1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000...
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Grundgesamtheit – Stichprobe
• Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen
• Stichprobe: 1‘000 repräsentative WählerInnen
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Stichproben
• Eine Forscherin entwickelt ein neues Medikament. Bei einem Test an 10 Personen, bewirkt der neue Stoff bei 7 Personen eine Verbesserung. Bei den traditionellen Medikamenten tritt eine positive Wirkung „nur“ bei 50% der Behandlungen ein.
• Weist die Untersuchung der Forscherin eine signifikante Messung auf oder ist sie zufällig?
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Natürliche Streuung
• Wenn man 10 mal eine Münze wirft, dann müsste man der Wahrscheinlichkeit gemäss 5 mal „Zahl“ und 5 mal „Kopf“ werfen. Das ist aber unwahrscheinlich!
• Das Gleiche gilt bei Medikamenten, wenn bei 50% der Patienten eine Wirkung eintritt. Wenn man 10 Patienten das Medikament gibt, wirkt es nicht zwingend jedes Mal bei 5 und bei 5 nicht.
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Ein Versuch
Serie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Wurf
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 02 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 13 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 04 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 15 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 06 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 17 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 08 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 09 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1
10 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1
Mittel 40 20 60 40 50 20 30 40 70 50 40 80 80 30 50
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Aufgabe
Öffnet den Datenset binomial_würfe.sav
1. Berechnet die Anzahl Fälle >=70 und davon abgeleitet, wieviel Prozent das sind
2. Macht das Gleiche für alle Fälle >=70 oder <=30
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Eine kleine Rechnung
• Von unseren 50 Wurfserien sind 9 mit einem Wert >= 70
• 9/0.5 = 18
• In 18% der Fälle liegt der Wert durch zufällige Streuung im Bereich >= 70
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Eine kleine Rechnung II
• Von unseren 50 Wurfserien sind 19 mit einem Wert >= 70 oder <= 30
• 19/0.5 = 38
• In 38% der Fälle liegt der Wert durch zufällige Streuung im Bereich >= 70 oder <= 30
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Bedeutung
• Wenn in 38% der Fälle ein Wert zufällig >= 70 oder <= 30 sein kann, ist das neue Medikament weder besser noch schlechter als die bestehenden Medikamente, mit einer Heilungschance von 50%
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Binomialtest
• Script S. 209
• Stichprobengrösse– Einmal Samplesize 10, einmal 40 (simul.sav)
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Normalverteilung
-3 -2 -1 0 1 2 3
Fläche = 1
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Normalverteilung II
-3 -2 -1 0 1 2 3
Prob =.683
Prob = .954
Prob = .997
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-3 -2 -1 0 1 2 3
z = 0.5
Die schraffierte Fläche repräsentiert die Wahrscheinlichkeit eines Z-Wertes >= .5
Werte können in einer Tabelle abgelesen werden
Fläche = .3085
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Berechnen des z-Wertes
• Bsp. IQ (iq.sav) gruppe iqa 75a 106a 91a 89a 98a 96b 85b 102b 87b 85b 106
Deskriptive Statistik
100 57 142 99.19 13.525
100
iqGültige Werte(Listenweise)
N Minimum Maximum MittelwertStandardabweichung
Z-Wert für 75: (75-99.19)/13.52 = -1.79
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Aufgabe: Z-Werte
Datensatz iq.sav• Errechnet die neue Variable ziq gemäss der
Formel
s
xxz
1
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Stichproben
• Script S. 219
• Beispiel cholest_stichproben.sav
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P für Cholestrinwert <= 193
• Z = 193-205/34.83 = -0.345
• P nach Tabelle = 37%
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Verteilung von 500 Stichprobenmittelwerten von Stichproben der Grösse 21
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21
Standardabweichung der Stichprobenmittel = Standard-Fehler
Bsp: 35 / Wurzel(21) = 7.64
Std.Err.=
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Anwendung
• Bei gegebenem Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit kann man:
– die Wahrscheinlichkeit eines Z-Wertes für Stichproben finden
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Z-Wert
z = Mittelwert Stichprobe – Mittelwert Grundgesamtheit
Standardabweichung Grundgesamtheit
n
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Beispiel:
21 CEOs wurden nach ihrem Cholesteringehalt untersucht, mit dem Ergebnis von 193 mg/dl. Wir wissen, dass in der Bevölkerung der Cholesteringehalt im Mittel 205 mg/dl beträgt, das mit einer Standardabweichung von 35
z = 193 – 205
21
35= -1.57
Kontrolle Buch S. 223
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Was geschieht, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit fehlt?
Wir wissen vielleicht, dass die Beschäftigten in einem Land im Mittel 40 Stunden arbeiten, kennen aber die Standardaweichung nicht.
Buch Norusis, S. 235 f.
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T-Statistik
• Formel:
t =
Stichprobenmittel – Mittel der Grundgesamtheit
n
s s ist die Std.Abw. der Stichprobe
Der ganze Teil ist die Std.Abw der Streuung aller möglichen Stichproben =
Std.Err. der Stichprobenmittel
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Die T-Statistik
• Basiert auf der t-Verteilung
• Die Verteilung verändert sich nach Anzahl n
• Um die richtige Verteilung zu finden, braucht es die Freiheitsgrade
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Die Berechnung zum Beispiel ist im Buch auf S. 240 zu finden.
T = (47-40)/0.49 = 14.3
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29
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4Normalt.df2t.df9
T- Verteilung
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30
Degrees of freedom (df)
• Die Anzahl von Stichprobenwerten, die frei variieren können
10
6
9
7
?
x = 8
40
Eine Restriktion
Freiheitsgrade = n - 1
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Ein t-Wert von 14.3?
• Was bedeutet dieser Wert bei 436 Freiheitsgraden?
• Kontrolle auf Tabelle
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Vorgehen in SPSS
• S. 240 Script
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Histogramm
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34
Ist die Verteilung normal?
• Aufgrund des visuellen Eindrucks eher nicht
• Überprüfung mit Shapiro-Wilk‘s und Kolmogorov-Smirnov (K-S) Test
• -> Explore-Befehl
• Script S. 264
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Zentraler Grenzwertsatz
• Genug grosse Stichproben (Faustregel > 30) streuen in ihren Mittelwerten approximativ normal. Dabei muss die Variable der Gesamtpopulation nicht normal verteilt sein.
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36
Diskussion der Ergebnisse
Statistik bei einer Stichprobe
437 47.00 10.207 .488Number of hoursworked last week
N MittelwertStandardabweichung
Standardfehler des
Mittelwertes
Test bei einer Sichprobe
14.326 436 .000 6.995 6.04 7.96Number of hoursworked last week
T df Sig. (2-seitig)Mittlere
Differenz Untere Obere
95% Konfidenzintervallder Differenz
Testwert = 40
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Konfindenzintervalle I
Aufgrund der hohen Signifikanz können wir davon ausgehen, dass die Hochschulabgänger mehr als 40 Stunden arbeiten.
Aber:
Wieviele Stunden arbeiten sie nun?
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Konfidenzintervalle II
Aufgrund unserer Daten könnten wir von 47 Stunden ausgehen.
Das ist die beste Vermutung, die aus dem Mittel der Stichprobe abgeleitet ist.
Aufgrund des Standardfehler wissen wir, dass die Stichproben eine Std.Abw. von .488 haben
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39
Konfidenzintervalle III
Im Beispiel haben wir ein 95%-iges Konfidenzintervall.
Dh. 95% der Fälle liegen innerhalb von ca. 2 Std.Abw.
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40
Konfidenzintervall IV
Jetzt können wir rechnen:
2 x 0.48 = 0.96
Mittelwert von 47 – 0.96 = 46.04
Mittelwert von 47+ 0.96 = 47.96
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Aufgaben
• Aufg. 2 S. 250
• Aufg. Statistics Coach (brakes.sav)
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T-Test mit abhängigen (gepaarten) Stichproben
Ausgangslage:
• Typischwerweise vorher - nachher
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β-Endorphin-Werte
vorher nachher diff________ ________ ________
4.30 29.60 25.30 4.60 25.10 20.50 5.20 15.50 10.30 5.20 29.60 24.40 6.60 24.10 17.50 7.20 37.80 30.60 8.40 20.20 11.80 9.00 21.90 12.90 10.40 14.20 3.80 14.00 34.60 20.60 17.80 46.20 28.40
GesamtergebnisMittelwert 8.43 27.16 18.74N 11 11 11
Beispiel Marathonläufer:
Ein Team erforschte, ob bei Langstreckenläufer der β-Endorphin-WerteNach einem Lauf höher sind als vorher.
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44
Lösungsansatz
• Wenn es keinen Unterschied gibt, dann müssen die Mittelwerte von vorher und nachher gleich sein, die Differenz demnach = 0
• Wenn die Differenz stark von 0 abweicht, dann ist der Unterschied nicht mehr zufällig
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45
Umsetzung mit SPSS
• T-Test mit einer Stichprobe
• T-Test mit gepaarten Stichproben
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46
Aufgabe
• Ein Forschungsteam möchte wissen, ob eine Diät erfolgreich war und ob durch die Diät das Tryglyceride-Niveau bei den Partizipienten signifikant gesunken ist.
• Datensatz: dietstudy.sav
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47
T-Test mit 2 unabhängigen Stichproben
Gaby möchte untersuchen, ob ihre neue Behandlung eine Linderung für Stottern bringt
Sie nimmt zwei Gruppen. Die eine bekommt ein Placebo, die andere Gruppe dieneue Behandlung.
Nach dem Experiment werden alle Testpersonen einem Test unterzogen. Die Stärke des Stotterns wird mit einem Wert 1 bis 10 vergeben, wobei 10 starkes Stottern bedeutet.
Datensatz: stottern.sav
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48
Erinnerung
• Standardfehler =
n
s Stichprobeder
Dies ist die geschätzte Standardabweichung von allen möglichen gleichen Stichproben, t errechnet sich dann:
hlerStandardfe
theitGrundgesamder Mittel - Stichprobeder Mittelt
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49
Was heisst das für unabhängige Stichproben
• Wenn beide Gruppen den gleichen Mittelwert haben, ist die Differenz der Mittel = 0
• Es wird nicht mehr der Standardfehler „des“ Mittelwertes errechnet sondern der Standardfehler der Mittelwert-Unterschiede
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50
In einer Population mit einem Mittel von 0 streuen sich mögliche Stichproben.Eine Differenz von 2 ist gemäss der Darstellung sehr sehr selten.
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51
Berechnung von t
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52
SPSS-Output
Gruppenstatistiken
10 9.40 .699 .221
10 7.20 1.874 .593
gruppe1
2
stotternN Mittelwert
Standardabweichung
Standardfehler des
Mittelwertes
Test bei unabhängigen Stichproben
5.444 .031 3.479 18 .003 2.200 .632 .871 3.529
3.479 11.459 .005 2.200 .632 .815 3.585
Varianzen sind gleich
Varianzen sind nichtgleich
stotternF Signifikanz
Levene-Test derVarianzgleichheit
T df Sig. (2-seitig)Mittlere
DifferenzStandardfehler der Differenz Untere Obere
95% Konfidenzintervallder Differenz
T-Test für die Mittelwertgleichheit
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53
Aufgabe
• Vergleich TV-Stunden - Internetgebrauch
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54
Varianzanalyse (einfaktoriell)
• Vergleich von mehr als 2 Gruppen über eine numerische Variable
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55
Ausgangslage
ONEWAY deskriptive Statistiken
Number of hours worked last week
111 45.03 10.138 .962 43.12 46.93 15 87
808 44.95 10.723 .377 44.21 45.69 6 89
131 45.69 11.669 1.020 43.67 47.70 20 89
286 46.37 10.413 .616 45.16 47.58 15 89
151 48.19 9.729 .792 46.62 49.75 24 80
1487 45.62 10.647 .276 45.08 46.16 6 89
Less than HS
High school
Junior college
Bachelor
Graduate
Gesamt
N MittelwertStandardabweichung
Standardfehler Untergrenze Obergrenze
95%-Konfidenzintervall fürden Mittelwert
Minimum Maximum
Datensatz: gssft.sav
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56
Frage und Hypothese
• Gibt es einen Unterschied zwischen den Ausbildungsgruppen bezüglich Arbeitszeit?
• Nullhypothese: Die Mittelwerte der einzelnen Gruppen unterscheiden sich nicht
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57
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58
Streuung innerhalb der Gruppen ist klein
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59
Streuung zwischen den Gruppen ist klein
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60
Resultat
ONEWAY ANOVA
Number of hours worked last week
1557.919 4 389.480 3.459 .008166892.2 1482 112.613168450.1 1486
Zwischen den GruppenInnerhalb der GruppenGesamt
Quadratsumme df
Mittel derQuadrate F Signifikanz
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61
F-Verteilung
• Die F-Verteilung wird nur zum Testen verwendet, etwa bei der Varianzanalyse, um festzustellen, ob die Grundgesamtheiten zweier Stichproben die gleiche Varianz haben.
(http://de.wikipedia.org/wiki/F-Verteilung)
![Page 62: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Bedingungen für ANOVA
• Unabhängigkeit der Gruppen
• Normalverteilung
• Varianzgleichheit
• Vgl. S. 307
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63
Wie weiter
• Die Null-Hypothese, dass die Gruppen-Mittelwerte gleich sind, konnte verworfen werfen.
• Die Varianzanalyse sagt aber nichts darüber aus, wo die Unterschiede liegen
-> Weitere Verfahren
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64
Bonferroni-Methode
• Mit ihrer Hilfe wird die Alphafehler-Kumulierung bei multiplen Paarvergleichen neutralisiert.
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65
Alpha-Fehler
• Je mehr Tests durchgeführt werden, desto "überhöhter" sind die üblichen Signifikanzangaben. Mit einem einzigen Test und einem Alpha von 0,05 ist die Wahrscheinlichkeit, die Null-Hypothese korrekterweise zu akzeptieren (1 - 0,05) = 0,95. Führen wir zwei (unabhängige) Tests durch, so wird diese Wahrscheinlichkeit deutlich reduziert: 0,95 x 0,95 = 0,90, was eine ebenso deutliche Änderung des entsprechenden Alpha-Werts von 0,05 auf 0,1 bedeutet. Diese Fehlerquelle ist allgemein als Alpha-Fehler-Kumulierung bekannt.
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66
Alpha-Fehler
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2maligem Würfeln mindestens 1 mal "6" zu werfen?Wir können die günstigen und möglichen Fälle abzählen (kompliziert) oder so überlegen:Die Wahrscheinlichkeit für "0 mal 6" beträgt 5/6·5/6 = 25/36."Mindestens 1 mal 6" ist das Gegenereignis dazu, alsoP(mind. 1mal 6) = 1 - P(0mal 6) = 1 - 25/36 = 11/36.
![Page 67: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Inkonsistenzen
Angenommen jemand will die Erwartungswerte vergleichen. Beim paarweisen Test werden alle Nullhypothesen nicht abgelehnt, nur die Hypothese wird abgelehnt.
![Page 68: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/68.jpg)
68
Resultate des TestsMehrfachvergleiche
Abhängige Variable: Number of hours worked last weekBonferroni
.079 1.074 1.000 -2.94 3.10-.660 1.369 1.000 -4.51 3.19
-1.340 1.187 1.000 -4.68 2.00-3.158 1.327 .174 -6.89 .57-.079 1.074 1.000 -3.10 2.94-.739 1.000 1.000 -3.55 2.07
-1.419 .730 .521 -3.47 .63-3.237* .941 .006 -5.88 -.59
.660 1.369 1.000 -3.19 4.51
.739 1.000 1.000 -2.07 3.55-.680 1.120 1.000 -3.83 2.47
-2.498 1.267 .488 -6.06 1.061.340 1.187 1.000 -2.00 4.681.419 .730 .521 -.63 3.47.680 1.120 1.000 -2.47 3.83
-1.818 1.067 .887 -4.82 1.183.158 1.327 .174 -.57 6.893.237* .941 .006 .59 5.882.498 1.267 .488 -1.06 6.061.818 1.067 .887 -1.18 4.82
(J) Highest degreeHigh schoolJunior collegeBachelorGraduateLess than HSJunior collegeBachelorGraduateLess than HSHigh schoolBachelorGraduateLess than HSHigh schoolJunior collegeGraduateLess than HSHigh schoolJunior collegeBachelor
(I) Highest degreeLess than HS
High school
Junior college
Bachelor
Graduate
MittlereDifferenz (I-J)
Standardfehler Signifikanz Untergrenze Obergrenze
95%-Konfidenzintervall
Die Differenz der Mittelwerte ist auf dem Niveau .05 signifikant.*.
![Page 69: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Aufgabe
• Datensatz antisemitismus.sav
![Page 70: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/70.jpg)
70
![Page 71: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Im Folgenden soll mit Hilfe einer einfaktoriellen Varianzanalyse untersucht werden,ob die Reaktionen von Personen unterschiedlichen Bildungsniveaus auf dieseAussage signifikant voneinander verschieden sind. Hierzu werden die Befragten inAbhängigkeit von ihren höchsten Schulabschlüssen in Gruppen unterteilt. Derhöchste von den Befragten erreichte Schulabschluß ist in der Variablen bildung angegeben.
![Page 72: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Stichprobengrösse
http://www.arnsberg.de/buergerpanel/bestimmung-stichprobengroesse.pdf
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73
Mann-Whitney U-Test
• Test für zwei unabhängige Stichproben• Alternative zum t-Test für unabhängige Stichproben
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74
Formel
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75
Beispiel
Statistiken
Rank of wirkung40
10.50040
25.500
GültigFehlend
N
SummeGültigFehlend
N
Summe
a
b
U1 = 10.5-((4*5)/2) = .5
![Page 76: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/76.jpg)
76
Output in SPSS
Statistik für Testb
.50010.500-2.205
.027
.029a
Mann-Whitney-UWilcoxon-WZAsymptotischeSignifikanz (2-seitig)Exakte Signifikanz[2*(1-seitig Sig.)]
wirkung
Nicht für Bindungen korrigiert.a.
Gruppenvariable: medib.
Ränge
4 6.38 25.504 2.63 10.508
mediabGesamt
wirkungN Mittlerer Rang Rangsumme
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77
Approximation
For large samples, the normal approximation:
can be used, where z is a standard normal deviate whose significance can be checked in tables of the normal distribution. mU and σU are the mean and standard deviation of U if the null hypothesis is true, and are given by
All the formulae here are made more complicated in the presence of tied ranks, but if the number of these is small (and especially if there are no large tie bands) these can be ignored when doing calculations by hand. The computer statistical packages will use them as a matter of routine.
Note that since U1 + U2 = n1 n2, the mean n1 n2/2 used in the normal approximation is the mean of the two values of U. Therefore, you can use U and get the same result, the only difference being between a left-tailed test and a right-tailed test.
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78
Relation to other tests
The U test is useful in the same situations as the independent samples Student's t-test, and the question arises of which should be preferred. U remains the logical choice when the data are ordinal but not interval scaled, so that the spacing between adjacent values cannot be assumed to be constant. It is much less likely than the t test to give a spuriously significant result because of one or two outliers.
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79
Wilcoxon-Test
• Vergleich von zwei abhängigen Stichproben
• Beispiel Alphasan – Betasan (Zöfel S. 231)
• Norusis S. 391
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80
Kruskal und Wallis‘ H-Test
Kruskal-Wallis-Test aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
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Der Kruskal-Wallis-Test (H-Test) ist ein parameterfreier statistischer Test, mit dem im Rahmen einer Varianzanalyse verglichen wird, ob sich verschiedene unabhängige Stichproben (Gruppen) hinsichtlich einer ordinalskalierten Variable unterscheiden. Er ähnelt einem Mann-Whitney-U-Test und basiert wie dieser auf Rangplatzsummen, mit dem Unterschied, dass er für den Vergleich von mehr als zwei Gruppen angewendet werden kann.
Die Nullhypothese H0 lautet: Zwischen den Gruppen besteht kein Unterschied. Als Prüfgröße des Kruskal-Wallis-Tests wird ein sogenannter H-Wert berechnet. Der H-Wert wird wie folgt gebildet:[1] Der Rang Ri für jede der n Beobachtungen in der Vereinigung der Stichproben wird bestimmt. Daraus werden dann die Rangsummen Sh für die einzelnen Gruppen und
daraus die Teststatistik errechnet. Diese folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung. Die Freiheitsgrade (Df) berechnen sich nach Df=k-1, wobei k die Anzahl der Klassen (Gruppen) ist.
Die berechnete Prüfgröße H wird mit einer theoretischen Größe aus der Chi-Quadrat-Verteilung für eine gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit verglichen. Ist der errechnete H-Wert größer als der H-Wert aus der Chi-Quadrat-Tabelle, wird H0 verworfen, es besteht also ein signifikanter Unterschied zwischen den Gruppen.
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81
Lineare RegressionDie Regressionsrechnung dient dazu, die Art des Zusammenhanges zw. 2 Variablen aufzuzeigen und Möglichkeiten anzubieten, den Wert einer (abhängigen) Variablen aus den Werten einer andern (unabhängigen) Variablen vorherzusagen.
![Page 82: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/82.jpg)
82
Die „beste“ Gerade finden
![Page 83: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/83.jpg)
83
Methode der kleinsten Quadratsumme (KQ-Summe)
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Methode der kleinsten Quadratsumme II
Hier werden die senkrechten Abstände der einzelnen Punkte von der Geraden bestimmt. Dabei werden diese quadriert um negative Vorzeichen zu eliminieren.
Anschliessend wird die Summe der quadrierten Abstände berechnet und es wird die „am besten angepasste“ Gerade ausgewählt, bei der die Summe der quadrierten Abstände am kleinsten ist.
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Regressionsgleichung• y = a + bx
• a: Achsenabschnitt (Ordinatenabschnitt)
• b: Steigung (Regressionskoeffizient)
• Beispiel: life expectancy = 90-(0.70 * birthrate)
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Berechnung in SPSS
Koeffizientena
89.985 1.765 50.995 .000
-.697 .050 -.968 -13.988 .000
(Konstante)
Births per 1000population,
Modell1
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz
Abhängige Variable: Female life expectancya.
Achsenabschnitt
Steigung
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Werte vorhersagen
• y = a + bx• predicted life expectency = 90+(-)(0.697 x birthrate)
• Beispiel: wie hoch ist die Lebenserwartung bei einer Geburtsrate von 11 (pro 1000)
• Predicted life expectency = 90-(.697 x 11) = 82.21 Jahre
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Aufgabe
• Datensatz bank.de
• Erstellt eine Regression für die Variablen:
• Einstiegsgehalt (unabhängige Var) und Ausbildung (abhängige Var.)
• Berechnet das geschätzte Gehalt bei einer Ausbildungszeit von 10 Jahren
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Hypothesen Test
• Bei unseren Daten handelt es sich um eine Stichprobe
• Wir wollen eine Aussage über die Grundgesamtheit machen
H0 = der Regressionskoeffizient in der Grundgesamtheit ist Null
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ErklärungKoeffizientena
89.985 1.765 50.995 .000
-.697 .050 -.968 -13.988 .000
(Konstante)
Births per 1000population,
Modell1
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz
Abhängige Variable: Female life expectancya.
t = Stichprobenmittel – Mittel der Grundgesamtheit
ss ist der Standardfehler des Regressionskoeffizienten (Steigung der Gerade)
t = -.70/.05 = -14
N.B. die Freiheitsgrade wären Anzahl Fälle der abhängigen Variable - 2
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Konfidenzintervalle
Koeffizientena
89.985 1.765 50.995 .000 86.173 93.797
-.697 .050 -.968 -13.988 .000 -.805 -.590
(Konstante)
Births per 1000population,
Modell1
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz Untergrenze Obergrenze
95%-Konfidenzintervall fürB
Abhängige Variable: Female life expectancya.
![Page 92: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/92.jpg)
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Vorhersage der Werte für die Grundgesamtheit
• Vorhersage der Mittelwerte
• Vorhersage einzelner Werte
![Page 93: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/93.jpg)
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Vorgehen in SPSS
![Page 94: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/94.jpg)
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Neue Variablen werden berechnet
![Page 95: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/95.jpg)
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Streudiagramm für die Mittel
![Page 96: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/96.jpg)
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Streudiagramm für einzelne Werte
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![Page 98: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/98.jpg)
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![Page 99: 1 Grundgesamtheit – Stichprobe Grundgesamtheit: z.B. alle schweizer WählerInnen Stichprobe: 1000 repräsentative WählerInnen.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7349795902118c6c32/html5/thumbnails/99.jpg)
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