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Bondad de Ajuste, MRLC Y MCO

BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚBANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚCURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORESCURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES

ECONOMETRÍAECONOMETRÍA

Profesora: Donita Rodríguez.

Agosto 2011

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1. El MRLCK en Desviaciones Muestrales

2. Descomposición de la Suma de Cuadrados

3. El Coeficiente de Determinación o R2

4. Algunas observaciones sobre el R2

5. Otros criterios de Bondad de Ajuste

6. Aplicaciones

ESQUEMA

3

• El MRLK en desviaciones, para la “t-ésima” observación, está

dado por la siguiente expresión (minúsculas son desvíos):

• Dado que desaparece el término constante, este se obtiene

de:

• Para expresar matricialmente el modelo en desviaciones,

utilizamos la matriz de desvíos A:

iktkttt exxxy ˆˆˆ3322

kk XXXY ˆˆˆˆ33221

ii'IAnn

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1. EL MRLCK EN DESVIACIONES MUESTRALES

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• La matriz A es simétrica (A’=A), idempotente (AA=A), Ae=e y

Ai=0. Con A se obtiene el MRLK en desviaciones:

• Para obtener las ecuaciones normales en términos de

desviaciones, multiplicamos el modelo por X*’ y obtenemos:

eβXy

eβXy

AeβAXAy

ˆ

ˆ

ˆ

D

D

yXβXX '2

'**

ˆ)(

1. EL MRLCK EN DESVIACIONES MUESTRALES

eβXy

eβ

AX0y

Aeβ

XiAAy

2*

2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ][

ˆ

ˆ][

1

1

5

Para el caso del modelo de 2 variables:

SCT = SCE + SCR.

donde:

SCT = Suma total de los cuadrados de las desviaciones de la variable Y.

SCE = Suma explicada de los cuadrados a partir de la regresión de Y

sobre X.

SCR = Suma residual o no explicada de los cuadrados a partir de la

regresión de Y sobre X.

n

ii

n

ii

n

ii eeYYYY

1

2

1

2

1

2 )()ˆˆ()(

2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS.

n

ii

n

ii

n

ii eyy

1

2

1

2

1

2 ˆ

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• Las expresiones alternativas –en términos de desviaciones- para

la descomposición son:

n

ii

n

ii

n

ii exy

1

2

1

22

1

2 ˆ

n

ii

n

iii

n

ii eyxy

1

2

11

2 ˆ

n

ii

n

ii

n

ii eyry

1

2

1

22

1

2


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• Para el MRLCK, es posible debido a que X’e=0.

• Se parte de , y se obtiene:

• En términos de desviaciones:

SCRSCESCT

YnYn

ee'βXX''βyy' )ˆˆ( 22

eyy ˆ

SCRSCESCT ee'βXXβy'y ' )ˆˆ( 2

'*2


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3. EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN O R2

• El R2 centrado (alrededor de la media) se define como:

• En términos vectoriales:

– Se demuestra que:

– En el MRLC2:

2

1

1

2

1

2

1

2

2

)(11

)(

)ˆˆ(

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

YY

e

SCTSCR

YY

YY

SCTSCE

R

22 rR

2ˆ,

2

YYrR

Ayy'ee'

Ayy'βXXβ

Ayy'βAXX'β 2

'*

'2 1

ˆˆ)ˆ'ˆ(2

SCTSCE

R

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• El R2 también se denomina coeficiente de determinación o

bondad de ajuste.

• Mide el porcentaje de la variación total observada de la

variable endógena explicada linealmente por la variación de

las variables independientes del modelo estimado.

• Esta interpretación es válida bajo las siguientes condiciones:

– El estimador analizado debe ser MCO.

– La relación tiene que ser lineal.

– La relación lineal estimada debe incluir intercepto.

3. EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN O R2

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Observaciones Importantes sobre el R2.

(1) Lo único que se puede afirmar a partir del valor del R2 es si el

grado de ajuste de los datos muestrales al modelo estimado

es bueno o malo.

(2) Solamente bajo el supuesto de que la muestra es

representativa de los valores poblacionales (verdaderos), un

buen (mal) ajuste de los datos al modelo será equivalente a

que la relación estimada entre las variables involucradas es

relevante (irrelevante).

4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2

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(3) Si el modelo poblacional tiene intercepto y se estima sin

intercepto, SCE y SCR pueden crecer mucho:

El R2 puede tomar valores mayores que 1: R2 =

SCE/SCT.

El R2 puede tomar valores negativos:

R2=1-(SCR/SCT).


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X

Y

ii XY ˆˆˆ

ii XY ˆˆ


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(4) El R2 es sensible al rango de variación de las variables

independientes:

– Un mayor rango de variación generará mayor rango de

variación para la dependiente, afectando el R2.

– No tiene sentido comparar el R2 de dos muestras

diferentes: dos períodos diferentes o dos países.

– Tiene más sentido comparar estimados de varianza de la

perturbación de diferentes muestras.


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(5) Los econometristas buscan obtener buenos estimados, lo cual

no depende del R2, sino de la metodología y los supuestos

del modelo probabilístico.

(6) Otras advertencias:

• No deben compararse los R2 de dos modelos con

diferentes variables dependientes.

• Las variables dummy pueden “inflar” el R2.


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• El R2 no es adecuado para comparar la bondad de ajuste de

dos modelos (anidados) con distinto número de regresores.

• Sólo para comparar modelos (con la misma dependiente)

con igual número de regresores.

– Cuando se añade al modelo un regresor, la SCR o la

parte no explicada por el modelo nunca aumenta: se

mantiene igual o disminuye.

• Se necesitan criterios alternativos: R2 ajustado, AIC, SC

6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE

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El R2 Ajustado

• Se define como:

• Puede expresarse alternativamente como:

• Penaliza la inclusión de regresores adicionales.

• La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras

más alto sea el valor del R2 ajustado.

)1/(

)/(12

nSCT

knSCRR

)1()(

)1(1 22 R

kn

nR

)()(

)1(

)(

)1( 22 Rkn

n

kn

kR


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El Criterio de Schwarz (Swarchz Criterion o SC)

• El SC también penaliza el hecho de incluir regresores

adicionales, contrarrestándolo con el nivel de información que

esta variable incluye al modelo.

• Se define como:

• La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más

bajo sea el valor del SC.

)ln('

ln nn

k

n

eeSC


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El Criterio de Información de Akaike (Akaike Information

Criterion o AIC).

• Es similar al SC. La única diferencia es en la manera de

penalizar la inclusión de regresores adicionales al modelo.

• Se define como:

• La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más

bajo sea el valor del SC.

n

k

n

eeAIC

2'ln


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7. APLICACIONES

Dependent Variable: EARNINGSMethod: Least SquaresDate: 07/31/11 Time: 23:27Sample: 1 540Included observations: 540

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -19.79196 3.585928 -5.519341 0.0000S 2.870943 0.255034 11.25710 0.0000

R-squared 0.190639 Mean dependent var 19.93339

Adjusted R-squared 0.189135 S.D. dependent var 16.43569

S.E. of regression 14.80002 Akaike info criterion 8.230831

Sum squared resid 117843.8 Schwarz criterion 8.246725Log likelihood -2220.324 F-statistic 126.7222

Durbin-Watson stat 1.885753 Prob(F-statistic) 0.000000

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7. APLICACIONES

Dependent Variable: EARNINGS

Method: Least Squares

Date: 07/31/11 Time: 23:27

Sample: 1 540

Included observations: 540


C -12.57680 12.03502 -1.045017 0.2965

S 2.878874 0.255490 11.26805 0.0000

AGE -0.179826 0.286313 -0.628074 0.5302




Sum squared resid 117757.3 Schwarz criterion 8.257642

Log likelihood -2220.126 F-statistic 63.48704


Age: edad

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7. APLICACIONES

Dependent Variable: EARNINGS

Method: Least Squares

Date: 07/31/11 Time: 23:27

Sample: 1 540

Included observations: 540


C -17.43225 4.024129 -4.331931 0.0000

S 2.788855 0.262711 10.61567 0.0000

SIBLINGS -0.391983 0.304064 -1.289144 0.1979




Sum squared resid 117480.2 Schwarz criterion 8.255287

Log likelihood -2219.490 F-statistic 64.27001


Siblings: número de hermanos

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• ¿Cuál de los dos modelos elegiría? ¿Por qué?

7. APLICACIONES

Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

R2 0.190639 0.191233 0.1931

R2 Ajustado 0.189135 0.188221 0.1901AIC 8.230831 8.2338 8.2314SC 8.246725 8.257642 8.2553

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1. El MRLCK en Desviaciones Muestrales

2. Descomposición de la Suma de Cuadrados

3. El Coeficiente de Determinación o R2

4. Algunas observaciones sobre el R2

5. Otros criterios de Bondad de Ajuste

6. Aplicaciones

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