1 Expresiones Algebraicas Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan...
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1
Expresiones Algebraicas
• Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.
• Ejemplos
12.
)
2)
2)
2
32
2
xxyx
c
xyxb
xyxa
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2
Expresiones Algebraicas
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3
Expresiones Algebraicas comunes
• El doble o duplo de un número: 2x• El triple de un número: 3x• El cuádruplo de un número: 4x• La mitad de un número: x/2• Un tercio de un número: x/3• Un cuarto de un número: x/4• Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...• Un número al cuadrado: x²
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4
Expresiones Algebraicas comunes
• Un número al cubo: x³• Un número par: 2x• Un número impar: 2x + 1• Dos números consecutivos: x y x + 1• Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2• Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3• Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
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5
Expresiones Algebraicas comunes
• La suma de dos números es 24: x y 24 − x• La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x• El producto de dos números es 24: x y 24/x• El cociente de dos números es 24: x y 24 · x
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6
Tipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones Algebraicas
Racionales Irracionales
Enteras Fraccionarias
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7
Expresión Algebraica Racional
• Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación
• Ejemplo
312
.2
22
y
yxx
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8
Expresión Algebraica Irracional
• Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación
• Ejemplo
yxx 2
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9
Expr.Algebraica Racional Entera
• Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.
• Ejemplo
542 3 yyxx
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10
Expresión Algebraica Racional Fraccionaria• Una expresión algebraicas racional es
fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.
• Ejemplo
31 2 yxx
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Polinomios
• Son las expresiones algebraicas más usadas.
• Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma:
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
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12
Ejemplos de polinomios
A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
3
2
32
3)
31
)
xxb
xa
3
3
532)
21)
xxd
xc
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Términos
• Monomio : polinomio con un solo término.• Binomio : polinomio con dos términos.• Trinomio : polinomio con tres términos.
• Cada monomio aixi se llama término.
• El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an0.
• A a0 se lo llama término independiente.
• A an se lo llama término principal.
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Ejemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).
No se le asigna grado.
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18
Ejercicio• Indicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.
2
13)
)3)(2()
1231
)
4
3
xc
xxb
xxa
132
)
312
)
52)
2
2
xxx
f
xxxe
xd
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Polinomios iguales• Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado lo son.
• Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
2
2
33
)2()1()(
25)12(5)()
)()(;52)()
xbcxbaxQ
xxxPb
xbaaxQxxPa
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20
Suma de Polinomios
• Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.
• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
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21
Propiedades de la Suma• Asociativa• Conmutativa• Existencia de elemento neutro• Existencia de elemento opuesto
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22
Resta de Polinomios
• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
• Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
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23
Multiplicación de Polinomios
• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.
• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
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24
Propiedades del Producto
• Asociativa• Conmutativa• Existencia de elemento neutro.
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25
Algunos productos importantes
• (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2
• (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2
• (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
• (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
• (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2
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26
Ejercicio
• Escribir los desarrollos de
243
232
2
31
32
)
)()
)32()
xxc
xxb
xa
323
34
3
3
2
2
1)
)()
)32()
xxf
xxe
xd
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27
Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.
93025)
4914)
144)
2
2
2
xxc
xxb
xxa
6543
23
23
81
23
68)
16128)
8126)
xxxxf
xxxe
xxxd
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28
Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.
64)
4)
361
)
100)
8
4
2
2
xd
xc
xb
xa
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29
División de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.
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30
División entre números enteros
• En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que
D = d . C + r 0 ≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.
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31
División entre números enteros
• Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:
• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6
• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
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32
División de polinomios• Dados los polinomios
D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)
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33
-6x3 + 8x2
Ejemplo
6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4
2x2
0x3 - 9x2+ 15x
- 3x
9x2- 12x
0x2+ 3x - 8
+ 1
-3x + 4
0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
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34
Ejercicios
a) D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x
d(x) = x2 – 3x
b) D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4
d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2
c) D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2
d(x) = x-2
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35
División de Polinomios
• Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que
D(x) = d(x) . c(x)
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36
Ejercicios
• Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro
a) P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1
Q(x) = x3 + x2 + x + 1
b) P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16
Q(x) = x5 - 32
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37
Regla de Ruffini
3 -2 -5 -92
-3
División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3
4x2 – 5x - 4x2 + 8x
3x – 9 -3x + 6
-3 3
6
4
8
3
6
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
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38
División de un polinomio por otro de la forma (x-a)• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9 2 6 8 6 3 4 3 -31º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
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39
Raíces de un polinomio
• Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5
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40
Raíces de un Polinomio
• Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
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41
Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24 • Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe
ser divisor de 24.• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
Ver x=2 también es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
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Ejercicio
• Calcular las raíces de
P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)