1 Exemples dutilisation du tableur en Analyse Exemple 1: la fonction exponentielle: Approximation...
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Exemples d’utilisation du tableur en Analyse
• Exemple 1: la fonction exponentielle:Approximation par la méthode d’Euler
• Exemple 2: la racine carrée:Approximation par l’algorithme de Héron
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Exemple 1: la fonction exponentielle:
Faire le lien avec la physique: y’(x) = k.y(x)
fonction réciproquedu logarithme
solution de l'équation différentielle: y ' = y
Introduction
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Exemple d’application en physique
• N: nombre de noyaux radioactifs dans une population de noyaux
• N : est une grandeur qui varie en fonction du temps: N(t)
• On a :
• Soit: N’(t) = N(t)
noyaudu tiquecaractéris : )(
)( dttNtdN
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La méthode d’Euler pour y’=f(x,y) et y(x0)=y0
On subdivise l’intervalle en n parties : xk=x0+h.k, avec h=(x-x0)/n
En xk, on définit yk :Premier pas:
• en x1, on pose: y1= y0+h. y’(x0) (y1:valeur en x1de la tgte à la courbe représentative en (x0,y0)) On approxime la courbe représentative de la fonction y par sa tangente en x0
Itération:• Étape k: y’=f(x,y) avec y(xk-1)=yk-1,
yk=yk-1+h.f(xk-1,yk-1)
Graphiquement: approximation affine par morceaux obtenue en reliant les points (xk,yk).
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xk= x0+ h.kyk=yk-1 + h. f(xk-1,yk-1) au lieu de y(xk-1)
Fig extraite du site: http://members.aol.com/lucjm/equadiff.htm
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La fonction exponentielle: y’=y et y(0)=1
Soit x un réel. On cherche une approximation de y(x)• Sur [0,x], on prend le pas h=x/n, pour n entier• On obtient: xk=kx/n
yk=yk-1+yk-1x/n k=1,…,nou encore : yk= (1+h).yk-1 k=1,…,n
soit, par récurrence: yn= (1+x/n)n
La valeur y(x) cherchée est donc la limite de (yn)n où yn=(1+x/n)n.• On montre que les suites (vn)n et (zn)n où zn=(1-x/n)-n)n sont
adjacentes et convergent vers la même limite, notée : exp(x) .
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Approximation de exp(x) à l’aide d’un tableur
• Calculer les (xk,yk), • Visualiser la courbe joignant les points (xk,yk)• Comparer avec la courbe de l’exponentielle,
changer le pas h... • A chaque pas, la feuille de calcul affiche:
– La valeur de xk
– La valeur de yk
– L’erreur (différence entre yk et y(xk))
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Exemple 2:la fonction racine carrée
• Algorithme de Héron d’Alexandrie• Soit A>0, on cherche à approcher
Premier pas:• On choisit e1: estimation de la racine• alors la racine est entre e1 et a1= A/e1
Itération:• e2=(a1+e1)/2
• ainsi de suite: en+1=1/2(en+A/en)
• La suite (en)n converge très rapidement vers
(la pente de la tangente de la courbe représentative de f(x)= tend vers 0 qd x
tend vers )
A
A
A)(2
1
xA
x
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Résolution avec le tableur
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Documents bibliographiques• Arzarello F, Bazzini, Chiappini: 2001, ‘A model for analysing algebraic
processes of thinking’, Perspectives on school algebra,Vol.22 Kluwer Academic Publisher
• Capponi B. :1999, ‘Le tableur pour le collège, un outil pour l’enseignement des mathématiques’, Petit x n°52, IREM de Grenoble, pp.5-42
• Capponi B. :2000, ‘Tableur, arithmétique et algèbre’, L’algèbre au lycée et au collège, Actes des journées de formation de formateurs 4-5juin1999, IREM de Montpellier, pp.58-66
• Rojano T.: 1996, ‘Developing algebraic aspects of problem solving within a spreadsheet environment’, Approaches to Algebra, , Kluwer Academic Publisher, pp.137-145
• Rousselet Michel : 1999, ‘Tableur et mathématiques au collège’, CNDP
• Rousselet Michel : 1998, ‘Avec un tableur :quel est le prix de revient d’une page imprimée ?’, Bulletin APMEP n°419,