1

1

CAMPI ELETTRICI STATICI

(o ELETTROSTATICA)

teoria

2

L’elettrostatica studia i campi dovuti a cariche elettriche

(sorgenti) a riposo (fisse nello spazio).

L’elettrostatica studia il campo più semplice, ma ha una

importanza fondamentale per comprendere i modelli

elettromagnetici più complessi e generali.

Sono basati sulla elettrostatica la spiegazione di molti fenomeni

naturali come:

✓ fulmini (lightining), effetto corona, St. Elmo fire, grain

explosion

✓ I principi di diverse applicazioni industriali come:

l’oscilloscopio, ink-jet printer, xerografy e electret

microphone

Elettrostatica

3

La teoria dei campi elettrostatici è finalizzata a definire le relazioni

che legano tra loro:

• la distribuzione delle cariche sui conduttori e dielettrico

interposto

• la configurazione geometrica e la natura dei conduttori e

dielettrici

• le differenze di potenziale fra i conduttori

• la distribuzione del campo nel dielettrico.

Si tratta essenzialmente della risoluzione di un problema

all’equilibrio.

L’elettrostatica

4

la studio del campo elettrostatico è fondamentale per determinare:

•la capacità fra conduttori C

•La rigidità dielettrica (gradiente massimo di isolamento),

•il valore del campo fra le placche di deflessione in un

oscilloscopio

•la schermatura della griglia di un tubo a vuoto

•il campo agente su elettroni e lacune di un transistore

•la forza di accelerazione che agisce su un elettrone in un cannone

elettronico.

Elettrostatica

La carica elettrica (q o Q) a è una proprietà fondamentale della

materia ed esiste come multiplo positivo o negativo della carica

elettrica elementare di un elettrone [C] 1060.1 19e

Carica elettrica

Si definisce densità di carica volumica la quantità di carica in un

volume infinitesimo v :

In alcune situazioni fisiche una quantità di carica q può essere

identificata con un elemento di superficie s o di linea l , in questi

casi si definisce la densità di carica superficiale s :

o la densità di carica lineare l :

][C/m Δv

Δqlimρ

3

0Δv

][C/m Δs

Δqlimρ

2

0Δss

[C/m] Δl

Δqlimρ

0Δll

5

[A] o [C/s] dt

dqI

S

sdJI

J

Corrente elettrica

6

Perciò J misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l’unità

di superfice ed è misurata in A/m2.

7

Lo sviluppo dell’elettrostatica inizia con la legge di Coulomb,

espressa dalla relazione:

Q1 e Q2 sono di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza di

separazione R12, ha:

• il modulo proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente

proporzionale alla distanza R12,

• la direzione lungo la linea di connessione delle cariche e

• il verso tale che le cariche di natura diversa si attraggono e le

cariche uguali si respingono.

N R

Q QK a F

2

12

21R12 12

R12 R12

+Q1+Q2

+Q1

-Q2

12F

12F

12F

12F

Legge di Coulomb

8

E

q 0 lim

q

N

C

FE

Il caso più semplice si ha per campo elettrostatico dovuto ad una

carica q fissa nello spazio vuoto e illimitato

Campo Elettrico

2

0

q V

4 ε mRE

R

R RE a a

ത𝐄 ha la stessa direzione della forza

elettrostatica che agisce sulla carica

test

9

Campo Elettrico

Campo elettrostatico nel punto P dovuto ad una carica q non

localizzata nell’origine:

9

3

R R'

R R'

l'espressione del campo diventa:

R R'

4 R R'

Pq

o

q V

m

P

a

E

E

q

o

x

y

z

RPqa'RR

'R

Pds

2

4 'qP

o

qa

R R

PE

'

3'

1

1 V

4 m

kn k

P

kok

q R R

R R

ECampo elettrico dovuto a un

insieme discreto di cariche

q1, q2,,…,qn:

10

S

2 2o S'

ρ1 V C ds' con

4π R m m

RE a

2 3

0 V'

1 ρ dv' V C con

4 R m m

RΕ a

Campo Elettrico

✓ Superficie finita:

✓ Lunghezza finita:

✓ Volume finito:

Il campo dovuto a una distribuzione continua di carica di densità si può ottenere integrando (sovrapponendo) i contributi di ciascuna

carica elementare dq:

2

4 o

dqd

πε R RE a

2 2o S'

ρ1 V C d ' con

4π R m m

RE a

11

vuoto nel tàpermettivi la é ε

volumica carica di densità la é ρ :dove

ε

ρEE div I)

00

0EE rot II)

Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto

12

Il I° postulato esprime analiticamente che il flusso del campo

elettrico elettrico che passa attraverso una superficie chiusa é

esattamente uguale alle cariche contenute in quella superficie

diviso ε0.

Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto

sdEdv ESV

0Sε

QsdE

dv ρε

1dv E

ε

ρEE div

V0V0

Da cui:

Per il teorema della divergenza

che rappresenta la legge di Gauss : il flusso totale di un campoelettrico nel vuoto attraverso una superficie chiusa è uguale allacarica totale racchiusa nella superficie diviso 0.

13

Forma differenziale Forma integrale

0ε

ρE

0S

QsdE

Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto

14

Il II° postulato esprime, come si può verificare empiricamente che:

❖ L’energia di un campo elettrostatico in un dato istante dipende

solo dal valore e dalla posizione delle cariche in quell’istante e

non dipende da come esse si sono evolute.

❖ Facendo percorrere ad una carica un percorso chiuso, non si

compie nessun lavoro (proprietà conservativa del campo

elettrostatico)

Analiticamente questi concetti possono essere espressi da:

E 0

Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto

S C

E ds E dl 0

applicando il teorema di Stokes si ha:

15

Un altro modo per dire che il campo è irrotazionale è che

l’integrale lineare del campo lungo un qualunque percorso chiuso

è uguale a zero, ossia è indipendente dal percorso e dipende solo

dai punti estremi del percorso:

P1

P2

C1

C2

1

2

2

1

21

ldEldE

0ldEldE

P

P

P

P

CC

Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto

16

0V) ( E

( V)S C

d s V dl

0C C

V dl dV V dl dV

Potenziale Elettrico

LKV

17

C curva alla tangende della direzione nella V di variazione la è ldV

dVdzz

Vdy

y

Vdx

x

V

dzaz

Vadya

y

Vadxa

x

Va

dzaz

Vadya

y

Vadxa

x

Va

dzaz

Vadya

y

Vadxa

x

Va

dzadyadxaVz

Va

y

Va

x

VadlV

dzadyadxadl V,z

ay

ax

aV

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

zyxzyx

Potenziale Elettrico

18

Poiché le grandezze scalari sono più facili da trattare rispetto a

quelle vettoriali, si definisce il potenziale elettrico scalare V tale

che:

e a calcolare il campo attraverso l’operatore gradiente.

Significato fisico: equivale al lavoro fatto per trasportare una

carica unitaria da un punto a distanza infinita alla posizione del

punto P del campo, in senso contrario alla direzione del campo

(contro il campo elettrico):

VE

V

P

PP ldEVVV

Potenziale Elettrico

Per convenzione si assume V∞=0

19

La differenza di potenziale tra i punti P1 e P2 è il lavoro fatto per

trasportare una carica unitaria da un punto P1 ad un altro P2 del

campo, in senso contrario a quello del campo:

Esso non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni dei puntiE

P1

P2C1

C2

2

1

2 1

N m o V

C

P

P

W JV V E dl

q C

Differenza di potenziale

20

Potenziale Elettrico

21

Lungo le linee equipotenziali la differenza di potenziale è nulla, in

quanto la forza di campo non compie nessun lavoro essendo la

forza perpendicolare al trattino dl in ciascun punto.

Lungo il percorso P1- P3 il lavoro è uguale a zero

Lungo il percorso P3-P2 il lavoro è diverso da zero.

Potenziale Elettrico

q

P1

P2

P3

V(P1)=V(P3)>V(P2):

•da P3 a P2 è campo elettrico a compie

lavoro

•da P2 a P3 dobbiamo compiere lavoro

contro il campo elettrico

•Per portare una carica dal ∞ a P3

dobbiamo compiere un lavoro maggiore

di quello necessario per portarla in P2

22

✓ Il potenziale elettrico in un punto P, a distanza R, dovuto ad

una carica puntiforme q, riferito all’infinito, si può determinare

dalla equazione:

2 2

0 0

10

4 4 4 4

R R R

R R

o o

q q qV E d R a a dR dR V

R R πε R πε R

Potenziale Elettrico

✓ La differenza di potenziale tra due punti P2 e P1 alla distanza

R2 e R1 rispettivamente dalla carica q è:

N

k

k 1o

q1V V

4π R k

Se abbiamo un sistema di cariche

q1, q2,,…,qn

2 2

21 22 11 1 0 2 1

1 1

4 4

P R

P PP R

o

q qV V V E d R dR V

R πε R R

Se q è positiva e R2>R1 VP2<VP1

Se q è negativa e R2>R1 VP2>VP1

✓ Superficie finita:

23

✓ lunghezza finita:

V dv' R

ρ

4π

1V

V'0

V ds' R

ρ

4π

1V

S'0

S

V dl' R

ρ

4π

1V

L'

l

0

Potenziale Elettrico

✓ Volume finito:

Il potensiale dovuto a una distribuzione continua di carica di

densità si può ottenere integrando (sovrapponendo) i contributi

di ciascuna carica elementare dq:

con 4 o

dqdV dq ρ dv'

πε R

24

forma differenziale Forma integrale

Legge di Gauss nel vuoto

0ε

ρE

0S

QsdE

0E 0ldEC

0S

QsdE

Postulati dell’elettrostatica nel vuoto

25

La classificazione dei materiali in base alle loro proprietà

elettriche è la seguente:

•conduttori

•semiconduttori

• isolanti o dielettrici

Tutti questi materiali sono composti da atomi.

La rappresentazione schematica del modello atomico è di un

nucleo di cariche positive con le cariche negative degli elettroni

che orbitano intorno.

Materiali nei campi elettrostatici

26

Nei conduttori gli elettroni delle orbite più esterne sono

debolmente vincolati alle loro orbite e migrano facilmente da un

atomo all’altro.

Negli isolatori o dielettrici in condizioni normali sono vincolati

fortemente alle loro orbite ed è necessario applicare un campo

esterno perché gli elettroni migrino.

Le proprietà elettriche dei semiconduttori stanno tra quelle dei

conduttori e quelle degli isolatori, essi possiedono un numero

limitato di cariche mobili libere.

Materiali nei campi elettrostatici

27

Un conduttore può essere caricato per contatto o per

induzione.

In condizioni di equilibrio:

✓ se un conduttore è stato caricato negativamente gli elettroni

in eccesso si portano in superficie

✓ se un conduttore è stato caricato positivamente gli atomi

sprovvisti degli elettroni sottratti si trovano in superficie.

Conduttori carichi nei campi elettrostatici

28

Conduttore carico per induzione

Si consideri un campo elettrostatico, generato da due corpi

conduttori carichi A (con carica +Q) e B (con carica -Q) e sia

C un conduttore, non caricato in precedenza.

BA

C+Q -Q

-

-

-

+

+

+-q +q

Conduttori carichi nei campi elettrostatici

La superficie esterna del conduttore C partono e arrivano linee

di forza (o di flusso) in numero uguale, essendo nulle le somme

delle cariche indotte positive +q e negative -q.

29

Conduttore carico per contato

Se si considerano due (o più conduttori) collegati da un filo

conduttore ideale, essi avranno lo stesso potenziale

QRR

RQ e Q

RR

RQ QQQ

21

22

21

1121

Q1 Q2

R1

R2

Conduttori nei campi elettrostatici

1 2 1 21 2 1 2

0 1 0 2 1 2

2

1 1 1

2

2 2 2

1 2 1 2 1 1

2 1 2 1 2 2

1 1 V V

4 4

4per superficie sferica con densità superficiale di carica

4

dal momento che

Q Q Q QV se V

R R R R

Q R

Q R

R E R E

R E R E

In generale: la densità di carica e il campo elettrico sono

inversamente proporzionali al raggio di curvatura

se

30

Conduttori carichi nei campi elettrostatici

0S

QsdE

E

31

In condizioni di equilibrio:

0E

0ρ

Conduttori carichi nei campi elettrostatici

Le cariche sulla superficie del conduttore sono fisse: ciò equivale

a dire che le componenti tangenziali del campo elettrico sono

nulle:

✓ Il campo in tutti i punti della superficie del conduttore risulta

ovunque normale alla superficie.

✓ In condizioni statiche la superficie di un conduttore è una

superficie equipotenziale.

✓Poiché E=0 in tutti i punti all’intero del conduttore si ha lo

stesso potenziale elettrico V.

All’interno del conduttore

32

Se si considera in un conduttore (carico) cavo una circuitazione l

che taglia la superficie interna nei punti A e B, si ha: nel tratto

AB d i l interna al conduttore il campo Econd=0. Se di ipotizza

per assurdo una distribuzione di cariche sulla superficie interna

del conduttore la circuitazione del campo elettrico risulterebbe:

0 A

B

cavità

A

B

cavità

B

A

cond

l

ldE 0ldE ldEldE

Schermo elettrostatico

in contraddizione con la

proprietà di conservatività del

campo. Perciò non ci può essere

distribuzione di carica nella

superfice interna del conduttore

cavo.

A B+

+

+

-

-

-

33

Si consideri un corpo conduttore 1 all’interno del conduttore

cavo 2. Poiché non ci possono essere cariche sulla superficie

interna di una cavità, il campo nella cavità deve essere nullo.

Quindi se un conduttore è cavo il campo elettrico all’interno di

esso è nullo e il potenziale è costante in tutti i punti del

conduttore, ma anche in quelli interni alla cavità, ossia

l’involucro metallico può essere adoperato per sottrarre la parte

di spazio da esso delimitata, all’influenza di campi elettrici

esterni (schermo elettrostatico).

Schermo elettrostatico

1

2

34

Superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto

Componente tangenziale del campo

si calcoli la circuitazione del campo elettrostatico lungo il contorno abcda, avente:

• larghezza: ab=cd=w

• altezza: bc=da= h con h0 (contributi nullo dei tratti bc e da)

• Il campo nullo nel conduttore (tratto della circuitazione cd)

a

b

cd

w

h conduttore

spazio vuoto

s

EnnEaS

0E 0 ΔwEldEldE tt

ababcda

Condizioni al contorno

35

la componente normale del campo:

si applica il teorema di Gauss, considerando una superficieGaussiana, con la superficie superiore nello spazio vuoto equella inferiore nel conduttore (come riportato in figura).

Nella superficie di separazione tra il conduttore e lo spaziovuoto:

•la componente tangenziale del campo è nulla

•la componente normale del campo è uguale alla densità dicarica superficiale diviso per la permettività dello spazio vuoto.

0

sn

0

sn

S

E

S ΔS EsdE

0S

QE d s

Condizioni al contorno

36

Quando un conduttore è posto in un campo elettrostatico, questo

fa si che gli elettroni all’interno del conduttore si muovano in

direzione opposta a quella del campo e le cariche positive in

direzione concorde con quella del campo. Le cariche si

distribuiranno sulla superficie esterna del conduttore in maniera

tale:

• creare un campo indotto all’interno del conduttore tale da

annullare il campo esterno

• annullare il campo in direzione tangenziale alla sua superficie

Quando le cariche raggiungono una condizione di equilibrio, il

conduttore è di nuovo un corpo equipotenziale

0E t o

snE

Conduttori nei campi elettrostatici

37

I dielettrici ideali non contengono cariche libere. Quando un

corpo dielettrico è posto all’interno di un campo elettrostatico,

non ci sono cariche libere indotte che si muovono da un atomo

all’altro come nei conduttori.

Poiché i dielettrici contengono cariche vincolate queste agiscono

sul campo elettrico.

Un campo elettrico agisce sul dielettrico in due modi diversi:

1. polarizzazione per deformazione elettronica

2. polarizzazione per orientamento.

Dielettrici nel campo elettrostatico

38

Polarizzazione per deformazione elettronica:

consiste in uno spostamento relativo delle orbite

degli elettroni periferici degli atomi rispetto al

nucleo e nella loro deformazione.

Dielettrici nel campo elettrostatico

Polarizzazione per orientamento

Si presenta in quei dielettrici in cui le molecole

costituiscono dei bipoli, ma in assenza di campo

esterno, per l’agitazione termica, il materiale risulta

macroscopicamente neutro. In presenza di un campo

esterno i dipoli si orientano contrastando e

modificando il campo elettrico sia all’interno che

all’esterno del materiale dielettrico.

In entrambi i casi il campo prodotto dai dipoli

elettrici è di segno contrario al campo principale

esterno.

39

Alcuni materiali dielettrici: electrets conservano una polarizzazione

permanente anche quando il campo si annulla, ossia cessa la causa che

ha generato la polarizzazione.

Questi materiali si ottengono ponendo certe cere o materiali plastici in

un campo elettrico, dopo averli precedentemente scaldati.

Gli electrets sono materiali che presentano un comportamento analogo

ai magneti permanenti e hanno trovato una importante applicazione nei

microfoni ad alta fedeltà.

Dielettrici nel campo elettrostatico

40

Per analizzare l’effetto macroscopico dei dipoli indotti, sidefinisce un vettore di polarizzazione o momento elettricospecifico :

• nv é il numero delle molecole per unità di volume

• il numeratore è la somma dei momenti indotti dei bipoli

contenuti in un volume elementare v, d è l’asse del dipolo

P

kp =qd

21

0 lim

m

C

v

p

P

vn

k

k

v

+

-d

punto

Ra R

θkp

Momento elettrico specifico

41

21

0 lim

m

C

v

p

P

vn

k

k

vP

Punto

+

-d

Ra

R

θk

p

Δv

generico bipolo

contenuto nel volume Δv

Il momento del dipolo

di un volume elementare

dv’ è:

pd

'dvPpd

Momento elettrico specifico

42

Con un procedimento analogo alla definizione del potenziale

dovuto a una distribuzione di carica elementare volumica:

il potenziale elettrostatico dovuto un volume elementare dv’ è :

Il potenziale dovuto al dielettrico polarizzato in un volume finito

V’ sarà:

dove R è la distanza dal punto stabilito dal baricentro del volume

v’

R R

2 2

0 0

a P adV dv '

4π R 4π R

d p

R

2

0 v'

1 P aV dv '

4π R

2

4

rk

o

p a V V

πε R

Il Contributo al potenziale nel

generico punto dal singolo dipolo k è:

Momento elettrico specifico

43

L’intensità del campo elettrico dovuto a una data distribuzione

di cariche in un dielettrico è diversa da quella dello dovuta a

cariche libere nello vuoto.

In presenza di un dielettrico si deve tenere conto della

distribuzione di cariche in esso presenti, perciò il postulato

dell’elettrostatica diventa:

densità volumica delle cariche libere

p densità volumica di polarizzazione.

Pρ con ρρε

1E pp

o

ρ PE ρ PE ε ε

P

ε

ρE :cui da oo

oo

Momento elettrico specifico

44

Per tener conto anche delle sorgenti distribuite nello spazio sorge

l’esigenza di introdurre una delle quattro grandezze fondamentali

per lo studio dei campi elettrostatici:

la densità di flusso elettrico o spostamento elettrico

L’unità di misura dello spostamento elettrico ഥ𝐷 nel S.I. è [C m-2]

(ossia la stessa dimensione della polarizzazione ത𝑃)

Nel caso più generale applicando il principio di sovrapposizione

degli effetti lo spostamento elettrico è espresso dalla somma di

due termini:

1. rappresenta lo spostamento proprio nel vuoto

2. lo spostamento dovuto alla polarizzazione della materia.

D

Eo

P

ρ PEo

2m

C PED o

Spostamento Elettrico specifico

45

L’uso del vettore ഥ𝐷 consente di legare, attraverso l’operatore

divergenza, il campo elettrico e la distribuzione delle cariche libere

in qualsiasi mezzo, senza la necessità di tener conto esplicitamente

della polarizzazione del vettore ത𝑃 o della densità di polarizzazione

di carica libera (di difficile valutazione):

Questa relazione insieme al postulato:

Rappresentano le due equazioni fondamentali dei campi

elettrostatici in un mezzo qualsiasi, dovuti ad una distribuzione a

sorgenti di qualsiasi forma.

30m

C ρD)PE (

m

V 0E

Modello elettrostatico

46

La forma integrale partendo dalla relazione:

si ottiene facendo l’integrale volumico di entrambi i membri:

da cui, applicando il teorema della divergenza:

Questa è l'espressione generale della legge di Gauss:

il flusso totale del vettore ഥ𝐷 attraverso da una qualunque

superficie chiusa, è uguale alla carica libera totale racchiusa dalla

superficie.

3m

C ρD

C dv ρdv DVV

C QsdDS

Modello elettrostatico

47

Se il dielettrico è isotropo e per esso valgono relazioni lineari, la

polarizzazione è direttamente proporzionale all’intensità del

campo dielettrico esterno che la induce, e la costante di

proporzionalità χe è indipendente dalla direzione del campo:

Un mezzo dielettrico è

• lineare se è indipendente dalla intensità del campo

• omogeneo se è indipendente dalle coordinate spaziali.

Un mezzo si dice mezzo semplice quando è omogeneo, lineare e

isotropo e per esso la suscettività χe è costante.

χ e

χ e

0 e

e

P ε χ E

con χ ( adimensionale)

suscettività elettrica

E

Dielettrici lineari ed isotropi

48

Se il dielettrico è isotropo, sostituendo l’espressione di

in funzione della suscettibilità, nella relazione:

si ottiene:

con:

definita permettività assoluta o permettività e

quantità adimensionale chiamata permettività relativa o costante dielettrica del mezzo.

2om

C PEεD

2roeoeoom

C EεEεε Eχ1εE χεEεD

m

F εεε ro

e 1ε

εε

or

EχεP eo

Dielettrici lineari ed isotropi

49

Se il dielettrico è isotropo: con

essendo:

Si può scrivere:

La legge di Gauss è utile per determinare il campo elettrico in condizioni di simmetria.

2m

C EεD

m

F εεε ro

QsdE QsdDSS

Legge di Gauss per i dielettrici lineari ed isotropi

C Q

sdE S

Modello elettrostatico generale

Le proprietà elettriche del mezzo determinano le relazioni tra il

vettore spostamento elettrico e il campo .

Se il mezzo è lineare, isotropo e omogeneo, è valida la semplice

relazione costitutiva: dove la permettività ε =ε0 εr è uno

scalare.

Quando una carica test q fissa è posta in un punto all’interno di

una regione di spazio dove è presente un campo elettrico ,

questa è sottoposta ad una forza elettrica , che dipende dal

valore del campo e dalla carica:

50

0E

ρD

D E

ED

E

eF

[N]. EqF e

51

Per i materiali anisotropi la costante dielettrica varia con la

direzione del campo e i vettori hanno generalmente

direzioni diverse e la permettività è un tensore. In forma

matriciale:

E ed D

z

y

x

333231

232221

131211

z

y

x

E

E

E

εεε

εεε

εεε

D

D

D

Costante dielettrica

Per i cristalli le coordinate di riferimento possono essere scelte

secondo le direzioni degli assi del cristallo così che i termini della

della matrice della permettività diversi da quelli della diagonale

risultino nulli. I mezzi aventi tali proprietà (ij=0 per ij) sono

detti biassiali (biaxial). Se 1 = 2 , il mezzo è detto uniassiale

(uniaxial). Se 1 = 2 = 3, il mezzo è detto isotropo.

52

Quando il campo elettrico è molto forte attrae fuori dalle molecole

gli elettroni che accelerati collidono violentemente con la struttura

molecolare, causando dislocazioni permanenti e danni alla

materia.

Si verifica un effetto valanga di ionizzazione dovuto alle collisioni

e il materiale dielettrico diventa conduttore e si possono avere

elevate correnti.

Questo fenomeno si chiama rottura del dielettrico.

La rigidità dielettrica del materiale è l’intensità del campo

elettrico che un materiale dielettrico può sostenere, senza che si

verifichi la rottura del dielettrico.

Per l’aria, alla pressione atmosferica, la rigidità dielettrica èkV

3 mm

Rigidità dielettrica

53

Materiale Costante dielettrica Rigidità dielettrica V/m

Aria (pres. atmosferica) 1.0 3×106

Olio minerale 2.3 15×106

Carta 2÷4 15×106

Polistirolo 2.6 20×106

Gomma 2.3 ÷4 25×106

Vetro 4 ÷ 10 30 ×106

Mica 6 200 ×106

Rigidità dielettrica

54

Forma differenziale Forma integrale

Espressione generale della Legge di Gauss

Legge di Gauss per i dielettrici isotropi

0C

ldE

30m

C ρD)PE ( C QsdD

S

C QsdDS

m

V 0E

C S

QsdE

m

C EεD

2

Postulati dell’Elettrostatica

Dielettrico non omogeneo: si consideri una interfaccia tra due mezzi

lineari ed isotropi:

Per determinate la relazione tra le componenti tangenziali del

campo sul contorno si calcola la circuitazione del vettore lungo il

percorso elementare abcda e trascurando i contributi nei tratti

bc = da =h ≈ 0. 55

a

b

cd

w

h mezzo 2

s

mezzo 1

h

S

2D

1D

2E

1E

1na

2na

1

2

E

E

Condizioni al contorno del campo elettrostatico

56

Questo implica che:

che dice che la componente tangenziale del campo è continua

attraverso l’interfaccia.

Se i due mezzi hanno rispettivamente permettività 1 e 2 si ha:

1t 2tE E [V/m]

E

2

2t

1

1t

ε

D

ε

D

21 1t 2t

abcda

E dl E dw E dw E Δw E Δw 0

b d

a c

Condizioni al contorno del campo elettrostatico

E 0 E 0dl

57

Per determinate la relazione tra le componenti normali del campo

sul contorno si applica la legge di Gauss a un cilindretto elementare

con una base nel mezzo 1 e una nel mezzo 2, come riportato in figura.

L’altezza del cilindretto sia trascurabile per cui, applicando la legge

di Gauss, si ha:

dove versori uscenti e rispettivamente normali alle

superfici dei mezzi 1 e 2. Dalla precedente relazione si ottiene che:

n1 n2 n11 2 1n 2n SD ds D a D a ΔS a D ΔS ρ ΔS

S

D

n2n1 ae a

S

2

2n 1nD D ρ [C/m ]

Condizioni al contorno del campo elettrostatico

1 2

ds ds ds

S s s

D D D Q

La relazione: dice che la componente normale diഥ𝐷 è discontinua attraverso l’interfaccia, dove è presente una

carica superficiale e l’entità della discontinuità è uguale alla

densità superficiale di carica. Se i due mezzi hanno

rispettivamente permettività 1 e 2 si ha :

Se il mezzo 2 è un conduttore ഥ𝐷2=0, e l’equazione precedente

diventa:

che diventa: quando il mezzo 1 è lo spazio libero.

58

S1n 2nD D ρ

2

1n 1 1n SD ε E ρ [C/m ]

Sn

o

ρE

ε

S

2

2 2n 1 1nE E ρ [C/m ]

Condizioni al contorno del campo elettrostatico

59

se i due dielettrici sono in contatto senza che ci siano cariche

libere nella interfaccia, S = 0;

In questo caso il campo devia allontanandosi dalla normale alla

superficie, nel mezzo con permettività più elevata.

Riassumendo, in generale per i campi elettrostatici devono essere

soddisfate le seguenti condizioni al contorno:

• componenti tangenziali:

• componenti normali:

1t 2t 2 2

1n 2n

1 2 1 1

D D tanD D e

tan

2t1t EE

S

211ρDDan

1t 2t

1 2

1n 2n

D Dpoichè tan e tan

D D

Condizioni al contorno del campo elettrostatico

60

Un conduttore in un campo elettrostatico è un corpo equipotenziale e

le cariche che giacciono nel conduttore, si distribuiscono sulla sua

superficie in modo tale che il campo elettrico all’interno di esso si

annulli.

Se si aumenta il potenziale V di un fattore k, aumenta anche il

campo dello stesso fattore essendo:

ma poiché:

si ha che necessariamente aumenta la densità di carica e perciò la

carica totale Q. Dunque Q e V aumentano proporzionalmente, e il

loro rapporto rimane invariato. Si può scrivere:

VE

n

o

aε

ρE S

Q CU

Capacità

61

C = Q/U, è chiamata capacità del corpo conduttore isolato: essaè la carica elettrica che deve essere aggiunta al corpo perottenere un incremento unitario del potenziale elettrico.

C si misura in [C/V] o [F] (farad).

Definiamo condensatore un componete elettromagneticocostituito da due conduttori, di forma arbitraria, separati dalvuoto o da un mezzo dielettrico. Le linee di campo elettrico:

• hanno origine in corrispondenza delle cariche positive eterminano sulle cariche negative

• sono perpendicolari alle superfici dei conduttori

Le superfici dei conduttori sono superfici equipotenziali.

Capacità e condensatori

62

Quando un generatore di tensione U12 viene collegato tra i due

conduttori, si ha un trasferimento di carica, con un addensamento di

carica +Q in un conduttore e –Q sull’altro come riportato in figura.

La capacità del condensatore sarà espressa in funzione della

differenza di potenziale tra i due conduttori:

+

U12

+Q-Q

++

+

+

+

++

+

+

+

-

12

QC [F]

U

Capacità e condensatori

63

La capacità di un condensatore è una proprietà fisica di un sistema

di due conduttori, essa dipende dalla geometria dei conduttori e

dalla permettività del mezzo interposto tra loro: essa non dipende ne

dalla carica Q, ne dalla differenza di potenziale U12.

Un condensatore ha un valore di capacità anche quando non gli

viene applicata alcuna carica o differenza di potenziale.

Dalla relazione:

Si può intuire che la capacità C si può determinare in due modi:

• assumendo una U12 e determinando Q in funzione di U12

• assumendo una Q e determinando U12 in funzione di Q.

12

QC [F]

U

Capacità e condensatori

64

Procedura generale per la determinazione della capacità C

1. Stabilire il sistema di coordinate appropriato in base alla

geometria del condensatore (coordinate cartesiane, cilindriche e

sferiche)

2. Assumere una distribuzione di cariche +Q e –Q sui conduttori

3. Determinare in funzione della carica Q per mezzo della

legge di Gauss (o altre relazioni):

1. Determinare la U12 calcolando l’integrale (*):

2. Determinare infine C calcolando il rapporto:

(*) integrando dal conduttore carico con –Q sino a quello carico con +Q

E

ε

QsdE

S

ldEU1

212

12U

QC

Capacità e condensatori

65

Esso è costituito da due armature piane di area A separate da uno

spessore d di dielettrico uniforme di permettività .

Per questa configurazione geometrica, il sistema di riferimento più appropriato è quello

cartesiano.

y

+ + ++

+ + +

--- -- - -

E

d

++

-- x

permettività del dielettrico

S

Qρ

S

o

Condensatore piano

Sulle due armature siano uniformemente

distribuite le cariche +Q e - Q rispettivamente,

con densità di carica uniforme :

66

Trascurando l’effetto ai bordi, il campo si può ritenere costante

all’interno del dielettrico:

Condensatore piano

da cui. La capacità è:

• legata ad e alle dimensioni A e d del condensatore e

• indipendente da Q e U12.

2

121

00

dy d

y yy

Q QU E dl a a dy d

A A

d

εA

U

QC

12

y

QE a

A perciò

1

1 1

S

Q QE ds

ε εn n

S

E ds E A

67

Si considerino più conduttori in un sistema isolato come in

figura. Le posizioni dei conduttori sono arbitrarie e uno dei

conduttori può rappresentare la terra (V=0).

Se su ciascun conduttore è presente una carica Qi, questa inciderà

sul potenziale di ciascun corpo. Poiché la relazione tra la carica e

il potenziale è lineare, è possibile scrivere il sistema di equazioni

che legano i potenziali Vi degli N conduttori alle cariche Qi. In

forma matriciale:

3

2

1N

Capacità nei sistemi multiconduttore

V pQ

68

dove p è una matrice di coefficienti pij con i=1,… N e j= 1,… N,

chiamati coefficienti di potenziale, che dipendono:

✓ dalla forma e posizione dei conduttori e

✓ dalla permettività εij del mezzo interposto tra i conduttori

Il sistema di equazioni precedente può essere invertito per esprimere

le cariche in funzione dei potenziali:

dove c è una matrice di coefficienti costanti i cui valori dipendono

solo dai valori di pij e V è il vettore dei potenziali sei singoli

conduttori quando gli latri sono collegati a terra.

I coefficienti cij con i=j, sono chiamati coefficienti di capacità

I coefficienti cij con i≠j, sono chiamati coefficienti di induzione

Capacità nei sistemi multiconduttore

Q cV

69

Se esiste una carica positiva Qi sull’i-esimo conduttore, Vi sarà

positivo, ma la carica indotta Qj sull’j-esimo conduttore sarà

necessariamente di segno opposto, quindi:

• i coefficienti di capacità cii sono > 0 ( positivi)

• i coefficienti di induzione cij sono < 0 (negativi).

32

i N

+Qi

-QN

-Q2 -Q3

Vi>0

Capacità nei sistemi multiconduttoreI coefficienti di capacità, sono pari al rapporto tra le cariche Qi e il

potenziale Vi dell’i-esimo conduttore, quando tutti gli altri

assumono potenziale V=0 (collegati a terra).

70

L’uso di uno schermo elettrostatico rappresenta una tecnica per

ridurre la capacità di accoppiamento tra corpi conduttori. Si

consideri un corpo conduttore 1 all’interno di uno schermo

conduttore 2 collegato a terra (assume il potenziale di terra) e un

terzo corpo conduttore 3.

Il campo elettrico all’interno del conduttore 2 è nullo, ossia

l’involucro metallico 2 può essere adoperato per sottrarre

all’influenza di campi elettrici esterni la parte di spazio da esso

delimitata.

21

3

Capacità nei sistemi multiconduttore

71

Le proprietà dello schermo elettrostatico possono essere dedotte

anche dalla definizione generale di capacità nei sistemi con n

conduttori. Infatti per il caso illustrato

Q1= C10V1+ C12 (V1-V2)+ C13(V1-V3)

ponendo V2 = 0 (potenziale di riferimento di terra) si ha:

Q1= C10V1+ C12V1+ C13(V1-V3)

Se Q1= 0, non c’è campo elettrico all’interno dello schermo 2;

quindi il corpo 1 e lo schermo 2 hanno lo stesso potenziale, V1=V2=

0. affinché

C13V3=0

la capacità di accoppiamento C13 deve essere nulla in quanto V3 é

arbitrario. Ciò significa che una variazione di V3 non influisce su la

Q1 e viceversa.

Capacità nei sistemi multiconduttore

Q2 è sottoposta ad una forza di repulsione

radiale ത𝐹 dovuta al campo generato da Q1

RR4π

QQ F 12

212o

12

12R

Q2 +Q1 +

P2

F

Energia elettrostatica

12 2 2 2 2 2

o 12

QW Q ( ) Q V =Q

4π RV P

Per portare una carica Q2 positiva dall’infinito in P2 (lentamente

affinché possano ritenersi trascurabili sia l’energia cinetica che gli

effetti di radiazione), in senso contrario alla direzione del campo, è

necessario applicare una forza uguale e contraria a quella

esercitata dal campo. Perciò, il lavoro per richiesto per portare Q2

in P2 è:

Dove V2 è il potenziale elettrostatico in P2 dovuto a Q1 posta a

distanza R12

P1

73

Poiché il campo elettrostatico è conservativo il lavoro W è

indipendente dal percorso fatto per portare le carica Q2 e Q1 a

distanza reciproca R12

Indichiamo con W1 il lavoro necessario a portare Q1 in P1 ad una

distanza R12 da Q2:

21 1 1 1

o 12

Q W Q V =Q

4π R

Dove V1 è il potenziale elettrostatico

in P1 dovuto a Q2 posta a distanza

R12

Energia elettrostatica

2 12 1 1 2 1 1 2 2

o 12 o 12

Q Q1 1 1 1W=W W Q Q Q V Q V

2 4π R 2 4π R 2 2

74

Si supponga che un’altra carica Q3 sia portata dall’infinito in un punto

che dista R13 da Q1 e R23 da Q2, sarà richiesta una quantità di lavoro:

l’energia potenziale immagazzinata nell’assemblare le tre cariche Q1,

Q2, e Q3

Che può essere scritta:

Energia elettrostatica

23

2

13

1333

44 R

Q

R

QQVQW

oo

1 3 2 31 2

12 13 234 4 4new

o o o

Q Q Q QQ QW W W

R R R

3 32 1 1 21 2 3

0 12 0 13 0 12 0 23 0 13 0 23

1[ ]

2 4 4 4 4 4 4new

Q QQ Q Q QW Q Q Q

R R R R R R

1 1 2 2 3 3

1

2newW QV Q V Q V

75

Estendendo la procedura per n cariche discrete localizzate in N punti:

In presenza di una distribuzione di cariche continua di densità ,

l’espressione della We, valida per una distribuzione di cariche discrete,

deve essere modificata sostituendo all’operatore di sommatoria

l’operatore di integrazione:

•V è il potenziale nel punto dove la densità di carica è e

•v’ è il volume della regione dove sono distribuite le cariche ossia la

regione dove esiste.

J ρVdv'2

1W

V'

e

J V Q 2

1W

N

1k

kke

Energia elettrostatica

76

L’unità di misura della energia prevista dal sistema

internazionale (joule [J]), è troppo grande per la fisica delle

particelle elementari, per cui si utilizza l’elettronvolt [eV].

Un elettronvolt è l’energia cinetica ΔE acquistata da un elettrone

libero, la cui carica è 1.6 10-19 J, quando è accelerato da un

differenza di potenziale elettrico di ΔV =1 V nel vuoto.

J 101.60 eV 1 19

joule101.6 volt1coulomb101.6ΔVqΔE 1919

Energia elettrostatica

77

In base ala relazione: essendo

si può scrivere:

Applicando le proprietà del calcolo vettoriale:

quindi

Per un volume abbastanza grande R∞ e V0

ρD e

v'

1W ρVdv J

2

e

v'

1W Vdv J

2D

e

V' V' V'

1 1 1 1W (VD)dv D dv D ds D E dv

2 2 2 2s

V V

( ) (VD) - DD V V

Energia elettrostatica

e

V'

1W D E dv

2

78

Inoltre se il mezzo è lineare: , l’energia può essere espressa in

funzione di una sola grandezza di campo:

Si può anche definire la densità di energia elettrostatica we, come

l’argomento dell’integrale:

3

22

e

V'

ee

m

J

ε

D

2

1 E ε

2

1 ED

2

1 w

:cui da J dvwW

ED

J dv D

2

1 dvE

2

1W

V'

2

V'

2e

Energia elettrostatica

79

Un metodo per il calcolo delle forze agenti su un corpo sottoposto alle

azioni di un in un campo elettrostatico, è quello basato sul principio

dello spostamento virtuale (o principio dei lavori virtuali) applicato ai

2 diversi casi:

1. Sistema isolato che non può avere scambi di energia con

l’esterno, quindi le cariche sono costanti (Qtot=cost);

2. Sistema non isolato di corpi conduttori collegati rispettivamente a

potenziali fissi (morsetti di batterie), per cui i loro potenziali sono

mantenuti costanti (V=cost) a spese di una energia fornita

dall’esterno. In questo caso il sistema ha uno scambio di energia

con l’esterno.

Forza elettrostatica

80

Si immagini che le forze elettriche abbiano indotto uno spostamento

elementare dl in uno corpo sottoposto alla azione del campo

(spostamento virtuale), per cui il lavoro meccanico compiuto sarà:

1. Se il sistema è isolato, il lavoro meccanico è fatto a spese della

energia elettrostatica immagazzinata dal sistema, perciò:

2. Se il sistema non isolato, affinché i potenziali rimangano costanti,

il lavoro meccanico è compiuto da sorgenti esterne, perciò:

dW F dl

e QdW dW F dl

Forza elettrostatica

e VdW dW F dl

Dove ത𝐹𝑄 è la forza elettrostatica nel caso di cariche costanti, e ത𝐹𝑉 è forza elettrostatica nel caso di potenziali costanti.

81

Poiché, in generale, la variazione differenziale di uno scalare dovuta alla

variazione di posizione dl è uguale al prodotto scalare del gradiente

dello scalare per dl:

1. nel caso di sistema è isolato

2. nel caso di sistema non isolato

dW W dl

N

Qe

Qe

e e

dW F dlF W

dW W dl

Forza elettrostatica

N

Ve

Ve

e e

dW F dlF W

dW W dl

Dove ത𝐹𝑄 è la forza elettrostatica nel caso di cariche costanti, e ത𝐹𝑉è forza elettrostatica nel caso di potenziali costanti.

82

Se il corpo è vincolato a ruotare intorno ad un asse, per esempio

l’asse z, il lavoro meccanico fatto dal sistema per una rotazione

virtuale angolare d sarà:

Dove TZ è la componente lungo z della coppia agente sul corpo.

Con una procedura analoga a quella seguita per le forze, si giunge

alle espressioni della componente z della coppia elettrostatica per

una rotazione virtuale angolare d:

zdW T d

mN

e

zQ

WT

forze elettrostatica

N meV z

WT

Ipotesi di potenziali costanti

Ipotesi di cariche costanti

83

Dal confronto delle espressioni delle forze e delle coppie nei due casi si

vede come l’unica differenza nelle espressioni, è il segno:

• nel primo caso (sistema isolato con le cariche costanti), il lavoro è

stato fatto a spese della energia elettrostatica del sistema

• nel secondo caso (sistema non isolato con i potenziali costanti), il

lavoro è stato fatto grazie all’energia fornita da un sistema esterno.

Ve

F W N

e

V z

WT N m

e

Q z

WT N m

Carica costanteSistema isolato

Potenziale costanteSistema non isolato

Q eF W [N]

Forze elettrostatiche

84

I problemi elettrostatici riguardano lo studio degli effetti delle

cariche elettriche fisse.

La risoluzione di tali problemi richiede la determinazione:

• del potenziale elettrico V e quindi del campo: (noto ρ)

• della distribuzione delle cariche elettriche (noto V).

VE

Soluzioni di problemi elettrostatici

Nei mezzi lineari ed isotropi, se è nota la distribuzione delle

cariche elettriche ρ possono essere determinati l’intensità del

campo elettrico e quindi il potenziale elettrico V, essendo:

In diversi problemi pratici non è nota l’esatta distribuzione delle

cariche e le formule studiate per determinare queste grandezze non

possono essere applicate in maniera diretta.

e E=-s

QE d s V

85

Partendo dalle due equazioni fondamentali della elettrostatica valide

per ogni mezzo :

per la irrotazionalità del vettore campo elettrico ത𝐸, si può definire un

potenziale elettrico V tale che:

In un mezzo isotropo e lineare dunque:

dalla relazione precedente si ottiene l’espressione dell’equazione di

Poisson:

E 0

D ρ

VE

D εE

ε

ρV

2

Equazione di Poisson

D ρ ε V -ρ

86

La risoluzione della equazione di Poisson comporta la risoluzione

di una equazione differenziale alle derivate parziali lineare del

secondo ordine. Essa risulta calcolabile in ogni punto dello spazio,

dove esistono le derivate parziali del secondo ordine della funzione

V(x,y,z).

In coordinate cartesiane il laplaciano (o la divergenza del gradiente)

di V:

L’equazione di Poisson per l’elettrostatica assume la forma:

2

V x y z x y z

V V VV a a a a a a

x y z x y z

22

2

2

2

2

2

m

V

ε

ρ

z

V

y

V

x

V

Equazione di Poisson

87

Possono essere utilizzate anche le espressioni:

• in coordinate cilindriche:

• in coordinate sferiche:

2

2

2

2

2

2

z

VV

r

1

r

Vr

r

1V

2

2

222

2

2

2 V

sinR

1Vsin

sinR

1

R

VR

RR

1V

Equazione di Poisson

88

L’equazione di Poisson:

permettere di risolvere i problemi elettrostatici nei quali non è nota

tutta la distribuzione della carica, ma è nota solo la carica distretta

in alcuni punti dello spazio e il potenziale di alcuni corpi

conduttori.

Nei punti del campo di un mezzo omogeneo e isotropo, nei quali

non è presente alcuna carica, ossia: = 0 l’equazione di Poisson si

riduce alla Equazione di Laplace:

Con questa equazione è possibile risolvere problemi relativi a

campi elettrostatici dovuti a un insieme di conduttori mantenuti a

potenziali diversi (condensatori).

0V2

Equazione di Poisson e Laplace

2

V

89

In molti casi semplici si ottiene la soluzione dei problemi

elettrostatici attraverso l’integrazione diretta delle equazioni di

Laplace o di Poisson. Nei casi più complicati possono essere usati

altri metodi di risoluzione.

Teorema della unicità

La soluzione della equazione di Poisson (o per il caso

particolare di Laplace) che soddisfa le condizioni al contorno

date, è unica.

questo significa che una volta trovato un potenziale che soddisfa

l'equazione per le condizioni al contorno assegnate, allora il campo

elettrico è univocamente determinato.

Equazione di Poisson e Laplace

90

Poiché le superfici equipotenziali sono perpendicolari alle

superfici equiflusso, si può applicare ai campi il principio di

dualità:

Se un campo ha come superfici equipotenzali le superfici che

sono equiflusso di un secondo campo, come conseguenza diretta,

le equipotenziali di questo secondo campo risultano le equiflusso

del primo.

Ciò consente di applicare direttamente i risultati ricavati per una

certa configurazione (per esempio con il contorno formato da

equipotenziali), ad una configurazione duale (con lo stesso

contorno formato da equiflusso).

Equazione di Poisson e Laplace

91

Esempio: La condizione

di potenziale nullo sul

piano è soddisfatta se

invece del piano

conduttore si pone in y=-

d una carica immagine

uguale e opposta.

Metodi di risoluzione di problemi elettrostatici

-Q

+QP(x,y,z) R+

R-o

d

-d

y

x

z

1. Metodo delle immagini:

le condizioni sulle superfici di contorno possano essere stabilite

attraverso delle opportune cariche immagine equivalenti e le

distribuzioni del potenziale possa possano essere determinate in

maniera semplice.

92

2. Metodi analitici: Si usano quando la frontiera (o contorno) del

dominio in esame e la distribuzione delle sorgenti sono semplici.

✓ boundary-value problems:

• di Dirichlet: nei quali il valore del potenziale é definito in

qualunque punto del contorno;

• di Neumann: nei quali la derivata normale del potenziale é

definita in ogni punto del contorno;

• mixed boundary-value (problemi vincolati al contorno misti)

nei quali il potenziale é definito su alcuni contorni e la

derivata normale del potenziale é definito nei contorni

rimanenti

✓metodo della separazione delle variabili

V(x,y,z)=X(x)Y(y) Z(z)

Metodi di risoluzione di problemi elettrostatici

93

Metodi numerici✓ metodo delle differenze finite

✓ metodo degli elementi finiti

Si usano nei casi in cui la frontiera del dominio e la distribuzione

delle sorgenti è complessa. In questi casi i problemi possono essere

risolti in modo approssimato riconducendo il problema integro-

differenziale in esame ad un problema algebrico.

Metodi di risoluzione di problemi elettrostatici