09Extrait Genie Thermique
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- 21 -
Chapitre II LES EQUATIONS D'ECHANGE
II-1 DEFINITION DES COEFFICIENTS D'ECHANGE
II-1.1 Coefficients locaux particuliers et coefficient global d'change
Considrons un changeur tubulaire dans lequel on fait circuler deux fluides. Supposons, par
exemple, que le fluide chaud circule l'intrieur des tubes. En rgime permanent, les dbits
massiques de fluides sont constants et la temprature en un point de l'appareil est constante.
Dfinissons un lment de volume de l'appareil pris entre deux sections droites perpendiculaires aux
tubes, situes des distances x et x+dx de l'extrmit par laquelle entre le fluide chaud. Soient c et
f les tempratures moyennes respectives des deux fluides dans cet lment de volume.
Le transfert de chaleur met en jeu trois rsistances :
- une rsistance la convection entre le fluide et la surface interne des tubes (1)
- une rsistance la conduction dans la paroi des tubes (2)
- une rsistance la convection entre la surface externe des tubes et le fluide (3)
Soient hi et he les coefficients superficiels d'change respectifs correspondant aux rsistances (1) et
(3) et dAi et dAe les surfaces correspondantes. Appelons t la conductivit thermique du matriau
constituant les tubes.
Le flux de chaleur dQ chang entre les deux fluides est tel que
eemtii
fc
dAh
1
dA
e
dAh
1
dQ
++
= (1)
f
c
Fluide
x x+dx
Fluide
chaud
-
- 22 -
dAm est la moyenne logarithmique des aires dAi et dAe.
En fait, dans le calcul des changeurs la rsistance la conduction dans la paroi des tubes n'est pas
la rsistance prpondrante. Aussi, il est d'usage et justifi d'assimiler la moyenne logarithmique
la moyenne arithmtique.
2
dAdAdA eim
+= (2)
NEWTON a propos d'crire
( )fc UdAdQ = (3) Que l'on peut crire
( )UdA
1
dQ fc
=
donc eemtii dAh
1
dA
e
dAh
1
UdA
1++= (4)
hi est appel le coefficient local interne particulier d'change
he est appel le coefficient local externe particulier d'change
U est appel le coefficient local global d'change
Ces coefficients sont des coefficients locaux car leur valeur est susceptible de varier le long des
tubes. Ils s'expriment en kcal/h m2 C Btu/hr ft
2 F ou W/m
2 K.
Il s'agit de choisir pour dA une valeur de rfrence pratique, bien que l'changeur calcul ne
dpende pas de ce choix. Il est d'usage de choisir comme aire de rfrence celle qui correspond la
rsistance thermique la plus grande. Nous avons donc trois possibilits :
m
e
i
dAdA
dAdA
dAdA
=
=
=
(5)
ce qui dfinit trois coefficients globaux d'change tel que :
mmeeii dAUdAUdAUUdA === (6)
Les trois coefficients n'ont de signification que par rapport ces aires de rfrences.
On a alors
i
ee
i
mt
ii
dA
dAh
1
dA
dA
e
h
1
U
1+
+= (7)
Soit encore
i
ee
i
iet
ii
D
Dh
1
D2
DD
e
h
1
U
1+
++=
(8)
Ou De et Di dont respectivement le diamtre extrieur et le diamtre intrieur des tubes.
-
- 23 -
De mme e
e
iet
e
ii
e h
1
2D
DD
e
D
Dh
1
U
1+
++=
(9)
Et
ie
ee
t
ie
ii
m
DD
D2h
1e
DD
D2h
1
U
1
+
+
+
+
= (10)
Remarques:
- Dans le cas de surfaces planes parallles et le cas des changeurs plaques, les
surfaces de convection sont identiques et il n'existe donc qu'un seul coefficient global d'change U
tel que
eti h
1e
h
1
U
1+
+=
II-1.2 Coefficient d'encrassement
Trs souvent, durant le fonctionnement d'un changeur avec la plupart des liquides et parfois aussi
des gaz, un film d'encrassement se dpose graduellement sur les surfaces d'change. Ces dpts ont
pour effet d'ajouter au cours du temps des rsistances thermiques supplmentaires au transfert,
abaissant ainsi la performance de l'changeur.
C'est pourquoi un nettoyage priodique s'avre indispensable pour maintenir des performances
correctes de l'appareil. La priode dpend du type d'industrie et de la facult des fluides mis en jeu
dans l'changeur dposer plus ou moins rapidement sur les tubes ou les plaques.
Ces dpts sont limins soit par dmontage et nettoyage, soit par traitement chimique
Dans les industries chimique ou ptrolire, on calcule en gnral l'changeur pour que son
nettoyage n'intervienne que lors des grands arrts de l'unit (souvent tous les cinq ans).
Dans l'industrie agroalimentaire, on peut nettoyer tous les jours un changeur.
Le calcul de l'appareil sera donc effectu, en gnral, avec la valeur limite de l'paisseur de ce
dpt. Bien que ces dpts correspondent une rsistance au transfert conductif dans un solide, on
l'exprime sous forme d'une rsistance la convection. On dfinit donc des coefficients
d'encrassement (coefficient de dpt) hdi et hde, des facteurs d'encrassement 1/ hdi et 1/ hde et des
rsistances limites d'encrassement :
edede
ididi
dAh
1R
dAh
1R
=
=
(11)
On peut alors crire :
edeeemtidiii
fc
dAh
1
dAh
1
dA
e
dAh
1
dAh
1
dQ
++++
= (12)
En appelant Us le coefficient global d'change de l'changeur encrass, on obtient
-
- 24 -
edeeemtidiiis dAh
1
dAh
1
dA
e
dAh
1
dAh
1
dAU
1++
++= (13)
On peut donc dfinir trois coefficients globaux d'change pour l'changeur encrass suivant l'aire de
rfrence :
i
ede
i
ee
i
iet
diisi
D
Dh
1
D
Dh
1
D2
DD
e
h
1
h
1
U
1++
+++=
(14)
dee
e
iet
e
idi
e
ii
se h
1
h
1
D2
DD
e
D
Dh
1
D
Dh
1
U
1++
+++=
(15)
ie
ede
ie
ee
t
ie
idi
ie
ii
sm
DD
D2h
1
DD
D2h
1e
DD
D2h
1
DD
D2h
1
U
1
+
+
+
+
+
+
+
+
= (16)
On remarque que :
edeidis dAh
1
dAh
1
UdA
1
dAU
1+=
(17)
Des ordres de grandeurs des coefficients globaux d'changes et des coefficients d'encrassement pour
certains couples de fluides sont donns dans les tableaux suivant.
ORDRE DE GRANDEUR DES COEFFICIENTS GLOBAUX D'ECHANGE Us
Fluide chaud Fluide froid Us(W/ m2 C)
Gaz
Gaz
Gaz
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide visqueux
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Vapeur se condensant
Vapeur se condensant
Vapeur se condensant
Gaz
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Gaz
Gaz
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide en bullition
10 - 50
20 - 50
20 - 80
20 - 50
20 - 80
100 - 200
100 - 300
700 - 1800
200 - 400
1000 - 2000
700 - 1500
-
- 25 -
COEFFICIENT D'ENCRASSEMENT hd
Fluide hd (W/ m2 C)
Eau distille
Eau de mer
Eau de ville
Eau de rivire filtre
Eau de rivire non filtre
Mazout
Liquides organiques
Saumure
Air industriel
Rsidu de crackage
10000
5000 - 10000
2500 - 5000
2500 - 5000
1500 - 2500
1000
5000
5000
2500
500
II-2 NOMBRES SANS DIMENSION - ANALYSE DIMENSIONNELLE
Il existe trois types de mthodes permettant de dterminer les coefficients d'change de chaleur par
convection :
- Les solutions mathmatiques exactes ou approches des quations de continuit, de quantit de
mouvement et d'nergie thermique qui s'appliquent principalement un coulement en rgime
laminaire
- Les analogies entre les transferts de chaleur et de quantit de mouvement
- L'analyse dimensionnelle du phnomne en appui d'expriences
L'analyse dimensionnelle contribue peu la comprhension du phnomne, elle est inutile sans les
exprimentations correspondantes, par contre elle permet de limiter le nombre d'expriences faire
et regroupe les donnes exprimentales sous forme de nombres adimensionnels plus pratiques
manipuler. Il existe diffrentes techniques pour dterminer les groupes adimensionnels :
- la mthode de BUCKINGHAM (Thorme de BUCKINGHAM)
- la mthode de RAYLEIGH
- La mthode de rduction des quations diffrentielles de bilans lorsque les phnomnes peuvent
tre traduit mathmatiquement. Cette dernire mthode est celle qui conduit des nombres
adimensionnels qui ont une signification physique. Les deux autres ncessitent une comprhension
physique pour tre mise en uvre correctement.
Rappelons ici la nomenclature utilise pour ce chapitre et les suivants :
D Diamtre intrieur ou extrieur de la canalisation L
v vitesse moyenne du fluide LT-1
masse volumique du fluide ML-3
viscosit dynamique du fluide ML-1T-1
viscosit cinmatique du fluide L2T1
L dimension caractristique de la surface L
g acclration de la pesanteur LT-2
coefficient de dilatation volumique pression constante -1
diffrence entre deux tempratures (paroi et fluide)
-
- 26 -
Cp chaleur spcifique du fluide L2T-2-1
conductivit thermique du fluide MLT-3-1
h coefficient local d'change MT-3-1
U coefficient global d'change MT-3-1
W dbit massique de fluide MT-1
diffusivit thermique L2T-1
Dans le cadre des transferts thermiques on est souvent conduit utiliser les nombres adimensionnels
suivant :
- le nombre de REYNOLDS
DvRe =
qui mesure le rapport des forces d'inertie aux forces de viscosit pour la convection force
- le nombre de GRASHOF 2
23
gLGr =
qui caractrise le mouvement du fluide provoqu par les variations de temprature pour la
convection naturelle et joue un rle analogue au nombre de Reynolds
- le nombre de PRANDTL
CPr
p=
que l'on peut crire encore
CPr
p=
= et qui est le rapport de deux diffusivits (quantit
de mouvement et thermique).
Pour les gaz, Pr est infrieur 1 et ne varie pas avec la temprature, pour les liquides usuels, Pr est
suprieur 1. Pour les mtaux liquides, Pr est trs petit.
- le nombre de PECLET PrRe
DvvPe
p==
que l'on peut considrer comme le rapport du flux d'nergie thermique transport par degr par le
fluide en mouvement au flux d'nergie thermique transfr par conduction.
- le nombre de NUSSELT
=
hDNu
qui reprsente le rapport du flux de chaleur globalement transfr au flux de chaleur transfr par
conduction et que l'on peut interprter aussi comme le rapport du diamtre du tube l'paisseur du
film de fluide dans lequel se trouverait concentr le gradient de temprature
- le nombre de STANTON vC
h
PrRe
NuSt
p
==
qui mesure le flux de chaleur globalement transfr dans le fluide au flux de chaleur transport par
le fluide en mouvement.
Notons que tout produit ou rapport de nombre sans dimension est un nombre sans dimension, la
plupart de ces nombres ont un quivalent lorsqu'on s'intresse au transfert de matire et qu'il existe
galement des nombres sans dimension rsultant du rapport de deux nombres sans dimension
quivalent pour le transfert de chaleur et le transfert de matire.
Exemple d'application au transfert de chaleur en convection force l'intrieur d'un tube :
-
- 27 -
Considrons un fluide s'coulant l'intrieur d'une canalisation de diamtre D et de longueur L. Le
coefficient d'change de chaleur la surface tube h est une fonction
- des proprits physiques du fluide , , Cp,
- de sa vitesse moyenne v
- des caractristiques de la canalisation D, L
On peut donc crire
h = f(, , Cp, , v, D, L) (18)
Bien sr, si l'on oublie des proprits physiques ayant une influence sur le coefficient ou d'autres
paramtres, le rsultat de l'analyse dimensionnelle sera faux.
RAYLEIGH admet que la fonction peut se dvelopper en srie de la forme :
iiiiiii p
1i
i LDvCah
=
= (19)
Chaque terme de la srie a la dimension de h, soit :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] iii
iiii
1
1312211313
LLLT
MLTTLTMLMLMT
=
(20)
Cette quation aux dimensions doit tre vrifie pour chacune des units fondamentales, soit :
[ ][ ][ ][ ] ii
iiii
iiiiiii
iii
1:
32- 3:T
230:L
1:M
=
=
+++++=
++=
(21)
7 inconnues et 4 quations, on peut donc calculer 3 variables par rapport aux autres
1
1
iii
ii
ii
iii
=
=
=
=
(22)
par suite iii
p
1i
iD
L
C
Dv
D
ah
=
=
(23)
ou
=
D
L,
C,
Dvg
hD p (24)
Suivant le choix des variables, nous aurions pu obtenir d'autres nombres sans dimension avec
ventuellement aucune signification physique.
Plus simplement on aurait pu dire qu'il existe h fonction de 7 variables (au total 8) avec 4 units
fondamentales. Il existe donc une relation entre 4 (8-4) nombres sans dimension reprsentant le
phnomne. L'analyse dimensionnelle ne prdit pas le type de relation que l'on va trouver.
-
- 28 -
En tudiant un nombre adimensionnel par rapport aux trois autres, on cherche ensuite une "bonne"
relation traduisant les rsultats exprimentaux dans une plage donne de variations des nombres
sans dimension.
Pour 104 < Re < 12.10
4
0,6 < Pr < 120
L/D > 60
Mc ADAMS effectuant une synthse de nombreux rsultats exprimentaux, a trouv que la relation
4.0
p
8,0
C
Dv023,0
hD
=
(25)
rendait compte des rsultats avec une prcision de l'ordre de 10%
II-3 DETERMINATION DE L'AIRE D'ECHANGE - UTILISATION DE LA
DIFFERENCE DE TEMPERATURE MOYENNE LOGARITHMIQUE DANS
LES ECHANGEURS TUBULAIRES
Considrons un fluide chaud et un fluide froid s'coulant dans un changeur tubulaire. En rgime
permanent, les tempratures des deux fluides sont fixes en un point mais varient tout au long de
l'changeur.
L'allure des profils de tempratures est reprsent sur les figures suivantes. Par convention nous
noterons 1 les tempratures des fluides l'extrmit par laquelle entre le fluide chaud et 2 les
tempratures des fluides l'autre extrmit.
f1
c1
c2
f2
c1
f2
c2
f1
-
- 29 -
On constate que, dans les changeurs co-courant, la temprature la plus basse du fluide chaud
dans l'appareil est ncessairement suprieure la temprature la plus leve du fluide froid.Par
contre, dans les changeurs contre-courant, la temprature de sortie du fluide chaud peut tre
infrieur la temprature de sortie du fluide froid.
Le fonctionnement contre-courant est donc plus efficace que celui co-courant.
Dans le cas des changeurs multipasses, le fontionnement est moiti co-courant, moiti contre
courant et les profils de tempratures sont plus complexes.
f2
c2
f1
c1
co-courant
c1
f2
c2
f1
contre-courant
-
- 30 -
II-3.1 Echangeurs une seule passe
Nous traiterons dans ce cours uniquement les appareils contre courant. Les appareils co-courant
se traitent de manire similaire et nous n'en donnerons que les rsultats.
f2
WcCc
c1 c2 c+d c
f1
f+d f f
c Fluide chaud
Fluide froid WfCf
-
- 31 -
Considrons un changeur tubulaire et supposons que le fluide chaud circule l'intrieur des tubes.
Soient Wc son dbit massique et Cc sa chaleur spcifique. Appelons Wf et Cf respectivement le
dbit et la chaleur spcifique du fluide froid. Nous supposerons que les chaleurs spcifiques sont
constantes dans l'changeur. Considrons un lment de volume de cet changeur limit par deux
sections droites situes respectivement x et x+dx de l'entre du fluide chaud (l'extrmit 1).
Soit dQ le flux de chaleur chang entre les deux fluides travers la surface dA
On peut crire
( ) ( )UdAUdAdQ fc ==
Le problme rsoudre pour obtenir l'aire d'change de l'appareil est l'intgration de cette quation
en remarquant que et le coefficient global d'change U varie avec x (U dpend des coefficients locaux d'change eux-mme fonction des tempratures par l'intermdiaire des proprits physiques.
Le flux de chaleur dQ est cd par le fluide chaud :
ccc dCWdQ = (26)
Il est gagn par le fluide froid
fff dCWdQ = (27)
Soit en combinant les deux quations
( )
ffcc CW
1
CW
1
ddQ
= (28)
Posons
ffcc CW
1
CW
1 = (29)
On en dduit
( )
ddQ = (30)
En combinant les quations on obtient
( )
UdA
d= (31)
-
- 32 -
1er cas U constant le long de l'appareil
Considrons que le coefficient global d'change ne varie pas avec la distance (U Constant)
Les quations s'intgrent entre les extrmits 1 et 2 de l'changeur
( )
=2
1
2
1
dAU
d (32)
=2
1
2
1
ddQ (33)
=2
1
ccc
2
1
dCWdQ (34)
=2
1
fff
2
1
dCWdQ (35
Soit UA
Ln
2
1= (36)
( ))(CW)(CW
Q f2f1ffc2c1cc
21==
= (37)
D'ou ( )
2
1
21
Ln
UAQ
= (38)
Ou A est l'aire d'change
f2c22
f1c11
=
=
(39)
L'quation 38 peut encore s'crire :
mlUAAQ =
(40)
Bien sr la moyenne logarithmique est symtrique
( ) ( )
1
2
12
2
1
21
Ln
UA
Ln
UAQ
=
= (41)
-
- 33 -
Si 1=2 on peut dmontrer que 1UAAQ = (42)
Pour un co-courant la dmonstration conduit
)(CW)(CWQ f1f2ffc2c1cc == (43)
et
mlUAAQ =
(44)
Exemple : 10 T/h dhuile scoulant dans un tube est refroidie de 100 40 C par de leau liquide
passant de 20 40 C. Le coefficient global dchange Us est gal 300 W/m2 K
Fluide Eau Huile
Masse volumique (kg/m3) 992 902
Chaleur Spcifique (J/kg C) 4185 1520
Calculer laire dchange ncessaire contre courant et co courant.
Q=WCp soit Q=10000/3600*1520*(100-40) = 253333W
A contre courant
=
1
2
12
Ln
AUQ soit
Fluide chaud
f2
WcCc
c1 c2 c+d c
f1
f+d f f
c
Fluide froid WfCf
-
- 34 -
( ) ( )C41.36
40100
2040Ln
401002040ml =
=
A=23,2 m2
A co courant
( ) ( )C0
20100
4040Ln
201004040ml =
=
Il nous faudrait donc une aire d'change infinie, ce qui montre bien que le co courant est moins
efficace que le contre courant
2me cas U varie le long de l'appareil
Les coefficients locaux d'change hi et he dpendent des proprits physiques des fluides et sont
donc fonction de leurs tempratures. En intgrant les quations 26 et 27 entre l'extrmit 1 de
l'appareil et une abscisse variable on peut dduire la relation entre c et f en chacun des points de l'appareil. On peut galement dterminer le coefficient global d'change de l'appareil U en fonction
de = (c - f). On peut diviser cette courbe en segments que l'on assimilera des droites
Soit U=Uci (1+ni ) l'quation de la droite sur le segment i
L'quation s'crit donc
( ) ( )dAn1U
dici += (45)
Qui intgre entre les extrmits i et i+1 s'crit
icii1i1i
1iii AU)n(1
)n(1Ln =
+
+
++
+ (46)
i
i
i+
Ui
Ui+1
-
- 35 -
Ou Ai est l'aire du tronon i de l'changeur.
En liminant entre les quations, il vient
( )
)n(1
)n(1Ln
AUQ
i1i1i
1iii
1iiicii
++
+
+
+
+
= (47)
En remarquant que
( ) 1iii1i1iici UUU +++ = (48)
On en dduit que
( )
i1i
1ii
1iii1iii
U
ULn
UUAQ
+
+
++ =
(49)
Il suffit donc de calculer la surface pour chaque tronon et d'ajouter les surfaces correspondantes.
Remarques : si l'on considre un seul segment sur tout le domaine, on obtient
( )
21
12
1221
i
U
ULn
UUAQ
= (50)
Ce qui est la plupart du temps suffisant
Exemple : 10 T/h dhuile scoulant dans un tube est refroidie de 100 40 C par de leau liquide
scoulant contre courant dans lespace annulaire dun changeur double tube et passant de 20
40 C. Le coefficient global dchange Us varie avec la diffrence de temprature entre lhuile et
leau comme suit :
Diffrence de temprature(C) 20 30 40 50 60
Us (W/m2 K) 223 256 289 322 355
Fluide Eau Huile
Masse volumique (kg/m3) 992 902
Chaleur Spcifique (J/kg C) 4185 1520
Calculer laire dchange ncessaire.
-
- 36 -
Q=WCp soit Q=10000/3600*1520*(100-40) = 253333W
La courbe U=f(c-f) est une droite. Nous pouvons donc calculer laire dchange :
=
12
21
1221
U
ULn
UUAQ soit
=
60*223
20*355Ln
60*22320*355A253333
A=25,56 m2
Les quations d'changes sont valables galement dans le cas ou l'un des fluides change d'tat si
toutefois ce changement se passe temprature constante (condensation d'une vapeur pure sature
par exemple)
200220240260280300320340360380
20 25 30 35 40 45 50 55 60Diffrence de temprature
Coef
ficie
nt d
'ch
ange
-
- 37 -
II-3.2 Echangeurs multipasses
Dans ce cas, le problme est plus complexe. Les auteurs ont cherch des solutions analytiques
reprsentant le flux chang. Ils ont exprim le flux sous la forme :
mlAYUQ =
ou ml reprsente la diffrence de temprature contre courant et Y est un coefficient correctif qui est infrieur 1. Notons que dans la conception des changeurs on fera en sorte que ce coefficient
correctif soit suprieur 0,8 pour garantir que la surface d'change utilise le soit avec une bonne
efficacit.
Examinons le cas d'un appareil 1-2, soit avec une passe ct calandre et 2 passes ct tubes
Soit WA, CpA, WB, CpB les dbits massiques et les capacits calorifiques des courants A et B
respectivement. On supposera que :
-Le rgime est permanent
-Les chaleurs spcifiques et le coefficient global d'change sont constant
-Les tempratures sont uniformes sur une section droite de l'coulement.
Effectuons les bilans thermiques entre les plans a et b, globalement, sur la surface dA.
Entre a et b : Entre - Sortie = 0
0)(CpW)(CpW B2BBBAIIAIAA =+ (51)
)(CpW)(CpW AIAIIAAB2BBB = (52)
Posons BB
AA
CpW
CpWR = (53)
B
B1
B2
B + dB
AI AI + dAI
AII + dAII
A1
A2
AII
dA
-
- 38 -
On obtient )R()( AIAIIB2B = (54)
Sur l'aire dA on crit un bilan sur le fluide AI, un sur le fluide AII et un sur le fluide B
)(2
dAUdCpW AIBAIAA = (55)
)(2
dAUdCpW BAIIAIIAA = (56)
)(2
dAU)(
2
dAUdCpW AIIBAIBBBB += (57)
Posons dACpW
Ud
AA
= (58)
On obtient donc :
)(2
1
d
dAIB
AI= (59)
)(2
1
d
dAIIB
AII= (60)
et
+= )(
2
1
d
d
R
1AIIAIB
B (61)
En diffrentiant cette dernire expression et en remplaant les dA l'aide des quations prcdentes on obtient :
)(R
1
d
d
d
d
R
1AIAII
B
2
B
2
+= (62)
En utilisant la premire quation, il vient :
04
)(
d
dR
d
d B2BB2
B
2
=
+ (63)
Posons B2B1
B2B
= (64)
-
- 39 -
Il vient donc l'quation avec les deux conditions aux limites suivantes :
===
==
=
+
0CpW
UA
10
04d
dR
d
d
TAA
2
2
(65)
La solution gnrale de cette quation est
+= 2r1r veue (66)
r1 et r2 tant solution de 04
1Rrr2 =+
Soit 2
1RR2r
2
1RR1r
22 +=
++= (67)
Les deux conditions aux limites donnent
====
=+=
+
A
CpA
W
UA1
2R
1r
2r
T ee
e
v
u0
1vu0
T
T (68)
D'o l'on pourrait tirer u et v
L'quation 61 pour =0 s'crit
0)(2
1
d
d
R
12A1A1B
B=
+=
(69)
Soit en remplaant dB par sa valeur :
vr2ur1)(2
1
RA2A1B1
B2B1
+=
+
(70)
vr2ur1)(2
1
1A2A1B1
A1A2
+=
+
(71)
vr2ur1
2
1
A1A2
B1A1
A1A2
B1A2 +=
+
(72)
-
- 40 -
Posons A1B1
A1A2
E
= (73)
2vr1urE
11
E
1
2
1+=
+ soit 2vr1ur
2
1
E
1+=+ (74)
Que l'on peut multiplier par u+v qui est gal 1 pour obtenir :
( ) ( ) 02EE2r2v2EE1r2u =+++ (75)
( )( )1r21E2
2r21E2e
e
e
v
uA
CpA
W
UA1
2R
T1r
T2r
===
+
(76)
+++
++
+=
1R1RE2
1R1RE2
Ln1R
1
CpW
UA
2
2
2AA
(77)
On peut crire le flux de chaleur quel que soit le fluide chaud :
( ) ( )
( )( )
( )A1A2AAA1B2
A2B1
A1B2A2B1 CpW
Ln
UAYQ =
= (78)
( )
( ) ( )( )( )A1B2
A2B1
A1B2A2B1
A1A2
AA
Ln
Y
CpW
UA
= (79)
Or ( )( )
( )( )( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
RE1
E1
1
1
A1A2
A1A2
A1B1
B1B2
A1B1
A2A1
A1B1
A1B2
A1B1
A2B1
A1B2
A2B1
=
+
+
=
=
(80)
Et ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) 1R1
A1A2B2B1
A1A2
A1B2A2B1
A1A2
=
=
(81)
-
- 41 -
( )
( ) Y1R1RE21R1RE2
Ln
1R
1
RE1
E1Ln
1R
1Y
CpW
UA
2
2
2AA
+++
++
+=
= (82)
D'o l'on tire
( )( )
( )
+++
++
+
=
1R1RE2
1R1RE2
Ln1R
RE1
E1Ln1R
Y
2
2
2
(83)
Reprenons l'quation 82 et montrons que les courants A et B joue un rle symtrique.
En inversant A et B il vient
Posons 'R
E
'Eet
R
1
CpW
CpW'R
B1A1
B1B2
AA
BB=
=== (84)
On remplace donc dans l'quation
+++
++
+
=
1'R
11
'R
1'R'E2
1'R
11
'R
1'R'E2
Ln
1'R
1
1
CpW
UA
2
2
2
AA
(85)
+++
++
+=
1'R'R1'E2
1'R'R1'E2
Ln1'R
'R
CpW
UA
2
2
2AA
(86)
+++
++
+=
1'R'R1'E2
1'R'R1'E2
Ln1'R
1
CpW
UA
2
2
2BB
(87)
On voit donc que la formule est symtrique en A et B ce qui est vrai galement pour le Y.
Des abaques ont t tablis pour les principales configurations d'changeurs de chaleur. Ils donnent
la valeur du coefficient Y en fonction de E avec pour paramtre R.
-
- 42 -
Coefficient correctif pour un changeur 1-n
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E
Y
0,1
0,2
0,5
0,4
0,3
0,6
0,7
0,8
0,91
2,5
1,2
1,4
1,6
1,823468101520
-
- 43 -
Coefficient correctif d'un changeur 2-n
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E
Y
0,1
0,2
0,5
0,4
0,3
0,6
0,7
0,8
0,91
2,5
1,2
1,4
1,6
1,823468101520
-
- 44 -
Coefficient correctif d'un changeur 3-n
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E
Y
0,1
0,2
0,5
0,4
0,3
0,6
0,7
0,8
0,91
2,5
1,2
1,4
1,6
1,823468101520
-
- 45 -
Coefficient correctif d'un changeur 4-n
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E
Y
0,1
0,2
0,5
0,4
0,3
0,6
0,7
0,8
0,91
2,5
1,2
1,4
1,6
1,823468101520
-
- 46 -
Coefficient correctif courant croiss
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E
Y
0,1
0,2
0,5
0,4
0,3
0,6
0,7
0,8
0,91
2,5
1,2
1,4
1,6
1,823468
101520
(WC)max mlang(WC)min non mlang
-
- 47 -
Coefficient correctif courants croiss
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E
Y
0,1
0,20,5
0,4
0,3
0,6
0,7
0,8
0,91
2,5
1,2
1,4
1,6
1,823468
101520
(WC)max non mlang(WC)min mlang
-
- 48 -
II-4 EFFICACITE D'UN ECHANGEUR DE CHALEUR
II-4.1 Dfinition
Les quations 37 et 38 sont d'une utilisation simple lorsque l'on souhaite calculer la surface
d'change ncessaire pour raliser un chauffage ou un refroidissement d'un fluide donn. La
premire ou la seconde nous permet de calculer le flux de chaleur, la seconde ou la premire la
temprature de sortie ou le dbit de l'utilit. La dernire, enfin nous sert calculer l'aire d'change.
L'utilisation de ces quations pour la simulation d'un changeur existant, c'est dire lorsque
l'appareil est fix ainsi que les tempratures d'entre et les dbits des fluides, est plus dlicate. Les
inconnues (les tempratures de sorties et le flux de chaleur) sont telles que nous avons un systme
non linaire rsoudre. Il est alors plus commode d'utiliser une mthode base sur la notion
d'efficacit thermodynamique d'un changeur.
Cette efficacit E est dfinie comme le rapport du flux de chaleur rellement chang dans l'appareil
Q, au flux maximum qui pourrait tre chang dans un appareil de surface infinie fonctionnant
contre courant (c'est dire la limite thermodynamique du flux) Qmax. Les dbits et tempratures
d'entre des deux fluides restent bien sr identiques et donc le coefficient global d'change U.
L'changeur initial pouvant tre quelconque nous appellerons fe la temprature d'entre du fluide froid et fs la temprature de sortie du fluide froid. Dfinissons le flux maximum Qmax
Les quations d'changes sont :
)(CWQ c2c1cc = (88)
)(CWQ fefsff = (89)
( ) ( )
( )( )fec2
fsc1
fec2fsc1
Ln
UAQ
= (90)
Pour un fonctionnement contre courant, la surface A tendant vers l'infini et le flux tendant vers
une valeur finie, une des diffrences de tempratures de la moyenne logarithmique doit tendre vers
zro. Envisageons les deux schmas suivant :
fe
c1
c2 fs
fe
c1
c2 fs
-
- 49 -
Lorsque l'on augmente l'aire pour la faire tendre vers l'infini, la temprature c2 diminue et la temprature fs augmente tout en vrifiant les deux quations 88 et 89. On voit donc que dans le premier cas c2 diminuera plus vite que n'augmentera fs et dans le second cas, l'inverse se produira. On en dduit que A tendant vers l'infini, c2 tends vers fe dans le premier cas et fs tends vers c1 dans le second cas.
Dans le premier schma, )()( fefsc2c1 > donc ffcc CWCW <
Dans le second schma les ingalits sont inverses. On peut donc crire dans les deux cas que :
( ) )(WCQ fec1mmax = (91)
o (WC)m reprsente le plus petit des (WC).
Ainsi, l'efficacit d'un changeur est :
( )( ) ( )
( )( ) ( )fec1m
fefsff
fec1m
c2c1cc
WC
CW
WC
CWE
=
= (92)
et le flux de chaleur chang
( ) )(WCEQ fec1m = (93)
II-4.2 Dtermination de l'efficacit
On supposera le coefficient global d'change constant le long de l'changeur
Nous dmontrerons uniquement l'efficacit contre courant.
Dans ces conditions, la temprature d'entre du fluide froid devient f2 et la temprature de sortie f1 On a donc :
cc
c2c1c2c1ccCW
Q)()(CWQ == (94)
ff
f2f1f2f1ffCW
Q)()(CWQ == (95)
( ) ( )mf2c1f2c1m WCEQ
)()(WCEQ == (96)
-
- 50 -
( ) ( )
( )( )f2c2
f1c1
f2c2f1c1
Ln
UAQ
= (97)
Dterminons la valeur des diffrences de tempratures aux extrmits
( ) ffmf1f2f2c1f1c1 CWQ
WCE
Q)()()( =+= (98)
( )mccf2c1c1c2f2c2 WCEQ
CW
Q)()()( +=+= (99)
Remplaons dans la dernire quation
( ) ( )
( )
( )
=
ccm
ffm
ccmffm
CW
Q
WCE
Q
CW
Q
WCE
Q
Ln
CW
Q
WCE
Q
CW
Q
WCE
Q
UAQ (100)
Remarquons tout d'abord que cette formule est symtrique pour les deux fluides, en remplaant les
indices f et c nous obtenons la mme formule, ce qui signifie que nous pouvons choisir le fluide qui
a le plus petit WC. Que ce soit le fluide chaud ou froid, nous obtiendrons le mme rsultat.
Choisissons par exemple (WC)m = WfCf et donc appelons (WC)M = WcCc , simplifions par Q
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
Mm
mm
Mmmm
WC
1
WCE
1
WC
1
WCE
1
Ln
WC
1
WCE
1
WC
1
WCE
1
UA1 (101)
-
- 51 -
( ) ( )
( )( )( )
( )
( )( )( )( )( )
=
=
EWC
WC1
E1Ln
WC
WC1
WC
UA
EWC
WC1
E1Ln
WC
1
WC
1
UA1
M
m
M
m
m
M
m
mM (102)
( )( )
( )( )( )
=
M
m
m
M
m WC
WC1
WC
UA
EWC
WC1
E1Ln (103)
On en dduit donc
( )( )( )
( )( ) ( )
( )( )
=
M
m
mM
m
M
m
m
WC
WC1
WC
UAexp
WC
WC1
WC
WC1
WC
UAexp1
E (104)
Nous dfinissons
( )( ) ( )mmaxM
m
WC
UANUTet
WC
WCR ==
pour obtenir (105)
( )( )( )( )R1NUTexpR1
R1NUTexp1E
max
max
= (106)
Pour un changeur co-courant, on peut montrer de la mme manire que
( )( )R1
R1NUTexp1E max
+
+=
(107)
Pour un appareil 2 passes cot tubes nous avons dj tablit la relation entre NUTA, R et E et
montr sa symtrie sur les deux fluides et donc en supposant que le fluide A correspond au (WC)m
il vient :
-
- 52 -
( )
+++
++
+=
1R1RE2
1R1RE2
Ln
1R
1
WC
UA
2
2
2m
(108)
d'o nous tirons
( )
+++
++
=
+
1R1RE2
1R1RE2
1RWC
UAexp
2
2
2
m
(109)
( )
( )
++
+
+++
+
=
1R1R1RWC
UAexp1R1R
21RWC
UAexp2
E
22
m
2
2
m (110)
ou bien
( )
( )
+
++
+++
=
1RWC
UAexp1
1RWC
UAexp1
1R1R
2E
2
m
2
m2
(111)
Il est possible de dfinir 2 nombres d'units de transfert pour un changeur :
ff
fcc
cCW
UANUTet
CW
UANUT == (112)
Sachant que
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
ml
2f2c
1f1c
2f2c1f1c2f1fff2c1ccc UAY
Ln
UACWCW =
==
(113)
on obtient :
( ) ( )
ml
2f1f
fff
ml
2c1c
ccc
YCW
UANUTet
YCW
UANUT
==
== (114)
-
- 53 -
Le nombre d'units de transfert d'un changeur reprsente donc le rapport entre la diffrence de
temprature sur le fluide considr la diffrence de temprature moyenne d'change.
Vu sa dfinition, les nombres d'units de transfert de deux changeurs en srie sur un fluide
s'ajoutent.
Efficacit de deux changeurs en srie :
Les changeurs sont en srie mais chaque changeur est quelconque.
Nous allons supposer que Mffmcc WCCWetWCCW == tout en notant que l'inverse nous
donnerait la mme solution.
c3c1
f3f1
c2c1
f2f1
c3c2
f3f2
ff
cc
CW
CWR
=
=
== (115)
f2c2
c3c2
f2c1
c2c1
f3c1
c3c1
E2
E1
E
=
=
= (116)
Calculons ;:
f3c1
c3c1
c3c1
f3f1
f3c1
c3c1
1
1
RE1
E1
=
(117)
f1c1
f3c3
f3c1
f3f1f3c1
f3c1
c3c1f3c1
f3c1
f3f1
f3c1
c3c1
1
1
=
+
+
=
=
f2c2
f3c3
f1c1
f2c2
RE21
E21et
RE11
E11
=
=
(118)
RE1
E1
2RE1
2E1x
1RE1
1E1
=
(119)
que l'on peut gnraliser pour n changeurs en srie
c2 c3
f2 f1 f3
c1 E1 E2
-
- 54 -
=
=
n
1i i
i
RE1
E1
RE1
E1 (120)
Cette relation nous permet donc de dduire l'efficacit d'un appareil 2 passes ct calandre partir
de celle d'un appareil une passe ct calandre.
Rsum des formules d'efficacit pour diffrents changeurs
co courant
( )( )R1
R1NUTexp1E max
+
+=
(121)
contre courant
( )( )( )( )R1NUTexpR1
R1NUTexp1E
max
max
= (122)
1-2
( )
( )
+
++
+++
=
1RWC
UAexp1
1RWC
UAexp1
1R1R
2E
2
m
2
m2
(123)
n passes ct calandre n
1
1
n
1
1
RE1
E1R1
RE1
E11
E
= (124)
E1 tant l'efficacit d'un changeur 1 passe ct calandre
Echangeur courants croiss les deux fluides non mlangs
( ) ( )[ ]
R
1NUTRexpavecNUTexp1E
78.0max22.0
max
== (125)
Echangeur courants croiss (WC)max fluide mlang (WC)min fluide non mlang
( ) ( )maxNUTexp1avecR
Rexp1E ==
(126)
Echangeur courants croiss (WC)min fluide mlang (WC)max fluide non mlang
-
- 55 -
( )maxRNUTexp1avecR
exp1E =
=
(127)
Les quations correspondantes ont t traduites sous forme d'abaques que l'on trouve dans la
littrature consacre aux changeurs de chaleur. Dans ce polycopi, nous ne donnerons que certains
de ces abaques
Exemple: Dterminer lefficacit dun changeur , en supposant le coefficient global dchange
indpendant de la temprature, permettant de refroidir une huile de 80 30 C laide deau qui
passe de 20 35 C.
En supposant que cet changeur fonctionne contre courant dterminer son Nombre dUnit de
Transfert Maximum.
En supposant que cet changeur est un changeur 1-2 dterminer le coefficient correctif Y de
lquation Q=UAYml .
Lefficacit dun changeur est donne par :
( )( ) ( )
( )( ) ( )fecem
fefs
fecem
csce
WC
WfCf
WC
WcCc
maxQ
QE
=
==
Dans notre cas la diffrence de temprature du fluide chaud est plus grande que celle du fluide
froid, le (WC)m est donc celui du fluide chaud soit
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) 8333,02080
3080
WC
WcCcE
fece
csce
fecem
csce=
=
=
=
A contre courant, ( )( ) maxNUTR1
maxNUTR1
Re1
e1E
=
soit( )
( )RE1E1
LnR1
1maxNUT
=
R est gal au rapport des diffrences de tempratures
( )( )
( )( )
( )( ) 3,03080
2035
WC
WCR
csce
fefs
M
m=
=
==
( )( ) 15,2833,0*3,01
833,01Ln
3.01
1maxNUT =
=
coefficient correctif Y :
( )( )
( )( ) 8333,02080
3080E
fece
csce=
=
= et ( )( )
( )( ) 3,03080
2035R
csce
fefs=
=
=
Sur labaque, il nest pas possible de trouver une valeur de Y car elle est infrieure 0,5 (0,47 par la
formule). Cela montre que cet changeur nest pas intressant !!!
-
- 56 -
Efficacit d'un changeur contre courant
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax
Effic
acit
R=Wcmin/Wcmax
R=1
R=0,50
R=0,75
R=0
R=0,25
Efficacit d'un changeur co courant
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax
Effic
acit
R=1
R=0,50
R=0,75
R=0
R=0,25
R=Wcmin/Wcmax
-
- 57 -
Efficacit d'un changeur courants croiss fluides non mlangs
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax
Effic
acit
R=1
R=0,50
R=0,75
R=0R=0,25
R=Wcmin/Wcmax
Efficacit d'un changeur courants croiss
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax
Effic
acit
R=Wcmin/Wcmax
R=1
R=0,50
R=0,75
R=0
R=0,25
Wcmin non mlangWcmax mlang
-
- 58 -
Efficacit d'un changeur 1-2
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax
Effic
acit
R=1
R=0,50
R=0,75
R=0
R=0,25
R=Wcmin/Wcmax
Efficacit d'un changeur courants croiss
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
NUTmax
Effic
acit
R=Wcmin/Wcmax
R=1
R=0,50
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Wcmin mlangWcmax non mlang
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Nom du document : ECHANGEURS DE CHALEURV_DHET.doc
Rpertoire : C:\Documents and Settings\Denis.Barreteau\Mes
documents\Enseignement\formation continue
Modle : C:\Documents and Settings\barretea\Application
Data\Microsoft\Modles\A7.dot
Titre : ECHANGEURS DE CHALEUR
Sujet :
Auteur : BARRETEAU
Mots cls :
Commentaires :
Date de cration : 26/10/2006 16:01:00
N de rvision : 3
Dernier enregistr. le : 26/10/2006 16:04:00
Dernier enregistrement par : Denis Barreteau
Temps total d'dition : 18 Minutes
Dernire impression sur : 26/10/2006 16:05:00
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