1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.
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1
Factorización
Raíz Cuadrada
Completar Cuadrado
Fómula Cuadrática
Ejercicios
Fin
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2
Objetivos:Objetivos:
1.1. Conocer la forma general de una ecuaciConocer la forma general de una ecuacióón n cuadrcuadrááticatica
2.2. Resolver ecuaciones cuadrResolver ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:
a. Método de factorizaci factorizacióónnb. Método de raíces cuadradasc. Método de completar el cuadrado completar el cuadradod. Método de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica
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3
Ecuaciones CuadrEcuaciones Cuadrááticasticas
Definición Una ecuación con variable x que se puede reducir a la forma 02 cbxax
0con constantesson y , donde acbase conoce como ecuación cuadrática.
Podemos resolver las ecuaciones cuadrPodemos resolver las ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:Método de factorizaci factorizacióónnMétodo de raíces cuadradasMétodo de completar el cuadrado completar el cuadradoMétodo de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica
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4
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
0910 )1 2 xx
3319 2 )2 2 xx
259 )3 2 x
205 )4 2 x
0148 )5 2 xx26) 7 0x
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5
El procedimiento para el El procedimiento para el Método de Método de Factorización es:Factorización es:
1.1. Iguale la ecuación a cero.Iguale la ecuación a cero.
2.2. Factorice el polinomio que forma la ecuación.Factorice el polinomio que forma la ecuación.
3.3. Use la propiedad del producto nulo para reducir a Use la propiedad del producto nulo para reducir a ecuaciones lineales.ecuaciones lineales.
4.4. Resuelva las ecuaciones lineales.Resuelva las ecuaciones lineales.
Empezar
1. Método de Factorización1. Método de Factorización
Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticasMétodos de solución de las ecuaciones cuadráticas
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6
Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de Resuelve las ecuaciones usando el método de factorización.factorización.
910 )1 2 xx
09102 xx
019 xx
09 x ó 01x
9x 1x
C. S.= 9, 1
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7
3319 2 )2 2 xx
033192 2 xx
01132 xx
032 x ó 011 x
32 x
2
3x
11x
3C.S.= , 11
2
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823) 2 18x x22 18 0x x
2 9 0x x
2 0x ó 9 0x
0
2x
0x
9x
C.S.= 0, 9
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924) 9 36x
29 36 0x
2 4 0x
2 0x
ó
2 0x
2 2 0x x
2x 2x
C. S.= 2, 2
29 36 0
9 9 9
x
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10
2Si entonces ó .
Teorema:
x p x p x p
2. El método de raíz cuadrada2. El método de raíz cuadrada
2Recordar que x x x 0
0
x si x
x si x
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11
El procedimiento para el Método de Raíz Cuadrada
1. Despeje la variable cuadrática
2. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación
3. Simplifique
Aclaración : Este método se puede aplicar cuando el coeficiente del término lineal es cero.
Empezar
Método de Raíz Cuadrada
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12
21) 9 25x
9
25
9
9 2
x
9
252 x
2 25
9x
3
5x
5 5C. S.= ,
3 3
5
3x
Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de la Resuelve las ecuaciones usando el método de la raíz cuadrada.raíz cuadrada.
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13
22) 5 20x
25 20x
205 x
5 4 5x
525 x
525x
C. S.= 5 2 5, 5 2 5
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14
Procedimiento para completar el cuadrado
1. Deje a un lado los términos con variables.
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática.
3. Encuentre el término que completa el cuadrado.El término que completa el cuadrado se encuentra dividiendo el coeficiente del términolineal por 2 y elevando al cuadrado.
4. Sume el término que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación.
5. Factorice y use el Método de la Raíz Cuadrada.
Empezar
3. El método de completar el cuadrado
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15
0148 )1 2 xx
1482 xx
2
2
8 24 16
14 82 xx 16 16
21682 xx
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16
21682 xx
244 xx
24 2 x
24 2 x
24 x
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17
24 x
24 x
. 4 2, 4 2C S
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18
014129 )2 2 xx29 12 14
=9 9 9
x x
2 4 14
3 9x x
2 4 14
3 9 x x
4
9
4
9
9
4
3
2
23
422
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19
2 2 18
3 3 9x x
2 4 14
3 9 x x
4
9
4
9
22
23
x
22
23
x
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20
22
3x
22
23
x
22
3x
2 2. . 2, 2
3 3C S
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21Ejemplo:Ejemplo:Resuelva para Resuelva para x x completando el cuadradocompletando el cuadrado
2 0ax bx c
2 a b c
x xa a a
2 b c
x xa a
2 b c
x xa a
2
24
b
a
2
24
b
a
2 22
2 24 4
b b b cx x
a a a a
2 2
2
4
2 4
b b acx
a a
4a
4a
2
22
42 a
b
a
b
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222 2
2
4
2 4
b b acx
a a
2
2
4
2 4
b b acx
a a
2
2
4
2 4
b b acx
a a
2 4
2 2
b b acx
a a
2 4
2 2
b b acx
a a
2 4
2
b b acx
a
2 2
2
4
2 4
b b acx
a a
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23
Teorema: Las soluciones de una ecuación cuadrática 02 cbxaxdonde , y son constantes y 0a b c a
están determinadas por la fórmula:
aacbbx 2
42 La misma es llamada la fórmula cuadrática.
Empezar
4. La Fórmula Cuadrática
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24
aacbbx 2
42 2Al número se le llama el discriminante d
Definición
e la ecuacb ón.4 iac
Aclaración:Aclaración:1. Si el discriminante es un número positivo; la Si el discriminante es un número positivo; la ecuación tendrá dos soluciones reales.ecuación tendrá dos soluciones reales.2. Si el discriminante es un2. Si el discriminante es un número negativo; la número negativo; la ecuación tendrá dos soluciones complejasecuación tendrá dos soluciones complejas conjugadas.3.Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una solución real de multiplicidadsolución real de multiplicidad dos.
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25Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
018248 )1 2 xx
8, b 24 y c 18a
aacbbx 2
42
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268, b 24 y c 18a
82
18842424 2 x
16
57657624 x
24
2x
24 24 8
8
18
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27
16
57657624 x
16
024 x
24 0
16x
24
16x
2
3
2
3..SC
![Page 28: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/28.jpg)
28
0523 )2 2 xx
3, b 2 y c 5a
aacbbx 2
42
2 4 60
6
22 2 3 54
32x
![Page 29: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/29.jpg)
29
2 4 60
6x
6
562
2 4 14 1
6
2 2 14
6
ix
![Page 30: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/30.jpg)
30
2 2 14
6
ix
2 2 14
6 6i
iSC3
14
3
1..
1 14
3 3x i
![Page 31: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/31.jpg)
3123) 3 2x x
1, b 3 y c 2a
aacbbx 2
42
23 3 4 1 2
2 1
2 3 2 0x x
![Page 32: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/32.jpg)
32
23 3 4 1 2
2 1x
3 9 8
2x
3 1
2x
3 1
2x
3 1 3 1
2 2x ó x
2x 1x
. . 2,1C S
![Page 33: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/33.jpg)
33Ejercicios:Resuelve la ecuación por el método de factorización.
ddd
nn
dd
y
mm
dd
dd
163215.7
4.6
01617.5
04936.4
0124.3
0144.2
012144.1
23
3
24
2
2
2
2
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar
![Page 34: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Ejercicios:Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.
2
2
2
2
4
1. 4 16 0
2. 1 0
3. 4 32 0
4. 36 49
5. 16 0 *
d
d
m
y
d
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar
![Page 35: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/35.jpg)
35Ejercicios:Resuelva la ecuación completando el cuadrado.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 12 0
3. 2 4
4. 17 16 0
5. 3 1
d d
m m
y y
d d
d d
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar
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36
Ejercicios:Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 4 1 0
3. 4 12 0
4. 36 49 0
5. 17 16 0
d d
d d
m m
y
d d
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar
![Page 37: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Resuelve la ecuación usando factorización.
012144.1 2 dd2
2 2
4 14 2
2
0
2
1d d
22 7 6 0d d
2 3 2 0d d
2 3 0 2 0d ó d Ejercicios
![Page 38: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/38.jpg)
38
2 3 0d
2 3d
3
2d
2d
2 0d
3. , 2
2C S
Ejercicios
![Page 39: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/39.jpg)
39
22. 4 4 1 0d d
2 1 2 1 0d d
2 1 0 2 1 0 d ó d
2 1d
1
2d
1
2d
1. .
2C S
Ejercicios
![Page 40: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/40.jpg)
40
23. 4 12 0m m
4 3 0m m
4 0 3 0 m ó m0
4m
0m
3m
. . 0. 3C S Ejercicios
![Page 41: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/41.jpg)
41
24. 36 49 0y
6 7 6 7 0y y
6 7 0 6 7 0y ó y
7
6y
7
6y
7 7. . ,
6 6C S
6 7 6 7y ó y
Ejercicios
![Page 42: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/42.jpg)
42
4 25. 17 16 0d d
2 216 1 0d d
4 0 4 0 1 0 1 0d ó d ó d ó d
4d 4d 1d
. . 4, 4,1, 1C S
4 4 1 1 0d d d d
1d
Ejercicios
![Page 43: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/43.jpg)
43
36. 4n n
2 4 0n n
0 2 0 2 0n ó n ó n
0n 2n 2n
. . 0, 2 2C S
3 4 0n n
2 2 0n n n
Ejercicios
![Page 44: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/44.jpg)
44
3 27. 15 32 16 0d d d
215 32 16 0d d d
0 5 4 0 3 4 0d ó d ó d
0d 4
5d 4
3d
4 4. . , ,0
5 3C S
5 4 3 4 0d d d
Ejercicios
![Page 45: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/45.jpg)
45
21. 4 16 0d
Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.
Ejercicios
24 16d 24 16
4 4
d
2 4d 2 4d
2d . . 2, 2C S
![Page 46: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/46.jpg)
46
2
2
2
2. 1 0
1
1
1
. . 1, 1
d
d
d
d
C S
Ejercicios
![Page 47: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/47.jpg)
47
2
2
2
2
2
3. 4 32 0
4 32
4 32
4 4
8
8
4 2
2 2
. . 2 2, 2 2
m
m
m
m
m
m
m
C SEjercicios
![Page 48: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/48.jpg)
482
2
2
2
4. 36 49
36 49
36 3649
36
49
367
67 7
. . ,6 6
y
y
y
y
y
C SEjercicios
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49
4
4
4
2
2 2
2 2
5. 16 0 *
16
16
4
4 o 4
4 o 4
2 o 2
. . 2, 2,2 , 2
d
d
d
d
d d
d d
d d i
C S i i
Ejercicios
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50
2
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12
4 14 12
4 4 47
347 49 49
34 16 16
7 48 49
4 16 16
d d
d d
d d
d d
d d
d
Resuelva la ecuación completando el cuadrado.2
7 1
4 16
7 1
4 47 1
4 46 8
o 4 43
o 22
3. . , 2
2
d
d
d
d d
d d
C S
Ejercicios
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51
2
2
2
2
2
2. 4 12 0
4 12 0
4 4 4
3 0
9 93
4 4
3 9
2 4
m m
m m
m m
m m
m
3 3
2 23 3 3 3
o 2 2 2 23 o 0
. . 3,0
m
m m
m m
C S
Ejercicios
![Page 52: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/52.jpg)
52
2
2
2
2
2
3. 2 4
2 4
2 2 21
221 1 1
22 16 16
1 32 1
4 16 16
y y
y y
y y
y y
y
1 33
4 16
1 33
4 4
1 33.
4 4
y
y
C S
Ejercicios
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53
2
2
2
2
2
4. 17 16 0
17 16
289 28917 16
4 4
17 64 289
2 4 4
17 225
2 4
d d
d d
d d
d
d
17 15
2 217 15
2 217 15 17 15
o 2 2 2 2
16 o 1
. 16,1
d
d
d d
d d
C S
Ejercicios
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54
2
2
2
2
5. 3 1
9 93 1
4 4
3 4 9
2 4 4
3 5
2 4
d d
d d
d
d
3 5
2 4
3 5
2 2
3 5 3 5 o
2 2 2 2
3 5.
2 2
d
d
d d
C S
Ejercicios
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55
Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12 0
2 2 2 2
2 7 6 0
7 7 4 2 6
2 2
7 49 48
4
7 1
4
d d
d d
d d
d
d
d
7 1
47 1 7 1
o 4 4
6 8 o
4 43
o 22
3. . , 2
2
d
d x
d x
d x
C S
Ejercicios
![Page 56: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/56.jpg)
56
2
2
2. 4 4 1 0
4 4 4 4 1
2 4
4 16 16
8
4 0
84 0
84 1
8 21
. .2
d d
d
d
d
d
d
C S
Ejercicios
![Page 57: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/57.jpg)
57
2
2
3. 4 12 0
12 12 4 4 0
2 4
12 144
812 12
812 12 12 12
o 8 8
0 24 o
8 80 o 3
. . 0, 3
m m
m
m
m
m m
m m
m m
C SEjercicios
![Page 58: 1 Factorización Raíz Cuadrada Completar Cuadrado Fómula Cuadrática Ejercicios Fin.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081414/54c51503497959244c8b5350/html5/thumbnails/58.jpg)
58
2
2
4. 36 49 0
0 0 4 36 49
2 36
2 6 7
2 6 6
7
67 7
o y6 6
7 7. . ,
6 6
y
y
y
y
y
C S
Ejercicios
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59
2
2
5. 17 16 0
17 17 4 1 16
2 1
17 289 64
2
17 225
217 15
232 2
o 2 2
16 o 1
. . 1,16
d d
d
d
d
d
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C SEjercicios