1) 일차변환의 정의 2) 일차변환의...

낱낱이 파헤치기 기하와 벡터- 1 -

테마 1. 일차변환의 시작

1) 일차변환의 정의

2) 일차변환의 종류


1.1) 좌표평면에서 임의의 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 함수 의 그래프와

만나는 점을 P ′ ′ ′ 이라 할 때, 점 P 를 점 P ′ 으로 옮기는 변환을 라 하자. <보기> 중에

서 변환 가 일차변환이 되도록 하는 함수인 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. ㄴ. ㄷ.

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

2.2) 오른쪽 그림과 같이 곡선

위에서 원점 가 아닌 한 점

를 잡고 원점과 점 를 지나는 직선을 이라 하자. 직선 위에서 선분

′ 을 로 내분하는 점이 원점이 되도록 점 ′ 을 잡는다. 점 가

곡선

≠ 위를 움직일 때, 점 ′ 이 그리는 도형의 방정식은?

①　

≠ ②　

≠

③　 ≠ ④　

≠

⑤　

≠

3.3) 그림과 같이 좌표평면에서 원점을 지나는 두 직선 가 이루는

예각의 크기가 이다. 두 점 은 직선 에 대하여 대

칭이고, 두 점 는 직선 에 대하여 대칭이다.

의 값을 구하시오.


테마 2. 일차변환의 활용

1) 기하학적 규칙이 있을 때

2) 기하학적 규칙이란?

3) 기하학적 규칙이 없을 때


4.4)그림과 같이 점 A 의 좌표가 인 정사각형 OABC 에서 점 A 와 선분 OB 의 중점 M은 일차변환 에 의하여 각각 B C 로 옮겨진다. 이때, 이 일차변환 에 의하여 옮겨

지는 점은?(단, O 는 원점이다.)

① ② ③ ④

⑤

5.행렬

이 나타내는 일차변환 에 의하여 직선 위의 서로 다른 두 점

가 각각 ′ ′으로 옮겨질 때, 두 선분 ′ ′에 대하여 ′ ′

의 값을 구하시오.5)

6.6)좌표평면에서 행렬 로 나타내어지는 일차변환 에 의하여 세 도형 , ,

이 옮겨진 도형을 각각 , , 라 할 때, 다음 중 옳은 것은?

① , , 는 모두 같은 도형이다.

② , , 는 서로 다른 도형이다.

③ 와 는 같은 도형이고 는 다른 도형이다.

④ 와 는 같은 도형이고 는 다른 도형이다.

⑤ 와 는 같은 도형이고 는 다른 도형이다.


7.원점을 중심으로 만큼 회전하는 변환을 라 하고, 행렬

로 나타내어지는 일차변환을

라 할 때, 네 점 A B C D 이 합성변환 ∘ 에 의해 옮겨진 점

을 각각 A′ B′ C′ D′ 이라 하자. 사각형 ABCD 와 사각형 A′B′C′D′ 이 한 점에서만 만나도

록 하는 모든 의 값의 합을 라 하자. ×의 값을 구하시오.7)

8.8)행렬 cos sin

sin cos 로 나타나는 일차변환 에 대하여 (단, )

∘ ∘ ∘ ⋯ ∘ 라 정의하자. 일차변환 이 축

상의 모든 점들을 축 상의 점으로 보내는 일차변환이라고 할 때, 의 최솟값을 구하여라.


테마 3. 일차변환과 도형

1) 역변환이 존재할 때

① 상이 영역일 때

⇒ 관계는 변하지 않는다.

② 상이 직선일 때

2) 역변환이 존재하지 않을 때

① 상이 영역일 때

⇒ 차원이 낮아진다.

② 상이 직선일 때


9.9)집합 , 는 실수에 대하여 집합 를 다음과 같이 정

의하자.

′ ′ ′′ , , ∈

∩ 을 만족시키는 실수 의 값은?

①

②

③

④

⑤

10.10)행렬 로 나타내어지는 일차변환 에 의하여 직선 위의 점 중에서 곡선

위의 점으로 옮겨지는 점은 오직 한 점 뿐일 때, 이 아닌 실수 의 값은?

① ② ③ ④ ⑤


11.11)좌표평면 위의 점 P와 행렬 로 나타내어지는 일차변환 에 대하여 집합

를 다음과 같이 정의하자.

P∣점 P는 일차변환 에 의하여 원점으로 옮겨진다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, O는 원점이다.)

ㄱ. O∈

ㄴ. ≠이면 집합 는 유한집합이다.

ㄷ. 집합 가 무한집합이 되도록 하는 모든 실수 의 값의 합은 이다.

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12.실수 에 대하여 일차변환

에 의해 그림과 같은 삼각형

ABC 가 삼각형 A′B ′C ′ 로 옮겨진다. 두 삼각형이 겹쳐지는 부분의 넓이

가

이 되도록 하는 모든 의 값의 곱은 M이다. M의 값을 구하

시오.12)


13.두 일차변환 를 나타내는 행렬이 각각

일 때, 합성변환 ∘ 에 의하여 좌표평면 위의 원 C 이 원 C′ 으로 옮겨진다.

원 C′ 의 중심이 원 C 위에 있을 때, 상수 의 값은?13)(단, ≠ )

➀ ➁ ➂ ➃ ➄

14.양의 실수 에 대하여 일차변환 를 나타내는 행렬을

라 하자. 일차변환 에 의해

세 점 A B C 이 각각 A′ B′ C′ 으로 옮겨지고 A′B′B′C′ 을 만족시킬

때, 삼각형 A′B′C′ 의 넓이를 구하시오.14)


테마 1. 이차곡선 공식으로 시작하기

1. 정의

2. 접선의 종류

1) 접점

2) 기울기

3) 외부의 점

3. 직선과 곡선의 관계


15.15) 직선 위의 점 에서 포물선 에 두 개의 접선을 그어 그 접점을 각각

P Q 이라 하자. 이때 PQ의 중점 M이 그리는 도형의 방정식은?

① ②

③ ④

⑤

16.16)점 P 에서 포물선 에 그은 두 접선의 접점을 Q R 이라 할 때, 선분

QR 의 중점의 좌표는?

①

②

③

④

⑤


점P 의 좌표를 이라고 하면, 접선의 방정식은 가 이다. 이 식에 을 대입하면 교점T의

좌표는 이다. 초점F 의 좌표는 나 이므로 FT 다

한편, FP

다 따라서FPFT 이다.

[ 증 명 ]

17.다음은 포물선 위의 꼭짓점이 아닌 임의의 점 P 에서의 접선과 축과의 교점을 T , 포

물선의 초점을 F라고 할 때,FP FT 임을 증명한 것이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? 17)

(가) (나) (다)

①

②

③

④

⑤


18.18) 점 F 을 지나는 직선 이 포물선 와 서로 다른

두 점 P Q 에서 만난다. 두 점 P Q 에서 직선 에 내린 수선

의 발을 각각 R S 라 하고, 점 F 를 지나고 직선 에 수직인 직선이

직선 과 만나는 점을 M 이라 하자. 옳은 것만을 보기에서 있는

대로 고른 것은?

ㄱ. RMSMㄴ. ∠PMQ

ㄷ. MFPR⋅QS

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19.19)오른쪽 그림과 같이 포물선의 초점 F 를 지나는 직선이 이 포물선

과 두 점 P Q 에서 만난다. 점 P Q 에서 준선에 내린 수선의 발을 각각

R S 라 하고, RS 의 중점을 M PQ 의 중점을 N 이라 할 때, 다음

<보기>중 옳은 것을 모두 고르면?

< 보 기 >

ㄱ. RF ⊥SF ㄴ. RF ⊥PM

ㄷ. PM ⊥QM ㄹ. PQ ⊥MF

① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ


20.20)두 점 F F ′ 을 초점으로 하는 타원 위의 한 점 P 에서의 접선을 이라 하자.

점 P 가 타원 위를 움직일 때, 접선 에 대하여 점 F 와 대칭인 점 R 의 자취는?(단, )

① ②

③ ④

⑤

21.21)점 에서 타원

에 그은 두 접선의 접점을 라 하자. 다음 중 두 점

를 지나는 직선의 방정식은?

①

②

③

④

⑤


22.22) 그림과 같이 타원

이 음의 축과 만나는 점을 A 라 하고, 이 타원과 포물

선 가 만나는 점을 B 라 하자. 점B 에서 타원과 포물선에 그은 접선을 각각

라 하고, 가 축과 만나는 점을 각각 C D 라 하자. 의 기울기를 각각

라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?(단, O 는 원점이다.)

ㄱ. × 의 값은 항상 일정하다.

ㄴ. 점 D 는 항상 선분 AO 위에 있다.

ㄷ. CD

[ 보 기 ]

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ. ㄷ

23.쌍곡선 위의 점 P 에서의 접선을 , 원점

O를 지나고 직선 과 수직인 직선을 이라 하자. 직선 과 의

교점을 Q , 직선 과 쌍곡선의 교점 중 좌표의 부호가 의 부호

와 같은 점을 R라 할 때, OQ ·OR의 값은?23)

① ② ③

④ ⑤


24.24)그림과 같이 좌표평면에서 쌍곡선

위의 제사분

면 위에 있는 점 P와 두 초점 F F′을 꼭짓점으로 하는 삼각형 FPF′이 있다. 이 삼각형 FPF′에 내접하는 원의 중심의 좌표를 구하시오.

25.25)다음은 ‘쌍곡선 위의 임의의 점 에서 그은 접선과 두 점근선과의 교점을

라 할 때, ∆의 넓이는 점 의 위치에 관계없이 일정함’을 증명하는 과정이다.

< 증 명 >

A

B

OP

주어진 쌍곡선 위의 임의의 점을 이라 하면

접선의 방정식은 ㉮ ⋯ ㉠

점근선은 ⋯ ㉡, ⋯ ㉢

㉠, ㉡의 교점 의 좌표를 라 하면

(단, ≠)

㉠, ㉢의 교점 의 좌표를 라 하면

(단, ≠)

∴

같은 방법으로 ( ) , 와 는 수직이므로

∆ ⋅

⋅

⋅ ㉯ (일정) (단,≠)

위의 과정에서 ㉮, ㉯에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

①

②

③

④

⑤


26.쌍곡선

의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여

∠F′PF 의 이등분선이 축과 점 A 에서 만날 때, 삼각형 PF′F 의 둘레의 길이를 구하시

오.26)

27.[그림 ]과 같이 반지름의 길이가 , 모선의 길이가 인 원뿔 두 개가 점 O 를 공유하면서

밑면이 서로 평행한 입체도형을 라 하자. 의 밑면과 수직인 평면 로 를 자르면 단면에 쌍

곡선이 생긴다. [그림 ]와 같이 반지름의 길이가 인 두 개의 구가 잘린 입체도형의 옆면 및 단면에

접할 때, 두 개의 구와 평면 가 접하는 점을 각각 F F 라 하자. 이 때, 쌍곡선 위의 점 P 에

대하여 PFPF 의 값을 구하시오.27)


테마 2. 이차곡선 응용 공식들

1. 접선이 수직일 때

2. 광학적 성질


28.28)초점이 F이고 준선이 인 포물선 위의 서로 다른 두 점 X Y에서의 두 접선이 점

P 에서 만난다. 두 점 X Y에서 준선 에 내린 수선의 발을 각각 Q R라 할 때,

PQPR의 값은?

① ②

③ ④

⑤

29.29) 초점이 F인 포물선 위에 ∠OFA∠AFB

인 두 점 A B가 있다. 삼각

형 AFB의 넓이는? (단, O는 원점이고 두 점 A B는 제1사분면 위의 점이다.)

30. 30)점 A 에서 타원

에 그은 두 접선이 서로 수직으로 만날 때, 상수 의

값은? (단, )

① ②

③ ④

⑤


31.31)점 에서 타원

에 그은 두 접선의 기울기를 각각 라 할 때,

의 값은?

①

②

③ ④

⑤

32.32)좌표평면 위의 한 점에서 쌍곡선 에 접선을 그을 때, 서로 다른 두 개의 접선을

그을 수 있는 점( )의 집합은?

① ｛，≠｝

② ｛｝

③ ｛，≠

④ ｛｝

⑤ ｛｝


33.33) 다음 조건을 모두 만족하는 두 동점 P Q에 대하여 선분 PQ의

중점이 나타내는 도형의 방정식은?

(가) 두 점 P Q의 좌표는 부호가 반대이다.

(나) 두 점 P Q는 각각 직선 위를 움직인다.

(다) ∆OPQ의 넓이가 항상 이다.

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helpmemath

작성자

①

②

③

④

⑤

34.좌표평면에서 원 와 타원

에 대하여 점 을 지나고 기울기가

인 직선이 원과 만나는 점의 좌표를 원소로 하는 집합을 A 타원과 만나는 점의 좌표를 원소

로 하는 집합을 B 라 하자. 집합 A∪B 의 원소의 개수가 이 되도록 하는 모든 의 값의 합

은?34)

➀ ➁

➂ ➃

➄


테마 3. 이차곡선 신유형

1) 이차곡선의 정의

2) 계산

3) 특이성


35.35) 그림과 같이 원 위의 두 점 P Q 에서 각각 포물선 에 그은

두 접선이 서로 수직일 때, 두 점 P Q 사이의 거리는?

① ② ③

④ ⑤

36.36)그림과 같이 꼭짓점이 인 포물선의 초점 를 지나는 직선

과 포물선의 교점을 라고 하자. 일 때, 점

를 한 꼭짓점으로 하고 한 변이 포물선의 축 위에 있는 정사각형의 넓

이를 구하시오.


37.37)좌표평면에서 포물선 의 초점을 , 준선을

이라 하자. 제1사분면의 포물선 위의 두 점 에 대하여 직선

의 교점을 라 하자. 일 때,

의 값은?

①

②

③

④

⑤

38.38)오른쪽 그림과 같이 OAOB 인 이등변삼각형 OAB 의

세 꼭짓점을 지나는 포물선의 방정식이 이다. 삼각형

OAB 의 넓이는 이고, 점 A 와 포물선의 초점 F 를 잇는 직선

이 삼각형의 넓이를 이등분할 때, 의 값은?

① ② ③

④ ⑤


39.39)두 점 F F′ 을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 P Q 에 대하여

원점 O 에서 선분 PF 와 선분 QF′ 에 내린 수선의 발을 각각 H 와 I 라 하자. 점 H 와 점 I 가

각각 선분 PF 와 선분 QF′ 의 중점이고, OH×OI 일 때, 이 타원의 장축의 길이를 이라 하

자. 의 값을 구하시오. (단, OH≠OI)

40.40)점 에서 타원

에 그은 두 접선의 접점을 각각 P Q라 하고, 타원의 두

초점 중 하나를 F라 할 때, 삼각형 PFQ의 둘레의 길이는 이다. 의 값을 구하시

오.(단, 는 유리수이다.)


41.41)타원

위의 제사분면에 있는 점 P에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각

각 A B라 하자. 원점 O에 대하여 삼각형 AOB의 외접원의 둘레의 길이가 일 때, 삼각형

AOB의 넓이는?

①

②

③ ④

⑤

42.42)쌍곡선 과 직선 가 서로 다른 두 점

P , Q 에서 만날 때, 선분 PQ 의 중점을 R 라 하자. 상수 의 값이

변할 때 점 R 가 그리는 도형은 이차곡선의 일부이다. 이 이차곡선의

방정식은?

① ②

③ ④

⑤

43.43)쌍곡선 과 포물선 의 위치관계에 대한 보기의 설명 중 옳은 것

을 모두 고르면? (단, )

<보 기>

ㄱ. 일 때, 쌍곡선과 포물선은 두 점에서 만난다.

ㄴ. 일 때, 쌍곡선과 포물선은 적어도 세 점에서 만난다.

ㄷ. 일 때, 쌍곡선과 포물선은 만나지 않는다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ


44.44)좌표평면에서 타원 과 쌍곡선 가 제사분면 위의 점

P에서 만난다. 점 P에서 타원에 접하는 직선과 쌍곡선에 접하는 직선이 서로 수직이 되도록 하는

의 값은?

①

② ③

④

⑤


테마 1. 공간도형 다루기

- 공간을 다루는 법

1) 정의

2) 직관


45.공간에서 서로 다른 두 직선 과 세 평면 에 대하여 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른

것은?45)

ㄱ. ⊥ ⊥이면 ⊥이다.

ㄴ. ⊥ 이면 이다.

ㄷ. , 이면 이다.

ㄹ. ⊥⊥이면 이다.

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄹ ④ ㄴ, ㄹ ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

46.46)공간에서 서로 다른 두 직선 과 두 평면 에 대하여 보기 중 옳은 것만을 있는 대로

고른 것은?

<보기>

ㄱ. ⊥ ⊥ 이면

ㄴ. , 이면

ㄷ. , ⊥ 이면 ⊥

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ. ㄷ

47.오른쪽 그림과 같은 직육면체에서 AB , AE, AD이다. 꼭짓점 A에서 선분 HF에 내린 수선의 발은 I라 할 때, AI의 길이를

구하시오.47)


48.48) 사면체 ABCD 에서 AB⊥AC , AB⊥CD , AC⊥CD 일 때 보기에서 옳은 것만을

있는 대로 고른 것은?

ㄱ. AB⊥AD ㄴ. BC⊥CD ㄷ. AD⊥BC[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

49.49)오른쪽 그림의 사면체 에서

⊥ ⊥ 이고 의 중점을 이라 한다. 다음 보기

에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보기>

ㄱ. ⊥ ㄴ. ⊥

ㄷ. ⊥

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ. ㄷ


테마 2. 이루는 각

1) 정의

B

AO

O

① 직선과 직선 ② 직선과 평면 ③ 평면과 평면

2) 벡터


50.50) 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 정사각뿔 ABCDE 가 있다. 선분 AD 를

으로 내분하는 점을 P 라 하고 선분 BP 와 평면 BCDE 가 이루는 각의 크기를 라 할 때,

cos 의 값은? 단

①

②

③

④

⑤

51.51)그림과 같은 정사면체 ABCD 에서 모서리 AC 를 로

내분하는 점을 P , 모서리 AD 를 로 내분하는 점을 Q 라 하자.

직선 PQ 와 평면 BCD 가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos의 값

은?

①

②

③

④

⑤

52.52) 오른쪽 그림과 같은 사면체 OABC가 있다. ∠AOB°∠BOC° ∠AOC°일 때, 평면 AOB와 평면 BOC가 이루

는 각의 크기는 이다. 이때, cos의 값은? (단,

)

①

②

③

④

⑤


53.그림과 같이 AD BDCD인 사면체 ABCD 가

다음 조건을 만족 시킬 때, 사면체 ABCD 의 부피는?53)

(가) 삼각형 ABD 와 삼각형 ABC 가 이루는 각이 ∘이다.

(나) ∠ABD ∠ABC∘이다.

➀ ➁

➂

➃ ➄

54.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체ABCDEFGH 가 있다.

꼭짓점 G 를 지나고, 세 꼭짓점 B D E 를 포함하는 평면과 평행한 평면을

라 하자. 평면 에 수직인 방향으로 빛을 비출 때, 평면 에 생기는 정육면체

ABCDEFGH 의 그림자의 넓이는 S이다. S의 값을 구하시오.54)

55.그림과 같이 평면 와 교선AA 를 갖고, ∠A인 사각형 AAAA 가 다음 조건을 만족

시킨다.

(가) AkAk

(나) 평면 와 선분 AkAk이 이루는 각을 k 라 할 때,sin

이다. ( )

∠A라 하자. tan의 값을 구하시오.55)


56.56)그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 정사각뿔

A BCDE 에서 모서리 AB , AC 의 중점을 각각 P , Q 라 하고

모서리 AD , AE 를 으로 내분하는 점을 각각 R , S 라 하자.

평면 PQRS 와 평면 BCDE 가 이루는 각의 크기를 라 할 때

cos 의 값은?

단 ＜＜

①

②

③

④

⑤

57.그림과 같이 AB BC이고 ∠ACB∘인 직각삼각형 ABC 가 있다. 변 BC 는 평면

위에 있고, 평면 ABC 와 평면 가 이루는 예각의 크기는 ∘이다. 꼭짓점 A 에서 평면 에 내린

수선의 발을 H 라 할 때, 삼각형 ACH 의 평면 ABH 위로의 정사영의 넓이는?57)

➀ ➁

➂ ➃

➄


58.58)공간에서 교선이 인 서로 다른 두 평면 에 대하여 평면 와 수직이고 과 평행한 평면

가 평면 와 만난다. 평면 위에 있는 원 C 의 평면 위로의 정사영 을 도형 C이라 하고, 도형

C 의 평면 위로의 정사영을 도형 C라 할 때, 원 C 의 넓이는 도형 C 의 넓이의 배 이다. 두 평면

가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, sin 의 값은?

①

②

③

④

⑤

59.59)오른쪽 그림과 같은 정육면체 에서 두 삼각형 와

가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?

①

②

③

④

⑤

60.60)그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 입체도형 에 대하여

보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

<보기>

ㄱ. 두 평면 와 가 이루는 각의 크기 에 대하여

cos

이다.

ㄴ. 삼각형 에 내접하는 원의 반지름의 길이는

이다.

ㄷ. 삼각형 에 내접하는 원을 평면 에 정사영한 도형

의 넓이는

이다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ


61.61)그림과 같이 좌표공간에서 한 모서리의 길이가 인 정사면체 OPQR의 한 면 PQR가 축과

만난다. 면 PQR의 평면 위로의 정사영의 넓이를 라 할 때, 의 최솟값은 이다. 의 값을

구하시오. (단, O는 원점이다.)


테마 3. 공간좌표

1)

O

AB

C

N

M

L

P

2) 대칭점

점 P a b c에 대하여

(1) 평면에 대하여 대칭인 점의 좌표 :



(4) 축에 대하여 대칭인 점의 좌표 :



(7) 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표 :


62.두 점 A B 에서의 거리의 비가 인 점 P의 자취의 방정식을 구하시오.62)

63.공간의 한 정점 A 에서 구 위의 동점 B를 잇는 선분 AB를

로 내분하는 점의 자취가 이루는 도형의 겉넓이를 구하시오.63)

64.64)좌표공간 위의 두 점 A , B 에 대하여 축 위의 점을 P라 할 때,

APBP의 최솟값은 이다. 이 때, 두 자연수 에 대하여 의 값을 구하시오.


65.좌표공간에 두 점 A B 가 있고, 평면 위에 원

아 있다. 원 위의 점 P 에 대하여 P 에서 직선 AB 에 내린 수선의 발을 P′이라 할 때, PP′ 의 최솟값을 구하시오.65)


테마 4. 구의 방정식

- 구의 방정식 표준형


66.구 에 대하여 다음을 구하시오.66)

⑴ 구와 축이 두 점 에서 만날 때, 선분 의 길이

⑵ 구와 평면의 교선이 원일 때, 이 원의 중심과 반지름의 길이

67.좌표공간에 두 점 P 와 Qa b 를 잇는 직선 과 방정식

인 구 가 있다. 이 직선 과 구 를 평면에 정사영시켜 얻은

두 도형이 서로 접할 때,

의 값은?67) (단, ≠)

① ②

③ ④

⑤

68.68)좌표공간에 있는 구

과 평면이 만나서 생기는 도형과 직선

이 한 점에서 만날 때, 양수 의 값은?

①

②

③

④

⑤


69. 반지름이 이고 중심이 O 인 구가 구의 중심으로부터의 거리가 인 평면 와 만나고

있다. 구가 나뉜 두 부분 중에서 큰 쪽을 S라 할 때, 평면 위의 두 점A B 와 S위의 점 C 평

면 와 구가 만나서 생기는 원의중심 O′ 이 다음 조건을 만족 시킨다.

(가) BCAO′ AO⊥AB (나) 직선 AC 와 직선 BC 모두 구와 오직 한 점에서 만난다.

삼각형 ABC 의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.69)

70.서로 평행하고 거리가 인 두 평면 가 있고, 로부터의 거리가 이고 로부터의 거리

가 인 점P 가 있다. 위의 점A 와 위의 점B 가 PA PB 를 만족하면서 각 평

면 위를 움직일 때, 평면PAB 와 평면가 이루는 예각의 크기가 최소가 될 때의 A B 에 대하여

AB 의 값을 구하시오.70)


테마 1. 벡터 다루기

1)

2) 벡터가 갖는 장점

① 방향성

② 교점

③ 일직선

A(시점)

B(종점)


71.오른쪽 그림과 같이 △의 세 중선 의 교점을

라 하고 , 라고 할 때, 를 만족하는 실수

에 대하여 의 값을 구하시오.71)

72.△의 내부에 있는 점 에 대하여 일 때,

△ △ △의 넓이의 비를 구하시오.72)

73.△의 내부의 한 점 에 대하여 이고,

의 연장선과 와의 교점을 라 할 때, △ △의 값을

구하시오.73)


74.오른쪽 그림과 같이 삼각형 의 두 변 의 연장선

위에 , 가 되도록 두 점 를 각각 잡은

후 와 의 교점을 라 하자. 라 할 때,

를 로 나타내시오.74)

75.오른쪽 그림과 같이 삼각형 에서 변 의 중점을 , 선분

을 로 내분하는 점을 이라 할 때, 를 만족

하는 실수 에 대하여 의 값을 구하시오.75)

①

②

③

④

⑤

76.76)삼각형 ABC 에서 ABAC cos

이고, 삼각형 ABC 의 내접원의 중심을

P 라 하자. AP ABAC 일 때, 의 값은?

①

②

③

④

⑤


77.77) 그림과 같은 정육면체 ABCDEFGH 에서 AB , AD , AE 라 하고,

점 E 에서 대각선 DF 에 내린 수선의 발을 P 라 하자. AP 일 때, 의

값은? (단, 은 상수이다.)

① ②

③

④ ⑤


테마 2. 벡터 다루기 심화

1) ·

2)


78.78) 그림과 같이 삼각형 ABC 의 무게중심을 G 라 하고, 변 AB 를 로 내분하는

점을 D 변 AC 를 로 내분하는 점을 E 라 하자. 세 점 D G E 가 한 직선 위에 있

을 때,

의 값은? (단, 이다.)

① ② ③ ④ ⑤

79.79)좌표평면 위의 두 점 , 에 대하여 점 는 를 만족

한다. 점 가 다음 두 조건을 만족할 때, 두 상수 에 대하여 의 값은?

(단, 는 원점이고 ≠이다.)

(가) 벡터 는 두 벡터 와 가 이루는 각을 이등분한다.

(나) 점 는 원 위에 있다.

①

②

③

④

⑤


80.80)그림과 같은 사면체 OABC에서 모서리 AB를 로 내분하는

점을 D 선분 CD를 로 내분하는 점을 E 선분 OE를 로 내

분하는 점을 F라 하자. OA , OB , OC 라 할 때,

AF 이다. 세 상수 , , 의 합 의 값은?

①

②

③

④

⑤

81.81) 정삼각형 OAB에서 두 변 OA OB를 로 내분하는

점을 각각 D E라 하고 두 선분 AE BD의 교점을 F라 하자.

OA , OB라고 할 때, 등식 OF를 만족시키는 두

실수 에 대하여



테마 3. 벡터와 영역

OP OAOB (≧ , ≧ )


82.평면 위에 삼각형 OAB가 있다. OPOAOB (≧, ≧)를 만족하는 점 P가 그

리는 도형에 대한 옳은 설명을 다음에서 모두 고른 것은?82)

ㄱ. 일 때, 점 P가 그리는 도형은 선분 AB이다.

ㄴ. 일 때, 점 P가 그리는 도형의 길이는 선분 AB의 길이보다 크다.

ㄷ. ≦일 때, 점 P가 그리는 영역은 삼각형 OAB를 포함한다.

배포

helpmemath

작성자

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

83.83) 좌표평면 위에 넓이가 인 평행사변형 ABCD 에 대하여

AB , AD 라 하고 AP 라 할 때, 보기에서 옳은

것만을 있는 대로 고른 것은? (≧, ≧ )

ㄱ. 이면 점 P 가 그리는 도형은 선분 BD 이다.

ㄴ. ≦≦, ≦≦일 때, 점 P 가 존재하는 영역의 넓이는 이다.

ㄷ. ≦일 때, 점 P 가 존재하는 영역의 넓이는

이다.

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ

84. 84)반지름의 길이가 인 원 위에 인 두 정점 가 있다. ≦≦일 때, 이 원

위의 동점에 대하여 의 최댓값은?

① ② ③ ④ ⑤


85.85)한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC에 대하여 점 P가

AP ABAC ≤≤

를 만족시킬 때, 점 P가 그리는 도형의 길이는?

① ② ③ ④ ⑤

86.86)좌표평면 위의 두 점 , 에 대하여

(≧ ≧ )를 만족하는 점 가 나타내는 도형의 길이는? (단, 는 원점이다.)

① ② ③ ④ ⑤

87.87)그림과 같이 반지름의 길이가 인 원의 둘레를 등분하는

점을 순서대로 A A A ⋯ A라 하자. 옳은 것만을 보기에서

있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 두 벡터 AAAA의 내적은 양수이다.

ㄴ. 벡터 AAAA과 벡터

AAAA는 서로 평행하다.

ㄷ. 벡터

AA의 크기는 이다.

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ


88.88)그림과 같은 사면체 에서 삼각형 의 무게중심을 라

할 때, 를 만족하는 세 실 수 , , 에 대하

여 의 값은?

① ② ③

④ ⑤

89.89)빗변의 길이가 이고 ∠인 직각이등변삼각형 가 있다. ≤≤인

양의 실수 에 대하여 를 만족하는 점 가 위치하는 영역의 넓이를 라

고 할 때, 의 값을 구하시오.


테마 4. 벡터의 크기

1) ⋅

2) ① ⋅

② ⋅

3) PAPB


90.세 점 에 대하여 일 때, 점 가 그리는

도형의 넓이를 구하시오. 90)

91.넓이가 인 ∆ 내부의 한 점 에 대하여 일 때, ∆ 의

넓이를 구하시오.91)

92.92)좌표공간에서 세 점 A B C 에 대하여 의

최솟값은? (단, 는 원점이고, 는 실수이다.)

①

②

③

④

⑤


93.93)한 변의 길이가 인 정삼각형 에서 변 를 로 내분하는 점을 라 하고,

변 를 과 으로 내분하는 점을 각각 , 라 할 때, 의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

94.94)그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원 , , , 가 서로 외접하

고 있고, 두 원 , 의 접점을 A라 하자. 원 위를 움직이는 점 P 와 원 위를 움직이는

점 Q 에 대하여 APAQ 의 최댓값은?

① ② ③

④ ⑤


95.95)좌표평면에서 중심이 각각 O A B 이고

반지름의 길이가 인 세 원 C C C가 있다. 세 점 P Q R 이

각각 세 원 C C C위를 움직일 때, OPOQOR 의 최솟값

을 구하시오.


테마 1. 내적의 정의

1) 평면벡터의 내적

일 때

⋅

2) 공간벡터의 내적

일 때

⋅


96.다음 그림에서와 같이 와 가 서로 수직일 때, 를 성분으로 표시하시오.96)

97.97) 직사각형 와 직사각형 내부의 점 는 다음을 만족한다.

(가)

(나) 삼각형 의 세 내각의 크기의 비가 ∠ ∠ ∠ 이다.

배포

helpmemath

작성자

이 때, ·의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

98.98) 평면 위의 네 점 O A B C에 대하여 두 벡터 OP OQ는

OP OA

OB OQOBOC를 만족시킨다. 삼각형 ABC의 넓이가 일 때, 삼각형

CPQ의 넓이를 구하여라.

99.99)오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정사면체 에서

의 중점을 각각 이라 할 때, ⋅의 값을 구하시오.


테마 2. 내적의 표현

·

·


100.100)반지름의 길이가 인 구 위의 고정된 두 점 A B가 AB를 만족시킨다. 점 P가

AB⦁AP를 만족시키면서 구 위를 움직일 때, 점 P가 나타내는 도형의 길이는?

① ② ③

④ ⑤

101.101) 그림과 같이 중심이 O 이고, 반지름의 길이가 인 원 위에

세 점 A B C 가 있다. OA OB OC 라 할 때, 옳은

것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. ≠ 일 때,

는 벡터 BC 에 수직이다.

ㄴ. ≠ 일 때,

· · 이면 와

는 평행하다.

ㄷ. · 이면 이다.

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ


102.102)그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심이 O인 원의 둘레를

등분하는 점을 각각 A A ⋯ A라 하자.

AO⋅AA 의 값을 구하여라.

103.103)ABBC이고 ∠B인 직각이등변삼각형 ABC 에 대하여 삼각형 ABC 를 포

함하여 평면 위의 두 점 P Q 가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) AP·BP

(나) BQ

BABP

이때, CQ 의 최댓값을 구하시오.


테마 3. 내적 활용


104.104) 평면에서 그림과 같이 AB 이고 AD 인 직사각형 ABCD 와 합동인 직사각형

DEFG 와 직사각형 GHIA 가 삼각형 ADG 가 정삼각형이 되도록 놓여 있다. 점 P 가 선분 BC

위의, 점 Q 가 선분 EF 위의, 점 R 가 선분 HI 위의 점일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로

고른 것은?

ㄱ. PQPR 의 최댓값은 최솟값의 두 배이다.

ㄴ. DQ⋅PR 의 최댓값은 이다.

ㄷ. BD⋅AQ 의 값은 일정하다.

[ 보 기 ]

① ㄴ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄴ, ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

105.105)그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC에 내접하는 원이 있다. 원이 선분

AB에 접하는 점을 D , 원 위의 임의의 점을 P라 할 때, 두 벡터 AC DP의 내적 AC·DP의

최댓값은?

① ② ③ ④ ⑤


106.106)반지름의 길이가 인 구에 내접하고 무게중심이 구의 중심 O와

같은 정삼각형 ABC가 있다. PA⋅PB

을 만족시키는 구 위의 점 P가 그리는 도형의 길이는?

① ②

③

④

⑤


테마 4. 내적 최고난이도


107. 평면에서 그림의 오각형 가 , ,

∠∠를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른

것은? 107)

ㄱ. 선분 의 중점 에 대하여 와 은 서로 평행하다.

ㄴ. ··

ㄷ.

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

108.108)그림과 같이 평면 위에 정삼각형 ABC와 선분 AC를 지름으로 하는 원 O가 있다. 선분

BC 위의 점 D를 ∠DAB

가 되도록 정한다. 점 X가 원 O 위를 움직일 때, 두 벡터

AD CX 의 내적 AD⋅CX 의 값이 최소가 되도록 하는 점 X를 점 P라 하자. ∠ACP 일

때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)


ㄱ. AN⋅BQ

ㄴ. AN

ABAC

ㄷ. AQAM

[ 보 기 ]

109.109) 그림과 같이 점 O를 중심으로 하고, 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있

다. 이 반원의 내부에 AC인 점 C를 잡고, ∆ABC의 내접원의 중심을 O′이라 하자. 선분

AO′의 연장선과 선분 BC의 교점을 N 반원과의 교점을 P라 하고, 선분 BC의 중점을 M 선분

AM의 연장선과 선분 BP의 교점을 Q라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ


110.110)그림과 같이 직사각형 ABCD을 포함한 평면 와 평면 가 직선 AB를 교선으로 하여

만나고 있다. AB , BC이고 선분 AC, BD의 교점을 P , 평면 위의 한 점을 O라 했

을 때, 다음 조건이 성립한다.

(가) 평면 와 평면 가 이루는 예각의 크기는 이다.

(나) 점 O를 중심으로 하고 평면 위에 있는 원을 밑면으로 하는 반구가 평면 와 점 P에서

접한다.

반구 위의 한 점 X에 대하여 두 벡터 CO , DX 의 내적 CO·DX 의 최댓값을 이라 할 때,



111.111)그림과 같이 두 점 , 를 중심으로 하는 반지름의 길이가 각각 , 인 두 원이 내

접하고, 큰 원의 지름 와 선분 가 수직이다. 점 가 작은 원 위를 움직일 때, 두 벡터

, 의 내적

⋅ 의 최댓값 에 대하여 의 값을 구하시오.


테마 1. 직선의 방정식

O

P

A


112.점 와 직선

에 대하여 다음을 구하시오.112)

(1) 점 에서 직선 에 내린 수선의 발 의 좌표

(2) 직선 의 방정식

(3) 점 에서 직선 에 내린 수선의 길이

113.구 위의 임의의 점 에서

에 이르는 거

리의 최댓값과 최솟값의 구하시오.113)

114.두 직선

,

의 위치관계를 말하시오.114)


115.115) 좌표공간에서 점 A 가 직선

위에 있을 때, 점 A와

평면 사이의 거리는? (단, , 는 상수)

① ② ③ ④ ⑤

116.좌표공간에서 직선

와 평면 가 만나는 점을 A 라 하자. 점

P가 OA·OP OP 을 만족시킬 때, 점 P 와 평면 사이의 거리의 최댓값은?116)

①

②

③

④

⑤

117.117) 좌표공간의 한 점 P 과 직선

위의 점 Q 에 대하여

OPOQ 의 최솟값은? (단, O 는 원점이다.)

①　

②　

③　 ④　

⑤　


테마 2. 평면의 방정식

O

P

A


118.점 A 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 다음을 구

하시오.118)

(1) 직선 AH의 방정식

(2) 점 H의 좌표

119.평면 : 에 대하여 점 A 의 대칭점의 좌표 C를 구하시오.119)

120.좌표공간의 두 점 A B 와 평면 위의 임의의 점 P에 대하여 PAPB 의 최솟값을 구하시오. 120)


ㄱ. 이고 ≤ 을 만족하는 점 P 가 존재하는 영역의 넓이는

이다.

ㄴ. 을 만족하는 점 P 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이다.

ㄷ. ≤ ≤ 을 만족하는 점 P 가 존재하는 영역의 부피는

이다.

[ 보 기 ]

121.121) 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체가 있다. 이때

AP ABADAE ≤

를 만족시키는 점 P 에 대하여 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, ≥ ≥ ≥

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ. ㄷ

122.122) 좌표공간에서 직선 의 평면 위로의 정사영은 , 이고 직선 의

평면 위로의 정사영은 , 일 때, 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것

은?

ㄱ. 직선 은 을 지난다.

ㄴ. 직선 의 방향벡터는 이다.

ㄷ. 직선 이 축과 이루는 각을 라 하면 cos

이다.

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

123.123)좌표공간에서 정사면체 ABCD 의 한 면 ABC 는 평면 위에 있고, 꼭짓

점D 는 평면 위에 있다. 삼각형 ABC 의 무게중심의 좌표가 일 때, 정사면

체 ABCD 의 한 모서리의 길이는?

①　 ②　 ③ ④　 ⑤


124.124) 좌표 공간에서 직선 의 평면 위로의 정사영의 방정식은

이고, 직선 의 평면 위로의 정사영의 방정식은

이다. 직선 이 축과 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?

①　

②　

③　

④　

⑤　

125. 평면 위에 ∠A 이고 빗변의 길이가 인 직각삼각형 ABC 가 있다.

세 점 A B C 에서 평면 에 내린 수선의 발을 각각 D E F라 하자. 삼각형 ABC와 삼각형 DEF 가 다음 조건을 만족시킬 때, 선분 EF의 길이는 이다. 의 값을 구하시오.125)

(가) AC (나) AC⋅DE


테마 3. 구의 방정식

P

O

A

⋅


126.좌표공간에서 중심이 (1, 1, 1)이고 평면 에 접하는 구의 반지름의 길이를

구하시오.126)

127.좌표공간에서 평면 이 두 구

,

에 동시에 접할 때, 의 값을 구하시오.127)

128.128) 두 집합 를 다음과 같이 정의하자.

이때, ∩≠∅ 이 되도록 하는 점 의 집합과 평면 의 공통영역의 넓

이는?

① ② ③ ④ ⑤


129.129) 구 위의 두 점 에서 구에 접하는 평면을

각각 라 하자. 두 평면 가 이루는 각의 크기가 일 때, cos 의 값은? (단,

≦≦

)

①　

②　

③　

④　

⑤　

130.130) 중심이 점 인 구 와 평면 이 만나서 생

기는 원의 중심을 ′ 이라 하자. 이 원 위를 움직이는 점 에 대하여 구 위의 점 가 다음 조건

을 만족시킨다.

(가) ⋅

(나) 점 는 삼각형 ′ 을 포함하는 평면 위에 있다.

점 가 그리는 도형 전체의 길이의 합을 라 할 때, 상수 의 값은?

①　 ②　 ③　 ④　 ⑤　


테마 4. 벡터 방정식

1) ·

2)

3)


131.131)좌표공간에 있는 두 점 O A 에 대하여 OA⦁OP OP 을 만

족시키는 평면 위의 점 P 가 오직 한 개뿐일 때, 양수 의 값은?

① ②

③ ④

⑤

132.132)원점이 O인 좌표평면에서 OA , OP 라 하자. 등식 ⋅ 을 만족하는

점 P가 나타내는 도형에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, ≠, OA′OA)

① 점 A를 지나고 벡터 에 수직인 직선

② 점 A′을 지나고 벡터 에 수직인 직선

③ 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원

④ 점 A를 중심으로 하고 지름의 길이가 인 원

⑤ 점 A′을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원

133.133)좌표공간 위의 두 점 A , B 과 평면 위의 점 P에 대

하여 PB·AB일 때, PA·PB의 최솟값을 구하시오.


134.좌표평면 위에 세 점 O A B 가 있다. 점 P 가 두 조건

PA⋅PB ≦ , OP⋅OAOB ≦

를 만족할 때, 점P가 존재하는 영역의 넓이는?134)

① ② ③ ④ ⑤

135.좌표공간의 점 A 과 중심이 원점 O인 구 위를 움직이는 점 P에

대하여 OA

OP 의 최댓값은 이다. 의 값을 구하시오.

(단, ,는 유리수이다.)135)


테마 5. 공간방정식 활용


136.136)좌표공간 위의 네 점 를 연결하여

만든 사면체 ‐ 가 있다. 평면 위의 점 에 대하여

PAPBPCPD 의 최솟값을 구하시오.

137.137)좌표공간에 구 이 있다. 두 점 A 과 B 을 지나

는 직선 AB 가 구 와 한 점에서 만나도록 하는 양의 실수 의 값은?

①

②

③

④

⑤

138.138)좌표공간에서 두 점 와 구 위를

움직이는 점 에 대하여 세 점 의 평면 위로의 정사영을 각각 ′ ′ ′이라 하자. 삼

각형 ′ ′ ′의 넓이가 일 때, 점 가 움직이는 도형의 길이는 이다. 의 값을 구하시오.


139. 139)좌표공간 위에 직선 :

과 직선 에 수직인 벡터

PQ 가 놓여있다. 점 P에서 직선 에 내린 수선의 발 R 에 대하여 세 점 P ,

Q , R로 만들어지는 평면의 방정식은 이다. 이때 의 값을 구하여라.

(단, 세 점 P , Q , R는 한 직선 위에 있지 않다.)

140.140)그림과 같이 좌표공간에 구 과 점 A 이 있다. 점 A 에서

이 구에 그은 접선들의 접점으로 이루어진 도형과 그 내부를 라 할 때, 의 평면 위로의 정사

영의 넓이는

이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)


141.141)좌표공간에서 원뿔 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 원뿔 의 밑면은 평면 위에 있다.

(나) 원점 와 점 에 대하여 선분 는 원뿔 의 모선이다.

원뿔 의 부피는? (단, 는 이 아닌 상수이다.)

① ② ③ ④ ⑤

142.142)좌표공간에 두 점 A , B 이 있다. 직선 위의 점

P 에 대하여 삼각형 ABP 의 넓이의 최솟값을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.

143. 143)좌표공간에서 직선 에 대해 직선 은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 직선 은 점 을 지난다.

(나) 두 직선 , 이 이루는 예각의 크기는 이다.

직선 과 평면 의 교점을 C라 할 때, 점 C가 그리는 도형을 평면 위로 내린

정사영의 넓이는

이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)


144.144)좌표공간에서 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 와 점 P 이

있다. 또, 점 Q 을 지나고 방향벡터가 인 직선 이 있다. 점 P 를 지나고

구 에 접하며 직선 과 만나는 점을 R 라고 할 때, 선분 QR 의 길이는?

① ② ③ ④ ⑤


1) [정답] ①

ㄱ. 점 를 지나고 축에 수직인 직선이 함수 의 그래프와 만나는 점 ′ 의 좌표는

이므로 ′ ′따라서 이때의 변환 는 일차변환이고 를 나타내는 행렬은

이다.

ㄴ. 점 를 지나고 축에 수직인 직선이 함수 의 그래프와 만나는 점 ′ 의 좌표는

이므로 ′ ′′ 이 상수항이 포함된 식으로 표현되므로 이때의 변환 는 일차변환이 아니다.

ㄷ. 점 를 지나고 축에 수직인 직선이 함수 의 그래프와 만나는 점 ′ 의 좌표는

이므로 ′ ′′ 이 에 대한 일차식이 아니므로 이때의 변환 는 일차변환이 아니다.

이상에서 변환 가 일차변환이 되도록 하는 함수는 ㄱ 이다.

2) [정답] ③

점 ′ 이 그리는 도형은 곡선

이 행렬

로 나타내어지는 닮음변환에 의하여 옮겨진 도

형이다. 주어진 변환에 의하여 점 가 점 ′ ′ 으로 옮겨진다고 하면

′′

에서

′ ′

이므로

′

′

에 대입하면

′

′

정리하면 ′′따라서 구하는 도형의 방정식은 ≠ 이다.

3) [정답]

다음 그림과 같이 두 직선 위의 한 점을 각각

라 할 때, ∠ ∠ 로 놓으면 이다.

∠ ∠∠ ∠∠


즉 점 는 점 을 원점을 중심으로 하여 만큼 회전 이동시킨 것이다.

∴ cos sinsin cos

∴

4) 정답 ③

일차변환 는 원점을 중심으로 회전이동한 후 배를 확대한 일차변환이다.

따라서 를 나타내는 행렬은

cos sinsin cos

이고,

이다.

5) 정답

두 점 가 직선 위의 점이므로

라 하면

이 때

이므로 ′ ′ ∴ ′ ′

∴ ′ ′

6) [정답] ⑤

좌표평면 위의 점 P 가 점 P ′′ ′으로 옮겨진다고 하면

′′

′, ′이므로 실수 의 값에 관계없이 ′′이 성립한다.

따라서 좌표평면 위의 모든 점은 직선 위의 점으로 옮겨진다.

ⅰ 에서

′이므로 ′은 모든 실수의 값을 갖는다.

따라서 직선 는 직선 로 옮겨진다.

ⅱ 에서

′

≤

따라서 곡선 은 반직선 ≤ 로 옮겨진다.

ⅲ 에서

′이므로 ′은 모든 실수의 값을 갖는다. 따라서 곡선 은 직선 올 옮겨

진다. 이상에서 와 는 같은 도형이고 는 다른 도형이다.

7) [정답]

정사각형 A′B ′C ′D ′가ABCD와 한 점에서 만나는 경우는 다음과 같다.

1) 변 A′B′이 점 D에서만 만날 때

직선 A′B′의 절편은 이므로 직선의 방정식은 이다. 이 직선이 점 D 을 지나므로


, 2) 점 B′이 선분 AD와 한 점에서 만날 때

B′과 축 사이의 거리는 이고 이는 과 같으므로

따라서

이고

8) 정답

우선 cos sin

sin cos

cos

sin

sin cos

이므로 는

만큼 회전

하고 만큼 확대하는 변환이다. 따라서 은 2003

만큼 회전하고

만큼 확대하는 변

환이므로, 이 변환이 축 상의 모든 점들을 축 상의 점들로 보내려면

± ±⋯ (*)

을 만족하면 된다. 이를 만족하는 최소의 양수 는 일 때

이다.

9) [정답] ③

행렬

로 나타내어지는 일차변환은 원점을 중심으로 하고 닮음비가 인 닮음변환이므로 집합 는

원 가 원점을 중심으로 닮음비가 인 닮음변환에 의하여 옮겨진 도형을 나타낸다. 이 변

환에 의하여 원 위의 점 가 점 ′ ′으로 옮겨진다고 하면

′′ 에서 ′, ′이므로

′,

′점 는 원 위의 점이므로

′

′

, ′′ 따라서 원 는 원 으로 옮겨진다.

∩이 성립하려면 두 원이 접해야 한다.

(ⅰ) 두 원이 내접하는 경우

두 원이 중심 사이의 거리가 두 원의 반지름의 길이의 차와 같으므로

∴

그런데 조건에서 이므로 적합하지 않다.

(ⅱ) 두 원이 외접하는 경우

이므로 두 원의 위치 관계는 다음과 같다.

두 원이 외접하면 두 원의 중심 사이의 거리가 두 원의 반지름의 길이의 합과 같으므로


∴

[다른 풀이]

행렬

로 나타내어지는 일차변환은 원점을 중심으로 하고 닮음비가 인 닮음변환이므로 집합 는

원

가 원점을 중심으로 하고 닮음비가 인 닮음변환에 의하여 옮겨진 도형을 나타낸다.

∩, 이므로 두 원은 점 에서 외접한다.

한편, 원 위의 점 은 닮음변환에 의하여 점 으로 옮겨지고, 이 점은 두 원이

외접하는 점 과 같다. 따라서 이므로

10) [정답] ②

직선 이 주어진 일차변환에 의하여 옮겨진 도형의 방정식을 먼저 구한다.

좌표평면 위의 점 P 가 점 P ′′ ′으로 옮겨진다고 하면

′′

에서 ′, ′에서

′ ′ ……㉠

㉠을 에 대입하면

′′ 정리하면 ′′

따라서 직선 은 주어진 일차변환에 의하여 직선

로 옮겨진다.

는 곡선 과 접해야 하므로

에서

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

에서 ∵ ≠

[참고]

≠일 때, 행렬 의 역행렬이 존재하므로 주어진 일차변환은 역변환이 존재한다.

따라서 일 때, 직선 와 이 만나는 점으로 옮겨지는 점은 직선 위의

오직 하나만 존재한다.

11) [정답] ③

점 P 가 주어진 일차변환에 의하여 원점으로 옮겨진다고 하면

= ……㉠

이 성립한다.

ㄱ. 이면 실수 의 값에 관계없이 ㉠이 항상 성립한다.

∴O∈ (참)

ㄴ. ㉠에서

의 역행렬이 존재하면 ㉠의 해는 오직 뿐이다.

즉 ≠에서

≠ ≠이면 ㉠의 해는 뿐이므로 집합 의 원소는 원점 O 뿐이다.

(반례) 이면 집합 는 무한집합이다. (거짓)


ㄷ. ㉠에서 행렬

의 역행렬이 존재하지 않으면 ㉠은 이외의 무수히 많은 해를 갖

는다.

즉 에서 또는 이면 ㉠은 무수히 많은 해를 가지므로 집합 는 무한집합이

다.

따라서 모든 실수 의 값의 합은 이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[참고]

일 때,

이므로

= 에서 ,

따라서 등식 을 만족시키는 모든 실수 에 대하여 점 는 주어진 일차변환에 의하여 원

점으로 옮겨진다.

일 때,

이므로

= 에서 ,

따라서 등식 을 만족시키는 모든 실수 에 대하여 점 는 주어진 일차변환에 의하여 원점

으로 옮겨진다.

12) 정답

(1) ≤≤

삼각형의 넓이는

,

(2) ≤≤

삼각형의 넓이는

,

따라서 ××

13) 정답 ③

원 ′의 중심을 P라 하자. 행렬

은 회전변환을 나타내므로 점 P는 직선

위에 있다. 또 원 의 중심은 이므로 OP이다.

P의 좌표를 구하기 위해 와

를 연립하면

이다. 따라서 P의 좌표는

이고

이다.

14) 정답

A A′ , B

B′ , C C′ 이므로

A′B′B′C′⇔

⇔ ∵

이때, 삼각형 A′B′C′의 넓이는 이다.


15) 정답 ④

기울기가 이고 점 를 지나는 접선의 방정식은

과 연립했을 때 실근이 단 하나 존재하므로 이차방정식 의 판별식은

∴ → 이라 하면 ,

포물선위의 점 ′ ′에서 그은 접선의 방정식은

′ ′, ′′

이 방정식을 와 비교했을 때 ′

이다. 즉,

,

이다.

M의 좌표를 XY 라 하면 X

, Y

X X그러므로 M이 그리는 도형의 방정식은

16) 정답 ⑤

접선 를 지나는 접선의 기울기를 이라 하면 접선의 방정식은

접선의 방정식을 포물선 에 대입하면

⇔ ⋯①이 이차방정식이 중근을 가지므로

⋯②②의 두 근을 라 하면

⋯③또, 접점의 좌표를 각각 라고 하면 이들은 에 대하여 방정식 ①의 중근이므로 근과 계수의 관

계에 의해

⇒

⇒

이로부터

∵③ ∴

따라서 선분 의 중점의 좌표는 이다.

17) 정답 ②

점 P의 좌표를 (, )이라고 하면, 접선의 방정식은

이 식에 을 대입하면 이므로 교점 T의 좌표는

(, 0)이다.

․ ․에서 초점 F의 좌표는

이므로

FT


FP

(∵ )

18) [정답] ⑤

포물선 의 초점은 F 이고 준선의 방정식은 이다.

ㄱ. ∆PRM 과 ∆PFM 에서

PRPF ∠PRM∠PFM ,

PM 은 공통이므로 ∆PRM≡∆PFM∴RMFM ⋯⋯㉠같은 방법으로 ∆QSM≡∆QFM 이므로

SMFM ⋯⋯㉡㉠, ㉡에 의해 RMSM (참)

ㄴ. ㄱ에서

∆PRM≡∆PFM 이므로

∠PMR∠PMF ⋯⋯㉢∆QSM≡∆QFM 이므로

∠QMS∠QMF ⋯⋯㉣㉢, ㉣에 의하여

∠PMQ (참)

ㄷ. ∆MQF�∆PMF 이므로

MF PFQF MF∴MF PF⋅QFPR⋅QS (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

19) 정답 ⑤

ㄱ. 에서 ∠ ∠이고

에서 ∠ ∠이므로

∠∠∠∠

∴∠

∴ ⊥ ⋯① ← 참

ㄴ. 이 의 중점이므로


, ∴∠∠ ∠

이때, 은 이등변삼각형 의 꼭지각의 이등분선이므로

∴ ⊥ ⋯ ② ← 참

ㄷ. ∠ ∠ ∠

이때, 는 이등변삼각형 의 꼭지각이 이등분선이므로 ∴ ⊥ ⋯ ③

①, ②, ③에서 ⊥ ← 참

ㄹ. 은 직각삼각형 의 빗변의 중점이므로

∴∠ ∠ 에서 ∠ ∠ ∴ ⊥ ← 참

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, 모두 옳다.

20) 정답 ②

세 점 P F′R은 한 직선 위에 있다.

PFPR이므로 PFPRPFPF′FR즉, 점 R은 중심이 F′이고 반지름의 길이가 인 원을 그린다.

21) 정답 ①

오른쪽 그림과 같이 점 에서 타원에 그은 한 접선의 접점을

이라

하면 점 에서의 접선의 방정식은

점 은 이직선 위에 있으므로

⋯①

다른 한 점 에서의 접선의 방정식은

점 은 이 직선 위에 있으므로

⋯②

이 때, ①, ②에서 점 와 점 는 직선

⇒

위에 있다.

서로 다른 두 점을 지나는 직선은 유일하므로 이 직선이 구하고자 하는 직선이다.

∴

22) [정답] ⑤

점 B 의 좌표를 으로 놓으면

⋯⋯ ㉠

접선 의 방정식은

이므로


접선 의 방정식은 이므로

ㄱ. ㉠에 의해

×

×

×

이므로 × 의 값은 항상 일정하다.(참)

ㄴ. 점D 의 좌표는 이고 이므로

이다. 따라서 점D 는 항상 선분 AO 위에 있다. (참)

ㄷ. 점C 의 좌표는

이고 이므로 산술평균과 기하평균 사이의 관계에 의해

CD

≥

× 이고 등호가 성립할 필요충분조건은

즉 인 경우

이다. 그러나 이므로 CD 이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ,ㄴ,ㄷ이다.

23) 정답 ①

직선 이 축과 만나는 점을 S라 했을 떄 OS

이다.

직선

이 쌍곡선과 만나는 점 R에서 축에 내린 수선의 발을 H라 하면 OH이다.

∆OHR와 ∆OQS는 닮음이므로 OQ×OROA×OS24) 정답

쌍곡선

의 초점 F의 좌표를 라 하면 이므로 두 초점 F F′

의 좌표는 각각

이다.

위의 그림과 같이 삼각형 FPF′에 내접하는 원의 세 접점을 각각 A B C라 하면 쌍곡선의 정의에서

PF′PF (주축의 길이)

이므로 PAF′APCFC


그런데 PAPC F′AF′B FBFC이므로 F′BFB이때 점 B의 좌표를 상수 라 하면

∴

점 B의 좌표는 내접원의 중심의 좌표와 같으므로 구하는 값은 이다.

A

B

OP

25) 정답 ⑤

주어진 쌍곡선 위의 임의의 점을 이라 하면

접선의 방정식은 ⋯ ㉠

점근선은 ⋯ ㉡, ⋯ ㉢

㉠, ㉡의 교점 의 좌표를 라 하면

(단, ≠)

㉠, ㉢의 교점 의 좌표를 라 하면

(단, ≠)

∴

같은 방법으로 ( ) , 와 는 수직이므로

∆ ⋅

⋅

⋅

(일정) (단,≠)

26) [정답] <해설>

F′ F 이고 주축의 길이는 이므로

PF′ PF 라 하면 ∠F′PA∠FPA 이므로

∴

따라서 삼각형 PFF′ 의 둘레의 길이는 이다.

27) 정답

F 과 Q 는 구 밖의 한 점 P 에서 그은 접점이므로 PFPQ 이다. 마찬가지로

PFPR 이므로

PFPF PQPR QR 이다. 따라서

QR 이므로 QR 이다.

28). 정답 ③

점 P 을 지나는 접선의 방정식은

기울기가 이면서 이차곡선에 접하는 직선의 방정식은

두 방정식이 동일하므로 ->

그러므로 접선의 방정식은 ,

이다.


다시 접선의 방정식 공식 ->

과 비교했을 때 접점 X , Y의 좌표는

X , Y 이다. 따라서 Q , R의 좌표는 Q , R 이다. 그러므로 PQPR

이다.

29) 정답 A, B의 좌표를 각각 , 라고 하면 삼각형 ∆AFB의 넓이 S는

S AF×BF×sin

이다.

은 F를 지나면서 기울기가 인 직선 과 이차곡선 의 교점이므로

, ∵

은 F를 지나면서 기울기가 인 직선 과 이차곡선 의 교점이므로

, ∵

그러므로 구하는 삼각형의 넓이는

××

30). 정답 ①

기울기가 이고 점 A를 지나는 직선의 방정식은

기울기가 이고 타원에 접하는 직선의 방정식은 ±

둘이 같은 직선이므로 ± ,

위 방정식의 해가 접선의 기울기이다. 두 접선이 수직이기 위해서는 기울기의 곱이 이어야한다.

근과 계수의 관계에 의해 기울기의 곱은

, ,

31) 정답 ①

……㉠

타원 ㉠의 기울기가 인 접선의 방정식은

± ……㉡

직선 ㉡이 점 를 지나므로 ±

±

양변을 제곱하면

……㉢

두 접선의 기울기 는 이차방정식 ㉢의 두 근이다.

따라서 두 기울기의 곱은 근과 계수와의 관계에서

32) 정답 ③ㄴ

기울기가 이고 점( 를 지나는 접선의 방정식은

이 직선은 의 접선이므로 대입하면 이어야 한다.

이 때, 점 에서 서로 다른 두 개의 접선을 그으려면


기울기 이 두 개 존재해야 하므로

′ ≥

이 때, 점 는 쌍곡선의 점근선 ±위의 점이 될 수 없으므로

∴ ≠ 33) 정답 ③

두 점 P Q는 각각 직선

와 위의 점이므로

P Q 라고 하자.

삼각형 OPQ의 넓이는 점 P와 점 Q에서 축 또는 축에 수선의 발을 내려 사다리꼴을 만들어서 구한다.

오른쪽 그림에서는 의 부호가 반대이므로

∆OPQ

××

××

∆OPQ

선분 PQ의 중점을 R R

이므로

따라서 이므로

∴

<다른 풀이>

다음을 만족하는 일차변환 를 생각하자

P P′ , Q

Q′

이때 를 나타내는 행렬 는

이고 행렬식은

이다.

일차변환 에 의해서 점 M은 P′Q′의 중점 M′으로 옮겨지고, 삼각형 OPQ는 OP′Q′로 옮겨지면서

그 넓이는 OPQ넓이의

배인 이다. 이제 M′의 좌표를 라 하면 M′은 제 사분면 위의 점이므

로

이다.

M′ M이므로 M의 좌표를 ′′ 라 했을 때 ′′ , ′′

′

′

′

′

이다.


이를 에 대입하면

′

′

,

′

′

34) 정답 ➃원소의 개수가 이기 위해서는 직선이 타원에 접하거나 또는 직선이 교점을 지날 때, 즉 타원의 장축의 양 끝점

을 지날 때이다. 즉, 두 점 과 을 지나는 직선의 기울기

그리고 과

을 지나는 기울기 , 그리고 나머지는 접선이다.

± 에서 을 대입하면 이므로 또는

이다.

따라서 모든 의 값의 합은

이다.

35) [정답] ④

<해설>

점 에서 포물선 ⋅ 에 그은 접선의 기울기를 이라 하면 접선의 방정식은

점 가 이 직선위에 있으므로

,

이 이차방정식의 두 근을 라 하면, 는 두 접선의 기울기이므로 두 접선이 수직이기 위해서는

∴ ⋯⋯㉠

한편, 점 가 원 위의 점이므로 에 ㉠을 대입하면

±

따라서 두 점 P Q 사이의 거리는 이다.

36) [정답]

점 O를 원점, 직선 OF를 축으로 하는 좌표평면을 도입하고 초점의 좌표를 F (단,

)이라하자. 세 점 에서 준선 에 내린 수선의 발을 각각 ′′′이라 하

고, 두 점 A,B에서 축에 내린 수선의 발을 각가 ′′′′이라 하면 포물선의 정의에 의해

′′∆′′∾∆′′이므로

′′′′ 이고

′′′′′′′′이므로

에서

점 B의 좌표를 (a,b)라 하면 ′′′′에서

∴

점 B가 포물선 위의 점이므로 ×

×

따라서 정사각형의 한 변의 길이가 b이므로 정사각형의 넓이는

이다.


37) [정답] ④

두 점 A,B에서 준선 에 내린 수선의 발을 각각 D,E라 하자.

포물선의 정의에 의해 두 선분 AD, BE가 서로 평행하므로 ∆∾∆

이때, 이므로

∴

38) 정답 ①

39) 정답 해설

∆OHF≡∆OHP ∆OIF′∆OIQ (각각 SAS 합동)이므로

OPOF OQOF′즉, 네 점 F F′ PQ 는 모두 원 위의 점이다.

∠FQF′∠FPF′⋯㉠OI�FQ 이고 FF′OF′ 이므로

FQ⋅OI마찬가지로 PF′⋅OH⋯㉡또, 두 도형 원과 타원은 모두 축, 축에 대칭이므로, 두 점 P 와 Q 는 축에 대칭이거나 축에 대칭 또

는 원점 대칭이다.

OH≠OI 에서 P 와 Q 는 축에 대칭이다.

(∵ 만약 다른 경우이면 F′QFP 이고, 이때 FQPF′ 에서 OHOI ) ∴ PFQF⋯㉢QF QF′ 라 하면

㉠에서

㉡㉢에서 OI⋅OH∴ ∴

40) 정답

접점의 좌표를 이라 하면 접선의 방정식은

이고


이 직선이 점 (0,2)를 지나므로

에서

타원과 을 연립시키면 ±

∴의 길이는 4

타원의 다른 초점을 ′이라 하면 ′에서

′구하는 길이는

41) 정답 ①

점 P 는 제사분면의 점이므로 점P 에서 타원

에 접하는 접선의 절편은 양수이다.

따라서 접선의 기울기를 이라 하면 접선의 방정식은

± 이다.

일 때,

이므로 점 A 의 좌표는

A

일 때, 이므로 점 B 의 좌표는

B

삼각형 AOB 는 ∠AOB

인 직각삼각형이므로

선분 AB 는 삼각형 AOB 의 외접원의 지름이다.

따라서 ×AB에서 ABAB

에서

양변에 을 곱하고 정리하면

∴

점 P 는 제 사분면의 점이므로 이다.

따라서

이때 A B 이므로

삼각형 AOB 의 넓이는

× ×

다른풀이

점 P 에서의 접선의 방정식은

이므로 A B

이다.

삼각형 AOB 는 ∠AOB

인 직각삼각형이므로


피타고라스의 정리에 의하여

⋯⋯㉠

또한, 점 P 는 타원

위의 점이므로

⋯⋯㉡㉠과 ㉡을 연립하면

이므로

삼각형 AOB 의 넓이는

×

××

×

42) [정답] ⑤

두 점 P , Q 의 좌표를 각각 , 라 하면 두 점의 좌표는P , Q 이고 점 R 는 선분 PQ 의 중점이므로

R

두 방정식 , 를 연립하면

이 이차방정식의 두 근이 , 이므로 근과 계수의 관계에 의해

따라서 점 R 의 좌표는 R

,

라 하면

따라서

,

즉 점 R 는 쌍곡선 위를 움직인다.43) 정답 ①

44) 정답 ①

점 P 의 좌표를 이라 하자.

를 연립하면

이다.

점 P 에서 타원 에 접하는 직선의 방정식은

에서

이므로


기울기는

이다.

점 P 에서 쌍곡선 에 접하는 직선의 방정식은

에서

이므로

기울기는

이다.

두 직선이 서로 수직이므로

×

에서

를 위 식에 대입하면

에서 ∵

∴

∵

45) 정답: ③

ㄱ. (반례) 오른쪽 그림과 같이

⊥ ⊥이면 이다. (∴거짓)

ㄴ. (반례) 오른쪽 그림과 같이

⊥, 이면 ⊥이다. (∴거짓)

ㄷ. (반례) 오른쪽 그림과 같이

, 이면 ⊥이다. (∴거짓)

ㄹ. 오른쪽 그림과 같이 ⊥⊥이면

이다. (∴참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄹ이다.

46) 답. ③


47) 정답:

FHEFEH

이고

삼수선의 정리에 의하여 FH⊥EI이다. 한편,

∆EFH의 넓이 관계로부터

FH⋅EI EF⋅EH

⋅⋅EI

⋅⋅ ∴EI

∴AIAEEI

48) [정답] ③

<해설>

ㄱ. AB⊥AC , AB⊥CD 이므로 AB⊥ (평면 ACD ) 따라

서 AB⊥AD 이다. (참)

ㄴ. AB⊥CD , AC⊥CD 이므로 CD⊥ (평면 ABC ) 따라서

BC⊥CD 이다. (참)

ㄷ. BC⊥CD 이고 AD 와 CD 는 평행이 아니므로 AD 와 BC는 수직이 아니다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.49) 답. ③

ㄱ. ⊥ ⊥ 이므로

⊥∆ ∴⊥ (참)

ㄴ. ∆ 와 ∆ 에서

∠∠ 는 공통이므로 ∆≡∆ 이다.

따라서 이므로 ∆ 는 이등변삼각형이다.

∴⊥ (참)

ㄷ. ∆ 는 이등변삼각형이므로 ⊥따라서 ∠ 는 두 평면이 이루는 이면각이지만 는 아니다. (거짓)

그러므로 보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

50) [정답] ①


해설

정사각형 BCDE 의 두 대각선의 교점을 O , 점 P 에서 밑면에 내린 수선

의 발을 H 라 하자. 사각형 BCDE 는 정사각형이므로

BD 이므로

∠BAD

직각삼각형 BAP 에서 APAD 이므로

BP선분 AD 를 으로 내분하는 점이 P 이므로 점 H 는 선분 BD 위

에 잇고, 선분 OD 를 으로 내분하는 점이다.

∴BHBOOH 그런데 선분 BP 와 평면 BCDE 가 이루는 각의 크기는 직각삼각형 BHP 에서 선분 BP 와 BH 가 이루는

각의 크기와 같으므로 cos BPBH

51) 정답 ④

[해설]

정사면체의 한 모서리의 길이를 라 하면

AP , AQ

, ∠PAQ 이므로

PQ

×

×

×

또, 세 점 A P Q에서 평면 BCD에 내린 수선의 발을 각각

A′ P′ Q′이라 하면

A′P′

, A′Q′

, ∠P′A′Q′이므로

P′Q′

×

×

×

cos PQP′Q′

52) 정답 ⑤

[해설]

PH⊥OB이고, QH⊥OB를 만족하는 점 P H Q를 모서리 OA OB OC 위에 각각 잡고, OH라 하면

∆OPH에서 ∠AOB°이므로 PH OP

∆OQH에서 ∠BOC°이므로 QH OQ

∆OPQ에서 ∠AOC°이므로 PQ 따라서 ∆PHQ에서 ∠PHQ 이므로 제이코사인법칙에 의하여

cos ⋅⋅

53) 정답 ➁


(가)의 조건으로 이면각의 정의를 활용하면 ∠CBD

이고, 삼각형 BCD 가 한 변의 길이가 인 정삼각형

이고, 그 넓이는

이다.

선분 AB가 두 선분 BD , CD와 수직이므로, 선분 AB는 삼각형 ABC에 수직이다. 즉, 주어진 사면체는 삼

각형 ABC를 밑변으로하고 선분 AB를 높이로 하는 사면체이다. 피타고라스 정리에 의해 AB이므로

사면체의 부피는

××

이다.

54) 정답

[그림1]에서 세 사각형 ABCD AEFB AEHD 의 그림자의 넓이의 합을 구하면 된다.

[그림2]에서 두 평면 ABD 와 BDE 가 이루는 각의 크기를 두 점 A E 에서 선분 BD 에 내린 수선의

발을 I 점 A 에서 선분 IE 에 내린 수선의 발을 H′ 이라 하면

AI× sin∘ IH′

EI × × sin∘

∴cos AIIH′

×

사각형 ABCD 의 정사영의 넓이를 S′ 이라 하면

S′× cos

같은 방법으로 하면 사각형 AEFB AEHD 의 그림자의 넓이는 모두

이므로 구하는 그림자의 넓이

S는

S×

∴S


55) 정답

(가)에서 AAAAAA이다.

(나)는 다음 그림을 참고하여 해석한다.

(점 A 에서 평면 와 선분 AA에 수선의 발을 내린 것이 각각 U R 이고 점P 에서 선분 AA에 수선

의 발을 내린 것이 Q 이다.

또한 점P 에서 선분 AT에 수선의 발을 내린 것이 S이다.)

삼각형 PAA와 삼각형 AQP 는 닮음이다.

(∠AQP ∠A ∠APQ ∠AAP )

따라서 선분 AP 와 선분 AA는 평행하다.

또한, 선분 AP 임을 알 수 있다.(ASST 이므로)

따라서 삼각형 AQP 와 삼각형 ARA 는 합동이다.

( ∠Q ∠R APAA PQAR RHS합동)

따라서 tan∠A tan∠A tan∠APA

그러므로 tan 이다.

56) [정답] ④

<해설>

AP AQ , AR AS 이고 삼각형 APQ 와

ARS 는 정삼각형이므로 PQ , RS

또 삼각형 AQR 에서 코사인법칙을 이용하면

QR ․ ․cos ∴QR

같은 방법으로 SP 따라서 사각형 PQRS 는 아래 그림과 같은 등변사다리꼴이다.

등변사다리꼴 PQRS 의 높이를 라 하면 그림에서

∴

따라서 등변사다리꼴 PQRS 의 넓이 S 는

S ․

두 점 R , S 를 지나고 밑변에 평행한 평면이 선분 AB , AC 와 만나는 점을 각각 B′ , C′ 이라 하면 평면

PQRS 와 평면 B′C′RS 가 이루는 각이 이다.


점 A , P , Q 의 평면 B′C′RS 위로의 정사영을 각각 A′ , P′ , Q′ 이라 하

자.

이때 A′ 은 두 대각선 B′R , C′S 의 교점이고

AP PB′P′Q′ B′C′ 이므로 점 P′ , Q′ 은 각각 선분 A′B′ ,

A′C′ 을 각각 로 내분하는 점이다.

A′P′ A′B′P′Q′ B′C′

이고 B′C′ 이므로 P′Q′ 이다.

또 점 A′ 에서 선분 P′Q′ 과 RS 에 내린 수선의 발을 각각 H , I 라 하면

A′I

, A′H

A′I ∴HI

따라서 사다리꼴 P′Q′RS 의 넓이 는

× ×

그러므로

cos

57) 정답 ➁ 삼각형 ABC 가 직각삼각형이므로 AC

AH⊥이고 AC⊥BC 이므로

삼수선의 정리에 의하여 HC⊥BC따라서 평면 ABC 와 평면 가 이루는 예각의 크기는

∠ACH 의 크기와 같으므로 ∠ACH∘ ∴AHsin∘ CHcos∘

∴BH AH⊥이므로 BH⊥AH CH⊥AH 에서

평면 ABH 와 평면 ACH 가 이루는 각의 크기는 ∠BHC 이다.

삼각형 ACH 의 넓이가

× × 이므로

삼각형 ACH 의 평면 ABH 위로의 정사영의 넓이는

× cos∠BHC ×

58) 정답 ③


두 평면 와 가 이루는 예각의 크기가 이므로 원 C 의 넓이를 S라 하면 C의 넓이는 Scos 이고 도형

C 의 넓이는

Scos cos Scos sin

S sin 원 C 의 넓이는 도형 C 의 넓이의 배이므로

S⋅S sin 에서 sin

59) 답 ③

∆ 와 ∆ 가 정삼각형 이므로 선분 의 중점을 이라 하면

⊥ ⊥따라서 ∠ 가 두 삼각형 와 가 이루는 각이다.

∴∠ 라 하면 이고

직각삼각형 에서

따라서 이므로

이등변삼각형 에서 제이코사인법칙에 의하여

cos ⋅ ⋅

60) 답. ④

ㄱ. 두 점 를 잇는 직선이 평면 와 만나는 교점을 라 하면 점 는 삼

각형 의 무게중심이고, 의 중점을 이라 하면

×

×

∴

∴ cos · ·

(거짓)

ㄴ. 정삼각형에 내접하는 원의 중심은 정삼각형의 무게중심과 일치하므로 반지름의 길이를 라 하면


×

(참)

ㄷ. 삼각형 와 삼각형 가 이루는 각의 크기를 ′이라 하면

cos ′

따라서 삼각형 에 내접하는 원의 삼각형 위로의 정사영의 넓이를 라 하면

×cos ×

(참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

61) 정답

원점 O 에서 평면 PQR 에 내린 수선의 발은 삼각형 PQR의 무게중심 G와 같으므로 OG는 평면 PQR 의

법선벡터이다. 또, 면 PQR 와 축이 만나는 점을 A라 하면 OA는 평면의 법선벡터이다.

따라서 평면 PQR 와 평면이 이루는 각의 크기 는 두 벡터 OG , OA가 이루는 각의 크기와 같다. OP, PG

×

이므로

OGOP PG

삼각형 OAG는 직각삼각형이고 OA≤OP이므로 cos OAOG

≥

정삼각형 PQR의 넓이는 이므로

×cos≥

×

(단, 등호는 OA, 즉 점 A가 세 꼭짓점 P , Q , R 중 하나일 때 성립한다.)

이므로 이다.62) 정답:

63) 정답:

64) 정답 [해설]

평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 원을 이라 하면 점 은 원 위의 점

이다.

점 와 원 위의 한 점 를 지나는 직선이 축 위의 점 ′을 지나면

APBP APPD≥AP′P′DAD점 를 평면에 내린 수선의 발은

이므로


∴ 따라서 이므로

65) 정답

직선 AB 가 평면에 평행하므로 다음과 같이 직선 AB 가 평면 위로의 정사영을 생각할 수 있다.

점 P′ 의 평면 위로의 정사영을 H 라 하자.

그러면 P′H

문제의 조건에서 PP′⊥AB 이고, P′H⊥이므로 삼수선의 정리에 의해 PH⊥입니다. 선분 P′H 의 길

이는 일정하므로 PH 의 최솟값을 구해야 한다.

평면에서 직선 은

이다.

즉, 입니다. 이 직선에서 원의 중심까지의 거리는

이다.

여기에 원의 반지름 를 뺀 값 이 원 위의 임의의 점에서 직선 까지의 거리의 최솟값이 된다. 따라서

PP′ 의 최댓값은 이다.

66) 정답: (1) (2) ,

⑴ 구와 축이 만날 때, 축 위의 모든 점의 좌표와 좌표는 이므로 구의 방정식에 을 대입하면

∴±따라서 선분 의 길이는

⑵ 구와 평면이 만날 때, 평면 위의 모든 점의 좌표는 이므로 구의 방정식에 을 대입하면

∴

따라서 교선인 원의 중심은 이고, 반지름의 길이는 이다.

67) [정답]:④

<해설>

풀이 직선 의 평면의 정사영인 직선을 ′라 할 때

P′ Q′a b 은 ′ 위의 점이므로


′

∴

구를 평면에 정사영시킨 원은

와 은 접하므로

⇔ 정리하면

양변을 으로 나누면 ∴

68) 답. ①

구

과 평면이 만나서 생기는 도형의 방정식은 을 대입하면

⋯⋯㉠이 때, ㉠과 직선

은 한 점에서 만나므로 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름의 길이

이다. 즉,

∴

∵

69) 정답

조건 (나)에서 직선 AC 와 직선 BC 모두 구와 한 점에서 만난다고 했으므로 두 직선 모두 구에 접합니다.

서로 교점을 갖는 두 직선은 하나의 평면을 결정하므로 직선 AC 와 직선 BC 는 하나의 평면을 결정합니다.

그런데 이 평면은 구와 오직 점C 에서만 만나므로 평면ABC 는 점C 에서 구에 접하는 접평면입니다.

직선OC 와 평면ABC 는 수직이므로, 평면ABC 에 포함된 모든 직선은 직선OC 와 수직입니다. 즉 두 직선

AC BC 모두 직선 OC 와 수직입니다.

점O 에서 평면ABC 에 내린 수선의 발이 점C 이고 직선OA 와 직선AB 가 서로 수직이므로 삼수선의 정리에

의해 직선 AB 와 직선 AC 는 수직입니다.

OA AO′ OO′ 이고


ACOA OC

∠CAB 이므로 AB BC AC 이다. 따라서 삼각형ABC 의 넓이는

×AC×AB 입니다.

∴

70) 정답

그림의 상황을 단순하게 나타내면 다음과 같습니다.

P 에서 까지의 거리는 각각 이고 A B 가 각각 위의 점이므로 A B 가 될 수 있는 도형

의 집합은 위 그림에 나타난 두 원입니다.

(각각 P 를 원뿔의 꼭짓점으로 하는 원뿔의 밑면의 둘레를 움직이는 점이라고 생각하시면 됩니다.)

A 는 반지름이 인 원, B 는 반지름이 인 원 위의 점입니다.

두 평면의 이면각을 구하기 위해서는 우선 두 평면의 교선부터 알아야 합니다. 선분 PB 가 평면 와 만나는

점을 B′ 이라 하면 평면PAB 와 평면의 교선은 직선AB′ 이 됩니다.

이때, B′ 은 평면 위에서 반지름의 길이가 인 원을 그리며 움직입니다.

원의 중심에서 직선 AB′ 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 삼수선의 정리에 의해 ∠AHP 입니다.

즉, 두 평면의 이면각은 위 그림에 표시된

입니다. 가 커지면 tan도 커지면 가 최소가 tan도 최소가 됩니다.

직선 AB′ 에서 평면 위에 있는 원의 중심까지의 거리를 라 하면 tan

입니다. 즉, 가 가장 커지도

록 하면 가 최소가 됩니다.

가 최대일 때를 구하기 위해 AB′라 하면 AH 이고, 피타고라스의 정리에 의해

,

입니다.

함수

는 증가하는 함수이다. 따라서 가 최소일 때 가 최대이다. 단, 위 식에서 ≥이

어야 하므로 일 때 가 최대입니다.


한편, 직선 AB′ 이 위 그림의 작은 원에 접할 때, B′ 이 접점이므로 AB′ 입니다. 즉, 위의 그림 일 때

이면각이 최소이다. 또한 직선AB′ 이 원에 접하므로 접점B′ 과 원의 중심을 이은 선분은 직선AB′ 과 수직

입니다.

따라서 삼수선의 정리에 의해 ∠AB′B 입니다.

또한 B′ 은 선분 PB 를 로 내분하는 점이므로

BB′ 입니다.

∴AB AB′ BB′

71) 정답

72) 정답

73) 정답

74) 정답

세 점 가 일직선 위의 점이므로 (단, 는 실수) ⋯⋯ ㉠

세 점 가 일직선 위의 점이므로 (단, 는 실수) ⋯⋯ ㉡

㉠,㉡에서

두 식을 연립하여 풀면

을 ㉠에 대입하면

75) 정답

이므로 ∆에서

을 구하면


∴

∴

76) [정답] ④

AB , AC 라 하자.

점 P 가 삼각형 ABC 의 내접원의 중심이므로 직선 AP 는 ∠A 를 이등분한다. 이때 직선 AP 가 선분

BC 와 만나는 점을 Q 라 하면 BQ QCAB AC 즉, 점 Q 는 선분 BC 를 으로 내분하는 점이므로

AQ

코사인 법칙에 의해

BC ··· 이므로 BC 이고 CQ

BC

직선 CP 는 ∠C 를 이등분하므로

AP PQCA CQ

따라서 AP

AQ

·

이므로

77) [정답] ③

정육면체의 한변의 길이를 이라 하자. DE⊥EF 이므로 삼각형 DEF 는 직각삼각형이고

EFDE DF 이다.

삼각형 DEF 의 넓이에서

××

××EP

EP

삼각형 EFP 에서


FP

이고

PDFP

이므로

DP PF

즉 점 P 는 선분 DF 를 로 내분하는 점이다. AD

AFAEEF 이므로 APADAF

따라서

이고

∴

78) [정답] ①

해설

AG ABAC ⋯ ㉠

AD ABAB ⋯ ㉡

AE ACAC ⋯ ㉢

㉠㉡㉢ 에서

AG ABAC

AD

AE AD

AE따라서 세 점 D G E 가 한 직선 위에 있을 조건은

에서

79) 정답 ⑤

[해설]는 와 가 이루는 각을 이등분하므로 ∠의 이등분선과 선분 의 교점을 라 하면

따라서

이므로

에서

또한, 라고 하면

에 대입하면

,

∴

따라서

이므로

80) 정답 ②


OD는 AB를 로 내분하는 점D의 위치벡터이므로

ODOAOB

OE는 CD를 로 내분하는 점E의 위치벡터이므로

OEOCOD

×

OF OE

AFOFOA이므로

AF

∴

81) [정답]

OD , OE

이므로

AEOEOA

BDODOB

이때, 세 점 A F E는 한 직선 위에 있으므로

AFAE

를 만족시키는 실수 가 존재한다.

마찬가지로 세 점 B F D는 한 직선 위에 있으므로

BF BD

를 만족시키는 실수 가 존재한다.

이때, 정삼각형 OAB에서 AEAF

BDBF

이므로 이다.

따라서 OFOAAF

⋯⋯ ㉠이고,

OFOBBF

∵ ⋯⋯ ㉡이므로 ㉠, ㉡에서

∴

따라서 OF

이므로

∴

[다른 풀이]

세 점 D F B는 같은 직선 위에 있으므로 실수 에 대하여

OF ODOB ⋅

또 세 점 A F E는 같은 직선 위에 있으므로 실수 에 대하여


OF OAOE

따라서

에서

∴OF

[참고] 선분 AB의 중점을 M이라 하면

OM

이므로

OF

를 만족시키는 점 F는 선분 OM의 중점임을 알 수 있다.

BP

AO

B′

82)정답 ①

ㄱ. OP OAOBOAAB

(≦≦)이므로 점 P가 그리는 도형은 선분 AB이다.. [참]

ㄴ. OPOAOB OA

OB이므로

점 P가 그리는 도형은 선분 AB′ (이 때,

OB′ OB )이고, 그 길이는 선분 AB의 길이보다 작은 경우도 있다.[거짓]

ㄷ. 양수 가 ≦이면 점 P가 그리는 영역은 삼각형 OAB′이므로 삼각형 OAB에 포함 된다.

[거짓]

따라서 옳은 것은 ㄱ이다.83) [정답] ①

<해설>

ᄀ. (참) AP AB AD 이고 ≧ , ≧ ,

이면 점 P 는 선분 BD 위를 움직인다.

ᄂ.(거짓) ≦≦ , ≦≦일 때, 점 P 는 선분 AB 길이의 배가 되는 점과 선분 AD 길이의

배가 되는 점으로 이루어진 평행사변형과 그 내부에 있으므로 넓이는 이다.

ᄃ. (거짓) ≦ 일 때, 선분 AB 의 중점을 M , 선분 AD 를 로 내분하는 점을 N 이라 하면

점 P 는 삼각형 AMN 과 그 내부에 있는 점들이다.

즉, 넓이는

따라서 옳은 것은 ᄀ이다.

84) 정답 ② ≦≦로 놓으면 점는 선분 위의 점이다. 즉, 의 값이 최대일

때는 점 가 점 또는 )이고, 선분 (또는 )가 지름일 때이다.

따라서 구하는 최댓값은 × 이다. 85) [정답] ⑤


라 하면 ≤≤

이므로 ≤≤

AP tABtAC ABsAC

오른쪽 그림에서

AB AC 이고 선분 AC를 로 내분하는 점을 D라 하면

AD

AC이다.

AP sABsAD ≤ s≤

이때, 점 P는 선분 BD위에 존재한다. 따라서 ∆ABD에서

BD⋅⋅⋅cos

따라서 구하는 길이는 BD ∵BD86) 답. ④

이므로 점 는 두 벡터 , 의 종점을 연결한 선분 위를 움직인다.

따라서 이 도형의 길이는

참고

공간 위의 세 점 에 대하여

을 만족하는 점 는

(ⅰ) ≧ ≧ 일 때, 선분 위에 놓인다.

(ⅱ) 일 때, 직선 위에 놓인다.

(ⅲ) ≧ ≧ ≦ 일 때, 삼각형 의 경계 및 내부에 놓인다.

(ⅳ) 가 실수일 때, 세 점 로 이루어진 평면 위에 놓인다.

87) 정답 ⑤

ㄱ. (거짓) 선분 AA은 주어진 원의 지름이므로 AA⊥AA이다.

∴ AA·AA

ㄴ. (참) 주어진 원의 중심을 O라 하면 점 O는 선분 AA의 중점이므로 AAAAAO

또, 선분 AA의 중점을 M이라 하면

AAAAAM이다.

이때, 점 M은 선분 AA 위에 있으므로 두 벡터

AAAA , AAAA는 서로 평행하다.

ㄷ. (참) 네 선분 AA AA AA AA의 중점은 모두 원의 중심 O이므로

AAAAAAAAAAAA

AAAAAO

∴

AA

AAAAAA⋯AA

AAAAAAAA


AAAAAAAAAA

AOAA

AAAA

AA

따라서, 벡터

AA의 크기는

AA AA×

[다른 풀이]

ㄷ. (참) AAOAOA이고.

OAOAOA⋯OA

이므로

AA

OAOA

OA

OA

OAOAOA

OAOAAO

따라서 벡터

AA의 크기는

AO AO× 88) 답. ⑤

, ,

라 하면 ,

이므로 따라서

이므로

89) 답.

에서


여기에서

라고 놓으면 점 의 자취는 이다.

즉 이고

≤≤이므로 오른쪽 그림에서 ′ ′

따라서 구하는 넓이 는

××

×× ∴

90) 정답 91) 정답

에서

∴ ×

이 때, 선분 의 중점을 이라 하면

이므로

∴따라서 점 은 선분 의 중점이고, 점 는 선분 을 으로 내분하는 점이므로

∆∆×

∆×

×

×

92) [정답] ③

세 점 을 지나는 평면을

라 하면

위의 세 식을 연립하여 풀면

∴

벡터의 종점을 평면 위의 점이므로

의 최솟값은 원점에서 평면까지의 거리와 같다.

따라서 구하는 의 최솟값은

93) 정답 ③

,

·

·××cos

∴ 94) 정답 ②


[출제의도] 벡터와 관련된 문제를 도형을 이용하여 해결한다.

네 원 , , , 의 중심을 각각

O, O, O, O

라 하고, 두 원 , 의 접점을 B라 하자.

사각형 OOOO은 네 변의 길이가 모두 인 마름모이고, 두 점 A, B는 각각 변 OO, 변 OO의 중

점이다.

∴ AOAOABOO

한편, 벡터 OQ를 시점이 O이 되도록 평행이동하였을 때, 그 종점을 Q′이라 하면

OPOQOPOQ′이므로

APAQ AOOP AO

OQ AOAO OPOQ

OOOPOQ′

이때, 벡터 APAQ의 크기가 최대가 되려면

OO은 방향과 크기가 일정한 벡터이므로 두 벡터 OP ,

OQ′이 OO과 방향이 같아야 한다.

∴ APAQ ≤ OO 95) 정답

원 C 의 중심을 A 원C의 중심을 B 라 하자.

OPOQOR OAOBOPAQBR 이다.OAOB 는 크기와 방향이 인 벡터를 의미한다.

따라서 최소가 되려면 OP 와 AQ 와 BR 이 모두 과

반대방향이면 된다. OP 와 AQ 와 BR 의 크기가 모두 이므로 최솟값은 이다.

96) 정답

97) [정답] ④

<해설>주어진 직삼각형 내부의 점 와 두 꼭짓점 로 이루어진 삼각형의 내각의 합은

이므로

∠∠∠인 직각이등변삼각형이다.

이때 이므로 의 중점을 라 하면


∴ · · ·

cos여기서 ∠이므로

cos

∴·

98) [정답]

OP OA

OBOBOA

이므로 점 P는 선분 AB를 로 내분하는 점이다.

또 OQOBOC

OC OB 이므로 점 Q는 선분 BC를 으로 외분하는 점이

다.

따라서 오른쪽 그림에서 AB PB 이고 ∆ABC 이

므로 ∆PBC ∆ABC

QC BC 이므로

∆CPQ ∆PBC ·

99) 정답

∆OAB와 ∆OBC에서 AB BC의 중점이 각각 M N이므로

MN AC

또, ∆OAB와 ∆OBC에서 OM ON은 높이이므로

OMON

∆OMN에서 ∠MON라 하면 제이코사인법칙에 의해

cos ⋅OM⋅ONOM

ONMN

⋅

⋅

∴OM⋅ON OM ON cos

⋅

⋅

100) [정답] ③

해설

선분 AB의 중점을 M이라 하고, 점 P에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 H라 하자.

이때, AB⦁APAB⋅AHAH에서 AH

따라서 점 P는 점 H를 지나고 직선 AB에 수직인 평면 와 구가 만나서 생기는 원 위의 점이다. 이때, 구

의 중심 O에서 평면 에 내린 수선의 발을 I라 하면 점 I는 원 의 중심이고 OIMH이다.

이때, OI⊥이므로 OI⊥IP 이다. 따라서 직각삼각형 OIP에서 IP


따라서 점 P는 반지름의 길이가 인 원 위의 점이므로 P가 나타내는 도형의 길이는 이다.

101) [정답] ②

ㄱ. (참) BC 이므로

⋅

그러므로 는 벡터

BC 에 수직이다.

ㄴ. (참) ⋅ ⋅ ⋅ 에서 ⋅ 이므로

는 벡터 BA 에 수직이다. 그런데

도 벡

터 BA 에 수직이므로

와 는 평행하다.

ㄷ. (거짓) 의 양변을 제곱하여 정리하면

⋅⋅⋅ ⋯⋯ ㉠

또, 가 이루는 각의 크기를 라 하면

⋅ cos 에서 cos

따라서 이므로 ㉠에서

⋅⋅⋅

⋅⋅ ⋅

∴⋅

⋅

⋅

∴ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.102) [정답]

위의 그림에서 AAAA AAAA

AAAA AAAA이므로


AAAAAAAAAA

AAAAAAAAAA

AAAAAAAAAA

AAAAAAAAAA

따라서

AO⋅AAk AO⋅k

AAk

AO⋅AAAA AAAA AAAA

AAAA AA

AO⋅AAAAAAAAAA

AO⋅AA ⋅⋅⋅cos 103) 정답

(가)에서 점 P 는 선분 AB 를 지름으로 하는 원 위의 점이고,

(나)에서 점 Q 는 선분 AP 의 중점이다.

따라서 오른쪽 그림에서

BPOQ (단, O 는 선분

AB 의 중점)이므로

OQ⊥AQ따라서 점 Q 는 선분 AO 를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 이때, 선분 OA 의 중점을 M이라 하면

MQ OP이므로

CQ CQ≤CMMQ(단, 등호는 점 M이 선분 CQ 위에 있을 때 성립)

따라서 CQ 의 최댓값은 이다.

[다른 풀이]

점 B 를 좌표평면의 원점 O 에, 두 선분 BC BA 를 각각 축, 축에 오도록 위치시키면

A C 이다.

이때, P 라 하면 AP BP 이므로 (가)에서

AP·BP ∴

(나)에서 점 Q 는 선분 AP 의 중점이므로


Q

∴ CQ

이때, 이라 하면

≤

∴ CQ ≤

∴ CQ CQ≤ 104) [정답] ⑤

<해설>ㄱ. PQPR RQ 이므로 RQ 의 최댓값과 최솟값을 구하면 된다.

RQ 의 최댓값은 IE 이고 최솟값은 HF 이다.

GIGA

cos , GIHG

cos 이므로

∠IGE∠HGF 이다.

IE IGEG

IG⋅EG cos ×××

∴ IE HF GH

FGGF⋅GH cos ×××

∴ HF (참)

ㄴ. DQ⋅PR DQ⋅PDDR DQ⋅DRDP DQ⋅DRDQ⋅DP

이므로 DQ⋅DR 이 최대이고

DQ⋅DP 가 최소일 때 DQ⋅PR 가 최대가 된다.

먼저, DQ⋅DR 이 최대가 되려면 점 R 이 점 H 에 있고 점 Q 가 F 에 있을 때이므로


ㄱ에서 HGGF , ∠HGF 이므로

∠FHG ∠HFG 이다.

FD , GF 이므로 ∠DFG 이다.

∴∠DFH

ㄱ에서 HF 이므로

DHGFFH

또한, 삼각형 HDF 는 직각삼각형이므로

cos∠HDF

이다.

즉 DH⋅DF ××

따라서 DQ⋅DR 의 최댓값은 이다.

이제 DQ⋅DP 가 최소가 되려면 점 Q 가 점 F 에 있고 점 P 가 점 C 에 있을 때 ∠EDG ,

∠GDA ,∠ADB 이므로 세 점 B D E 는 한 직선 위에 있다.

따라서 DQ⋅DP 의 최솟값은 이다.

따라서 DQ⋅PR 의 최댓값은 (참)

ㄷ. 시점이 A 인 벡터의 종점 M 을 선분 FE 의 중점에 잡으면, BD 와 AM 은 평행하므로

BD 와 AQ

가 이루는 각을 라 하면 AM 과 AQ 가 이루는 각도는 이다. 즉 ∠DBC 이므로

∠MAD 이다.

∆ADG 가 정삼각형이므로 AM 은 GD 를 수직이등분하고

AQ cos AM 이다.

따라서 BD⋅AQ BD ⋅AQ cos BD ⋅AM 이고

BD⋅AQ 의 값은 항상 일정하다.

(참)


105) [정답] ⑤

위의 그림과 같이 내접원의 중심을 O라 하면 AC와 DO가 이루는 각의 크

기가

이므로

AC·DO AC DO cos ⋅⋅

이때 AC와 OP가 이루는 각의 크기를 라 하면

AC·DP AC DP cos ⋅⋅cos이므로 AC·OP는 일 때, 최댓값 을 갖는다.

∴AC·DPAC·DOOP AC·DOAC·OP≤

따라서 구하는 AC·DP의 최댓값은 이다.

106) [정답] ④PAOAOP PBOBOP 이므로PA⋅PB OAOP ⋅OBOP OA⋅OBOP⋅OAOB OP 이때 OP OA OB 이고 두 벡터

OA OB가 이루는 각의 크기는

이다.

또 오른쪽 그림에서 선분 OC의 연장선이 구와 만나는 점을 D라 하면 사각형

OADB는 마름모이다. 따라서 OAOBOD 두 벡터

OP OD가 이

루는 각의 크기를 라 하면

PA⋅PB⋅⋅cosOP⋅OD

OP OD coscos

∴cos

오른쪽 그림에서 점 P에서 선분 OD에 내린 수선의 발을 H라 하면

PhOP sin cos

따라서 점 P가 그리는 도형은 반지름의 길이가

인 원이므로 그 길이는

⋅

107) 정답 ⑤

ㄱ. ABAEAM이므로

ABAE와 AM은 평행하다. (참)


ㄴ. (참 ) ∠B∠E°이므로 AB와 AE가 이루는 각을 라 하면

BC와 ED가 이루는 각은 이다. 따라서

AB⋅AE ABAE cos

BC⋅ED BCED cos BC ED cos 이때,

ABBC , AEED이므로AB⋅AEBC⋅ED (참)

ㄷ. BCED BC BC⋅EDED BE AEAB AE AE⋅ABAB 이때,

ABBC , AEED이고 ‘ㄴ’에 의해AB⋅AEBC⋅ED이 성립하므로

BCED BE 따라서 BCED BE 이 성립한다. (참)108) [정답] AD⋅CX AD⋅AX AC AD⋅AX AD⋅AC ⋯㉠

세 점 A C D는 고정된 점이므로 AD⋅AC는 상수이다.

따라서 ㉠에서 AD⋅CX 의 값이 최소가 되려면

AD⋅AX 의 값이 최소가

되어야 한다.

두 벡터 AD AX 가 이루는 각의 크기를 라 하면

AD⋅AX AD AX cos이고, AD 의 값은 상수이므로 AX cos의 값이 최소이어야 한다. 오른쪽 그림과 같이 직선 AD와 수직인 직선 이

원과 접할 때의 접점을 P라 하고 그때 직선 AD와 만나는 점을 Q라 하면

AX cos≥ AP cos AQ

이때, POQD이므로 ∠AOP ∠OAD

∠ACP ∠AOP에서 ∠ACP ×

∴ [다른풀이]AD⋅CX AD⋅OX OC AD⋅OX AD⋅OC이때 네 점 O A C D는 고정된 점이므로

AD⋅OX 의 값이 최소가 되어야 한다. 두 벡터AD OX AD OX cos에서 ≤ cos≤이므로 cos 일 때,

AD⋅OX 의 값은 최

소가 된다. 이때, cos 을 만족시키는 점 X를 P라 하면 두 선분 OP AD가 서로 평행하므로

∠AOP ∠OAD

∴∠ACP ∠AOP

⋅

109) 정답 ⑤

[해설]

ㄱ. AB는 원의 지름이고, ∠APB이므로 내적은 이다. (참)

ㄴ. ∆ABC에서 AN은 ∠CAB의 이등분선이므로

BA ACBN NC 따라서 AN

ABAC이다. (참)

ㄷ. AB AC 라 하자.


AN⋅BQ⇔AN⋅AQAB

⇔

⋅

⇔⋅

⋅ 이므로,

이다.

따라서 AQ

AM ⇔AQAM이다. (참)

110) 두 벡터 CO , DX 의 내적

CO·DX 에 대하여CO·DX CO·OXOD

CO·OXCO·OD이다. 두 내적 CO·OX , CO·OD을 각각 구하면 다음과 같다.I) CO·OX

그림과 같이 선분 CD의 중점을 E라 하자. 이 때 점 P는 직사각형 ABCD의 두 대각선의 교점, 즉 중점이므로 ∠OEP는 두 평면 , 와 이루는 각인 이다.직각삼각형 OPE에서 PE, ∠OEP 이므로 OP 이다. 그러므로 벡터 OX 의 크기는 이다.또, 직각삼각형 PCE에서 PE, CE 이므로 피타고라스의 정리에 의해 PC 이고, 직각삼각형 OPC에서 OP , PC 이므로 CO이다. 그러므로 벡터 CO의 크기는 이다.그러므로 두 벡터 CO , DX 가 이루는 각의 크기 에 대해 CO·OX cos이다.


cos가 최대가 될 때, 점 X의 위치는 그림과 같이 직선 CO를 평면 에 내린 정사영과 원의 교점이다. 그러므로 는 직선 CO와 평면 가 이루는 각의 크기이다.점 C에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 하자. 이 때 ∠COH이다. 직각삼각형 BCH에서 BC이고 ∠HBC이므로 CH이다. 또 CO이므로 직각삼각형 COH에서 sin

이다.

따라서 cos 이고, 내적 CO·OX 의 최댓값은

CO·OX×

이다.

II) CO·OD점 P는 직사각형 ABCD의 두 대각선의 교점, 즉 중점이므로 CODO 이다. 한편 DC 에서CO

DODC이다. 따라서 두 벡터 CO , OD는 수직이고, 내적 CO·OD는 CO·OD

이다.

I), II)에서 고, 이다.111) 정답

원 O와 OA 의 교점을 P 라 하면 OA′OC 이다. ∆OOA�∆CDO ,

DO DP 에서

OA′ OC

이므로

이다.

따라서 이다.


112) 정답

(1) (2)

(3)

113) 정답 :최댓값은 최솟값은

114) 정답 한 점에서 만난다.

두 직선 , 의 방향벡터는 각각 ,

이므로

ⅰ) ≠ (단, 는 이 아닌 실수) 따라서, 평행하지 않다.

ⅱ) · ≠따라서 수직이 아니다.

ⅲ)

,

라 하면

, ,

만족하는 실수 , 의 값은 각각 , 이므로 두 직선은 한 점에서 만난다.

115) 정답 ②

점 A 는 직선

위에 있으므로 ,

따라서 점 A 와 평면 사이의 거리는

×××

116) 정답 ①

로 놓고 평면의 방정식에 대입하면 ∴ A

OA·OP OP·OP 에서 OP·AP이다.

따라서 점 P는 선분 OA를 지름으로 하는 구 위의 점이고, 이 구의 중심의 좌표는 , 반지름의 길이

는 이므로 구하는 최댓값은

117) [정답] ④

( 는 실수)라 하면 직선 위의 점 Q 의 좌표는 Q 로 나타

낼 수 있다.


OPOQ

OPOQ

≥

따라서 OPOQ 의 최솟값은

이다.

[다른 풀이]

두 점 P , Q 에 대하여 선분 PQ 의 중점을 M 이라 하면

M

OPOQ ⋅OPOQ OM

이므로 OM 의 값이 최소일 때, OPOQ 의 값도 최소이다.

오른쪽 그림에서 선분 PQ 의 한 중점 을 지나고 직선 과 평행한 직선을 ′ 이라 하면 직선 ′

의 방정식은

원점 O 에서 직선 ′ 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 두 점

M H 가 일치할 때, OM 의 값이 최소이다.

점 H 의 좌표는 실수 에 대하여

H 로 나타낼 수 있다.

이때, 직선 의 방향벡터를 라 하면

OH⊥ 이므로

OH· ·

∴

⋅H

∴ OPOQ OM ≥OH

⋅

118) 정답 (1)

(2) H 119) 정답

구하는 점의 좌표를 라 하면 AMCM이고 AM과 평면 의 법선벡터

가 평행하므로 AM t

∴

그런데 M은 평면 위의 점이므로 에 대입하면

∴ 즉 A , 라 하면 이 의 중점이므로

∴

120) 정답 선분 AB 를 로 내분하는 점을 C 라 하면


ABC

P

PAPB PC 이므로 PC 가 최소일 때,

PAPB 도 최소이다.

점 C 의 좌표는 선분AB 을 로 내분하는 점 이다. 그러므

로 C 에서 평면 까지의 거리가

이므로

PC ≧ ∴ PAPB ≧

121) [정답] ③

점 A 를 원점으로 하고 AB AD EA 를 각각 축, 축, 축의 양의 방향으로 하는 좌표공간에서

B D E G 이다.

ㄱ. (참) 이고 ≤ 이면 평면에서

AP ABAD 이므로 점 P 는 AB 와 AD 를 두 변으로 하는 직각이등변삼각형과 내부이다.

따라서 점 P 의 자취의 넓이는

⋅⋅

ㄴ. (거짓) 일 때 을 만족하는 점 P 의 자취는 ABAP ADAP 가 되는 점

P 과 P 를 이은 선분의 길이이다.

같은 방법으로 일 때는 AEAP 가 되는 점 P 과 P 를 이은 선분이고 일 때는 두 점

P P 를 이은 선분이다.

그러므로 인 경우는 세 점

P P P 를 이은 삼각형이다.

P P P 이므로

한 변의 길이가 인 정삼각형이 점 P 의 자취이다.

ㄷ. (참) AP ABADAE ≤ 을 만족하는 점 P 의 자취는 네 점

A P P P 로 이루어진 사면체의 부피이다.

∴

⋅

⋅⋅⋅

따라서 옳은 것은 ㄱ과 ㄷ이다.

122) [정답] ⑤

ᄀ. (참) , 이므로 직선 의 방정식은

따라서 점 을 지난다.

ᄂ. (참) 에서 양변을 으로 나누면

따라서 방향벡터는 이다.

ᄃ. (참) cos ⋅

따라서 옳은 것은 ᄀ, ᄂ, ᄃ이다.

123) 정답 ②

해설

삼각형 ABC 의 무게중심 을 G 라 하자.

D 에서 평면 ABC 에 내린 수선의 발은 삼각형 ABC 의 무게중심 G 이므로


DG⊥(평면 ABC)에서 DG�

∴D D 가 평면 위에 있으므로

∴D D 에서 평면 ABC 까지의 거리는

DG

정사면체의 한 변의 길이를 라 하면 DG

∴

124) [정답] ③

직선 의 방향벡터를 라 하자.

직선 의 평면 위로의 정사영의 방향벡터를 이라 하면

이고

직선 의 평면 위로의 정사영의 방향벡터를 라 하면

이다.

직선 , 의 방향벡터는

, 에서

직선 , 의 방향벡터는

, 에서

따라서 직선 의 방향벡터는 이다.

이때, 축의 방향벡터를 라 하면

이므로 직선 과 축이 이루는 예각의 크기 에 대하여

cos ·

⋅⋅⋅

125) 정답

먼저 조건(가)에서 AC 이다. 따라서 삼각형ABC 는 길이가 인 친숙한 삼각형이다.

한편, (나)에서 AC⋅DE AHHC ⋅DE이므로

선분 DF 와 선분 DE 는 수직이다.(삼수선의 정리로 해석해도 좋다.)

우리는 벡터AC 의 방향벡터를 알고 있으므로, 선분 DF 의

길이를 구할 수 있다.

⋅ 에서 cos

평면과 직선이 이루는 각은

이다.

따라서 cos

이다.

그러므로 선분 DF 의 길이는 이다.


선분 AB 의 방향벡터를 구해보자. 선분 AB 의 방향벡터는 평면 의 법선벡터와 직선 AC 의

방향벡터에 모두 수직이다.

따라서 ⋅ ⋅

에서 선분 AB 의 방향벡터는 임을 알 수 있다.

선분 DE 의 길이를 구하려고 평면과 직선을 내적하니

이 되었다. 이 말은 곧 평면 과 선분 AB 가 평행하다는 것을 의미한다.

따라서 선분 DF이다.

그러므로 EF 의 길이는 이다.

126) 정답 10127) 정답

구 의 중심 에서 평면

까지의 거리는

⋅⋅

∴ 또는 ⋯⋯ ㉠

구 의 중심 에서 평면

까지의 거리는

⋅⋅

∴ 또는 ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에 의하여 128) [정답] ④

<해설>

A 는 중심이 반지름이 인 구이고, B 는 중심이 반지름이 인 구이므로

∩≠∅ 이려면 중심 가 원점을 중심으로 하고 반지름 인 구와 반지름이 인 구 사이에

존재하면 된다.

그런데 구의 중심 과 평면 사이의 거리가

이므로

공통영역의 넓이는

129) [정답] ④

구 의 중심은 원점 이므로 점

에서 구와 접하는 평면 는 벡터 와 서로 수직이므로 그 법선벡터는

이다.

마찬가지로 평면 의 법선벡터는 이다.

두 평면이 이루는 각의 크기가 ≦≦

이므로

cos

⋅

⋅

130) [정답] ④

구의 중심 의 좌표는 이므로 점 와 평면 사이의 거리 ′ 은

이때, 구와 평면이 만나서 생긴 원의 반지름의 길이를 라 하면


조건 (가)에서 ⋅ 이므로

⊥ 이고 조건(나)에 의해 점 는

오른쪽 그림과 같이 반지름 와 수직이고 삼각형 ′ 을 포함하는 평면

에 포함된 직선이 구와 만나는 점이다. 이때, 점 는 오른쪽 그림과 같이 두

부분에서 존재한다. 따라서 점 가 원 위를 움직일 때, 점 가 그리는 도형

은 개의 원이고 그 반지름의 길이는 같다. 한편, 위 그림의 직각삼각형

′ 과 직각삼각형 는 서로 합동이므로 ′ 이다. 따라서

점 가 그리는 원의 반지름의 길이는 이다.

그러므로 점 가 그리는 도형 전체의 길이의 합은

×× ∴131) [정답]②

해설

OA·OP OP

⇔ OA·OP OP·OP⇔ OAOP·OP⇔ PA·OP⇔ PA⊥OP

따라서 점 P 는 선분 OA 를 지름으로 하는 구 위의 점이다.

이때 평면 : 위의 점 P 가 오직 한 개뿐이므로 구 는 평면 와 접해

야한다.

따라서 선분 OA 의 중점 M 는 구 의 중심이고 점 M 과 평면 사이의 거리는

OM이어야 한다.

즉

∴ (∵ )

132) 정답 ③

[해설]

⋅ ⋅

∴ ,

즉

이것은 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원의 벡터방정식이므로 개형은

오른쪽 그림과 같다.

133) PA·PBPA·PAAB PA이므로

PA의 최솟값을 구하면 된다. 점 P는 직선 AB에 수직하고

점 A를 지나는 평면의 방정식이므로 PA가 최소가 되는 P의

위치는 다음 그림과 같다. (H는 A에서 에 내린 수선의 발)

여기서 AB , AH

이고 BH

이다.


직각삼각형 ABH와 PAH는 닮음이므로 PA

o A(2,0)

B(0,2)

•(1,1)

134) 정답 ①PA ,

PB 이므로 PA⋅PB ≦

∴ ≦ ⋯ ㉠OP⋅OAOB ⋅ ≦

∴ ≦ ⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 점 P가 나타내는 영역은 오른쪽

그림의 색칠한 부분이다. 따라서 구하는

영역의 넓이는

⋅⋅⋅

135) 정답

선분를 로 내분하는 점을 라고 할 때,

이다.

•

• ••

, 로 일정하므로 의 값이 최대가 되는 것은 두 벡터 의 방향이

같을 때이다.

•

••

•

이므로

∴

∴

[다른 풀이]

점의 좌표를 라 하면

이므로


는 구면 위의 점와 점 사이의 거리이므로

의 최댓값은 이다.

따라서

의 최댓값은

이므로 이다.

∴ 136) 정답

삼각형 의 무게중심을 라 하면

즉,

한편, PAPBPCPG이므로

PAPBPCPDPGPD이때, 선분 DG를 로 내분하는 점을 I라 하면

P IPGPD

이므로

PAPBPCPD PGPD P I또, P I의 값이 최소인 경우는 점 I에서 평면 에 내린 수선의 발이 점 P인 경우이고,

I

즉 I 이므로 구하는 최솟값을 이라 하면

․

137) 정답 ③

A B 에서 AB 직선 AB 위의 임의의 점 P 에 대하여

OPOAAB (는 실수)로 나타낼 수 있다.

에 대입하여 정리하면

구 와 직선 AB 가 만나게 되는 경우는

따라서 양수 는

이다.

138) 정답


그림은 세 점 AB P의 평면 위로의 정사영을 나타낸 것이다. 이때, 점 P ′은 원

의 둘레 또는 그 내부의 점이다.

′ ′ 이므로

′ ′따라서 점 P ′과 직선 ′ ′사이의 거리가 이면 삼각형 ′ ′′의 넓이가 가 되므로

점 ′의 자취는 그림과 같이 직선 ′ ′과 평행한 현 이다. 원 의 중심 와 직

선 ′ ′사이의 거리는 이므로 원 의 중심과 현 사이의 거리는 이다.

이때, 현 의 길이는 이므로 점 P가 움직이는 도형은 반지름의 길이가 인 원이

다.

따라서 구하는 길이는 ․ 이므로

∴ 139) 정답

직선 의 방향벡터를 라 하면

⋅ ⋅

에서

또, ⊥이므로 구하는 평면은 점를 지나며 직선 에 수직인 평면이다.

따라서, 구하는 평면의 방정식은

,

∴

∴

140) 정답 이해 능력 - 벡터


구의 중심을 C , 점 A 에서 이 구에 그은 접선의 한 접점을 P , 접점들로 이루어진 도형(원)

의 중심을 Q 라 하자. 이 도형(원)을 포함하는 평면이 축과 만나는 점을 R 이라 하면 OC이므로

AP이고 AC 이다.

(삼각형 ACP 의 넓이)

××

××QP

에서 QP

이다.

한편, ∠CAP ∠ORP 이므로 정사영시켜 얻은 도형의 넓이는

cos∠ORP ×

∴ 141) 정답 ⑤

≠이므로 원점 은 평면

위의 점이 아니다.

즉, 조건 (가), (나)에서 점 는 평면 위의 점이므로

× ∴

따라서 원점 는 원뿔 의 꼭짓점이다.

점 에서 평면 에 내린 수선의

발을 라 하면 점 는 원뿔 의 밑면의 중심이다.

한편, 원뿔 의 모선의 길이는

이고, 원뿔 의 높이는 꼭짓점 와 평면 사이의 거리이므로

이므로 밑면의 반지름 의 길이는

따라서 원뿔 의 부피는

× ×

142) 정답

직선 위의 점 P 의 좌표를 P (는 실수)라 하자.

두 점 A , B 을 지나는 직선 AB 의 방정식이

이므

로 점 P 에서 직선 AB 에 내린 수선의 발을 Q 라 하면 점 Q 의 좌표는

Q (는 실수)이다.

따라서 PQ


삼각형 ABP 의 넓이가 최소가 되려면 선분 PQ 의 길이가 최소인 경우이므로 벡터 PQ 가 직선 AB 와 직선

의 방향벡터와 각각 서로 수직일 때이다. 따라서 PQ· ∴ ⋯⋯ ㉠PQ· ∴ ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 , 이므로

PQ ≥ , AB 이므로

×AB×PQ≥

××

∴ 143) 직선 의 방향벡터와 평면 의 법선벡터는 로 일치한다. 따라서 직선 은

평면 와 수직이다. 주어진 상황을 단면으로 나타내면 다음과 같다.

그림에서 점 O는 직선 과 직선 의 교점인 이고, 점 C, H는 각각 직선 , 과 평면

의 교점이다.

이때 ∠COH이므로 점 C가 그리는 자취는 원이 된다. 원의 반지름을 알기 위해서는 OH를 알아야

한다. 점 H의 좌표를 라 하면 점 H는 직선 위에 있으므로 매개변수 에 대해

, , 이고, 점 H는 평면 위에 있으므로 이다.

따라서 이고, , , 이다.

그러므로 선분 OH의 길이는 이며, 점 C가 그리는 원의 반지름의 길이는 tan 이다. 따라

서 원의 넓이는 이다.

한편 평면 와 평면이 이루는 각 에 대해 cos ×

이므로

구하는 정사영의 넓이는

이다. 따라서 의 값은 이다.

144) 정답 ②


R 라 하면 직선 PR 의 방정식은

OPPR

구 의 방정식은 이므로

∴

구 와 직선 PR 가 서로 접하려면 판별식 이어야 하므로

∴ ±

따라서 QR 이다.

1) 일차변환의 정의 2) 일차변환의...

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