08 ODE 2014
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Juan Manuel de Rosas 325 Tel/Fax (+54 3755) 422 179 422 170 www.fo!e"a.una#.edu.a" e$#al% fa&n'fo!e"a.una#.edu.a"*330 ,!e"- Msones "'enna
Universidad Nacional de Misiones
SOLUCIN NUMRICA DE PROBLEMASDE VALOR INICIAL
Dr. Ing. Aldo Luis Caballero MSc. Ing. Corina Feltan
ltima versin: septiembre de 2014
El problema de Cauchy
Como es bien conocido, muchos problemas de ingeniera tratan con fenmenos o
procesos que pueden representarse o modelarse matemticamente mediante una
ecuacin diferencial ordinaria de primer orden:
),(' xtfx = !1"
#onde x$ es la derivada primera de xrespecto de t%
&l denominado problema de Cauch' consiste en hallar la funcin x ( x!t" que
satisface la ecuacin diferencial !1" ' la condicin inicial x!t0" ( x0%
)tros problemas, se modelan mediante ecuaciones diferenciales de orden n:
],,",',,[ )1n()n( = xxxxtfx K !2"
*iendo x!n"la derivada de orden n de xcon respecto a t%
&n este caso el problema es hallar la solucin x( x!t" que satisface la ecuacin
diferencial !2" ' las condiciones iniciales x!t0" ( x0, x$!t0" ( x$0, x+!t0" ( x+0, %%% , x!n1"
!t0" ()1n(
0
x %
-
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SOLUCIN NUMRICA DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" (
-ambi.n se presentan, con bastante frecuencia, situaciones en las que se
requiere resolver un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden:
( )
( )
( )
=
=
=
n21pn
n2122
n2111
,,,,'
,,,,'
,,,,'
xxxtfx
xxxtfx
xxxtfx
K
M
K
K
!/"
ara el que se necesita hallar las funciones x1!t", x2!t", %%% , xn!t" que satisfacen
simultneamente las n ecuaciones diferenciales !/" con sus respectivas
condiciones iniciales x1!t0" ( x1!0", x2!t0" ( x2!0", %%% , xn!t0" ( xn!0"%
na ecuacin diferencial de orden n puede reducirse a un sistema de n
ecuaciones diferenciales de primer orden mediante sustitucin de variables% &sto
puede verificarse llevando a cabo en !2" los siguientes reemplaos:
1xx= , 2' xx= , 3" xx = , %%% , n)n( xx = !4"
&s mu' simple comprobar as que las e3presiones !2" ' !/" son equivalentes%
&n definitiva, cualquier problema de sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias de cualquier orden puede reducirse a otro sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden realiando la sustitucin de variables que seaconveniente%
*i bien ha' m.todos que permiten hallar la solucin analtica e3plcita de
ecuaciones diferenciales com5nmente denominada solucin exacta, esos
procedimientos son bastante limitados ' no permiten resolver las ecuaciones que
se presentan en la ma'ora de los problemas reales de ingeniera% &n estos casos
resultan realmente importantes las t.cnicas num.ricas%
Soluc+,- -um.r+ca por med+o de la /er+e de #aylor
&l desarrollo en serie de -a'lor de la funcin x!t" alrededor de t( t0, considerando
hasta el t.rmino de orden m61, es:
)(!1)(m
)()("
!2
)()('
!1
)()()( 0
)1m(
1m
0
0
2
0
0
0
0 txtt
txtt
txtt
txtx ++
+
++
+
+= K !7"
*i se tiene en cuenta la !1" la e3presin precedente puede escribirse como:
-
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" 0
),(!1)(m
)(),('
!2
)(),(
!1
)()()( 00
)m(
1m
0
00
2
0
00
0
0 xtftt
xtftt
xtftt
txtx +
++
+
+=
+
K !8"
9aciendo las sustituciones:
00 )( xtx = !"
htt = )( 0 !;"
),(!1)(m
)(),('
!2
)(),(
!1
)(),,( 00
)m(1m
0
00
2
0
00
0
m xtftt
xtftt
xtftt
hxtT +
++
+
=
+
K !
-
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" *
t?61( t?6 h se calcula seg5n:
),,( &&m&1& hxtTxx +=+ !1/"
)bs.rvese que en este planteamiento se ha tomado el desarrollo en serie hasta elt.rmino que contiene la derivada m.sima, por ese motivo se dice que se trata de
un m.todo num.rico de resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias de
orden m%
=a frmula de -a'lor con resto establece que el error que se comete al calcular
x?61, si el valor de x? es e3acto !este error com5nmente se llama error local"
cuando se emplea un m.todo de orden m es:
[ ] 1&&&&&)m(
1m
&)1(m
1m
)(,!)1m(
)(!)1m(
+
+
+
+
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),(),,( &&&&1 xtfhhxtT = !18"
=levando !18" a !17" se obtiene la llamada frmula de &uler:
),( &&&1& xtfhxx +=+ !1"
&l error local de este m.todo es:
[ ])(,'2
&&
2
xfh
E = !1;"
*i se despeBaf!t?,x?" de !1" se obtiene:
&&1&
&& g),( == +
hxxxtf !1
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" 3
=
n
2
1
'
'
'
'
x
x
x
Mx A
=
),,,,(
),,,,(
),,,,(
),(
n,2,1n
n,2,12
n,2,11
xxxtf
xxxtf
xxxtf
t
K
M
K
K
xf !21"
&sta forma de escritura hace evidente que el m.todo de &uler puede
generaliarse para un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden como:
+=
+=
+
+
htt
th
&1&
&&&1& ),( xfxx (22)
) en forma escalar:
+=
+=
+=
+=
+
+
+
+
htt
xxxtfhxx
xxxtfhxx
xxxtfhxx
&1&
)&(n)&(2)&(1&n)&(n)1&(n
)&(n)&(2)&(1&2)&(2)1&(2
)&(n)&(2)&(1&1)&(1)1&(1
),,,,(
),,,,(
),,,,(
K
M
K
K
!2/"
El m.1odo de Euler me4orado
&l m.todo de &uler meBorado consiste en determinar primero un valor au3iliar
*
1&+x ' a continuacin, sobre la base del mismo, calcular el valor de x?61 de la
solucin para el valor t?61 de la variable independiente% ara un sistema de
ecuaciones el m.todo de &uler meBorado puede escribirse en la notacin matricial
como:
[ ]
+=
++=
+=
+
+++
+
htt
tth
th
&1&
*
1&1&&&&1&
&&&
*
1&
),(),(2
),(
xfxfxx
xfxx
!24"
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" 5
>eom.tricamente puede decirse que la integracin avana desde t?hasta t?6h2
por la lnea de pendiente f!t?,x?",
movi.ndose luego desde t?6h2
hasta t?61( t?6h por la lnea de
pendiente f!t?61,*
1&+x "% &sto se
ilustra en la figura / para la
evolucin desde t( t0 hasta t(
t1% Dtese que el valor au3iliar
*
1&+x coincide con el valor x?61
calculado mediante el m.todo
de &ulerA en tanto que, como es
notorio, con el m.todo de &uler
meBorado se consigue una
significativa meBor apro3imacin% =os procedimientos de estas caractersticas, es
decir aquellos que predicen primero un valor de la solucin ' luego lo corrigen, se
denominan mtodos predictor-correctorA el m.todo de &uler meBorado es el ms
sencillo de ellos% uesto que el mismo surge de considerar la serie de -a'lor con
m ( 2, en consecuencia, el error local en este caso ' de acuerdo con la e3presin
!14" es del orden de h/%
E4emplo/ de apl+cac+,- de lo/ m.1odo/ de Euler y Euler me4orado
@ modo de eBemplos de aplicacin de estos m.todos se confeccionaron dos
programas mu' sencillos para resolver la ecuacin diferencial:
( )IRVLtd
Id=
1
!27"
Como es conocido, la ecuacin
diferencial en cuestin constitu'e el
modelo matemtico de un circuito
serie R-L e3citado mediante una
fuente de voltaBe constante Vcomo
el que se muestra en la figura 4 '
su solucin analtica es:
Figura 3: nerpreacin geomrica delmodo de uler me+orado%
0t htt += 01
2
h
2
h
t
0x
*
1x
1x
x
modo de uler
modo de uler me+orado
),( xtf
Figura : -ircuio del e+emplo%
S
I
.$2/%0=L
= 1R12=V
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" &
=
tL
R
R
VI e1 !28"
&s obvio que este problema no e3ige la aplicacin de m.todos num.ricos, no
obstante, se lo ha considerado porque, al ser conocida la solucin analtica, es
mu' sencillo realiar la comparacin de los resultados obtenidos num.ricamente
con la corrientemente denominada solucin exacta%
*eg5n la frmula de &uler !1", para la ecuacin diferencial en estudio, la
solucin en el paso n5mero ?61 es:
( )&&1& IRVL
hII +=+ !2"
or lo tanto, el algoritmo secuencial correspondiente al m.todo de &uler para
resolver la ecuacin diferencial en un intervalo 0 tT ( 7=E !cinco veces la
constante de tiempo del circuito" puede escribirse en notacin matemtica
convencional como:
000 === I;t;k !2;%a"
R
LTt = 70 !2;%b"
( )kk!k IRVL
hII +=+ !2;%c"
htt kk +=+1 !2;%d"
1+= kk !2;%e"
Fientras que para el m.todo de &uler meBorado se tiene:
000 === I;t;k !2
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" 6
&n los grficos de la figura 7 se dan los resultados obtenidos mediante el m.todo
de &uler utiliando dos pasos de integracin diferentes% &n ambos casos se ha
representado tambi.n la solucin analtica, indicndose el valor absoluto del
m3imo error relativo porcentual de la solucin num.rica referida a la analtica
considerada como e3acta%
uede observarse en los grficos de la figura 7 que con un paso de integracin h
( 0%1 s se tienen errores verdaderamente apreciables, en este caso el m3imo
valor absoluto del error relativo porcentual supera el 21G% Do obstante, si el paso
se reduce a h( 0%001 s el error se reduce significativamente, apenas superando
el 0%2G% Ha en este caso, ' seg5n la escala empleada para representar los
grficos, la curva obtenida num.ricamente prcticamente se superpone a la
analtica%
&n la figura 8 se muestran los resultados obtenidos mediante el m.todo de &uler
meBorado con los mismos pasos de integracin que en el caso precedente% uede
notarse la sensible disminucin del error respecto del m.todo de &uler%
@dvi.rtase que con h ( 0%001 s el valor absoluto del m3imo error relativo
porcentual es menor que / diemil.simas !/ millon.simas por unidad"%
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )%
Figura /: Solucin numrica de la ecuacin dierencial de uncircuioR-L erie eciado con una uene de ola+e
conane aplicando el modo de uler%
0 0%2 0% 0% 0%4 1 1%2 1%0
2
4
10
12
t [s]
I [A]
Paso de integracin h = 0.00 s
Va!or a"so!#to de! error re!ati$o %&xi%o= 0.'00( )
5odo de uler
Solucin analica
0 0%2 0% 0% 0%4 1 1%2 1%0
2
4
10
12
t [s]
I [A]
5odo de uler
Solucin analica
Paso de integracin h = 0. s
Va!or a"so!#to de! error re!ati$o %&xi%o= '.('*+ )
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" ))
Figura : Solucin numrica de la ecuacin dierencial de uncircuioR-Lerie eciado con una uene de ola+e
conane aplicando el modo de uler me+orado
0 0%2 0% 0% 0%4 1 1%2 1%0
2
4
10
12
t [s]
I [A]
Paso de integracin h = 0. s
Va!or a"so!#to de! error re!ati$o %&xi%o= '.*(,' )
5odo de uler me+orado
Solucin analica
0 0%2 0% 0% 0%4 1 1%2 1%0
2
4
10
12
t [s]
I [A]
Paso de integracin h = 0.00 s
Va!or a"so!#to de! error re!ati$o %&xi%o= 0.000',,*( )
5odo de uler me+orado
Solucin analica
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )(
Selecc+,- del pa/o7 error 8lobal y e/1ab+l+dad -um.r+ca
@nteriormente se seIal que el error local en el paso ?61 se eval5a a partir del
valor e3acto de la solucin en el paso ?% *in embargo, conforme el proceso de
clculo num.rico de la solucin de una ecuacin diferencial avana, los erroreslocales se propagan punto a punto% &l error as acumulado se denomina error
glo#al% &ntonces, si se utilia repetidas veces un paso h durante un cierto
intervalo tde la variable independiente, como el error local es del orden de h2en
el m.todo de &uler ' de h/en el m.todo de &uler modificado, los errores globales
de dichos m.todos son del orden de !t$h"h2( h ' !t$h"h/( h2, respectivamente%
=a acumulacin de errores puede tambi.n dar lugar al problema que se conoce
con el nombre de inesta#ilidad numrica, el cual merece especial atencin por
cuanto puede conducir a conclusiones totalmente errneas en muchos
problemas de ingeniera relacionados con fenmenos transitorios ' la estabilidad
de sistemas%
Como en la ingeniera las ecuaciones diferenciales adquieren importancia en la
medida en que ellas constitu'en modelos matemticos que permiten resolver
problemas que ocurren en el mundo fsico, para aclarar los conceptos de
estabilidad !o inestabilidad" num.rica, es conveniente primero analiar el
significado de la estabilidad en sistemas fsicos% *iguiendo esta lnea ' parae3plicarlo del modo ms sencillo posible, puede decirse que un sistema es
estable si al ser perturbado, estando en una situacin inicial de estado estable,
evoluciona hacia otra condicin de estado estable similar o diferente de la inicial%
n eBemplo concreto de sistema estable es el caso del circuito el.ctrico de la
figura 4% &l mismo se encuentra inicialmente en r.gimen permanente sin
e3citacin hasta que, en un cierto instante tomado como referencia !t ( 0", se
cierra la llave % introduci.ndose una perturbacin determinada por el voltaBeconstante VA la intensidad de corriente evoluciona entonces creciendo en el
tiempo con una tendencia definida a estabiliarse finalmente en el valor V$R( 12
@% *in embargo, si el problema se estudia mediante el m.todo de &uler utiliando
un paso h( 0%7 s se obtiene la respuesta oscilante que se e3pone en la figura ,
la cual no solamente est afectada de una error tremendamente grande !del
orden de 7000G" sino que, adems, no tiende a un nuevo estado estable%
*i se sabe a ciencia cierta que el sistema es estable, Jporqu. la solucin obtenida
mediante el m.todo de &uler muestra un comportamiento inestableK% =a
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respuesta a este interrogante es: porque se ha producido inesta#ilidad numrica%
&s decir, los errores locales se fueron acumulando paso a paso de manera que el
error global conduce a una solucin totalmente aleBada de la realidad% Lnclusive,
si h se aumenta todava ms, las oscilaciones pueden ir aumentando en
amplitud ' aleBarse cada ve ms de la solucin verdadera en lugar de converger
hacia ella%
&ste eBemplo, aunque mu' sencillo, pone de manifiesto la importancia de
analiar la estabilidad num.rica de los sistemas de resolucin de ecuacionesdiferenciales% &l estudio riguroso del problema de la estabilidad num.rica e3ige
analiar las ecuaciones diferenciales correspondientes a cada casoA no obstante,
a efectos de formular criterios comparativos sobre la estabilidad de los diferentes
m.todos, en la matemtica num.rica se acostumbra a tomar como referencia la
siguiente ecuacin testigo:
xAtd
xd=
!/0"
0 0%/ 1 1%/ 2 2%/ 3 3%/ 0
/
10
1/
20
2/
t [s]
I [A]
Paso de
integracin h = 0. s
Va!or a"so!#to de! error
re!ati$o %&xi%o= 000.,,,, )
5odo de uler
Solucin analica
Figura 6: nea7ilidad numrica en el modo de uler%
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H luego e3tender al caso general los resultados obtenidos para ella%
=a solucin analtica de esta ecuacin testigo es:
tAxtx = e)( 0 (31)
H el valor absoluto de la misma es decreciente para valores positivos de &, desde
el punto de vista de la estabilidad esto significa que la solucin de la ecuacin
testigo es estable cuando se verifica la condicin &M 0%
*i ahora se aplica el m.todo de &uler a la ecuacin !/0" se tiene:
( ) &&&1& 1 xhAxAhxx ==+ !/2"
Como el coeficiente & es positivo, la frmula precedente conducir a valores
decrecientes de la solucin solamente si se cumple:
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ingeniera hablar de valores absolutamente e3actos no tiene sentido !puesto que
siempre habr al menos un valor medido ' toda medicin implica
inevitablemente un error", se comprende que algunas veces es preferible trabaBar
con modelos ms sencillos ' con menor cantidad de parmetros que pueden
medirse o estimarse con e3actitud adecuada, que con modelos mu' detallados
cu'os parmetros son mu' difciles de medir o estimar con la e3actitud
apropiadaA se trata simplemente de un problema de propagacin de errores%
&l aumento del error ' la tendencia a la inestabilidad num.rica con el
incremento del paso implican la necesidad de seleccionar h lo suficientemente
pequeIo% &sto parece tener una solucin simple: utiliar valores de h mu'
pequeIos% *in embargo, cuando menor sea el paso de integracin, ma'or ser la
cantidad de clculos que debern efectuarse para encontrar la solucin en unintervalo dado de la variable independienteA esto implicar ma'ores esfueros de
computacin, tanto en tiempo de clculo como en requerimientos de memoria%
&n problemas sencillos como el eBemplo planteado precedentemente ello no
representa ma'ores inconvenientesA sin embargo, en muchos problemas reales
de ingeniera deben resolverse sistemas de ecuaciones diferenciales de grandes
dimensiones, por lo que el problema de la seleccin del tamaIo del paso de
integracin debe resolverse buscando compatibiliar eficientemente los errores de
clculo con los requerimientos de tiempo de computacin ' capacidad de
memoria%
9a' diferentes maneras de seleccionar el paso de integracin adecuado para
cada m.todo, algunos ms rigurosos que otros% *in embargo, una manera
sencilla de programar la seleccin del paso consiste en tomar inicialmente un
valor determinado de h!raonablemente escogido de acuerdo con los conceptos
e3puestos hasta aqu", se avana un paso con ese incremento ' luego se repite el
clculo del mismo punto pero con paso h2A si la diferencia entre los resultadoses significativa el paso se reduce a h4, ' as sucesivamente hasta que la
diferencia entre los resultados de los clculos con uno u otro paso sea
despreciable% n procedimiento similar puede emplearse en sentido inverso, es
decir, ampliando el paso% &sta modalidad de aBustar el paso, si la comprobacin
se realia para todos los puntos, puede hacer que los programas de clculo sean
relativamente lentos, por ello usualmente se acostumbra a realiar la verificacin
cada cierto n5mero de pasos%
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )3
Lo/ m.1odo/ de Ru-8e9:u11a
=os m.todos de EungeNutta son quis los ms populares entre los
procedimientos num.ricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias%
&llos tambi.n se basan en la serie de -a'lor, aunque permiten construir meBores
apro3imaciones de Tm!t?,x?,h" que el m.todo de &uler sin que ellas contengan
derivadas def!t,x"%
=a frmula general de los m.todos de EungeNutta es:
),,( &&m&1& hxtRxx +=+ !/8"
#onde la funcin Rm!t?,x?,h" se obtiene mediante una combinacin lineal con
coeficientes constantespide ciertas funciones ki!h", con i ( 1, 2, %%% , m%
=
=m
1i
ii&&m )(),,( h/hxtR !/"
#onde:
),( &&1 xtfh =
)](,[ 121&2&2 h"xhatfh ++=
)]()(,[ 232131&3&3 h"h"xhatfh +++= !/;"
M
)]()()(,[ )1m(m)1m(m22m11m&m&m h"h"h"xhatfh -- +++++= K
=as constantesp1,p2, %%% ,pm, a1, a2, %%% , am, #21, #/1, #/2, %%% , #m!mO1"se obtienen
de la condicin de coincidencia entre la e3presin !/" con el desarrollo de -a'lor%
Do es difcil demostrar que para m ( 1 la formulacin de EungeNutta es
equivalente al m.todo de &uler%
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )5
M.1odo de Ru-8e9:u11a de /e8u-do orde-
Con m ( 2 se obtiene el llamado esquema de EungeNutta de segundo orden, el
que puede escribirse generaliado para un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden como:
( )
+=
++=
++=
=
+
+
htt
hth
th
&1&
21&1&
1&&2
&&1
2
1
),(
),(
kkxx
kxfk
xfk
!/
-
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SOLUCIN NUMRICA DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )&
M.1odo de Ru-8e9:u11a de cuar1o orde-[m = #! EL"h'$!E%"h
#$&
( )
( )
( )
+=
++++=
++=
++=
++=
=
+
+
htt
hth
hth
hth
th
&1&
321&1&
3&&
2&&3
1&&2
&&1
22
1
,
2,
2
2,
2
,
kkkkxx
kxfk
kxfk
kxfk
xfk
(1)
M.1odo de Ru-8e9:u11a de ;u+-1o orde-[m = '! EL"h($!E%"h
'$&
( )
( )
+=
+++++=
++=
++=
++=
++=
=
+
+
htt
h
hhtf
htf
htf
htf
tf
&1&
/321&1&
1&&/
3&&
2&&3
1&&2
&&1
12
1
4
6
8
3/
2
6
8
11
,6
,
6
6
,
6
6
2,
6
2
,
kkkkkxx
kxk
kxk
kxk
kxk
xk
!42"
&ntre los m.todos de EungeNutta, los ms frecuentemente utiliados son los desegundo ' cuarto orden%
=a estabilidad num.rica del m.todo de EungeNutta de segundo orden para la
ecuacin testigo !/0" est condicionada por la relacin:
Ah
2< !4/"
&n tanto que para el esquema de EungeNutta de cuarto orden es:
-
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SOLUCIN NUMRICA DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )6
A
h64/%2
< !44"
or lo tanto, estos m.todos son al igual que los de &uler condicionalmente
establesA es decir, no son afectados por inestabilidad num.rica si se cumple lacondicin de tomar hlo suficientemente pequeIo%
Eichardson desarroll una frmula para evaluar el error de truncamiento
acumulado que se propaga en el curso de la integracin mediante los m.todos de
EungeNutta, para el caso del procedimiento de cuarto orden ' e3presada en
t.rminos del error absoluto Ea determinado por la diferencia entre el valor
calculado ' el valor verdadero de la variable de estadox dicha frmula es:
1/
)2()(a
hh = xx
E !47"
"El co-4u-1o de
-
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SOLUCIN NUMRICA DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" (%
ode23es una implementacin del m.todo de EungeNutta en sus rdenes dos
' tres, puede ser ms eficiente que ode47 con tolerancias crudas ' con la
presencia de rigide moderada%
ode113es un algoritmo de orden variable basado en las frmulas de @dams
Pashforth ' @damsFoulton% uede ser ms efica que ode47 con tolerancias
severas, especialmente cuando la funcin es difcil de evaluar%
=os tres algoritmos precedentes son 5tiles para resolver sistemas de ecuaciones
que no sean rgidos o presenten una rigide moderada% ara ecuaciones con
rigide importante se recomiendan los que se dan a continuacin%
ode15s es un esquema predictorcorrector de orden variable basado en las
frmulas de diferenciacin num.rica% )pcionalmente tambi.n utilia las
frmulas de diferenciacin hacia atrs conocidas como m.todo de >ear,
aunque en este caso es menos eficiente% Cuando ode45 falla !inestabilidad
num.rica, por eBemplo" o es mu' ineficiente, se sugiere emplear ode15s% &ste
esquema funciona mu' bien para resolver sistemas rgidos o problemas
diferencialesalgebraicos%
ode23s est basado en una modificacin de la frmula de Eosenbroc? de
orden dos ' constitu'e una alternativa al algoritmo anterior% Como se trata de
un m.todo de paso simple puede ser ms efica que el mismo con tolerancias
crudas ' para algunos problemas rgidos en los que ode15sno es efectivo%
ode23tes una versin de la regla trapeoidal que recomienda para problemas
moderadamente rgidos ' cuando se necesita una solucin sin
amortiguamiento num.rico% uede resolver tambi.n sistemas de ecuaciones
diferenciales ' algebraicas%
ode23tbutilia una frmula de EungeNutta con una primera fase que es un
paso de la regla trapeoidal ' una segunda fase basada en la frmula de
diferenciacin num.rica hacia atrs de segundo orden% ara tolerancias
crudas puede ser ms eficiente que ode15s%
S+-1a>+/
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" ()
=a sinta3is para el empleo de los algoritmos presentados en el epgrafe anterior
en MATLABes:
Qt,xR ( ode!S!3,t" T,-o,Uo,opciones"
odees alguno de los algoritmos entre los presentados anteriormente%
S!3,t" T es una funcin annima definida por el usuario para evaluar el
miembro derecho del sistema de ecuaciones diferenciales que se necesita
resolver% -odos los algoritmos pueden resolver sistemas de ecuaciones de la
forma x$ ( f!t,x" o problemas que involucran una matri de masa M, de la
forma M!t,x"x$ ( f!t,x"% ode23s resuelve 5nicamente con matri de masa
constanteA ode15s ' ode23tpueden resolver problemas con una matri de
masa que es singular, por eBemplo, sistemas de ecuaciones diferenciales '
algebraicas%
or eBemplo, para el sistema de dos ecuaciones diferenciales que se da a
continuacin:
[ ]
=
=
12
2
2
1
&r&a)2en(9m
1
!
d
dd
d
Vue corresponde al problema
representado grficamente en la
figura , sometido a la accin de
una fuera peridica senoidal de
amplitud Wm ' frecuencia f, un
resorte de constante ?r ' un
amortiguador de constante ?a%
)bs.rvese que, en realidad, se trata de un sistema de segundo orden que se ha
llevado a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden mediante
las sustituciones de variables indicada por !4"% @s planteado el problema, 31da
la posicin de la masa ' 32su velocidad%
Figura 8: Siema maa;reore;amoriguador%
&a &r
)2en(9m9 = !1
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" ((
=a funcin annimaS!3,t" Talmacena en T las funciones, en nuestro caso de
estudio, el sistema de ecuaciones diferenciales,se define como:
@ ( Q0 1A?r> ?a>RA P ( Q0A1>RA
S!t,3"Q@XQ3!1"A3!2"R6 PXWmXsin!2XpiXfXt"
-o es una matri fila que indica el intervalo de la variables independiente en
el cual se requiere resolver el problema:
-o ( Qti tfR
#onde ti ' tf son un n5meros reales representativos de los e3tremos inferior '
superior del intervalo !ti Ytf"% ara obtener la solucin para ciertos valores
determinados de la variable independiente ti, t1, t2, %%% , tf, !todos crecientes o
decrecientes" se utilia:
-o ( Qti t1 t2 %%%tfR
Uo es el vector de condiciones iniciales% ara un sistema de n ecuaciones
diferenciales:
Uo ( Qx1Ax2Ax/A %%% AxnR
#onde x1, x2, x/, %%%, xn son los n5meros representativos de los valores de las
condiciones iniciales%
opcionespermite establecer parmetros de integracin opcionales mediante
la utiliacin de la funcin odeset% Do es obligatorio utiliar esta posibilidadA
si ella no se emplea los algoritmos toman sus valores por defecto% =a sinta3is
a emplear es:
opciones( odeset!Zropiedad 1Z,[alor 1,Zropiedad 2Z,[alor 2,%%%"
\ropiedad 1$, \ropiedad 2$, etc% son los nombres de las propiedades que se
requieren adecuar o acondicionarA [alor 1, [alor 2, %%% etc% son los valores
asignados a tales propiedades%
=as propiedades que pueden acondicionarse dependen del algoritmo empleado '
de la versin de MATLABcon la que se trabaBe, por ese motivo ' teniendo en
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MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" (0
cuenta que este es un seminario introductorio, aqu solamente se tratan las ms
generales%
RelTol!tolerancia de error relativo": &s el valor de tolerancia que se aplica a
todas las componentes del vector solucin% &l error estimado e en cada paso ?del proceso de integracin satisface la condicin e!?"
ma3!Eel-olXabs!3!?"",@bs-ol!?""% *u valor por defecto es 110/%
AbsTol!tolerancia de error absoluto": *i se indica como un escalar, su valor
se aplica a todas las componentes del vector solucin, mientras que si se
especifica como un vector sus componentes se aplican a cada uno de los
componentes del vector solucin% *u valor por defecto es 1108%
MaxStep!paso m3imo": &s la magnitud lmite superior del tamaIo del paso
que puede utiliar el algoritmo% *u valor por defecto es la d.cima parte del
intervalo de solucin -o%
InitialStep !paso inicial": &s el tamaIo sugerido para el paso inicial% &l
algoritmo prueba este paso primero, pero si es demasiado grande usa un paso
ms pequeIo%
@dems de estas propiedades, el algoritmo ode15s permite acondicionar las
siguientes:
MaxOde!orden m3imo": &s el orden m3imo de la formulacin empleada,
puede ser 1 ] 2 ] / ] 4 ] 7% or defecto es 7%
B!" !Pac?guard#ifferentiation Tormula": ermite especificar si se deben
utiliar las frmulas de diferenciacin hacia atrs !P#T", en lugar de las
frmulas de diferenciacin num.rica !D#T"% &sta 5ltimas se consideran por
defecto, es decir que el valor por defecto de esta propiedad en on, la
alternativa es off%
B+bl+o8ra
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SOLUCIN NUMRICA DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
+e,s%i- E% +atem,ticas aan'adas para ingenier.a% -raduccin al &spaIol del
original en Lngl.s por ^os. 9ernn .re Castellanos% Dovena reimpresin%
&ditorial =imusa% F.3ico, 1