MASALAH KONTEKS DI MATEMATIKA REALISTIS PENDIDIKAN: SEBUAH KURSUS

KALKULUS SEBAGAI CONTOH

1. PENDAHULUAN

Peran masalah konteks digunakan untuk terbatas pada aplikasi yang akan dibahas pada

akhir urutan pembelajaran - sebagai semacam add on. Saat ini, masalah konteks memiliki peran

yang lebih sentral. Mereka didukung karena penekanan hari ini pada kegunaan apa yang

dipelajari, dan karena kekuatan motivasi mereka dianggap. Masalah konteks memainkan peran

yang lebih mencakup dalam pendekatan Belanda yang dikenal sebagai pendidikan matematika

realistik (RME). Dalam RME masalah konteks memainkan peran dari awal dan seterusnya. Di

sini mereka didefinisikan sebagai masalah yang situasi masalah adalah berdasarkan pengalaman

nyata kepada siswa. Berdasarkan definisi ini, masalah matematika murni dapat menjadi masalah

konteks juga. Asalkan matematika terlibat menawarkan konteks, yang mengatakan, adalah

berdasarkan pengalaman nyata bagi siswa.

Dalam RME, titik keberangkatan adalah bahwa masalah konteks dapat berfungsi sebagai

penahan poin untuk reinvention matematika oleh siswa sendiri. Selain itu, dipandu reinvention

menawarkan jalan keluar dari dilema umumnya dirasakan bagaimana untuk menjembatani

kesenjangan antara pengetahuan informal dan matematika formal. Masalah ini adalah jantung

dari artikel ini: Bagaimana kita dapat membantu siswa untuk datang untuk mengatasi dengan

matematika formal?

Kami akan mengambil kursus kalkulus sebagai contoh, dan menunjukkan bahwa dalam

pendekatan reinvention, peran masalah konteks dan melambangkan dan pemodelan yang erat

terjalin. Sebenarnya, kita membangun pekerjaan yang telah dilakukan pada melambangkan dan

pemodelan dalam matematika sekolah dasar (Streefland, 1985, Treffers, 1991, Gravemeijer,

1994, 1998). Kami mencoba untuk menunjukkan bahwa kerangka yang telah dikembangkan

untuk sekolah dasar juga dapat digunakan untuk sebuah topik maju sebagai kalkulus. Kita mulai

dengan mengikuti kritik Tall pada pendekatan formal untuk mengajar kalkulus, dengan memberi

penjelasan masalah instruksi berdasarkan analisis logis formal. Berikutnya kita membahas

beberapa alternatif sebelum pindah ke elaborasi dari pendekatan RME.

Urutan kalkulus RME terinspirasi oleh sejarah matematika. Kami akan menjelaskan

beberapa unsur sejarah kalkulus dari temuan di Merton College di abad ke-14 sampai Galileo

yang menarik dari sudut pandang desain instruksional pandang. Kami berpendapat bahwa fungsi

diskrit dan grafik mereka memainkan peran kunci sebagai perantara antara masalah konteks yang

harus dipecahkan dan kalkulus formal yang sedang dikembangkan. Kami akan menyelesaikan

dengan diskusi tentang pendekatan RME menciptakan kesempatan untuk membiarkan

matematika resmi muncul, bukannya mencoba untuk menjembatani kesenjangan antara formal

dan informal

3. PEDOMAN PENEMUAN KEMBALI DAN MATEMATISASI PROGRESIF

Benang yang mendasari semua pendekatan alternatif adalah keyakinan bahwa belajar

matematika harus memiliki karakteristik pertumbuhan kognitif, dan bukan dari proses susun

potongan pengetahuan. Perspektif ini konsisten dengan pandangan yang lebih umum bahwa cara

di mana umat manusia dikembangkan pengetahuan matematika, juga cara di mana individu harus

memperoleh pengetahuan matematika. Sebuah tampilan yang, misalnya, dikemukakan oleh

Polya (1963), dan Freudenthal (1973, 1991).

Titik Freudenthal tentang keberangkatan di kritiknya pendidikan matematika tradisional.

Dia keras menentang apa yang disebutnya inversi anti-didactical (Freudenthal, 1973), di mana

hasil akhir karya matematikawan diambil sebagai titik awal untuk pendidikan matematika.

Sebagai alternatif ia menganjurkan bahwa pendidikan matematika harus mengambil titik tolak

terutama dalam matematika sebagai suatu kegiatan, dan tidak dalam matematika sebagai siap

pakai sistem (Freudenthal, 1971, 1973, 1991). Dengan pepatah ini, ia telah meletakkan dasar

untuk RME. Baginya kegiatan inti matematika adalah "mathematizing", yang merupakan

singkatan untuk mengatur dari perspektif matematika. Freudenthal melihat kegiatan ini siswa

sebagai cara untuk menemukan kembali matematika.

Perhatikan bahwa siswa tidak diharapkan untuk menemukan kembali segala sesuatu

sendiri. Sehubungan dengan ini, Freudenthal (1991) berbicara tentang dipandu reinvention;

baginya, penekanannya pada karakter proses pembelajaran bukan pada penemuan seperti itu.

Idenya adalah untuk memungkinkan peserta didik untuk datang ke menganggap pengetahuan

yang mereka dapatkan sebagai pengetahuan pribadi mereka sendiri, pengetahuan yang mereka

sendiri bertanggung jawab. Yang terakhir ini menyiratkan bahwa norma-norma sosial tertentu

(Yackel & Cobb, 1996) harus berada di tempat. Misalnya, norma seperti: Anda tidak belajar

matematika dengan menebak apa yang guru dalam pikiran, tetapi dengan mencari hal-hal untuk

diri sendiri.

Menurut Freudenthal, mathematizing mungkin melibatkan baik mathematizing materi

pelajaran kehidupan sehari-hari dan mathematizing matematika materi pelajaran (Freudenthal,

1971). Dia tidak melihat perbedaan mendasar antara dua kegiatan. Oleh karena itu, pendidikan

mungkin mulai dengan mathematizing materi pelajaran kehidupan sehari-hari. Reinvention,

bagaimanapun, menuntut bahwa siswa mathematize aktivitas matematika mereka sendiri juga.

Sehubungan dengan ini, Treffers (1987) discerns mathematization horisontal dan vertikal.

Mathematization horisontal mengacu pada proses menggambarkan masalah konteks istilah

matematika - untuk dapat menyelesaikannya dengan cara matematika. Mathematization vertikal

mengacu mathematizing aktivitas matematika sendiri. Melalui mathematization vertikal, siswa

mencapai tingkat yang lebih tinggi dari matematika. Hal ini dalam proses mathematization

progresif - yang terdiri baik komponen horisontal dan vertikal - bahwa siswa membangun (baru)

matematika.

Freudenthal (1971, 417) menyatakan ini sebagai "masalah operasional pada satu tingkat

menjadi subyek pada tingkat berikutnya." Meskipun Freudenthal memiliki tingkat mikro dalam

pikiran, koneksi dapat dibuat dengan Sfard (1991) akun lebih makroskopik pengembangan

matematika berdasarkan analisis sejarah. Dia mengamati bahwa sejarah matematika dapat

dicirikan sebagai proses yang berkelanjutan dari reifikasi di mana proses yang ditafsirkan

kembali sebagai objek. Salah satu contoh dia memberikan adalah bahwa dari fungsi. Mereka

pertama muncul sebagai resep Perhitungan. Proses ini memakan waktu begitu banyak perhatian

bahwa karakter operasi tidak mendapatkan banyak perhatian. Secara bertahap, bagaimanapun,

perbedaan yang dibuat, dan berbagai macam fungsi yang dibedakan. Semakin banyak, fungsi

diperlakukan sebagai objek, dengan karakteristik tertentu. Analisis sfard ini menunjukkan bahwa

siswa akan harus melalui proses yang sama; siswa hanya akan berada dalam posisi untuk

memahami gagasan fungsi sebagai objek, jika mereka memiliki cukup pengalaman dengan

fungsi sebagai prosedur.

Perspektif desain instruksional

Dalam pendekatan reinvention masalah konteks memainkan peran kunci. Masalah

konteks yang dipilih menawarkan kesempatan bagi siswa untuk mengembangkan informal

strategi solusi yang sangat-konteks tertentu. Prosedur ini solusi informal yang kemudian, dapat

berfungsi sebagai pijakan penemuan, atau sebagai katalis untuk pembatasan, formalisasi atau

generalisasi. Singkatnya, di RME, masalah konteks merupakan dasar untuk mathematization

progresif. Desainer instruksional mencoba untuk menafsirkan serangkaian masalah konteks yang

dapat menyebabkan serangkaian proses mathematization horisontal dan vertikal yang bersama-

sama menghasilkan penciptaan kembali dari matematika yang satu ini bertujuan untuk. Pada

dasarnya, pertanyaan penuntun bagi para desainer adalah: Bagaimana aku bisa menemukan ini?

Berikut desainer akan mempertimbangkan nya / pengetahuan dan pembelajaran pengalamannya

sendiri. Selain itu, desainer dapat melihat sejarah matematika sebagai sumber inspirasi, dan pada

strategi solusi informal siswa yang memecahkan masalah terapan yang mereka tidak tahu

prosedur larutan standar belum (lihat Streefland, 1995, dan Gravemijer, 1991 untuk contoh).

Penelitian pada desain urutan RME sekolah dasar telah menunjukkan, bahwa konsep

model yang muncul dapat berfungsi sebagai desain heuristik yang kuat (Gravemeijer, 1998). Di

sini, titik keberangkatan adalah dalam metode solusi spesifik situasi-yang kemudian dimodelkan.

Masalah konteks pertama yang dipilih yang menawarkan siswa kesempatan untuk

mengembangkan metode-situasi tertentu ini. Kemudian, jika mereka melakukannya, metode ini

dimodelkan. Dalam pengertian ini, model muncul dari aktivitas siswa. Bahkan jika model tidak

benar-benar diciptakan oleh mahasiswa, hati-hati diambil untuk mendekati penemuan siswa

sedekat mungkin dengan memilih model yang berhubungan dengan sejarah belajar siswa.

Kriteria lain adalah pada potensi model untuk mendukung mathematizing vertikal. Idenya adalah

untuk mencari model yang dapat digeneralisasi dan diformalkan untuk berkembang menjadi

entitas sendiri, yang dengan demikian dapat menjadi model untuk penalaran matematika.

Sebagai contoh dapat kita ambil urutan instruksional di mana penggaris datang ke

kedepan sebagai model iterasi unit pengukuran, dan berkembang menjadi model untuk penalaran

tentang perhitungan mental yang strategi dengan angka sampai dengan 100 (Stephan, 1998,

Gravemeijer, 1998) . Dalam urutan ini, siswa mengukur berbagai panjang dengan iterasi

beberapa unit dasar pengukuran, dan unit pengukuran yang lebih besar yang terdiri dari sepuluh

unit dasar. Pengukuran ini dengan "puluhan" dan "orang-orang" dimodelkan dengan penguasa

100 unit, terbuat dari unit sepuluh dan satu. Kemudian aktivitas pengukuran diperpanjang untuk

incrementing, decrementing dan membandingkan panjang. Situasi ini menimbulkan strategi yang

diwakili oleh busur pada penguasa schematized atau sebagai "kosong nomor baris" menghitung

(Whitney, 1985; Treffers, 1991) (lihat gambar 1).

Akhirnya, simbolisasi pada representasi garis bilangan kosong akan digunakan untuk

menjelaskan dan membenarkan strategi seperti memecahkan 95-19 dengan mengurangkan 20

dan menambahkan satu (lihat gambar 2). Dengan cara ini, fungsi garis bilangan sebagai model

untuk penalaran matematika.

Pergeseran dari model / dari model / untuk sepakat dengan pergeseran dalam cara siswa

berpikir tentang model, dari model yang berasal maknanya dari situasi konteks dimodelkan,

untuk berpikir tentang hubungan matematika. Pada tahap terakhir, berpikir tentang hubungan

jumlah akan mendominasi penggunaan garis bilangan. Sehubungan dengan ini, kita dapat

melihat berbagai jenis kegiatan (Gravemeijer, 1994, Gravemeijer, Cobb, Bowers & Whitenack,

di tekan):

(1) aktivitas dalam pengaturan tugas (mengukur dengan unit sepuluh dan satu)

(2) aktivitas referensial (menafsirkan posisi pada penguasa sebagai penanda hasil iterasi unit

pengukuran)

(3) aktivitas umum (menggunakan garis penguasa / nomor untuk alasan tentang metode

perhitungan)

(4) penalaran matematika formal (penalaran dengan hubungan nomor dalam realitas matematika

dari kerangka hubungan angka).

Perhatikan bahwa, istilah 'model' harus dipahami dalam pengertian holistik. Hal ini tidak

hanya inscription1, tetapi segala sesuatu yang datang dengan itu yang merupakan model di RME.

Selanjutnya, model yang sama mungkin mencakup riam prasasti (Lehrer, 1996); misalnya dari

penguasa biasa ke nomor baris kosong. Label "muncul" menekankan kesinambungan dalam

proses ini. Label ini juga digunakan untuk merujuk pada fakta bahwa model muncul dari

aktivitas siswa. Selain itu, matematika yang satu ini bertujuan untuk (misalnya pengembangan

kerangka hubungan angka), muncul dalam proses selanjutnya.

Kita dapat mencatat bahwa tujuannya adalah tidak hanya untuk membantu siswa

menjelaskan pemahaman dan solusi resmi strategi informal mereka sedemikian rupa sehingga

mereka dapat mengembangkan wawasan matematika yang lebih formal dan strategi. Tujuannya

juga untuk melestarikan hubungan antara konsep-konsep matematika dan yang konsep-konsep

ini menggambarkan. Pemahaman akhir siswa dari matematika formal harus tetap terhubung

dengan, atau sebagai Freudenthal akan mengatakan, harus "berakar pada", pemahaman mereka

tentang experientially nyata ini, fenomena kehidupan sehari-hari.

Sehubungan dengan ini, kami ingin menekankan bahwa kita melihat pemodelan dan

melambangkan sebagai bagian integral dari kegiatan pengorganisasian yang bertujuan datang

untuk mengatasi dengan situasi masalah. Dengan kata lain, pengembangan model dan

simbolisasi yang merupakan / prasasti berjalan seiring dengan perkembangan konseptualisasi

matematika dari situasi masalah. Di satu sisi, simbolisasi yang berasal maknanya dari situasi

yang menggambarkan. Di sisi lain, cara situasi masalah yang dirasakan sangat dipengaruhi oleh

simbolisasi "melalui" situasi terlihat. Dalam hal ini, kami setuju dengan Meira (1995, 270) yang

menganjurkan pandangan aktivitas berorientasi dinamis, yang menurut simbolisasi dan makna

co-berevolusi dalam proses dialektika.

Dalam berikut kami ingin mencoba untuk melemparkan desain kursus kalkulus RME

dalam hal ini emergentmodels desain heuristics.We akan memulai dengan membuat sketsa

momen-momen penting dalam sejarah beberapa kalkulus. Sejak, meskipun penemuan kembali

tidak selalu berarti bahwa sejarah matematika harus menjadi titik keberangkatan, ini tentu saja

kalkulus RME terjadi menjadi contoh bagaimana inspirasi sejarah matematika bisa untuk

pendidik matematika. Selain itu, sejarah kalkulus menawarkan beberapa wawasan ke dalam apa

yang mungkin merupakan sebagai model muncul dalam kalkulus.

6. DISKUSI, MENCIPTAKAN KENYATAAN MATEMATIKA

Pertanyaan kami bertanya di awal artikel ini: Bagaimana kita dapat membantu siswa

untuk datang untuk mengatasi dengan matematika formal? Sentral dalam eksposisi kami adalah

pendekatan RME. Pendekatan ini membedakan dirinya dari banyak pendekatan lain, dalam hal

ini mencoba untuk mengatasi dikotomi antara pengetahuan informal dan formal, dengan

merancang lintasan pembelajaran hipotetis sepanjang yang siswa dapat menemukan kembali

matematika formal. Idealnya, lintasan pembelajaran yang sebenarnya terungkap sedemikian

rupa, bahwa matematika formal yang muncul dalam kegiatan matematika siswa. Yang ideal ini

terhubung ke (1991) contention Freudenthal bahwa "matematika harus memulai dan tetap dalam

akal sehat." Freudenthal dimaksudkan pepatah ini harus ditafsirkan secara dinamis dan

berpendapat bahwa akal sehat tidak statis. Dia mencatat, misalnya, bahwa apa yang akal sehat

untuk matematika berbeda secara signifikan dari apa yang akal sehat untuk orang awam. Selain

itu, ia menekankan bahwa akal sehat berkembang dalam perjalanan pembelajaran. Dengan

demikian, pada tahap pertama dari urutan, menggambarkan kecepatan sesaat dari segi jarak yang

akan dibahas dalam kasus kecepatan konstan, adalah kegiatan yang masuk akal. Dengan cara

yang sama, pendekatan diskrit kecepatan yang bervariasi dapat dilihat sebagai aktivitas akal

sehat. Pada akhir urutan, bertindak dalam lingkungan terstruktur dalam hal daerah

dan gradien dari grafik akan menjadi akal sehat untuk siswa.

Perkembangan ini juga dapat diambil untuk contoh apa yang dimaksud dengan masalah

konteks RME. Seperti yang kita sebutkan sebelumnya, masalah konteks didefinisikan sebagai

situasi masalah yang dialaminya nyata kepada siswa. Contoh di atas menunjukkan bahwa realitas

pengalaman ini tumbuh dengan perkembangan matematika siswa. Freudenthal explicates: "Saya

lebih suka untuk menerapkan istilah 'realitas' dengan yang di tahap pengalaman akal sehat

tertentu sebagai nyata" (Freudenthal, 1991, hal.17). Ini penggunaan realitas istilah dalam RME

sangat kompatibel dengan Greeno (1991) metafora lingkungan. Dari sini kita menyimpulkan

bahwa tujuan keseluruhan desain instruksional adalah untuk mendukung munculnya bertahap

realitas matematika diambil-sebagai-bersama. Jika siswa mengalami proses menciptakan

kembali matematika sebagai memperluas akal sehat, maka mereka tidak akan mengalami

dikotomi antara pengalaman kehidupan sehari-hari dan matematika. Keduanya akan menjadi

bagian dari realitas yang sama.

Kami dapat mencatat hubungan refleksif antara penggunaan masalah konteks dan

perkembangan realitas pengalaman siswa. Di satu sisi, masalah konteks berakar pada kenyataan

ini, di sisi lain, memecahkan masalah konteks ini membantu siswa untuk memperluas realitas

mereka. Meskipun karakter dinamis ini realitas yang mendefinisikan masalah konteks, titik awal

untuk urutan instruksional akan sering berhubungan dengan pengalaman kehidupan sehari-hari

siswa. Justru hubungan dengan kecepatan dan jarak yang menawarkan siswa sarana untuk alasan

dan bertindak dengan cara yang berarti dari awal.