1. Determinação das Reações de Apoio · 2019. 3. 26. · Lista de Exercícios da Apostila...

Lista de Exercícios da Apostila (página

Exercício 1.

1. Determinação das Reações de Apoio:

＝ΣFx 0≔Hb 0 tonf

＝ΣFy 0＝+---Va 6 tonf 4 tonf 2 tonf Vb 0

Adotando-se: ＝+Va Vb ++6 tonf 4 tonf 2 tonf ＝V +Va Vb

≔V ++6 tonf 4 tonf 2 tonf=V 12.000 tonf

＝ΣMb 0＝+++⋅-Va 5 m ⋅6 tonf 4 m ⋅4 tonf 2 m ⋅2 tonf 1 m 0

≔Va ――――――――――――++⋅6 tonf 4 m ⋅4 tonf 2 m ⋅2 tonf 1 m5 m

=Va 6.800 tonf

≔Vb -V Va=Vb 5.200 tonf

2. Determinação dos Esforços Internos nas Seções:

2.1 - Seção S

- Esquerda(T)≔NSe 0 tonf =NSe 0.000 tonf

≔QSe -Va 6 tonf =QSe 0.800 tonf≔MSe -⋅Va 2 m ⋅6 tonf 1 m =MSe 7.600 ⋅tonf m

- Direita(T)≔NSd Hb =NSd 0.000 tonf

≔QSd -+4 tonf 2 tonf Vb =QSd 0.800 tonf≔MSd +-⋅-4 tonf 1 m ⋅2 tonf 2 m ⋅Vb 3 m =MSd 7.600 ⋅m tonf

Exercício 4.

1. Determinação das Reações de Apoio:

＝ΣFx 0＝+--Ha ⋅10 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠ ⋅10 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ ⋅10 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ 0

≔Ha -+⋅10 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠ ⋅10 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ ⋅10 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠=Ha 8.660 tonf

＝ΣMa 0＝-++--⋅2 tonf 1 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 1 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 3 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 5 m ⋅Vb 6 m ⋅2 tonf 7 m 0

＝⋅Vb 6 m +-++⋅-2 tonf 1 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 1 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 3 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 5 m ⋅2 tonf 7 m

≔Vb ―――――――――――――――――――――――――――――-++⋅-2 tonf 1 m ⋅⋅10 tonf sin⎛⎝30 deg⎞⎠ 1 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 3 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 5 m

6 m...

=Vb 0.476 tonf


＝ΣFy 0＝-++--+-2 tonf Va ⋅10 tonf sin⎛⎝30 deg⎞⎠ ⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ ⋅10 tonf sin⎛⎝45 deg⎞⎠ Vb 2 tonf 0

≔Va +--++2 tonf ⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ ⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ ⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ Vb 2 tonf=Va 8.524 tonf


2.1 - Seção S1

- Esquerda(T)≔NS1e +-Ha 10 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠ =NS1e 0.000 tonf

≔QS1e -+-2 tonf Va ⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ =QS1e 1.524 tonf≔MS1e -+⋅-2 tonf 3 m ⋅Va 2 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 1 m =MS1e 6.047 ⋅tonf m

- Direita(T)≔NS1d +⋅-10 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ ⋅10 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ =NS1d 0.000 tonf

≔QS1d +--⋅10 tonf sin⎛⎝45 deg⎞⎠ ⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ Vb 2 tonf =QS1d 1.524 tonf≔MS1d -++⋅⋅-10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 1 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 3 m ⋅Vb 4 m ⋅2 tonf 5 m

=MS1d 6.047 ⋅tonf m

2.2 - Seção S2

- Esquerda(T)≔NS2e ++-Ha ⋅10 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠ ⋅10 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ =NS2e 7.071 tonf

≔QS2e --+-2 tonf Va ⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ ⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ =QS2e -5.547 tonf≔MS2e --+⋅-2 tonf 5 m ⋅Va 4 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 3 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 1 m

=MS2e 2.024 ⋅tonf m- Direita

(T)≔NS2d ⋅10 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ =NS2d 7.071 tonf≔QS2d +-⋅-10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ Vb 2 tonf =QS2d -5.547 tonf≔MS2d -+⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 1 m ⋅Vb 2 m ⋅2 tonf 3 m =MS2d 2.024 ⋅tonf m

Exercício 02

1. Determinação das Reações de Apoio:*partindo do princípio que todas as hipóteses iniciais de reações são positivas (Va e Vb para CIMA e Hb para a DIREITA).

＝ΣFx 0＝+⋅10 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠ Hb 0

≔Hb ⋅-10 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠isto é, a hipótese inicial para a reação horizontal estava ERRADA.=Hb -8.660 tonfCORREÇÃO: para a ESQUERDA.≔Hb ||Hb|| =Hb 8.660 tonf

＝ΣFy 0＝+--Va ⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 6 tonf Vb 0

Adotando-se: ＝+Va Vb +⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 6 tonf ＝V +Va Vb

≔V +⋅10 tonf sin⎛⎝30 deg⎞⎠ 6 tonf=V 11.000 tonf

＝ΣMb 0＝++⋅-Va 4 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 3 m ⋅6 tonf 1 m 0

＝⋅Va 4 m +⋅⋅10 tonf sin⎛⎝30 deg⎞⎠ 3 m ⋅6 tonf 1 m

≔Va ――――――――――――+⋅⋅10 tonf sin⎛⎝30 deg⎞⎠ 3 m ⋅6 tonf 1 m

4 m=Va 5.250 tonf



2.1 - Seção S

- Esquerda(C)≔NSe ⋅-10 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠ =NSe -8.660 tonf

≔QSe -Va ⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ =QSe 0.250 tonf≔MSe -⋅Va 2 m ⋅⋅10 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 1 m =MSe 5.500 ⋅tonf m


- Direita(C)≔NSd -Hb =NSd -8.660 tonf

≔QSd -6 tonf Vb =QSd 0.250 tonf≔MSd +⋅-6 tonf 1 m ⋅Vb 2 m =MSd 5.500 ⋅tonf m

Exercício 3.

1. Determinação das Reações de Apoio:*partindo do princípio que todas as hipóteses iniciais de reações são positivas (Va para CIMA, Ha para a DIREITA e Ma no sentido ANTI-HORÁRIO).

＝ΣFx 0≔Ha 0 tonf

＝ΣFy 0＝-Va 5 tonf 0

≔Va 5 tonf

＝ΣMa 0＝-Ma ⋅5 tonf 3 m 0

≔Ma ⋅5 tonf 3 m=Ma 15.000 ⋅tonf m

2. Determinação dos Esforços Internos nas Seções

2.1 - Seção S

- Esquerda≔NSe -Ha =NSe 0.000 tonf≔QSe Va =QSe 5.000 tonf≔MSe -⋅Va 1 m Ma =MSe -10.000 ⋅tonf m

- Direita≔NSd 0 tonf =NSd 0.000 tonf≔QSd 5 tonf =QSd 5.000 tonf≔MSd ⋅-5 tonf 2 m =MSd -10.000 ⋅tonf m

Exercício 05.


＝ΣFx 0≔Hb 0 tonf

＝ΣFy 0

＝+--Va⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

6 tonf Vb 0

Adotando-se: ＝+Va Vb +⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

6 tonf ＝V +Va Vb

≔V +⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

6 tonf

=V 14.000 tonf

＝ΣMb 0

＝++⋅-Va 6 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

4 m ⋅6 tonf 1 m 0


＝⋅Va 6 m +⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

4 m ⋅6 tonf 1 m

≔Va ――――――――――+⋅

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

4 m ⋅6 tonf 1 m

6 m=Va 6.333 tonf



2.1 - Seção S

- Esquerda≔NSe 0 tonf =NSe 0.000 tonf

≔QSe -Va⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

=QSe 0.333 tonf

≔MSe -⋅Va 3 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1.5 m =MSe 10.000 ⋅tonf m

- Direita≔NSd Hb =NSd 0.000 tonf

≔QSd -+⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

6 tonf Vb =QSd 0.333 tonf

≔MSd +-⋅-⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

0.5 m ⋅6 tonf 2 m ⋅Vb 3 m =MSd 10.000 ⋅tonf m

Exercício 06.

1. Determinação das Reações de Apoio:*partindo do princípio que todas as hipóteses iniciais de reações são positivas (Va e Vb para CIMA e Ha para a DIREITA).


＝ΣFy 0

＝-+--+-2 tonf Va 3 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠Vb 4 tonf 0

Adotando-se: ＝+Va Vb +++2 tonf 3 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

4 tonf ＝V +Va Vb

≔V +++2 tonf 3 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

4 tonf

=V 21.000 tonf

＝ΣMa 0

＝-+--⋅2 tonf 2 m ⋅3 tonf 3 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

3 m ⋅Vb 6 m ⋅4 tonf 8 m 0

＝⋅Vb 6 m +++⋅-2 tonf 2 m ⋅3 tonf 3 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

3 m ⋅4 tonf 8 m

≔Vb ―――――――――――――――――――+++⋅-2 tonf 2 m ⋅3 tonf 3 m ⋅

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

3 m ⋅4 tonf 8 m

6 m=Vb 12.167 tonf

≔Va -V Vb=Va 8.833 tonf

2. Determinação dos Esforços nas Seções

2.1 - Seção S1- Esquerda

(T)≔NS1e -Ha =NS1e 0.000 tonf

≔QS1e -+-2 tonf Va⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

=QS1e 2.833 tonf

Lista de Exercícios da Apostila (página⎝ ⎠

≔MS1e -+⋅-2 tonf 4 m ⋅Va 2 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

1 m =MS1e 5.667 ⋅tonf m

- Direita(T)≔NS1d 0 tonf =NS1d 0.000 tonf

≔QS1d +-+3 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

Vb 4 tonf =QS1d 2.833 tonf

≔MS1d -+-⋅-3 tonf 1 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

2 m ⋅Vb 4 m ⋅4 tonf 6 m =MS1d 5.667 ⋅tonf m

2.2 - Seção S2

- Esquerda(T)≔NS2e -Ha =NS2e 0.000 tonf

≔QS2e --+-2 tonf Va⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

3 tonf =QS2e -4.167 tonf

≔MS2e --+⋅-2 tonf 6 m ⋅Va 4 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

2 m ⋅3 tonf 1 m =MS2e 4.333 ⋅tonf m


≔QS2d +-⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

Vb 4 tonf =QS2d -4.167 tonf

≔MS2d -+⋅-⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

1 m ⋅Vb 2 m ⋅4 tonf 4 m =MS2d 4.333 ⋅tonf m

Exercício 07

1. Determinação das Reações de Apoio:*partindo do princípio que todas as hipóteses iniciais de reações são positivas (Va para CIMA, Ha para a DIREITA e Ma no sentido ANTI-HORÁRIO).


＝ΣFy 0

＝----Va⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

4 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

3 tonf 0

≔Va +++⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

4 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

3 tonf

=Va 21.000 tonf

＝ΣMa 0

＝----Ma ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

1 m ⋅4 tonf 4 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

5 m ⋅3 tonf 7 m 0

≔Ma +++⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

1 m ⋅4 tonf 4 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

5 m ⋅3 tonf 7 m

=Ma 9 9 .000 ⋅tonf m


2.1 - Seção S1


≔QS1e -Va⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

=QS1e 20.000 tonf

≔MS1e -+-Ma ⋅Va 1 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

0.5 m =MS1e -78.500 ⋅tonf m


≔QS1d +++⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

4 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

3 tonf =QS1d 20.000 tonf

≔MS1d ---⋅-⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

0.5 m ⋅4 tonf 3 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

6 m⎞⎟⎠

4 m ⋅3 tonf 6 m

=MS1d -78.500 ⋅tonf m


2.2 - Seção S2


≔QS2e ---Va⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

4 tonf =QS2e 9 .000 tonf

≔MS2e ---+-Ma ⋅Va 5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

4 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1.5 m ⋅4 tonf 1 m

=MS2e -15.000 ⋅tonf m


≔QS2d +⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

3 tonf =QS2d 9 .000 tonf

≔MS2d -⋅-⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1.5 m ⋅3 tonf 2 m =MS2d -15.000 ⋅tonf m

Exercício 08.


＝ΣFx 0＝+⋅-3 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ Hb 0

≔Hb ⋅3 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠=Hb 1.500 tonf

＝ΣFy 0

＝-+---+--1 tonf⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠Va

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

2 tonf ⋅3 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb 1 tonf 0

Adotando-se: ＝+Va Vb +++++1 tonf⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

2 tonf ⋅3 tonf sin⎛⎝60 deg⎞⎠ 1 tonf ＝V +Va Vb

≔V +++++1 tonf⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

2 tonf ⋅3 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 1 tonf

=V 15.59 8 tonf

＝ΣMb 0

＝-+++-+⋅1 tonf 8 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

6.5 m ⋅Va 6.5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

3.5 m ⋅2 tonf 2 m ⋅⋅3 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 1 m ⋅1 tonf 1 m 0

＝⋅Va 6.5 m -++++⋅1 tonf 8 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

6.5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

3.5 m ⋅2 tonf 2 m ⋅⋅3 tonf sin⎛⎝60 deg⎞⎠ 1 m ⋅1 tonf 1 m

≔Va ――――――――――――――――――――――――――――――――――-++++⋅1 tonf 8 m ⋅

⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

6.5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

3.5 m ⋅2 tonf 2 m ⋅⋅3 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 1 m ⋅1 tonf 1 m

6.5 m=Va 8.323 tonf



2.1 - Seção S1

- Esquerda(T)≔NS1e 0 tonf =NS1e 0.000 tonf

≔QS1e -+--1 tonf⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

Va⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

=QS1e 2.323 tonf

≔MS1e -+-⋅-1 tonf 4 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

2.5 m ⋅Va 2.5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

0.5 m =MS1e 8.307 ⋅tonf m

- Direita(T)≔NS1d +⋅-3 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ Hb =NS1d 0.000 tonf


≔QS1d +-++⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

2 tonf ⋅3 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb 1 tonf =QS1d 2.323 tonf

≔MS1d -+--⋅-⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

1 m ⋅2 tonf 2 m ⋅⋅3 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 3 m ⋅Vb 4 m ⋅1 tonf 5 m =MS1d 8.307 ⋅tonf m

2.2 - Seção S2

- Esquerda(T)≔NS2e 0 tonf =NS2e 0.000 tonf

≔QS2e -+--1 tonf⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

Va⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

=QS2e 0.323 tonf

≔MS2e -+-⋅-1 tonf 5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

3.5 m ⋅Va 3.5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

1 m =MS2e 9 .630 ⋅tonf m

- Direita(T)≔NS2d +⋅-3 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ Hb =NS2d 0.000 tonf

≔QS2d +-++⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

2 tonf ⋅3 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb 1 tonf =QS2d 0.323 tonf

≔MS2d -+--⋅-⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

0.5 m ⋅2 tonf 1 m ⋅⋅3 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 2 m ⋅Vb 3 m ⋅1 tonf 4 m =MS2d 9 .630 ⋅tonf m

Exercício 09 .

1. Determinação das Reações de Apoio:*partindo do princípio que todas as hipóteses iniciais de reações são positivas (Va e Vb para CIMA e Ha para a DIREITA).


＝ΣFy 0

＝-+----+-1 tonf Va⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠Vb 2 tonf 0

Adotando-se: ＝+Va Vb +++++1 tonf⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

2 tonf ＝V +Va Vb

≔V +++++1 tonf⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

2 tonf

=V 18.000 tonf

＝ΣMa 0

＝-+----⋅1 tonf 1 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

0.5 m ⋅1 tonf 2 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

4 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

7.5 m ⋅Vb 8 m ⋅2 tonf 9 m 0

＝⋅Vb 8 m +++++⋅-1 tonf 1 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

0.5 m ⋅1 tonf 2 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

4 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

7.5 m ⋅2 tonf 9 m

≔Vb ―――――――――――――――――――――――――――――――――+++++⋅-1 tonf 1 m ⋅

⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

0.5 m ⋅1 tonf 2 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

4 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

7.5 m ⋅2 tonf 9 m

8 m=Vb 9 .375 tonf


2. Determinação dos Esforços nas Seções

2.1 - Seção S1


≔QS1e ---+-1 tonf Va⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

=QS1e 1.625 tonf

≔MS1e ---+⋅-1 tonf 4 m ⋅Va 3 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

2.5 m ⋅1 tonf 1 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

0.5 m

=MS1e 12.375 ⋅tonf m


≔QS1d +-+⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

Vb 2 tonf =QS1d 1.625 tonf

≔MS1d -+-⋅-⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1.5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

4.5 m ⋅Vb 5 m ⋅2 tonf 6 m =MS1d 12.375 ⋅tonf m


2.2 - Seção S2


≔QS2e ---+-1 tonf Va⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1 tonf⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

=QS2e -2.375 tonf

≔MS2e ---+⋅-1 tonf 6 m ⋅Va 5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

4.5 m ⋅1 tonf 3 m ⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

1.5 m

=MS2e 11.625 ⋅tonf m


≔QS2d +-+⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

Vb 2 tonf =QS2d -2.375 tonf

≔MS2d -+-⋅⎛⎜⎝

⋅-2 ――tonfm

1 m⎞⎟⎠

0.5 m ⋅⎛⎜⎝

⋅1 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

2.5 m ⋅Vb 3 m ⋅2 tonf 4 m =MS2d 11.625 ⋅tonf m

Exercício 10.

1. Determinação das Reações de Apoio:* partindo do princípio de que as hipóteses inicias das reações de apoio são positivas (Va e VB para CIMA e Ha para a DIREITA)

＝ΣFx 0＝-++⋅2 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ Ha ⋅2 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ ⋅2 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ 0

≔Ha +-⋅-2 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ ⋅2 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ ⋅2 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠Isto é: a hipótese inicial da reação horizontal estava ERRADA=Ha -1.414 tonfCORREÇÃO: para a ESQUERDA.≔Ha ||Ha|| =Ha 1.414 tonf

＝ΣFy 0＝+------+⋅2 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ Va 2 tonf 3 tonf 4 tonf 8 tonf ⋅2 tonf sin⎛⎝60 deg⎞⎠ ⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb 0

Adotando-se: ＝+Va Vb ++++++⋅-2 tonf sin⎛⎝45 deg⎞⎠ 2 tonf 3 tonf 4 tonf 8 tonf ⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ ⋅2 tonf sin⎛⎝60 deg⎞⎠ ＝V +Va Vb

≔V ++++++⋅-2 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 2 tonf 3 tonf 4 tonf 8 tonf ⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ ⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠=V 19 .050 tonf

＝ΣMa 0＝+------⋅⋅-2 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 1.5 m ⋅2 tonf 1 m ⋅3 tonf 2 m ⋅4 tonf 4 m ⋅8 tonf 4 m ⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 7.5 m ⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 9 m ⋅Vb 10 m 0

＝⋅Vb 10 m ++++++⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 1.5 m ⋅2 tonf 1 m ⋅3 tonf 2 m ⋅4 tonf 4 m ⋅8 tonf 4 m ⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 7.5 m ⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 9 m

≔Vb ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――++++++⋅⋅2 tonf sin⎛⎝45 deg⎞⎠ 1.5 m ⋅2 tonf 1 m ⋅3 tonf 2 m ⋅4 tonf 4 m ⋅8 tonf 4 m ⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 7.5 m ⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 9 m

10 m=Vb 8.670 tonf


2. Determinação dos Esforços Internos

2.1 - Seção S1

- Esquerda(T)≔NS1e +⋅-2 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ Ha =NS1e 0.000 tonf

≔QS1e ---+⋅2 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ Va 2 tonf 3 tonf 2 tonf =QS1e 4.79 4 tonf≔MS1e ---+⋅⋅2 tonf sin⎛⎝45 deg⎞⎠ 4.5 m ⋅Va 3 m ⋅2 tonf 2 m ⋅3 tonf 1 m ⋅2 tonf 0.5 m =MS1e 29 .504 ⋅tonf m

- Direita(T)≔NS1d -⋅2 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ ⋅2 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ =NS1d 0.000 tonf

≔QS1d -+++4 tonf 6 tonf ⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ ⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb =QS1d 4.79 4 tonf≔MS1d +---⋅-4 tonf 1 m ⋅6 tonf 1.5 m ⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 4.5 m ⋅⋅2 tonf sin⎛⎝60 deg⎞⎠ 6 m ⋅Vb 7 m

=MS1d 29 .504 ⋅tonf m2.2 - Seção S2

- Esquerda(T)≔NS2e +⋅-2 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ Ha =NS2e 0.000 tonf

≔QS2e ----+⋅2 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ Va 2 tonf 3 tonf 6 tonf 4 tonf =QS2e -3.206 tonf≔MS2e ----+⋅⋅2 tonf sin⎛⎝45 deg⎞⎠ 6.5 m ⋅Va 5 m ⋅2 tonf 4 m ⋅3 tonf 3 m ⋅6 tonf 1.5 m ⋅4 tonf 1 m

=MS2e 31.09 2 ⋅tonf m

- Direita(T)≔NS2d -⋅2 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ ⋅2 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ =NS2d 0.000 tonf

≔QS2d -++2 tonf ⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ ⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb =QS2d -3.206 tonf≔MS2d +--⋅-2 tonf 0.5 m ⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 2.5 m ⋅⋅2 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 4 m ⋅Vb 5 m =MS2d 31.09 2 ⋅tonf m


Exercício 11.

1. Determinação das Reações de Apoio:* partindo da hipótese inicial de que todas as reações são positivas (Va para CIMA, Ha para a DIREITA e Ma no sentido ANTI-HORÁRIO).


＝ΣFy 0

＝-Va

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

10 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

0

≔Va

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

10 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

=Va 10.000 tonf

＝ΣMa 0

＝-Ma ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

10 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―23

10 m⎞⎟⎠

0

≔Ma ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

10 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―23

10 m⎞⎟⎠

=Ma 66.667 ⋅tonf m


2.1 - Seção S1


≔QS1e -Va

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅0.6 ――tonfm

3 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

=QS1e 9 .100 tonf

≔MS1e -+-Ma ⋅Va 3 m ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅0.6 ――tonfm

3 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝―13

3 m⎞⎟⎠

=MS1e -37.567 ⋅tonf m


≔QS1d +⎛⎜⎝

⋅0.6 ――tonfm

7 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅1.4 ――tonfm

7 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

=QS1d 9 .100 tonf

≔MS1d -⋅-⎛⎜⎝

⋅0.6 ――tonfm

7 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝――7 m

2

⎞⎟⎠

⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅1.4 ――tonfm

7 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―23

7 m⎞⎟⎠

=MS1d -37.567 ⋅tonf m

2.2 - Seção S2


≔QS2e -Va

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅1.2 ――tonfm

6 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

=QS2e 6.400 tonf

≔MS2e -+-Ma ⋅Va 6 m

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅1.2 ――tonfm

6 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―13

6 m⎞⎟⎠

=MS2e -13.867 ⋅tonf m


≔QS2d +⎛⎜⎝

⋅1.2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅0.8 ――tonfm

4 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

=QS2d 6.400 tonf


≔MS2d -⋅-⎛⎜⎝

⋅1.2 ――tonfm

4 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―12

4 m⎞⎟⎠

⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅0.8 ――tonfm

4 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―23

4 m⎞⎟⎠

=MS2d -13.867 ⋅tonf m

Exercício 14.

1. Determinação das Reações de Apoio;* partindo do princípio de que as hipóteses de reações de apoio são positivas (Vb para CIMA, Hb para a DIREITA e MB no sentido ANTI-HORÁRIO).

＝ΣFx 0＝++⋅-4 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ ⋅8 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ Hb 0

≔Hb -⋅4 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ ⋅8 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠Isto é: o sentido arbitrado para a reação horizontal está ERRADO.=Hb -1.172 tonfCORREÇÃO: para a ESQUERDA.≔Hb ||Hb|| =Hb 1.172 tonf

＝ΣFy 0

＝+----⋅-4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 6 tonf

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

5.5 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

5.5 m⎞⎟⎠

⋅8 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb 0

≔Vb ++++⋅4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 6 tonf

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

5.5 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

5.5 m⎞⎟⎠

⋅8 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠

=Vb 32.257 tonf

＝ΣMb 0

＝+++++⋅⋅4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 9 .5 m ⋅6 tonf 7 m ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

5.5 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

+2.5 m ⋅―23

5.5 m⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

5.5 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

+2.5 m ――5.5 m2

⎞⎟⎠

⋅⋅8 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 1 m Mb 0

≔Mb ----⋅⋅-4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 9 .5 m ⋅6 tonf 7 m ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

5.5 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

+2.5 m ⋅―23

5.5 m⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

5.5 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

+2.5 m ――5.5 m2

⎞⎟⎠

⋅⋅8 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 1 m

Isto é: o sentido arbitrado para a reação horizontal está ERRADO.=Mb -167.465 ⋅tonf mCORREÇÃO: no sentido HORÁRIO.≔Mb ||Mb|| =Mb 167.465 ⋅m tonf


2.1 - Seção S1

- determinação do valor da carga distribuída no ponto de S1

altura do retâ ngulo > ≔qS1r =+2 ――tonfm

⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――2 ――tonf

m

5.5 m

⎞⎟⎟⎟⎠

3 m 3.09 1 ――tonfm

altura do triâ ngulo esq > ≔qS1te =-4 ――tonfm

qS1r 0.9 09 ――tonfm

altura do triâ ngulo dir > ≔qS1td =-qS1r 2 ――tonfm

1.09 1 ――tonfm

- Esquerda(T)≔NS1e ⋅4 tonf cos ⎛⎝45 deg⎞⎠ =NS1e 2.828 tonf

≔QS1e ---⋅-4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 6 tonf ⎛⎝ ⋅qS1r 2.5 m⎞⎠⎛⎜⎝―――――⋅qS1te 2.5 m

2

⎞⎟⎠

=QS1e -17.69 2 tonf

≔MS1e ---⋅⋅-4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 4 m ⋅6 tonf 1.5 m ⋅⎛⎜⎝―――――⋅qS1te 2.5 m

2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―23

2.5 m⎞⎟⎠

⋅⎛⎝ ⋅qS1r 2.5 m⎞⎠⎛⎜⎝

⋅―12

2.5 m⎞⎟⎠

=MS1e -31.867 ⋅tonf m

- Direita(T)≔NS1d -⋅8 tonf cos ⎛⎝60 deg⎞⎠ Hb =NS1d 2.828 tonf

≔QS1d -++⎛⎜⎝――――⋅qS1td 3 m

2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

⋅8 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb =QS1d -17.69 2 tonf

≔MS1d -+---⎛⎜⎝――――⋅qS1td 3 m

2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―13

3 m⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

3 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―12

3 m⎞⎟⎠

⋅⋅8 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 4.5 m ⋅Vb 5.5 m Mb

=MS1d -31.867 ⋅tonf m


2.2 - Seção S2

- determinação do valor da carga distribuída no ponto de S2

altura do retâ ngulo > ≔qS2r =+2 ――tonfm

⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――2 ――tonf

m

5.5 m

⎞⎟⎟⎟⎠

2 m 2.727 ――tonfm

altura do triâ ngulo esq > ≔qS2te =-4 ――tonfm

qS2r 1.273 ――tonfm

altura do triâ ngulo dir > ≔qS2td =-qS2r 2 ――tonfm

0.727 ――tonfm


≔QS2e ---⋅-4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 6 tonf ⎛⎝ ⋅qS2r 3.5 m⎞⎠⎛⎜⎝―――――⋅qS2te 3.5 m

2

⎞⎟⎠

=QS2e -20.601 tonf

≔MS2e ---⋅⋅-4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 5 m ⋅6 tonf 2.5 m ⋅⎛⎜⎝―――――⋅qS2te 3.5 m

2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅―23

3.5 m⎞⎟⎠

⎛⎝ ⋅qS2r 3.5 m⎞⎠⎛⎜⎝

⋅―12

3.5 m⎞⎟⎠

=MS2e -51.044 ⋅tonf m


≔QS2d -++⎛⎜⎝――――⋅qS2td 2 m

2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

⋅8 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb =QS2d -20.601 tonf

≔MS2d -+--⋅-⎛⎜⎝――――⋅qS2td 2 m

2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝―13

2 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

2 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝―12

2 m⎞⎟⎠

⋅⋅8 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 3.5 m ⋅Vb 4.5 m Mb

=MS2d -51.044 ⋅tonf m

2.3 - Seção S3


≔QS3e ---⋅-4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 6 tonf

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

5.5 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

5.5 m⎞⎟⎠

=QS3e -25.328 tonf

≔MS3e ---⋅⋅-4 tonf sin ⎛⎝45 deg⎞⎠ 7.5 m ⋅6 tonf 5 m ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝―――――

⋅2 ――tonfm

5.5 m

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

+0.5 m ⋅―23

5.5 m⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⋅2 ――tonfm

5.5 m⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

+0.5 m ―12

5.5 m⎞⎟⎠

=MS3e -109 .880 ⋅tonf m


≔QS3d -⋅8 tonf sin⎛⎝60 deg⎞⎠ Vb =QS3d -25.328 tonf≔MS3d -+⋅⋅-8 tonf sin ⎛⎝60 deg⎞⎠ 1 m ⋅Vb 2 m Mb =MS3d -109 .880 ⋅tonf m

1. Determinação das Reações de Apoio · 2019. 3. 26. · Lista de Exercícios da Apostila...

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