini bukan satu-satunya algoritma untuk mendapatkan
matrik LU. Sejauh yang saya tahu, ada algoritma lain untuk tujuan yang sama, dimana algo-
ritma tersebut membutuhkan matrik permutasi untuk menggeser elemen pivot yang bernilai
nol agar terhindar dari singular. Nah, sedangkan algoritma yang akan anda baca saat ini, sama
sekali tidak “berurusan” dengan matrik permutasi. Algoritma ini cuma memanfaatkan “trik”
tukar posisi yang sudah pernah dibahas di awal-awal catatan khususnya ketika membahas
konsep eliminasi gauss.
Satu lagi yang harus saya sampaikan juga adalah bahwa dalam algoritma ini, elemen-
elemen matrik L dan matrik U digabung jadi satu dan menggantikan seluruh elemen-elemen
matrik A. Perhatian! cara ini jangan diartikan sebagai perkalian matrik L dan matrik U menjadi
matrik A kembali. Cara ini dimaksudkan untuk menghemat memori komputer. Suatu aspek
yang tidak boleh diabaikan oleh para programer. Marilah kita simak algoritmanya bersama-
sama!
INPUT: dimensi n; nilai elemen aij , 1 ≤ i, j ≤ n; nilai elemen bi.
OUTPUT: solusi x1, x2, x3, ..., xn atau pesan kesalahan yang mengatakan bahwa faktorisasi
tidak mungkin dilakukan.
68 BAB 4. METODE LU DECOMPOSITION
• Langkah 1: Inputkan konstanta-konstanta dari sistem persamaan linear kedalam elemen-
elemen matrik A dan vektor b, seperti berikut ini:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
...
an1 an2 . . . ann
b =
b1
b2
...
bn
(4.10)
• Langkah 2: Untuk i = 1, ..., n − 1, lakukan Langkah 3 sampai Langkah 5.
• Langkah 3: Definisikan p sebagai integer dimana i ≤ p ≤ n. Lalu pastikan bahwa
api 6= 0. Langkah dilakukan bila ditemukan elemen diagonal yang bernilai nol (aii =
0). Ketika ada elemen diagonal yang bernilai nol, maka program harus mencari dan
memeriksa elemen-elemen yang tidak bernilai nol dalam kolom yang sama dengan
kolom tempat elemen diagonal tersebut berada. Jadi saat proses ini berlangsung,
integer i (indeks dari kolom) dibuat konstan, sementara integer p (indeks dari baris)
bergerak dari p = i sampai p = n. Bila ternyata setelah mencapai elemen paling
bawah dalam kolom tersebut, yaitu saat p = n tetap didapat nilai api = 0, maka
sebuah pesan dimunculkan: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang
unik. Lalu program berakhir: STOP.
• Langkah 4: Namun jika sebelum integer p mencapai nilai p = n sudah diperoleh
elemen yang tidak sama dengan nol (api 6= 0), maka bisa dipastikan p 6= i. Jika p 6= i
maka lakukan proses pertukaran (Pp) ↔ (Pi).
• Langkah 5: Untuk j = i + 1, .., n, lakukan Langkah 6 dan Langkah 7.
• Langkah 6: Tentukan mji,
mji =aji
aii
• Langkah 7: Lakukan proses triangularisasi,
(Pj − mjiPi) → (Pj)
• Langkah 8: Nilai mji disimpan ke aji,
aji = mji
• Langkah 9: Nilai b1 dicopy ke y1, lalu lakukan substitusi-maju.
y1 = b1
Untuk i = 2, ..., n tentukan xi,
yi = bi −i−1∑
j=1
aijyj
4.2. ALGORITMA 69
• Langkah 10: Lakukan proses substitusi-mundur, dimulai dengan menentukan xn,
xn =an,n+1
ann
Untuk i = n − 1, ..., 1 tentukan xi,
xi =ai,n+1 −
∑nj=i+1 aijxj
aii
• Langkah 11: Diperoleh solusi yaitu x1, x2, ..., xn. Algoritma telah dijalankan dengan suk-
ses. STOP.
Algoritma di atas telah diimplementasi kedalam program yang ditulis dengan bahasa For-
tran. Program tersebut sudah berhasil dikompilasi dengan visual fortran (windows) dan g77
(debian-linux). Inilah programnya:
1 DIMENSION A(10,11), B(10), Y(10), X(10)
2 REAL MJI
3 WRITE(*,*)
4 WRITE(*,*) ’==> FAKTORISASI MATRIK: LU DECOMPOSITION <==’
5 WRITE (*,*)
6 C LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK A DAN VEKTOR B
7 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’
8 READ (*,*) N
9 WRITE (*,*)
10 WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A’
11 DO 50 I = 1,N
12 DO 60 J = 1,N
13 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’
14 READ (*,*) A(I,J)
15 60 CONTINUE
16 WRITE (*,’(1X,A,I2,A)’) ’B(’,I,’) ? ’
17 READ (*,*) B(I)
18 WRITE (*,*)
19 50 CONTINUE
20 WRITE (*,*)
21 C MENAMPILKAN MATRIK A
22 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK A:’
23 DO 110 I = 1,N
24 WRITE (*,6) (A(I,J),J=1,N)
25 110 CONTINUE
26 WRITE (*,*)
27 C LANGKAH 2: MEMERIKSA ELEMEN-ELEMEN PIVOT
28 NN = N-1
29 DO 10 I=1,NN
30 C LANGKAH 3: MENDEFINISIKAN P
70 BAB 4. METODE LU DECOMPOSITION
31 P = I
32 100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 200
33 P = P+1
34 GOTO 100
35 200 IF(P.EQ.N+1)THEN
36 C MENAMPILKAN PESAN TIDAK DAPAT DIFAKTORKAN
37 WRITE(*,8)
38 GOTO 400
39 END IF
40 C LANGKAH 4: PROSES TUKAR POSISI
41 IF(P.NE.I) THEN
42 DO 20 JJ=1,N
43 C = A(I,JJ)
44 A(I,JJ) = A(P,JJ)
45 A(P,JJ) = C
46 20 CONTINUE
47 END IF
48 C LANGKAH 5: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI
49 JJ = I+1
50 DO 30 J=JJ,N
51 C LANGKAH 6: TENTUKAN MJI
52 MJI = A(J,I)/A(I,I)
53 C LANGKAH 7: PROSES TRIANGULARISASI
54 DO 40 K=JJ,N
55 A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K)
56 40 CONTINUE
57 C LANGKAH 8: MENYIMPAN MJI KE A(J,I)
58 A(J,I) = MJI
59 30 CONTINUE
60 10 CONTINUE
61 C MENAMPILKAN MATRIK LU
62 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK LU:’
63 DO 120 I = 1,N
64 WRITE (*,6) (A(I,J),J=1,N)
65 120 CONTINUE
66 WRITE (*,*)
67 C LANGKAH 9: SUBSTITUSI-MAJU
68 Y(1) = B(1)
69 DO 15 I=2,N
70 SUM = 0.0
71 DO 16 J=1,I-1
72 SUM = SUM+A(I,J)*Y(J)
73 16 CONTINUE
74 Y(I) = B(I)-SUM
75 15 CONTINUE
76 C MENAMPILKAN VEKTOR Y
77 WRITE (*,’(1X,A)’) ’VEKTOR Y:’
4.2. ALGORITMA 71
78 DO 138 I = 1,N
79 WRITE (*,6) Y(I)
80 138 CONTINUE
81 WRITE (*,*)
82 C LANGKAH 10: SUBSTITUSI-MUNDUR
83 X(N) = Y(N)/A(N,N)
84 DO 24 K=1,N-1
85 I = N-K
86 JJ = I+1
87 SUM = 0.0
88 DO 26 KK=JJ,N
89 SUM = SUM+A(I,KK)*X(KK)
90 26 CONTINUE
91 X(I) = (Y(I)-SUM)/A(I,I)
92 24 CONTINUE
93 C LANGKAH 11: MENAMPILKAN SOLUSI DAN SELESAI
94 WRITE (*,’(1X,A)’) ’SOLUSI:’
95 DO 18 I = 1,N
96 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,F14.8)’) ’X(’,I,’) = ’,X(I)
97 18 CONTINUE
98 WRITE(*,*)
99 WRITE(*,*) ’SELESAI --> SUKSES’
100 WRITE(*,*)
101 400 CONTINUE
102 6 FORMAT(1X,5(F14.8))
103 8 FORMAT(1X,’TIDAK DAPAT DIFAKTORKAN’)
104 END
Demikianlah, sekarang kita punya tiga buah algoritma untuk memecahkan problem sistem
persamaan linear, yaitu eliminasi gauss, invers matrik, dan lu-decomposition. Diantara ketiga-
nya, eliminasi gauss adalah algoritma yang paling simpel dan efisien. Dia hanya butuh proses
triangularisasi dan substitusi-mundur untuk mendapatkan solusi. Sedangkan dua algoritma
yang lainnya membutuhkan proses-proses tambahan untuk mendapatkan solusi yang sama.
Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu.
Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email.
Bab 5
Metode Iterasi
Objektif :
⊲ Mengenalkan konsep Norm.
⊲ Mengenalkan iterasi Jacobi.
⊲ Mengenalkan iterasi Gauss-Seidel.
⊲ Mengenalkan iterasi Succesive-Over-Relaxation (SOR).
5.1 Kelebihan Vektor-kolom
Sebelum kita membahas metode iterasi untuk menyelesaikan problem sistem persamaan lin-
ear, saya ingin menyampaikan satu hal yang sangat sederhana, yaitu tentang cara merepre-
sentasikan elemen-elemen suatu vektor-kolom. Sebagaimana tertulis pada catatan-catatan se-
belumnya, biasanya suatu vektor-kolom ditulis sebagai
x =
x1
x2
...
xn
(5.1)
Dengan operasi transpose, vektor-kolom tersebut dapat dinyatakan sebagai
x =[
x1 x2 . . . xn
]t(5.2)
Contoh:
x =
3
−2
8
5
=[
3 −2 8 5]t
73
74 BAB 5. METODE ITERASI
Cara penulisan seperti ini digunakan untuk menyatakan vektor-kolom pada suatu kalimat di
dalam paragraf. Alasannya supaya tidak terlalu menyita banyak ruang penulisan. Sementara,
persamaan (5.1), lebih sering digunakan pada penulisan operasi matrik. Satu hal lagi, pada
paragraf-paragraf berikutnya, saya persingkat penulisan istilah vektor-kolom menjadi vektor
saja.
5.2 Pengertian Norm
Vektor x=(x1; x2; ...; xn)t memiliki norm ℓ2 dan ℓ∞ yang didefinisikan sebagai
ℓ2 = ‖x‖2 = n
∑
i=1
x2i 1/2 (5.3)
dan
ℓ∞ = ‖x‖∞ = max1≤i≤n
|xi| (5.4)
Contoh: x=(3;−2; 8; 5)t memiliki norm ℓ2 yaitu
ℓ2 = ‖x‖2 =√
(3)2 + (−2)2 + (8)2 + (5)2 = 10, 0995
dan norm ℓ∞ yaitu
ℓ∞ = ‖x‖∞ = max(3), (−2), (8), (5) = 8
Saya menyarankan agar kedua norm ini diingat-ingat dengan baik, karena akan banyak dis-
inggung pada catatan-catatan berikutnya.
5.2.1 Script perhitungan norm dalam Matlab
Script berikut ini merujuk pada contoh di atas, dimana vektor x hanya terdiri dari 4 elemen,
yaitu x(1, 1),x(2, 1),x(3, 1) dan x(4, 1)
1 clear all
2 clc
3 x(1,1)=3;
4 x(2,1)=-2;
5 x(3,1)=8;
6 x(4,1)=5;
7 x %menampilkan vektor x
8 %=========menghitung norm2=============
9 s=0;
10 for i=1:4
11 s=s+x(i,1)^2;
12 end
13 norm2=sqrt(s) %menampilkan hasil norm2
14 %======================================
5.3. ITERASI JACOBI 75
Mohon diperhatikan untuk mengganti angka 4 pada statemen for i=1:4 dengan angka yang
lain disesuaikan dengan jumlah elemen vektor yang mau dihitung norm2-nya.
5.2.2 Perhitungan norm-selisih
Misalnya kita punya vektor bernama xlama. Lalu ada vektor lainnya bernama xbaru. Norm
selisih dari xlama dan xbaru dapat dihitung dengan bantuan script berikut ini
1 clear all
2 clc
3 xlama(1,1)=3;
4 xlama(2,1)=-2;
5 xlama(3,1)=8;
6 xlama(4,1)=5;
7 xlama %menampilkan elemen vektor xlama
8
9 xbaru(1,1)=9;
10 xbaru(2,1)=4;
11 xbaru(3,1)=6;
12 xbaru(4,1)=1;
13 xbaru %menampilkan elemen vektor xbaru
14
15 n=4; %jumlah elemen vektor
16
17 %--------menghitung norm2 selisih -------------
18 s=0;
19 for i=1:n
20 s=s+(xbaru(i,1)-xlama(i,1))^2;
21 end
22 norm2=sqrt(s)
23 %----------------------------------------------
Cara perhitungan norm-selisih seperti ini akan diterapkan pada kebanyakan metode iterasi.
Jadi tolong diingat baik-baik!!
5.3 Iterasi Jacobi
Sekarang kita mulai pembahasan tentang metode iterasi untuk menyelesaikan problem sistem
persamaan linear. Metode ini berbeda dengan metode-metode yang telah dijelaskan sebelum-
nya, dimana ia dimulai dari penentuan nilai awal (initial value) untuk setiap elemen vektor x.
Kemudian berdasarkan nilai awal tersebut, dilakukan langkah perhitungan untuk mendap-
atkan elemen-elemen vektor x yang baru.
x(baru) = Tx(lama) + c (5.5)
76 BAB 5. METODE ITERASI
atau
xk = Txk−1 + c (5.6)
dimana k = 1, 2, 3, ..., n.
Mungkin anda kesulitan memahami rumus-rumus di atas, maka untuk lebih jelasnya, mari-
lah kita perhatikan contoh berikut; diketahui sistem persamaan linear Ax = b yaitu
10x1 − x2 + 2x3 = 6
−x1 + 11x2 − x3 + 3x4 = 25
2x1 − x2 + 10x3 − x4 = −11
3x2 − x3 + 8x4 = 15
yang mana solusinya adalah x=(1; 2;−1; 1)t. Silakan simpan dulu solusi ini, anggap saja kita
belum tahu. Lalu perhatikan baik-baik bagaimana metode iterasi Jacobi bisa menemukan so-
lusi tersebut dengan caranya yang khas.
Langkah pertama dan merupakan langkah terpenting dari metode iterasi Jacobi adalah dengan
mengubah cara penulisan sistem persamaan linear di atas menjadi seperti ini
x1 =1
10x2 −
2
10x3 +
6
10
x2 =1
11x1 +
1
11x3 −
3
11x4 +
25
11
x3 = − 2
10x1 +
1
10x2 +
1
10x4 −
11
10
x4 = −3
8x2 +
1
8x3 +
15
8
Kita bisa menyatakan bahwa nilai x1, x2, x3 dan x4 yang berada di ruas kiri tanda = (baca: sama
dengan) sebagai x(baru). Sementara nilai x1, x2, x3 dan x4 yang berada di ruas kanan tanda =
(baca: sama dengan) sebagai x(lama). Sehingga sistem persamaan tersebut ditulis seperti ini
x(baru)1 =
1
10x
(lama)2 − 2
10x
(lama)3 +
6
10
x(baru)2 =
1
11x
(lama)1 +
1
11x
(lama)3 − 3
11x
(lama)4 +
25
11
x(baru)3 = − 2
10x
(lama)1 +
1
10x2 +
1
10x
(lama)4 − 11
10
x(baru)4 = −3
8x
(lama)2 +
1
8x
(lama)3 +
15
8
5.3. ITERASI JACOBI 77
yang secara umum dapat diformulasikan sebagaimana persamaan (5.5). Atau dapat pula dit-
ulis seperti ini
x(k)1 =
1
10x
(k−1)2 − 2
10x
(k−1)3 +
6
10
x(k)2 =
1
11x
(k−1)1 +
1
11x
(k−1)3 − 3
11x
(k−1)4 +
25
11
x(k)3 = − 2
10x
(k−1)1 +
1
10x
(k−1)2 +
1
10x
(k−1)4 − 11
10
x(k)4 = −3
8x
(k−1)2 +
1
8x
(k−1)3 +
15
8
yang secara umum dapat diformulasikan sebagaimana persamaan (5.6). Pada persamaan (5.6),
indeks k menunjukan jumlah berapa kali perhitungan iterasi telah dilakukan. Mari kita fokuskan
sejenak pada indeks k ini; Pada k = 1, maka penulisan sistem persamaan linear menjadi seperti
ini
x(1)1 =
1
10x
(0)2 − 2
10x
(0)3 +
6
10
x(1)2 =
1
11x
(0)1 +
1
11x
(0)3 − 3
11x
(0)4 +
25
11
x(1)3 = − 2
10x
(0)1 +
1
10x
(0)2 +
1
10x
(0)4 − 11
10
x(1)4 = −3
8x
(0)2 +
1
8x
(0)3 +
15
8
Jika kita tentukan nilai-nilai awal x(0) sebagai berikut x(0)1 = 0, x
(0)2 = 0, x
(0)3 = 0 dan x
(0)4 = 0.
Atau dinyatakan seperti ini x(0) = (0; 0; 0; 0)t. Maka kita akan memperoleh nilai-nilai x(1), yaitu
hasil iterasi pertama, sebagai berikut
x(1)1 =
6
10
x(1)2 =
25
11
x(1)3 = −11
10
x(1)4 =
15
8
atau x(1) = (0, 6000; 2, 2727;−1, 1000; 1, 8750)t. Setelah diperoleh nilai-nilai x(1), perhitungan
tersebut diulangi kembali guna mendapatkan hasil iterasi kedua, dimana nilai k = 2. Caranya
adalah dengan memasukan nilai-nilai x(1) = (0, 6000; 2, 2727;−1, 1000; 1, 8750)t ke ruas kanan
78 BAB 5. METODE ITERASI
tanda sama-dengan,
x(2)1 =
1
10x
(1)2 − 2
10x
(1)3 +
6
10
x(2)2 =
1
11x
(1)1 +
1
11x
(1)3 − 3
11x
(1)4 +
25
11
x(2)3 = − 2
10x
(1)1 +
1
10x
(1)2 +
1
10x
(1)4 − 11
10
x(2)4 = −3
8x
(1)2 +
1
8x
(1)3 +
15
8
maka nilai-nilai x(2) yang kita dapat adalah x(2) = (1, 0473; 1, 7159;−0, 8052; 0, 8852)t. Sete-
lah diperoleh nilai-nilai x(2), perhitungan tersebut diulangi kembali guna mendapatkan hasil
iterasi ketiga, dimana nilai k = 3. Caranya adalah dengan memasukan nilai-nilai x(2) =
(1, 0473; 1, 7159;−0, 8052; 0, 8852)t ke ruas kanan kembali,
x(3)1 =
1
10x
(2)2 − 2
10x
(2)3 +
6
10
x(3)2 =
1
11x
(2)1 +
1
11x
(2)3 − 3
11x
(2)4 +
25
11
x(3)3 = − 2
10x
(2)1 +
1
10x
(2)2 +
1
10x
(2)4 − 11
10
x(3)4 = −3
8x
(2)2 +
1
8x
(2)3 +
15
8
maka kita akan memperoleh nilai-nilai x(3) = (0, 9326; 2, 0530;−1, 0493; 1, 1309)t. Lalu proses
perhitungan diulangi lagi dengan k = 4. Begitulah seterusnya. Proses ini diulangi lagi berkali-
kali untuk nilai-nilai k berikutnya. Proses yang berulang ini disebut proses iterasi. Sampai
dengan x(3) di atas, kita sudah melakukan tiga kali proses iterasi. Lantas sampai kapan proses
iterasi ini terus berlanjut? Jawabnya adalah sampai x(baru) mendekati solusi yang sesungguh-
nya, yaitu
x = (1; 2;−1; 1)t
Dengan kata lain, proses iterasi harus dihentikan bila x(baru) sudah mendekati solusi. Lalu
kriteria apa yang digunakan sehingga suatu hasil iterasi bisa dikatakan paling dekat dengan
solusi yang sebenarnya? OK, simpan dulu pertanyaan ini, sebagai gantinya marilah kita pela-
jari script Matlab untuk menghitung iterasi.
5.3.1 Script Matlab untuk menghitung iterasi
Pertama-tama kita buat script seperti ini
1 clear all
2 clc
3 %----nilai awal-----------
4 xlama(1,1)=0;
5 xlama(2,1)=0;
6 xlama(3,1)=0;
5.3. ITERASI JACOBI 79
7 xlama(4,1)=0;
8 xlama
9
10 %------nilai baru-------------
11 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
12 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
13 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
14 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
15 xbaru
xbaru yang didapat tak lain adalah hasil iterasi pertama, yaitu x(1) = (0, 6000; 2, 2727;−1, 1000;
1, 8750)t. Kemudian, untuk iterasi ke-2, script di atas dimodifikasi menjadi seperti ini
1 clear all
2 clc
3
4 %----nilai awal-----------
5 xlama(1,1)=0;
6 xlama(2,1)=0;
7 xlama(3,1)=0;
8 xlama(4,1)=0;
9 xlama
10 %------nilai baru-------------
11 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
12 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
13 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
14 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
15 xbaru
16
17 xlama=xbaru; %xbaru dijadikan xlama untuk iterasi berikutnya
18
19 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
20 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
21 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
22 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
23 xbaru
Sampai disini, xbaru yang didapat adalah hasil iterasi ke-2, yaitu x(2) = (1, 0473; 1, 7159;
− 0, 8052; 0, 8852)t. Kemudian, untuk iterasi ke-3, script di atas dimodifikasi menjadi seperti ini
1 clear all
2 clc
3
4 %----nilai awal-----------
5 xlama(1,1)=0;
6 xlama(2,1)=0;
80 BAB 5. METODE ITERASI
7 xlama(3,1)=0;
8 xlama(4,1)=0;
9 xlama
10 %------nilai baru-------------
11 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
12 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
13 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
14 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
15 xbaru
16
17 xlama=xbaru; %xbaru dijadikan xlama untuk iterasi berikutnya
18
19 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
20 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
21 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
22 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
23 xbaru
24
25 xlama=xbaru; %xbaru dijadikan xlama untuk iterasi berikutnya
26
27 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
28 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
29 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
30 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
31 xbaru
Sampai disini, xbaru yang didapat adalah hasil iterasi ke-3, yaitu x(3) = (0, 9326; 2, 0530;
− 1, 0493; 1, 1309)t. Kemudian, untuk iterasi ke-4, script di atas dimodifikasi dengan cara yang
sama. Tapi konsekuensinya script tersebut akan bertambah panjang. Dan itu sesuatu yang
tidak baik. Guna menghindari hal itu, script di atas perlu dioptimasi dengan pasangan for-end
sebagai berikut
1 clear all
2 clc
3
4 %----nilai awal-----------
5 xlama(1,1)=0;
6 xlama(2,1)=0;
7 xlama(3,1)=0;
8 xlama(4,1)=0;
9 xlama
10
11 for i=1:4
12 %------nilai update-------------
13 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
14 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
5.3. ITERASI JACOBI 81
15 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
16 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
17 xbaru
18
19 xlama=xbaru; %xbaru dijadikan xlama untuk iterasi berikutnya
20 end
Angka 4 pada statemen for i=1:4 dapat diganti sesuai dengan jumlah iterasi maksimal yang
kita kehendaki.
1 clear all
2 clc
3
4 %----nilai awal-----------
5 xlama(1,1)=0;
6 xlama(2,1)=0;
7 xlama(3,1)=0;
8 xlama(4,1)=0;
9 xlama
10
11 itermaks=4 %jumlah iterasi maksimal
12
13 for i=1:itermaks
14 %------nilai update-------------
15 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
16 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
17 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
18 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
19 xbaru
20
21 xlama=xbaru; %xbaru dijadikan xlama untuk iterasi berikutnya
22 end
Untuk mendapatkan hasil iterasi yang ke-10, silakan nyatakan itermaks=10 pada script di atas.
Hasil dari keseluruhan iterasi dari iterasi ke-1 hingga iterasi ke-10 disajikan pada tabel berikut
Tabel 5.1: Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10
k 0 1 2 3 4 ... 9 10
x(k)1 0,0000 0,6000 1,0473 0,9326 1,0152 ... 0,9997 1,0001
x(k)2 0,0000 2,2727 1,7159 2,0530 1,9537 ... 2,0004 1,9998
x(k)3 0,0000 -1,1000 -0,8052 -1,0493 -0,9681 ... -1,0004 -0,9998
x(k)4 0,0000 1,8852 0,8852 1,1309 0,9739 ... 1,0006 0,9998
Kita bisa saksikan bahwa hasil iterasi ke-1, x(1) = (0, 6000; 2, 2727;−1, 1000; 1, 8852) adalah
hasil yang paling tidak mendekati solusi, x = (1; 2;−1; 1)t. Dibandingkan dengan hasil iterasi
82 BAB 5. METODE ITERASI
ke-2, jelas terlihat bahwa hasil iterasi ke-2 lebih mendekati solusi. Kalau terus diurutkan, maka
hasil iterasi ke-10 merupakan hasil yang paling dekat dengan solusi.
5.3.2 Optimasi script Matlab untuk menghitung iterasi
Sekarang mari kita hitung norm-selisih dari masing-masing hasil iterasi secara berurutan. Dim-
ulai dari mencari norm-selisih antara hasil iterasi ke-1 dan ke-2. Lalu dilanjutkan dengan hasil
iterasi ke-2 dan ke-3, begitu seterusnya hingga antara hasil iterasi yang ke-9 dan ke-10. Dalam
prakteknya, kita cukup menambahkan script norm-selisih pada script yang tadi
1 clear all
2 clc
3
4 %----nilai awal-----------
5 xlama(1,1)=0;
6 xlama(2,1)=0;
7 xlama(3,1)=0;
8 xlama(4,1)=0;
9 xlama
10 n=4 %jumlah elemen vektor
11 itermaks=10 %jumlah iterasi maksimal
12
13 for i=1:itermaks
14 %------nilai update-------------
15 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
16 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
17 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
18 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
19 xbaru
20
21 %------norm selisih-------------
22 s=0;
23 for i=1:n
24 s=s+(xbaru(i,1)-xlama(i,1))^2;
25 end
26 epsilon=sqrt(s)
27 %-------------------------------
28
29 xlama=xbaru; %xbaru dijadikan xlama untuk iterasi berikutnya
30 end
Tabel dibawah ini memperlihatkan hasil norm-selisih hingga iterasi ke-10. Hasil perhitungan
norm-selisih tersebut, saya beri nama epsilon, ǫ, dimana semakin kecil nilai epsilon, ǫ, menan-
dakan hasil iterasinya semakin dekat dengan solusi. Hasil norm-selisih yang semakin kecil
pada iterasi ke-10 menunjukan bahwa hasil iterasi ke-10 adalah hasil yang paling dekat den-
gan solusi yang sebenarnya.
5.3. ITERASI JACOBI 83
Tabel 5.2: Hasil perhitungan norm-selisih (dengan ℓ2) hingga iterasi ke-10
norm ℓ2
∥
∥x(2) − x(1)∥
∥
2
∥
∥x(3) − x(2)∥
∥
2
∥
∥x(4) − x(3)∥
∥
2...
∥
∥x(10) − x(9)∥
∥
2ǫ 1,2557 0,4967 0,2189 ... 0,0012
Kembali ke pertanyaan penting yang tadi yaitu kriteria apa yang digunakan sehingga su-
atu hasil iterasi bisa dikatakan paling dekat dengan solusi yang sebenarnya? Jawabnya: ter-
gantung besar kecilnya nilai ǫ. Artinya kalau nilai ǫ ditentukan sebesar 0,2 , maka iterasi akan
berhenti pada iterasi ke-4. Atau kalau nilai ǫ ditentukan sebesar 0,001 , maka proses iterasi akan
berhenti pada iterasi ke-10. Kesimpulannya, semakin kecil nilai ǫ, semakin panjang proses it-
erasinya, namun hasil akhirnya semakin akurat. Jadi nilai ǫ berperan penting untuk menghen-
tikan proses iterasi. Dalam hal ini, ǫ lebih umum dikenal dengan istilah stopping-criteria.
Di bawah ini adalah script iterasi Jacobi setelah mengalami optimasi beberapa kali,
1 clear all
2 clc
3
4 %----nilai awal-----------
5 xlama(1,1)=0;
6 xlama(2,1)=0;
7 xlama(3,1)=0;
8 xlama(4,1)=0;
9 xlama
10
11 n=4 %jumlah elemen vektor
12 itermaks=10 %jumlah iterasi maksimal
13 sc=0.001 %stopping-criteria
14
15 for i=1:itermaks
16 %------nilai update-------------
17 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
18 xbaru(2,1)=(1/11)*xlama(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
19 xbaru(3,1)=-(2/10)*xlama(1,1)+(1/10)*xlama(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
20 xbaru(4,1)=-(3/8)*xlama(2,1)+(1/8)*xlama(3,1)+(15/8);
21 xbaru
22
23 %------norm selisih-------------
24 s=0;
25 for i=1:n
26 s=s+(xbaru(i,1)-xlama(i,1))^2;
27 end
28 epsilon=sqrt(s)
29
30 %------memeriksa stopping criteria, sc--------
31 if epsilon<sc
32 break
84 BAB 5. METODE ITERASI
33 end
34
35 xlama=xbaru; %xbaru dijadikan xlama untuk iterasi berikutnya
36 end
Metode yang baru saja kita bahas ini disebut metode Iterasi Jacobi. Metode ini bertujuan
mencari nilai-nilai pengganti variabel-variabel x dengan perumusan
x(k)i =
∑nj=1
(
−aijx(k−1)j
)
+ bi
aii(5.7)
dimana i=1,2,3,...,n.
5.3.3 Algoritma
• Langkah 1: Tentukan k=1
• Langkah 2: Ketika (k ≤ N ) lakukan Langkah 3-6
– Langkah 3: Untuk i=1,...,n, hitunglah
xi =−∑n
j=1 (aijXOj) + bi
aii
– Langkah 4: Jika ‖x − XO‖ < ǫ, maka keluarkan OUTPUT (x1, ..., xn) lalu STOP
– Langkah 5: Tentukan k=k+1
– Langkah 6: Untuk i=1,...n, tentukan XOi = xi
• Langkah 7: OUTPUT (’Iterasi maksimum telah terlampaui’) lalu STOP
5.3.4 Program dalam Fortran
1 IMPLICIT NONE
2 DIMENSION A(10,10),B(10),X(10),XO(10)
3 REAL A,B,X,XO,EPS,NORM,S
4 INTEGER N,I,J,K,ITMAX
5 WRITE(*,*) ’==> ITERASI JACOBI UNTUK SISTEM LINEAR <==’
6 WRITE(*,*)
7 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’
8 READ (*,*) N
9 WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A DAN VEKTOR B’
10 DO 52 I = 1,N
11 DO 62 J = 1,N
12 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’
13 READ (*,*) A(I,J)
14 62 CONTINUE
15 WRITE (*,’(1X,A,I2,A)’) ’B(’,I,’) ? ’
5.3. ITERASI JACOBI 85
16 READ (*,*) B(I)
17 WRITE (*,*)
18 52 CONTINUE
19 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH ITERASI MAKSIMUM ? ’
20 READ (*,*) ITMAX
21 WRITE (*,’(1X,A)’) ’NILAI EPSILON ATAU TOLERANSI ? ’
22 READ (*,*) EPS
23 WRITE (*,*) ’MASUKAN NILAI AWAL UNTUK XO’
24 DO 72 I = 1,N
25 WRITE (*,’(1X,A,I2,A)’) ’XO(’,I,’) ? ’
26 READ (*,*) XO(I)
27 72 CONTINUE
28 WRITE (*,*)
29 C MENAMPILKAN MATRIK A
30 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK A:’
31 DO 110 I = 1,N
32 WRITE (*,6) (A(I,J),J=1,N)
33 110 CONTINUE
34 WRITE (*,*)
35 C MENAMPILKAN VEKTOR B
36 WRITE (*,’(1X,A)’) ’VEKTOR B:’
37 DO 111 I = 1,N
38 WRITE (*,6) B(I)
39 111 CONTINUE
40 WRITE (*,*)
41 C LANGKAH 1
42 K = 1
43 C LANGKAH 2
44 100 IF(K.GT.ITMAX) GOTO 200
45 C LANGKAH 3
46 NORM = 0.0
47 DO 10 I = 1,N
48 S = 0.0
49 DO 20 J=1,N
50 S = S-A(I,J)*XO(J)
51 20 CONTINUE
52 S = (S+B(I))/A(I,I)
53 IF (ABS(S).GT.NORM) NORM=ABS(S)
54 X(I) = XO(I)+S
55 10 CONTINUE
56 WRITE(*,’(1X,A,I3)’) ’ITERASI KE-’, K
57 WRITE(*,’(1X,A,F14.8)’) ’NORM = ’, NORM
58 WRITE(*,’(1X,A,I3,A,F14.8)’) (’X(’,I,’) = ’, X(I),I=1,N)
59 WRITE(*,*)
60 C LANGKAH 4
61 IF(NORM.LE.EPS) THEN
62 WRITE(*,7) K,NORM
86 BAB 5. METODE ITERASI
63 GOTO 400
64 END IF
65 C LANGKAH 5
66 K = K+1
67 C LANGKAH 6
68 DO 30 I=1,N
69 XO(I) = X(I)
70 30 CONTINUE
71 GOTO 100
72 C LANGKAH 7
73 200 CONTINUE
74 WRITE(*,9)
75 400 STOP
76
77 5 FORMAT(1X,I3)
78 6 FORMAT(1X,(6(1X,F14.8)))
79 7 FORMAT(1X,’KONVERGEN PADA ITERASI YANG KE- ’,I3,
80 *’ , NORM= ’,F14.8)
81 9 FORMAT(1X,’MELEBIHI BATAS MAKSIMUM ITERASI’)
82 END
5.4 Iterasi Gauss-Seidel
Metode Iterasi Gauss-Seidel hampir sama dengan metode Iterasi Jacobi. Perbedaannya hanya
terletak pada penggunaan nilai elemen vektor xbaru yang langsung digunakan pada per-
samaan dibawahnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan sistem persamaan linear berikut, yang
diturunkan dari contoh terdahulu
xbaru1 =
1
10xlama
2 − 2
10xlama
3 +6
10
xbaru2 =
1
11xbaru
1 +1
11xlama
3 − 3
11xlama
4 +25
11
xbaru3 = − 2
10xbaru
1 +1
10xbaru
2 +1
10xlama
4 − 11
10
xbaru4 = −3
8xbaru
2 +1
8xbaru
3 +15
8
Pada baris pertama, xbaru1 dihitung berdasarkan xlama
2 dan xlama3 . Kemudian xbaru
1 tersebut
langsung dipakai pada baris kedua untuk menghitung xbaru2 . Selanjutnya xbaru
1 dan xbaru2 di-
gunakan pada baris ketiga untuk mendapatkan xbaru3 . Begitu seterusnya hingga xbaru
4 pun
diperoleh pada baris keempat. Sistem persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam indeks k
5.4. ITERASI GAUSS-SEIDEL 87
seperti dibawah ini dimana k adalah jumlah iterasi.
x(k)1 =
1
10x
(k−1)2 − 2
10x
(k−1)3 +
6
10
x(k)2 =
1
11x
(k)1 +
1
11x
(k−1)3 − 3
11x
(k−1)4 +
25
11
x(k)3 = − 2
10x
(k)1 +
1
10x
(k)2 +
1
10x
(k−1)4 − 11
10
x(k)4 = −3
8x
(k)2 +
1
8x
(k)3 +
15
8
Misalnya kita tentukan nilai-nilai awal x(0) sebagai berikut x(0)1 = 0, x
(0)2 = 0, x
(0)3 = 0 dan
x(0)4 = 0. Atau dinyatakan seperti ini x(0) = (0; 0; 0; 0)t. Maka pada k = 1 kita akan memperoleh
nilai-nilai x(1) sebagai berikut
x(1)1 = 0, 6000
x(1)2 = 2, 3272
x(1)3 = −0, 9873
x(1)4 = 0, 8789
Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 2. Begitu seterusnya proses ini diulang-
ulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai x(k) mendekati solusi yang sesungguhnya,
yaitu
x = (1; 2;−1; 1)t
Marilah kita amati hasil seluruh iterasi. Tabel di bawah ini menampilkan hasil perhitungan
hingga iterasi yang ke-5. Kita bisa saksikan bahwa dibandingkan dengan iterasi Jacobi, prob-
lem sistem persamaan linear yang sama, bisa diselesaikan oleh metode iterasi Gauss-Seidel
hanya dalam 5 kali iterasi. Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Gauss-Seidel bek-
Tabel 5.3: Hasil Iterasi Gauss-Seidelk 0 1 2 3 4 5
x(k)1 0,0000 0,6000 1,030 1,0065 1,0009 1,0001
x(k)2 0,0000 2,3272 2,037 2,0036 2,0003 2,0000
x(k)3 0,0000 -0,9873 -1,014 -1,0025 -1,0003 -1,0000
x(k)4 0,0000 0,8789 0,9844 0,9983 0,9999 1,0000
erja lebih efektif dibandingkan iterasi Jacobi. Ya.., memang secara umum demikian, akan tetapi
ternyata ditemukan kondisi yang sebaliknya pada kasus-kasus yang lain.
5.4.1 Script iterasi Gauss-Seidel
Secara umum, script iterasi Gauss-Seidel yang saya tuliskan disini hampir sama dengan it-
erasi Jacobi. Perbedaan kecil-nya terletak pada bagian nilai update, dimana elemen xbaru hasil
perhitungan dilibatkan langsung untuk menghitung elemen xbaru selanjutnya.
88 BAB 5. METODE ITERASI
1 clear all
2 clc
3
4 %----nilai awal-----------
5 xlama(1,1)=0;
6 xlama(2,1)=0;
7 xlama(3,1)=0;
8 xlama(4,1)=0;
9 xlama
10
11 n=4 %jumlah elemen vektor
12 itermaks=10 %jumlah iterasi maksimal
13 sc=0.001 %stopping-criteria
14
15 for i=1:itermaks
16 %------nilai update-------------
17 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);
18 xbaru(2,1)=(1/11)*xbaru(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);
19 xbaru(3,1)=-(2/10)*xbaru(1,1)+(1/10)*xbaru(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);
20 xbaru(4,1)=-(3/8)*xbaru(2,1)+(1/8)*xbaru(3,1)+(15/8);
21 xbaru
22
23 %------norm selisih-------------
24 s=0;
25 for i=1:n
26 s=s+(xbaru(i,1)-xlama(i,1))^2;
27 end
28 epsilon=sqrt(s)
29
30 %------memeriksa stopping criteria, sc--------
31 if epsilon<sc
32 break
33 end
34
35 xlama=xbaru; %xbaru dijadikan xlama untuk iterasi berikutnya
36 end
Perumusan metode Iterasi Gauss-Seidel dapat dinyatakan sebagai berikut:
x(k)i =
−∑i−1j=1
(
aijx(k)j
)
− ∑nj=i+1
(
aijx(k−1)j
)
+ bi
aii(5.8)
dimana i=1,2,3,...,n.
5.4. ITERASI GAUSS-SEIDEL 89
5.4.2 Algoritma
• Langkah 1: Tentukan k=1
• Langkah 2: Ketika (k ≤ N ) lakukan Langkah 3-6
– Langkah 3: Untuk i=1,...,n, hitunglah
xi =−∑i−1
j=1 aijxj −∑n
j=i+1 aijXOj + bi
aii
– Langkah 4: Jika ‖x − XO‖ < ǫ, maka keluarkan OUTPUT (x1, ..., xn) lalu STOP
– Langkah 5: Tentukan k=k+1
– Langkah 6: Untuk i=1,...n, tentukan XOi = xi
• Langkah 7: OUTPUT (’Iterasi maksimum telah terlampaui’) lalu STOP
5.4.3 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran
1 IMPLICIT NONE
2 DIMENSION A(10,10),B(10),X(10),XO(10)
3 REAL A,B,X,XO,EPS,NORM,S1,S2
4 INTEGER N,I,J,K,ITMAX
5 WRITE(*,*)
6 WRITE(*,*) ’==> ITERASI GAUSS-SEIDEL UNTUK SISTEM LINEAR <==’
7 WRITE(*,*)
8 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’
9 READ (*,*) N
10 WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A DAN VEKTOR B’
11 DO 52 I = 1,N
12 DO 62 J = 1,N
13 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’
14 READ (*,*) A(I,J)
15 62 CONTINUE
16 WRITE (*,’(1X,A,I2,A)’) ’B(’,I,’) ? ’
17 READ (*,*) B(I)
18 WRITE (*,*)
19 52 CONTINUE
20 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH ITERASI MAKSIMUM ? ’
21 READ (*,*) ITMAX
22 WRITE (*,’(1X,A)’) ’NILAI EPSILON ATAU TOLERANSI ? ’
23 READ (*,*) EPS
24 WRITE (*,*) ’MASUKAN NILAI AWAL UNTUK XO’
25 DO 72 I = 1,N
26 WRITE (*,’(1X,A,I2,A)’) ’XO(’,I,’) ? ’
27 READ (*,*) XO(I)
28 72 CONTINUE
90 BAB 5. METODE ITERASI
29 WRITE (*,*)
30 C MENAMPILKAN MATRIK A
31 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK A:’
32 DO 110 I = 1,N
33 WRITE (*,6) (A(I,J),J=1,N)
34 110 CONTINUE
35 WRITE (*,*)
36 C MENAMPILKAN VEKTOR B
37 WRITE (*,’(1X,A)’) ’VEKTOR B:’
38 DO 111 I = 1,N
39 WRITE (*,6) B(I)
40 111 CONTINUE
41 WRITE (*,*)
42 C LANGKAH 1
43 K = 1
44 C LANGKAH 2
45 100 IF(K.GT.ITMAX) GOTO 200
46 C LANGKAH 3
47 DO 10 I = 1,N
48 S1 = 0.0
49 DO 20 J=I+1,N
50 S1 = S1-A(I,J)*XO(J)
51 20 CONTINUE
52 S2 = 0.0
53 DO 23 J=1,I-1
54 S2 = S2-A(I,J)*X(J)
55 23 CONTINUE
56 X(I) = (S2+S1+B(I))/A(I,I)
57 10 CONTINUE
58 C SAYA PILIH NORM-2. ANDA BOLEH PAKAI NORM YANG LAIN!
59 NORM = 0.0
60 DO 40 I=1,N
61 NORM = NORM + (X(I)-XO(I))*(X(I)-XO(I))
62 40 CONTINUE
63 NORM = SQRT(NORM)
64 WRITE(*,’(1X,A,I3)’) ’ITERASI KE-’, K
65 WRITE(*,’(1X,A,F14.8)’) ’NORM-2 = ’, NORM
66 WRITE(*,’(1X,A,I3,A,F14.8)’) (’X(’,I,’) = ’, X(I),I=1,N)
67 WRITE(*,*)
68 C LANGKAH 4
69 IF(NORM.LE.EPS) THEN
70 WRITE(*,7) K,NORM
71 GOTO 400
72 END IF
73 C LANGKAH 5
74 K = K+1
75 C LANGKAH 6
5.5. ITERASI DENGAN RELAKSASI 91
76 DO 30 I=1,N
77 XO(I) = X(I)
78 30 CONTINUE
79 GOTO 100
80 C LANGKAH 7
81 200 CONTINUE
82 WRITE(*,9)
83 400 STOP
84
85 5 FORMAT(1X,I3)
86 6 FORMAT(1X,(6(1X,F14.8)))
87 7 FORMAT(1X,’KONVERGEN PADA ITERASI YANG KE- ’,I3,
88 *’ , NORM= ’,F14.8)
89 9 FORMAT(1X,’MELEBIHI BATAS MAKSIMUM ITERASI’)
90 END
5.5 Iterasi dengan Relaksasi
Metode Iterasi Relaksasi (Relaxation method ) dinyatakan dengan rumus berikut:
x(k)i = (1 − ω) x
(k−1)i +
ω
aii
bi −i−1∑
j=1
aijx(k)j −
n∑
j=i+1
aijx(k−1)j
(5.9)
dimana i=1,2,3,...,n.
Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan contoh berikut, diketahui sistem persamaan
linear Ax = b yaitu
4x1 + 3x2+ = 24
3x1 + 4x2 − x3 = 30
−x2 + 4x3 = −24
memiliki solusi (3, 4,−5)t. Metode Gauss-Seidel dan Relaksasi dengan ω = 1, 25 akan digu-
nakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan x(0) = (1, 1, 1)t. Untuk
setiap nilai k = 1, 2, 3, ..., persamaan Gauss-Seidelnya adalah
x(k)1 = −0, 75x
(k−1)2 + 6
x(k)2 = −0, 75x
(k)1 + 0, 25x
(k−1)3 + 7, 5
x(k)3 = 0, 25x
(k)2 − 6
92 BAB 5. METODE ITERASI
Sedangkan persamaan untuk metode Relaksasi dengan ω = 1, 25 adalah
x(k)1 = −0, 25x
(k−1)1 − 0, 9375x
(k−1)2 + 7, 5
x(k)2 = −0, 9375x
(k)1 − 0, 25x
(k−1)2 + 0, 3125x
(k−1)3 + 9, 375
x(k)3 = 0, 3125x
(k)2 − 0, 25x
(k−1)3 − 7, 5
Tabel berikut ini menampilkan perhitungan dari masing-masing metode hingga iterasi ke-7.
Tabel 5.4: Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel
k 0 1 2 3 4 5 6 7
x(k)1 1 5,2500 3,1406 3,0879 3,0549 3,0343 3,0215 3,0134
x(k)2 1 3,8125 3,8828 3,9267 3,9542 3,9714 3,9821 3,9888
x(k)3 1 -5,0468 -5,0293 -5,0183 -5,0114 -5,0072 -5,0044 -5,0028
Tabel 5.5: Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25
k 0 1 2 3 4 5 6 7
x(k)1 1 6,3125 2,6223 3,1333 2,9570 3,0037 2,9963 3,0000
x(k)2 1 3,5195 3,9585 4,0102 4,0075 4,0029 4,0009 4,0002
x(k)3 1 -6,6501 -4,6004 -5,0967 -4,9735 -5,0057 -4,9983 -5,0003
Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Relaksasi memerlukan proses iterasi yang
lebih singkat dibandingkan iterasi Gauss-Seidel. Jadi, pada kasus ini (dan juga secara umum),
Relaksasi lebih efektif dibandingkan Gauss-Seidel. Pertanyaannya sekarang, bagaimana menen-
tukan nilai ω optimal?
Metode Relaksasi dengan pilihan nilai ω yang berkisar antara 0 dan 1 disebut metode under-
relaxation, dimana metode ini berguna agar sistem persamaan linear bisa mencapai kondisi
konvergen walaupun sistem tersebut sulit mencapai kondisi konvergen dengan metode Gauss-
Seidel. Sementara bila ω nilainya lebih besar dari angka 1, maka disebut metode successive
over-relaxation (SOR), yang mana metode ini berguna untuk mengakselerasi atau mempercepat
kondisi konvergen dibandingkan dengan Gauss-Seidel. Metode SOR ini juga sangat berguna
untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang muncul dari persamaan diferensial-parsial
tertentu.
5.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi
• Langkah 1: Tentukan k=1
• Langkah 2: Ketika (k ≤ N ) lakukan Langkah 3-6
– Langkah 3: Untuk i=1,...,n, hitunglah
xi = (1 − ω) XOi +ω
(
−∑i−1j=1 aijxj −
∑nj=i+1 aijXOj + bi
)
aii
5.5. ITERASI DENGAN RELAKSASI 93
– Langkah 4: Jika ‖x − XO‖ < ǫ, maka keluarkan OUTPUT (x1, ..., xn) lalu STOP
– Langkah 5: Tentukan k=k+1
– Langkah 6: Untuk i=1,...n, tentukan XOi = xi
• Langkah 7: OUTPUT (’Iterasi maksimum telah terlampaui’) lalu STOP
Demikianlah catatan singkat dari saya tentang metode iterasi untuk menyelesaikan prob-
lem sistem persamaan linear. Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya
sambung lagi dilain waktu. Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui
email: [email protected].
Bab 6
Interpolasi
Objektif :
⊲ Mengenalkan Interpolasi Lagrange
⊲ Mengenalkan Interpolasi Spline-cubic
6.1 Interpolasi Lagrange
Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P (x) berderajat ter-
tentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin mendapatkan fungsi polinomial
berderajat satu yang melewati dua buah titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1). Langkah pertama yang
kita lakukan adalah mendefinisikan fungsi berikut
L0(x) =x − x1
x0 − x1
dan
L1(x) =x − x0
x1 − x0
kemudian kita definisikan fungsi polinomial sebagai berikut
P (x) = L0(x)y0 + L1(x)y1
Jika semua persamaan diatas kita gabungkan, maka akan didapat
P (x) = L0(x)y0 + L1(x)y1
P (x) =x − x1
x0 − x1y0 +
x − x0
x1 − x0y1
dan ketika x = x0
P (x0) =x0 − x1
x0 − x1y0 +
x0 − x0
x1 − x0y1 = y0
95
96 BAB 6. INTERPOLASI
dan pada saat x = x1
P (x1) =x1 − x1
x0 − x1y0 +
x1 − x0
x1 − x0y1 = y1
dari contoh ini, kira-kira apa kesimpulan sementara anda? Ya.. kita bisa sepakat bahwa fungsi
polinomial
P (x) =x − x1
x0 − x1y0 +
x − x0
x1 − x0y1 (6.1)
benar-benar melewati titik (x0, y0) dan (x1, y1).
Sekarang mari kita perhatikan lagi contoh lainnya. Misalnya ada tiga titik yaitu (x0, y0), (x1, y1)
dan (x2, y2). Tentukanlah fungsi polinomial yang melewati ketiganya! Dengan pola yang sama
kita bisa awali langkah pertama yaitu mendefinisikan
L0(x) =(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
lalu
L1(x) =(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
dan
L2(x) =(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
kemudian kita definisikan fungsi polinomial sebagai berikut
P (x) = L0(x)y0 + L1(x)y1 + L2(x)y2
Jika semua persamaan diatas kita gabungkan, maka akan didapat fungsi polinomial
P (x) =(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)y2
Kita uji sebentar. Ketika x = x0
P (x0) =(x0 − x1)(x0 − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +
(x0 − x0)(x0 − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +
(x0 − x0)(x0 − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)y2 = y0
pada saat x = x1
P (x1) =(x1 − x1)(x1 − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +
(x1 − x0)(x1 − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +
(x1 − x0)(x1 − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)y2 = y1
pada saat x = x2
P (x2) =(x2 − x1)(x2 − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +
(x2 − x0)(x2 − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +
(x2 − x0)(x2 − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)y2 = y2
6.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 97
Terbukti bahwa fungsi polonomial
P (x) =(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)y2 (6.2)
melewati ketiga titik tadi.
Kalau kita bandingkan antara persamaan (6.1) dan persamaan (6.2), terlihat bahwa derajat per-
samaan (6.2) lebih tinggi dibandingkan dengan derajat persamaan (6.1). Hal ini terlihat dari x2
pada persamaan (6.2) sementara pada persamaan (6.1) hanya ada x. persamaan (6.2) disebut
funsi polinomial berderajat 2, sedangkan persamaan (6.1) disebut fungsi polinomial berderajat
1.
6.2 Interpolasi Cubic Spline
Gambar 6.1: Fungsi f(x) dengan sejumlah titik data
Gambar 6.2: Pendekatan dengan polinomial cubic spline
98 BAB 6. INTERPOLASI
Diketahui suatu fungsi f(x) (Figure 6.1) yang dibatasi oleh interval a dan b, dan memiliki
sejumlah titik data a = x0 < x1 < ... < xn = b. Interpolasi cubic spline S(x) adalah sebuah po-
tongan fungsi polinomial kecil-kecil (Figure 6.2) berderajat tiga (cubic) yang menghubungkan
dua titik data yang bersebelahan dengan ketentuan sebagai berikut:
1. Sj(x) adalah potongan fungsi yang berada pada sub-interval dari xj hingga xj+1 untuk
nilai j = 0, 1, ..., n − 1;
2. S(xj) = f(xj), artinya pada setiap titik data (xj), nilai f(xj) bersesuaian dengan S(xj)
dimana j = 0, 1, ..., n;
3. Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1). Perhatikan titik xj+1 pada Figure 6.2. Ya.. tentu saja jika fungsi
itu kontinyu, maka titik xj+1 menjadi titik sambungan antara Sj dan Sj+1.
4. S′j+1(xj+1) = S′
j(xj+1), artinya kontinyuitas menuntut turunan pertama dari Sj dan Sj+1
pada titik xj+1 harus bersesuaian.
5. S′′j+1(xj+1) = S′′
j (xj+1), artinya kontinyuitas menuntut turunan kedua dari Sj dan Sj+1
pada titik xj+1 harus bersesuaian juga.
6. Salah satu syarat batas diantara 2 syarat batas x0 dan xn berikut ini mesti terpenuhi:
• S′′(x0) = S′′(xn) = 0 ini disebut natural boundary
• S′(x0) = f ′(x0) dan S′(xn) = f ′(xn) ini disebut clamped boundary
Polinomial cubic spline S (polinomial pangkat 3) untuk suatu fungsi f berdasarkan ketentuan
di atas adalah
Sj(x) = aj + bj(x − xj) + cj(x − xj)2 + dj(x − xj)
3 (6.3)
dimana j = 0, 1, ..., n − 1. Maka ketika x = xj
Sj(xj) = aj + bj(xj − xj) + cj(xj − xj)2 + dj(xj − xj)
3
Sj(xj) = aj = f(xj)
Itu artinya, aj selalu jadi pasangan titik data dari xj . Dengan pola ini maka pasangan titik data
xj+1 adalah aj+1, konsekuensinya S(xj+1) = aj+1. Berdasarkan ketentuan (3), yaitu ketika
x = xj+1 dimasukan ke persamaan (12.7)
aj+1 = Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)
3
dimana j = 0, 1, ..., n − 2. Sekarang, kita nyatakan hj = xj+1 − xj , sehingga
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j (6.4)
Kemudian, turunan pertama dari persamaan (12.7) adalah
S′j(x) = bj + 2cj(x − xj) + 3dj(x − xj)
2
6.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 99
ketika x = xj ,
S′j(xj) = bj + 2cj(xj − xj) + 3dj(xj − xj)
2 = bj
dan ketika x = xj+1,
bj+1 = S′j(xj+1) = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)
2
Ini dapat dinyatakan sebagai
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
dan dinyatakan dalam hj
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j (6.5)
Berikutnya, kita hitung turunan kedua dari persamaan (12.7)
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x − xj) (6.6)
tapi dengan ketentuan tambahan yaitu S′′(x)/2, sehingga persamaan ini dimodifikasi menjadi
S′′j (x) = cj + 3dj(x − xj)
dengan cara yang sama, ketika x = xj
S′′j (xj) = cj + 3dj(xj − xj) = cj
dan ketika x = xj+1
cj+1 = S′′j (xj+1) = cj + 3dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj (6.7)
dan dj bisa dinyatakan
dj =1
3hj(cj+1 − cj)
dari sini, persamaan (6.4) dapat ditulis kembali
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
= aj + bjhj + cjh2j +
h2j
3(cj+1 − cj)
= aj + bjhj +h2
j
3(2cj + cj+1) (6.8)
100 BAB 6. INTERPOLASI
sementara persamaan (6.5) menjadi
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
= bj + 2cjhj + hj(cj+1 − cj)
= bj + hj(cj + cj+1) (6.9)
Sampai sini masih bisa diikuti, bukan? Selanjutnya, kita coba mendapatkan bj dari persamaan
(6.8)
bj =1
hj(aj+1 − aj) −
hj
3(2cj + cj+1) (6.10)
dan untuk bj−1
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1) −
hj−1
3(2cj−1 + cj) (6.11)
Langkah berikutnya adalah mensubtitusikan persamaan (6.10) dan persamaan (6.11) kedalam
persamaan (6.9),
hj−1cj−1 + 2(hj−1 + hj)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1) (6.12)
dimana j = 1, 2, ..., n − 1. Dalam sistem persamaan ini, nilai hjn−1j=0 dan nilai ajn
j=0 su-
dah diketahui, sementara nilai cjnj=0 belum diketahui dan memang nilai inilah yang akan
dihitung dari persamaan ini.
Sekarang coba perhatikan ketentuan nomor (6), ketika S′′(x0) = S′′(xn) = 0, berapakah nilai c0
dan cn? Nah, kita bisa evaluasi persamaan (6.6)
S′′(x0) = 2c0 + 6d0(x0 − x0) = 0
jelas sekali c0 harus berharga nol. Demikian halnya dengan cn harganya harus nol. Jadi untuk
natural boundary, nilai c0 = cn = 0.
Persamaan (6.12) dapat dihitung dengan operasi matrik Ax = b dimana
A =
1 0 0 . . . . . . . . . 0
h0 2(h0 + h1) h1 0 . . . . . . 0
0 h1 2(h1 + h2) h2 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1
0 . . . . . . . . . 0 0 1
x =
c0
c1
...
cn
6.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 101
b =
03h1
(a2 − a1) − 3h0
(a1 − a0)...
3hn−1
(an − an−1) − 3hn−2
(an−1 − an−2)
0
Sekarang kita beralih ke clamped boundary dimana S′(a) = f ′(a) dan S′(b) = f ′(b). Nah, kita
bisa evaluasi persamaan (6.10) dengan j = 0, dimana f ′(a) = S′(a) = S′(x0) = b0, sehingga
f ′(a) =1
h0(a1 − a0) −
h0
3(2c0 + c1)
konsekuensinya,
2h0c0 + h0c1 =3
h0(a1 − a0) − 3f ′(a) (6.13)
Sementara pada xn = bn dengan persamaan (6.9)
f ′(b) = bn = bn−1 + hn−1(cn−1 + cn)
sedangkan bn−1 bisa didapat dari persamaan (6.11) dengan j = n − 1
bn−1 =1
hn−1(an − an−1) −
hn−1
3(2cn−1j + cn)
Jadi
f ′(b) =1
hn−1(an − an−1) −
hn−1
3(2cn−1j + cn) + hn−1(cn−1 + cn)
=1
hn−1(an − an−1 +
hn−1
3(cn−1j + 2cn)
dan akhirnya kita peroleh
hn−1cn−1 + 2hn−1Cn = 3f ′(b) − 3
hn−1(an − an−1) (6.14)
Persamaan (6.13) dan persamaan (6.14) ditambah persamaan (6.12 membentuk operasi matrik
Ax = b dimana
A =
2h0 h0 0 . . . . . . . . . 0
h0 2(h0 + h1) h1 0 . . . . . . 0
0 h1 2(h1 + h2) h2 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1
0 . . . . . . . . . 0 hn−1 2hn−1
102 BAB 6. INTERPOLASI
Gambar 6.3: Profil suatu object
x =
c0
c1
...
cn
b =
3h0
(a1 − a0) − 3f ′(a)3h1
(a2 − a1) − 3h0
(a1 − a0)...
3hn−1
(an − an−1) − 3hn−2
(an−1 − an−2)
3f ′(b) − 3hn−1
(an − an−1)
6.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 103
Gambar 6.4: Sampling titik data
Gambar 6.5: Hasil interpolasi cubic spline
j xj aj bj cj dj
0 0,9 1,3 5,4 0,00 -0,251 1,3 1,5 0,42 -0,30 0,952 1,9 1,85 1,09 1,41 -2,963 2,1 2,1 1,29 -0,37 -0,454 2,6 2,6 0,59 -1,04 0,455 3,0 2,7 -0,02 -0,50 0,176 3,9 2,4 -0,5 -0,03 0,087 4,4 2,15 -0,48 0,08 1,318 4,7 2,05 -0,07 1,27 -1,589 5,0 2,1 0,26 -0,16 0,0410 6,0 2,25 0,08 -0,03 0,0011 7,0 2,3 0,01 -0,04 -0,0212 8,0 2,25 -0,14 -0,11 0,0213 9,2 1,95 -0,34 -0,05 -0,0114 10,5 1,4 -0,53 -0,1 -0,0215 11,3 0,9 -0,73 -0,15 1,2116 11,6 0,7 -0,49 0,94 -0,8417 12,0 0,6 -0,14 -0,06 0,0418 12,6 0,5 -0,18 0 -0,4519 13,0 0,4 -0,39 -0,54 0,6020 13,3 0,25
Gambar 6.6: Hasil interpolasi lagrange
Bab 7
Diferensial Numerik
Objektif :
⊲ Mengenalkan metode Euler.
⊲ Mengenalkan metode Runge Kutta orde 4.
⊲ Mengenalkan metode Finite Difference.
7.1 Metode Euler
Suatu persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut:
dy
dt= f(t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α (7.1)
Pada kenyataannya, melalui pendekatan numerik, kita tidak akan memperoleh solusi fungsi
yang kontinyu; yang mungkin kita dapat adalah solusi diskrit dalam bentuk mesh points di
dalam interval [a,b]. Setelah diperoleh solusi numerik pada suatu point, maka point-point
yang lainpun bisa dicari dengan cara interpolasi.
Tahap awal solusi pendekatan numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak
yang sama di dalam interval [a,b], yaitu dengan menerapkan
ti = a + ih, i = 0, 1, 2, ..., N (7.2)
Jarak antar point dirumuskan sebagai
h =b − a
N(7.3)
ini disebut step size.
Metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Misalnya, fungsi y(t) adalah fungsi yang kontinyu
105
106 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
Gambar 7.1: Metode Euler
dan memiliki turunan dalam interval [a,b]. Maka dalam deret Taylor
y(ti+1) = y(ti) + (ti+1 − ti)y′(ti) +
(ti+1 − ti)2
2y′′(ξi) (7.4)
Karena h = (ti+1 − ti), maka
y(ti+1) = y(ti) + hy′(ti) +h2
2y′′(ξi) (7.5)
dan, karena y(t) memenuhi persamaan diferensial (7.1),
y(ti+1) = y(ti) + hf(ti, y(ti)) +h2
2y′′(ξi) (7.6)
Metode Euler dibangun dengan pendekatan wi ≈ y(ti) untuk i = 1, 2, 3, ..., N , dengan mengabaikan
suku terakhir yang terdapat pada persamaan (7.6). Jadi metode Euler dinyatakan sebagai
w0 = α (7.7)
wi+1 = wi + hf(ti, wi) (7.8)
dimana i = 0, 1, 2, .., N − 1
Contoh
Diketahui persamaan diferensial
y′ = y − t2 + 1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0, 5
dimana N = 10. Sehingga
h =b − a
N=
2 − 0
10= 0, 2
7.1. METODE EULER 107
dan
ti = a + ih = 0 + i(0, 2) → ti = 0, 2i
serta
w0 = 0, 5
Dengan demikian persamaan euler dapat dinyatakan sebagai
wi+1 = wi + h(wi − t2i + 1)
= wi + 0, 2(wi − 0, 04i2 + 1)
= 1, 2wi − 0, 008i2 + 0, 2
dimana i = 0, 1, ..., 9.
Pada saat i = 0 dan dari syarat awal diketahui w0 = 0, 5
w1 = 1, 2w0 − 0, 008(0)2 + 0, 2 = 0, 8000000
Pada saat i = 1
w2 = 1, 2w1 − 0, 008(1)2 + 0, 2 = 1, 1520000
Pada saat i = 2
w3 = 1, 2w2 − 0, 008(2)2 + 0, 2 = 1, 5504000
Demikian seterusnya, hingga pada i = 9
w10 = 1, 2w9 − 0, 008(9)2 + 0, 2 = 4, 8657845
Disisi lain, solusi exact persamaan diferensial adalah
y(t) = (t + 1)2 − 0, 5et
Tabel dibawah ini memperlihatkan solusi metode euler dan solusi exact serta error atau selisih
antara keduanya. Trend error menunjukan bahwa ketika i semakin besar, error juga semakin
meningkat. Figure (9.3) memperlihatkan kurva peningkatan error ketika i semakin besar.
Untuk mengatasi hal ini, salah satu pemecahannya adalah dengan menerapkan deret Taylor
berorde lebih tinggi, atau cara lainnya adalah dengan menggunakan metode Runge-Kutta yang
akan dijelaskan pada pertemuan berikutnya.
108 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
ti wi yi = y(ti) |wi − yi|0,0 0,5000000 0,5000000 0,00000000,2 0,8000000 0,8292986 0,02929860,4 1,1520000 1,2140877 0,06208770,6 1,5504000 1,6489406 0,09854060,8 1,9884800 2,1272295 0,13874951,0 2,4581760 2,6408591 0,18268311,2 2,9498112 3,1799415 0,23013031,4 3,4517734 3,7324000 0,28062661,6 3,9501281 4,2834838 0,33335571,8 4,4281538 4,8151763 0,38702252,0 4,8657845 5,3054720 0,4396874
Gambar 7.2: Trend error metode euler
7.2 Metode Runge Kutta
Pada saat membahas metode Euler untuk penyelesaian persamaan diferensial, kita telah sam-
pai pada kesimpulan bahwa truncation error metode Euler terus membesar seiring dengan
bertambahnya iterasi. Dikaitkan dengan hal tersebut, metode Runge-Kutta Orde Empat menawarkan
penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan truncation error yang jauh lebih ke-
cil.
7.2. METODE RUNGE KUTTA 109
Persamaan-persamaan yang menyusun metode Runge-Kutta Orde Empat adalah
w0 = α
k1 = hf(ti, wi) (7.9)
k2 = hf(ti +h
2, wi +
1
2k1) (7.10)
k3 = hf(ti +h
2, wi +
1
2k2) (7.11)
k4 = hf(ti+1, wi + k3) (7.12)
wi+1 = wi +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (7.13)
Contoh
Diketahui persamaan diferensial
y′ = y − t2 + 1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0, 5
dengan mengganti y menjadi w, kita bisa nyatakan f(ti, wi) sebagai
f(ti, wi) = wi − t2i + 1
Jika N = 10, maka
h =b − a
N=
2 − 0
10= 0, 2
dan
ti = a + ih = 0 + i(0, 2) → ti = 0, 2i
serta
w0 = 0, 5
Sekarang mari kita demonstrasikan metode Runge-Kutta Orde Empat ini. Untuk menghitung
w1, tahap-tahap perhitungannya dimulai dari menghitung k1
k1 = hf(t0, w0)
= h(w0 − t20 + 1)
= 0, 2((0, 5) − (0, 0)2 + 1)
= 0, 3
lalu menghitung k2
k2 = hf(t0 +h
2, w0 +
k1
2)
= h[(w0 +k1
2) − (t0 +
h
2)2 + 1)]
= 0, 2[(0, 5 +0, 3
2) − (0, 0 +
0, 2
2)2 + 1)]
= 0, 328
110 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
dilanjutkan dengan k3
k3 = hf(t0 +h
2, w0 +
k2
2)
= h[(w0 +k2
2) − (t0 +
h
2)2 + 1)]
= 0, 2[(0, 5 +0, 328
2) − (0, 0 +
0, 2
2)2 + 1)]
= 0, 3308
kemudian k4
k4 = hf(t1, w0 + k3)
= h[(w0 + k3) − t21 + 1]
= 0, 2[(0, 5 + 0, 3308) − (0, 2)2 + 1]
= 0, 35816
akhirnya diperoleh w1
w1 = w0 +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
= 0, 5 +1
6(0, 3 + 2(0, 328) + 2(0, 3308) + 0, 35816)
= 0, 5 +1
6(0, 3 + 0, 656 + 0, 6616 + 0, 35816)
= 0, 8292933
Dengan cara yang sama, w2, w3, w4 dan seterusnya dapat dihitung. Tabel berikut menunjukkan
hasil perhitungannya.
i ti wi yi = y(ti) |wi − yi|0 0,0 0,5000000 0,5000000 0,00000001 0,2 0,8292933 0,8292986 0,00000532 0,4 1,2140762 1,2140877 0,00001143 0,6 1,6489220 1,6489406 0,00001864 0,8 2,1272027 2,1272295 0,00002695 1,0 2,6408227 2,6408591 0,00003646 1,2 3,1799942 3,1799415 0,00004747 1,4 3,7323401 3,7324000 0,00005998 1,6 4,2834095 4,2834838 0,00007439 1,8 4,8150857 4,8151763 0,000090610 2,0 5,3054720 5,3053630 0,0001089
Dibandingkan dengan metode Euler, tingkat pertumbuhan truncation error, pada kolom |wi −yi|, jauh lebih rendah sehingga metode Runge-Kutta Orde Empat lebih disukai untuk mem-
bantu menyelesaikan persamaan-diferensial-biasa.
7.2. METODE RUNGE KUTTA 111
Gambar 7.3: Rangkaian RC
Contoh tadi tampaknya dapat memberikan gambaran yang jelas bahwa metode Runge-Kutta
Orde Empat dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan tingkat akurasi yang
lebih tinggi. Namun, kalau anda jeli, ada suatu pertanyaan cukup serius yaitu apakah metode
ini dapat digunakan bila pada persamaan diferensialnya tidak ada variabel t ? Misalnya pada
kasus berikut ini
Sebuah kapasitor yang tidak bermuatan dihubungkan secara seri dengan sebuah resistor dan
baterry (Figure 7.3). Diketahui ǫ = 12 volt, C = 5,00 µF dan R = 8,00 ×105Ω. Saat saklar di-
hubungkan (t=0), muatan belum ada (q=0).
dq
dt=
ǫ
R− q
RC(7.14)
Solusi exact persamaan (7.14) adalah
qexact = q(t) = Cǫ(
1 − e−t/RC)
(7.15)
Anda bisa lihat semua suku di ruas kanan persamaan (7.14) tidak mengandung variabel t.
Padahal persamaan-persamaan penyusun metode Runge-Kutta selalu mencantumkan variabel
t. Apakah persamaan (7.14) tidak bisa diselesaikan dengan metode Runge-Kutta? Belum tentu.
Sekarang, kita coba selesaikan, pertama kita nyatakan
m1 =ǫ
R= 1, 5 × 10−5
m2 =1
RC= 0, 25
sehingga persamaan (7.14) dimodifikasi menjadi
dq
dt= f(qi) = m1 − qim2
ti = a + ih
Jika t0 = 0, maka a = 0, dan pada saat itu (secara fisis) diketahui q0 = 0, 0. Lalu jika ditetapkan
112 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
h = 0, 1 maka t1 = 0, 1 dan kita bisa mulai menghitung k1 dengan menggunakan q0 = 0, 0,
walaupun t1 tidak dilibatkan dalam perhitungan ini
k1 = hf(q0)
= h(m1 − q0m2)
= 0, 1((1, 5 × 10−5) − (0, 0)(0, 25))
= 0, 150 × 10−5
lalu menghitung k2
k2 = hf(q0 +k1
2)
= h[(m1 − (q0 +k1
2)m2)]
= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 0) +0, 15 × 10−5
2)(0, 25)]
= 0, 14813 × 10−5
dilanjutkan dengan k3
k3 = hf(q0 +k2
2)
= h[(m1 − (q0 +k2
2)m2)]
= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 0) +0, 14813 × 10−5
2)(0, 25)]
= 0, 14815 × 10−5
kemudian k4
k4 = hf(q0 + k3)
= h[(m1 − (q0 + k3)m2)]
= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 0) + 0, 14815 × 10−5)(0, 25)]
= 0, 14630 × 10−5
akhirnya diperoleh q1
q1 = q0 +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
= 0, 0 +1
6(0, 150 + 2(0, 14813) + 2(0, 14815) + 0, 14630) × 10−5
= 0, 14814 × 10−5
Selanjutnya q2 dihitung. Tentu saja pada saat t2, dimana t2 = 0, 2, namun sekali lagi, t2 tidak
7.2. METODE RUNGE KUTTA 113
terlibat dalam perhitungan ini. Dimulai menghitung k1 kembali
k1 = hf(q1)
= h(m1 − q1m2)
= 0, 1((1, 5 × 10−5) − (0, 14814 × 10−5)(0, 25))
= 0, 14630 × 10−5
lalu menghitung k2
k2 = hf(q1 +k1
2)
= h[(m1 − (q1 +k1
2)m2)]
= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 14814 × 10−5) +0, 14630 × 10−5
2)(0, 25)]
= 0, 14447 × 10−5
dilanjutkan dengan k3
k3 = hf(q1 +k2
2)
= h[(m1 − (q1 +k2
2)m2)]
= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 14814 × 10−5) +0, 14447 × 10−5
2)(0, 25)]
= 0, 14449 × 10−5
kemudian k4
k4 = hf(q1 + k3)
= h[(m1 − (q1 + k3)m2)]
= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 14814 × 10−5) + 0, 14449 × 10−5)(0, 25)]
= 0, 14268 × 10−5
akhirnya diperoleh q2
q2 = q1 +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
= 0, 14814 × 10−5 +1
6(0, 14630 + 2(0, 14447) + 2(0, 14449) + 0, 14268) × 10−5
= 0, 29262 × 10−5
Dengan cara yang sama, q3, q4, q5 dan seterusnya dapat dihitung. Tabel di atas menunjukkan
hasil perhitungannya. Kolom qexact diperoleh dari persamaan (7.15).
Luar biasa!! Tak ada error sama sekali. Mungkin, kalau kita buat 7 angka dibelakang koma,
errornya akan terlihat. Tapi kalau anda cukup puas dengan 5 angka dibelakang koma, hasil ini
114 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
i ti qi qexact = q(ti) |qi − qexact|0 0,0 0,00000×10−5 0,00000×10−5 0,000001 0,1 0,14814×10−5 0,14814×10−5 0,000002 0,2 0,29262×10−5 0,29262×10−5 0,000003 0,3 0,43354×10−5 0,43354×10−5 0,000004 0,4 0,57098×10−5 0,57098×10−5 0,000005 0,5 0,70502×10−5 0,70502×10−5 0,000006 0,6 0,83575×10−5 0,83575×10−5 0,000007 0,7 0,96326×10−5 0,96326×10−5 0,000008 0,8 1,0876×10−5 1,0876×10−5 0,000009 0,9 1,2089×10−5 1,2089×10−5 0,0000010 1,0 1,3272×10−5 1,3272×10−5 0,00000
sangat memuaskan. Figure 7.4 memperlihatkan kurva penumpukan muatan q terhadap waktu
t.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6x 10
−5
Gambar 7.4: Kurva muatan q terhadap waktu t
Berikut ini adalah script dalam matlab yang dipakai untuk menghitung q
1 clear all
2 clc
3 E=12;
4 R=800000;
5 C=5e-6;
6 m1=E/R;
7 m2=1/(R*C);
8 b=20.0;
9 a=0.0;
7.3. METODE FINITE DIFFERENCE 115
10 h=0.1;
11 n=(b-a)/h;
12 q0=0.0;
13 t0=0.0;
14 for i=1:n
15 t(i)=a+i*h;
16 end
17 for i=1:n
18 if i==1
19 k1=h*(m1-(m2*q0));
20 k2=h*(m1-(m2*(q0+(k1/2))));
21 k3=h*(m1-(m2*(q0+(k2/2))));
22 k4=h*(m1-(m2*(q0+k3)));
23 q(i)=q0+(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4)/6;
24 else
25 k1=h*(m1-(m2*q(i-1)));
26 k2=h*(m1-(m2*(q(i-1)+(k1/2))));
27 k3=h*(m1-(m2*(q(i-1)+(k2/2))));
28 k4=h*(m1-(m2*(q(i-1)+k3)));
29 q(i)=q(i-1)+(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4)/6;
30 end
31 end
32 q
Sampai disini mudah-mudahan jelas dan bisa dimengerti. Silakan anda coba untuk kasus yang
lain, misalnya proses pembuangan (discharging) q pada rangkaian yang sama, atau bisa juga
anda berlatih dengan rangkaian RL dan RLC. Saya akhiri dulu uraian saya sampai disini.
7.3 Metode Finite Difference
Suatu persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut:
d2y
dx2(x) = p(x)
dy
dx(x) + q(x)y(x) + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β (7.16)
atau juga dapat dituliskan dalam bentuk lain
y′′ = p(x)y′ + q(x)y + r(x) (7.17)
Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pendekatan numerik terhadap y′′
dan y′. Caranya adalah pertama, kita memilih angka integer sembarang yaitu N dimana N > 0
dan membagi interval [a, b] dengan (N + 1), hasilnya dinamakan h (lihat Gambar 7.5)
h =b − a
N + 1(7.18)
Dengan demikian maka titik-titik x yang merupakan sub-interval antara a dan b dapat diny-
atakan sebagai
xi = a + ih, i = 0, 1, ..., N + 1 (7.19)
Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan me-
manfaatkan polinomial Taylor untuk mengevaluasi y′′ dan y′ pada xi+1 dan xi−1 seperti berikut
116 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
Gambar 7.5: Kurva suatu fungsi f(x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yangdilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah X0 = a hingga batas atas x6 = b
ini
y(xi+1) = y(xi + h) = y(xi) + hy′(xi) +h2
2y′′(xi) (7.20)
dan
y(xi−1) = y(xi − h) = y(xi) − hy′(xi) +h2
2y′′(xi) (7.21)
Jika kedua persamaan ini dijumlahkan
y(xi+1) + y(xi−1) = 2y(xi) + h2y′′(xi)
Dari sini y′′ dapat ditentukan
h2y′′(xi) = y(xi+1) − 2y(xi) + y(xi−1)
y′′(xi) =y(xi+1) − 2y(xi) + y(xi−1)
h2(7.22)
Dengan cara yang sama, y′(xi) dapat dicari sebagai berikut
y′(xi) =y(xi+1) − y(xi−1)
2h(7.23)
Selanjutnya persamaan (7.22) dan (7.23) disubstitusikan ke persamaan (7.17) maka
y(xi+1) − 2y(xi) + y(xi−1)
h2= p(xi)
y(xi+1) − y(xi−1)
2h+ q(xi)y(xi) + r(xi)
−y(xi+1) + 2y(xi) − y(xi−1)
h2= −p(xi)
y(xi+1) − y(xi−1)
2h− q(xi)y(xi) − r(xi)
−y(xi+1) + 2y(xi) − y(xi−1)
h2+ p(xi)
y(xi+1) − y(xi−1)
2h+ q(xi)y(xi) = −r(xi)
7.3. METODE FINITE DIFFERENCE 117
Sebelum dilanjut, saya nyatakan bahwa y(xi+1)=wi+1 dan y(xi)=wi serta y(xi−1)=wi−1. Maka
persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
(−wi+1 + 2wi − wi−1
h2
)
+ p(xi)
(
wi+1 − wi−1
2h
)
+ q(xi)wi = −r(xi)
(−wi+1 + 2wi − wi−1) +h
2p(xi) (wi+1 − wi−1) + h2q(xi)wi = −h2r(xi)
−wi+1 + 2wi − wi−1 +h
2p(xi)wi+1 −
h
2p(xi)wi−1 + h2q(xi)wi = −h2r(xi)
−wi−1 −h
2p(xi)wi−1 + 2wi + h2q(xi)wi − wi+1 +
h
2p(xi)wi+1 = −h2r(xi)
−(
1 +h
2p(xi)
)
wi−1 +(
2 + h2q(xi))
wi −(
(1 − h
2p(xi)
)
wi+1 = −h2r(xi) (7.24)
dimana i=1,2,3...sampai N, karena yang ingin kita cari adalah w1, w2, w3,..., wN . Sementara,
satu hal yang tak boleh dilupakan yaitu w0 dan wN+1 biasanya selalu sudah diketahui. Pada
persamaan (7.16), jelas-jelas sudah diketahui bahwa w0=α dan wN+1=β; keduanya dikenal se-
bagai syarat batas atau istilah asingnya adalah boundary value. Topik yang sedang bahas ini
juga sering disebut sebagai Masalah Syarat Batas atau Boundary Value Problem.
Sampai disini kita mendapatkan sistem persamaan linear yang selanjutnya dapat dinyatakan
sebagai bentuk operasi matrik
Aw = b (7.25)
dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N × N
A =
2 + h2q(x1) −1 + h2p(x1) 0 . . . . . . . . . 0
−1 − h2p(x2) 2 + h2q(x2) −1 + h
2p(x2) 0 . . . . . . 0
0 −1 − h2p(x3) 2 + h2q(x3) −1 + h
2p(x3) 0 . . . 0
0 0 −1 − h2p(x4) 2 + h2q(x4) −1 + h
2p(x4) 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . −1 − h2p(xN−1) 2 + h2q(xN−1) −1 + h
2p(xN−1)
0 . . . . . . . . . . . . −1 − h2p(xN ) 2 + h2q(xN )
w =
w1
w2
w3
w4
...
wN−1
wN
b =
−h2r(x1) +(
1 + h2p(x1)
)
w0
−h2r(x2)
−h2r(x3)
−h2r(x4)...
−h2r(xN−1)
−h2r(xN ) +(
1 − h2p(xN )
)
wN+1
7.3.1 Script Finite-Difference
1 clear all
2 clc
3
4 a=1.0; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki
118 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
5 b=2.0; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki
6 n=9; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki
7 h=(b-a)/(n+1);
8 alpha=1; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki
9 beta=2; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki
10
11 %====== Mencari Elemen Matrik A ========
12 for i=1:n
13 x=a+i*h;
14 A(i,i)=2+h^2*fungsiQ(x);
15 end
16 for i=1:n-1
17 x=a+i*h;
18 A(i,i+1)=-1+((h/2)*fungsiP(x));
19 end
20 for i=2:n
21 x=a+i*h;
22 A(i,i-1)=-1-((h/2)*fungsiP(x));
23 end
24 A
25 %====== Mencari Elemen Vektor b ========
26 x=a+h;
27 b(1,1)=-h^2*fungsiR(x)+(1+((h/2)*fungsiP(x)))*alpha;
28 for i=2:8
29 x=a+i*h;
30 b(i,1)=-h^2*fungsiR(x);
31 end
32 xn=a+n*h
33 b(n,1)=-h^2*fungsiR(xn)+(1-((h/2)*fungsiP(xn)))*beta;
34 b
Pada akhirnya, elemen-elemen matrik A dan vektor b sudah diketahui. Sehingga vektor w
dapat dihitung dengan berbagai metode pemecahan sistem persamaan linear, seperti Eliminasi
Gauss, Gauss-Jourdan, Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss-Seidel.
Contoh
Diketahui persamaan diferensial seperti berikut ini
y′′ = −2
xy′ +
2
x2y +
sin(lnx)
x2, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 1, y(2) = 2
memiliki solusi exact
y = c1x +c2
x2− 3
10sin(lnx) − 1
10cos(lnx),
dimana
c2 =1
70[8 − 12 sin(ln 2) − 4 cos(ln 2)] ≈ −0, 03920701320
7.3. METODE FINITE DIFFERENCE 119
dan
c1 =11
10− c2 ≈ 1, 1392070132.
Dengan metode Finite-Difference, solusi pendekatan dapat diperoleh dengan membagi inter-
val 1 ≤ x ≤ 2 menjadi sub-interval, misalnya kita gunakan N = 9, sehingga spasi h diperoleh
h =b − a
N + 1=
2 − 1
9 + 1= 0, 1
Dari persamaan diferensial tersebut juga didapat
p(xi) = − 2
xi
q(xi) =2
x2i
r(xi) =sin(lnxi)
x2i
Script matlab telah dibuat untuk menyelesaikan contoh soal ini. Untuk memecahkan persoalan
ini, saya membuat 4 buah script, terdiri dari script utama, script fungsiP, script fungsiQ dan
script fungsiR. Berikut ini adalah script fungsiP yang disimpan dengan nama file fungsiP.m:
1 function y = fungsiP(x)
2 y = -2/x;
lalu inilah script fungsiQ yang disimpan dengan nama file fungsiQ.m:
1 function y = fungsiQ(x)
2 y = 2/x^2;
kemudian ini script fungsiR yang disimpan dengan nama file fungsiR.m::
1 function y = fungsiR(x)
2 y = sin(log(x))/x^2;
dan terakhir, inilah script utamanya:
1 clear all
2 clc
3
4 a=1.0;
5 b=2.0;
6
7 alpha=1;
8 beta=2;
9
10 %=======jika diketahui n, maka h dihitung ====
120 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
11 n=9;
12 h=(b-a)/(n+1);
13
14 %=======jika diketahui h, maka n dihitung ====
15 %h=0.1;
16 %n=((b-a)/h)-1;
17
18 %====== Mencari Elemen Matrik A ========
19 for i=1:n
20 x=a+i*h;
21 A(i,i)=2+h^2*fungsiQ(x);
22 end
23 for i=1:n-1
24 x=a+i*h;
25 A(i,i+1)=-1+((h/2)*fungsiP(x));
26 end
27 for i=2:n
28 x=a+i*h;
29 A(i,i-1)=-1-((h/2)*fungsiP(x));
30 end
31 A
32 %====== Mencari Elemen Vektor b ========
33 x=a+h;
34 b(1,1)=-h^2*fungsiR(x)+(1+((h/2)*fungsiP(x)))*alpha;
35 for i=2:8
36 x=a+i*h;
37 b(i,1)=-h^2*fungsiR(x);
38 end
39 xn=a+n*h
40 b(n,1)=-h^2*fungsiR(xn)+(1-((h/2)*fungsiP(xn)))*beta;
41 b
42 %====== Menggabungkan Vektor b kedalam matrik A ========
43 for i=1:n
44 A(i,n+1)=b(i,1);
45 end
46 A
47
48 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
49 %---------Proses Triangularisasi-----------
50 for j=1:(n-1)
51
52 %----mulai proses pivot---
53 if (A(j,j)==0)
54 for p=1:n+1
55 u=A(j,p);
56 v=A(j+1,p);
57 A(j+1,p)=u;
7.3. METODE FINITE DIFFERENCE 121
58 A(j,p)=v;
59 end
60 end
61 %----akhir proses pivot---
62 jj=j+1;
63 for i=jj:n
64 m=A(i,j)/A(j,j);
65 for k=1:(n+1)
66 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));
67 end
68 end
69 end
70 %-------------------------------------------
71
72 %------Proses Substitusi mundur-------------
73 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);
74
75 for i=n-1:-1:1
76 S=0;
77 for j=n:-1:i+1
78 S=S+A(i,j)*x(j,1);
79 end
80 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);
81 end
82 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
83
84 %===== Menampilkan Vektor w =================
85 w=x
Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan dengan pendekatan metode Finite-Difference
wi dan hasil perhitungan dari solusi exact y(xi), dilengkapi dengan selisih antara keduanya
|wi − y(xi)|. Tabel ini memperlihatkan tingkat kesalahan (error) berada pada orde 10−5. Un-
xi wi y(xi) |wi − y(xi)|1,0 1,00000000 1,000000001,1 1,09260052 1,09262930 2,88 × 10−5
1,2 1,18704313 1,18708484 4,17 × 10−5
1,3 1,28333687 1,28338236 4,55 × 10−5
1,4 1,38140205 1,38144595 4,39 × 10−5
1,5 1,48112026 1,48115942 3,92 × 10−5
1,6 1,58235990 1,58239246 3,26 × 10−5
1,7 1,68498902 1,68501396 2,49 × 10−5
1,8 1,78888175 1,78889853 1,68 × 10−5
1,9 1,89392110 1,89392951 8,41 × 10−6
2,0 2,00000000 2,00000000
tuk memperkecil orde kesalahan, kita bisa menggunakan polinomial Taylor berorde tinggi.
Akan tetapi proses kalkulasi menjadi semakin banyak dan disisi lain penentuan syarat batas
122 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
lebih kompleks dibandingkan dengan pemanfaatan polinomial Taylor yang sekarang. Untuk
menghindari hal-hal yang rumit itu, salah satu jalan pintas yang cukup efektif adalah dengan
menerapkan ekstrapolasi Richardson.
Contoh
Pemanfaatan ekstrapolasi Richardson pada metode Finite Difference untuk persamaan difer-
ensial seperti berikut ini
y′′ = −2
xy′ +
2
x2y +
sin(lnx)
x2, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 1, y(2) = 2,
dengan h = 0, 1, h = 0, 05, h = 0, 025. Ekstrapolasi Richardson terdiri atas 3 tahapan, yaitu
ekstrapolasi yang pertama
Ext1i =4wi(h = 0, 05) − wi(h = 0, 1)
3
kemudian ekstrapolasi yang kedua
Ext2i =4wi(h = 0, 025) − wi(h = 0, 05)
3
dan terakhir ekstrapolasi yang ketiga
Ext3i =16Ext2i − Ext1i
15
Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan tahapan-tahapan ekstrapolasi tersebut. Ji-
ka seluruh angka di belakang koma diikut-sertakan, maka akan terlihat selisih antara solusi
exact dengan solusi pendekatan sebesar 6, 3 × 10−11. Ini benar-benar improvisasi yang luar
biasa.
xi wi(h = 0, 1) wi(h = 0, 05) wi(h = 0, 025) Ext1i Ext2i Ext3i
1,0 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,000000001,1 1,09260052 1,09262207 1,09262749 1,09262925 1,09262930 1,092629301,2 1,18704313 1,18707436 1,18708222 1,18708477 1,18708484 1,187084841,3 1,28333687 1,28337094 1,28337950 1,28338230 1,28338236 1,283382361,4 1,38140205 1,38143493 1,38144319 1,38144598 1,38144595 1,381445951,5 1,48112026 1,48114959 1,48115696 1,48115937 1,48115941 1,481159421,6 1,58235990 1,58238429 1,58239042 1,58239242 1,58239246 1,582392461,7 1,68498902 1,68500770 1,68501240 1,68501393 1,68501396 1,685013961,8 1,78888175 1,78889432 1,78889748 1,78889852 1,78889853 1,788898531,9 1,89392110 1,89392740 1,89392898 1,89392950 1,89392951 1,893929512,0 2,00000000 2,00000000 2,00000000 2,00000000 2,00000000 2,00000000
7.3.2 Aplikasi
Besar simpangan terhadap waktu (y(t)) suatu sistem osilator mekanik yang padanya diberikan
gaya secara periodik (forced-oscilations) memenuhi persamaan diferensial seperti dibawah ini
7.3. METODE FINITE DIFFERENCE 123
berikut syarat-syarat batasnya
d2y
dt2=
dy
dt+ 2y + cos(t), 0 ≤ t ≤ π
2, y(0) = −0, 3, y(
π
2) = −0, 1
Dengan metode Finite-Difference, tentukanlah besar masing-masing simpangan di setiap inter-
val h = π/8. Buatlah table untuk membandingkan hasil finite-difference dengan solusi analitik
yang memenuhi y(t) = − 110 [sin(t) + 3cos(t)].
jawab:
Secara umum, persamaan diferensial dapat dinyatakan sbb:
d2y
dx2(x) = p(x)
dy
dx(x) + q(x)y(x) + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Dengan membandingkan kedua persamaan di atas, kita bisa definisikan
p(t) = 1 q(t) = 2 r(t) = cos(t) a = 0 b =π
2α = −0, 3 β = −0, 1
Adapun persamaan finite-difference adalah
−(
1 +h
2p(xi)
)
wi−1 +(
2 + h2q(xi))
wi −(
(1 − h
2p(xi)
)
wi+1 = −h2r(xi)
Persamaan diatas dikonversi kedalam operasi matriks
Aw = b (7.26)
dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N × N
A =
2 + h2q(x1) −1 + h2p(x1) 0 . . . . . . . . . 0
−1 − h2p(x2) 2 + h2q(x2) −1 + h
2p(x2) 0 . . . . . . 0
0 −1 − h2p(x3) 2 + h2q(x3) −1 + h
2p(x3) 0 . . . 0
0 0 −1 − h2p(x4) 2 + h2q(x4) −1 + h
2p(x4) 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . −1 − h2p(xN−1) 2 + h2q(xN−1) −1 + h
2p(xN−1)
0 . . . . . . . . . . . . −1 − h2p(xN ) 2 + h2q(xN )
w =
w1
w2
w3
w4
...
wN−1
wN
b =
−h2r(x1) +(
1 + h2p(x1)
)
w0
−h2r(x2)
−h2r(x3)
−h2r(x4)...
−h2r(xN−1)
−h2r(xN ) +(
1 − h2p(xN )
)
wN+1
Jumlah baris matrik ditentukan oleh bilangan n. Namun disoal hanya tersedia informasi nilai
124 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK
h = π/8, sehingga n harus dihitung terlebih dahulu:
h =b − a
n + 1n =
b − a
h− 1 =
π2 − 0
π/8− 1 = 3
perhitungan ini dilakukan didalam script matlab. Selanjutnya seluruh elemen matrik A dan
vektor b dihitung dengan matlab
2, 3084 −0, 8037 0
−1, 1963 2, 3084 −0, 8037
0 −1, 1963 2, 3084
w1
w2
w3
=
−0, 5014
−0, 1090
−0, 1394
Proses diteruskan dengan metode Eliminasi Gauss dan didapat hasil akhir berikut ini
w1 = −0.3157 w2 = −0.2829 w3 = −0.2070
Bab 8
Pers. Diferensial Parsial Numerik
Objektif :
⊲ Mengenalkan Persamaan Diferensial Parsial Eliptik
⊲ Mengenalkan Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik
⊲ Mengenalkan Persamaan Diferensial Parsial Parabolik
8.1 Pendahuluan
Dalam bab ini, penulisan ’persamaan diferensial parsial’ akan dipersingkat menjadi PDP. PDP
dapat dibagi menjadi 3 jenis, yaitu persamaan diferensial eliptik, parabolik dan hiperbolik.
PDP eliptik dinyatakan sebagai berikut
∂2u
∂x2(x, y) +
∂2u
∂y2(x, y) = f(x, y) (8.1)
Di bidang fisika, persamaan (8.1) disebut juga dengan Persamaan Poisson. Jika f(x, y)=0, ma-
ka diperoleh persamaan yang lebih sederhana
∂2u
∂x2(x, y) +
∂2u
∂y2(x, y) = 0 (8.2)
yang dikenal sebagai Persamaan Laplace. Contoh masalah PDP eliptik di bidang fisika adalah
problem distribusi panas pada kondisi steady-state di dalam obyek 2-dimensi dan 3-dimensi.
Adapun, PDP parabolik dinyatakan sebagai berikut
∂u
∂t(x, t) − α2 ∂2u
∂x2(x, t) = 0 (8.3)
Fenomena fisis yang bisa dijelaskan oleh persamaan ini adalah masalah aliran panas dalam
suatu obyek. Sedangkan PDP hiperbolik dinyatakan sebagai berikut
α2 ∂2u
∂2x(x, t) =
∂2u
∂t2(x, t) (8.4)
125
126 BAB 8. PERS. DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK
, biasa digunakan untuk menjelaskan fenomena gelombang.
Sekarang, mari kita bahas lebih dalam satu-persatu, difokuskan pada bagaimana cara mengkon-
versi semua PDP menjadi PDP versi Finite-Difference, (FD).
8.2 PDP eliptik
Kita mulai dari persamaan aslinya
∂2u
∂x2(x, y) +
∂2u
∂y2(x, y) = f(x, y) (8.5)
dimana R = [(x, y)|a < x < b, c < y < d]. Maksudnya, variasi titik-titik x dibatasi antara a dan
b. Demikian pula dengan variasi titik-titik y, dibatasi antara c dan d. Jika h adalah jarak antar
titik yang bersebelahan pada titik-titik dalam rentang a dan b, maka titik-titik variasi di antara
a dan b dapat diketahui melalui rumus ini
xi = a + ih, dimana i = 1, 2, . . . , n (8.6)
dimana a adalah titik awal pada sumbu horisontal x. Demikian pula pada sumbu y. Jika k
adalah jarak antar titik yang bersebelahan pada titik-titik dalam rentang c dan d, maka titik-
titik variasi di antara c dan d dapat diketahui melalui rumus ini
yj = c + jk, dimana j = 1, 2, . . . , m (8.7)
dimana c adalah titik awal pada sumbu vertikal y. Garis-garis yang sejajar sumbu horisontal,
y = yi dan garis-garis yang sejajar sumbu vertikal, x = xi disebut grid lines. Sementara titik-
titik perpotongan antara garis-garis horisontal dan vertikal dinamakan mesh points.
Turunan kedua sebagaimana yang ada pada persamaan (8.5) dapat dinyatakan dalam ru-
mus centered-difference sebagai berikut
∂2u
∂x2(xi, yj) =
u(xi+1, yj) − 2u(xi, yj) + u(xi−1, yj)
h2− h2
12
∂4u
∂x4(ξi, yj) (8.8)
∂2u
∂y2(xi, yj) =
u(xi, yj+1) − 2u(xi, yj) + u(xi, yj−1)
k2− k2
12
∂4u
∂y4(xi, ηj) (8.9)
Kemudian, untuk menyederhanakan analisis menggunakan metode Finite-Difference, biasanya
suku yang terakhir diabaikan.
∂2u
∂x2(xi, yj) =
u(xi+1, yj) − 2u(xi, yj) + u(xi−1, yj)
h2(8.10)
∂2u
∂y2(xi, yj) =
u(xi, yj+1) − 2u(xi, yj) + u(xi, yj−1)
k2(8.11)
Pengabaian suku terakhir otomatis menimbulkan error yang dinamakan truncation error. Jadi,
ketika suatu persamaan diferensial diolah secara numerik dengan metode Finite-Difference,
8.2. PDP ELIPTIK 127
maka solusinya pasti meleset/keliru "sedikit", karena pada hasilnya pasti mengandung trun-
cation error. Akan tetapi, keberadaan error tersebut dapat ditolerir hingga batas-batas tertentu
yang uraiannya akan dikupas pada bagian akhir bab ini.
Ok. Mari kita lanjutkan! Sekarang persamaan (8.10) dan (8.11) disubstitusikan ke per-
samaan (8.5)
u(xi+1, yj) − 2u(xi, yj) + u(xi−1, yj)
h2+
u(xi, yj+1) − 2u(xi, yj) + u(xi, yj−1)
k2= f(xi, yj) (8.12)
dimana i = 1, 2, ..., n − 1 dan j = 1, 2, ..., m − 1 dengan syarat batas sebagai berikut
u(x0, yj) = g(x0, yj) u(xn, yj) = g(xn, yj) j = 0, 1, ..., m;
u(xi, y0) = g(xi, y0) u(xi, ym) = g(xi, ym) i = 1, 2, ..., n − 1.
Dalam metode Finite-Difference, persamaan (8.12) dinyatakan sebagai berikut
wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j
h2+
wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1
k2= f(xi, yj)
wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j +h2
k2(wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1) = h2f(xi, yj)
wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j +h2
k2wi,j+1 − 2
h2
k2wi,j +
h2
k2wi,j−1 = h2f(xi, yj)
−2[1 +h2
k2]wi,j + (wi+1,j + wi−1,j) +
h2
k2(wi,j+1 + wi,j−1) = h2f(xi, yj)
2[1 +h2
k2]wi,j − (wi+1,j + wi−1,j) −
h2
k2(wi,j+1 + wi,j−1) = −h2f(xi, yj) (8.13)
dimana i = 1, 2, ..., n − 1 dan j = 1, 2, ..., m − 1, dengan syarat batas sebagai berikut
w0,j = g(x0, yj) wn,j = g(xn, yj) j = 0, 1, ..., m;
wi,0 = g(xi, y0) wi,m = g(xi, ym) i = 1, 2, ..., n − 1.
Persamaan (8.13) adalah rumusan akhir metode Finite-Difference untuk PDP Eliptik.
8.2.1 Contoh pertama
Misalnya kita diminta mensimulasikan distribusi panas pada lempengan logam berukuran 0, 5
m x 0, 5 m. Temperatur pada 2 sisi tepi lempengan logam dijaga pada temperatur 0C, semen-
tara pada 2 sisi tepi lempengan logam yang lain temperaturnya diatur meningkat secara linear
dari 0C hingga 100C. Problem ini memenuhi PDP Eliptik:
∂2u
∂x2(x, y) +
∂2u
∂y2(x, y) = 0
dengan syarat-syarat batas
u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, 0.5) = 200x, u(0.5, y) = 200y (8.14)
128 BAB 8. PERS. DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK
U(0
,y)=
0
U(x,0)=0
U(0
.5,y
)=200y
U(x,0.5)=200x
0.5
0.5
Y
X
W2,3
W1,3
W3,3
W1,2
W2,2
W3,2
W1,1
W2,1
W3,1
W1,4
W2,4
W3,4
W4,3
W4,2
W4,1
W0,3
W0,2
W0,1
W1,0
W2,0
W3,0
Gambar 8.1: Distribusi temperatur pada lempeng logam
Jika n = m = 4, masalah ini dipecahkan dengan grid sebagaimana yang diperlihatkan pada
Gambar 8.1. Adapun persamaan finite-differencenya adalah
4wi,j − wi+1,j − wi−1,j − wi,j−1 − wi,j+1 = 0 (8.15)
dimana i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3. Dengan menerapkan persamaan (8.15) pada setiap mesh
point yang belum diketahui temperaturnya, diperoleh
4w1,3 − w2,3 − w1,2 = w0,3 + w1,4
4w2,3 − w3,3 − w2,2 − w1,3 = w2,4
4w3,3 − w3,2 − w2,3 = w4,3 + w3,4
4w1,2 − w2,2 − w1,1 − w1,3 = w0,2
4w2,2 − w3,2 − w2,1 − w1,2 − w2,3 = 0
4w3,2 − w3,1 − w2,2 − w3,3 = w4,2
4w1,1 − w2,1 − w1,2 = w0,1 + w1,0
4w2,1 − w3,1 − w1,1 − w2,2 = w2,0
4w3,1 − w2,1 − w3,2 = w3,0 + w4,1
Syarat batas yang telah ditentukan adalah
w1,0 = w2,0 = w3,0 = w0,1 = w0,2 = w0,3 = 0,
w1,4 = w4,1 = 25, w2,4 = w4,2 = 50, and w3,4 = w4,3 = 75
8.2. PDP ELIPTIK 129
Dengan menyertakan syarat batas, sistem persamaan linear dapat ditulis kembali sebagai berikut
4w1,3 − w2,3 − w1,2 = 25
4w2,3 − w3,3 − w2,2 − w1,3 = 50
4w3,3 − w3,2 − w2,3 = 150
4w1,2 − w2,2 − w1,1 − w1,3 = 0
4w2,2 − w3,2 − w2,1 − w1,2 − w2,3 = 0
4w3,2 − w3,1 − w2,2 − w3,3 = 50
4w1,1 − w2,1 − w1,2 = 0
4w2,1 − w3,1 − w1,1 − w2,2 = 0
4w3,1 − w2,1 − w3,2 = 25
Kemudian sistem persamaan linear tersebut dikonversikan ke dalam operasi perkalian matrik
4 −1 0 −1 0 0 0 0 0
−1 4 −1 0 −1 0 0 0 0
0 −1 4 0 0 −1 0 0 0
−1 0 0 4 −1 0 −1 0 0
0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0
0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1
0 0 0 −1 0 0 4 −1 0
0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1
0 0 0 0 0 −1 0 −1 4
w1,3
w2,3
w3,3
w1,2
w2,2
w3,2
w1,1
w2,1
w3,1
=
25
50
150
0
0
50
0
0
25
Mari kita perhatikan sejenak, susunan elemen-elemen angka pada matrik berukuran 9x9. Ter-
lihat jelas bahwa angka diagonal selalu bernilai 4. Ini sama sekali bukan ketidaksengajaan.
Melainkan susunan itu sengaja direkayasa sedemikian rupa sehingga elemen-elemen tri-diagonal
terisi penuh dan pada diagonal utamanya diletakkan angka yang terbesar. Akhirnya dengan
metode Eliminasi Gauss diperoleh hasil
w1,3 w2,3 w3,3 w1,2 w2,2 w3,2 w1,1 w2,1 w3,1
18.7500 37.5000 56.2500 12.5000 25.0000 37.5000 6.2500 12.5000 18.7500
Catatan: inilah solusi yang "ditawarkan" oleh Finite-Difference. Kalau diamati dengan teliti,
angka-angka distribusi temperatur pada 9 buah mesh points memang logis dan masuk akal.
Dalam kondisi real, mungkin kondisi seperti ini hanya bisa terjadi bila lempengan logam terse-
but terbuat dari bahan yang homogen isotropik.
Berikut adalah script Matlab untuk menghitung nila-nilai w menggunakan metode Eliminasi
Gauss.
1 clear all
2 clc
130 BAB 8. PERS. DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK
3 n=9;
4 A=[ 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0;
5 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0;
6 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0;
7 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0;
8 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0;
9 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1;
10 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0;
11 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1;
12 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4];
13
14 b=[25; 50; 150; 0; 0; 50; 0; 0; 25];
15
16 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
17 %====== Menggabungkan Vektor b kedalam matrik A ========
18 %====== sehingga terbentuk matrik Augmentasi. ========
19 for i=1:n
20 A(i,n+1)=b(i,1);
21 end
22
23 %---------Proses Triangularisasi-----------
24 for j=1:(n-1)
25
26 %----mulai proses pivot---
27 if (A(j,j)==0)
28 for p=1:n+1
29 u=A(j,p);
30 v=A(j+1,p);
31 A(j+1,p)=u;
32 A(j,p)=v;
33 end
34 end
35 %----akhir proses pivot---
36 jj=j+1;
37 for i=jj:n
38 m=A(i,j)/A(j,j);
39 for k=1:(n+1)
40 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));
41 end
42 end
43 end
44 %-------------------------------------------
45
46 %------Proses Substitusi mundur-------------
47 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);
48
49 for i=n-1:-1:1
50 S=0;
51 for j=n:-1:i+1
52 S=S+A(i,j)*x(j,1);
53 end
54 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);
55 end
56 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
57
58 %===== Menampilkan Vektor w =================
59 w=x
Sementara berikut ini adalah script Matlab untuk menghitung nila-nilai w menggunakan metode
8.2. PDP ELIPTIK 131
Iterasi Gauss-Seidel.
1 clear all
2 clc
3
4 n=9;
5 A=[ 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0;
6 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0;
7 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0;
8 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0;
9 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0;
10 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1;
11 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0;
12 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1;
13 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4];
14
15 b=[25; 50; 150; 0; 0; 50; 0; 0; 25];
16
17 %&&&&&&& ITERASI GAUSS-SEIDEL &&&&&&&&&&&&&&&&&&
18 itermax=100; %iterasi maksimum
19 %----nilai awal-----------
20 xl=[0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];
21 xb=xl;
22 %----stopping criteria-----------
23 sc=0.001;
24 %----memulai iterasi-------------
25 for iterasi=1:itermax
26 smtr1=0;
27 for j=2:n
28 smtr1=smtr1+A(1,j)*xl(j,1);
29 end
30 xb(1,1)=(-smtr1+b(1,1))/A(1,1);
31 %----------------------------------------------
32 for i=2:n-1
33 smtr2=0;
34 for j=i+1:n
35 smtr2=smtr2-A(i,j)*xl(j,1);
36 end
37 smtr3=0;
38 for k=1:i-1
39 smtr3=smtr3-A(i,k)*xb(k,1);
40 end
41 xb(i,1)=(smtr3+smtr2+b(i,1))/A(i,i);
42 end
43 %----------------------------------------------
44 smtr4=0;
45 for k=1:n-1
46 smtr4=smtr4-A(n,k)*xb(k,1);
47 end
48 xb(n,1)=(smtr4+b(n,1))/A(n,n);
49 %------perhitungan norm2 -------------
50 s=0;
51 for i=1:n
52 s=s+(xb(i,1)-xl(i,1))^2;
53 end
54 epsilon=sqrt(s);
55 %-------------------------------------
56 xl=xb;
57 %------memeriksa stopping criteria--------
132 BAB 8. PERS. DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK
58 if epsilon<sc
59 w=xb
60 break
61 end
62 %-----------------------------------------
63 end
Tabel berikut memperlihatkan hasil pemrosesan dengan metode Eliminasi Gauss (disingkat:
EG) dan iterasi Gauss-Seidel (disingkat: GS)
w1,3 w2,3 w3,3 w1,2 w2,2 w3,2 w1,1 w2,1 w3,1
EG 18.7500 37.5000 56.2500 12.5000 25.0000 37.5000 6.2500 12.5000 18.7500
GS 18.7497 37.4997 56.2498 12.4997 24.9997 37.4998 6.2498 12.4998 18.7499
Memang berbeda. Tapi tak ada perbedaan yang cukup berarti. Keduanya nyaris sama
persis. Namun perlu saya tegaskan disini bahwa jika sistem persamaan linear yang diperoleh
dari Finite Difference berorde 100 atau kurang dari itu, maka lebih baik memilih metode Elim-
inasi Gauss sebagai langkah akhir Finite-Difference. Alasannya karena, direct method seperti
eliminasi Gauss, lebih stabil dibandingkan metode iterasi. Tapi jika ordenya lebih dari 100,
disarankan memilih metode iterasi seperti iterasi Gauss-Seidel, atau menggunakan metode
SOR yang terbukti lebih efisien dibanding Gauss-Seidel. Jika matrik A bersifat positive definite,
metode Court Factorization adalah pilihan yg paling efisien dan menghemat memori komputer.
8.2.2 Contoh kedua
Diketahui persamaan poisson sebagai berikut
∂2u
∂x2(x, y) +
∂2u
∂y2(x, y) = xey, 0 < x < 2, 0 < y < 1,
dengan syarat batas
u (0, y) = 0, u (2, y) = 2ey, 0 ≤ y ≤ 1,
u (x, 0) = x, u (x, 1) = ex, 0 ≤ x ≤ 2,
Solusi numerik dihitung dengan pendekatan finite-difference gauss-seidel dimana batas toler-
ansi kesalahan ditentukan∣
∣
∣w
(l)ij − w
(l−1)ij
∣
∣
∣≤ 10−10
8.3 PDP parabolik
PDP parabolik yang kita pelajari disini adalah persamaan difusi
∂u
∂t(x, t) = α2 ∂2u
∂x2(x, t), 0 < x < l t > 0, (8.16)
8.3. PDP PARABOLIK 133
yang berlaku pada kondisi
u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0,
dan
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l,
Perlu dicatat, t adalah berdimensi waktu. Sementara x berdimensi jarak.
8.3.1 Metode Forward-difference
Solusi numerik diperoleh menggunakan forward-difference (masih bagian dari finite-difference)
dengan langkah-langkah yang hampir mirip seperti yang telah dilakukan pada PDP eliptik.
Pertama, kita tentukan sebuah angka m > 0 dan tentukan bahwa h = l/m. Langkah kedua
adalah menentukan ukuran time-step k. Adapun grid points pada situasi ini adalah (xi, tj),
dimana xi = ih, dengan i = 0, 1, 2, ..., m, dan tj = jk dengan j = 0, 1, ....
Berdasarkan deret Taylor, turunan pertama terhadap t dengan time step k adalah
∂u
∂t(xi, tj) =
u (xi, tj + k) − u (xi, tj)
k− k
2
∂2u
∂t2(xi, µj) (8.17)
Namun, sebagaimana pendekatan finite-difference pada umumnya, pendekatan forward-difference
selalu mengabaikan suku terakhir sehingga persamaan di atas ditulis seperti ini
∂u
∂t(xi, tj) =
u (xi, tj + k) − u (xi, tj)
k(8.18)
Disisi lain, turunan kedua terhadap x pada persamaan (8.16) berdasarkan deret Taylor adalah
∂2u
∂x2(xi, tj) =
u (xi + h, tJ) − 2u (xi, tj) + u (xi − h, tJ)
h2− h2
12
∂4u
∂x4(ξi, tj) (8.19)
Pengabaian suku terakhir menjadikan persamaan diatas ditulis kembali sebagai berikut
∂2u
∂x2(xi, tj) =
u (xi + h, tj) − 2u (xi, tj) + u (xi − h, tj)
h2(8.20)
Dengan mensubstitusikan persamaan (8.18) dan (8.20) kedalam persamaan (8.16), maka
diperoleh
u (xi, tj + k) − u (xi, tj)
k= α2 u (xi + h, tj) − 2u (xi, tj) + u (xi − h, tj)
h2(8.21)
atau dapat dinyatakan dalam simbol w, yang menyatakan posisi mesh-points secara umum
wi,j+1 − wi,j
k− α2 wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j
h2= 0 (8.22)
134 BAB 8. PERS. DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK
Dari sini diperoleh solusi untuk wi,j+1, yaitu
wi,j+1 =
(
1 − 2α2k
h2
)
wi,j + α2 k
h2(wi+1,j + wi−1,j) (8.23)
jika
λ =α2k
h2(8.24)
maka
(1 − 2λ) wi,j + λwi+1,j + λwi−1,j = wi,j+1 (8.25)
8.3.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation
Misalnya diketahui, distribusi panas satu dimensi (1D) sebagai fungsi waktu, t dalam sebatang
logam memenuhi persamaan berikut
∂u
∂t(x, t) − α2 ∂2u
∂x2(x, t) = 0, 0 < x < 1 0 ≤ t, (8.26)
dengan syarat batas
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t,
dan kondisi mula-mula
u(x, 0) = sin(πx), 0 ≤ x ≤ 1,
Solusi analitik atas masalah ini adalah
u(x, t) = e−π2t sin(πx)
Adapun sebaran posisi mesh-points dalam 1-D untuk mendapatkan solusi numerik dengan
metode forward-difference diperlihatkan pada Gambar 8.2.
h=0.1
Gambar 8.2: Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Jarakantar titik ditentukan sebesar h = 0, 1.
Sementara Gambar 8.3 melengkapi Gambar 8.2, dimana perubahan waktu tercatat setiap
interval k = 0, 0005. Sepintas Gambar 8.3 terlihat seolah-olah obyek yang mau disimulasikan
berbentuk 2-dimensi, padahal bendanya tetap 1-dimensi yaitu hanya sebatang logam.
Selanjutnya, Gambar 8.4 memperlihatkan tepi-tepi syarat batas yaitu angka 0 di ujung kiri
dan angka 1 di ujung kanan, yang terletak pada sumbu horisontal x. Diantara batas-batas
itu terdapat sebaran titik simulasi berjarak h = 0, 1. Sementara, sumbu vertikal menunjukan
perubahan dari waktu ke waktu dengan interval k = 0, 0005.
Tabel 8.1 menunjukkan hasil perbandingan antara pemilihan nilai interval k = 0, 0005 dan
k = 0, 01. Tabel ini menginformasikan satu hal penting, yaitu pada saat interval k = 0, 0005,
8.3. PDP PARABOLIK 135
1
t
x0
k=0.0005
0.0.....
h=0.1
Gambar 8.3: Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005
1
t
x0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.0005
0.0010
0.0015
0.0.....
Gambar 8.4: Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung denganforward-difference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat
simulasi forward-difference berhasil mencapai konvergensi yang sangat baik. Namun pada saat
interval k = 0.01, terlihat jelas hasil simulasi tidak konvergen (Bandingkan kolom ke-4 dan
kolom ke-6!).
8.3.3 Metode Backward-difference
Kalau kita ulang lagi pelajaran yang lalu tentang forward-difference, kita akan dapatkan formula
forward-difference adalah sebagai berikut
wi,j+1 − wi,j
k− α2 wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j
h2= 0 (8.27)
Sekarang, dengan sedikit modifikasi, formula backward-difference dinyatakan sebagai
wi,j − wi,j−1
k− α2 wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j
h2= 0 (8.28)
jika ditetapkan
λ =α2k
h2
136 BAB 8. PERS. DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK
Tabel 8.1: Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference.Kolom ke-4 dan ke-6 adalah selisih solusi analitik dan numerik
wi,1000 wi,50
xi u(xi, 0.5) k = 0, 0005 |u(xi, 0.5) − wi,1000| k = 0, 01 |u(xi, 0.5) − wi,50|0,0 0 0 00,1 0,00222241 0,00228652 6, 411 × 10−5 8, 19876 × 107 8, 199 × 107
0,2 0,00422728 0,00434922 1, 219 × 10−4 −1, 55719 × 108 1, 557 × 108
0,3 0,00581836 0,00598619 1, 678 × 10−4 2, 13833 × 108 2, 138 × 108
0,4 0,00683989 0,00703719 1, 973 × 10−4 −2, 50642 × 108 2, 506 × 108
0,5 0,00719188 0,00739934 2, 075 × 10−4 2, 62685 × 108 2, 627 × 108
0,6 0,00683989 0,00703719 1, 973 × 10−4 −2, 49015 × 108 2, 490 × 108
0,7 0,00581836 0,00598619 1, 678 × 10−4 2, 11200 × 108 2, 112 × 108
0,8 0,00422728 0,00434922 1, 219 × 10−4 −1, 53086 × 108 1, 531 × 108
0,9 0,00222241 0,00228652 6, 511 × 10−5 8, 03604 × 107 8, 036 × 107
1,0 0 0 0
maka backward-difference disederhanakan menjadi
(1 + 2λ) wi,j − λwi+1,j − λwi−1,j = wi,j−1 (8.29)
coba sejenak anda bandingkan dengan formula forward-difference dalam λ sebagaimana diny-
atakan oleh persamaan (8.25)
(1 − 2λ) wi,j + λwi+1,j + λwi−1,j = wi,j+1
Kinerja metode backward-difference untuk mensimulasikan distribusi temperatur pada se-
batang logam dalam fungsi waktu, t, sebagaimana contoh ketiga di atas , menunjukkan perfor-
ma yang lebih baik dibandingkan dengan metode forward-difference. Hal ini bisa terlihat dari
tabel berikut
Tabel 8.2: Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metodebackward-difference
xi u(xi, 0.5) wi,50 |u(xi, 0.5) − wi,50|0,0 0 00,1 0,00222241 0,00289802 6, 756 × 10−4
0,2 0,00422728 0,00551236 1, 285 × 10−3
0,3 0,00581836 0,00758711 1, 769 × 10−3
0,4 0,00683989 0,00891918 2, 079 × 10−3
0,5 0,00719188 0,00937818 2, 186 × 10−3
0,6 0,00683989 0,00891918 2, 079 × 10−3
0,7 0,00581836 0,00758711 1, 769 × 10−3
0,8 0,00422728 0,00551236 1, 285 × 10−3
0,9 0,00222241 0,00289802 6, 756 × 10−4
1,0 0 0
8.3. PDP PARABOLIK 137
8.3.4 Metode Crank-Nicolson
Pondasi metode Crank-Nicolson terdiri adalah Forward-Difference dan Backward-Difference.
Jika formula Forward-Difference adalah
wi,j+1 − wi,j
k− α2 wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j
h2= 0
sedangkan Backward-Difference pada waktu menunjukkan (j + 1) adalah
wi,j+1 − wi,j
k− α2 wi+1,j+1 − 2wi,j+1 + wi−1,j+1
h2= 0
maka jika kedua formula itu dirata-ratakan akan diperoleh
wi,j+1 − wi,j
k− α2
2
[
wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j
h2+
wi+1,j+1 − 2wi,j+1 + wi−1,j+1
h2
]
= 0 (8.30)
inilah formula Crank-Nicolson. Lalu dinyatakan
λ =α2k
h2
maka
wi,j+1 − wi,j −λ
2[wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j + wi+1,j+1 − 2wi,j+1 + wi−1,j+1] = 0
wi,j+1 − wi,j −λ
2wi+1,j + λwi,j −
λ
2wi−1,j −
λ
2wi+1,j+1 + λwi,j+1 −
λ
2wi−1,j+1 = 0
−λ
2wi−1,j+1 + wi,j+1 + λwi,j+1 −
λ
2wi+1,j+1 −
λ
2wi−1,j − wi,j + λwi,j −
λ
2wi+1,j = 0
−λ
2wi−1,j+1 + wi,j+1 + λwi,j+1 −
λ
2wi+1,j+1 =
λ
2wi−1,j + wi,j − λwi,j +
λ
2wi+1,j
dan akhirnya
−λ
2wi−1,j+1 + (1 + λ)wi,j+1 −
λ
2wi+1,j+1 =
λ
2wi−1,j + (1 − λ)wi,j +
λ
2wi+1,j
Dalam bentuk persamaan matrik dinyatakan sebagai
Aw(j+1) = Bw(j), untuk j = 0, 1, 2, ...
Bab 9
Integral Numerik
Objektif :
⊲ Mengenalkan metode Trapezoida.
⊲ Mengenalkan metode Simpson.
⊲ Mengenalkan metode Composite-Simpson.
9.1 Metode Trapezoida
Suatu persamaan integral∫ b
af(x)dx (9.1)
disebut numerical quadrature. Pendekatan numerik untuk menyelesaikan integral tersebut
adalahi=0∑
n
aif(xi) (9.2)
Metode pendekatan yang paling dasar dalam integral numerik adalah metode Trapezoida
∫ b
af(x)dx =
h
2[f(x0) + f(x1)] −
h3
12f ′′(ξ) (9.3)
dimana x0 = a, x1 = b dan h = b − a. Karena bagian error pada Trapezoida adalah f ′′, maka
pendekatan Trapezoida bekerja efektif pada fungsi-fungsi yang turunan kedua-nya bernilai
nol.
9.2 Metode Simpson
Metode pendekatan yang lebih baik dalam integral numerik adalah metode Simpson
∫ b
af(x)dx =
h
3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] −
h5
90f4(ξ) (9.4)
139
140 BAB 9. INTEGRAL NUMERIK
Gambar 9.1: Metode Trapezoida
Gambar 9.2: Metode Simpson
dengan x0 = a, x2 = b, dan x1 = a + h dimana h = (b − a)/2.
Contoh
Metode Trapezoida untuk fungsi f pada interval [0,2] adalah
∫ 2
0f(x)dx ≈ f(0) + f(2)
dimana x0 = 0, x1 = 2 dan h = 2 − 0 = 2,
sedangkan metode Simpson untuk fungsi f pada interval [0,2] adalah
∫ 2
0f(x)dx ≈ 1
3[f(0) + 4f(1) + f(2)]
dengan x0 = 0, x2 = 2, dan x1 = a + h = 1 dimana h = (b − a)/2 = 1.
9.3. METODE COMPOSITE-SIMPSON 141
Tabel berikut ini memperlihatkan evaluasi integral numerik terhadap beberapa fungsi dalam
interval [0,2] beserta solusi exact-nya. Jelas terlihat, metode Simpson lebih baik dibanding
Trapezoida.
f(x) x2 x4 1/(x + 1)√
1 + x2 sinx ex
Nilai exact 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389Trapezoida 4,000 16,000 1,333 3,326 0,909 8,389
Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421
Kalau diamati lebih teliti, akan kita dapatkan bahwa interval [0,2] telah dibagi 2 pada metode
Simpson, sementara pada metode Trapesoida tidak dibagi sama sekali. Sebenarnya dengan
membagi interval lebih kecil lagi, maka error-nya akan semakin kecil. Misalnya, banyaknya
pembagian interval dinyatakan dengan n
ketika n = 1: Trapesioda
∫ x1
x0
f(x)dx =h
2[f(x0) + f(x1)] −
h3
12f ′′(ξ) (9.5)
ketika n = 2: Simpson
∫ x2
x0
f(x)dx =h
3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] −
h5
90f4(ξ) (9.6)
ketika n = 3: Simpson tiga-per-delapan
∫ x3
x0
f(x)dx =3h
8[f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)] −
3h5
80f4(ξ) (9.7)
ketika n = 4:
∫ x4
x0
f(x)dx =2h
45[7f(x0) + 32f(x1) + 12f(x2) + 32f(x3) + 7f(x4)] −
8h7
945f6(ξ) (9.8)
Keempat bentuk persamaan integral numerik di atas dikenal dengan closed Newton-Cotes
formulas. Keterbatasan metode Newton-Cotes terlihat dari jumlah pembagian interval. Di
atas tadi pembagian interval baru sampai pada n = 4. Bagaimana bila interval evaluasinya
dipersempit supaya solusi numeriknya lebih mendekati solusi exact? Atau dengan kata lain
n > 4.
9.3 Metode Composite-Simpson
Coba perhatikan contoh berikut ini. Tentukan solusi numerik dari∫ 40 exdx. Metode Simpson
dengan h = 2 (atau interval evaluasi integral dibagi 2 , n = 2) memberikan hasil
∫ 4
0exdx ≈ 2
3
(
e0 + 4e2 + e4)
= 56, 76958
142 BAB 9. INTEGRAL NUMERIK
Gambar 9.3: Metode Composite Simpson
Padahal solusi exact dari integral tersebut adalah e4 − e0 = 53, 59815, artinya terdapat er-
ror sebesar 3,17143 yang dinilai masih terlampau besar untuk ditolerir. Bandingkan dengan
metode yang sama namun dengan h = 1 (atau interval evaluasi integral dibagi 4 , n = 4)
∫ 4
0exdx =
∫ 2
0exdx +
∫ 4
2exdx
≈ 1
3
(
e0 + 4e + e2)
+1
3
(
e2 + 4e3 + e4)
=1
3
(
e0 + 4e + 2e2 + 4e3 + e4)
= 53, 86385
Hasil ini memperlihatkan error yang makin kecil, yaitu menjadi 0,26570. Jadi dengan mem-
perkecil h, error menjadi semakin kecil dan itu artinya solusi integral numerik semakin mendekati
solusi exact. Sekarang kita coba kecilkan lagi nilai h menjadi h = 12 (atau interval evaluasi in-
tegral dibagi 8 , n = 8),
∫ 4
0exdx =
∫ 1
0exdx +
∫ 2
1exdx +
∫ 3
2exdx +
∫ 4
3exdx
≈ 1
6
(
e0 + 4e1/2 + e)
+1
6
(
e + 4e3/2 + e2)
+
1
6
(
e2 + 4e5/2 + e3)
+1
6
(
e3 + 4e7/2 + e4)
=1
6
(
e0 + 4e1/2 + 2e + 4e3/2 + 2e2 + 4e5/2 + 2e3 + 4e7/2 + e4)
= 53, 61622
dan seperti yang tadi kita simpulkan, error-nya semakin kecil menjadi 0,01807.
9.3. METODE COMPOSITE-SIMPSON 143
Prosedur ini dapat digeneralisir menjadi suatu formula sebagai berikut
∫ b
af(x)dx =
n/2∑
j=1
∫ x2j
x2j−2
f(x)dx
=
n/2∑
j=1
h
3[f(x2j−2) + 4f(x2j−1) + f(x2j)] −
h5
90f (4)(ξj)
(9.9)
dimana h = (b−a)/n dan xj = a+jh, untuk j = 1, ..., n/2, dengan x0 = a dan xn = b. Formula
ini dapat direduksi menjadi
∫ b
af(x)dx =
h
3
f(x0) + 2
(n/2)−1∑
j=1
f(x2j) + 4
n/2∑
j=1
f(x2j−1) + f(xn)
− h5
90
n/2∑
j=1
f (4)(ξj) (9.10)
Formula ini dikenal sebagai metode Composite Simpson.
144 BAB 9. INTEGRAL NUMERIK
Tugas#4
1. Hitunglah integral-integral berikut ini dengan metode Composite Simpson!
a.
∫ 2
1x lnxdx, n = 4
b.
∫ 2
0
2
x2 + 4dx, n = 6
c.
∫ 3
1
x
x2 + 4dx, n = 8
d.
∫ 2
−2x3exdx, n = 4
e.
∫ 3π/8
0tan xdx, n = 8
f.
∫ 5
3
1√x2 − 4
dx, n = 8
2. Tentukan nilai n dan h untuk mengevaluasi
∫ 2
0e2x sin 3xdx
dengan metode Composite Simpson, bila error yang ditolerir harus lebih kecil dari 10−4.
Bab 10
Metode Newton
Objektif :
⊲ Mengenalkan matrik dan jenis-jenis matrik.
⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik.
⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer.
⊲ Membuat script operasi matrik.
10.1 Penyederhanaan
Metode Newton sangat populer dan powerfull untuk mencari akar suatu fungsi yang kon-
tinyu. Ada banyak jalan untuk memperkenalkan metode ini. Salah satunya bisa didahului
mulai dari deret Taylor atau polinomial Taylor. Suatu fungsi yang kontinyu dapat dinyatakan
dalam deret Taylor sebagai berikut
f(x) = f(x) + (x − x)f ′(x) +(x − x)2
2f ′′(ξ(x))
0 = f(x) + (p − x)f ′(x) +(p − x)2
2f ′′(ξ(p))
0 = f(x) + (p − x)f ′(x)
p − x = − f(x)
f ′(x)
p ≈ x − f(x)
f ′(x)
pn = pn−1 −f(pn−1)
f ′(pn−1), n ≥ 1
145
146 BAB 10. METODE NEWTON
Gambar 10.1: Metode Newton
Demikianlah catatan singkat dari saya tentang metode Finite-Difference dengan ekstrapolasi
Richardson untuk problem linear. Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan
saya sambung dengan problem non-linear dan konsep ekstrapolasi. Kalau ada yang mau
didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email: [email protected].
Bab 11
Metode Monte Carlo
Objektif :
⊲ Mengenalkan matrik dan jenis-jenis matrik.
⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik.
⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer.
⊲ Membuat script operasi matrik.
11.1 Penyederhanaan
Kita awali pembahasan metode Monte Carlo dengan mengetengahkan contoh yang sangat
terkenal yaitu menghitung luas suatu lingkaran. Fugure 1 memperlihatkan lingkaran den-
gan radius r = 1 berada di dalam kotak bujursangkar. Luas lingkaran adalah πr2 = π(1)2 = π
sementara luas bujursangkar adalah (2)2 = 4. Rasio antara luas lingkaran dan luas bola adalah
ρ =luas lingkaran
luas bujursangkar=
π
4= 0, 7853981633974483 (11.1)
Jadi, dengan mengetahui nilai ρ, maka kita bisa menghitung luas lingkaran dengan cara
luas lingkaran = ρ × luas bujursangkar (11.2)
Bayangkan anda punya satu set permainan dart. Anda lemparkan sejumlah dart ke arah
lingkaran tadi. Misalnya, total dart yang menancap di papan dart ada 1024 buah. Sebanyak
812 dart berada di dalam lingkaran, dan yang lainnya di luar lingkaran. Rasio antara keduanya
ρ =dart di dalam lingkaran
total dart di dalam bujursangkar=
812
1024= 0, 79296875 (11.3)
147
148 BAB 11. METODE MONTE CARLO
Gambar 11.1: Lingkaran dan bujursangkar
Gambar 11.2: Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar
Dengan pendekatan ke persamaan (11.2) maka luas lingkaran adalah
luas lingkaran = ρ × luas bujursangkar
= 0, 79296875 × 4
= 3, 171875
Apakah angka ini make sense? Mungkin anda masih ragu. Sekarang mari kita coba hitung ni-
lai π dengan mengacu pada rumus di atas. Kita sepakati saja bahwa dart yang berada di dalam
lingkaran mesti memenuhi x2i + y2
i ≤ 1. Dalam perhitungan, semua dart diganti dengan bi-
langan acak (random number). Dari 1000 dart, yang masuk lingkaran ada 787 buah, sehingga,
mengacu persamaan (11.3)
ρ =787
1000= 0, 787
11.1. PENYEDERHANAAN 149
Gambar 11.3: Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar
maka berdasarkan persamaan (11.1)
π = ρ × 4 = 0, 787 × 4 = 3, 148
Lumayan akurat bukan? Semakin banyak jumlah dart, semakin akurat nilai π yang anda per-
oleh.
Sekarang mari kita kembangkan metode Monte Carlo ini untuk menghitung luas suatu area
yang terletak di bawah garis kurva suatu fungsi f(x). Atau sebut saja menghitung integral
suatu fungsi f(x) yang dievaluasi antara batas a dan b. Luas kotak R yang melingkupi luas
bidang integral A adalah
R = (x, y) : a ≤ x ≤ b dan 0 ≤ y ≤ d (11.4)
dimana
d = maksimum f(x) , a ≤ x ≤ b (11.5)
Bab 12
Inversi
Objektif :
⊲ Mengenalkan matrik dan jenis-jenis matrik.
⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik.
⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer.
⊲ Membuat script operasi matrik.
12.1 Inversi Linear
Diketahui data eksperimen tersaji dalam tabel berikut ini
xi yi xi yi
1 1,3 6 8,82 3,5 7 10,13 4,2 8 12,54 5,0 9 13,05 7,0 10 15,6
Lalu data tersebut di-plot dalam sumbu x dan y. Sekilas, kita bisa melihat bahwa data yang
telah di-plot tersebut dapat didekati dengan sebuah persamaan garis, yaitu a1xi + a0. Artinya,
kita melakukan pendekatan secara linear, dimana fungsi pendekatan-nya adalah
P (xi) = a1xi + a0 (12.1)
Problemnya adalah berapakah nilai konstanta a1 dan a0 yang sedemikian rupa, sehingga posisi
garis tersebut paling mendekati atau bahkan melalui titik-titik data yang telah di-plot di atas?
151
152 BAB 12. INVERSI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
16
X
Y
Dengan kata lain, sebisa mungkin yi sama dengan P (xi) atau dapat diformulasikan sebagai
m∑
i=1
yi − P (xi) = 0 (12.2)
m∑
i=1
yi − (a1xi + a0) = 0 (12.3)
dimana jumlah data, m = 10. Suku yang berada disebelah kiri dinamakan fungsi error (error
function), yaitu
E(a0, a1) =m
∑
i=1
yi − (a1xi + a0) (12.4)
Semua data yang diperoleh melalui eksperimen, fungsi error-nya tidak pernah bernilai nol. Ja-
di, tidak pernah didapatkan garis yang berhimpit dengan semua titik data ekperimen. Namun
demikian, kita masih bisa berharap agar fungsi error menghasilkan suatu nilai, dimana nilai
tersebut adalah nilai yang paling minimum atau paling mendekati nol. Harapan tersebut di-
wujudkan oleh metode least square dengan sedikit modifikasi pada fungsi error-nya sehingga
menjadi
E(a0, a1) =m
∑
i=1
[yi − (a1xi + a0)]2 (12.5)
Agar fungsi error bisa mencapai nilai minimum, maka syarat yang harus dipenuhi adalah:
∂E(a0, a1)
∂ai= 0 (12.6)
dimana i = 0 dan 1, karena dalam kasus ini memang cuma ada a0 dan a1. Maka mesti ada dua
12.1. INVERSI LINEAR 153
buah turunan yaitu:
∂E(a0, a1)
∂a0=
∂
∂a0
m∑
i=1
[yi − (a1xi + a0)]2 = 0
2m
∑
i=1
(yi − a1xi − a0)(−1) = 0
a0.m + a1
m∑
i=1
xi =m
∑
i=1
yi (12.7)
dan
∂E(a0, a1)
∂a1=
∂
∂a1
m∑
i=1
[yi − (a1xi + a0)]2 = 0
2m
∑
i=1
(yi − a1xi − a0)(−xi) = 0
a0
m∑
i=1
xi + a1
m∑
i=1
x2i =
m∑
i=1
xiyi (12.8)
Akhirnya persamaan (12.7) dan (12.8) dapat dicari solusinya berikut ini:
a0 =
∑mi=1 x2
i
∑mi=1 yi −
∑mi=1 xiyi
∑mi=1 xi
m(∑m
i=1 x2i
)
− (∑m
i=1 xi)2 (12.9)
dan
a1 =m
∑mi=1 xiyi −
∑mi=1 xi
∑mi=1 yi
m(∑m
i=1 x2i
)
− (∑m
i=1 xi)2 (12.10)
Coba anda bandingkan kedua hasil di atas dengan rumus least square yang terdapat pada
buku Praktikum Fisika Dasar keluaran Departemen Fisika-UI. Mudah-mudahan sama per-
sis. OK, berdasarkan data ekperimen yang ditampilkan pada tabel diawal catatan ini, maka
didapat:
a0 =385(81) − 55(572, 4)
10(385) − (55)2= −0, 360 (12.11)
dan
a1 =10(572, 4) − 55(81)
10(385) − (55)2= 1, 538 (12.12)
Jadi, fungsi pendekatan-nya, P (xi), adalah
P (xi) = 1, 538xi − 0, 360 (12.13)
Solusi least square dengan pendekatan persamaan garis seperti ini juga dikenal dengan nama
lain yaitu regresi linear. Sedangkan nilai a0 dan a1 disebut koefisien regresi. Gambar di
bawah ini menampilkan solusi regresi linear tersebut berikut semua titik datanya
Tentu saja anda sudah bisa menduga bahwa selain regresi linear, mungkin saja terdapat regresi
154 BAB 12. INVERSI
0 2 4 6 8 10−2
0
2
4
6
8
10
12
14
16 P(x) = 1.538*x − 0.36
parabola atau quadratik dimana fungsi pendekatannya berupa persamaan parabola, yaitu:
P (xi) = a2x2i + a1xi + a0 (12.14)
dimana koefisien regresinya ada tiga yaitu a0, a1 dan a2. Kalau anda menduga demikian, maka
dugaan anda benar! Bahkan sebenarnya tidak terbatas sampai disitu. Secara umum, fungsi
pendekatan, P (xi), bisa dinyatakan dalam aljabar polinomial berikut ini:
P (xi) = anxni + an−1x
n−1i + ... + a2x
2i + a1xi + a0 (12.15)
Namun untuk saat ini, saya tidak ingin memperluas pembahasan hingga regresi parabola, dan
polinomial. Saya masih ingin melibatkan peranan metode eliminasi gauss dalam menyele-
saikan problem least square seperti yang selalu saya singgung pada catatan-catatan kuliah
saya yang terdahulu. Nah, kalau metode eliminasi gauss hendak digunakan untuk mencari
solusi regresi linear, kita bisa mulai dari persamaan (12.7) dan (12.8), yaitu:
a0.m + a1
m∑
i=1
xi =m
∑
i=1
yi
a0
m∑
i=1
xi + a1
m∑
i=1
x2i =
m∑
i=1
xiyi
Keduanya bisa dinyatakan dalam operasi matrik:
[
m∑m
i=1 xi∑m
i=1 xi∑m
i=1 x2i
] [
a0
a1
]
=
[
∑mi=1 yi
∑mi=1 xiyi
]
(12.16)
Kalau anda mengikuti catatan-catatan terdahulu, pasti anda tidak asing lagi dengan dengan
semua elemen-elemen matrik di atas. Semua sudah saya ulas pada catatan yang berjudul Ap-
likasi Elimininasi Gauss: Model Garis. Silakan anda lanjutkan perhitungan matrik tersebut
hingga diperoleh koefisien regresi a0 dan a1. Selamat mencoba!
12.2. INVERSI NON-LINEAR 155
12.2 Inversi Non-Linear
Persamaan least squares linear adalah sebagai berikut:
[GtG]δm = Gtδd (12.17)
Persamaan least squares non-linear dapat dinyatakan sebagai berikut:
[GtG + λI]δm = Gtδd (12.18)
dimana G adalah matrik kernel, namun dia juga biasa dikenal dengan sebutan matrik Ja-
cobian, sementara λ adalah faktor pengali Lagrange, dan I adalah matrik identitas yang or-
denya disesuaikan dengan GtG. Adapun definisi δm dan δd akan dijelaskan pada bagian
akhir catatan ini.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan problem least squares non-linear adalah:
1. Menentukan model, misal f(x) = xm
2. Menghitung jacobian, G. Caranya adalah menghitung turunan pertama dari model ter-
hadap model-parameter, m. Sesuai permisalan pada point 1, didapat
A =∂f(m)
∂m= xmln(x) (12.19)
3. Membuat perhitungan simulasi, misalnya ditentukan m = 2. Nilai m adalah nilai yang
hendak dicari. Dalam simulasi, nilai m dianggap sudah diketahui bahkan ditentukan.
Lalu hitunglah f(x) = xm dengan x bergerak dari x = 1, 2, 3.., 10. Jadi, nanti akan didapat
10 buah f(x). Mau lebih dari 10 juga boleh, terserah saja. Hasil hitungannya dikasih
nama d, jadi d = f(x). Karena dalam simulasi ini x-nya bergerak hanya sampai 10, maka
hasilnya mesti ada 10 d, yaitu d1, d2, .., d10.
4. Buatlah perhitungan untuk m sembarang, misal mula-mula dipilih m = 5. Ini adalah ni-
lai awal dari m yang akan diiterasikan sedemikian rupa hingga nantinya m akan menuju
2 sesuai dengan nilai m pada simulasi (point 3). Bagusnya dibedakan penulisannya, atau
tulis saja m0 = 5, dimana m0 maksudnya adalah m mula-mula. Lalu hitung lagi nilai
f(x) = xm0
. Sekarang dinamakan dc = f(x). Jangan lupa bahwa saat perhitungan, nilai
x bergerak dari 1 sampai 10. Jadi, nanti didapat 10 dc.
5. Hitunglah δd, dimana δd = dc − d. Sebelumnya sudah dinyatakan bahwa dc ada 10 buah,
demikian juga d ada 10 buah, maka δd harus ada 10 buah juga.
6. Selanjutnya hitung ||δd|| yang rumusnya seperti ini
||δd|| =1
NΣ(dc − d)2 =
1
NΣδd2 (12.20)
dimana N = 10 karena δd-nya ada 10. Rumus ini tidak mutlak harus demikian, anda bisa
juga menggunakan norm 2, ℓ2.
156 BAB 12. INVERSI
7. Tentukan nilai epsilon, ǫ, misal ǫ = 0.000001. Lalu lakukan evaluasi sederhana. Cek,
apakah ||δd|| < ǫ ? Pasti awalnya ||δd|| > ǫ, kenapa? Karena m 6= m0. Kalau begini
situasinya, δd yang ada 10 biji itu dimasukan kedalam proses berikutnya.
8. Hitunglah operasi matriks berikut ini untuk mendapatkan δm
[GtG + λI]δm = Gtδd (12.21)
dengan λ-nya dikasih nilai sembarang antara 0 dan 1, misalnya λ = 0.005. Perhitungan
ini bisa diselesaikan dengan metode eliminasi gauss.
9. Ganti nilai m0 menjadi m1 sesuai dengan rumus
m1 = m0 + δm (12.22)
Nah, m1 ini dimasukan ke proses yang dijelaskan pada point 4 kemudian proses diu-
langi hingga point 9, begitu seterusnya. Dari sinilah dimulai proses iterasi. Iterasi akan
berhenti bila ||δd|| < ǫ. Pada saat itu, nilai mk akan mendekati m = 2 sesuai dengan m
simulasi.
Selamat mencoba! Saya juga telah menulis beberapa persamaan non-linear sebagai bahan
latihan. Lihat saja di Latihan 1. Tapi tolong diperiksa lagi, apakah jacobiannya sudah be-
nar atau ada kekeliruan. Selanjutnya, kalau ada pertanyaan atau komentar, silakan kirim ke
Daftar Pustaka
[1] Burden, R.L. and Faires, J.D., (2001), Numerical Analysis, Seventh Edition, Brooks/Cole,
Thomson Learning Academic Resource Center.
[2] Haliday and Resnick, (2001), Fundamental of Physics, Brooks/Cole, Thomson Learning Aca-
demic Resource Center.
157
Indeks
Positive-definite, 5
Transpose, 3
Tridiagonal, 4
Vektor-baris, 6
Vektor-kolom, 6
159