1

Chapter 4. Generating Function(生成函數 )

4.1 簡介 4.2組合 4.3排列 4.4相同 box 4.5 Partition 4.6 Ferrers graph

2

4.1 簡介

不選 c 選 c 選一個 object 選二個 選三個

(1 + ax)(1 + bx)(1 + cx) = 1 + (a + b + c)x + (ab + bc + ca)x2 + abcx3

不選 a 選 a 不選 b 選 b

xi之係數表選 object i個的情形 ?

3

4.1 簡介

Ordinary generating function：F(x) = a0u0(x) + a1u1(x) + … + arur(x) + …

indicator function必須滿足 : 沒有不同的 sequence (a0, a1, …)，有相同 F(x)值

F(x) = a0• 1 + a1(1 + x) + a2(1 – x) + a3(1 + x2) + …

則 sequences (1 3 7 0 0)與(3 2 6 1 1)

F(x) = 1 + 3(1 + x) + 7(1 – x) = 11 – 4x

F(x) =3 + 2(1 + x) + 6(1 – x) = 11 – 4x 有相同之 F(x)值

則此 indicator function 不合

最常使用的 ur(x)為 xr

即 F(x) = a0 + a1x + … + arxr + …

例如：

4

4.2 組合

(1 + ax)(1 + bx)(1 + cx)

令 a = b = c = 1

(1 + x)(1 + x)(1 + x) = 1 + 3x + 3x2 + x3

若為 ordinary generating function ordinary enumerator

(1+x)n = c(n, 0) + c(n, 1)x + … + c(n, n)xn

xr之係數為 c(n, r)

選出 r個 object之個數

令 x = 1可推出

2n = c(n, 0) + … + c(n, n)

令 x = -1可推出

...)()(...)()( n3

n1

n2

n0

5

4.2 組合

例 1. 証明

)()...()...()()( 2nn

2nn

2nr

2n1

2n0

例 2.

The number of 8-digit binary sequences which are such that the number 0’s

in the first 4 digits of a sequences is equal to the number of 0’s in the last 4

digits of the sequences is

例 3.證明

1nnn

nr

n2

n1 n2)n( ...)r(...)2()(

6

4.2 組合

例 4.證明

1nnnn

nr

n1

n0 n22)1)((n...)1)((r...)2()(

例 5.

Show that the ordinary generating function of the sequences

.)..)...()()(( 2rr

42

21

00 is 2

1

4x)(1

7

4.2 組合

重覆組合

(1) (1 + ax + a2x2) (1 + bx) (1 + cx)

不選 a 選一個 a 選 2個 a

enumerator (1 + x + x2) (1 + x) (1 + x) = 1 + 3x + 4x2 + 3x3 + x4

(2) (1 + ax) (1 + a2x) (1 + bx) (1 + cx)

不選 a 選 a 不選 a2 選 a2

相當於

8

4.2 組合

重覆組合

例 1. Given two each of p kinds of objects and one each of q additional kinds of

objects, in how many ways can r objects be selected?

例 2. 2種物件，每種 2個，另 1種物件每種 3個，選出 5個物件的方法?

例 3. 求 n個物件重覆選出 r個之 ordinary enumerator

例 4 . 5個相同的球放入 2個不同 box，box為 1~3個球，則有多少種?

例 5：r個相同的球，放入 2個不同 box，一個 box為 1~3球，另一個 2~4球,若3 r 7則有多少種?

9

4.2 組合

重覆組合

例 6. r個相同的球，放入 n個不同的 box每個 box的球介於 9 ~ 9 + z - 1個

例 7. [高考 86] 擲骰子 4次，和為 17之方法有多少種?

10

4.3 排列組合時：F(x) = C(n, 0) + C(n, 1)x + …+ C(n, r)xr + C(n, n)xn

=(1 + x)n

排列 F(x) = p(n, 0) + p(n, 1)x + …+ p(n, n)xn

沒有 close form

another way

nrn xn

nnpx

r

rnpx

npx

npx

!

),(...

!

),(...

!2

)2,(

!1

)1,(1)1( 2

令 F(x) = ...)(!

...)(!1

)(!0 1

10

0 xur

axu

axu

ar

r

為 exponential generating function

*exponential enumerator

(1 + x)n的!r

x r

係數為 P(n, r)

11

4.3 排列例 1.(a)求(p(0, 0), p(2, 1), …p(2r, r)…)之 exponential generating function.

0 0 0

),2(!!

)!2(

!

),2(

i i i

iii xiiCxii

ix

i

iip

2

1

)41(

x

(b) 求(1, 1, …1, …)之 exponential generating function

xexx ...!2

1

!1

11 2

12

4.3 排列

(c) 求(1, -1, 1, -1,…1, -1,…)之 exponential generating function

xexx ...!2

1

!1

1-1 2

(d) 求(1, 0, 1, 0,…1, 0,…)之 exponential generating function

2/)( xx ee

(e) 求(0, 1, 0, 1,…0, 1,…)之 exponential generating function

2/)( xx ee

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4.3 排列一種物件，每種一個排列之 exponential enumerator為

1+ x

不選 選

n種物件每種一個排列之 exponential enumerator

(1+x) (1+x) …(1+x) = (1+x)n

一種物件，有 p個(相同)之 exponential enumerator

pxp

xx!

1...

!2

1

!1

11 2

例 2有(p + q)個物件，其中 P個一類，q個為另一類，選出 r個排列，其 exponential

enumerator為何?

14

4.3 排列類 2.2.有 5個物件，2個一類，另 3個一類，則選出 5個排列的方法有多少種?

例 3. n個物件重覆取出 r個排列之 exponential enumerator?

[解法]

0

2

!)(...)

!2

11(

r

rr

nxnxn xr

neexx

例 4. Find the number of r-digit quaternary sequences in which each of the digits 1, 2,

and 3 appears at least once.

例 5. Find the number of r-digit quaternary (0,1 ,2 ,3 ) sequences that contain an even

number of 0’s

例 6. r個或小於 r個不同的球放入 n個 boxes且 order要考慮

15

4.4 相同 box

S(r, n): r個不同的球放入 n個相同的 box且 no box is empty, r n

導法: r個不同的球放入 n個不同的 box且 no box is empty

n

ba

xn ex

x )1(...)!2

(2

∵

0 0

)()()(i

n

i

iinni

inini

n bababa

0 0

0 0

0

))(()1(!

))(!

1()1)((

)()1)((

r

n

i

rni

ir

n

i r

rrini

i

inxini

inr

x

xinr

e

16

4.4 相同 box

令

n

i

rni

i in0

))(()1( = n!S(r, n)

∴ S(r, n)

n

i

rni

i rnn

def

0

))(()1(!

1

Stirling number of the second kind

例1. r個不同的球放入 n個相同的 box,但 box允許空的

1)1( xee 之!r

x r

之係數

17

4.5 Partition

4之 partition

1111

112

22

13

4

a partition of the integer n

n 個相同的球放入 n個相同的 box, 且 box可以為空

1+2+3+2+1

2

42

63

1

1

1

xx

xx

xx

x

x

2

22

3x

o

o o o

18

4.5 Partition

係數之 111

1

1111

2

3422

nn

n

xxxx

xxxxxxxF

若 r 個相同的球放入 n 個相同的 box 且 box 至多有 3 個球 :

係數之 111

1

32rx

xxxxF

partition the integer r such that the parts do not exceed 3.

19

4.5 Partition

例1. 將整數 n分割, 且每個分割均為奇數

n 個相同的球, 放入 n個相同的 box, box容量 0, 1, 3, 5, 例2. [證明 : 整數 n 分割(part)成奇數分割(odd parts) = 整數 n 分割成不同分

割(distinct parts)

例3. 證明 : 任何整數之二進位表示法唯一

例 4. 證明任何整數之十進位表示法唯一

Find a generating function for the number of partitions of the integer n into summands where (a) each summand must appear an even number of times(b) Each summand must be even

20

4.6 Ferrers graph

consists of rows of dotsThe dots are arranged in such a way that an upper row has at least as many dots as lower row.

6

3

3

2

111344

partition 2336

21

4.6 Ferrers graph From Ferrers graph, 一個整數分成 m 部分等於分成的各部分的最大值 m

24

1122

114

1113

一個整數分成最多 m 部分

= 分成的各部分值 m

一個整數分成剛好 m 部分之 ordinary enumerator

m

m

mm

xx

x

xxxxxx

11

111

1 -

111

1122

22

4.6 Ferrers graph

一個整數 n分成剛好 m 個不同 parts

+ (m-1) dots

+(m-2) dots

(m-3)

.

. .

. 1

0

2

1

mmn n

parts m 個不同

23

4.6 Ferrers graph

整數

2

1

mmn 分成 m parts

11對 整數 n 分成 m 個不同 parts

係數之 11

2

1n

mm

m

m

xxxx

x