1. 2. 3.dainu/admission/math.pdfแบบบอกเง อนไข เช น {|xx เป นจ...

เอกสารประกอบการบรรยายโครงการ “สรปเขมโคงสดทาย โครงการ 3” วชา คณตศาสตร O-NET & A-NET ชอผสอน

หนา 1 ผศ.ดร.ไพศาล นาคมหาชลาสนธ ดร.ทรงเกยรต สเมธกจการ

เซตเซต

11.. ความรพนฐานเกยวกบเซตความรพนฐานเกยวกบเซต

1. การเขยนเซต 1. แบบแจกแจงสมาชก เชน {1,3,5,7,9}

2. แบบบอกเงอนไข เชน { |x x เปนจานวนเตมบวกคทนอยกวา 10}

เขยน x A∈ แทน “x เปนสมาชกของเซต A” และ x A∉ แทน “x ไมเปนสมาชกของเซต A”

2. เซตจากดและเซตอนนต

1. เซตจากด คอเซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนเตมบวกหรอศนย เชน { 3,1, 0,2}−

เขยนแทนจานวนสมาชกของ A ดวย ( )n A

2. เซตอนนต คอเซตทไมใชเซตจากด เชน {1,2, 3, }…

3. เซตวางและเอกภพสมพทธ

1. เซตวาง คอเซตทไมมสมาชกเลย เขยนแทนดวย φ หรอ { }

2. เอกภพสมพทธ คอเซตทกาหนดขนโดยมขอตกลงวาจะไมกลาวถงสงใดนอกเหนอไปจาก

สมาชกของเซตทกาหนดขน มกเขยนแทนเอกภพสมพทธดวย U

22.. ความสมพนธระหวางเซตความสมพนธระหวางเซต

1. สบเซต A เปนสบเซตของ B (A B⊂ ) กตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B

2. การเทากนของเซต A B= กตอเมอ A B⊂ และ B A⊂

ขอสงเกต 1. Aφ ⊂ , A A⊂ , A U⊂

2. เรยกสบเซตของ A ทไมเทากบ A วา สบเซตแทของ A

3. ถา A เปนเซตจากดและ ( )n A m= แลว A จะมสบเซตตางกนทงหมด 2m สบเซต

33.. เพาเวอรเซตเพาเวอรเซต

เพาเวอรเซตของ A เขยนแทนดวยสญลกษณ ( )P A นยามโดย { }( ) |P A B B A= ⊂

ขอสงเกต ( )P Aφ ∈ และ ( )A P A∈



44.. การดาเนนการของเซตการดาเนนการของเซต

1. อนเตอรเซกชน { |A B x x A∩ = ∈ และ }x B∈

2. ยเนยน { |A B x x A∪ = ∈ หรอ }x B∈

3. คอมพลเมนท { | }A x x A′ = ∉ 4. ผลตาง { |A B x x A− = ∈ และ }x B∉

1. A A A∪ = A A A∩ =

2. A B B A∪ = ∪ A B B A∩ = ∩

3. ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

4. ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

5. ( )A B A B′ ′ ′∪ = ∩ ( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪

6. ( )A A′′ =

7. Uφ′ = U φ′ =

8. A A

A A

φ

φ

∪ =

− =

A

A

φ φ

φ φ

∩ =

− =

9. U A U

U A A

∪ =

′− =

U A A

A U φ

∩ =

− =

10. A A U′∪ = A A φ′∩ =

11. A B A B ′− = ∩ 12. ถา A B⊂ แลว B A′ ′⊂

55.. สตรเกยวกบจานวนสมาชกของเซตจากดสตรเกยวกบจานวนสมาชกของเซตจากด สาหรบเซตจากด A, B, C ใดๆ

1. ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

A BU

U

A B

C



ตรรกศาสตรตรรกศาสตร

11.. ประพจนประพจน

ประพจน คอประโยคทเปนจรงหรอเทจอยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยว ซงอาจจะอยในรปประโยค

บอกเลาหรอประโยคปฏเสธกได

22.. นเสธและตวเชอมประพจนนเสธและตวเชอมประพจน

เราสรางประพจนใหมทมคาความจรงตรงขามกบเดมไดโดยอาศยตวดาเนนการทเรยกวานเสธ

ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ ∼ ซงสามารถแสดงคาความจรงดวยตารางคาความจรงไดดงน

p p∼

T F

F T

นอกจากนประพจนสองประพจนสามารถเชอมกนไดดวยตวเชอมประพจนตางๆ กน 4 แบบคอ

1. ตวเชอม และ เขยนแทนดวย ∧ 2. ตวเชอม หรอ เขยนแทนดวย ∨

3. ตวเชอม ถา...แลว เขยนแทนดวย → 4. ตวเชอม กตอเมอ เขยนแทนดวย ↔

ซงสามารถแสดงคาความจรงสาหรบประพจนทมตวเชอมตางๆ ไดดงน

p q p q∧ p q∨ p q→ p q↔

T T T T T T

T F F T F F

F T F T T F

F F F F T T

หลกในการจาคาความจรงสาหรบตวเชอมตางๆ

1. ตวเชอม และ เปน T เมอทงคเปน T นอกนนเปน F

2. ตวเชอม หรอ เปน F เมอทงคเปน F นอกนนเปน T

3. ตวเชอม ถา...แลว เปน F สาหรบ T → F เพยงกรณเดยวเทานน ทเหลอเปน T

4. ตวเชอม กตอเมอ ถาเหมอนกนเปน T และถาตางกนเปน F



33.. ตารางคาความจรงตารางคาความจรง

การสรางตารางคาความจรงของประพจนเปนการแจงทกกรณทเปนไปไดทงหมด ซงทาไดไมยากแต

เสยเวลา หากมประพจนยอยตางกนทงสน n ประพจน จะมกรณทแตกตางกนทงหมด 2n กรณ

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของ ( )p q q→ ∧ ∼

วธทา

p q p q→ q∼ ( )p q q→ ∧ ∼

T T T F F

T F F T T

F T T F F

F F T T T

44.. ปรประพจนทสมมลกนะพจนทสมมลกน

ประพจนใดๆ สองประพจนสมมลกน เมอไมวาคาความจรงในประพจนยอยจะเปนอยางไร คาความจรง

ของทงสองประพจนนนจะเหมอนกนทกกรณ การตรวจสอบการสมมลสามารถทาไดโดยสรางตารางคาความจรง

หรออาศยประพจนสมมลพนฐานเขาชวย ถา p และ q เปนประพจนทสมมลกน จะเขยนแทนดวย p q≡

เพอใหตรวจสอบประพจนทสมมลกนไดงาย เราอาจอาศยรปแบบทสมมลกนตอไปนเขาชวย

1. การสลบท p q q q

p q q p

p q q p

∨ ≡ ∨∧ ≡ ∧↔ ≡ ↔

2. การจดหม ( ) ( )

( ) ( )

p q r p q r

p q r p q r

∨ ∨ ≡ ∨ ∨

∧ ∧ ≡ ∧ ∧

3. การกระจาย

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p q r p q p r

p q r p q p r

∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧

∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨

4. ถา...แลว และ กตอเมอ

( ) ( )

p q p q q p

p q p q q p

→ ≡ ∨ ≡ →

↔ ≡ → ∧ →

∼ ∼ ∼

6. นเสธ ( )

( )

( )

( )

p p

p q p q

p q p q

p q p q

≡

∨ ≡ ∧

∧ ≡ ∨

→ ≡ ∧

∼ ∼

∼ ∼ ∼

∼ ∼ ∼

∼ ∼

5. เอกลกษณ

T

F

p p p

p p p

p p

p p

∨ ≡∧ ≡

∧ ≡

∨ ≡



55.. สจนรนดรสจนรนดร

เราจะเรยกประพจนใดวา สจนรนดร กตอเมอไมวาคาความจรงของประพจนยอยจะเปนอะไรกตาม คา

ความจรงของประพจนนนจะเปนจรงเสมอ

66.. ประโยคเปดและวลบงปรมาณประโยคเปดและวลบงปรมาณ

ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมตวแปร ประโยคเปดไมเปนประพจน แตถาแทนตวแปร

ดวยสมาชกในเอกภพสมพทธแลวเราจะไดประพจน การทาประพจนเปดใหเปนประพจนสามารถทาไดโดยการใส

วลบงปรมาณ ซงมอยดวยกน 2 ตว คอ “ ∀ ” (for all, ทกๆ) และ “∃ ” (for some, บางตว) ซงการ

กาหนดคาความจรงและการใสนเสธเปนไปตามตารางตอไปน

ขอความ เงอนไขททาใหจรง เงอนไขททาใหเทจ

[ ]( )x P x∀ ทกๆ x ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( )P x จรง

มบาง x ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( )P x เทจ

[ ]( )x P x∃ มบาง x ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( )P x จรง

ทกๆ x ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( )P x เทจ

ในบางครงประโยคเปดของเราอาจมตวแปรมากกวาหนงตวกได เชน ให ( , )P x y เปนประโยคเปดทแทน

ขอความวา “ 5x y+ = ” หรอ ( , , )Q x y z แทนขอความ “ 1x y z+ + = ” เปนตน การกาหนดคาความ

จรงและการใสนเสธของประโยคเปดสองตวแปรเปนดงน

ขอความ เงอนไขททาใหจรง เงอนไขททาใหเทจ

[ ]( , )x y P x y∀ ∀ ทก x ทก y ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( , )P x y จรง

มบาง x และมบาง y ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( , )P x y เทจ

[ ]( , )x y P x y∀ ∃ ทก x ในเอกภพสมพทธ จะหา y

ททาให ( , )P x y จรงได

มบาง x ททาใหทก y ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( , )P x y เทจ

[ ]( , )x y P x y∃ ∀ มบาง x ซงทก y ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( , )P x y เทจ

ทก x ในเอกภพสมพทธ จะหา y

ททาให ( , )P x y เทจได

[ ]( , )x y P x y∃ ∃ มบาง x และมบาง y ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( , )P x y จรง

ทก x และทก y ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( , )P x y เทจ



77.. นเสธของประพจนทมวลบงปรมาณนเสธของประพจนทมวลบงปรมาณ

1. [ ] [ ]( ) ( )x P x x P x∀ ≡ ∃∼ ∼

2. [ ] [ ]( ) ( )x P x x P x∃ ≡ ∀∼ ∼

3. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∀ ∀ ≡ ∃ ∃∼ ∼

4. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∀ ∃ ≡ ∃ ∀∼ ∼

5. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∃ ∀ ≡ ∀ ∃∼ ∼

6. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∃ ∃ ≡ ∀ ∀∼ ∼

88.. การอางเหตผลการอางเหตผล

การอางเหตผลคอการอางวาเมอมขอความ 1 2, , , np p p… ชดหนงเปนจรง จะสามารถสรปขอความ q ได

หรอไม นนคอขอความ ( )1 2 np p p q∧ ∧ ∧ → เปนสจนรนดรหรอไมนนเอง

ถาขอความ ( )1 2 np p p q∧ ∧ ∧ → เปนสจนรนดร เราจะกลาววาการอางเหตผลนสมเหตสมผล

(valid) ถาไมเปนสจนรนดรจะกลาววาการอางเหตผลนไมสมเหตสมผล (invalid)

ตวอยาง จงพจารณาวาการอางเหตผลนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. t r→∼ ∼

2. s∼ 3. t w→

4. r s∨

ผล w

วธทา

กาหนดใหเหตขอ 1, 2, 3 และ 4 เปนจรง จะไดวา

1. s∼ (จากเหตผลขอ 2)

2. r (จากขอ 1 และเหตขอ 4)

3. t (จากขอ 2 และเหตขอ 1)

4. w (จากขอ 3 และเหตขอ 3)

สรปไดวา การอางเหตผลนสมเหตสมผล



จานวนจรงจานวนจรง

11.. ผงแสดงความสมพนธของระบบจาผงแสดงความสมพนธของระบบจานวนนวน

22.. รากของสมการพหนามรากของสมการพหนาม

1. รากตรรกยะของสมการพหนาม

สมการพหนาม 11 1 0( ) 0n n

n np x a x a x a x a−−= + + + + = เมอ 1 0, , ,n na a a− ∈… และ

0na ≠ จะมรากตรรกยะทอยในรปเศษสวนอยางตา rs

เมอ r หาร 0a ลงตวและ s หาร na ลงตว

2. ทฤษฎบทเศษเหลอ

กาหนด 11 1 0( ) n n

n np x a x a x a x a−−= + + + + โดยท 1 0, , ,n na a a− ∈… และ 0na ≠

เมอหาร ( )p x ดวย x c− จะไดเศษเทากบ ( )p c

33.. สมบตของอสมการสมบตของอสมการ

1. ถา a b< และ b c< แลว a c<

2. ถา a b< แลว a c b c+ < +

3. ถา a b< และ 0c > แลว ac bc<

4. ถา a b< และ 0c < แลว ac bc>

5. ถา a b< และ c d< แลว a c b d+ < +

6. ถา 0 a b< < และ 0 c d< < แลว 0 ac bd< <

7. ถา 0 a b< < แลว 1 10

b a< <

จานวนจรง ( )

จานวนอตรรกยะ ( )′ จานวนตรรกยะ ( )

จานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม จานวนเตม (I)

จานวนเตมลบ จานวนเตมบวก (I )+

หรอจานวนนบ ( )

จานวนเตมศนย



44.. คาสมบรณและสมบตของคาสมบรณคาสมบรณและสมบตของคาสมบรณ

สาหรบจานวนจรง a ใดๆ

1. 2a a=

2. 0a ≥

3. a a= −

4. ab a b=

5. a ab b

=

6. 22a a=

7. a b a b+ ≤ +

8. ถา 0a > แลว

8.1 x a< กตอเมอ a x a− < <

8.2 x a≤ กตอเมอ a x a− ≤ ≤

8.3 x a> กตอเมอ x a<− หรอ x a>

8.4 x a≥ กตอเมอ x a≤− หรอ x a≥

55.. การแกอสมการการแกอสมการทแยกตวประกอบไดทแยกตวประกอบได

1. ถาจะคณทงสองขางของอสมการดวยคาคงตวหรอนพจน จะตองตรวจสอบวาคาคงตวหรอนพจนนนม

คาเปนบวกหรอลบอยางใดอยางหนงและอาจตองเปลยนเครองหมายอสมการใหเหมาะสม

2. พยายามจดใหขางหนงของอสมการเปน 0 แลวจงแยกตวประกอบ

3. เนองจากจานวนจรงทยกกาลงดวยเลขคจะมเครองหมายคงเดม และจานวนจรงทยกกาลงคจะมคาเปน

ศนยหรอบวกเทานน จงสามารถพจารณาอสมการทแยกตวประกอบแลวบางวงเลบมเลขยกกาลงไดดงน

3.1 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหแกอสมการเสมอนหนงวาวงเลบนนยกกาลงหนง

3.2 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหตดวงเลบนนออกจากการพจารณากอน แตเมอไดคาตอบแลว

จะตองพจารณาอกครงวาวงเลบทตดออกไปกอนนนมผลตอเซตคาตอบหรอไม แลวจงปรบคาตอบใหถกตอง

0

0

a aa

a a

≥⎧⎪⎪= ⎨− <⎪⎪⎩

เมอ

เมอ



ทฤษฎจานวนเบองตนทฤษฎจานวนเบองตน

11.. การหารการหารลงตวและจานวนเฉพาะลงตวและจานวนเฉพาะ

1. m หาร n ลงตวกตอเมอมจานวนเตม c ซง mc n= ใหเขยนแทนดวย |m n

2. จานวนเตมบวก 2p ≥ เปนจานวนเฉพาะกตอเมอจานวนเตมบวกทหาร p ลงตวอยในเซต {1, }p

3. จานวนเตม 1n > จะแยกตวประกอบ 1 21 2

km m mkn p p p= โดยท 1 2, , , kp p p… เปนจานวน

เฉพาะทไมซากนไดเพยงชดเดยวเทานน เมอไมคาถงนงลาดบในการเขยน

22.. ทฤษฎบททสาคญสาหทฤษฎบททสาคญสาหรบจานวนเตมรบจานวนเตม

1. ถา |a b และ |b c แลว |a c

2. ถา a และ b เปนจานวนเตมบวกซง |a b แลว a b≤

3. ถา |a b และ |a c แลว |a bx cy+ สาหรบจานวนเตม x และ y ใดๆ

4. ถา p เปนจานวนเฉพาะ และ |p mn แลว |p m หรอ |p n

33.. ตวหารรวมมาก ตวหารรวมมาก ((หห..รร..มม.) .) และตวและตวคณรวมนอย คณรวมนอย ((คค..รร..นน.).)

1. จานวนเตมบวก g จะเปนตวหารรวมมากของจานวนเตม m กบ n ทไมเปน 0 พรอมกน เมอ

(1) g เปนตวหารรวมของ m กบ n นนคอ |g m และ |g n

(2) ในบรรดาตวหารรวมทงหมดของ m และ n ตวหารรวมทมคามากทสดคอ g

ตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ m และ n เขยนแทนดวย ( , )m n

2. จานวนเตมบวก c จะเปนตวคณรวมนอยของจานวนเตม m กบ n ซงทงคไมเปน 0 เมอ

(1) c เปนตวคณรวมของ m กบ n นนคอ |m c และ |n c

(2) ในบรรดาตวคณรวมบวกทงหมดของ m และ n ตวคณรวมทมคานอยทสดคอ c

ตวคณรวมนอย(ค.ร.น.) ของ m และ n เขยนแทนดวย [ , ]m n

3. ถา m และ n ม ห.ร.ม. เทากบ 1 แลวจะกลาววา m และ n เปนจานวนเฉพาะสมพทธกน

4. มจานวนเตม x และ y ซง ( , )m n mx ny= + เสมอ (และมไดมากกวาหนงค)

5. ( , ) 1m n = กตอเมอมจานวนเตม x และ y ซง 1mx ny+ =

6. ถา ( , )g m n= แลว ( , ) 1m ng g =

7. ( , )[ , ]m n m n mn=



เมทรกซและดเทอรมแนนตเมทรกซและดเทอรมแนนต

11.. ความรพนฐานเกยวกบเมทรกซความรพนฐานเกยวกบเมทรกซ

1. บทนยามและสญลกษณ

1. เมทรกซเปนกลมของจานวนหรอ

นพจนทางคณตศาสตรทเขยนเรยงกน

ในลกษณะของสเหลยมมมฉาก

2. เมทรกซ A ขางตน ประกอบดวยแถว m แถว และหลก n หลก

จงกลาววาเมทรกซ A มมต m n×

3. ใชสญลกษณ ija แทนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A

4. เขยน ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แทน “A เปนเมทรกซทประกอบดวยสมาชก ija และมมต m n× ”

2. เมทรกซพเศษทสาคญ

1. เมทรกซศนย คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย

2. เมทรกซจตรส คอ เมทรกซทมจานวนแถวเทากบจานวนหลก

ถา A เปนเมทรกซจตรสมต n n×

เราจะนยาม เสนทแยงมมหลกของเมทรกซ A

เปนแนวของสมาชก 11 22, , , nna a a… จากมมซายบนไปมมขวาลาง

3. เมทรกซเอกลกษณ คอเมทรกซจตรสทมสมาชกทกตว

บนเสนทแยงมมหลกเปน 1 และสมาชกทเหลอเปนศนย

เขยน n nI × แทนเมทรกซเอกลกษณมต n n×

22.. การดาเนนการและความสมพนธของเมทรกซการดาเนนการและความสมพนธของเมทรกซ

1. การเทากนของเมทรกซ

A B= กตอเมอ เมทรกซมมตเดยวกนและสมาชกทอยในตาแหนงเดยวกนมคาเทากน

2. การบวกและการลบเมทรกซ

ถา ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ ij m n

B b×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แลว ij ij m nA B a b

×⎡ ⎤± = ±⎣ ⎦

หลกท 1 หลกท 2 หลกท n

แถวท 1

แถวท 2

แถวท m

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I ×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



3. การคณเมทรกซดวยสเกลาร

ถา ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ k เปนสเกลาร (จานวนหรอนพจนทางคณตศาสตร) แลว ij m n

kA ka×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

4. การคณเมทรกซดวยเมทรกซ

ถา ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ ij n p

B b×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แลวจะได ij m pAB c

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ โดยท

1 1 2 2ij i j i j in njc a b a b a b= + + +

กลาวงายๆ วา ijc เปนผลคณระหวางแถวท i ของเมทรกซ A กบหลกท j ของเมทรกซ B

โดยทวไปแลว AB BA≠ นนคอ การคณเมทรกซดวยเมทรกซไมมสมบตการสลบท

5. ทรานสโพส

ทรานสโพสเปนการสลบเปลยนระหวางแถวกบหลกของเมทรกซ

ถา ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แลวทรานสโพสของ A เขยนแทนดวย tA โดยท

tij n m

A b×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ ij jib a=

33.. สมบตทสาคญบางประการของการดาเนนการของเมทรกซสมบตทสาคญบางประการของการดาเนนการของเมทรกซ

กาหนด ,A B เปนเมทรกซมต m n× ใดๆ และ [0] เปนเมทรกซศนยมต m n× จะได

1. A B B A+ = + (การสลบทสาหรบการบวก)

2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (การเปลยนกลมสาหรบการบวก)

3. [0] [0]A A A+ = + = (เอกลกษณการบวก)

4. ( ) ( ) [0]A A A A+ − = − + = เมอ ( 1)A A− = − (อนเวอรสการบวก)

กาหนด , ,A B C เปนเมทรกซใดๆ ททาใหการดาเนนการในแตละขอตอไปนมความหมาย จะได

5. ( ) ( )AB C A BC= (การเปลยนกลมสาหรบการคณ)

6. ( )A B C AB AC+ = + และ ( )B C A BA CA+ = + (การกระจาย)

7. AI IA A= = เมอ A และ I เปนเมทรกซจตรสมตเดยวกน (เอกลกษณการคณเมทรกซจตรส)

กาหนด ,A B เปนเมทรกซใดๆ ทการดาเนนการในแตละขอตอไปนมความหมาย จะได

8. ( )t tA A=

9. ( )t t tA B A B+ = + และ ( )t t tA B A B− = −

10. ( )t tkA kA= เมอ k เปนสเกลาร

11. ( )t t tAB B A=



44.. ดเทอรมแดเทอรมแนนตนนต

สาหรบเมทรกซจตรส A ใดๆ เขยน det( )A หรอ A แทนดเทอรมแนนตของเมทรกซ A โดย

1. ถา [ ]11 1 1A a

×= แลว 11det( )A a=

2. ถา A เปนเมทรกซมต 2 2× แลว det( )A หาไดจาก

3. ถา A เปนเมทรกซมต 3 3× แลว det( )A หาไดโดยวธตอสองหลกแรก

55.. อนเวอรสการคณของเมทรกซอนเวอรสการคณของเมทรกซ

ถา A เปนเมทรกซจตรสมต n n× และมเมทรกซ B มต n n× ซง AB BA I= = เมอ I เปน

เมทรกซเอกลกษณมต n n× แลวจะเรยก B วาอนเวอรสการคณของ A และเขยนแทนดวย 1B A−=

1. ถา A ไมมอนเวอรสการคณ แลวจะเรยก A วาเปนเมทรกซเอกฐาน (singular matrix)

ถา A มอนเวอรสการคณ แลวจะเรยก A วาเปนเมทรกซไมเอกฐาน (nonsingular matrix)

2. 1 1( )A A− − = 3. 1 1 1( )AB B A− − −=

4. 1 11( )kA A

k− −= เมอ k เปนสเกลารและ 0k ≠

5. 1 1( ) ( )t tA A− −=

66.. สมบตทสาคญบางประการของดเทอรมแนนตสมบตทสาคญบางประการของดเทอรมแนนต 1. det( ) det( )det( )AB A B= 2. det( ) det( )tA A=

3. A เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ det( ) 0A ≠ และจะได 1 1det( )

det( )A

A− =

4. ถา A มมต n n× และ k เปนสเกลารแลว det( ) det( )nkA k A=

5. det( ) 1I = 6. ( )det( ) det( )

nnA A= เมอ nA คอผลคณของเมทรกซ A ทงหมด n ตว

11 12 13 11 1211 22 33 12 23 31 13 21 32

21 22 23 21 2213 22 31 11 23 32 12 21 33

31 32 33 31 32

det( )

a a a a a a a a a a a a a aA a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a

+ += = − − −

+ + +

− − −

11 12

11 22 12 2121 22

det( )a a

A a a a aa a= = −

+

−



77.. ไมเนอร โคแฟกเตอร และเมทรกซผกพนไมเนอร โคแฟกเตอร และเมทรกซผกพน

7.1 ไมเนอร (Minor)

ไมเนอรของสมาชก ija ของเมทรกซจตรส A เขยนแทนดวย ( )ijM A ซงเทากบดเทอรมแนนต

ของเมทรกซยอยทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A ทงไป เชน

7.2 โคแฟกเตอร (Cofactor)

โคแฟกเตอรของสมาชก ija ของเมทรกซจตรส A เขยนแทนดวย ( )ijC A นยามโดย

( ) ( 1) ( )i jij ijC A M A+= −

ขอสงเกต ( 1)i j+− เทากบ 1 เมอ i j+ เปนเลขค และเทากบ 1− เมอ i j+ เปนเลขค

7.3 เมทรกซผกพน (Adjoint Matrix)

เมทรกซผกพนของเมทรกซ A เขยนแทน adj( )A เปนเมทรกซทไดจากการแทนทสมาชกทกตวดวย

โคแฟกเตอรของสมาชกนนแลวทรานสโพส กลาวคอ adj( ) ( )t

ijA C A⎡ ⎤= ⎣ ⎦

7.4 สมบตทสาคญบางประการของโคแฟกเตอรและเมทรกซผกพน

สาหรบเมทรกซจตรส A ใดๆ ทมมต n n×

1. det( )A หาไดจากการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนง 1 1 2 2det( ) i i i i in inA a C a C a C= + + + (กระจายโคแฟกเตอรตามแถวท i)

1 1 2 2det( ) j j j j nj njA a C a C a C= + + + (กระจายโคแฟกเตอรตามหลกท j)

2. ( )adj( ) adj( ) det( )A A A A A I= =

3. ถา det( ) 0A ≠ นนคอ A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว 1 adj( )

det( )

AA

A− =

กรณ a b

Ac d

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

และ det( ) 0A ad bc= − ≠ จะได 1 1 d bA

c aad bc−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−− ⎢ ⎥⎣ ⎦

4. ( ) ( ) 1

det adj( ) det( )n

A A−=

11 12 1312 13

21 22 23 21 12 33 13 3232 33

31 32 33

( )

a a a a aA a a a M A a a a aa a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



88.. ระบบสมการเชงเสนระบบสมการเชงเสน

ระบบสมการเชงเสน m สมการ n ตวแปร

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

⎧ + + + =⎪⎪⎪⎪ + + + =⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪ + + + =⎪⎪⎩

เขยนในรปเมทรกซไดดงน

111 12 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n n

ba a a x

a a a x bAX B

a a a x b

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

ถา m n= จ และ A เปนเมทรกซไมเอกฐานแลวจะหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนไดดงน

1. หา 1A− และหาคาตอบของระบบสมการจาก 1X A B−=

2. ใชกฎของคราเมอร (Cramer’s Rule)

1 21 2

det( ) det( ) det( ), , ,

det( ) det( ) det( )n

n

A A Ax x x

A A A= = =…

เมอ iA เปนเมทรกซทไดจากการนา B แทนลงในหลกท i ในเมทรกซ A

99.. การดาเนนการตามแถวการดาเนนการตามแถว

1. สลบสองแถวใดๆ (เขยน ijR แทนการสลบแถวท i กบแถวท j)

2. คณแถวใดแถวหนงดวยคาคงตวทไมใช 0 (เขยน ikR แทนการคณแถวท i ดวยคาคงตว k)

3. บวกแถวใดแถวหนงดวยพหคณของอกแถวหนง

(เขยน i jR kR+ แทนการบวกแถวท i ดวย k เทาของแถวท j)

การดาเนนการตามแถวมประโยชนดงน

1. ชวยในการหาคาตอบของระบบสมการเชงเสน โดยทาการดาเนนการตามแถวกบเมทรกซแตงเตมจนได

เมทรกซลดรปขนบนได วธการนใชไดเสมอไมวาจานวนตวแปรกบจานวนสมการจะเทากนหรอไมกตาม

2. หาอนเวอรสการคณของเมทรกซโดยทาการดาเนนการตามแถวกบ A I⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ จนได 1I A−⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

A I⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 1I A−⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

ดาเนนการตามแถว



ความสมพนธและฟงกชนความสมพนธและฟงกชน

11.. ผลคณคารทเชยนผลคณคารทเชยน

กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยน (Cartesian product) ของ A และ B คอ {( , ) |A B a b a A× = ∈ และ }b B∈

ขอสงเกต โดยทวไปแลว A B B A× ≠ × แต ( ) ( ) ( ) ( )n A B n B A n A n B× = × =

22.. ความสมพนธความสมพนธ

ความสมพนธจาก A ไป B คอ สบเซตของ A B×

ขอสงเกต 1. ถา A และ B เปนเซตจากดแลวจานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B คอ ( ) ( )2

n A n B

2. เซตวาง (φ ) เปนความสมพนธเสมอ

33.. โดเมนและเรนจโดเมนและเรนจ

โดเมน(domain) ของความสมพนธ r คอ { |rD x A= ∈ ม y B∈ ททาให ( , ) }x y r∈

เรนจ(range) ของความสมพนธ r คอ { |rR y B= ∈ ม x A∈ ททาให ( , ) }x y r∈

ขอสงเกต

1. เราอาจมองอยางงายๆ ไดวา rD กคอเซตของสมาชกตาแหนงแรกของ r และ

rR กคอเซตของสมาชกตาแหนงหลงของ r

2. ในการหา rD นน เราจะเขยนสมการในรป ( )y f x= แลวพจารณาคา x ทเปนไปไดทงหมด

3. ในการหา rR นน เราจะเขยนสมการในรป ( )x g y= แลวพจารณาคา y ทเปนไปไดทงหมด

44.. อนเวอรสของความสมพนธอนเวอรสของความสมพนธ

ให r เปนความสมพนธ จะไดอนเวอรสของ r คอ 1 {( , ) | ( , ) } {( , ) | ( , ) }r y x x y r x y y x r− = ∈ = ∈

ขอสงเกต 1 rrD R− = และ 1 rr

R D− =



55.. ฟงกชนฟงกชน

1. ความหมายของฟงกชน

ความสมพนธ r จะเปนฟงกชน กตอเมอ ทกคลาดบในความสมพนธนนไมมสมาชกตาแหนงแรกซากน

และเรยก f วาเปนฟงกชนจาก A ไป B ( :f A B→ ) กตอเมอเมอ fD A= และ fR B⊂

2. ฟงกชนทวถง onto

:f A B→ กตอเมอ :f A B→ และ fR B=

3. ฟงกชนหนงตอหนง 1 1

:f A B−→ กตอเมอ สาหรบทก 1 2, fx x D∈ ถา 1 2( ) ( )f x f x= แลว 1 2x x=

ขอสงเกต ถา f เปนฟงกชน 1-1 แลวอนเวอรสของ f เปนฟงกชนดวย

66.. ฟงกชนคอมโพสทฟงกชนคอมโพสท

ให f และ g เปนฟงกชนซง f gR D φ∩ ≠ ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g นยามโดย

( )( )( ) ( )g f x g f x= สาหรบทก x ซง ( ) gf x D∈

77.. พชคณตของฟงกชนพชคณตของฟงกชน

ให f และ g เปนฟงกชนซง f gD D φ∩ ≠ นยาม

1. ( )( ) ( ) ( ) f gf g x f x g x x D D+ = + ∀ ∈ ∩

2. ( )( ) ( ) ( ) f gf g x f x g x x D D− = − ∀ ∈ ∩

3. ( )( ) ( ) ( ) f gfg x f x g x x D D= ∀ ∈ ∩

4. ( )

( )( ) { | ( ) 0}( ) f g

f xfx x D D x g x

g g x= ∀ ∈ ∩ − =

88.. ฟงกชนเพมและฟงกชนลดฟงกชนเพมและฟงกชนลด

1. ถา ( ) ( )f a f b< กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนเพม

2. ถา ( ) ( )f a f b> กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนลด

3. ถา ( ) ( )f a f b≤ กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนไมลด

4. ถา ( ) ( )f a f b≥ กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนไมเพม



เรขาคณตวเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวยเคราะหและภาคตดกรวย

11.. เรขาคณตวเคราะหเบองตนเรขาคณตวเคราะหเบองตน

1. ระยะทางระหวางจด

กาหนดจด 1 1 1( , )P x y และจด 2 2 2( , )P x y

จะได 2 21 2 2 1 2 1( ) ( )PP x x y y= − + −

2. การแบงสวนของเสนตรง

พกดของจด P ซงทาให 1 2 1 2: :PP P P r r= คอ 2 1 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2

( , )r x r x r y r y

r r r r

+ ++ +

ในกรณทจด P แบงครง 1 2PP จะไดพกดของจด P คอ 1 2 1 2( , )2 2

x x y y+ +

3. จดมธยฐานของสามเหลยม

กาหนดสามเหลยม ABC ดงรป พกดของจดมธยฐานคอ 1 2 3 1 2 3( , )3 3

x x x y y y+ + + +

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y3 3( , )C x y

1r

2r( , )P x y

2 2 2( , )P x y

1 1 1( , )P x y

1 1 1( , )P x y

2 2 2( , )P x y



22.. เสนตรงเสนตรง

1. ความชนของเสนตรง

นยามความชนของเสนตรงทผานจด 1 1 1( , )P x y และ 2 2 2( , )P x y และ 1 2x x≠ โดย

2 1

2 1

y ym

x x

−=

−

1.1 ถาเสนตรง L ทามม θ กบแกน x ดานบวก และ 90θ ≠ ° แลว tanm θ=

1.2 กาหนดใหเสนตรง 1L และ 2L มความชนเปน 1m และ 2m ตามลาดบ จะได

1 2//L L กตอเมอ 1 2m m=

และ 1 2L L⊥ กตอเมอ 1 2 1m m = −

2. สมการเสนตรง

2.1 เสนตรงทผานจด 1 1( , )x y และมความชน m มสมการเปน 1 1( )y y m x x− = −

2.2 เสนตรงทตดแกน y ทจด (0, )c และมความชน m มสมการเปน y mx c= +

2.3 สมการทวไปของเสนตรงคอ 0Ax By C+ + = ซงมความชนเปน Am

B= −

3. ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง และเสนตรงกบเสนตรง

3.1 ระยะทางระหวางจด 1 1( , )x y กบเสนตรง 0Ax By C+ + = คอ

1 1

2 2

Ax By Cd

A B

+ +=

+

3.2 ระยะทางระหวางเสนขนาน 1 0Ax By C+ + = กบ 2 0Ax By C+ + = คอ

1 2

2 2

C Cd

A B

−=

+

1 0Ax By C+ + =

2 0Ax By C+ + =d

0Ax By C+ + =

1 1( , )x y

d



33.. วงกลมวงกลม ((CCiirrccllee))

วงกลมคอเซตของจดทกจดบนระนาบซงหางจาก

จดคงทจดหนง(จดศนยกลาง)เปนระยะทางคงท(รศม)เสมอ

สมการวงกลมทมจดศนยกลางทจด ( , )h k และรศมยาว r หนวย คอ

2 2 2( ) ( )x h y k r− + − =

44.. พาราโบลาพาราโบลา ((PPaarraabboollaa))

พาราโบลาคอเซตของจดทกจดบนระนาบซงหางจากเสนตรงคงทเสนหนง(ไดเรกทรกซ)และจดคงท(โฟกส) จดหนงเปนระยะทางเทากนเสมอ

เรยกจดกงกลางระหวางจดโฟกส(จด F) กบไดเรกทรกซวา จดยอด (จด V)

ขอสงเกต ความกวางของพาราโบลาทจดโฟกสเทากบ 4c

c > 0 c < 0

2( ) 4 ( )x h c y k− = −

2( ) 4 ( )y k c x h− = −

( , )V h k

x h c= −

( , )F h c k+

( , )V h k

x h c= −

( , )F h c k+

( , )V h k

y k c= −

( , )F h k c+( , )V h k

y k c= −

( , )F h k c+

( , )h k

r



55.. วงรวงร ((EElllliippssee))

วงร คอ เซตของจดทกจดบนระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ในเซตนไปยงจดคงทสองจด(จดโฟกส) บนระนาบมคาคงท

ถาใหผลบวกคงทนนเทากบ 2a และใหจดโฟกสหางกน 2c โดยท a c>

และกาหนดจานวนจรงบวก b จากสมการ 2 2 2a b c= +

จะไดสมการวงรใน 2 รปแบบตอไปน

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −+ =

เมอ 0a b> >

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

b a

− −+ =

เมอ 0a b> >

เรยกจดกงกลางระหวางโฟกสทงสองวา จดศนยกลาง ซงกคอจด ( , )h k ในรป

เรยกแกนทยาววา แกนเอก

เรยกแกนทสนวา แกนโท

เรยกจดปลายทงสองของแกนเอกวา จดยอด ซงกคอจด V และ V ′

ความหมายของพารามเตอร , ,a b c มดงน

ระยะครงแกนเอก a บอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดยอดทงสอง (จดปลายแกนเอก)

ระยะครงแกนโท b บอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดปลายทงสองของแกนโท

ระยะโฟกส c บอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดโฟกสทงสอง

V ′

V

( , )h k

a

b

V ′ V( , )h k a

b



66.. ไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลา ((HHyyppeerrbboollaa))

ไฮเพอรโบลา คอ เซตของจดทกจดในระนาบซงผลตางของระยะทางจากจดใดๆในเซตนไปยงจดคงท(จดโฟกส) สองจดบนระนาบมคาคงตว

ถาใหผลตางคงทนนเทากบ 2a และใหจดโฟกสหางกน 2c โดยท a c<

และกาหนดจานวนจรงบวก b จากสมการ 2 2 2c a b= +

จะไดสมการไฮเพอรโบลาใน 2 รปแบบตอไปน

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −− =

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

− −− =

จด V และ V ′ เรยกวา จดยอด

สวนของเสนตรง VV ′ เรยกวา แกนตามขวาง สวนของเสนตรง AA′ เรยกวา แกนสงยค

เสนตรง 1L และ 2L เรยกวา เสนกากบไฮเพอรโบลา

ความหมายของพารามเตอร , ,a b c มดงน

คา a บอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดยอดทงสอง(จดปลายแกนตามขวาง)

คา b บอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดปลายทงสองของแกนสงยค

คา c บอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดโฟกสทงสอง โดยจดโฟกสจะอยบนแกนตามขวางเสมอ

ถา a b= แลวจะเรยกไฮเพอรโบลานนวา ไฮเพอรโบลามมฉาก

นอกจากนยงมไฮเพอรมมฉากในรปพเศษซงมสมการเปน xy k= เมอ k เปนคาคงทและ 0k ≠

V ′ V FF ′

2L 1L

a

b c

A

A′ V ′

V

F

F ′

1L

2L

a

bc

AA′



ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทมฟงกชนลอการทม

11.. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคอฟงกชนทอยในรป xy a= เมอ 0 1a< < หรอ 1a >


1. กราฟของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลผานจด (0,1) เสมอ

2. 1 1

ontoexp :

− +→ นนคอ expD = และ expR +=

3. 0xa > เสมอ (เมอ 0a > )

4. ถา 1a > แลว xa จะเปนฟงกชนเพม นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x<

5. ถา 0 1a< < แลว xa จะเปนฟงกชนลด นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x>

22.. ฟงกชนลอการทมฟงกชนลอการทม

ฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนอนเวอรสของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

กาหนดฐาน a สอดคลองกบ 0 1a< < หรอ 1a >

xy a= กตอเมอ loga y x=

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

1

xy a

a

=

> 0 1

xy a

a

=

< <

1 2 3 4x

-2

-1

1

2

y

1 2 3 4x

-2

-1

1

2

y

log

1a y x

a

=

>

log

0 1a y x

a

=

< <




1. กราฟของฟงกชนลอการทมผานจด (1, 0) เสมอ

2. 1 1

ontolog :a

−+ → นนคอ logaD += และ loga

R =

3. ถา 1a > แลว loga x จะเปนฟงกชนเพม นนคอ 1 2log loga ax x< กตอเมอ 1 2x x<

4. ถา 0 1a< < แลว loga x จะเปนฟงกชนลด นนคอ 1 2log loga ax x< กตอเมอ 1 2x x>

33.. สมบตทสาคญบางประการของฟงกชนลอการทมสมบตทสาคญบางประการของฟงกชนลอการทม

1. log 1 0a = และ log 1a a =

2. log xa a x=

3. log ( ) log loga a axy x y= +

4. log log loga a a

xx y

y= −

5. log logya ax y x=

6. log logpy

aa

yx x

p=

7. loglog

loga

ya

xx

y=

8. 1log

logyx

xy

=

9. loga xa x=

44.. ลอการทมฐานธรรมชาตลอการทมฐานธรรมชาต

e เปนคาคงตวและเปนอตรรกยะ โดย 2.7182818e = …

ลอการทมฐาน e นยมเขยนแทนดวย ln x นนคอ ln logex x=

55.. การถอดรากทสองในรป การถอดรากทสองในรป 2a b±

เนองจาก ( )2 ( ) 2x y x y xy± = + ±

การหา 2a b± จงทาไดโดยหา x และ y ซง x y a+ = และ xy b= และจะได

2a b x y+ = + และ 2a b x y− = − เมอ x y> ตวอยาง 5 2 6 3 2+ = + และ 5 2 6 3 2− = −



ตรโกณมตตรโกณมต

11.. วงกลมหนงหนวยและการวดมมวงกลมหนงหนวยและการวดมม

วงกลมหนงหนวย คอ วงกลม 2 2 1x y+ =

กาหนดใหมมทจดศนยกลางทรองรบสวนโคงทยาว θ หนวย มคาเทากบ θ เรเดยน โดยใหมมบวกเปนมมทวดในทศทวนเขมนาฬกา เทยบกบแกน x ดานบวกและใหมมลบเปนมมทวดในทศตามเขมนาฬกา เทยบกบแกน x ดานบวก

1. มม θ และมม 2nθ π+ เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ จะมจดปลายเดยวกน

2. สวนโคงทยาว a ในวงกลมรศม r จะรองรบมมทจดศนยกลางเทากบ ar

θ =

3. π เรเดยน = 180°

22.. ฟงกชนตรโกณมตฟงกชนตรโกณมต

ถาจดปลายของมม θ มพกดเปน ( , )x y บนวงกลมหนงหนวยแลวจะนยาม

cos xθ = sin yθ = 1 1

seccos x

θθ

= = เมอ 0x ≠ sin

tancos

yx

θθ

θ= = เมอ 0x ≠

1 1cosec

sin yθ

θ= = เมอ 0y ≠

coscot

sinxy

θθ

θ= = เมอ 0y ≠

33.. เอกลกษณพนฐานเอกลกษณพนฐาน

2 2sin cos 1θ θ+ = 2 21 tan secθ θ+ = 2 21 cot cosecθ θ+ =

sin( ) sinθ θ− = − cos( ) cosθ θ− = tan( ) tanθ θ− = −

sin( ) cos2π

θ θ− = cos( ) sin2π

θ θ− = tan( ) cot2π

θ θ− =

sin( ) sinπ θ θ− = cos( ) cosπ θ θ− = − tan( ) tanπ θ θ− = − 1sin( ) ( 1) sinnnπ θ θ+− = − cos( ) ( 1) cosnnπ θ θ− = −

2 1sin( ) ( 1) cos

2nn

π θ θ+

− = − 2 1

cos( ) ( 1) sin2

nnπ θ θ

+− = −

x

y

(1, 0)

(0,1)

( 1, 0)−

(0, 1)−

θθ



44.. สตรมมประกอบสตรมมประกอบ

sin( ) sin cos cos sinA B A B A B+ = + sin( ) sin cos cos sinA B A B A B− = −

cos( ) cos cos sin sinA B A B A B+ = − cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = +

tan tantan( )

1 tan tanA B

A BA B+

+ =−

tan tan

tan( )1 tan tan

A BA B

A B−

− =+

55.. สตรมมสองเทาสตรมมสองเทา 2

2 2 2 22

1 tancos2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin

1 tanA

A A A A AA

−= − = − = − =

+

2

2 tansin2 2 sin cos

1 tanA

A A AA

= =+

2

2 tantan2

1 tanA

AA

=−

66.. สตรมมสามเทาสตรมมสามเทา 3sin 3 3 sin 4 sinA A A= − 3cos 3 4 cos 3 cosA A A= − 3

2

3 tan tantan 3

1 3 tanA A

AA

−=

−

77.. สตรมมครงเทาสตรมมครงเทา 2 1 cos

sin2 2A A−

= 2 1 coscos

2 2A A+

=

sin 1 costan

2 1 cos sinA A A

A A−

= =+

88.. สตรแปลงระหวางผลคณกบผลบวกหรอผลตางสตรแปลงระหวางผลคณกบผลบวกหรอผลตาง

2 sin cos sin( ) sin( )A B A B A B= + + − sin sin 2 sin cos2 2

A B A BA B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜+ = ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 cos sin sin( ) sin( )A B A B A B= + − − sin sin 2 cos sin2 2

A B A BA B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜− = ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 cos cos cos( ) cos( )A B A B A B= + + − cos cos 2 cos cos2 2

A B A BA B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜+ = ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 sin sin cos( ) cos( )A B A B A B= − − + cos cos 2 sin sin2 2

A B A BA B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜− = − ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠



99.. สตรเกยวกบรปสามเหลยม สตรเกยวกบรปสามเหลยม

1. กฎของไซน (Law of Sine)

2sin sin sin

a b cR

A B C= = =

เมอ R เปนรศมของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม

2. กฎของโคไซน (Law of Cosine)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + −

= + −

= + −

เมอกาหนดความยาวดาน , ,a b c สามารถใชกฎของโคไซนหา cos , cos , cosA B C ได

3. พนทรปสามเหลยม

พนทรปสามเหลยม 1 1 1sin sin sin

2 2 2ab C ac B bc A= = =

พนทรปสามเหลยม ( )( )( )s s a s b s c= − − − เมอ 2

a b cs

+ +=

1010.. รปทวไปของมมจากการแกสมการตรโกณมต รปทวไปของมมจากการแกสมการตรโกณมต

1. ถา sin sinθ α= แลว ( 1)nnθ π α= + − หรอเขยนวา 2 , (2 1)n nθ π α π α= + + −

2. ถา cos cosθ α= แลว 2nθ π α= ±

3. ถา tan tanθ α= แลว nθ π α= +

A

B Ca

bc



1111. . อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมตอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

1. ถา arcsiny x= กตอเมอ siny x= และ [ , ]2 2

yπ π

∈ −

2. ถา arccosy x= กตอเมอ cosy x= และ [0, ]y π∈

3. ถา arctany x= กตอเมอ tany x= และ ( , )2 2

yπ π

∈ −

ฟงกชน โดเมน เรนจ

arcsin [ 1,1]− [ , ]2 2π π

−

arccos [ 1,1]− [0, ]π

arctan ( , )2 2π π

−


1. sin(arcsin )x x= เสมอ แต arcsin(sin )x อาจไมเทากบ x ตองพจารณาชวงของ x ดวย เชน

arcsin(sin )x x= เมอ [ , ]2 2

xπ π

∈ −

arcsin(sin )x xπ= − เมอ 3[ , ]2 2

xπ π

∈

สาหรบ arccos และ arctan กพจารณาไดในทานองเดยวกน

2.

2

2

sin(arccos ) 1

cos(arcsin ) 1

x x

x x

⎧⎪ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎪⎩

3.

arcsin( ) arcsin

arccos( ) arccos

arctan( ) arctan

x x

x x

x x

π

⎧⎪ − = −⎪⎪⎪⎪ − = −⎨⎪⎪⎪ − = −⎪⎪⎩

4. arctan arctan arctan1x y

x yxy

⎛ ⎞+ ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ เมอ arctan arctan

2 2x y

π π− < + <



เวกเตอรเวกเตอร

11.. ความรพนฐานเกยวกบเวกเตอรความรพนฐานเกยวกบเวกเตอร

สเกลารเปนปรมาณทมขนาดเพยงอยางเดยว

เวกเตอรเปนปรมาณทมทงขนาดและทศทาง ซงสามารถเขยนแทนไดดวยสวนของเสนตรงทมลกศรท

ปลายหนงเพอระบทศทางของเวกเตอรและความยาวของสวนของเสนตรงนนระบขนาดของเวกเตอร

ขนาดของเวกเตอร u เขยนแทนดวย u

จะกลาววา u v= กตอเมอ u และ v มทศทางเดยวกนและมขนาดเทากน

เวกเตอรศนย เปนเวกเตอรทมขนาดเปน 0 เขยนแทนดวย 0

22.. การการบวกและการลบเวกเตอรบวกและการลบเวกเตอร

1. การบวกเวกเตอร

ทาไดโดยการเขยนเวกเตอรตอกนในลกษณะหางตอหว

2. การลบเวกเตอร

ทาไดโดยการกลบทศของเวกเตอรตวลบกอนจงบวกเขากบเวกเตอรตวตง


1. v− เปนนเสธของ v กลาวคอมขนาดเทากบ v แตมทศตรงขาม

2. u v+ และ u v− เปนเสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานทม u และ v เปนดาน

3. เนองจากเสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานจะตงฉากกนกตอเมอดานแตละดานยาวเทากน

จงไดวา u v u v+ ⊥ − กตอเมอ u v=

33.. การคณเวกเตอรดวยสเกลารการคณเวกเตอรดวยสเกลาร

ให k เปนสเกลารและ u เปนเวกเตอร นยาม ku เปนเวกเตอรทมขนาดเปน k เทาของ u และ

1. มทศเดยวกบ u ถา 0k > 2. มทศตรงขามกบ u ถา 0k <

ขอสงเกต 1. ( 1)u u− = − 2. ถา , 0u v ≠ และมสเกลาร k ซง u kv= แลว u ขนานกบ v

uv

u

v

u v+

u

v w

u v w+ +

u

vu v+

u v−



44.. สมบตทสาคญบางประการเกยวกบเวกเตอรสมบตทสาคญบางประการเกยวกบเวกเตอร

สาหรบเวกเตอร , ,u v w ใดๆ และสเกลาร ,a b ใดๆ

1. u v v u+ = + 2. ( ) ( )u v w u v w+ + = + + 3. 0 0u u u+ = + = 4. ( ) ( ) 0u u u u+ − = − + = 5. ( ) ( )a bu ab u= 6. ( )a b u au bu+ = + 7. ( )a u v au av+ = + 8. ถา , 0u v ≠ และ u ไมขนานกบ v และ 0au bv+ = แลว 0a = และ 0b =

55.. เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมตเวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

ให i เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศบวกของแกน x และ j เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศบวกของแกน y

เวกเตอร u ทเรมจากจดกาเนดไปสนสดทจด ( , )a b คอ a

u ai bjb

⎡ ⎤⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

และขนาดของเวกเตอร u คอ 2 2u ai bj a b= + = +

เวกเตอร u ทเรมจากจด 1 1( , )A x y ไปสนสดทจด 2 2( , )B x y คอ

1 2 2 1

1 2 2 1

x x x xu AB AO OB y y y y

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + = − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x

y

( , )a b

a

b

0

u

ai

bj

u ai bj= +

x

y

1 1( , )A x y

O

u2 2( , )B x y



66.. เวกเตอรหนงหนวยเวกเตอรหนงหนวย

1. เวกเตอรหนงหนวยในทศทกาหนดให

กาหนด u ai bj= + โดยท 0u ≠ ขนาดของ u คอ 2 2u a b= +

เวกเตอรหนงหนวยในทศของ u คอ 2 2

u ai bju a b

+=

+

เวกเตอรหนงหนวยในทศตรงขามกบ u คอ 2 2

u ai bju a b

+− = −

+

2. เวกเตอรหนงหนวยในทศทตงฉากกบเวกเตอรทกาหนดให

กาหนด u ai bj= + โดยท 0u ≠ ขนาดของ u คอ 2 2u a b= +

เวกเตอรหนงหนวยในทศทตงฉากกบ u คอ 2 2

bi aj

a b

−±

+

77.. ผลคณเชงสเกลาร ผลคณเชงสเกลาร ((DDoott PPrroodduucctt))

กาหนด u ai bj= + และ v ci dj= +

นยามผลคณเชงสเกลารระหวาง u กบ v เปน u v ac bd⋅ = +


สาหรบเวกเตอร , ,u v w ใดๆ

1. u v v u⋅ = ⋅ 2. ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅ 3. ( ) ( ) ( )a u v au v u av⋅ = ⋅ = ⋅ 4. cosu v u v θ⋅ = เมอ θ เปนมมระหวาง u กบ v

ถา , 0u v ≠ เราสามารถหามมระหวางเวกเตอรไดจาก

cosu vu v

θ⋅

=

5. ถา , 0u v ≠ แลว u v⊥ กตอเมอ 0u v⋅ =

6. 2u u u⋅ =

7. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22

2 22

2

2

u v u v u v u u v v

u v u v u v u u v v

⎧⎪ + = + ⋅ + = + ⋅ +⎪⎪⎨⎪ − = − ⋅ − = − ⋅ +⎪⎪⎩

θu

v



88.. เงาฉาย เงาฉาย ((PPrroojjeeccttiioonn))

ให , 0u v ≠ เงาฉายของ u บน v คอเวกเตอร vu ดงรป

ซงจะเหนวา cosv

u v u vu u u

u v vθ

⎛ ⎞⋅ ⋅⎟⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ดงนน 2v

u v v u vu v

v v v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ในทานองเดยวกน เงาฉายของ v บน u คอ 2u

u vv u

u

⎛ ⎞⋅ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

99.. เวกเตอรเวกเตอรในระบบพกดฉากสามมตในระบบพกดฉากสามมต 1 2u u×

กาหนด , ,i j k เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศบวกของ

แกน x, y, z ตามลาดบ เวกเตอร u ทเรมจากจดกาเนดไปสนสดทจด ( , , )a b c

จะเขยนไดในรป u ai bj ck= + +

1010.. ผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต ผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

กาหนด 1 1 1 1u a i b j c k= + + และ 2 2 2 2u a i b j c k= + + จะนยาม

1. ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product หรอ Dot Product)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cosu u a a b b c c u u θ⋅ = + + = เมอ θ เปนมมระหวาง 1u กบ 2u

2. ผลคณเชงเวกเตอร (Vector Product หรอ Cross Product)

( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2

i j k

u u a b c b c b c i c a c a j a b a b k

a b c

× = = − + − + −

1 2u u× จะมทศตามกฎมอขวาและ 1 2 1 2 sinu u u u θ× = เมอ θ เปนมมระหวาง 1u กบ 2u

นอกจากน 1 2u u× มคาเทากบพนทรปสเหลยมดานขนานทม 1u กบ 2u เปนดานประชด

1111.. ปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน ปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน

รปทรงสเหลยมดานขนาน(parallelepiped)

ทมเวกเตอร , ,u v w เปนดานประชดคอ ( )u v w⋅ ×

1u

2u

1 2u u×

θ

u

vw

x

y

z

u

θ

1u

2u

u

vθ

vu



จานวนเชงซอนจานวนเชงซอน

11.. ความรพนฐานเกยวกบจานวนเชงซอนความรพนฐานเกยวกบจานวนเชงซอน

1. จานวนเชงซอน

จานวนเชงซอนคอจานวนทเขยนในรป a bi+ โดยท a และ b เปนจานวนจรง และ 2 1i = −

เรยก a วาสวนจรง(real part) และเรยก b วาสวนจนตภาพ(imaginary part)

ถาให z a bi= + เปนจานวนเชงซอน จะกาหนด Re( )z a= และ Im( )z b=

2. ขนาดของจานวนเชงซอน

ถา z a bi= + เปนจานวนเชงซอน จะเขยน z แทนขนาดของ z โดย 2 2z a b= +

3. สงยค (conjugate) ของจานวนเชงซอน

ถา z a bi= + เปนจานวนเชงซอน จะเขยน z แทนสงยคของ z โดย z a bi= −

22.. การดาเนนการและความสมพนธของการดาเนนการและความสมพนธของจานวนเชงซอนจานวนเชงซอน

กาหนด 1 1 1z a b i= + และ 2 2 2z a b i= + เปนจานวนเชงซอน

1. การเทากนของจานวนเชงซอน

1 2z z= กตอเมอ 1 1a b= และ 2 2a b=

2. การบวกและการลบจานวนเชงซอน

( ) ( )1 2 1 2 1 2z z a a b b i+ = + + + และ ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z a a b b i− = − + −

3. การคณจานวนเชงซอน

( )( ) 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z a b i a b i a a a b i a b i b b i= + + = + + +

แต 2 1i = − จงได ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z a a b b a b a b i= − + +

ขอสงเกต 1. 2 3 4 5 61, , 1, , ,i i i i i i i i= − = − = = = − …

2. 4 4 1 4 2 2 4 3 31, , 1,n n n ni i i i i i i i+ + += = = = − = = − เมอ n เปนจานวนเตม

3. ถา z a bi= + แลว ( )( ) 2 2 2 2 2 2zz a bi a bi a b i a b z= + − = − = + =



4. การหารจานวนเชงซอน

ถา 2 0z ≠ แลว 1 1 2 1 22

2 2 2 2

z z z z zz z z z

= ⋅ =

นนคอ ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 21 1 1 1 1 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

a a b b a b a b iz a b i a b i a b i

z a b i a b i a b i a b

+ + −+ + −= = ⋅ =

+ + − +

ขอสงเกต 2

1 ii

i i= = −

33.. สมบตทสาคญบางประการสมบตทสาคญบางประการ

สาหรบจานวนเชงซอน 1 2, ,z z z ใดๆ

1. ( )z z=

2. 1 2 1 2z z z z+ = + และ 1 2 1 2z z z z− = −

3. 1 2 1 2z z z z= และ 1 1

2 2

z zz z

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ เมอ 2 0z ≠

4. 2zz z=

5. Re( )2

z zz

+= และ Im( )

2z z

zi−

=

6. z z− =

7. 1 2 1 2z z z z= และ 11

2 2

zz

z z= เมอ 2 0z ≠

8. n nz z= เมอ n เปนจานวนเตม และ 0z ≠ เมอ n เปนจานวนเตมลบ

9. 1 2 1 2z z z z+ ≤ +

10. ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2

2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2

2Re

2Re

z z z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z z z

⎧⎪ + = + + = + + + = + +⎪⎪⎨⎪ − = − − = − − + = − +⎪⎪⎩

ตวอยาง กาหนด 1 4 3z i= − และ 2 1z i= + จงหา 6 171

52625

z i

z

วธทา จะเหนวา 2 21 4 3 4 ( 3) 5z i= − = + − = และ 2 2

2 1 1 1 2z i= + = + =

นอกจากน 1i = ดงนน

( )

6 66 17 17 176 17 6 171 1 11

5 5 55 52 2 2 2

5 1 25625 4 2625 625 625 625 2

z i z i z iz i

z z z z

⋅= = = = =



44.. จานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขวจานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขว

จานวนเชงซอน z a bi= + แทนไดดวยจด ( , )a b ในระบบพกดฉาก

เรยกแกน x วาแกนจรง และเรยกแกน y วาแกนจนตภาพ

เรยก r วามอดลส(modulus) และเรยก θ วาอารกวเมนท(argument) ของ z

จะเหนวา ( )cos sin cos sinz a bi r r i r iθ θ θ θ= + = + = +

เรยกจานวนเชงซอนทเขยนอยในรป ( )cos sinz r iθ θ= + เมอ 0r ≥ วา รปเชงขว

ขอสงเกต 1. cos sin 1iθ θ+ = และ ( )cos sinr i rθ θ+ =

2. ( ) ( )cos sin cos sini iθ θ θ θ− = − + −

ตวอยาง

1. 1 2 cos sin4 4

i iπ π⎛ ⎞⎟⎜+ = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2. 1 3 2 cos sin3 3

i iπ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜− = − + − ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3. 2 2 cos sin2 2

i iπ π⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

4. ( )1 1 cos( ) sin( )iπ π− = − + −


1. รปเชงขวของ z มไดมากมาย เชน 2 cos 2 sin 22 2

i k i kπ π

π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜= + + + ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

เมอ Ik ∈

2. การเขยนจานวนเชงซอนในรปเชงชวทาใหการคณ หาร และยกกาลงทาไดงายขน เชน

1313

55

13 13(1 ) 2 cos sin 64 2 cos sin 64 64

4 4 4 4

5 5(1 3 ) 2 cos sin 32 cos sin 16 16 3

3 3 3 3

i i i i

i i i i

π π π π

π π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜+ = + = + = − −⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜+ = + = + = −⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

x

y

0

( , )z a b=

r

a

b

θ

2 2

tan

r a b

ba

θ

⎧⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎪⎩

cos

sin

a r

b r

θ

θ

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

x

y

1 i+

1 3i−

2i

1−



55.. การคณ การหาร และการยกกาลงของจานวนเชงซอนในรปเชงขวการคณ การหาร และการยกกาลงของจานวนเชงซอนในรปเชงขว

ให ( )1 1 1 1cos sinz r iθ θ= + และ ( )2 2 2 2cos sinz r iθ θ= +

( )

( )

1 2 1 2 1 2 1 2

1 11 2 1 2

2 2

cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

z z r r i

z ri

z r

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + +

= − + −

ให ( )cos sinz r iθ θ= + และ n เปนจานวนเตม จะได ( )cos( ) sin( )n nz r n i nθ θ= +

66.. การหารากท การหารากท nn ของจานวนเชงซอนในรปเชงขวของจานวนเชงซอนในรปเชงขว

ให ( )cos sinz r iθ θ= + และ n เปนจานวนเตม

1 1 2 2

cos sinn n k kz r i

n nθ π θ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜= + ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

เมอ 0,1,2, , 1k n= −…

ขอสงเกต รากทง n ตวมขนาดเทากนหมด และมอารกวเมนตหาง 2nπ เทาๆ กน

ตวอยาง จงหารากท 4 ของ 16i

วธทา เนองจาก 16 16 cos sin2 2

i iπ π⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ดงนนรากทเหนไดงายทสดคอ 2 cos sin8 8

iπ π⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

สวนรากทเหลออก 3 ตว หาไดโดยการเพมอารกวเมนตของรากตวแรกไปครงละ 24π

ซงจะไดรากทเหลอเปน 5 5 9 9 13 132 cos sin , 2 cos sin , 2 cos sin

8 8 8 8 8 8i i i

π π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ + + +⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

77.. รากของสมการพหนรากของสมการพหนามาม

พจารณาสมการพหนาม 11 1 0 0n n

n na z a z a z a−−+ + + + = เมอ 0na ≠

1. สมการนมราก n ราก (นบรากทซากนดวย)

2. ในกรณท 0 1, , , na a a… เปนจานวนจรง และถา 1z เปนรากแลว 1z จะเปนรากดวย

3. ถา 1 2, , , nz z z… เปนรากทง n ตว (อาจซากนได) แลว

11 2

nn

n

az z z

a−+ + + = − และ ( ) 0

1 2 1 nn

n

az z z

a= −

ในกรณของสมการกาลงสอง 2 0az bz c+ + = เมอ 0a ≠

และ 1 2,z z เปนรากทงสองแลวจะได 1 2

bz z

a+ = − และ 1 2

cz z

a=



กาหนดการเชงเสนกาหนดการเชงเสน

11.. ปญหากาหนดการเชงเสน ปญหากาหนดการเชงเสน ((LLiinneeaarr PPrrooggrraammmmiinngg PPrroobblleemm))

ปญหากาหนดการเชงเสนเปนการหาคาสงสดหรอตาสดของฟงกชนจดประสงคทเปนฟงกชนเชงเสน

ภายใตขอจากดทกาหนดให ขอจากดมกจะอยในรปของระบบอสมการเชงเสน

22.. ขนตอนการแกปญหากาหนดการเชงเสนขนตอนการแกปญหากาหนดการเชงเสน

1. หาฟงกชนจดประสงคและขอจากดทงหมดของปญหา

2. เขยนอาณาบรเวณของผลเฉลยทเปนไปได (feasible region) และหาพกดของจดมมทกจด

3. หาคาฟงกชนจดประสงคทจดมมทกจด แลวเลอกจดทใหคาสงสดหรอคาตาสดตามตองการ

ตวอยาง จงหาคาสงสดและคาตาสดของ 5 4P x y= + ภายใตขอจากด

2 8, 6, 0, 0x y x y x y+ ≤ + ≤ ≥ ≥

วธทา เขยนบรเวณของผลเฉลยทเปนไปได

ไดจดมม 4 จดคอ (0, 0), (0,6), (2, 4), (4, 0) ซงแทนในฟงกชนจดประสงคไดดงน

(0, 0) 0, (0,6) 24, (2, 4) 26, (4, 0) 20P P P P= = = =

ดงนน P มคาสงสดเทากบ 26 เมอ 2, 4x y= = และ P มคาตาสดเทากบ 0 เมอ 0, 0x y= =

2 8x y+ =

6x y+ =

x

y

64

6

8

0

(2, 4)



การนบและความนาจะเปนการนบและความนาจะเปน

11.. กฎการนบเบองตนกฎการนบเบองตน

1. กฎการคณ

การทางานอยางหนงแบงเปน k ขนตอนยอย ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ

จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 3 kn n n n วธ

2. กฎการบวก

การทางานอยางหนงแบงเปน k กรณยอยทไมซากน ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ

จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 kn n n+ + + วธ

22.. แฟกทอเรยล แฟกทอเรยล ((FFaaccttoorriiaall))

0! 1= และ ! ( 1)( 2) 2 1n n n n= − − ⋅ เมอ 1n ≥

33.. วธเรยงสบเปลยนวธเรยงสบเปลยน

1. วธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรง

1. ของ n สงทตางกน เรยงสบเปลยนเปนเสนตรงได !n วธ

2. ของ n สงทตางกน นามาทละ k สงมาเรยงสบเปลยนเปนเสนตรงได !( )!

nk

nP

n k=

− วธ

3. การเรยงสบเปลยนของซาเปนเสนตรง

ถาของ n สงแบงได k กลมดงน ทมของเหมอนกน 1 2, , , kn n n… สง ตามลาดบ

แลวจะมวธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรงได 1 2

!! ! !k

nn n n

วธ

ขอสงเกต !!

0!n

n

nP n= = และ 0

!1

!n nP

n= =

2. วธเรยงสบเปลยนเปนวงกลม

สงของ n สงทตางกน เรยงสบเปลยนเปนวงกลมได ( 1)!n − วธ

ถาจดเปนวงกลมทมองไดสองดาน เชน การรอยมาลย จะทาได ( 1)!2

n − วธ



44.. วธจดหมวธจดหม

มของ n สงทตางกน เลอกมาทละ k สงโดยไมสนใจลาดบ จานวนวธททาไดคอ

( ) !!( )!

nk

nnCk k n k

= =−


1. ( ) ( )n nk n k

= − 2. ( ) ( )0 1n nn= =

3. ( ) ( 1)( 2) ( 1)

!

n n n n knk k

− − − += 4. ( ) !n

knP kk

=

55.. การแบงกลมของทตางกนการแบงกลมของทตางกน

มของ n สงทตางกน ตองการแบงเปน k กลมตางกน ทม 1 2, , , kn n n… สง ตามลาดบ

จะแบงกลมได 1 2

!! ! !k

nn n n

วธ

66.. ทฤษฎบททวนาม ทฤษฎบททวนาม ((BBiinnoommiiaall TThheeoorreemm))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1

0( ) 1 2 1n n n n n k k n nn n n n n na b a a b a b a b ab bnnk

− − − −+ = + + + + + + +−


1. ในการกระจาย ( )na b+ จะได 1n + พจน

2. พจนท 1k + คอ ( )1n k k

knT a bk

−+ =

3. สมประสทธของการกระจายทวนามจดเปนสามเหลยมของปาสคาลได

4. เอกลกษณของปาสคาล

( ) ( ) ( )11 1

n n nk k k

++ =+ +

5. ถาแทน 1a b= = จะได

( ) ( ) ( ) ( ) 20 1 1nn n n n

nn+ + + + =−

6. ถาแทน 1, 1a b= = − จะได

( ) ( ) ( ) ( )( 1) 00 1 2nn n n n

n− + − + − =

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1



77.. ความนาจะเปนความนาจะเปน

1. การทดลองสม คอการทดลองซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกผลการ

ทดลองในแตละครงไดอยางถกตองแนนอน

2. แซมเปลสเปซ (sample space) คอเซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม

3. เหตการณ (event) คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ

ถา S เปนเซมเปลสเปซซงประกอบดวยสมาชกทมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน

แลว ความนาจะเปนของเหตการณ E คอ ( )( )

( )

n EP E

n S=


1. 0 ( ) 1P E≤ ≤ สาหรบเหตการณ E ใดๆ

2. ( ) 0P φ = และ ( ) 1P S =

3. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ ในกรณท A และ B เปนเหตการณทไมเกดรวมกน จะได ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +

4. ถา A และ B เปนเหตการณทอสระตอกนแลว ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =

เหตการณจะเปนอสระตอกน เมอการเกดของเหตการณหนงไมมผลกระทบถงการเกดของอกเหตการณ

หนง

5. ถา A′ เปนคอมพลเมนตของ A จะได

( ) 1 ( )P A P A′ = −

88.. ความนาจะเปนแบบมเงอนไขความนาจะเปนแบบมเงอนไข

ความนาจะเปนของเหตการณ A เมอมเงอนไขวาเหตการณ B เกดขนแลว เรยกวาความนาจะเปนแบบ

มเงอนไข เขยนแทนดวย ( | )P A B และ

( )( | )

( )

P A BP A B

P B

∩=


1. ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P B P A B P A P B A∩ = =

2. ถา A และ B อสระตอกนแลว ( | ) ( )P A B P A= และ ( | ) ( )P B A P B=

ซงจะไดตามมาวา ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =



ลาดบและอนกรมลาดบและอนกรม

11.. ความรพนฐานเกยวกบลาดบและอนกรมความรพนฐานเกยวกบลาดบและอนกรม

1. ลาดบ

ลาดบเปนชดของตวเลขทเขยนเรยงตอกนอยางมลาดบ ซงอาจมจานวนพจนเปนจานวนจากดหรอ

อาจมจานวนพจนเปนอนนตกได

ลาดบจากดทม n พจนจะอยในรป 1 2 3, , , , na a a a…

ลาดบอนนตจะอยในรป 1 2 3, , ,a a a …

2. อนกรม

ให na เปนพจนท n ของลาดบหนง ลาดบของผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ na คอ

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2n n

S a

S a a

S a a a

S a a a

=

= +

= + +

= + + +

อนกรมอนนตของลาดบอนนต na คอ 1 2 nS a a a= + + + +… เมอผลบวกมคา

ขอสงเกต 1n n na S S −= −

3. ลาดบเลขคณตและอนกรมเลขคณต

ลาดบเลขคณต คอลาดบซง 1n na a+ − เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n

เรยก 1n nd a a+= − ซงเปนคาคงตววา ผลตางรวม

พจนท n ของลาดบเลขคณตคอ ( )1 1na a n d= + −

ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ]1 12 ( 1)2 2n n

n nS a n d a a= + − = +

ตวอยาง ให 3,1,5,9,− … เปนลาดบเลขคณต จงหาพจนท n และผลบวก n พจนแรก

วธทา ผลตางรวม ( )1 3 4d = − − = ดงนน ( ) ( )1 1 3 1 (4) 4 7na a n d n n= + − = − + − = −

ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ] ( )12 ( 1) 2( 3) ( 1)4 2 52 2n

n nS a n d n n n= + − = − + − = −



4. ลาดบเรขาคณตและอนกรมเรขาคณต

ลาดบเรขาคณต คอลาดบซง 1n

n

a

a+ เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n

เรยก 1n

n

ar

a+= ซงเปนคาคงตววา อตราสวนรวม

พจนท n ของลาดบเรขาคณตคอ 11

nna a r −=

ผลบวก n พจนแรกคอ ( )1 1

1

n

n

a rS

r

−=

− เมอ 1r ≠

ในกรณท 1r < จะหาผลบวกอนนตไดเปน 1

aS

r=

−

22.. ลมตของลาดบลมตของลาดบ

1. ความหมายของลมต

ถา na มคาเขาใกลคาคงตว A ในขณะท n มคามากขนเรอยๆ อยางไมมขอบเขต

จะกลาววาลมตของ na เมอ n → ∞ เทากบ A และเขยนแทนดวย lim nna A

→∞=

ตวอยาง

1. 1n

na

n=

+ ซงกคอ 1 2 3 4

, , , ,2 3 4 5

… ซงมคาเขาใกล 1 ดงนน lim lim 11nn n

na

n→∞ →∞= =

+

2. 13

2

n

na⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ซงกคอ 3 3 3 3, , , ,

2 4 8 16… ซงมคาเขาใกล 0 ดงนน 1

lim lim 3 02

n

nn na

→∞ →∞

⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2. ลาดบลเขาและลาดบลออก

ให na เปนลาดบ

ถา lim nna

→∞ มคา จะเรยก na วาเปนลาดบลเขา (convergent sequence)

มฉะนนจะเรยก na วาเปนลาดบลออก (divergent sequence)

ตวอยาง

1. 2

11na

n= − มคาเขาใกล 1 เมอ n → ∞ นนคอ lim 1nn

a→∞

= จงเปนลาดบลเขา

2. ( 1)nna = − ซงกคอ 1,1, 1,1,− − … ซงไมไดเขาใกลคาใด จงไมมลมต และเปนลาดบลออก

ขอสงเกต ถาลมตมคา แลวลมตจะตองเปนคาคงตวและมคาเดยวเทานน



3. ทฤษฎบทเกยวกบลมต

ถา lim nna A

→∞= และ lim nn

b B→∞

= แลว

1. ( )lim nnca cA

→∞= เมอ c เปนคาคงตว

2. ( )lim n nna b A B

→∞+ = + และ ( )lim n nn

a b A B→∞

− = −

3. ( )lim n nna b AB

→∞= และ lim n

nn

a Ab B→∞

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ เมอ 0B ≠

4. lim nna A

→∞=

5. lim c cnn

a A→∞

= เมอ c เปนคาคงตว

6. limn

c c→∞


7. 0 1

lim1 1

n

n

rr

r→∞

⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩ และ lim n

nr

→∞ ไมมคา เมอ 1r = − หรอ 1r >

8. 0 0

lim1 0

p

n

pn

p→∞

<⎧⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩ และ lim p

nn

→∞ ไมมคา เมอ 0p >

9. 1

1 1 0

11 1 0

lim0

pp p

p pq

q qnq q

ap qa n a n a n a b

b n b n b n b p q

−−

−→∞−

⎧⎪ =⎪+ + + + ⎪⎪= ⎨⎪+ + + + ⎪ <⎪⎪⎩

และไมมลมตเมอ p q>

4. อนกรมลเขาและอนกรมลออก

ให nS เปนลาดบของผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ na

ถา lim nnS

→∞ มคา จะเรยกผลบวก 1 2 3a a a+ + + วา อนกรมลเขา (convergent series)

มฉะนนจะเรยกวา อนกรมลออก (divergent series)


1. อนกรมเลขคณตเปนอนกรมลออกเสมอ

ยกเวนเมอ 1 0a d= = ซงจะไดอนกรม 0 0+ +

2. อนกรมเรขาคณตจะเปนอนกรมลเขาเมอ 1r <

และเปนอนกรมลออกเมอ 1r ≥ ทงนเมอ 1 0a ≠

3. ความสมพนธระหวางการลเขาและลออกของลาดบและอนกรม

เมอ

เมอ

เมอ

เมอ เมอ

เมอ



กรณทสรปผลไดแนนอนมสองกรณ คอ

3.1 ถาอนกรมลเขาแลวลาดบตองลเขาส 0 เสมอ

นนคอถา lim nnS

→∞ มคา แลว lim 0nn

a→∞

=

3.2 ถาลาดบลออกแลว อนกรมตองลออกเสมอ

กรณทสรปผลไมไดมสองกรณ คอ

3.3 ถาอนกรมลออกแลว ลาดบอาจจะลเขาหรอลออกกได

3.4 ถาลาดบลเขาแลว อนกรมอาจจะลเขาหรอลออกกได

33.. เครองหมายรวมยอด เครองหมายรวมยอด ((SSuummmmaattiioonn))

ให na เปนลาดบ กาหนด 1 21

n

i ni

a a a a=

= + + +∑

1. สมบตบางประการของเครองหมายรวมยอด

1. ( )1 1

n n

i ii i

ca c a= =

=∑ ∑ เมอ c เปนคาคงตว

2. ( )1 1 1

n n n

i i i ii i i

a b a b= = =

+ = +∑ ∑ ∑

3. ( )1 1 1

n n n

i i i ii i i

a b a b= = =

− = −∑ ∑ ∑

2. ผลรวมทควรทราบ

1. 1

n

i

c c c c nc=

= + + + =∑

2. ( )

1

11 2

2

n

i

n ni n

=

+= + + + =∑

3. ( )( )2 2 2 2

1

1 2 11 2

6

n

i

n n ni n

=

+ += + + + =∑

4. 2

3 3 3 3

1

( 1)1 2

2

n

i

n ni n

=

⎡ ⎤+⎢ ⎥= + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑



แคลคลสแคลคลส

11.. ลมตและทฤษฎบทเกยวกบลมตลมตและทฤษฎบทเกยวกบลมต

1. ลมตสองดาน

เขยน lim ( )x a

f x L→

= แทน “ ( )f x มคาเขาใกล L ขณะ x มคาเขาใกล a”

ถา lim ( )x a

f x→

และ lim ( )x a

g x→

มคาแลว

1. lim ( ) lim ( )x a x a

c f x c f x→ →


2. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

+ = + และ

[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a


− = −

3. [ ] ( )( )lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a


=

4. lim ( )( )

lim( ) lim ( )

x a

x ax a

f xf x

g x g x→

→→

= เมอ lim ( ) 0x a

g x→

≠

5. ถา ( )f x เปนฟงกชนพหนามแลว lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

6. lim ( ) lim ( )n nx a x a

f x f x→ →

= เมอการหารากมความหมาย

2. ลมตดานเดยว


f x L−→

= แทน “ ( )f x มคาเขาใกล L ขณะ x มคาเขาใกล a จากทางซาย”


f x L+→

= แทน “ ( )f x มคาเขาใกล L ขณะ x มคาเขาใกล a จากทางขวา”

ทฤษฎบทสาหรบลมตสองดานยงคงใชไดกบลมตดานเดยว

ถา lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x L− +→ →

= = แลว lim ( )x a

f x L→

=

22.. ความตอเนองความตอเนอง

ฟงกชน f จะมความตอเนองท x a= กตอเมอ

1. ( )f a มคา และ

2. lim ( )x a

f x→

มคา และ

3. lim ( ) ( )x a

f x f a→

=



33.. อตราการเปลยนแปลงเฉอตราการเปลยนแปลงเฉลยลย

กาหนด ( )y f x=

ถา x เปลยนไปเปน x h+ แลวการเปลยนแปลงของ x คอ ( )x x h x hΔ = + − =

และการเปลยนแปลงของ y คอ ( ) ( )y f x h f xΔ = + −

อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x h+ คอ ( ) ( )f x h f xyx h

+ −Δ=

Δ

44.. อนพนธอนพนธ

กาหนด ( )y f x= อนพนธของ y เทยบกบ x

เขยนแทนดวย ( ), , ( ),

df xdyy f x

dx dx′ ′ โดยท

0 0

( ) ( )lim limx h

f x h f xdy ydx x hΔ → →

+ −Δ= =

Δ

เราอาศยสตรตอไปนชวยในการหาอนพนธของฟงกชน

1. 0dcdx


2. 1dxdx

=

3. 1n

ndxnx

dx−= เมอ n เปนจานวนตรรกยะ

ให u และ v เปนฟงกชนของ x

4. ( )d cu duc

dx dx= เมอ c เปนคาคงตว

5. ( )d u v du dvdx dx dx

+= +

6. สตรผลคณ ( )d uv dv duu v

dx dx dx= +

7. สตรผลหาร 2

du dvv ud u dx dx

dx v v

−⎛ ⎞⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

8. กฎลกโซ ถา z เปนฟงกชนของ y และ y เปนฟงกชนของ x แลว dz dz dydx dy dx

= ⋅



55.. ค ความชนและเสนสมผสเสนโคงวามชนและเสนสมผสเสนโคง

กาหนดเสนโคง ( )y f x= ความชนเสนสมผสเสนโคงทจดใดกคออนพนธทจดนน

66.. อนพนธอนดบสงอนพนธอนดบสง

กาหนด ( )y f x= เราเรยก ( )dy

f xdx

′= วาอนพนธอนดบหนง

เรยก 2

2( )

d y d dyf x

dx dx dx

⎛ ⎞⎟⎜′′= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ วาเปนอนพนธอนดบสอง

และสามารถหาอนพนธอนดบอนๆ ไดในทานองเดยวกน

77.. ฟงกชนเพมและฟงกชนลดฟงกชนเพมและฟงกชนลด

ให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง [ , ]a b และสาหรบทก [ ]1 2, ,x x a b∈

1. ถา 1 2( ) ( )f x f x< ทก 1 2x x< แลวจะกลาววา f เปนฟงกชนเพมบนชวง [ , ]a b

2. ถา 1 2( ) ( )f x f x> ทก 1 2x x< แลวจะกลาววา f เปนฟงกชนลดบนชวง [ , ]a b

ถา ( )f x′ หาคาไดททกจดในชวง ( , )a b แลวจะตรวจสอบวา f เปนฟงกชนเพมหรอลดไดดงน

1. ถา ( ) 0f x′ > ทก ( , )x a b∈ แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [ , ]a b

2. ถา ( ) 0f x′ < ทก ( , )x a b∈ แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง [ , ]a b

( )y f x=( , ( ))a f a

x

y( ) ( )( )y f a f a x a′− = −

x

y( )y f x=

ฟงกชนเพม

x

y( )y f x=

ฟงกชนลด



88.. คาสงสดสมพทธและคาตาคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธสดสมพทธ

เมอกาหนด ( )y f x= หาจดสงสดสมพทธและจดตาสดสมพทธของฟงกชน f ไดดงน

1. หาอนพนธ ( )f x′

2. แกสมการ ( ) 0f x′ = คาตอบทไดเรยกวาจดวกฤต (จดทหา ( )f x′ ไมไดเปนจดวกฤตดวย)

3. จดวกฤตแตละจดอาจเปนจดสงสดสมพทธ หรอจดตาสดสมพทธ หรอไมใชทงสองอยาง

ซงสามารถทดสอบจดวกฤต 0x x= ไดดวยวธใดวธหนงตอไปน

3.1 วธอนพนธอนดบสอง - ถา 0( ) 0f x′′ > แลว 0x จะใหจดตาสดสมพทธ

- ถา 0( ) 0f x′′ < แลว 0x จะใหจดสงสดสมพทธ

- ถา 0( ) 0f x′′ = แลวยงสรปไมได ตองทดสอบโดยวธอน

3.2 วธอนพนธอนดบหนง พจารณาเครองหมายของ ( )f x′ ทจด 0x ขณะ x มคาเพมขนจากทางซายของ 0x ไปทางขวาของ

0x - ถา ( )f x′ เปลยนจากบวกไปเปนลบ (เปลยนจากฟงกชนเพมไปเปนฟงกชนลด) จะไดจดสงสด

สมพทธ

- ถา ( )f x′ เปลยนจากลบไปเปนบวก (เปลยนจากฟงกชนลดไปเปนฟงกชนเพม) จะไดจดตาสด

สมพทธ

- ถา ( )f x′ ไมเปลยนเครองหมาย แสดงวาไมใชจดสงสดสมพทธและจดตาสดสมพทธ

x

y จดสงสดสมพทธ

จดตาสดสมพทธ



99.. ปฏยานพนธและอนทกรลไมจากดเขตปฏยานพนธและอนทกรลไมจากดเขต

ถา F เปนฟงกชนซง ( )( )

dF xf x

dx=

แลวจะเรยก ( )F x วาปฏยานพนธของ ( )f x และเขยนแทนดวย ( ) ( )F x f x dx= ∫

ขอสงเกต ถา ( )F x เปนปฏยานพนธของ ( )f x แลว ( )F x c+ เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

จะเปนปฏยานพนธของ ( )f x

เราอาศยสตรตอไปนชวยในการหาปฏยานพนธ

1. dx x c= +∫

2. 1

1

nn x

x dx cn

+

= ++∫ เมอ 1n ≠ −

3. ( ) ( )a f x dx a f x dx=∫ ∫ เมอ a เปนคาคงตว

4. [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

1010.. อนทกรลจากดเขตและพนทใตกราฟ อนทกรลจากดเขตและพนทใตกราฟ

ถา ( )F x เปนปฏยานพนธของ ( )f x แลว

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = −∫

1. ถา ( )b

af x dx∫ สาหรบทก ( , )x a b∈ แลว ( )

b

af x dx∫ จะมความหมายเปนพนทใตกราฟ

ของ ( )y f x= ในชวง x a= ถง x b=

2. ถา ( ) 0f x ≤ สาหรบทก ( , )x a b∈ แลว ( )b

af x dx∫ จะมความหมายเปนพนทระหวางกราฟ

( )y f x= กบแกน x ในชวง x a= ถง x b=

( )b

af x dx∫

a b

( )y f x=

x

y



สถตสถต

11.. การวดคากลางของขอมลการวดคากลางของขอมล

คากลาง สตร ขอสงเกต

คาเฉลยเลขคณต

(arithmetic mean,

A.M, x , μ ) 1

1 n

ii

x xn =

= ∑

1. 1

n

ii

x nx=

=∑

2. 1

( ) 0n

ii

x x=

− =∑

3. 2

1

( )n

ii

x a=

−∑ นอยทสดเมอ a x=

4. ถา i iy ax b= + แลว y ax b= +

5. min maxx x x≤ ≤

มธยฐาน (median, Me)

Me = คาของขอมล

ตาแหนงตรงกลางเมอ

เรยงลาดบขอมลแลว

a Me= ทาให 1

n

ii

x a=

−∑ นอยทสด

ฐานนยม

(mode, Mo)

Mo = คาของขอมล

ทมความถมากทสด

1. ในกรณทมขอมลมการแจกแจงความถ อนตร

ภาคชนของทกชนตองเทากน

2. ขอมลคณภาพนยมหาคากลางโดยวธน

คาเฉลยเรขาคณต

(geometric mean,

G.M.)

1 2. . nnG M x x x=

1. 1 2n

nx x x ตองหาคาได

2. 1

1log . . log

n

ii

G M xn =

= ∑ เมอ 0ix >

คาเฉลยฮารโมนก

(harmonic mean)

หรอ H.M. 1

. .1n

i i

nH M

x=

=∑

H.M. = สวนกลบของคาเฉลยเลขคณตของ

ขอมลทเปนสวนกลบของขอมลเดมแตละตว

กงกลางพสย

(mid-range) min max. .

2

x xM R

+= ถาขอมลอยในรปอนตรภาคชนเปด

จะหาคากลางแบบนไมได

ในกรณทขอมลมการแจกแจงความถ ใหถวงนาหนกดวยความถของขอมลแตละตวตามความเหมาะสม

ยกเวนมธยฐานทใหคานวณตามสตร 1

1 2

dMo L I

d d

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠



เมอ L = ขดจากดลางของชนทมความถสงสด I = ความกวางของชนทมความถสงสด

1d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทตากวาหนงชน

2d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทสงกวาหนงชน

ขอสงเกต ถาขอมลทกตวมคาบวกแลว . . . .x G M H M≥ ≥

22.. ขอสงเกตเกยวกบคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมขอสงเกตเกยวกบคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม

1. ถาในจานวนขอมลทงหมดมขอมลบางคาทมคาสงหรอตากวาขอมลอนๆ มาก จะมผลกระทบกระเทอน

ตอการหาคากลางโดยใชคาเฉลยเลขคณต กลาวคออาจจะทาใหคากลางทไดมคาสงหรอตากวาขอมลทมอยสวน

ใหญ แตจะไมมผลกระทบกระเทอนตอการหาคากลางโดยใชมธยฐานหรอฐานนยม

2. ในกรณทขอมลเปนประเภทขอมลคณภาพ (qualitative data) จะสามารถหาคากลางไดเฉพาะฐาน

นยมเทานน แตไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณตหรอมธยฐานได

3. ความสมพนธของ x , Me, Mo

โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย

x Me Mo= = Mo Me x< < x Me Mo< <

33.. ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทลควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล

ให L = ขดจากดลางของชนทคาสถตนนอย I = ความกวางของชนทคาสถตนนอย

Lf∑ = เปนความถสะสมกอนชนทคาสถตนนอย if = ความถของชนทคาสถตนนอย

คาสถต ความหมาย ขอมลทไมแจกแจง

ความถ ขอมลทแจกแจงความถ

มธยฐาน (Median)

จดทแบงขอมล

ออกเปน 2 สวน

เทาๆ กน

ตาแหนงของ Me

คอ 12

n +

ตาแหนงของ Me คอ 2n

2 L

i

nf

Me L If

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

∑



ควอรไทล (Quartile)


ออกเปน 4 สวน

เทาๆ กน

ตาแหนงของ kQ

คอ ( 1)4

n k+

ตาแหนงของ kQ คอ 4kn

4 L

ki

knf

Q L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

เดไซล (Decile)


ออกเปน 10

สวนเทาๆ กน

ตาแหนงของ kD

คอ ( 1)10

n k+

ตาแหนงของ kD คอ 10kn

10 L

ki

knf

D L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

เปอรเซนไทล (Percentile)


ออกเปน 100

สวนเทาๆ กน

ตาแหนงของ kP

คอ ( 1)

100

n k+

ตาแหนงของ kP คอ 100kn

100 L

ki

knf

P L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

44.. การวดการกระจายของขอมลการวดการกระจายของขอมล

1. การวดการกระจายสมบรณ

1. พสย max minRange x x= −

2. สวนเบยงเบนควอรไทล 3 1. .2

Q QQ D

−=

3. สวนเบยงเบนเฉลย 1

1. .

n

ii

M D xn

μ=

= −∑

4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน 2

1

1( )

n

ii

xn

σ μ=

= −∑

ขอสงเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = 2σ

2. ถามขอมล m ชด และ 1 2 mμ μ μ= = = แลว

2 2 2

2 1 1 2 2

1 2

m m

m

n n n

n n n

σ σ σσ

+ + +=

+ + +รวม

3. ถา i iy ax b= + แลว y xa bμ μ= + และ y xaσ σ=



2. การวดการกระจายสมพทธ

1. สมประสทธของพสย max min

max min

x x

x x

−=

+

2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล 3 1

3 1

Q Q

Q Q

−=

+

3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย . .M Dμ

=

4. สมประสทธของสวนเบยงเบนมาตรฐาน σμ

=

55.. คามาตรฐานคามาตรฐานและการแจกแจกปกตและการแจกแจกปกต

คามาตรฐาน (z-score) กาหนดโดย xz

μσ−

=

ขอสงเกต 1. คาเฉลยของ z เทากบ 0 เสมอ

2. สวนเบยงเบนมาตรฐานของ z เทากบ 1 เสมอ

ถาขอมลมการแจกแจงปกต แลว z จะมการกระจายเปนโคงระฆงควา ซงมสมมาตรเทยบกบ 0z =

66.. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชการวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนนระหวางขอมลระหวางขอมล

1. เสนตรง y mx c= + สมการปกตคอ 1 1

2

1 1 1

n n

i ii i

n n n

i i i ii i i

y m x nc

x y m x c x

= =

= = =

⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑ ∑ สงเกตวา y mx c= +

2. พาราโบลา 2y ax bx c= + + สมการปกตคอ

2

1 1 1

3 2

1 1 1 1

2 4 3 2

1 1 1 1

i

n n n

i ii i i

n n n n

i i i i ii i i in n n n

i i i i ii i i i

y a x b x nc

x y a x b x c x

x y a x b x c x

= = =

= = = =

= = = =

⎧⎪⎪ = + +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = + +⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = + +⎪⎪⎪⎩

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

3. xy ab= หรอ log log logy a x b= + สมการปกตคอ

1 1

2

1 1 1

log log (log )

log (log ) (log )

n n

i ii i

n n n

i i i ii i i

y n a b x

x y a x b x

= =

= = =

⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑ ∑

-3 -2 -1 1 2 3Z

0.1

0.2

0.3

0.4



ตวอยางขอสอบคณตศาสตร ตวอยางขอสอบคณตศาสตร ((AA--NNEETT))

ตอนท 1 ขอสอบแบบปรนย ขอ 1-25 ขอละ 3 คะแนน

1. ให a เปนจานวนคบวก และ b เปนจานวนคบวก ขอใดตอไปนถก

1. a และ b เปนจานวนเฉพาะสมพทธ

2. a b+ เปนจานวนเฉพาะ

3. ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ ห.ร.ม. ของ a และ 2b

4. ค.ร.น. ของ a และ b เทากบ ค.ร.น. ของ a และ 2b

2. ถา x และ y เปนจานวนจรงบวกทตางกน ซงสอดคลองกบสมการ y xx y= แลวขอใดตอไปนผด

1. xyy x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ = 2. yxx y⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ = 3. ( ) ( )y x yxy x += 4. ( )

yx yx

yy

−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3. ในการกระจาย 551 1

5 102 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ จานวนพจนทเปนจานวนเตมเทากบขอใดตอไปน

1. 5 พจน 2. 6 พจน 3. 7 พจน 4. 8 พจน

4. ถา , ,x y z สอดคลองกบระบบสมการ

2 2 2

2 2 5

3 2 3

x y z

x y z

x y z

+ − = −

+ + =

− − =

แลว ดเทอรมแนนต 2 1 3

2 2 2

2 2 3x y x y x y

−

− −

+ + −

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 60 2. 75 3. 90 4. 105

5. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางอยทจดศนยกลางของวงรทมสมการเปน

2 29 4 36 24 36 0x y x y+ − − + = ถาวงกลมวงนสมผสกบเสนตรงทผานจด (1, 3) และ (5, 0)

แลว รศมของวงกลมวงนเทากบขอใดตอไปน

1. 35

2. 45

3. 78

4. 913



6. กาหนดให H เปนไฮเพอรโบลาทมสมการเปน 2 216 9 144 0x y− − =

ถาจด (6, )A k เมอ 0k > เปนจดอยบนเสนกากบของ H และ 1 2,F F เปนโฟกสของ H

แลว พนทของรปสามเหลยม 1 2AF F เทากบขอใดตอไปน

1. 372

ตารางหนวย 2. 452

ตารางหนวย 3. 30 ตารางหนวย 4. 40 ตารางหนวย

7. ( )sin arctan2 arctan 3+ เทากบขอใดตอไปน

1. 12

− 2. 12

− 3. 12

4. 12

8. ถา sec cosec 1θ θ+ = แลว sin 2θ มคาเทากบขอใดตอไปน

1. ( )2 1 2− 2. ( )2 2 1− 3. 1 3− 4. 3 1−

9. กาหนดให เอกภพสมพทธคอ { }3, 2, 1,1,2, 3U = − − − ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ

1. [ ]x y x y y∃ ∀ + < 2. 2x y x y x⎡ ⎤∃ ∀ − <⎣ ⎦

3. 2x y xy x⎡ ⎤∃ ∀ =⎣ ⎦ 4. 2x y x y y⎡ ⎤∃ ∀ =⎣ ⎦

10. ให , ,p q r เปนประพจน ถาประพจน ( )p q r→ ∨ มคาความจรงเปนจรง และ ( )p q r∨ ∧ มคาความ

จรงเปนเทจ แลว ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ

1. ( )q p r∨ →∼ 2. ( )p p q→ ∨∼ ∼

3. ( ) ( )q r p q r∨ → ∨ ∧∼ 4. [ ] [ ]( ) ( ) ( )q r p q r∨ → ∧ ∨∼ ∼

11. ขอใดตอไปนถก

1. 7 5 7log 3 log 3 log 10< < 2. 5 7 7log 3 log 3 log 10< <

3. 7 7 5log 3 log 10 log 3< < 4. 7 5 7log 10 log 3 log 3< <

12. จานวนเตม ทสอดคลองกบอสมการ ( )[ ]1 32

log log 1 1x + >− มจานวนเทากบขอใดตอไปน

1. 6 2. 7 3. 8 4. มากกวา 8

13. กาหนดให 3u i k= + , 2v j xk= + เมอ x เปนจานวนจรง และ 3w i j k= − + −

ถา ,u v และ w อยบนระนาบเดยวกน แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 12− 2. 8− 3. 8 4. 16



14. จานวนเชงซอน 1z i= + เปนคาตอบของสมการในขอใดตอไปน

1. 4 22 4 0z z z− + = 2. 4 22 4 0z z z− − =

3. 4 22 4 0z z z+ − = 4. 4 22 4 0z z z+ + =

15. กราฟของจด z ทงหมดในระนาบเชงซอนทสอดคลองสมการ ( )( ) 1z i z i+ − = เปนรปใดตอไปน

1. เสนตรง 2. วงกลม 3. วงร 4. ไฮเพอรโบลา

16. พจารณาลาดบ na และ nb ซง

ขอใดตอไปนถก

1. na และ nb เปนลาดบลเขา 2. na และ nb เปนลาดบลออก

3. na เปนลาดบลเขา และ nb เปนลาดบลออก 4. na เปนลาดบลออก และ nb เปนลาดบลเขา

17. กาหนดให

คาของ 2

0 0lim ( ) lim (1 )x x

f x f x− −→ →

+ − เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

18. ถา ( )P x เปนพหนามดกรสาม ซงม 1,2, 3 เปนคาตอบของสมการ ( ) 0P x = และ (4) 5P =

แลว (1)P ′ มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 67

− 2. 56

− 3. 45

4. 53

19. กาหนดให กราฟของ ( )y f x= มความชนทจด ( , )x y ใดๆ เปน 2 2x + และ

f มคาตาสดสมพทธเทากบ 3− พนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวยกราฟของ ( )y f x=

แกน X เสนตรง 1x = − และเสนตรง 0x = เทากบขอใดตอไปน

1. 73

ตารางหนวย 2. 83

ตารางหนวย 3. 9 ตารางหนวย 4. 12 ตารางหนวย

2

2 100

1002 1

n

n

b nn

n

≤⎧⎪⎪⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎪ +⎪⎩

เมอ

เมอ

เมอ

เมอ

2

1002 12 100

n

nn

nan

⎧⎪⎪ ≤⎪⎪ += ⎨⎪⎪ >⎪⎪⎩

เมอ

เมอ

เมอ

2 0

( ) 2 1 0 1

3 1

x x

f x x x

x x

⎧⎪ <⎪⎪⎪⎪= − ≤ <⎨⎪⎪⎪ ≥⎪⎪⎩



20. ในการผลตสนคาตามโครงการ OTOP ของตาบลหนง ในแตละวนผลตผาฝายได x ชน และผลตผาไหม

ได y ชน โดยมอสมการขอจากดคอ

2 12

8

x y

x y

+ ≤

+ ≤

0x ≥ และ 0 6y≤ ≤

ถาผาฝายและผาไหมมราคาขายชนละ 90 บาทและ 300 บาท ตามลาดบ แลว โครงการนจะขายสนคาได

เงนมากทสดตอวน เทากบขอใดตอไปน

1. 1,560 บาท 2. 1,800 บาท 3. 1,980 บาท 4. 2,400 บาท

21. กลองใบหนงมบตร 10 ใบ แตละใบเขยนหมายเลข 4, 3, 2, , 4,5− − − … ใบละ 1 หมายเลข

ถาสมหยบบตรขนมา 2 ใบพรอมกนจากกลองใบน ความนาจะเปนทจะไดบตรทมหมายเลข

บนบตรทงสองซงมผลคณมากกวาหรอเทากบ 0 เทากบขอใดตอไปน

1. 23

2. 59

3. 3245

4. 4145

22. ให S เปนเซตของจด 10 จดบนวงกลมวงหนง ซงมสมบตดงน เมอลากเสนตรงเชอมระหวางจด 2 จดใดๆ

ใน S จะมเพยง 3 เสนเทานนทผานจดศนยกลางของวงกลมวงน ถาสรางรปสามเหลยมโดยเลอกจด 3 จด

ใน S มาเปนจดยอดของรปสามเหลยม ความนาจะเปนทจะไดรปสามเหลยมมมฉาก เทากบขอใดตอไปน

1. 0.1 2. 0.2 3. 0.3 4. 0.4

23. โรงงานแหงหนงมพนกงานจานวน 40 คน และตารางแจกแจงความถสะสมของอายพนกงานเปนดงน

อาย (ป) ความถสะสม

11 - 20 6

21 - 30 14

31 - 40 26

41 – 50 36

51 - 60 40

ถาผจดการมอาย 48.5 ป แลว พนกงานทมอายระหวางคามธยฐานของอายพนกงานและอายของผจดการ

มจานวนประมาณ เทากบขอใดตอไปน

1. 31.5 % 2. 33.7 % 3. 35.0 % 4. 37.0 %



24. บรษทแหงหนงมพนกงาน 20 คน เงนเดอนเฉลยของพนกงานเทากบ 60,000 บาท และมสวนเบยงเบน

มาตรฐานเทากบ 10,000 บาท ถาผลรวมของคามาตรฐานของเงนเดอนของพนกงานจานวน 19 คน มคา

เทากบ 2.5 แลว พนกงานอก 1 คนทเหลอมเงนเดอนเทากบขอใดตอไปน

1. 35,000 บาท 2. 57,500 บาท 3. 62,500 บาท 4. 85,000 บาท

25. ตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง 0 ถง z เปนดงน

z 0.016 0.168 1.5 2.5

พนทใตเสนโคง 0.0062 0.0668 0.4332 0.4938

ถาคะแนนสอบเขามหาวทยาลยของนกเรยนจานวน 10,000 คน มการแจกแจงปกต และมคาเฉลยเลข

คณตเทากบ 58 คะแนน โดยมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 6 คะแนน แลว นกเรยนทมคะแนนระหวาง

49 – 73 คะแนน มจานวนเทากบขอใดตอไปน

1. 4,394 คน 2. 5,606 คน 3. 73,000 คน 4. 9,270 คน

ตอนท 2 ขอสอบแบบอตนย ขอ 1-5 ขอละ 2 คะแนน ขอ 6-10 ขอละ 3 คะแนน

1. กาหนดให 5( ) 1h x x= − และ 5( )g x x=

ถา f เปนฟงกชนซง ( )( ) ( )f g x h x= แลว (5)f มคาเทาใด

2. กาหนดให { }1,2,{1,2},(1,2)A = เมอ (1,2) หมายถงคอนดบ และ ( )B A A A= × −

จานวนสมาชกของเซต B เทากบเทาใด

3. กาหนดให

ถา 1 2( )

3f a− = แลว a มคาเทากบเทาใด

4. กาหนดให 3 4u i j= + ถา w ai bj= + โดยท w มทศทางเดยวกนกบ u และ 10w =

แลว a b+ เทากบเทาใด

5. ถาขอมลชดหนงมสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 0.12 สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 6

และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 แลวสมประสทธของการแปรผนมคาเทากบเทาใด

เมอ

เมอ

21 1 40

( ) 20 0

xx

f x xx

⎧⎪− + +⎪ ≠⎪⎪= ⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩



6. กาหนดให I เปนเซตของจานวนเตม ถา 2{ | 2 9 26 0S x x x= ∈ − − ≤I และ 1 2 3}x− ≥

แลว ผลบวกของสมาชกของ S เทากบเทาใด

7. ถา 2

2 3

1 13 3 3

a aa+ + + + เปนอนกรมเรขาคณต ซงมผลบวกเทากบ 4

3 แลว a มคาเทากบเทาใด

8. กาหนดให 3 3

2 0 9

1 1 2

x

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอ x เปนจานวนจรง

ถา 3 3 1 0 0 1 0 0 9 5 36

2 0 9 0 1 0 0 1 0 5 3 21

1 1 2 0 0 1 0 0 1 2 1 8

x⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ แลว x มคาเทากบเทาใด

9. กาหนดให { }1,2, 3, 4,5A = { , }B a b=

ฟงกชนจาก A ไปทวถง B มจานวนทงหมดกฟงกชน

10. ถา x เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ซง 9, 12 และ 15 หาร x ลงตว แต 11 หาร x เหลอเศษ 7

แลว x มคาเทากบเทาใด

เฉลยคาตอบตวอยางขอสอบคณตศาสตร เฉลยคาตอบตวอยางขอสอบคณตศาสตร ((AA--NNEETT))

ตอนท ตอนท 11

1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 5. 1

6. 4 7. 3 8. 1 9. 3 10. 4

11. 1 12. 2 13. 4 14. 1 15. 2

16. 3 17. 2 18. 4 19. 2 20. 3

21. 2 22. 2 23. 3 24. 1 25. 4


1. 4 2. 15 3. 0.5 4. 14 5. 0.2

6. 17 7. 1.5 8. 4 9. 30 10. 1800



ตวอยางขอสอบคณตศาสตร ตวอยางขอสอบคณตศาสตร ((OO--NNEETT))

ตอนท 1 ขอสอบแบบปรนย ขอ 1-16 ขอละ 2 คะแนน ขอ 17-32 ขอละ 3 คะแนน

1. ( )22 8 18 32+ + + มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 60 2. 60 2 3. 100 2 4. 200

2. 65

332

32 227

(64)

−+ มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1324

− 2. 56

− 3. 23

4. 1924

3. ถา {2, 4, 6}A B− = , {0, 1, 3}B A− =

และ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A B∪ =

แลว A B∩ เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน

1. {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2. {1, 2, 4, 5, 6, 8}

3. {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4. {0, 2, 4, 5, 6, 8}

4. กาหนดให { , , }A a b c= และ {0,1}B = ฟงกชนในขอใดตอไปน เปนฟงกชนจาก B ไป A

1. {( ,1), ( , 0), ( ,1)}a b c 2. {(0, ), (1, ), (1, )}b a c

3. {( ,1), ( , 0)}b c 4. {(0, ), (1, )}c b

5. กาหนดให 2( ) 4 10f x x x= − + − ขอความในขอใดตอไปนถกตอง

1. f มคาตาสดเทากบ 6− 2. f ไมมคาสงสด

3. f มคาสงสดเทากบ 6 4. 92

( ) 6f <−

6. ถา P เปนจดวกกลบของพาราโบลา 2 12 38y x x= − + − และ O เปนจดกาเนด

แลว ระยะทางระหวางจด P และจด O เทากบขอใดตอไปน

1. 10 หนวย 2. 2 10 หนวย

3. 13 หนวย 4. 2 13 หนวย



7. ฟงกชน ( )y f x= ในขอใดมกราฟดงรปตอไปน

1. ( ) 1f x x= − 2. ( ) 1f x x= +

3. ( ) 1f x x= − 4. ( ) 1f x x= +

8. ลาดบเรขาคณตในขอใดตอไปน มอตราสวนรวมอยในชวง (0.3, 0.5)

1. 5 253, , ,

4 48… 2. 4 8

2, , ,3 9

…

3. 94, 3, ,

4… 4.

165, 4, ,

5…

9. ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมหนงคอ 23 2nS n= +

แลว พจนท 10 ของอนกรมนมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 57 2. 82 3. 117 4. 302

10. ( )50

1

1 ( 1)k

k

k=

+ −∑ มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1300 2. 1350 3. 1400 4. 1450

11. ปาจเรมขายขนมครกในวนท 3 มกราคม ในวนแรกขายไดกาไร 100 บาท และในวนตอๆ ไปจะขายไดกาไร

เพมขนจากวนกอนหนาวนละ 10 บาททกวน ขอใดตอไปนเปนวนทของเดอนมกราคมทปาจขายไดกาไร

เฉพาะในวนนน 340 บาท

1. วนท 24 2. วนท 25 3. วนท 26 4. วนท 27

12. ถาผลบวกและผลคณของสามพจนแรกของลาดบเลขคณตทม d เปนผลตางรวมเทากบ 15 และ 80

ตามลาดบ แลว 2d มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 4 3. 9 4. 16

( )y f x=

(0,1)

X

Y

0 11−



13. คาของ x ทสอดคลองสมการ ( )( )2 4

4

22

4

xx= เทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

14. ถาขอมลชดหนงประกอบดวย 10, 12, 15, 13, และ 10

ขอความในขอใดตอไปนเปนเทจ สาหรบขอมลชดน

1. มธยฐานเทากบ 12 2. ฐานนยมนอยกวา 12

3. ฐานนยมนอยกวาคาเฉลยเลขคณต 4. คาเฉลยเลขคณตมากกวา 12

15. เมอพจารณาผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 39 คน พบวาเปอรเซนไทลท 25 ของคะแนนสอบ

เทากบ 35 คะแนน และมนกเรยน 30 คนไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 80 คะแนน ถามนกเรยนทสอบได

35 คะแนนเพยงคนเดยว แลว จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 35 - 80 คะแนน เทากบขอใดตอไปน

1. 18 คน 2. 19 คน 3. 20 คน 4. 21 คน

16. ขอสอบชดหนงม 2 ตอน ตอนทหนงม 5 ขอ ใหเลอกตอบวาจรงหรอเทจ

ตอนทสองม 5 ขอ เปนขอสอบแบบ 4 ตวเลอก

ถาตองตอบขอสอบชดนทกขอโดยไมเวนแลว จะมวธตอบขอสอบชดนไดตางๆ กนทงหมดเทากบขอใด

ตอไปน

1. 2 45 5× วธ 2. 5 42 5× 3. 5 52 4× วธ 4. 2 55 4× วธ

17. กาหนดให a, b เปนจานวนจรงใดๆ ขอใดตอไปนถก

1. ถา a b< แลว จะได 2 2a b< 2. ถา 0a b< < แลว จะได 2ab a<

3. ถา a b< แลว จะได a b< 4. ถา 2 2a b< แลวจะได a b<

18. อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง

1. 1000 600 3002 3 10< < 2. 600 1000 3003 2 10< <

3. 600 300 10003 10 2< < 4. 300 1000 60010 2 3< <

19. ถา sin 65x = ° แลว อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง

1. 2

1x

x xx

< <+

2. 2

21 1x x

xx x

< <+ +

3. 2

221

xx x

x< <

+ 4.

22

21x

x xx

< <+



20. กาหนดให I เปนเซตของจานวนเตม และ 1 1 21 3

xA x

x

⎧ ⎫⎪ ⎪− −⎪ ⎪= ∈ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭I

จานวนสมาชกของเซต A เทากบขอใดตอไปน

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

21. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก มมม A เทากบ 30°

และมพนทเทากบ 24 3 ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากบขอใดตอไปน

1. 12 หนวย 2. 14 หนวย 3. 16 หนวย 4. 18 หนวย

22. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 10 3 หนวย และ

ดาน AB ยาวเทากบ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลว จะไดวา

ดาน CD ยาวเทากบขอใดตอไปน

1. 5 2 หนวย 2. 5 3 หนวย 3. 10 2 หนวย 4. 10 3 หนวย

23. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมพนทเทากบ 15 ตารางหนวย และมมม C เปนมมฉาก

ถา sin 3 sinB A= แลวดาน AB ยาวเทากบขอใดตอไปน

1. 5 หนวย 2. 5 3 หนวย 3. 5 2 หนวย 4. 10 หนวย

24. ถา a เปนจานวนจรงลบ และ 20 2 3 0a a+ − =

แลว 2 191 a a a+ + + + มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2− 2. 3− 3. 4− 4. 5−

25. เหต (1) ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน

(2) มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง

(3) มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง

ผล ในขอใดตอไปนเปนการสรปผลจาก เหต ขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล

1. มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง 2. มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน

3. มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4. มคนตกงานทเปนคนขยน

26. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตวจะออกหมายเลขทมหลก

หนวยเปนเลขคและหลกสบมากกวาหลกหนวยอย 1 เทากบขอใดตอไปน

1. 0.04 2. 0.05 3. 0.20 4. 0.25



27. ตารางแสดงนาหนกของนกเรยนจานวน 50 คน เปนดงน

นาหนก (กโลกรม) จานวน (คน)

30 - 39 4

40 - 49 5

50 - 59 13

60 - 69 17

70 - 79 6

80 - 89 5

ขอสรปในขอใดตอไปน ไมถกตอง

1. นกเรยนกลมนสวนใหญมนาหนก 60 - 69 กโลกรม

2. นกเรยนทมนาหนกตากวา 50 กโลกรม ม 9 คน

3. นกเรยนทมนาหนกในชวง 50 - 59 กโลกรม ม 26%

4. นกเรยนทมนาหนกมากกวา 80 กโลกรม ม 10%

28. ครอบครวหนงมบตร 4 คน บตร 2 คนมนาหนกเทากนและมนาหนกนอยกวาบตรอก 2 คน ถานาหนกของ

บตรทง 4 คนมคาฐานนยม มธยฐาน และพสยเทากบ 45, 47.5 และ 7 กโลกรมตามลาดบ แลว คาเฉลย

เลขคณตของนาหนกของบตรทง 4 คน มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 46 กโลกรม 2. 47 กโลกรม 3. 48 กโลกรม 4. 49 กโลกรม

29. ถาในป พ.ศ. 2547 คาเฉลยเลขคณตของอายพนกงานของบรษทแหงหนงเทากบ 23 ป ในปตอมา บรษท

ไดรบพนกงานเพมขนอก 20 คน ทาใหคาเฉลยเลขคณตของอายพนกงานในป พ.ศ. 2548 เทากบ 25 ป

และผลรวมของอายของพนกงานเพมขนจากป พ.ศ. 2547 อก 652 ป เมอสนป พ.ศ. 2548 บรษทแหงนม

พนกงานทงหมดจานวนเทากบขอใดตอไปน

1. 76 คน 2. 96 คน 3. 326 คน 4. 346 คน

30. ถานาหนก (คดเปนกโลกรม) ของนกเรยน 2 กลมๆ ละ 6 คน เขยนเปนแผนภาพ ตน-ใบ ไดดงน

นกเรยนกลมท 1 นกเรยนกลมท 2

8 6 4 3 4 9

8 6 6 4 2 2 4

5 0



ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

1. นาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 2 มากกวานาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 1

2. ฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวาฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 1

3. มธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 1

4. มธยฐานของนาหนกของนกเรยนทงหมด มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 1

31. มขอมล 5 จานวนซงเรยงจากนอยไปมาก คอ 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x

โดยม 1 7x = , คาเฉลยเลขคณตเทากบ x และความแปรปรวนเทากบ 16

ถากาหนดตารางแสดงคาของ ix x− ดงน

i ix x−

1 7 x−

2 3− 3 1− 4 3

5 6

แลว คาของ x เทากบขอใดตอไปน

1. 10 2. 10.5 3. 12 4. 12.5

32. จากแผนภาพกลองของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนจาแนกตามเพศเปนดงน

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

1. คะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายสงกวาคะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตร

ของนกเรยนหญง

2. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายมการกระจายเบขวา

3. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายมากกวาคะแนนสอบวชาคณตศาสตร

ของนกเรยนชาย

4. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายเบขวา

0 100คะแนนสอบ

คะแนนสอบของนกเรยนหญง

คะแนนสอบของนกเรยนชาย



ตอนท 2 ขอสอบแบบอตนย ขอ 1-10 ขอละ 2 คะแนน

1. ถา {(1, 0), (2,1), (3,5), (4, 3), (5,2)}f = แลว (2) (3)f f+ มคาเทาใด

2. ถา 4 2a = และ 116

4b− = แลว a b+ มคาเทากบเทาใด

3. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก

ถา 12cot

5A = แลว 10 cosec 12 secA A+ มคาเทาใด

4. ถา ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก และ 3cos

5A =

แลว ( )cos B A− มคาเทากบเทาใด

5. ขอมลชดหนงม 10 จานวนประกอบดวยจานวนตอไปน

4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25

ควอรไทลทสามของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด

6. ในการเขยนตวเลข 3 หลก จากเลขโดด 1 ถง 7 โดยทเลขโดดในหลกทงสามไมซากนเลย

จะมวธเขยนตวเลขเหลานทแสดงจานวนคไดกวธ

7. มกลอง 2 ใบ แตละใบมลกบอลหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 อยอยางละลก ถาสมหยบลกบอล 2 ลก จาก

กลองทงสองใบน กลองละลก แลวความนาจะเปนทจะไดลกบอลหมายเลขตางกนเทากบเทาใด

8. จากการสารวจนกเรยนกลมหนงจานวน 100 คน ไดขอมลวามนกเรยนทสวมรองเทาขนาดตางๆ ดงน

เบอรรองเทา จานวนนกเรยน

5 3

6 12

7 35

8 27

9 16

10 7

รวม 100 คน

เมอเลอกนกเรยน 1 คน จากนกเรยนกลมน ความนาจะเปนทจะเลอกไดนกเรยนสวมรองเทาเบอร 6 หรอ

เบอร 7 เทากบเทาใด



9. ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน

พบวา มคนทไมดมทงชาและกาแฟ 100 คน

มคนทดมชา 100 คน

และ มคนทดมกาแฟ 150 คน

พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด

10. กาหนดให ( )n A แทนจานวนสมาชกของเซต A

ถา 1 {( 1, 2), (0, 1), (1,2), (2, 3), (3, 4)}r = − − − −

และ 2 {( , ) | 1 }r x y y x= + =

แลว 1 2( )n r r∩ เทากบเทาใด

เฉลยคาตอบตวอยางขอสอบคณตศาสตร เฉลยคาตอบตวอยางขอสอบคณตศาสตร ((OO--NNEETT))


1. 4 2. 1 3. 3 4. 4 5. 4

6. 2 7. 2 8. 1 9. 1 10. 1

11. 4 12. 3 13. 3 14. 4 15. 4

16. 3 17. 2 18. 3 19. 4 20. 4

21. 1 22. 2 23. 4 24. 1 25. 2

26. 1 27. 4 28. 3 29. 2 30. 1

31. 3 32. 2


1. 6 2. 0.75 3. 39 4. 0.8 5. 19

6. 120 7. 0.8 8. 0.47 9. 50 10. 2

1. 2. 3.dainu/admission/math.pdfแบบบอกเง อนไข เช น {|xx เป นจ...

Documents

Transcript of 1. 2. 3.dainu/admission/math.pdfแบบบอกเง อนไข เช น {|xx เป นจ...