09944415 pro Aula05 - Análise Combinatória V - Fórmula do ... · matemÁtica ii aula 05:...
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MATEMÁTICA IIAULA 05: ANÁLISE COMBINATÓRIA V –
FÓRMULA DO BINÔMIO DE NEWTONEXERCÍCIOS PROPOSTOSSemestral
VOLUME 2
OSG.: 099444/15
01. 153 4 153 3 6 153 3 4 153 3 3
153 3 150 15 10
4 3 2 2 3 4
4 4 4 4
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + == − = = ⋅( ) ..
Resposta: E
02. O termo geral do binômio é
Tp x
x
p px
p
pp
p p
+
−
− −
=
⋅
⋅
=⋅ −
⋅ ⋅
1
8
8 2 8
8 2
8
82
!
! ( )!.
O termo independente de x, se existir, é o natural p que torna o expoente de x igual a zero,ou seja,2 8 0 4p p− = ⇔ = .
Em consequência, o termo independente de x existe e é igual a
T58 4
4
8
4 8 42
8 7 6 5
4 3 22
1120
=⋅ −
⋅
=⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅⋅
=
−!
! ( )!
.
Portanto, segue-se que o resultado é 1 + 1 + 2 + 0 = 4.
Resposta: B
03. O termo de y4 no desenvolvimento de ((1 + x) + y)10 é 10
41
6 4
+( ) ⋅x y
O termo de x4 no desenvolvimento de (1 + x)6 é 10
416 4
⋅ x
Portanto, o coefi ciente de x6 no desenvolvimento de (1 + x + y)10 é 10
4
6
4210 15 3150
⋅
= ⋅ = .
Resposta: A
04. f xn n
x
f x x
f x x
n
n
n
( )!
! !
( )
( )
= +−( )
= + +( ) −
= +( )
=∑1
10
10
1 1 1
1
1
10
10
10
Então,[I] f(0) = (1 + 0)10 = 1[II] f(1) = (1 + 1)10 = 1024[III] f(–1) = (1 + (–1))10 = 0
Portanto, [III] é correta e [I] e [II] são incorretas.
Resposta: D
05. C2,0
(2x)2y0 + C2,1
(2x)1y1 + C2,2
(2x)0y2 = (2x + y)2 = 4x2 + 4xy + y2
Resposta: E
06. O termo Geral do Binômio de Newton será dado por: 12 1212 3 12 4
px x
pxp p p
⋅ ( ) =
⋅− − −
Para que que T seja o termo independente do desenvolvimento de xx
+
13
12
, devemos admitir12 – 4p = 0 ⇒ p = 3
Logo, T =
=⋅
=12
3
12
3 9220
!
! !
Resposta: C
OSG.: 099444/15
Resolução – Matemática II
07. O termo geral do binômio é dado por
Tn
p xx
n
p xx
n
p
p
n pp
n p
n pp
+
−
−
−
=
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
=
1 2
2 2
2
2
⋅ ⋅− −2 3 2n p p nx
Sabendo que o termo independente de x é o sétimo, segue que p = 6 e, assim,
Tn
xn n6 1
6 18 2
62+
− −=
⋅ ⋅
Daí, impondo 18 – 2n = 0, concluímos que n = 9 e, portanto,
T79 6 39
62
9
6 32
9 8 7
3 28 672=
⋅ =⋅
⋅ =⋅ ⋅
⋅⋅ =− !
! !.
Resposta: B
08. Sabendo que 0! = 1 e 1! = 1 , vem
x xx
−( ) −( )= ⇔ =
1 5 7
30 1 ou x =
7
5
ou
x xx x
−( ) −( )= ⇔ − + =
1 5 7
30 5 12 4 02
⇔ =x 2 ou x =2
5.
Onde concluímos que m = 1.
Assim, como o termo geral de y z−( )312
é
121
123 12 12 2 36 3
py z
py z
p p pp
p
( ) −( ) = −( )
− − − ,
e o termo médio é tal que
p p+ = + ⇔ =112
21 6,
concluímos que o termo médio é igual a
( )!
! !.−
=− − ⋅112
6
12
6 612 6
6
2 36 3 6 3 18y z y z
Resposta: E
09. Reescrevendo o polinômio, obtemos
( )!
! ! !( ) ( )
!
! ! !
2 34
2 3
4
2 4
1 2 3
2
1 2 3
1 2 3+ + =⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
∑x x x xα α α
α α α
α α α
∑∑ ⋅ ⋅2 31 2 2 32α α α αx .
Para que o expoente de x seja 7, devemos ter α1 + α
2 + α
3 = 4 e α
2 + 2α
3 = 7. Desse modo, como (α
1, α
2 , α
3) = (0,1, 3) é a única terna
coordenada que satisfaz essas condições, temos que o coeficiente de x7 é dado por:
4
0 1 32 3 120 1!
! ! !⋅ ⋅⋅ ⋅ =
Resposta: D
OSG.: 099444/15
Resolução – Matemática II
10. O termo geral do binômio x é Tnp
xx
n
p
n pp
21
23
2
3+
=
⋅ ( ) ⋅
+
−
Se os coefi cientes binominais do quarto e do décimo terceiro termos são iguais, então
n nn
3 123 12 15
=
⇔ = + =
Logo,
Tp
xx
p
pp
+−
=
⋅ ( ) ⋅
1
2 1515 3
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
−
−
15 3
153
30 2
30 3
px
x
px
pp
p p
p
Como o desenvolvimento do binômio apresenta um termo independente de x, deve-se ter 30 – 3p = 0 ⇔ p = 10.
Portanto, o termo pedido é o décimo primeiro.
Resposta: B
Raul: 29/01/16 – Rev.: TP09944415-pro-Aula 05 - Análise Combinatória V – Fórmula do Binômio de Newton