09 PIDFeedback control 2 講義09 PID制御 9.1 コントローラの例 9.1.1 P制御：基本形 C...

1

講義09 PID制御

ポイント

・PID制御について理解しよう．

・各種制御法の役割，違いについて学ぼう．

フィードバック制御系の極の位置と応答の関係について理解しよう．

Text: 佐藤，平元，平田：はじめての制御工学，講談社

Feedfoward control

操作量

制御量

)(sP )(sC

)(sD外乱

)(sR目標値

コントローラ制御対象

)(sU

)(sY

操作量

制御量

)(sP )(sC

)(sD外乱

)(sR目標値


)(sU

)(sY偏差

)(sE ＋

－

＋＋

Feedback control

2

講義09 PID制御

9.1 コントローラの例 9.1.1 P制御：基本形

比例ゲイン定数）:()( pKsC

比例制御

(P制御，Proportional Control)

)()()()(

(

)()()()()()(

tytrKteKtu

sYsRKsEKsEsCsU

pp

pp

時間関数）時間領域

変換）周波数領域（ラプラス

3

講義09 PID制御

9.1 コントローラの例 9.1.2 PI制御

積分ゲイン定数）:(,)( ii

p

ipip K

s

KK

s

KsK

s

KKsC

比例積分制御

(PI制御, (I:Integral)

t

ip

t

ip

ip

ip

dyrKtytrKdeKteKtu

sYsRs

KKsE

s

KKsEsCsU

00)()()()()()()(

(

)()()()()()(



4

講義09 PID制御


5

講義09 PID制御


6

講義09 PID制御

例題：台車系のＰ制御とＰＩ制御(1)

7

講義09 PID制御


8

講義09 PID制御


KKKDM

M

KK

M

D

pppp

jpjppp

pppppppp

ppsppspsps

pp

M

KKs

M

DsKKDsMs

p

p

p

p

ンの安定条件は，であるので，比例ゲイ台車系では，

が安定条件になる．かつ

場合には，したがって，この例の

かつこのとき，

には，とおくと，安定である：共役複素数の場合　

かつなので，安定であるには，：実数の場合　

極

ばよい．実部がすべて負であれ（分母多項式の根）の閉ループ伝達関数の極

0,0,0

00

002)(

0,),

00)(0,0),

0)())((

,:

00)(

22

2121

2121

21212121

2121

2

21

21

22

9

講義09 PID制御


比例ゲインを非常に大きくすると，偏差は小さくなる．このような制御法をハイゲイン

比例制御というが，実際には，ハードウェアの性能からハイゲンにできないことが多い．

10

講義09 PID制御


11

講義09 PID制御


の条件が導出できる．持ちいると，ラウスの安定判別法を

負の解）の実部がすべて安定性：極（

次多項式は伝達関数の分母多項式

ip

ip

ip

KK

KsKKDsMs

KsKKDsMs

,

0)(

3)(

23

23

D

MKKKKKK

DM

M

K

M

KK

M

D

M

K

M

KK

M

D

M

Ks

M

KKs

M

Ds

KsKKDsMs

ipip

ipip

ip

ip

,0,0

0,0

,0,0,0

0

0)(

23

23

なので，

12

（復習）7.2.4 安定判別法(1)

伝達関数の分母多項式の根を求めずに，安定かどうかを判定する．分母多項式=0を特性方程式という．特性方程式 0)( 01

1

1

ssssD n

n

n

ラウスの安定判別法

係数から作られる定数を次式のようにおく．ここで，1は ns

の係数を意味する．ただし，存在しない係数は0とおく．

,,

,1

,1

,1

1

31512

1

21311

1

7613

1

5412

1

3211

b

bbc

b

bbc

bbb

nnnn

n

nnn

n

nnn

n

nnn

13

（復習） 7.2.4 安定判別法(2)

この定数を用いて，つぎのラウス表と呼ばれる表を作る．

1

0

21

4

321

3

321

2

97531

1

86421

es

dds

cccs

bbbs

s

s

n

n

n

nnnnn

n

nnnn

n

0121 ,,,, nn

11111 ,,,,,,1 edcbn

[ラウスの安定定理]

システムが安定である必要十分条件は，つぎの2つが共に成立することである．

（１）特性多項式の全ての係数

（２）ラウス表の第1列が全て正である．

が全て正である．

14

（復習） 7.2.4 安定判別法(3)

例題1: 0)( 01

2 sssD

0

0

1

1

0

2

0

1

s

s

s

安定条件は， 0,0 10

ただし，2次の場合には，簡単に根を計算できて，この根から，係数がすべて正のとき安定になることはすぐにわかる

15

（復習） 7.2.4 安定判別法(4)

例題２:

安定条件は，

0)( 01

2

2

3 ssssD

0

02

0

1

1

02

2

1

3

0

1

s

s

s

s

021210 ,0,0,0

D

MKKKKKK

DM

M

K

M

KK

M

D

M

K

M

KK

M

D

M

Ks

M

KKs

M

Ds

KsKKDsMs

ipip

ipip

ip

ip

,0,0

0,0

,0,0,0

0

0)(

23

23

なので，

16

講義09 PID制御

9.1 コントローラの例 9.1.3 PID制御(1)

微分ゲイン定数）:(,)(

2

ddi

p

ipd

di

p KsKs

KK

s

KsKsKsK

s

KKsC

比例積分微分制御

(PID制御, (D:Derivative)

)()()()()()()(

)()()(

(

)()()()()()(

00tytr

dt

dKdyrKtytrK

dt

tdeKdeKteKtu

sYsRsKs

KKsEsK

s

KKsEsCsU

t

dip

t

dip

di

pdi

p



17

講義09 PID制御

9.1 コントローラの例 9.1.3 PID制御(2)

18

講義09 PID制御

9.1 コントローラの例 9.1.3’ PD制御

sKKsC dp )(

19

講義09 PID制御

9.2 コントローラの設計パラメータの値と制御系の極の関係(1)

9.2.1 P制御(1)

制御を適用した場合に制御対象 P)(as

bsP

は内部安定になる．フィードバック制御系

が安定であるとき，

であるという．制御系は内部安定

，作量が有界になるときに対して，制御量と操有界な外部からの入力

するとまとめてベクトル表示

の入出力関係量外部からの入力と制御

の入出力関係量外部からの入力と操作

外乱目標値

の外部からの入力フィードバック系

)()(1

)(,

)()(1

)()(,

)()(1

)()(,

)()(1

)(

)stableinternally(

)(

)(

)()(1

)(

)()(1

)()(

)()(1

)()(

)()(1

)(

)(

)(

)()()(1

)()(

)()(1

)()()()()()()(

)(

)()()(1

)()()(

)()(1

)()()()()()(

)(

)(),(

sCsP

sP

sCsP

sCsP

sCsP

sPsC

sCsP

sC

sD

sR

sCsP

sP

sCsP

sCsP

sCsP

sPsC

sCsP

sC

sY

sU

sDsCsP

sPsR

sCsP

sCsPsDsGsRsGsY

sY

sDsCsP

sPsCsR

sCsP

sCsDsGsRsGsU

sU

sDsR

ydyr

udur

pKsC

as

bsP

)(

)(

コントローラ

制御対象

20

講義09 PID制御


9.2.1 P制御(2)

21

講義09 PID制御


9.2.1 P制御(3)

22

講義09 PID制御


9.2.1 P制御(4)

する．くなり，速応性が向上はマイナスの値が大き

を大きくするほど，極た，ので，安定になる．ま

となる，ドバック制御系の極は

フィードバック制御すると，す比例ゲインでフィー

の条件を満たるが，制御対象は不安定であ

，ク制御しない場合にはのとき，フィードバッ

p

pp

p

K

bKaKp

b

aK

a

0)()(

0

根軌跡(root locus)

23

講義09 PID制御


9.2.2 PI制御(1)

制御を適用した場合に制御対象 PI)(as

bsP

は内部安定になる．フィードバック制御系

が安定であるとき，

であるという．制御系は内部安定

，作量が有界になるときに対して，制御量と操有界な外部からの入力

するとまとめてベクトル表示

の入出力関係量外部からの入力と制御

の入出力関係量外部からの入力と操作

外乱目標値

の外部からの入力フィードバック系

)()(1

)(,

)()(1

)()(,

)()(1

)()(,

)()(1

)(

)stableinternally(

)(

)(

)()(1

)(

)()(1

)()(

)()(1

)()(

)()(1

)(

)(

)(

)()()(1

)()(

)()(1

)()()()()()()(

)(

)()()(1

)()()(

)()(1

)()()()()()(

)(

)(),(

sCsP

sP

sCsP

sCsP

sCsP

sPsC

sCsP

sC

sD

sR

sCsP

sP

sCsP

sCsP

sCsP

sPsC

sCsP

sC

sY

sU

sDsCsP

sPsR

sCsP

sCsPsDsGsRsGsY

sY

sDsCsP

sPsCsR

sCsP

sCsDsGsRsGsU

sU

sDsR

ydyr

udur

s

KsK

s

KKsC

as

bsP

ip

ip

)(

)(

コントローラ

制御対象

24

講義09 PID制御


9.2.2 PI制御(2)

25

講義09 PID制御


9.2.2 PI制御(3)

00

2

4)()(),(

0)(

2

2

ip

ipp

ip

ip

bKbKa

bKbKabKaKKp

bKsbKas

かつ安定条件：

極

特性方程式

26

講義09 PID制御


9.2.2 PI制御(4)

オフセットなし

27

講義09 PID制御


9.2.3 PID制御(1)

28

講義09 PID制御


9.2.3 PID制御(2)

01

01

)1(2

)1(4)()(),,(

0)()1(

2

2

d

i

d

p

d

idpp

dip

ipd

bK

bK

bK

bKa

bK

bKbKbKabKaKKKp

bKsbKasbK

かつ安定条件

極

特性方程式

29

講義09 PID制御


9.2.3 PID制御(2)

30

講義09 PID制御

演習問題

31

講義10 フィードバック制御系の定常特性

ポイント

・制御系設計において満たすべき望ましい定常特性を理解しよう．

・定常偏差の計算法を理解しよう．

Text: 佐藤，平元，平田：はじめての制御工学，講談社

操作量

制御量

)(sP )(sC

)(sD外乱

)(sR目標値


)(sU

)(sY偏差

)(sE ＋

－

Feedback control

32


10.1 定常偏差(オフセット,offset)(1)

33



)()()(1

)(lim)(

)()(1

1lim)(lim

)()()(1

)()(

)()(1

1lim)(lim)(lim

)()()(1

)()(

)()(1

1)(

)()()()())()(1(

))()()()(()()(

))()()(()()(

))()()(()(

)()()(

)()()(

00

00

sDsCsP

sPssR

sCsPste

sDsCsP

sPsR

sCsPsssEte

sDsCsP

sPsR

sCsPsE

sDsPsRsEsCsP

sDsEsCsPsRsE

sDsUsPsRsE

sDsUsPsY

sEsCsU

sYsRsE

sst

sst

の定理が適用可能が安定なとき，最終値フィードバック制御系

34



35


10.2 目標値に対する定常偏差(1)

36



37



Ｉ制御は，ステップ状目標値に対する定常偏差をなくす！

38


10.3 外乱に対する定常偏差(1)

39



40



41



Ｉ制御は，ステップ状の外乱の影響をなくす！

42

講義10 演習問題

43

講義10 演習問題解答(1,2)

)(223

)1()(

223

)3()(

2

3

11

3

1

)(2

3

11

1

)()()(1

)()(

)()(1

1)(

)()(),()2(

13

101

136

105lim)(lim)(lim

23)(

1

136

1051

105

31

1)(

)()(1

1)()()(

0)(

)()()()1(

2323

2

2

2

2

2

2

00

2

2

2

sDsss

sssR

sss

sssD

sss

sss

s

sR

sss

s

sDsCsP

sPsR

sCsPsE

sEsDsR

sss

sssssEte

jsG

sss

ss

s

ss

ssR

sCsPsRsGsE

sD

sGsEsR

sst

er

er

er

なる．の入出力関係は次式とと

，安定の極：

ようになる．なので，偏差は次式の外乱

とすると，までの伝達関数から偏差目標値

44

講義10 演習問題解答(2’)

2

11

223

)1(lim)(lim)(lim

1)(,0)(

))((0

01

223

)3(lim)(lim)(lim

1

223

)3()(

0)(,1

)(

0))((

)2(

22300

2

223

2

00

223

2

2

ssss

sssssEte

ssDsR

ttd

ssss

sssssEte

ssss

sssE

sDs

sR

ttr

sst

sst

の場合：号，外乱が単位ランプ信目標値が

の場合：，外乱が号目標値が単位ランプ信

の続き

45

講義10 演習問題解答(3)

s

r

Ks

ssE

sDs

rsR

rtr

KK

KKs

sDKs

sRKs

ssD

Ks

ssR

Ks

sDsCsP

sPsR

sCsPsE

sEsDsR

KsCs

sP

p

pp

pp

pppp

p

0

0

0

)2(

2)(

0)()(

)(

20)2(

)2(0)2(

)()2(

1)(

)2(

2)(

2

11

2

1

)(

2

11

1

)()()(1

)()(

)()(1

1)(

)()(),(

)(,2

1)()3(

のときの偏差，外乱目標値のラプラス変換

ステップ状の目標値

，つまり，安定条件

の根，の極：フィードバック制御系


46


ppp

p

p

p

ppsst

KKKrK

r

K

rK

r

K

r

s

r

Ks

ssssEte

42,240,205.0

2,05.0

2

2

02

05.02

2

%5

2

2

)2(

2lim)(lim)(lim

0

0

00

00

00

なので，

以内であるためには，対する偏差がステップ状の目標値に

最終値の定理より，

47

講義10 演習問題解答(4)

00)2(

0)2(

)()2(

)()2(

)2(

)(

2

11

2

1

)(

2

11

1

)()()(1

)()(

)()(1

1)(

)()(),(

)PI()(,2

1)()3(

2

22

ip

ip

ipip

ipip

ip

KK

KsKs

sDKsKs

ssR

KsKs

ss

sD

s

KsK

s

ssR

s

KsK

s

sDsCsP

sPsR

sCsPsE

sEsDsR

s

KsKsC

ssP

かつ安定条件

の根の極：フィードバック制御系


コントローラ

48


000

)2(lim

)2(

)2(lim)(lim)(lim

)2()2(

)2()(

)()(

)()(

)()2(

)()2(

)2()(

0

20

0

200

0

2

0

2

00

00

22

s

d

KsKs

ss

s

r

KsKs

sssssEte

s

d

KsKs

s

s

r

KsKs

sssE

s

dsD

s

rsR

dtdrtr

sDKsKs

ssR

KsKs

sssE

ips

ipsst

ipip

ipip

のときの偏差，外乱目標値のラプラス変換

，ステップ状の外乱ステップ状の目標値

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