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Material Digital do Professor

Matemática – 9º ano

1º bimestre – Sequência didática 3

Equações do 2º grau

Público-alvo: 9o ano

Duração: 4 aulas

Referência do Livro do Aluno: Capítulo 2

Relevância para a aprendizagem

Base para conceitos posteriores, como funções quadráticas, o estudo das equações do 2º grau

torna-se ainda mais importante. Sua presença em temas do cotidiano como faróis de iluminação,

antenas parabólicas, radares e lançamentos de projéteis revela a importância da dedicação a esse

conteúdo de forma a facilitar outros conceitos que dele dependam.

A abordagem desse tema deve oferecer aos alunos outras formas de resolução das equações

do 2º grau, como ao completar quadrados, explorando também a relação com recursos geométricos.

Objetivos de aprendizagem

• Trabalhar expressões algébricas utilizando procedimentos de produtos notáveis e fatoração.

• Resolver equações polinomiais do 2º grau: as equações incompletas por procedimentos simples e as equações completas por meio de completar quadrado.

• Resolver problemas que podem ser modelados por equações polinomiais do 2º grau.

Material necessário

• lápis

• papel

Objetos de conhecimento e habilidade (BNCC)

Objetos de conhecimento Habilidade

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis. (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas,

com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau. Resolução de equações polinomiais

do 2º grau por meio de fatorações.




Desenvolvimento

Aula 1 – Produtos notáveis e fatoração

Duração: cerca de 50 minutos Local: sala de aula Organização dos alunos: individual Recursos e/ou material necessário: lápis e papel

Atividade 1: Relembrando produtos notáveis e fatoração (15 minutos)

Inicie esta aula afirmando que esses 2 procedimentos matemáticos, fatoração e produtos notáveis,

são ferramentas que auxiliam os estudos das equações do 2º grau. Antes de apresentar a diferença entre

eles, é importante começar pela realização de algumas manipulações algébricas. Veja alguns exemplos:

• (x + 3)2 = (x + 3) · (x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

• (y – 4)2 = (y – 4) · (y – 4) = y2 – 4y – 4y + 16 = y2 – 8y + 16

• (a – 7) · (a + 7) = a2 + 7a – 7a – 49 = a2 – 49

• 3t + 6 = 3 · (t + 2)

• x2 + 10x + 25 = x2 + 5x + 5x + 25 = x · (x + 5) + 5 · (x + 5) = (x + 5) · (x + 5) = (x + 5)2

• x2 – 16 = x2 + 4x – 4x – 16 = x · (x + 4) – 4 · (x + 4) = (x – 4) · (x + 4)

Os alunos do 9º ano já tiveram contato com esses 2 conteúdos em anos anteriores e até

mesmo no decorrer do próprio 9º ano. Assim, esta aula é apenas uma revisão que tem por objetivo

facilitar o desenvolvimento do estudo das equações do 2º grau. Neste momento não é necessário

abarcar todos os conceitos de fatoração e produtos notáveis, apenas pontos específicos que servirão

de apoio para os estudos das próximas aulas. Assim, a quantidade de atividades, similares aos

exemplos apresentados anteriormente, deve se adequar à percepção do professor diante da

dificuldade apresentada pelos alunos logo nos primeiros momentos.

Após a realização, por parte dos alunos, das atividades propostas, cabe informá-los que os

3 primeiros exemplos são de produtos notáveis e os demais são exemplos de fatoração. Ajude-os a

perceber que (x + 3)2 é o mesmo que (x + 3) · (x + 3), ou seja, um produto. Como um produto da forma (a +

b)2 é muito utilizado em diversos outros conteúdos matemáticos, ele é chamado produto notável. No caso

da fatoração, o ato de apresentar, por exemplo, o número 6 como o produto 2 · 3 também é uma forma

de fatoração do número 6; ou seja, esse número representado em forma de fatores. Assim, representar 3t

+ 6 na forma do produto 3 · (t + 2) também é uma forma de fatorar a expressão algébrica 3t + 6.

É importante não perder o foco desta aula, a qual serve de base para a aula de equações do

2º grau, não se tratando de um estudo aprofundado de produtos notáveis e fatoração.

Atividade 2: Um auxílio geométrico (35 minutos)

Após o primeiro momento da aula, cabe ao professor explorar ao menos um exemplo de produtos

notáveis e um de fatoração com o auxílio de recursos geométricos. Primeiramente, um exemplo de um




produto notável. É possível que essa opção alcance alguns alunos que ainda não tenham percebido tal

conceito quando da apresentação apenas por meio da álgebra. Veja os exemplos.

Exemplo 1:

Peça aos alunos que façam um quadrado e, em seguida, tracem 2 segmentos de reta internos

a ele, como sugere a figura a seguir:

Avits Estúdio Gráfico/Arquivo da editora

Em seguida, peça que considerem as medidas de x e 3, conforme abaixo:


Questione os alunos quanto a quais figuras geométricas reconhecem na imagem formada. É

provável que sejam reconhecidos os quadrados e os retângulos presentes na figura. Encaminhe a discussão

de forma que percebam que a medida de área da região quadrada maior, de medida de comprimento de

lado igual a (x + 3), equivale à soma das medidas de área da região quadrada média, das regiões

retangulares e da região quadrada menor, respectivamente de medidas de comprimento de lado iguais a

x, x e 3 e 3. Peça a eles que escrevam essa equivalência. Espera-se que seja percebido o seguinte:

(x + 3)2 = (x + 3) · (x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

Note que:

x · x = x² → medida de área da região quadrada média

3x → medida de área de uma das regiões retangulares

3 · 3 = 9 → medida de área da região quadrada menor

A opção de utilizar meios que cheguem ao mesmo resultado do primeiro exemplo da

Atividade 1 é proposital, pois acreditamos que seja mais fácil para os alunos perceberem que se trata

do mesmo objetivo, alcançado por vias diferentes.




Veja, na sequência, um exemplo de fatoração à luz de recursos geométricos.

Exemplo 2:

Peça aos alunos que façam o quadrado da figura seguir:


Leve os alunos a perceberem que a medida de área da região pintada é igual à medida de área

da região quadrada maior, de medida de comprimento de lado igual a x, subtraindo-se a medida de

área da região quadrada menor, de medida de comprimento de lado igual a 4. Visto isso, explique que

a região pintada pode ser representada de outra forma, apenas a partir da realocação de uma das

regiões retangulares de medidas de comprimento dos lados iguais a (x – 4) e 4, que se encontra na

parte inferior. Essa outra forma está apresentada a seguir:


Na sequência, basta notar que a medida de área da região pintada na primeira figura, que é

igual a x2 – 42, é igual à medida de área da região retangular da segunda figura, que é de (x – 4) · (x +

4). Assim, temos:

x2 – 42 = (x – 4) · (x + 4)

Após esses 2 exemplos, passe para a generalização dos 2 casos, novamente com o auxílio de

recursos geométricos, utilizando as figuras apresentadas a seguir:





(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2


Aula 2 – Resolvendo equações incompletas do 2º grau


Atividade 1: Resolução de uma equação (25 minutos)

Inicie esta aula apresentando exemplos de equações do 2º grau das mais variadas formas,

incompletas e completas. Por exemplo:

• x2 – 9 = 0

• x2 – 3x = 0

• x2 – 10x + 21 = 0

Classifique cada caso como incompleta ou completa e, utilizando a forma geral ax2 + bx + c =

0, apresente os motivos pelos quais os 2 primeiros exemplos são classificados como equações




incompletas e o último como equação completa. Revele que nesta aula serão abordadas apenas as

equações incompletas, deixando as completas para a aula seguinte.

Passe para a verificação do conhecimento dos alunos sobre o que é a solução de uma equação.

É extremamente importante deixar claro que a solução de uma equação, do 2º grau ou não, é o valor

que substitui a incógnita, nestes casos o x, de modo a tornar a igualdade uma sentença verdadeira.

Assim, mostre que o ato de resolver uma equação nada mais é do que determinar suas soluções.

Utilize, por exemplo, a equação x2 – 3x = 0 e peça aos alunos que substituam a incógnita por 2, ou seja,

façam x = 2. Espera-se que procedam da forma abaixo.

Para x = 2, tem-se que:

2² – 3 · 2 = 0

4 – 6 = 0

–2 = 0

Espera-se que percebam que a igualdade acima não é verdadeira e, por esse motivo, 2 não é

a solução da equação em questão.

Depois, peça que façam o mesmo para verificar se 3 é solução dessa mesma equação.

Para x = 3, tem-se que:

3² – 3 · 3 = 0

9 – 9 = 0

0 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então 3 é uma solução da equação x2 – 3x = 0.

Questione os alunos se existem outras soluções para a mesma equação e incentive-os a

proceder por tentativa e erro. Faça o mesmo para o exemplo x2 – 10x + 7 = 0.

Espera-se que este seja o momento mais adequado para que percebam que esta não é a

melhor maneira de resolver uma equação do 2º grau. É aí que se iniciam exemplos de formas de

resolver equações do 2º grau. Em busca de ter um aumento gradual do nível de dificuldade, inicie pelas

equações incompletas, das mais simples para as mais complexas.

Atividade 2: Resolução de uma equação do 2º grau incompleta (25 minutos)

Comece pelas equações incompletas com b = 0, ou seja, do tipo ax² + c = 0, com a ≠ 0. Neste

momento, é adequado que não se apeguem em generalizações logo no início. Parta de exemplos do

tipo x2 – 9 = 0 e apenas esclareça que esta equação é incompleta porque b = 0. Indique aos alunos que

a solução desse tipo de equação pode ser alcançada deixando apenas o termo com a incógnita (x²) no

primeiro membro da equação:

x² = 9




Em seguida, extraindo a raiz quadrada em ambos os membros, tem-se:

x = ±3

Por fim, as 2 soluções da equação são x = 3 ou x = –3. É importante, ao menos nos primeiros

casos, sugerir aos alunos que testem as soluções obtidas. No caso anterior, testar x = 3 ou x = –3 em x²

– 9 = 0. Instigue os alunos a perceberem que esses tipos de equação necessariamente admitem raízes

com valores opostos. Um caso especial é quando b = c = 0, onde as 2 raízes são nulas.

Avançando para as equações do 2º grau incompletas com c = 0, do tipo ax² + bx = 0, com a ≠ 0 e b

≠ 0, pode-se iniciar pelo exemplo x² – 3x = 0. Aqui, como no caso da equação incompleta com b = 0, também

pode ser sugerido que os termos com a incógnita (x² e 3x) permaneçam no primeiro membro da equação.

Na verdade, isso serve apenas para reforçar a ideia, pois nesse caso específico isso já está indicado.

Entretanto, essa informação pode vir a ser reforçada para casos de equações apresentadas como x² = 3x,

por exemplo. Em seguida, indique que, pelo fato de ambos os termos conterem ao menos um x, ele pode

então ser posto em evidência, ou seja, o primeiro membro da equação deve ser fatorado. Assim, tem-se:

x · (x – 3) = 0

Agora, identifique com os alunos que o primeiro membro da equação está fatorado, isto é,

representado na forma de um produto de fatores (x e x – 3). Debata com eles quais são as possibilidades

de fatores para que o produto deles resulte zero. Objetiva-se com isso que percebam a necessidade de pelo

menos um dos fatores ser igual a zero. Após essa percepção, pode-se avançar para a solução, fazendo:

x = 0 ou x – 3 = 0 ⟺ x = 0 ou x = 3

Novamente, peça aos alunos que testem as soluções obtidas. Instigue-os a perceber que esses

tipos de equação necessariamente admitem uma raiz nula.

Antes de avançar para a resolução da equação completa, aproveite para realizar 2 apontamentos.

O primeiro é que os valores obtidos como resultados são ditos “soluções da equação”, e não “raízes”. Este

último termo é utilizado nos estudos de funções e não de equações. O segundo ponto é que o x ou outra

letra representativa é designado por “incógnita”, e não por “variável”. Note que o valor de x não varia. A

incógnita é um valor a ser determinado que não remete à variação, como ocorre também nos casos de

funções, onde a variação de uma variável implica a variação de outra variável. Esses apontamentos podem

parecer preciosismo, porém tais diferenciações são importantes para o estudo de funções, mais adiante.

Termine esta aula relembrando a existência de equações completas do 2º grau, assunto que

será apresentado na aula seguinte.

Aula 3 – Resolvendo equações completas do 2º grau





As equações completas são do tipo ax² + bx + c = 0, com a, b e c ≠ 0, o que significa que nenhum

dos coeficientes é nulo. Utilize o exemplo inicial de equação completa desta aula, x2 – 10x + 21 = 0. Em

equações similares a esta, é aconselhado que se utilize o método de “completar quadrado”. Com isso, os

termos com a incógnita (x² e –10x) devem permanecer no primeiro membro da equação, ficando, então:

x2 – 10x = –21

Em seguida, questione os alunos sobre qual valor deve ser adicionado a ambos os membros

da equação de forma que o primeiro membro passe a ser um trinômio quadrado perfeito. Caso os

alunos enfrentem alguma dificuldade em perceber que valor é esse, apresente uma técnica simples: o

valor a ser adicionado a ambos os membros da equação é dado pelo quadrado da metade do valor

de b. No caso do exemplo, o valor é (𝑏

2)

2= (

−10

2)

2= (–5)2 = 25. Assim, tem-se:

x2 – 10x + 25 = –21 + 25

Note que o primeiro membro desta nova representação é o trinômio quadrado perfeito. Daí,

a equação pode ser representada por:

x2 – 10x + 25 = 4

(x – 5)² = 4

Evitando o uso de valor absoluto, ou módulo, questione os alunos: O quadrado de quais

números resultam 4? É esperado que as respostas sejam 2 e –2.

A partir daí, pode-se avançar para:

x – 5 = 2 ⟺ x = 7 ou x – 5 = –2 ⟺ x = 3

Assim, as soluções são 7 e 3.

Novamente é importante que seja realizado o teste das soluções obtidas.

Sobre a técnica de determinação do valor a ser adicionado aos 2 membros da equação para

que o primeiro membro passe a ser um trinômio quadrado perfeito, é importante perceber que, da

forma como foi utilizada no exemplo anterior, somente serviu porque a = 1. Em casos diferentes,

primeiramente deve-se operar matematicamente de forma que se tenha outra equação equivalente

em que a = 1. Por exemplo, a resolução da equação 2x² – 11x + 12 = 0.

2x² – 11x + 12 = 0 (: 2)

x² – 11

2 x + 6 = 0

x² – 11

2 x = – 6




A partir desse momento, pode-se aplicar a técnica já mencionada, ou seja, adicionar

(−11

2

2)

2

= (−11

4)

2=

121

16 a ambos os membros da equação.

Desse modo, tem-se:

x² – 11

2 x +

121

16 = –6 +

121

16

Em geral, casos assim dificultam a tarefa de relacionar o primeiro membro a um trinômio

quadrado perfeito. Por esse motivo, é importante que os alunos sejam incentivados a insistir em

resolver as equações independentemente das dificuldades inerentes a esse processo.

Retomando a equação, tem-se:

(𝑥 −11

4)

2

=25

16

Continuando da mesma forma como no exemplo anterior, temos:

x −11

4=

5

4⟺ x = 4 ou x −

11

4= −

5

4⟺ x =

3

2

Assim, as soluções são 4 e 3

2.

Incentive os alunos a solucionarem diversas outras atividades de equações do 2º grau de todos os

tipos presentes nesta aula. Assim, possivelmente eles não terão futuras dificuldades em outras questões

que envolvam contextualização e modelagem matemática, que recaem em equações desse tipo.

É bem provável que seja necessário apresentar outras equações completas para que eles se

sintam mais seguros em resolvê-las.

Aula 4 – Resolvendo problemas modelados por equações do 2º grau


Inicie a aula discutindo com os alunos sobre modelagem matemática. Converse com eles de

forma a esclarecer que a Matemática também é uma ferramenta que está ao dispor da resolução de

problemas reais, cotidianos, e que é importante que os fundamentos básicos dessa disciplina escolar

sejam construídos de forma sólida, em prol da melhor compreensão de situações em que a modelagem

seja necessária.




Apresente a seguinte situação-problema.

Exemplo 1:

Considere um terreno de 200 m² de medida de área e 60 m de medida de perímetro.

Determine as dimensões desse terreno.

Para resolver essa situação-problema, primeiramente deve-se ter o conhecimento de como se

calcula a medida de área de uma região retangular e do que é perímetro de uma figura. Considere,

então, o esboço a seguir, o qual representa o terreno com as dimensões a e b.


Afirmar que a medida do perímetro é de 60 m implica que 2a + 2b = 60, isto é, a + b = 30 e,

então, b = 30 – a (I). Além disso, afirmar que a medida de área do terreno é de 200 m² significa que

a · b = 200 (II). Substituíndo (I) em (II), tem-se:

a · (30 – a) = 200

30a – a² = 200

a² – 30a = –200

Utilizando o método de completar quadrados, tem-se:

a² – 30a + 225 = –200 + 225

(a – 15)² = 25

a – 15 = 5 ⟺ a = 20 ou a – 15 = –5 ⟺ a = 10

Assim, é preciso verificar, para cada valor possível, qual será o valor de b em (I).

• Se a = 20, tem-se b = 30 – 20 = 10 e as dimensões do terreno teriam medidas de comprimento de 20 m e 10 m.

• Se a = 10, tem-se b = 30 – 10 = 20 e as dimensões do terreno teriam medidas de comprimento de 10 m e 20 m.

Como a imagem proposta para representar o terreno é apenas um esboço, a partir dela não

se pode garantir que a > b nem o contrário. Assim, note que os 2 resultados (20 m × 10 m ou

10 m × 20 m) representam terrenos com mesmas dimensões.




É importante, ao resolver situações-problema, informar aos alunos a importância de

considerar o contexto em questão. Por vezes, em alguns problemas contextualizados, um dos

resultados obtidos é negativo, o que o tornaria inviável para representar uma quantidade específica.

Quando isso ocorre, apenas a resposta que faz sentido diante do contexto deve ser considerada.

Exemplo 2:

Numa pequena obra trabalham 2 funcionários, F e G. Conhecendo a capacidade desses

funcionários, o engenheiro responsável considera que determinada tarefa pode ser realizada em

x horas. Sabendo que F, trabalhando sozinho, a realizaria em (x + 1) horas, e G, também trabalhando

sozinho, em (x + 4) horas, determine o valor de x.

Inicie a resolução desse problema calculando o trabalho realizado por cada um dos

funcionários em 1 hora de trabalho. Tem-se que em 1 hora, F e G, trabalhando sozinhos, realizariam 1

𝑥 + 1 e

1

𝑥 + 4 da tarefa, respectivamente. Porém, F e G trabalhando juntos realizariam

1

𝑥 da tarefa.

Como a tarefa é a mesma, tem-se que 1

𝑥 + 1+

1

𝑥 + 4=

1

𝑥.

Por meio de procedimentos lecionados em anos anteriores, é possível avançar com a equação

anterior, chegando à equação equivalente 2𝑥 + 5

(𝑥 + 1)(𝑥 + 4)=

1

𝑥 e, em seguida, à equação incompleta

do 2º grau x² – 4 = 0. Resolvendo essa equação, chega-se às soluções x = –2 e x = 2. Como, diante do

contexto, x = –2 não convém, porque x representa o número de horas, a resposta final é 2 horas.

Esse é um bom exemplo a ser apresentado aos alunos, pois envolve necessidades mais

elaboradas. Revele a eles que as equações que apresentam incógnitas no denominador são designadas

“equações fracionárias”.

Aferição do objetivo de aprendizagem

A primeira aula serve para revisar conteúdos de produtos notáveis e fatoração, atendo-se aos

casos que servem de base para o encaminhamento do estudo de equações do 2º grau.

A segunda aula deve ser desenvolvida tendo em conta seu caráter técnico, apresentando a

resolução de equações do 2º grau como uma ferramenta matemática. Nessa aula, é adequado aferir

conhecimentos básicos necessários à resolução das equações incompletas, bem como a capacidade

dos alunos em manipular adequadamente esses conhecimentos. Também deve ser verificado se os

alunos reconhecem, de fato, o que significa obter a solução de uma equação. Diversos exemplos

podem ser propostos, sempre relembrando que essa ferramente servirá para conhecimentos futuros.

A terceira aula complementa a segunda, e diversos outros exemplos podem ser apresentados

aos alunos. É relevante aferir a capacidade deles durante as manipulações, aritméticas e algébricas,

necessárias à resolução, principalmente quando o coeficiente principal da equação completa (a) é




diferente de 1 (a ≠ 1). Ajude-os a não perder o foco da busca da solução das equações que assim são

apresentadas, revelando que artifícios matemáticos simples transformam as equações desse tipo em

equações equivalentes (que admitem as mesmas soluções), nas quais tem-se a = 1.

A quarta aula visa apresentar situações-problema em que a resolução parta da modelagem

matemática de um contexto para a utilização dos conhecimentos de equações do 2º grau. É onde se

juntam os conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores. Nesta aula, as ações dos alunos devem ser

aferidas de maneira completa, desde as manipulações matemáticas até a percepção de peculiaridades

inerentes ao contexto no qual a situação-problema está inserida.

Questões para auxiliar na aferição

1. Algumas latas cilíndricas, todas com mesmas dimensões, serão acomodadas em uma caixa em forma de paralelepípedo. Elas vão ser dispostas em filas (linhas e colunas) sem superposição, como indica a figura a seguir.


Cada linha comporta 4 latas a mais que em cada coluna.

a) Considere que a quantidade de latas em cada linha seja x. Escreva uma expressão que

represente o total de latas na caixa.

b) Supondo, agora, que a caixa esteja completa com 96 latas ao todo, determine quantas latas

são colocadas em cada coluna.

2. Explorando outras formas de resolução de equações do 2º grau. Numa equação do 2º grau da forma ax² + bx + c = 0, a expressão b² – 4ac é chamada de discriminante da equação. Comumente, essa expressão é designada pela letra grega ∆, ou seja, ∆ = b² – 4ac.

Acompanhe o desenvolvimento a seguir:

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑏2 − ∆ = 4𝑎𝑐

Fatorando, temos (𝑏 ± √∆) ∙ (𝑏 ∓ √∆) = 2𝑎 ∙ 2𝑐




Daí, pode-se afirmar que:

(𝑏 ∓ √∆)

2𝑎=

2𝑐

(𝑏 ± √∆)

Multiplicando ambos os membros da equação por (–1), tem-se:

(−𝑏 ∓ √∆)

2𝑎=

2𝑐

(−𝑏 ± √∆)

De acordo com a fórmula de resolução da equação do 2º grau, conhecida no Brasil por fórmula de Bháskara, e diante da equação a que se chegou acima, tem-se que:

𝑥 =2𝑐

(−𝑏 ± √∆)

Resolva a equação x² – 5x + 6 = 0 utilizando a fórmula apresentada anteriormente e por meio de completar quadrados. Por fim, compare os resultados.

Gabarito das questões

1.

a) Considerando x a quantidade de linhas, tem-se que a quantidade de colunas é dada por x – 4.

Assim, de acordo com a disposição das latas na caixa, a quantidade de latas é dada pela

expressão x · (x – 4).

b) Como a caixa tem 96 latas, então podemos afirmar que x · (x – 4) = 96. Assim:

x² – 4x = 96

x² – 4x + 4 = 96 + 4

(x – 2)² = 100

x – 2 = 10 ⟺ x = 12 ou x – 2 = –10 ⟺ x = –8 (não convém)

Assim, a disposição das latas na caixa se dá por 12 linhas e, consequentemente, por 8 colunas.

2. Primeiramente, dada a equação x² – 5x + 6 = 0, temos que ∆ = (−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6 = 1. Utilizando a fórmula apresentada no texto, temos que as soluções da equação x² – 5x + 6 = 0 são dadas por:

x =2 ∙ 6

(5 ± √1), ou seja, x = 12

5 − 1= 3 ou x =

12

5 + 1= 2




Pelo método de completar quadrado, temos:

x² – 5x + 6 = 0

x² – 5x = –6

x² – 5x + (5

2)

2= –6 + (

5

2)

2

x² – 5x + 25

4 = –6 +

25

4

(𝑥 – 5

2)

2 =

1

4

x – 5

2 =

1

2 ⟺ x = 3 ou x –

5

2 = –

1

2 ⟺ x = 2

Os resultados obtidos pelos 2 métodos de resolução são os mesmos.

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