1 Chapter 4. Generating Function( 生成函數 ) 4.1 簡介 4.2 組合 4.3 排列 4.4 相同 box 4.5...
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1
Chapter 4. Generating Function(生成函數 )
4.1 簡介 4.2組合 4.3排列 4.4相同 box 4.5 Partition 4.6 Ferrers graph
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4.1 簡介
不選 c 選 c 選一個 object 選二個 選三個
(1 + ax)(1 + bx)(1 + cx) = 1 + (a + b + c)x + (ab + bc + ca)x2 + abcx3
不選 a 選 a 不選 b 選 b
xi之係數表選 object i個的情形 ?
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4.1 簡介
Ordinary generating function:F(x) = a0u0(x) + a1u1(x) + … + arur(x) + …
indicator function必須滿足 : 沒有不同的 sequence (a0, a1, …),有相同 F(x)值
F(x) = a0• 1 + a1(1 + x) + a2(1 – x) + a3(1 + x2) + …
則 sequences (1 3 7 0 0)與(3 2 6 1 1)
F(x) = 1 + 3(1 + x) + 7(1 – x) = 11 – 4x
F(x) =3 + 2(1 + x) + 6(1 – x) = 11 – 4x 有相同之 F(x)值
則此 indicator function 不合
最常使用的 ur(x)為 xr
即 F(x) = a0 + a1x + … + arxr + …
例如:
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4
4.2 組合
(1 + ax)(1 + bx)(1 + cx)
令 a = b = c = 1
(1 + x)(1 + x)(1 + x) = 1 + 3x + 3x2 + x3
若為 ordinary generating function ordinary enumerator
(1+x)n = c(n, 0) + c(n, 1)x + … + c(n, n)xn
xr之係數為 c(n, r)
選出 r個 object之個數
令 x = 1可推出
2n = c(n, 0) + … + c(n, n)
令 x = -1可推出
...)()(...)()( n3
n1
n2
n0
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5
4.2 組合
例 1. 証明
)()...()...()()( 2nn
2nn
2nr
2n1
2n0
例 2.
The number of 8-digit binary sequences which are such that the number 0’s
in the first 4 digits of a sequences is equal to the number of 0’s in the last 4
digits of the sequences is
例 3.證明
1nnn
nr
n2
n1 n2)n( ...)r(...)2()(
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6
4.2 組合
例 4.證明
1nnnn
nr
n1
n0 n22)1)((n...)1)((r...)2()(
例 5.
Show that the ordinary generating function of the sequences
.)..)...()()(( 2rr
42
21
00 is 2
1
4x)(1
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4.2 組合
重覆組合
(1) (1 + ax + a2x2) (1 + bx) (1 + cx)
不選 a 選一個 a 選 2個 a
enumerator (1 + x + x2) (1 + x) (1 + x) = 1 + 3x + 4x2 + 3x3 + x4
(2) (1 + ax) (1 + a2x) (1 + bx) (1 + cx)
不選 a 選 a 不選 a2 選 a2
相當於
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8
4.2 組合
重覆組合
例 1. Given two each of p kinds of objects and one each of q additional kinds of
objects, in how many ways can r objects be selected?
例 2. 2種物件,每種 2個,另 1種物件每種 3個,選出 5個物件的方法?
例 3. 求 n個物件重覆選出 r個之 ordinary enumerator
例 4 . 5個相同的球放入 2個不同 box,box為 1~3個球,則有多少種?
例 5:r個相同的球,放入 2個不同 box,一個 box為 1~3球,另一個 2~4球,若3 r 7則有多少種?
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4.2 組合
重覆組合
例 6. r個相同的球,放入 n個不同的 box每個 box的球介於 9 ~ 9 + z - 1個
例 7. [高考 86] 擲骰子 4次,和為 17之方法有多少種?
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10
4.3 排列組合時:F(x) = C(n, 0) + C(n, 1)x + …+ C(n, r)xr + C(n, n)xn
=(1 + x)n
排列 F(x) = p(n, 0) + p(n, 1)x + …+ p(n, n)xn
沒有 close form
another way
nrn xn
nnpx
r
rnpx
npx
npx
!
),(...
!
),(...
!2
)2,(
!1
)1,(1)1( 2
令 F(x) = ...)(!
...)(!1
)(!0 1
10
0 xur
axu
axu
ar
r
為 exponential generating function
*exponential enumerator
(1 + x)n的!r
x r
係數為 P(n, r)
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4.3 排列例 1.(a)求(p(0, 0), p(2, 1), …p(2r, r)…)之 exponential generating function.
0 0 0
),2(!!
)!2(
!
),2(
i i i
iii xiiCxii
ix
i
iip
2
1
)41(
x
(b) 求(1, 1, …1, …)之 exponential generating function
xexx ...!2
1
!1
11 2
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4.3 排列
(c) 求(1, -1, 1, -1,…1, -1,…)之 exponential generating function
xexx ...!2
1
!1
1-1 2
(d) 求(1, 0, 1, 0,…1, 0,…)之 exponential generating function
2/)( xx ee
(e) 求(0, 1, 0, 1,…0, 1,…)之 exponential generating function
2/)( xx ee
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4.3 排列一種物件,每種一個排列之 exponential enumerator為
1+ x
不選 選
n種物件每種一個排列之 exponential enumerator
(1+x) (1+x) …(1+x) = (1+x)n
一種物件,有 p個(相同)之 exponential enumerator
pxp
xx!
1...
!2
1
!1
11 2
例 2有(p + q)個物件,其中 P個一類,q個為另一類,選出 r個排列,其 exponential
enumerator為何?
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4.3 排列類 2.2.有 5個物件,2個一類,另 3個一類,則選出 5個排列的方法有多少種?
例 3. n個物件重覆取出 r個排列之 exponential enumerator?
[解法]
0
2
!)(...)
!2
11(
r
rr
nxnxn xr
neexx
例 4. Find the number of r-digit quaternary sequences in which each of the digits 1, 2,
and 3 appears at least once.
例 5. Find the number of r-digit quaternary (0,1 ,2 ,3 ) sequences that contain an even
number of 0’s
例 6. r個或小於 r個不同的球放入 n個 boxes且 order要考慮
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4.4 相同 box
S(r, n): r個不同的球放入 n個相同的 box且 no box is empty, r n
導法: r個不同的球放入 n個不同的 box且 no box is empty
n
ba
xn ex
x )1(...)!2
(2
∵
0 0
)()()(i
n
i
iinni
inini
n bababa
0 0
0 0
0
))(()1(!
))(!
1()1)((
)()1)((
r
n
i
rni
ir
n
i r
rrini
i
inxini
inr
x
xinr
e
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4.4 相同 box
令
n
i
rni
i in0
))(()1( = n!S(r, n)
∴ S(r, n)
n
i
rni
i rnn
def
0
))(()1(!
1
Stirling number of the second kind
例1. r個不同的球放入 n個相同的 box,但 box允許空的
1)1( xee 之!r
x r
之係數
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17
4.5 Partition
4之 partition
1111
112
22
13
4
a partition of the integer n
n 個相同的球放入 n個相同的 box, 且 box可以為空
1+2+3+2+1
2
42
63
1
1
1
xx
xx
xx
x
x
2
22
3x
o
o o o
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18
4.5 Partition
係數之 111
1
1111
2
3422
nn
n
xxxx
xxxxxxxF
若 r 個相同的球放入 n 個相同的 box 且 box 至多有 3 個球 :
係數之 111
1
32rx
xxxxF
partition the integer r such that the parts do not exceed 3.
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19
4.5 Partition
例1. 將整數 n分割, 且每個分割均為奇數
n 個相同的球, 放入 n個相同的 box, box容量 0, 1, 3, 5, 例2. [證明 : 整數 n 分割(part)成奇數分割(odd parts) = 整數 n 分割成不同分
割(distinct parts)
例3. 證明 : 任何整數之二進位表示法唯一
例 4. 證明任何整數之十進位表示法唯一
Find a generating function for the number of partitions of the integer n into summands where (a) each summand must appear an even number of times(b) Each summand must be even
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20
4.6 Ferrers graph
consists of rows of dotsThe dots are arranged in such a way that an upper row has at least as many dots as lower row.
6
3
3
2
111344
partition 2336
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21
4.6 Ferrers graph From Ferrers graph, 一個整數分成 m 部分等於分成的各部分的最大值 m
24
1122
114
1113
一個整數分成最多 m 部分
= 分成的各部分值 m
一個整數分成剛好 m 部分之 ordinary enumerator
m
m
mm
xx
x
xxxxxx
11
111
1 -
111
1122
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22
4.6 Ferrers graph
一個整數 n分成剛好 m 個不同 parts
+ (m-1) dots
+(m-2) dots
(m-3)
.
. .
. 1
0
2
1
mmn n
parts m 個不同
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23
4.6 Ferrers graph
整數
2
1
mmn 分成 m parts
11對 整數 n 分成 m 個不同 parts
係數之 11
2
1n
mm
m
m
xxxx
x