1 Equation détat dun modèle de transport- diffusion. Applications Gilles Roussel, Eric Ternisien...
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1
Equation d’état d’un modèle de transport-
diffusion. Applications
Gilles Roussel,
Eric Ternisien
LASL (EA2600) / ULCO
Calais
2
PlanI Contexte
II Sans Modèle / Avec Modèle ?
III Modélisation
IV Discrétisation, codage d’état
V Propriétés
VIApplications
VII Conclusion
3
I. Contexte
• Problématique Inverse pour la surveillance de la pollution
Mesures aux capteurs de concentration déterminer :» Le flux à la (aux) source(s) (déconvolution,
séparation)» La position de la source (localisation)» les paramètres du modèle (identification)
• Domaines applicatifs• Surveillance de la pollution atmosphérique
Développer une aide au diagnostic des pics d’émission canalisée d'origine industrielle en identifiant la cause (flux, position)
• Surveillance de la pollution fluviale ou phréatiqueLocaliser les sources de pollution liée à des rejets ou
fuites
• Localisation des essais nucléaires (Traité du CTBTO)
Détection des explosions 1Ktonne eqTNT à partir des données de concentration en xénon
Localiser les sources de pollution liée à des rejets ou fuites
4
II. Sans modèle / avec modèle ?
• Méthodes sans modèle “source - capteurs” : – Interpolation spatiale à partir des concentrations
observées • nb capteurs ?
• sensibilité aux paramètres ?
• portabilité du comportement à d’autres sites ?.
– Prédiction temporelles à partir des séries • déconvolution ?
• localisation ?
• sensibilité au paramètres ?
Conclusion : combinaison espace - temps difficile
• Méthodes avec modèle “source - capteurs” :
– Modèle de “comportement” • choix ?
• prise en compte des paramètres physiques ?
• portabilité ?
• localisation?
– Modèle de “connaissances”
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• Modèle de “connaissances” : – phénomènes physiques caractéristiques
– précision évolutive
– prend en compte les variables pertinentes
– modélisation espace-temps explicite
• Souhaits pour le modèle directe– simplicité, fidélité : choix ?
– faire apparaitre explicitement la (les) source(s) et les variables observables
– garder la dimension spatiale et temporelle (mesures spatialement réparties, cas multisources)
– possibilité de se placer dans un cadre discret (mesures échantillonnées)
II. Avec modèle /sans modèle ?
6
• Pourquoi le modèle de transport-diffusion ?
– Modèle (historique) de dispersion de la pollution dans l’air
– bonne approximation de la propagation horizontale
– hypothèses sur la dispersion turbulentes verticales
– Modèle directe dynamique
– solution en statique classique : “équation panache”
• Le modèle de transport-diffusion (2D)– il satisfait en tout point la conservation de la masse :
III. Modélisation
y
tyxK
yx
tyxK
xy
tyxU
x
tyxU
t
tyxyx
),,(),,(),,(),,(),,(
advection diffusion
(x,y,t) : concentration au point (x,y) à l ’instant t
: vent
: diffusion
],[ UyUxU T
K
7
• Hypothèses– Domaine atmosphérique non borné
– Réduction à un domaine de calcul (de surveillance) borné de contour artificiel
– conditions aux limites
III. Modélisation
Vue de dessus
Atmosphère
’
Ex. conditions de Dirichlet
Ex. conditions de Neuman : continuité aux limites artificielles
Vent
Source
Vent
Terre
n
8
• Conditions aux limites (locales)– Limites artificielles non réfléchissantes
• continuité (Pearson)
x, y célérité équivalente
– Limites physiques réfléchissantes• exemples =0 sur ’
– à une source : au point (xs,ys)
• Conditions initiales : pollution de fond
• Modèle elliptique linéaire
III. Modélisation
Sur
),,(),,(),,(),,(),,(),,(
tyxSy
tyxK
yx
tyxK
xy
tyxU
x
tyxU
t
tyxss
ssssssy
ssx
ss
0y
)t,y,x(x
)t,y,x(t
)t,y,x(yx
),(),,0( yxfyx
9
IV. Discrétisation
• On discrétise les signaux S(xs,ys,t) et (x,y,t) avec le même pas d'échantillonnage temporel T
• On discrétise l'espace avec les pas d'échantillonnage directionnels h et k
• Les méthodes de discrétisation: – différences finies,
– élements finis
Titre:fig11.epsAuteur:fig2dev Version 3.2 Patchlevel 1Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.
10
IV. Discrétisation
• Dérivation par les différences finies en un point i:
– dérivée première temporelle :
– dérivée première spatiale• centrée espace, schéma de Lax : effet de lissage
• décentré en espace (“upwind”):
– calcul effectué que pour les points "au vent”
– tenir compte du sens du vent
– Cette méthode ajoute un terme de viscosité négligeable si le nombre de Reynolds de maille Rh:
TT0
T
tTt
t
ni
nii
1
)()()(
0x.Usih
0x.Usih
x ni
n1i
n1i
ni
51.
K
hURh
XO i-1
ni
n i+1n
11
– Dérivée spatiale seconde• explicite : i
n+1=f1( in, v
n), v potentiel au voisinage de i
– Markovien,
• implicite : in+1 =f2( i
n , in+1, v
n+1)
– schéma stabilisant,
– résolution numérique supplémentaire à chaque n
– non Markovien
• Crank-Nicolson : in+1 =f1(.) + (1- )f2(.)
– idem implicite
IV. Discrétisation
2112
22
2 2)(
),(),(2),(
hh0
h
hxtxthxt
x
ni
ni
nii
12
• Equation d'advection - diffusion (cas 2D, K=cste)
• conditions limites– aux frontières artificielles (condition de continuité)
– aux sources
– obstacle (sans turbulence)
• Paramètres (pour Ux, Uy positifs)
• Précision • e=O(T)+O(h2)+O(k2)+ O(h)+O(k)
)(intérieur j)(i, 1,51,4,13,2,111
, n
jin
jin
jin
jin
jin
ji mmmmm
j)(i, 1,9,18,71
,n
jin
jin
jin
ji mmm
)jj ,i(ien ,61,51,4,13,2,111
, ss n
jin
jin
jin
jin
jin
jin
ji Smmmmmm
'' j)(i,1
, 0 nji
IV. Discrétisation
5
2,1
23
2
21
12
2
22
1ii
i
xx
x
m
h
TK
h
TUm
m
h
TKm
k
yTK
h
xTK
kyTU
hxTU
Tmk
TK
k
UTm
k
TKm
yy
y
6
25
24
298
7
)(1
1
mmm
khTm yx
38 m
hTm x
59 mk
Tm y
13
IV. Discrétisation
i=1
Contour artificielnon réfléchissant
Obstacle ’
source
i,j*
**
*
i,j+1
i,j-1
i-1,j i+1,j
J=L
i=l
c1c2
c3
capteurs
• Schéma numérique– en
– en
00
0
000
9
78
m
mm
14
IV. Discrétisation
• Modèle d’état vecteur d’état
Equation d’état
• Les bruits– Wn : bruit d’état
• modélise l’incertitude sur l’état (turbulence non prise en compte par le modèle, topographie)
• moyenne parfois non nulle, trace(E(Wn.WnT)) faible
• indépendant de Sn et Vn
– Vn : bruit de mesure• moyenne souvent nulle
• trace(E(Vn.VnT)) faible
v
.n
1
nnn
nT
nn
CY
wBSA
A caractérise l’évolution libre du système de dispersion
TnL
nL
nnnnn ],......,[.,],........,......,[],,......,[ ,1,,21,2,11,1
.1
nn
nT
nn
CY
BSA
PPPP
PPPPPP
AA
AAA
AAA
AA
A
,1,
,11,12,1
3,22,21,2
2,11,1
23
123
123
12
,
mm
mmm
mmm
mm
A kk
4
4
1,
m
m
A kk
5
5
,1
m
m
A kk
0
0
1
0
0
B
00100
0010
00100
CB modélise l’implantation des sources
dim(B)= lL*ns
C modélise l ’implantation des capteurs
dim(C)= nc*lL
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• Stabilité du schéma numérique– condition nécessaire de convergence de la solution
i,jn.
– peut s’étudier à partir des valeurs propres de la matrice A
– rayon spectral (A)=max|k| 1kLl+1
– on peut montrer (Gershgörin-Hadamard)
– comme (A matrice de Markov)
– alors
– finalement, on peut montrer
d'où la condition sur la période d’échantillonnage T pour un pas spatial (h,k) donné
IV. Discrétisation
lLk1 .
1,
lL
jjik a
15
1
.
1,
kk
lL
jji ma
lLk1 1max)( kA
0m2 si 1)( A
yxyx UkhUhkKhKk
khTA
2222
22
221)(
16
• Simulations
sans advection
avec advection
Titre:T:\latex\These\fig17.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.
Titre:T:\latex\These\fig16.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.
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• Observabilité– Observabilité stricte, c’est la possibilité de résoudre :
– O doit être de rang = l.L = dimension de – un nombre de mesures égale à :
• cas monocapteur : dim(Y) l.L
• cas nc capteurs : dim(Y) (l.L/nc)
– si (rang(O)=r )< l.L seulement (l.L-r) noeuds ne peuvent être estimés.
– Observabilité théorique:
– Le rang est meilleur dans le cas multicapteurs
– numériquement :
– le rang renseigne sur la qualité de restauration de
V. Propriétés
)(.)(...
)(
...
)(
)(
00
10
0
0
kYk
CA
CA
C
nTky
Tky
ky
n
A de bande delargeur demi ),2
inf()(
lLlLn
Orang c
Titre:fig15.epsAuteur:fig2dev Version 3.2 Patchlevel 0-beta3Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.
)/)(()( seuiliOeigicardOrang
Penrose Moore de sensau inverse ,)( 0 OYOk
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• Evolution de rang(O) pour 1 capteur, seuil de rang :1e-25
Evolution de rang(O) pour 2 capteurs, dont1 fixe en (8,8), seuil de rang :1e-25
• Conclusion : – plus le capteur est éloigné de la source dans la direction du
vent, meilleur est l'observabilité
– plus il y a de capteurs, meilleur est l'observabilité
Titre:H:\LATEX\These\Fig192.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.
Titre:H:\LATEX\These\Fig193.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.
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• Commandabilité (Excitabilité des nœuds)
– Existe t-il une commande
vérifiant :
La réponse est oui si rang(C) = l.L, sinon il y a (rang(C)-l.L) nœuds non excités.
– On peut montrer:
– De façon logique, le rang(C) augmente avec le nombre de source.
– Un état X(kf) peut être atteint en n coups (n<l.L), si
• X(kf) appartient au sous espace engendré par les colonnes de C
• La représentation des colonnes de C sur le maillage, constitue une base de motifs
V. Propriétés
TfksksksS )1(.....),........(),( 10
SC
ks
ks
ks
ABBAkX
f
nf .
)1(
)(
)(
B ...,,.........)(1
0
1
A de bande delargeur demi ),2
inf()(
lLlLn
Crang s
B ...,,.........1 ABBAC n
Titre:fig195.epsAuteur:fig2dev Version 3.2 Patchlevel 1Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.
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• Commandabilité (suite)– En pratique, le rang(C) dépend du seuil de sélection des valeurs
propres considérées non nulles.
– Pour un seuil d'excitabilité donné, le rang indique le nombre de nœuds excitables.
Evolution de rang(C) en fonction de la position de S, à seuil fixé
• Conclusion : Pour une direction de vent donnée, plus la source est au vent, plus il y a d'état excités.
V. Propriétés
Titre:H:\LATEX\These\Fig197.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.
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• Identifiabilité– C.N. : Commandabilité et Observabilité
on augmente la probabilité d'identifier le modèle si :• le capteur est placé sous le vent, le plus loin de la source
• le nombre de capteurs augmente
Ouf !!!
V. Propriétés
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• Principe Majeur : – Considérer la relation source-capteur comme un filtre de
convolution
VI Applications
H1 (z)
H2 (z)
Source S(n)
v1(n)
v2(n)
Y1(n)
Y2(n)
Position
Bruit capteur
mesures
Hi(z)=C(zI-A)-1B = f [position(S), position(capteursi), K, U] i
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• Différentes formes du modèle :– forme d'état A(1), B ( 2), C
– réponses impulsionnelles
– matrice de Hankel
– matrice de filtrage
• Différents problèmes inverses :– Estimation des paramètres physiques 1
– Localisation de source(s) : estimation de 2 (i.e. B)
– Déconvolution / séparation de sources : estimation de Sn
– Prédiction temporelle
• Informations :– Mesures capteurs, estimation de bruit, entrées
– Mesures capteurs, estimation de bruit, info a priori
VI Applications
)],(.....),........,(),,([),( 21)(
21)(
121)(
021)( j
Mjjj hhhh
)()(),( 21
21)( BCAh 1
iji
),().(),( 21121 COH
M
M
hh
hh
0
0
00
0
0
00
NH
M = ordre RIF
1 = paramètres physiques
2 = paramètre de localisation
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Titre:I:\latex\These\fig29-4.epsAuteur:MATLAB, The Mathworks, Inc.Aperçu:Cette image EPS n'a pas été enregistréeavec un aperçu intégré.Commentaires:Cette image EPS peut être imprimée sur uneimprimante PostScript mais pas surun autre type d'imprimante.
Exemple : Estimation des réponses impulsionnelles par méthode spectrale paramétrique (séparation des sous-espaces source et bruit)
VI Applications
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• Modélisation d'un phénomène de transport-diffusion par une représentation d'état.
• réutilisabilité de la méthodologie ?
• Point de départ pour bon nombre de problèmes d'estimation
• Aspects applicatifs : surveillance de points sources
VII Conclusion