МАН – 2014 (Математика)

9 клас

І рівень

1. У сплаві міді й олова масою 12 кг міститься 45% міді. Скільки олова

(у кг) потрібно додати до цього сплаву, щоб у ньому було 40% міді?

Розв’язування

1) 12 кг – 100%

х кг – 45%

х=(12∙45%)/100%=5,4 (кг) міді у розчині було спочатку.

2) 5,4 кг – 40%

(12+х) кг – 100%

12+х=(5,4∙100%)/40%,

12+х=13,5

х=13,5-12

х=1,5 (кг) олова додали у розчин.

2. Доведіть, що значення виразу 86-4

7 кратне 6.

Розв’язування

86-4

7=2

18-2

14=2

12(2

6-2

2)=2

12(64-4)=2

12·60.

Оскільки число 60 ділиться на 6, то і весь вираз ділиться на 6.

3. Зовнішній кут правильного многокутника становить

внутрішнього.

Знайдіть кількість сторін цього многокутника.

Розв’язування

2=

(n-2)

10=n-2

n=12

ІІ рівень

4. Знайдіть площу трапеції, основи якої 10 см і 14 см, а бічні сторони 13

см і 15 см.

Розв’язування

Нехай ВК і СR – висоти трапеції АВСD.

АК=х см, RD=14-10-х=(4-х) см.

З прямокутних трикутників:

ВК=√ , СR=√ .

= =>8х=-40; х=-5.

Це випадок, якщо кут А – тупий.

ВК=√ =12 (см) ;

5. Побудуйте графік функції

.

Розв’язування

$

x≠-2; x≠0;

;

x≠-2; x≠0.

ІІІ рівень

6. При яких значеннях параметра а рівняння

має корені різного знаку?

Розв’язування

Щоб дане рівняння мало корені, потрібно щоб D 0, а щоб ці корені були

різного знаку 4а+5<0.

D=4(а+2)2-4(4а+5)=4а

2+16а+16-16а-20=4а

2-4.

В С

D R K А

13 см

10 см

15 см

Y

X 0

{

{

[

=> a< -1,25

7. На відрізку АС дано точку В, причому АВ=14 см, ВС=28 см. На

відрізках АВ, ВС і АС як на діаметрах побудовано півкола в одній

півплощині відносно прямої АС. Знайти радіус кола, що дотикається

до всіх трьох півкіл.

Розв’язування

ОВ=7 см;

ВР=14 см; радіуси відповідних кіл

АQ=21 см;

SF=х см.

ОS=(7+х) см;

SР=(х+14) см;

ОР=21 см;

SQ=(21-х) см;

ОQ=14 см;

QР=7 см.

Так як ОQS+ Р=1800, то cos OQS=-cos SQP.

За теоремою косинусів

OS2=OQ

2+QS

2-2OQ·QS ·cos OQS, звідси

cos OQS=

;

PS2=OQ

2+QS

2-2QP·QS· cos SQP;

cos SQP=

, тоді

;

;

441-42х+х2+196-49-14х-х

2=2(196+28х+х

2-49-441+42х-х

2);

A C P Q B O

S

F

588-56х=2(70х-294);

294-28х=70х-294;

70х+28х=294+294;

98х=588;

х=6. Отже, SF=6 см.

МАН – 2014 (Математика)

10 клас

І рівень

1. Розв’яжіть систему рівнянь {

Розв’язування

{

{

{

{

{

{

{

2. Розв’яжіть рівняння √ .

Розв’язування

√ ;

√ =t => = t2 => = 41-t

2;

41- t2+2t=26;

- t2+2t+15=0;

t2-2t-15=0 => t1=-3; t2=5.

√ √

41-x2=25;

x2=16;

x=±4.

3. Три кути опуклого многокутника дорівнюють по 1200, а решта – по

1600. Знайдіть кількість сторін многокутника.

Розв’язування

Нехай кількість сторін многокутника дорівнює n. Тоді сума кутів:

1200·3+160

0(n-3)=180

0(n-2),

В

А D

С

Е

3600+160

0 n-480

0=180

0 n-360

0,

200 n=240,

n=12.

ІІ рівень

4. Розв’яжіть нерівність

.

Розв’язування

(

) х є (-∞;1)U(

.

5. Основи трапеції дорівнюють 2 см і 8 см. Знайдіть радіуси двох кіл:

вписаного в трапецію й описаного навколо трапеції, коли відомо, що

такі кола існують.

Розв’язування

1) Оскільки трапеція вписана в коло, то АВ=СD =>

АЕ=

(см).

2) Оскільки, трапеція описана навколо кола, то

АВ+СD=AD+BC => 2AB=8+2=10 (см).

3) Розглянемо трикутник АВЕ ( Е=900)

ВЕ=4 см, отже, r =

ВС=2 (см)

4) ∆BDE ( Е=900)

ВD=√ √ √ (см).

– + – +

Х 2 1

5) ∆АВС за наслідком з теореми синусів BD=√

√

(см).

ІІІ рівень

6. При яких значеннях m нерівність

виконується для будь-

яких х?

Розв’язування

,

,

,

,

,

2х2-2х+3>0 для всіх хєR, оскільки D=4-4·2·3<0.

Отже, х2-(m+2)х+4 має бути більше 0 для всіх хєR, що можливо за умови

(m+2)2-16<0;

(m+2)2<16;

-4<m+2<4;

-6<m<2. m є (-6:2).

7. На відрізку АС дано точку В, причому АВ=14 см, ВС=28 см. На

відрізках АВ, ВС і АС як на діаметрах побудовано півкола в одній

півплощині відносно прямої АС. Знайти радіус кола, що дотикається

до всіх трьох півкіл.

Розв’язування

ОВ=7 см;

ВР=14 см; радіуси відповідних кіл

АQ=21 см;

SF=х см.

A C P Q B O

S

F

ОS=(7+х) см;

SР=(х+14) см;

ОР=21 см;

SQ=(21-х) см;

ОQ=14 см;

QР=7 см.

Так як ОQS+ Р=1800, то cos OQS=-cos SQP.

За теоремою косинусів

OS2=OQ

2+QS

2-2OQ·QS ·cos OQS, звідси

cos OQS=

;

PS2=OQ

2+QS

2-2QP·QS· cos SQP;

cos SQP=

, тоді

;

;

441-42х+х2+196-49-14х-х

2=2(196+28х+х

2-49-441+42х-х

2);

588-56х=2(70х-294);

294-28х=70х-294;

70х+28х=294+294;

98х=588;

х=6. Отже, SF=6 см.

А

С В

2

6

МАН – 2014 (Математика)

11 клас

І рівень

1. Знайдіть цілі розв’язки нерівності 0

3.

Розв’язування

-1<

<2;

-2<2-3x<4;

-4<-3x<2;

-

<x<

.

Отже цілими розв’язками нерівності будуть числа 0 і 1.

2. Обчисліть значення похідної функції f(x)=( √ )5 в точці х0=1.

Розв’язування

fꞌ(x)=5(√ +1)4·

√ = √

√ .

Якщо х0=1, то fꞌ(1)= √

√ =5·2

3=40.

3. У АВС С=900, tgB=

, АВ=26 см. Знайти довжину меншого катета

трикутника.

Розв’язування

tg B=

.

Нехай, АС=5х см, тоді СВ=12х см.

АВ2=АС

2+СВ

2,

262=25х

2+144х

2,

262=169х2,

26=13х, х=2.

АС=10 см.

ІІ рівень

4. Розв’язати рівняння sin2x=cos4

– sin

4

.

Розв’язування

Sin2x=cos4

4

,

2sinxcosx=(cos2

-sin

2

)( cos

2

+sin

2

),

2sinxcosx=cosx,

cosx(2sinx-1)=0,

cosx=0 2sinx-1=0, sinx=

.

X1=

+𝛑n, nєZ. X2=(-1)k

+𝛑k, kєZ.

5. Побудуйте графік рівняння | |

.

Розв’язування

Область визначення рівняння х≠±1. Рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

[ | |

{

у

х

1

0 1

-1

-1

ІІІ рівень

6. В основі прямої призми з висотою b лежить квадрат зі стороною a. У

призмі побудовано переріз, який є перпендикулярним до діагоналі

бучної грані й проходить через вершину основи. Знайдіть площу

перерізу, якщо а<b.

Розв’язування

1) Нехай АВСА1В1С1D1 –

дана призма. AN┴ВА1, АD┴АА1,

АD┴АВ =>AD┴(ABB1), отже,

АD┴BA1, тобто ВА1

перпендикулярно до двох

прямих площини (DАN), які

перетинаються. Таким чином

ВА1 ┴(DАN). Проведемо NP||AD,

ANPD - шуканий переріз. (Nє

ВВ1, а<b).

2) AD||NP, AD=NP, оскільки

вони рівні ВС,. ANPD -

паралелограм, DA┴AN => ANPD

– прямокутник.

3) SANPD=AD∙AN=a∙AN.

AA1B: BA1=√ ,

sin

√ ; = A1BA

AKB ( K=900): =900- , cos =sin .

√ => з ABN: AN=

√

.

√

√

.

7. Розв'яжіть нерівність: logx1<-1.

Розв’язування

logx1<-1, ОДЗ: х>0; x≠1.

{

{

-1<0,

.

xє

{

{

-1>0,

.

xє

1 0 x

- + -

0 1

+ - -

x