– 1 –

Лабораторная работа № 1 (IV курс) Изучение пакета MATLAB. Моделирование элементов радиоэлек-

тронных схем в программной среде пакета MATLAB. Цель работы: 1. Развитие навыков работы с системой моделирования MATLAB, ее

операционной средой, стандартной (составляющей ядро системы) библиотекой подпрограмм MATLAB.

2. Изучение встроенных возможностей по использованию элементов мо-делирования и проведения сложных расчетов.

3. Решение практических задач по подбору функциональных зависимо-стей для описания заданных табличным или графическим способом зависимо-стей. Решение указанных задач методами полиномиальной или кусочно-полиномиальной функции, сплайна.

4. Решение практических задач по моделированию пассивных фильтров различных типов, выбору наиболее технически приемлемых из них. Приобре-тение навыков анализа результатов, полученных при проведении исследований, составления отчета.

Исходные предпосылки и соотношения Основные типы решаемых задач в радиоэлектронике и радиотехнике ус-

ловно могут быть разделены на следующие: задачи моделирования, расчета, анализа, оптимизации и синтеза [6].

Моделирование. Может осуществляться на всех уровнях процесса проек-тирования РЭС: от нижнего (моделирования электронной компонентной базы) до верхнего – выбора оптимальной структуры и параметров радиоэлектронного устройства (системы). Моделирование на нижних уровнях, включающих полу-проводниковые приборы, звенья, каскады и т. д., сводится к описанию их рабо-ты с помощью матрицы, уравнения, формулы, графика или таблицы. Такая математическая модель должна, с одной стороны, с требуемой точностью от-ражать физические процессы в исследуемом объекте, а с другой - быть пригод-ной для использования в компьютере. В одних случаях математическая модель является результатом аналитического или численного анализа физической модели объекта, в других -экспериментальных исследований. Обработка, в том числе и статистическая, имеющегося массива данных, характеризующего работу каска-да или элемента, также проводится с помощью компьютера. Работа объекта мо-жет быть определена и в виде его отклика или реакции на входное воздействие без проникновения в сущность физических процессов, протекающих внутри устройства. В таком случае с помощью математической модели описываются только внешние свойства исследуемого объекта и поэтому модель может быть названа феноменологической.

Расчет состоит в определении параметров или характеристик звена, каска-да, группы каскадов или всего устройства с использованием их математических моделей. На основе определенных зависимостей составляется алгоритм, позво-

– 2 –

ляющий найти отклик объекта при его неизменной структуре и фиксированных внутренних параметрах на внешнее воздействие. В результате составляются ме-тодики расчета параметров и характеристик самых разнообразных радиотехни-ческих устройств.

Анализ заключается в определении отклика объекта на изменение его внутренних параметров или внешнего воздействия, в исследовании переходно-го процесса и установившегося режима работы, условий устойчивости, прохож-дения сложных сигналов, помехоустойчивости и других вопросов.

Оптимизация состоит в определении такой оптимальной комбинации зна-чений внутренних параметров устройства при его неизменной структуре, при которой одна или несколько внешних характеристик или параметров объек-та имеют наилучшее значение согласно выбранному критерию. При этом со-ставляется функция цели, в концентрированной форме отражающая конечный смысл решаемой задачи: поиск оптимальной характеристики объекта с учетом определенных ограничений.

Сам поиск глобального минимума или максимума функции цели, в зависи-мости от характера решаемой задачи, осуществляется по нескольким методам, составляющим предмет нелинейного программирования. Практическая реали-зация второго пути, требующая огромного объема вычислений, возможна только с применением компьютера.

Синтез состоит в определении структуры проектируемого объекта и зна-чений параметров его элементов, при которых устройство наилучшим образом согласно выбранному критерию отвечает необходимым требованиям. Из ска-занного следует, что оптимизацию можно рассматривать как частный случай синтеза. Более того, при оптимизации с перебором нескольких, наиболее под-ходящих для рассматриваемого случая структур объекта, она практически смы-кается с синтезом. Поэтому оптимизацию называют также параметрическим синтезом.

В лабораторной работе №1 будут рассмотрены задачи моделирования

электронной компонентной базы, проектирования амплитудно-частотных ха-рактеристик линейных звеньев.

ЧАСТЬ 1. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПА-

РАМЕТРОВ РАДИОЭЛЕМЕНТОВ ПО ТАБЛИЧНЫМ ДАННЫМ НА ПРИМЕ-РЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ

Для моделирования радиотехнических устройств часто возникает задача

построения полиномиальной или кусочно-полиномиальной функции, сплайна, для приближения исходных данных, заданных таблично или графически. Такие данные могут находиться в различных справочниках, спецификациях, прила-гаемых производителем к образцам своей продукции.

Самым простым видом интерполяции является линейная интерполяция, когда две соседние опорные точки соединяются друг с другом прямой линией, а промежуточные точки определяются из уравнений прямой. Линейная интерпо-

– 3 –

ляция для нелинейной кривой имеет смысл, если опорные точки располагаются достаточно близко друг к другу.

Однако линейная интерполяция в ряде случаев нецелесообразна, посколь-ку некоторые кривые имеют «гладкий» характер. В этой связи требуется, чтобы функция, которую отображает кривая, была на всем интервале непрерывной и дифференцируемой. Для линейной интерполяции указанное требование не вы-полняется.

Для нелинейной интерполяции целесообразно использовать полиномы, при решении которых используются только основные типы вычислительных операций, что значительно упрощает расчеты.

При интерполяции кривой полиномами высоких степеней полиномиальная функция значительно отклоняется от заданной кривой, прежде всего на грани-цах области вычислений. Целесообразно выбирать полиномы с невысокими степенями, при условии достаточного приближения полученной аппроксимации на всем множестве аргументов. Для наилучшего приближения к исходной зави-симости на заданном интервале изменения аргумента функции целесообразно использовать табличные значения аргумента исходной зависимости на большем интервале.

Специальным видом кусочной интерполяции является интерполяция с по-мощью сплайн-функций. Образованные в процессе такой интерполяции кривые обладают достаточным приближением и образуют кусочно-кубический поли-ном. Сплайн-интерполяция по сравнению с другими методами интерполяции обеспечивает наилучше приближение. При этом на каждом из интервалов (i) для сплайн-интерполяции составляется уравнение:

iiiiiiii dxxcxxbxxaS +−+−+−= )()()( 23 , Для n интервалов необходимо найти 4n неизвестных, ввиду того, что для

каждого интерполирующего сплайна Si вычисляются значения 4-х коэффициен-тов (ai, bi, ci, di). Вычисление сплайн-коэффициентов реализуется автоматически при использовании программных математических пакетов высокого уровня.

MATLAB имеет встроенные функции для приближения сплайнами одно-мерных и многомерных данных.

В MATLAB реализовано три способа интерполяции данных с помощью встроенной функции interpl:

1) интерполяция по соседним элементам ( `nearest` ); 2) линейная интерполяция ( `linear` ); 3) интерполяция кубическим сплайнами ( `spline` ). В интерполяции по соседним элементам используется алгоритм выбора в

каждой промежуточной точке значения равного ближайшему значению, задан-ному в таблице.

В линейной интерполяции осуществляется соединение соседних точек от-резками.

Кубическая сплайн-интерполяция обеспечивает более гладкую прибли-жающую функцию.

Файл-программа интерполяции табличных данных на примере кубиче-ской сплайн-интерполяции выглядит следующим образом:

– 4 –

% присваиваем переменным x и y соответствующие значения x=[ 0.1 0.2 0.3 …. ]; y= [-2.3 -1.2 0.2 …]; % задаем промежуточные точки для интерполирования xp=[x(1):0.01:length(x)]; % получаем функцию yspl с помощью кубической сплайн-интерполяции yspl=interpl (x ,y, xp, `spline`); % выводим график табличной заданной функции маркерами plot (x, y, `ko`) % для возможности нанесения полученной функциональной зависимости % на тот же график добавляем специальный оператор hold on hold on % выводим график полученной функции plot( xp, yspl, `k`) % выводим надписи на график, например: title (` Зона возможных положений зависимостей тока стока от

напряжения…`) xlabel(` \ itx`) ylabel(` \ ity`) legend(` табличная функция`, `кубическая сплайн-интерполяция

(spline)`, 2) Следует отметить, что количество точек, полученных с использованием

графиков характеристик существенным образом влияет на качество интерполя-ции исходной зависимости. В этой связи необходимо экспериментальным пу-тем подобрать требуемое количество табличных данных для наилучшего при-ближения.

Таким образом, проделав перечисленные операции, получим график ис-ходной функции и ее приближения.

ЧАСТЬ 2. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОГО ФИЛЬТРА Фильтром называется устройство, устанавливаемое между выводами

электрической цепи с целью изменения соотношения между частотными со-ставляющими спектра проходящего через него сигнала [3].

Фильтры могут работать в диапазоне частот от 0 до 10 ГГц. Они различа-ются по типу, форме амплитудно-частотной характеристики и диапазону час-тот. Ниже приведены основные определения, используемые в практике проек-тирования аналоговых и цифровых фильтров.

Крутизна АЧХ - термин, используемый для описания наклона амплитуд-но-частотной характеристики в переходной полосе, расположенной между по-лосами пропускания и задерживания. Можно сказать, что АЧХ фильтра имеет

– 5 –

крутизну 12 дБ/октаву. Это значит, что сигналы, частота которых отличается на две октавы, будут ослаблены на 24 дБ, а отстоящие по частоте на три октавы – на 36 дБ и т.д.

Неравномерность АЧХ в полосе пропускания - размер флуктуации АЧХ от пика до пика в полосе пропускания.

Ослабление - уменьшение амплитуды сигнала, обычно измеряемое в дБ, после прохождения через аналоговый (цифровой) фильтр. Ослабление фильтра представляет собой отношение амплитуды выходного сигнала фильтра к ам-плитуде входного сигнала на некоторой частоте, определяемое как

Ослабление = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅

in

outa

a10log20 дБ.

Если на заданной частоте амплитуда выходного сигнала фильтра меньше амплитуды входного сигнала, то отношение меньше единицы, а ослабление вы-ражается отрицательным числом.

Относительное ослабление - ослабление, измеренное по отношению к наибольшему значению амплитуды. Наибольшему уровню сигнала обычно присваивается опорный уровень 0 дБ, в результате чего все остальные значения АЧХ оказываются отрицательными.

Передаточная функция - математическое выражение, получаемое как отношение z-преобразования (для аналоговых фильтров - преобразования Лап-ласа) выходного сигнала фильтра к преобразованию входного сигнала. По за-данной передаточной функции мы можем определить АЧХ и ФЧХ фильтра.

Переходная полоса - диапазон частот, в котором АЧХ фильтра перехо-дит от полосы пропускания к полосе задерживания.

Полоса задерживания - диапазон частот, в котором фильтр ослабляет сигналы.

Полоса пропускания - диапазон частот сигнала, в котором фильтр про-пускает энергию сигнала на выход с минимальным ослаблением. Обычно оп-ределяется как диапазон частот, в котором АЧХ фильтра не выходит за преде-лы заданной неравномерности.

Порядок фильтра - число, определяющее наибольшую степень числите-ля или знаменателя передаточной функции фильтра в z-области. В общем слу-чае, чем больше порядок фильтра, тем лучше его частотная характеристика.

Пульсации - флуктуации (величина которых измеряется в дБ) АЧХ в по-лосе пропускания или задерживания. Эллиптические фильтры и фильтры Че-бышева имеют АЧХ с равноволновыми пульсациями, т.е. амплитуда их пуль-саций не меняется в пределах полосы пропускания. АЧХ фильтров Бесселя и Баттерворта не имеют пульсаций. Пульсации в полосе задерживания иногда называют внеполсными пульсациями.

Центральная частота (f0) - частота, лежащая в центре полосы пропуска-ния полосового фильтра.

– 6 –

Частота среза - наивысшая частота полосы пропускания для ФНЧ (и наинизшая частота полосы пропускания ФВЧ), на которой АЧХ еще не выхо-дит за пределы пульсаций полосы пропускания.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - разность фаз входного и вы-ходного синусоидальных сигналов фильтра в зависимости от частоты сигнала. ФЧХ, которую иногда называют характеристикой фазовой задержки, обычно изображается кривой, показывающей сдвиг фаз фильтра в зависимости от час-тоты.

Ширина полосы фильтра - ширина полосы пропускания фильтра. Для ФНЧ ширина полосы равна частоте среза. Для полосового фильтра ширина полосы обычно определяется как разность верхней и нижней частот, на кото-рых АЧХ уменьшается на 3 дБ.

По своему предназначению фильтры служат для обработки сигналов с це-

лью получения требуемых характеристик этих сигналов. В зависимости от формы амплитудно-частотной характеристики (АЧХ)

имеется четыре основных класса фильтров: 1) фильтр нижних частот (ФНЧ). Он пропускает только низкочастотные

составляющие спектра сигнала – обычно от постоянной составляющей и до частоты, которая называется частотой среза и определяется в исходных данных для расчета фильтра. Все спектральные составляющие сигнала с частотой выше частоты среза ФНЧ подавляет;

2) фильтр верхних частот (ФВЧ). Фильтры этого класса подавляют в спектре сигнала все компоненты с частотой от 0 до частоты среза. Спектраль-ные составляющие с частотой выше частоты среза пропускаются ФВЧ без ис-кажений;

3) полосовой фильтр (ПФ). Он пропускает без искажений все спектраль-ные компоненты только в пределах заданной полосы частот и подавляет все компоненты вне ее;

4) режекторный фильтр (РФ). Он подавляет компоненты спектра внутри заданной полосы, называемой полосой задержания, и пропускает без искаже-ний частоты вне этой полосы.

Часто при решении практических задач в процессе проектирования ра-диотехнических устройств возникает необходимость синтеза цепи, когда час-тотная характеристика четырехполюсника задана не аналитически, а графиче-ски или в виде таблицы. Иногда частотная характеристика четырехполюсника задана аналитически, но не в виде рациональной дроби, а в виде какой-либо другой функции. При реализации технического устройства всегда желательно обойтись возможно меньшим числом элементов.

Во всех указанных случаях прибегают к аппроксимации частотных харак-теристик, т. е. заданную (графически, таблично или аналитически) частотную характеристику аппроксимируют некоторой функцией, удовлетворяющей двум условиям:

1) аппроксимирующая функция обеспечивает физическую осуществи-

– 7 –

мость цепи; 2) погрешность от замены заданной функции аппроксимирующей не

должна выходить за заданные пределы в заданном диапазоне частот [5]. Необходимо заметить, что в конечном итоге при практическом использо-

вании схем решающее значение имеют не частотные, а временные характери-стики.

Между частотными и временными характеристиками существует связь, определяемая интегральными преобразованиями Лапласа или Карсона [5], од-нако оценка погрешности во временной характеристике по погрешности час-тотной характеристики требует трудоемких математических операций, что ока-зывается неоправданным. В то же время, очевидно, что чем меньше будет раз-личие в частотных характеристиках, тем меньше будет погрешность и во вре-менных характеристиках.

Опыт реализации большого числа практических схем показывает, что при малых различиях в частотных характеристиках получается приемлемое для практики совпадение и временных характеристик.

Существует много различных способов аппроксимации амплитудно-частотных характеристик: аппроксимация рядами Тейлора, квадратичная ап-проксимация, интерполирование, с помощью рядов Фурье и т. д.

Наиболее широко распространена аппроксимация с помощью мак-симально плоской функции Баттерворта и полиномов Чебышева, дающая так называемое приближение равных пульсаций.

Для создания обобщенных фильтрующих систем, обычно представленных своей передаточной функцией H(s), используются аналоговые фильтры-прототипы. С помощью фильтров-прототипов в последующем удобно рассчи-тать реальный аналоговый или цифровой фильтр с заданными свойствами.

Рассмотрим класс фильтров нижних частот. Все ФНЧ в зависимости от вида АЧХ делятся на две категории – полюс-

ные и эллиптические. Их различие заключается в том, что в передаточной функции полюсных фильтров содержатся только полюса, а у эллиптических - кроме полюсов имеются еще и нули. К полюсным фильтрам относятся фильтры Баттерворта, Чебышева и Бесселя [3].

Амплитудно-частотная характеристика идеального нормированного ФНЧ показана на рис. 1a. Он пропускает без затухания все компоненты от постоян-ной составляющей до 1 рад, а вне полосы обеспечивает бесконечное затухание.

– 8 –

Рис. 1. Типовые АЧХ фильтров: а - идеальный ФНЧ; б - ФНЧ Баттерворта;

в - ФНЧ Чебышева (1- пульсации) Фильтр Баттерворта. Функция Баттерворта - математическая функция, используемая для по-

лучения максимально гладкой АЧХ фильтра без учета требований к ФЧХ. АЧХ фильтров, основанных на функции Баттерворта, не имеет пульсаций ни в поло-се пропускания, ни в полосе задерживания. К сожалению, при заданном поряд-ке фильтры Баттерворта имеют самую широкую переходную полосу по срав-нению с фильтрами, использующими другие популярные аппроксимирующие функции.

Это устройство получило очень широкое распространение. Фильтр имеет АЧХ, которая в середине полосы пропускания очень близка к плоской и не-сколько закругляется в окрестности частоты среза. За пределами полосы про-пускания скорость затухания увеличивается и в некоторых случаях достигает 6n децибел на октаву, где n - порядок фильтра.

Передаточная функция фильтра имеет вид:

))())...(2())(1(()()()(

npspspsk

spszsH

−−−== .

Аппроксимация идеального ФНЧ фильтром Баттерворта показана на рис.

1б. Как видно из рисунка, подобная аппроксимация оказывается наиболее удачной на удалении от нормированной частоты среза 1 рад, в окрестности этой точки она получается достаточно грубой.

– 9 –

Например, ФНЧ третьего порядка увеличивал бы затухание в полосе за-держания на 18 дБ всякий раз при удвоении частоты. Фильтры Баттерворта очень просты в изготовлении, поскольку к параметрам элементов схемы не предъявляется никаких особых требований. Они имеют различные области оп-ределения, соответствующие полосе пропускания и полосе задержания.

Формула для АЧХ фильтра Баттерворта оказывается очень простой:

nK

2

0

1

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ω

где ω0 – частота среза, n – порядок фильтра. Коэффициент передачи на нулевой частоте равен 1, а на частоте среза не-

зависимо от порядка фильтра составляет дБ 3707,02

1 −≈≈ .

В MATLAB расчет аналогового фильтра прототипа Баттерворта произво-дится с помощью функции buttap:

[z, p, k] = buttap(n); z – вектор нулей (столбец); p – вектор полюсов (столбец); k – коэффициент усиления (скаляр). Пример вычисления параметров фильтра Баттерворта порядка 4 приведен

ниже: [z, p, k] = buttap(4); z = [ ] p = -0.3827+0.9239i -0.3827-0.9239i -0.9239+0.3827i -0.9239-0.3827i k = 1 Для преобразования коэффициента усиления, векторов нулей и полюсов

функции передачи в коэффициенты полиномов ее числителя и знаменателя имеется функция zp2tf:

[b, a] = zp2tf (z, p, k); Здесь b и a – коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функ-

ции передачи соответственно. Коэффициенты следуют в порядке убывания сте-пеней, заканчивая постоянным слагаемым.

На рисунках 2 (а, б) представлены принципиальные схемы LC - ФНЧ Бат-

терворта.

– 10 –

а) б) Рис. 2 Реализация ФНЧ Баттерворта на LC -элементах

Параметры элементов и их количество (n) определяется порядком фильт-

ра. Очевидно, что сложность схемы и трудоемкость ее настройки находится в прямой зависимости от порядка фильтра. По этой причине понятно стремление разработчика к максимально допустимому снижению порядка фильтра.

Для нормированных фильтров существуют таблицы, в которых сведены заранее рассчитанные значения элементов схем. При известном порядке фильт-ра может быть получен набор характеристик элементов фильтра из соответст-вующих таблиц. Дальнейший расчет состоит лишь в подходящем масштабиро-вании табличных значений по частоте и импедансу.

Фильтры Чебышева. Более точно воспроизводит АЧХ идеального ФНЧ кривая Чебышева (рис.

1в). Функция Чебышева - математическая функция, используемая для расчета

фильтров, АЧХ которых содержит пульсации заданного уровня в полосе про-пускания или в полосе задерживания. Имеются семейства функций Чебышева, обеспечивающие уровень пульсаций 1 дБ, 2 дБ и 3 дБ. АЧХ фильтров Чебыше-ва может пульсировать в полосе пропускания и быть гладкой в полосе задер-живать (фильтры Чебышева типа I) или быть гладкой в полосе пропускания и пульсировать в полосе задерживания (фильтры Чебышева типа II). Фильтры Чебышева не могут иметь пульсации одновременно и в полосе пропускания, и в полосе задерживания. Цифровые фильтры, основанные на функциях Чебы-шева, имеют более крутую переходную полосу, чем фильтры Баттерворта, но нелинейность их ФЧХ выше, чем нелинейность ФЧХ фильтров Баттерворта.

В области частоты среза АЧХ фильтра Чебышева является почти прямо-

угольной, а скорость ее спуска к полосе задержания более крутой. Однако, как всегда бывает, новое качество достигается за счет определенных потерь. В дан-ном случае — это неравномерность АЧХ в полосе пропускания.

Передаточная функция фильтра имеет вид, аналогичный передаточной функции фильтра Баттерворта (а также фильтра Бесселя, рассматриваемого ни-же).

Фильтры Чебышева изготовлять сложнее, чем фильтры Баттерворта. Они "чувствительнее" к разбросу параметров элементов схемы относительно номи-нала. Чем больше пульсаций в полосе пропускания фильтра Чебышева, тем круче АЧХ в области частоты среза для данного порядка n фильтра и чувстви-тельнее к изменению параметров элементов становится схема.

Функция передачи Чебышева первого рода не имеет нулей, а е полюсы расположены в левой половине эллипса на s-плоскости.

АЧХ фильтра Чебышева первого рода описывается следующим образом:

– 11 –

)(11)(

022 ωωε

ωnT

K+

= ,

где ω0 – частота среза, - полином Чебышева n-го порядка, n – поря-)(xTn

док фильтра, ε – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания.

Значение параметра ε и уровень пульсаций Rp (в децибелах) связаны следующим образом:

)1lg(10)1lg(20 22 εε +=+=pR дБ.

В MATLAB фильтр-прототип Чебышева первого рода рассчитывается с помощью функции cheb1ap:

[z, p, k] = cheb1ap(n, Rp), где z – вектор нулей (столбец);

p – вектор полюсов (столбец); k – коэффициент усиления (скаляр); n – порядок фильтра; Rp – уровень пульсаций в полосе пропускания (в децибелах).

В первой октаве затухание превосходит 6n дБ. В качестве примера рассмотрим следующий: [z, p, k] = cheb1ap(4, 2), z = [ ] p = -0.1049+0.9580i -0.2532+0.3968i -0.2532+0.3968i -0.1049-0.9580i k = 0.1634 Фильтры Бесселя. Особенностью фильтров Баттерворта и Чебышева является то, что спек-

тральные составляющие входного сигнала при прохождении через них испыты-вают различную временную задержку. Изменение времени задержки внутри полосы пропускания фильтра называется искажением, обусловленным задерж-кой сигнала. Такое искажение увеличивается с возрастанием порядка фильтра и уровня пульсаций. Если входной сигнал не синусоида, а подобно импульсам или модулированной несущей содержит колебания с кратными частотами, то из-за различной временной задержки этих колебаний фильтром форма выход-ного сигнала искажается.

Существуют фильтры, которые внутри полосы пропускания обеспечива-ют постоянную задержку для всех спектральных составляющих сигнала. Одна-ко в этом случае характер изменения затухания в области частоты среза АЧХ сильно отличается от формы АЧХ фильтров Чебышева и Баттерворта. В преде-

– 12 –

лах одной из двух октав за частотой среза затухание изменяется несколько мед-леннее, чем у других типов фильтров. Такие устройства называются фильтрами Бесселя. Они применяются главным образом в тех случаях, когда важнее пере-дать сигнал без искажений, чем определить характер вносимого затухания.

Функция Бесселя - математическая функция, используемая для получения наиболее линейной ФЧХ фильтра без учета требований к АЧХ. Фильтры, спро-ектированные на основе функций Бесселя, имеют почти постоянную группо-вую задержку.

Необходимо помнить, что у таких фильтров при преобразовании ФНЧ в ФВЧ, ПФ или РФ постоянство времени задержки внутри полосы пропускания не сохраняется.

В MATLAB фильтр-прототип Бесселя рассчитывается с помощью функ-ции besselap:

[z, p, k] = besselap(n), где параметры z, p, k, n имеют аналогичные значения, что и у функции

cheb1ap. Эллиптические фильтры. Ранее рассмотрены полюсные ФНЧ, т. е. фильтры, имеющие только по-

люса. Их отличие состоит в том, что они полностью подавляют лишь спек-тральные составляющие с бесконечными частотами. В отличие от полюсных эллиптические фильтры характеризуются и полюсами, и нулями. А это позво-ляет синтезировать такую форму АЧХ, которая обеспечивает полное подавле-ние определенных компонент спектра в полосе задержания вблизи частоты сре-за.

Эллиптическая функция - математическая функция, используемая для рас-чета фильтров с самой крутой переходной полосой АЧХ при заданном порядке фильтра. Однако фильтры, спроектированные на основе эллиптических функ-ций, которые также называют фильтрами Кауэра, имеют наихудшую форму ФЧХ по сравнению с фильтрами на основе других популярных функций. АЧХ эллиптических фильтров имеет пульсации одинаковой величины, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

Как и у фильтров Чебышева, АЧХ эллиптических фильтров характеризу-ется наличием пульсаций в полосе пропускания. Однако в АЧХ последних в полосе задержания имеются дополнительные участки с одинаковой ампли-тудой.

Таким образом, для данного порядка n эллиптические фильтры обладают АЧХ с самым крутым из теоретически возможных спуском к полосе задержа-ния. На рис. 3 показана форма АЧХ эллиптических фильтров в сравнении с АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева того же порядка.

– 13 –

Рис. 3. АЧХ типовых фильтров:

1 - идеальный ФНЧ; 2 - ФНЧ Баттерворта; 3 - ФНЧ Чебышева; 4 - эллиптический ФНЧ АЧХ эллиптического фильтра описывается следующей формулой:

),(11)(

022 LR

Kn ωωε

ω+

= ,

0ω - частота среза, n – порядок фильтра, Rn(…) – рациональная функция Чебышева n-го порядка, ε и L – параметры, определяющие величину пульсаций в полосах пропускания и задерживания.

В MATLAB эллиптический фильтр-прототип рассчитывается с помощью функции ellipap:

[z, p, k] = ellipap(n, Rp, Rs), где n – порядок фильтра, Rp – уровень пульсаций в полосе пропускания,

Rs – уровень пульсаций в полосе задерживания. Уровень пульсаций указывает-ся в децибелах.

Пример: [z, p, k] = ellipap(4, 1, 20), z = 0 -2.0392i 0 +2.0392i 0 -1.1243i 0 +1.1243i p = -0.4003-0.6509i -0.4003+0.6509i -0.0516-1.0036i -0.0516+1.0036i k = 0.1000 Изменение частоты среза ФНЧ-прототипа сводится к простому масшта-

бированию частотной оси.

– 14 –

Функция трансформации частоты является линейной:

0

)(ωωωω =f

где 0ω - требуемая частота среза ФНЧ. В MATLAB такое преобразование производится функцией lp2lp: [b1, a1] = lp2lp(b, a, w0). Возвращаемый результат – пересчитанные параметры фильтра. Используя аналоговый прототип ФНЧ или базовый фильтр с нормирован-

ными частотами можно получить параметры соответствующего фильтра на ос-нове группы функций MATLAB: lp2bp, lp2bs, lp2hp, lp2lp.

Для расчета аналогового фильтра необходимо выполнить две основные операции: рассчитать ФНЧ-прототип и преобразовать его к нужному типу фильтра с заданными частотами среза.

Требуемая последовательность действий оформлена в виде следующих функций MATLAB:

butter(n, w0, type, 's') —расчет фильтров Баттерворта; cheby1(n, Rp, w0, type, 's')— расчет фильтров Чебышева первого рода; cheby2(n, Rs, w0, type, 's') — расчет фильтров Чебышева второго рода; ellip(n, Rp, Rs, w0, type, 's') — расчет эллиптических фильтров; besself(n, w0, type) — расчет фильтров Бесселя. Параметры всех функций задаются одинаково. Перечисленные функции, за исключением функции besself, позволяют

рассчитывать как аналоговые, так и дискретные фильтры. Признаком аналого-вого расчета служит строка 's', использованная в качестве последнего входного параметра.

Параметры n, Rp, Rs (их состав зависит от типа фильтра) — это парамет-ры фильтра-прототипа: n — порядок фильтра, Rp — уровень пульсаций в поло-се пропускания (в децибелах), Rs — уровень пульсаций в полосе задерживания (в децибелах). Более подробное описание этих параметров было приведено ра-нее, в разделах, посвященных фильтрам-прототипам.

Параметры w0 и type используются совместно для задания типа фильтра и значений его частот среза (в радианах в секунду):

Фильтр нижних частот (ФНЧ): w0 — скаляр, параметр type отсутствует; Фильтр верхних частот (ФВЧ): w0 — скаляр, type = 'high'; Полосовой фильтр: w0 — двухэлементный вектор частот среза [w1 w2],

параметр type отсутствует; Режекторный фильтр: w0 — двухэлементный вектор частот среза [w1

w2], type='stop'. В зависимости от того, сколько выходных параметров указано при вызо-

ве, функции могут возвращать результаты расчета в виде коэффициентов поли-номов числителя и знаменателя функции передачи (два выходных параметра), нулей и полюсов (три выходных параметра) либо параметров пространства со-стояний (четыре выходных параметра):

[b, a] = ...

– 15 –

[z, p, k] = ... [A, B, C, D] =... С учетом всего сказанного перечислим действия, выполняемые функция-

ми расчета аналоговых фильтров: 1. Производится расчет фильтра-прототипа с заданными параметрами

АЧХ. 2. Полученные нули и полюсы преобразуются в параметры пространства

состояний (коэффициенты передаточной характеристики фильтра). 3. Производится преобразование фильтра-прототипа к требуемому типу с

заданными частотами среза. Рассмотренные выше функции расчета фильтров требуют задания в каче-

стве входных параметров порядка фильтра и его частоты среза. При этом поня-тие частоты среза для фильтров разных типов определяется по-разному. Однако исходными данными при разработке фильтров, как правило, являются другие параметры: частотные границы полос пропускания (ωp) и задерживания (ωs), а также допустимая неравномерность АЧХ в полосе пропускания (Rp) и мини-мально необходимое затухание в полосе задерживания (Rs) (рис. 4). Серые об-ласти на рисунке демонстрируют допуски, в которые должна укладываться АЧХ фильтра в полосах пропускания и задерживания.

В пакет Signal Processing, входящий в состав библиотек MATLAB, вклю-

чены 4 функции, которые обеспечивают вычисление минимального порядка (n) и граничной частоты (Wn) фильтров по следующим заданным параметрам:

Rp — допустимый уровень пульсаций в полосе пропускания (в децибе-лах);

Rs — минимально необходимое затухание в полосе задерживания (в де-цибелах);

Ws – полоса задержания (значение частоты, на которой обеспечивается требуемое затухание сигнала);

Wp – полоса пропускания фильтра. Указанные функции представлены ниже: [n, Wn] = buttord (Wp, Ws, Rp, Rs, 's'); [n, Wn] = cheb1ord (Wp, Ws, Rp, Rs, 's'); [n, Wn] = cheb2ord (Wp, Ws, Rp, Rs, 's'); [n, Wn] = ellipord (Wp, Ws, Rp, Rs, 's'). Параметр ‘s’ означает, что выбирается вариант расчета аналогового

фильтра. При отсутствии этого параметра решается задача расчета цифрового фильтра.

Указанные функции могут применяться для оценки n и Wn различных фильтров. Вид амплитудно-частотных характеристик различных фильтров представлен на рис. 4. На этом рисунке также нанесены характерные точки, для которых задаются параметры соответствующих фильтров.

– 16 –

Рис. 4. Вид амплитудно-частотных характеристик различных фильтров Данные функции позволяют выбирать порядок, как для аналоговых, так и

для дискретных фильтров. Способ задания параметров Wp и Ws зависит от ти-па проектируемого фильтра (рис. 4):

Для ФНЧ: Wp и Ws — числа, при этом должно выполняться неравенство Wp < Ws; Для ФВЧ: Wp и Ws — числа, при этом должно выполняться неравенство Wp > Ws; Для полосового фильтра: Wp и Ws — двухэлементные векторы, при этом

должны выполняться неравенства Ws(1) < Wp(1) < Wp(2) < Ws(2); Для режекторного фильтра: Wp и Ws — двухэлементные векторы, при

этом должны выполняться неравенства Wp(1) < Ws(1) < Ws(2) < Wp(2). Значения параметров Wp и Ws были обозначены на рис. 4 как ωp и ωs, со-

ответственно. Выходными параметрами являются минимально необходимый для вы-

полнения заданных требований порядок фильтра n и частота среза фильтра Wn. Эти параметры должны затем использоваться при вызове функции расчета фильтра. Возврат значения Wn избавляет пользователя от забот, связанных с тем, что при расчете разных фильтров понятие частоты среза имеет разный смысл. Для эллиптических фильтров и фильтров Чебышева первого рода Wn = Wp, для фильтров Чебышева второго рода Wn = Ws, а для фильтров Баттер-ворта значение Wn (напомним, что оно определяет частоту среза по уровню 3 дБ) зависит от заданного уровня пульсаций Rp следующим образом:

– 17 –

n Rp

pn 2 10 110 −=

ωω .

Поскольку порядок фильтра — величина целочисленная, то обычно ока-

зывается, что фильтр минимально необходимого порядка обеспечивает некото-рый запас по исходным параметрам. Этот запас можно использовать по-разному — либо сделать пульсации в полосе пропускания точно равными за-данным, но увеличить затухание в полосе задерживания, либо точно выдержать заданное затухание в полосе задерживания, уменьшив при этом пульсации в полосе пропускания. Для эллиптических фильтров возможен еще один вариант — сужение переходной зоны за счет расширения полосы задерживания.

Для иллюстрации применения рассмотренных функций решим задачу проектирования аналогового эллиптического фильтра со следующими парамет-рами: (n=8; Rp=2; Rs=25)

Вид программы: n=8; Rp=2; Rs=25; [z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs); [b,a]=zp2tf(z,p,k); % Далее следует преобразование параметров фильтра-прототипа % в параметры аналогового эллиптического ФНЧ: w0=2*pi; [bt,at]=lp2lp(b,a,w0); % Строим АЧХ и ФЧХ фильтра: freqs(bt,at) Функция MATLAB freqs(b,a) позволяет реализовать расчет комплексных

АЧХ по заданным в векторах a и b коэффициентам передаточной характери-стики фильтра.

Параметры вызова этой функции имеют варианты: freqs(b,a,w) – по заданным в векторах a и b коэффициентам передаточ-

ной характеристики фильтра вычисляет параметры АЧХ аналогового фильтра, соответствующие заданному вектору частот w. В случае задания вектора w в явном виде w = logspace(2,5), диапазон изменения вектора частот на графике будет логарифмическим, причем степени логарифмической шкалы будут нахо-диться в диапазоне от 102 до 105;

freqs(b,a) - по заданным в векторах a и b коэффициентам передаточной характеристики фильтра и вычисляет параметры АЧХ аналогового фильтра, ав-томатически определяя диапазон частот для построения АЧХ.

Получим следующий график (рис.5):

– 18 –

Рис. 5 Характеристики (АЧХ и ФЧХ) аналогового эллиптического ФНЧ

В качестве примера расчета полосового фильтра рассмотрим вариант ана-

логового фильтра Чебышева второго рода с характеристиками: Полоса пропускания фильтра: 500– 1000 рад/с; Частоты задержания: 250 и 1500 рад/с; Уровень пульсаций в полосе пропускания: 2 дБ; Уровень ослабления сигнала на частотах задержания: 45 дБ. Программа расчета имеет вид: Rp=2; Rs=45; Ws=[250 1500]; Wp=[500 1000]; % Получаем требуемый порядок фильтра для реализации % заданных требований, а также – частоты среза фильтра % (Параметр Wn в данном примере имеет два значения) [n,Wn]=cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's'); % Далее рассчитываем коэффициенты передаточной характеристики % с учетом порядка фильтра, частот среза и уровня ослабления сигнала: w0=Wn; [b,a]=cheby2(n, Rs, w0, 's'); % построение графиков (рис.6): freqs(b,a)

– 19 –

Рис. 6. Характеристики (АЧХ и ФЧХ) аналогового полосового

фильтра Чебышева второго рода Порядок выполнения первой части работы: 1. Запустить систему MATLAB, открыть окно для создания нового доку-

мента (рис.7).

Рис. 7 Вид нового окна для создания М-файла Присвоить документу имя, включающее номер группы и фамилию сту-

дента. Сохранить документ в директории с номером своей группы. 2. Задание 1 посвящено созданию аналитической модели полупроводни-

кового прибора – полевого транзистора. Для этого необходимо получить у пре-подавателя номер графика, представленного в приложении 1.

– 20 –

Целью создания модели является построение аппроксимирующей функ-ции, описывающей характеристики полупроводникового прибора. При этом не-обходимо получить аппроксимацию каждой из представленных кривых и срав-нить с табличным оригиналом, нанесенным на график.

При оформлении отчета одновременно с поученными функциональными зависимостями на график необходимо нанести исходные точки, полученные с использованием индивидуальных рисунков.

Указание. В случае значительных отклонений полученной зависимости от исходной следует повторить процесс отбора точек для интерполяции, т.е. увеличить их количество, а также их взаимное расположение.

Порядок выполнения второй части работы: 1. Получить у преподавателя номер варианта задания в соответствии с

таблицей: Табл.1

Параметры фильтра № зада-ния

Тип

фильтра Нижняя частота среза, Гц

Нижняя граничная частота, Гц

Гарантир. затухание на нижней граничной частоте, дБ

Верхняя частота среза, Гц

Верхняя граничная частота,

Гц

Гарантир. затухание на верхней гра-ничной час-тоте, дБ

Дополнительные требования к

проектируемому фильтру

1. ФНЧ 250 500 45 - - - Сноска 1 2. ФВЧ - - - 1500 550 45 Сноска 2 3. ПФ 1000 300 45 4000 10000 55 Сноска 3 4. РФ 200 300 25 5000 2500 25 Сноска 4 5. ФНЧ 500 1250 35 - - - Сноска 5 6. ФВЧ - - - 2800 700 35 Сноска 1 7. ПФ 2000 600 42 5000 15000 40 Сноска 2 8. РФ 650 700 25 1000 900 23 Сноска 3 9. ФНЧ 100 250 27 - - - Сноска 4 10. ФВЧ - - - 300 120 25 Сноска 5 11. ПФ 800 250 25 3000 9000 25 Сноска 1 12. РФ 6000 8000 18 12000 10000 20 Сноска 2 13. ФНЧ 12000 15000 40 - - - Сноска 3 14. ФВЧ - - - 5000 1500 30 Сноска 4 15. ПФ 900 500 30 1250 3000 32 Сноска 5 16. РФ 2800 2900 35 3000 2950 35 Сноска 1 17. ФНЧ 5000 9000 32 - - - Сноска 2 18. ФВЧ - - - 7500 2000 18 Сноска 3 19. ПФ 2500 1000 50 6000 14000 45 Сноска 4 20. РФ 200 300 45 3000 2000 42 Сноска 5

Сноски: 1 – Порядок фильтра должен быть минимально возможным; 2 – Неравномерность АЧХ (пульсации) в полосе пропускания фильтра не более 0.1 дБ; 3 – Плоская АЧХ в пределах полосы пропускания фильтра; 4 – Задержка сигнала внутри полосы пропускания фильтра должна быть постоянной; 5 – Неравномерность АЧХ (пульсации) в полосе пропускания фильтра не более 0.5 дБ;

2. В соответствии с заданием спроектировать аналоговый фильтр. Кон-

кретный вариант фильтра подобрать исходя из дополнительного условия, ука-занного в сноске к табл.1.

Указание: для правильного подбора варианта фильтра следует воспользо-ваться функциями buttord, cheb1ord, cheb2ord, ellipord.

После выбора варианта фильтра необходимо рассчитать его параметры.

– 21 –

Для решения поставленной задачи следует вычислить коэффициент уси-ления, вектор нулей и полюсов функции передачи с помощью функций butter, cheby1, cheby2, ellip или besself.

Преобразовать параметры фильтра-прототипа в параметры аналогового фильтра в соответствии с выбранным вариантом.

Построить АЧХ и ФЧХ фильтра с использованием функции freqs(…,…). Проверить по графикам соответствие полученной АЧХ спроектированно-

го фильтра заданным. Объяснить алгоритм решения задачи с использованием инструментов

проектирования MATLAB. Пояснить выбор варианта фильтра. Объяснить, по-чему выбранный вариант фильтра в наибольшей степени удовлетворяет задан-ному условию.

3. Оформить отчет о работе, содержащий название лабораторной работы, исполнителя (ФИО, номер группы), номер варианта, краткое описание этапов выполнения работы, график интерполирующей функции с нанесенными на него исходными точками (по первой части работы), графики АЧХ и ФЧХ спроекти-рованного фильтра (по второй части работы). Обосновать выбор фильтра. На полученных графиках отметить характерные точки (частоты среза, частоты по-давления). Сформулировать выводы по существу проведенного исследования.

Контрольные вопросы: 1. Сформулируйте основные типы задач, решаемых в радиотехнике и ра-

диоэлектронике. 2. Приведите примеры задач, решаемых на различных уровнях проекти-

рования. 3. Какие методы интерполяции данных вам известны? 4. Какие правила следует соблюдать при выборе порядка аппроксими-

рующих полиномов? 5. Сформулируйте известные способы аппроксимации табличных значе-

ний данных с помощью средств системы MATLAB. 6. Перечислите основные классы радиотехнических фильтров. 7. Перечислите основные формы АЧХ фильтров и дайте краткую характе-

ристику каждому из этих фильтров. 8. Какой из фильтров (Чебышева или Баттерворта) имеет меньший поря-

док полинома при одинаковых уровнях пульсаций в пределах полосы прозрач-ности?

ЛИТЕРАТУРА: 1. Каганов В.И., Битюков В.К. Основы радиоэлектроники и связи: Учеб.

пособие для вузов. – М.: Горячая линия–Телеком, 2006; 2. Гоноровский И.С., Демин М.П. Радиотехнические цепи и сигналы:

– 22 –

Учеб. пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1994; 3. Кауфман М., Сидман А.Г. Практическое руководство по расчетам схем

в электронике: Справ. в 2 т. Т.2: Пер. с англ./ Под ред. Ф.Н. Покровского. – М.: Энергоатомиздат, 1993;

4. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов, 2-е изд. – СПб.: Питер, 2006;

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА: 5. Толстов Ю.Г. Теория линейных электрических цепей: Учебное пособие

для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. Высш. школа, 1978; 6. Каганов В.И. Радиотехника + компьютер + Mathcad. – М.: Горячая ли-

ния – Телеком, 2001; 7. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изобра-

жений. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002.

– 23 –

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

График 1.

График 2.

– 24 –

График 3.

График 4.

– 25 –

График 5.

График 6.

– 26 –

График 7.

График 8.