0701 - Raz_Verbal y Lenguaje

Habilidad Operativa

En este capítulo veremos métodos, que nos permitiránahorrar tiempo en los cálculos, tiempo que en cualquier tipode examen resulta determinante como para nodesperdiciarlo en cálculos numéricos elementales. Otroaspecto importante de esta parte del curso, es que nosenseñan las diferentes formas de cómo afrontar un ejercicioque aparentemente tiene una solución operativa, pero quecon un poco de habilidad en las operaciones se puederesolver de una forma más rápida. Por ejemplo, pararesolver la situación dada en el gráfico (arriba) la solucióntradicional sería elevar cada número al cuadrado y luegoproceder a hallar su diferencia, sin embargo, empleandocriterios prácticos, podemos recordar la diferencia decuadrados y aplicarlos, así:

9995 - 9994 = (9995 + 9994) (9995 - 9994)

= (19 989) (1) = 19 989

A continuación, veamos el estudio de algunos casos sobreel desarrollo abreviado de ciertas operaciones básicas:

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:

426 5 = ?

= 2130

MULTIPLICACIÓN POR 5

Ejemplos:

Para que practiques:

648 5 = ................

9737 5 = ...............

419 971 5 = ...............

24 25 = ?

124 25 = ...............................................................

645 25 =

4797 25 =

...............................................................

.............................................................

Árabe tratando de resolver la operación:

9995 - 9994 = ...?2 2

Diferencia decuadrados

Observacióna b = (a + b)(a b)

2 2- -

Para multiplicar por 5, al número se le agrega un ceroa su derecha y el resultado se le divide entre 2.

23023 5 115

2´ = =

9760976 5 4880

2´ = =

100 240024

4 4æ ö

´ =ç ÷è ø

Para multiplicar por 25, al número se le agrega dosceros a su derecha y el resultado se divide entre 4.

720072 25 1800

4´ = =

22900229 25 5725

4´ = =

Veamos el siguiente esquema:

Razonamiento Matemático - 1º Año Razonamiento Matemático - 1º Año

DIVISIÓN POR 5

Ejemplos:

8125 5 =

94540 5 =

71853 5 =

Si deseas, puedes hacer un método práctico para dividir por25, utilizando la misma idea que en los casos anteriores.

01. Calcular: 52 11

52 11 = ?

5 2 11 = 5 7 2

02. Calcular: 3124 11

3124 11 = ?

..................................................................

...............................................................

135 25 2

Para dividir por 5, al número se le multiplica por2 y el resultado se divide entre 10, es decir, secancela un cero o se corre la coma decimal unlugar hacia la izquierda.

385 385 2 77077

5 10 10

´= = =

4318 4318 2 8636863,6

5 10 10

´= = =

521152

1º paso

2º paso

3º paso

312411

312434364

3 1 2 4 11 = 3 4 3 6 4

03. Calcular:

Operando tenemos:

8 5 7 2 11 = 9 4 2 9 2

79 11 =

4599 11 =

790 047 11 =

9 876 543 11 =

347 99 = 347(100 - 1) = 34 700 - 347 = 34 353

Nos damos cuenta de que efectuar una sustracción es másfácil que multiplicar. Entonces:

8572 11´

MULTIPLICACIÓN POR 9; 99; 999; 9999; ...

2°3°

4°5°

ObservaciónSigue el procedimiento, según el orden que se indica.

= 6= 3

= 9= 12

2°3°

4°5°

ObservaciónComo se observa, cuando la suma parcial de 2 cifrasresulta un número de 2 cifras (ejemplo: 5 + 7 = 12),se coloca la cifra de las unidades y se lleva la otracifra para adicionar en el resultado del paso siguiente.

Para multiplicar cualquier número natural (N) porotro número natural que está formado íntegramentepor cifras 9, al otro número (N) hay que agregarlea su derecha tantos ceros como cifras nueves hay, yal número que resulte le restamos el mismonúmero (N).

Es decir:

N 99 ... 99 = N

“N” representa a cualquier número natural.

123 99 = 12 300 - 123 = 12 177

746 9999 = 7 460 000 - 746 = 7 459 254

3785 999 = 3 785 000 - 3785 = 3 781 215

844 371 99 999 = 84 437 100 000 - 844 371= 84 436 255 620

87 99 = ..................................................................

23 9999 =

501 999 =

1007 99 999 =

Deduzcamos el procedimiento del ejemplo siguiente:

Apliquemos nuestras deducciones en los siguientesejemplos:

01. Calcular: 21 14

02. Calcular: 23 21

1° 3 1 = 32° 2 1 + 2 3 = 83° 2 2 = 4

N00 ... 00

Ejemplos:

MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRASCADAUNO

Ejemplos:

..............................................................

.......................................................

“n” cifras “n” cifras

2 31 24 6

2 32 7 6Producto de las

cifras de lasdecenas (2 1).´

Producto de lascifras de lasdecenas (3 2).´

Suma de los (2 2) + (1 3)producto en aspa.

1 4294

8 1´ ´

´ ´(inicio)(final)

Regla Práctica

1°2°3°

2 14 8 3

2 6´ ´

03. Calcular: 41 12

1° 1 2 = 22° 4 2 + 1 1 = 93° 1 4 = 4

Si en una o en más de las operaciones parciales resulta unnúmero mayor que 9, dejamos la cifra de las unidades yllevamos las cifras restantes para la siguiente operación.Por ejemplo: 64 43 = ?

34 46 = ...........................................................

53 67 =

87 77 =

98 93 =

Si tomamos como base el criterio práctico demultiplicación de dos números, cada uno de dos cifrasanteriores, podemos deducir un procedimiento sencillopara este caso.

Analicemos un ejemplo:

(13) = 13 13 = ??

Hagámoslo más práctico en los siguientes ejemplos:

(2 1) = 4 4 1 (4 1) = 1 6 8 1

...........................................................

CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS

1 24 9 2

8 1´ ´

6 44 32 7 5 2

´= 1 2

18 + 16 + 1 = 3 5

24 + 3 = 27

1 31 6 9

3 3´ ´

1° Cuadrado de la cifra de las unidades: 3 = 92

2° Doble del producto de sus cifras: 2(1 3) = 6´

3° Cuadrado de la cifra de las decenas: 1 = 12

Doble del producto: 2(2 1)´ Doble del producto: 2(4 1)´

al cuadradoal cuadrado

21 14 = ...?´ Þ

DIVISIÓN POR 5

Ejemplos:

8125 5 =

94540 5 =

71853 5 =

Si deseas, puedes hacer un método práctico para dividir por25, utilizando la misma idea que en los casos anteriores.

01. Calcular: 52 11

52 11 = ?

5 2 11 = 5 7 2

02. Calcular: 3124 11

3124 11 = ?

..................................................................

...............................................................

135 25 2

Para dividir por 5, al número se le multiplica por2 y el resultado se divide entre 10, es decir, secancela un cero o se corre la coma decimal unlugar hacia la izquierda.

385 385 2 77077

5 10 10

´= = =

4318 4318 2 8636863,6

5 10 10

´= = =

521152

1º paso

2º paso

3º paso

312411

312434364

3 1 2 4 11 = 3 4 3 6 4

03. Calcular:

Operando tenemos:

8 5 7 2 11 = 9 4 2 9 2

79 11 =

4599 11 =

790 047 11 =

9 876 543 11 =

347 99 = 347(100 - 1) = 34 700 - 347 = 34 353

Nos damos cuenta de que efectuar una sustracción es másfácil que multiplicar. Entonces:

8572 11´

MULTIPLICACIÓN POR 9; 99; 999; 9999; ...

2°3°

4°5°

ObservaciónSigue el procedimiento, según el orden que se indica.

= 6= 3

= 9= 12

2°3°

4°5°

ObservaciónComo se observa, cuando la suma parcial de 2 cifrasresulta un número de 2 cifras (ejemplo: 5 + 7 = 12),se coloca la cifra de las unidades y se lleva la otracifra para adicionar en el resultado del paso siguiente.

Para multiplicar cualquier número natural (N) porotro número natural que está formado íntegramentepor cifras 9, al otro número (N) hay que agregarlea su derecha tantos ceros como cifras nueves hay, yal número que resulte le restamos el mismonúmero (N).

Es decir:

N 99 ... 99 = N

“N” representa a cualquier número natural.

123 99 = 12 300 - 123 = 12 177

746 9999 = 7 460 000 - 746 = 7 459 254

3785 999 = 3 785 000 - 3785 = 3 781 215

844 371 99 999 = 84 437 100 000 - 844 371= 84 436 255 620

87 99 = ..................................................................

23 9999 =

501 999 =

1007 99 999 =

Deduzcamos el procedimiento del ejemplo siguiente:

Apliquemos nuestras deducciones en los siguientesejemplos:

01. Calcular: 21 14

02. Calcular: 23 21

1° 3 1 = 32° 2 1 + 2 3 = 83° 2 2 = 4

N00 ... 00

Ejemplos:

MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRASCADAUNO

Ejemplos:

..............................................................

.......................................................

“n” cifras “n” cifras

2 31 24 6

2 32 7 6Producto de las

cifras de lasdecenas (2 1).´

Producto de lascifras de lasdecenas (3 2).´

Suma de los (2 2) + (1 3)producto en aspa.

1 4294

8 1´ ´

´ ´(inicio)(final)

Regla Práctica

1°2°3°

2 14 8 3

2 6´ ´

03. Calcular: 41 12

1° 1 2 = 22° 4 2 + 1 1 = 93° 1 4 = 4

Si en una o en más de las operaciones parciales resulta unnúmero mayor que 9, dejamos la cifra de las unidades yllevamos las cifras restantes para la siguiente operación.Por ejemplo: 64 43 = ?

34 46 = ...........................................................

53 67 =

87 77 =

98 93 =

Si tomamos como base el criterio práctico demultiplicación de dos números, cada uno de dos cifrasanteriores, podemos deducir un procedimiento sencillopara este caso.

Analicemos un ejemplo:

(13) = 13 13 = ??

Hagámoslo más práctico en los siguientes ejemplos:

(2 1) = 4 4 1 (4 1) = 1 6 8 1

...........................................................

CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS

1 24 9 2

8 1´ ´

6 44 32 7 5 2

´= 1 2

18 + 16 + 1 = 3 5

24 + 3 = 27

1 31 6 9

3 3´ ´

1° Cuadrado de la cifra de las unidades: 3 = 92

2° Doble del producto de sus cifras: 2(1 3) = 6´

3° Cuadrado de la cifra de las decenas: 1 = 12

Doble del producto: 2(2 1)´ Doble del producto: 2(4 1)´

al cuadradoal cuadrado

21 14 = ...?´ Þ

Ejercicios Resueltos

En caso de que algún producto parcial obtenido en elprocedimiento resulte mayor que 9, dejamos la cifra de lasunidades y llevamos las cifras restantes a la siguienteoperación. Por ejemplo, si en un producto parcial obtienes25, entonces dejas 5 y llevas 2; o si te sale 137, dejas 7 yllevas 13.

(43) = 1 8 4 9 (98) = 9 6 0 4

(34) =

(52) =

(86) =

(93) =

(35) = ...................................................................

Deduzcamos una regla práctica a partir de los siguientesejemplos:

(15) = 2 2 5 (25) = 6 2 5 (35) = 1 2 2 5

Ejemplos:

CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA ENLACIFRA5

..................................................................

´ 2 ´ 3 ´ 4

Nos damos cuenta de que un número que termina en cifra 5al elevarse al cuadrado, su resultado siempre terminará en25, y que las cifras restantes del resultado se obtendrán demultiplicar el número (sin tomar en cuenta la cifra 5) por suconsecutivo inmediato superior.

Es decir:

(5 5) = 3 0 2 5

(1 0 5) = 1 1 0 2 5

(7 8 5) = 6 1 6 2 2 5

(9 9 9 5) = 9 9 9 0 0 0 2 5

(85) = ...........................................................

(235) =

(555) =

(1005) =

Ejemplos:

...........................................................

..........................................................

´ 1000

01. Hallar la suma de las cifras del número “N”, si:

N = (999....995)

Como el número está elevado al cuadrado y termina enla cifra 5, entonces el desarrollo de esta potencia seráigual a:

999 .... 999 1000 ... 000

Añadiéndole a este producto las cifras 2 y 5 en las dosúltimas órdenes, es decir:

N = 999 ... 999 000 ... 000 25

Por lo tanto, cifras = 9 (80) + 2 + 5 = 727

Resolución:

02. Hallar el número de cifras de “P”, si:

P = (999...999)

Aplicando la propiedad del cuadrado de un númeroformado por 1000 cifras 9, se obtiene:

P = 999...9998 000 ... 0001

Por tanto:

Número de cifras de: “P” = 2000

Resolución:

80 cifras 81 cifras

80 cifras 80 cifras

1000 cifras

1000 cifras 1000 cifras

81 cifras

( ) =N 5 ..... 252

´ (N + 1)

3 = 92

4 + 2 = 182

2(4 3) = 2 4´

8 = 6 42

9 + 15 = 962

2(9 8) + 6 = 15 0´

03. Calcular el valor de “E” , si:

Y dar como respuesta la suma de las cifras delresultado.

Se sabe que:

33...33 = 1...110 8...889

Por tanto: n = 7

Luego: E = 3 333 333

cifras de “E” = 3(7) = 21

Resolución:

04. Hallar la suma de las cifras del resultado:

44 556 677 9 999 999 999

Se sabe que: 9 999 999 999 +1

10 000 000 000

Entonces:44 556 677 10 000 000 000 445 566 770 000 000 000 -

44 556 677 1 44 556 677

445 566 769 955 443 323

Luego:

cifras = 90

´ Þ´ Þ

Resolución:

“n” cifras “n” cifras “n” cifras

01. Calcular: a + b; si:

a) 3 b) 7 c) 11d) 25 e) 5

02. Si: 9999 = ; calcular:

a) 27 b) 90 c) 82d) 40 e) 96

03. Calcular el valor de “M”, en:

a) 4 b) 32 c) 80d) 81 e) 34

04. Simplificar:

a) 1458 b) 1201 c) 2012d) 2110 e) 1996

05. Hallar el valor de:

a) 1000 b) 4000 c) 7000d) 9000 e) 1

......3518 abcd¸

06. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

A = 7 777 777 999 999 999

a) 18 b) 27 c) 54d) 63 e) 81

07. Si: 2x + y + z = 0; calcular el valor deA.

a) 0 b) -1 c) 1d) -2 e) 2

08. Calcular la suma de las cifras de:

a) 101 b) 202 c) 303d) 404 e) 505

09. Calcular el valor de:

a) 3 b) 9 c) 27

d) 54 e) 3

10. Calcular la suma de las cifras del resultado de:

E = (777 778) (222 223)

a) 20 b) 40 c) 60d) 80 e) 30

3 3 2 3E (7000) (6999) (6999) 7(6999)(10)= - - -

5(a b c d)E

a b c d

´ ´ ´=

4M 2 4 10 82 6562 1= ´ ´ ´ ´ +

33 3 3E ( 16 54 128)= + +

(1025 1023 1) 9 111K

´ + ´ ´=

+æ ö= ç ÷è ø+

( xy )x y z2011 2

æ ö+ +´ ´ç ÷è + ø

E 11111108 888 889=

4(1 3 5 7 ...) ......ab´ ´ ´ ´ =1442443

2011 factores

2 2A (111...1113) (111...1111)= -14243 14243

Actividades para la Clase

En caso de que algún producto parcial obtenido en elprocedimiento resulte mayor que 9, dejamos la cifra de lasunidades y llevamos las cifras restantes a la siguienteoperación. Por ejemplo, si en un producto parcial obtienes25, entonces dejas 5 y llevas 2; o si te sale 137, dejas 7 yllevas 13.

(43) = 1 8 4 9 (98) = 9 6 0 4

(34) =

(52) =

(86) =

(93) =

(35) = ...................................................................

Deduzcamos una regla práctica a partir de los siguientesejemplos:

(15) = 2 2 5 (25) = 6 2 5 (35) = 1 2 2 5

Ejemplos:

CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA ENLACIFRA5

..................................................................

´ 2 ´ 3 ´ 4

Nos damos cuenta de que un número que termina en cifra 5al elevarse al cuadrado, su resultado siempre terminará en25, y que las cifras restantes del resultado se obtendrán demultiplicar el número (sin tomar en cuenta la cifra 5) por suconsecutivo inmediato superior.

Es decir:

(5 5) = 3 0 2 5

(1 0 5) = 1 1 0 2 5

(7 8 5) = 6 1 6 2 2 5

(9 9 9 5) = 9 9 9 0 0 0 2 5

(85) = ...........................................................

(235) =

(555) =

(1005) =

Ejemplos:

...........................................................

..........................................................

´ 1000

01. Hallar la suma de las cifras del número “N”, si:

N = (999....995)

Como el número está elevado al cuadrado y termina enla cifra 5, entonces el desarrollo de esta potencia seráigual a:

999 .... 999 1000 ... 000

Añadiéndole a este producto las cifras 2 y 5 en las dosúltimas órdenes, es decir:

N = 999 ... 999 000 ... 000 25

Por lo tanto, cifras = 9 (80) + 2 + 5 = 727

Resolución:

02. Hallar el número de cifras de “P”, si:

P = (999...999)

Aplicando la propiedad del cuadrado de un númeroformado por 1000 cifras 9, se obtiene:

P = 999...9998 000 ... 0001

Por tanto:

Número de cifras de: “P” = 2000

Resolución:

80 cifras 81 cifras

80 cifras 80 cifras

1000 cifras

81 cifras

( ) =N 5 ..... 252

´ (N + 1)

3 = 92

4 + 2 = 182

2(4 3) = 2 4´

8 = 6 42

9 + 15 = 962

2(9 8) + 6 = 15 0´

03. Calcular el valor de “E” , si:

Y dar como respuesta la suma de las cifras delresultado.

Se sabe que:

33...33 = 1...110 8...889

Por tanto: n = 7

Luego: E = 3 333 333

cifras de “E” = 3(7) = 21

Resolución:

44 556 677 9 999 999 999

Se sabe que: 9 999 999 999 +1

10 000 000 000

Entonces:44 556 677 10 000 000 000 445 566 770 000 000 000 -

44 556 677 1 44 556 677

445 566 769 955 443 323

Luego:

cifras = 90

´ Þ´ Þ

Resolución:

“n” cifras “n” cifras “n” cifras

01. Calcular: a + b; si:

a) 3 b) 7 c) 11d) 25 e) 5

02. Si: 9999 = ; calcular:

a) 27 b) 90 c) 82d) 40 e) 96

03. Calcular el valor de “M”, en:

a) 4 b) 32 c) 80d) 81 e) 34

04. Simplificar:

a) 1458 b) 1201 c) 2012d) 2110 e) 1996

05. Hallar el valor de:

a) 1000 b) 4000 c) 7000d) 9000 e) 1

......3518 abcd¸

A = 7 777 777 999 999 999

a) 18 b) 27 c) 54d) 63 e) 81

07. Si: 2x + y + z = 0; calcular el valor deA.

a) 0 b) -1 c) 1d) -2 e) 2

08. Calcular la suma de las cifras de:

a) 101 b) 202 c) 303d) 404 e) 505

09. Calcular el valor de:

a) 3 b) 9 c) 27

d) 54 e) 3

E = (777 778) (222 223)

a) 20 b) 40 c) 60d) 80 e) 30

3 3 2 3E (7000) (6999) (6999) 7(6999)(10)= - - -

5(a b c d)E

a b c d

´ ´ ´=

4M 2 4 10 82 6562 1= ´ ´ ´ ´ +

33 3 3E ( 16 54 128)= + +

(1025 1023 1) 9 111K

´ + ´ ´=

+æ ö= ç ÷è ø+

( xy )x y z2011 2

æ ö+ +´ ´ç ÷è + ø

E 11111108 888 889=

4(1 3 5 7 ...) ......ab´ ´ ´ ´ =1442443

2011 factores

2 2A (111...1113) (111...1111)= -14243 14243

11. ¿Cuál es el menor número que se debe multiplicar por360 para obtener un cubo perfecto?a) 25 b) 36 c) 27d) 75 e) 125

12. Si: x - y = y - z = , calcular el valor de:

a) 11 b) 6 c) 66d) 12 e) 4

13. Calcular: (135) + (85) + (65) + (145)a) 20 400 b) 30 200 c) 50 700d) 40 800 e) 60 250

14. Hallar la última cifra luego de efectuarse el producto:

P = (2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) ... (2 + 1)

a) 1 b) 0 c) 2d) 4 e) 5

15. En qué cifra termina:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 5

2 2 2 2

2011 2010 2009 2

MAMA864 MATEMATICA22RM

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17. Si: a + b + c + d + e + f = 27, hallar la suma de las cifrasdel resultado de sumar los números:

; ; ; ; y

a) 18 b) 20 c) 54d) 60 e) 45

18. Indicar el valor de:

a) 40 600 b) 40 601 c) 200 203d) 406 205 e) 201 203

20. Hallar el valor de “V”, si hay igual cantidad de númerosnegativos y positivos.

a) 100 b) 150 c) 200d) 250 e) 270

abcdef bcdefa fabcde cdefab efabcd defabc

Si: (a + b + c) = 144, calcular: + +a) 1221 b) 1432 c) 1332d) 1532 e) 1232

2abc bca cab

I 200 201 202 203 1= ´ ´ ´ +

M 123 456 789 2468= -

01. Si:A= 3 624 321 612 25B = 612 131 425 25

Calcular la suma de las cifras de:A+ B.

a) 45 b) 46 c) 47d) 48 e) 49

02. Hallar la suma de las cifras de: M + N.Si: M = 64 888 888 888 125

N = 13 222 222 750 25

a) 62 b) 64 c) 66d) 74 e) 68

03. Hallar la suma de las cifras de:A+ B + C, si:

A= 444 488 223 224 5B = 284 428 361 648 25C = 2 432 084 856 125

a) 51 b) 52 c) 53d) 54 e) 55

324 156 11 + 122 233 244 11

a) 22 b) 25 c) 28d) 32 e) 34

05. Hallar la suma de las cifras de: P+ Q + R, si:P= 2 112 112 117 5Q = 20 120 120 150 25R = 12 221 111 200 125

a) 45 b) 40 c) 35d) 44 e) 25

06. Hallar la suma de las cifras de: A+ B, si:

A= 333 333 333

B = 999 999 999

a) 72 b) 81 c) 89d) 99 e) 100

6 6 6(x y) (y z) (x z)A

- + - + -=

V ... 5 3 1 2 4 6 ...= - - - + + + +14444244443

400 términos

Actividad Domiciliaria

Desafío Estrellista

07. Hallar la suma de las cifras de:

M = 66 666 666 9 999 999

a) 72 b) 54 c) 60d) 58 e) 63

08. Hallar la suma de las cifras de: P+ Q, si:

a) 18 b) 24 c) 27d) 36 e) 45

E = (222....222) 9

a) 300 b) 600 c) 900d) 1800 e) 81

M = (10 - 1) (10 - 1)

a) 81 b) 72 c) 99d) 90 e) 121

P 111110 888 889

Q 999 998 000 001

01. Calcular:

Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado.a) 100 b) 120 c) 150d) 180 e) 210

02. Calcular:

Indicar la suma de las cifras del resultado.a) 120 b) 600 c) 200d) 800 e) 300

03. Calcular:

a) 10 b) 20 c) 40d) 30 e) 50

(9 999 999 999)

a) 180 b) 90 c) 150d) 240 e) 360

05. Calcular la suma de las cifras de “A”.

a) 450 b) 480 c) 510d) 540 e) 630

06. Calcular:

07. Calcular:

M = (20 005) + (19 995)

08. Hallar la suma de las cifras del resultado de “A”, si:

A = (10 - 1) (10 - 1)

a) 400 b) 410 c) 420d) 440 e) 450

09. Reducir:

Dar como respuesta la suma de las cifras.a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35

10. Hallar la suma de las cifras del producto siguiente:

a) 18 000 b) 18 009 c) 18 099d) 18 999 e) 18 899

50 50´

A 111 ... 111 222 ... 222= -

B [222....222 444....444] 2= - ¸

24 808 24 792 64

616 624 16

2E ( 123 454 321 1 234 321 5)= - -

P 111...111 999....999= ´14243 14243

100 cifras

123 123

E 999....999 1999....998= -

18 cifras 10 cifras

2A 81 (111....111)= ´14243

50 cifras

11. ¿Cuál es el menor número que se debe multiplicar por360 para obtener un cubo perfecto?a) 25 b) 36 c) 27d) 75 e) 125

12. Si: x - y = y - z = , calcular el valor de:

a) 11 b) 6 c) 66d) 12 e) 4

13. Calcular: (135) + (85) + (65) + (145)a) 20 400 b) 30 200 c) 50 700d) 40 800 e) 60 250

14. Hallar la última cifra luego de efectuarse el producto:

P = (2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) ... (2 + 1)

a) 1 b) 0 c) 2d) 4 e) 5

15. En qué cifra termina:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 5

2 2 2 2

2011 2010 2009 2

MAMA864 MATEMATICA22RM

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17. Si: a + b + c + d + e + f = 27, hallar la suma de las cifrasdel resultado de sumar los números:

; ; ; ; y

a) 18 b) 20 c) 54d) 60 e) 45

18. Indicar el valor de:

a) 40 600 b) 40 601 c) 200 203d) 406 205 e) 201 203

20. Hallar el valor de “V”, si hay igual cantidad de númerosnegativos y positivos.

a) 100 b) 150 c) 200d) 250 e) 270

abcdef bcdefa fabcde cdefab efabcd defabc

Si: (a + b + c) = 144, calcular: + +a) 1221 b) 1432 c) 1332d) 1532 e) 1232

2abc bca cab

I 200 201 202 203 1= ´ ´ ´ +

M 123 456 789 2468= -

01. Si:A= 3 624 321 612 25B = 612 131 425 25

Calcular la suma de las cifras de:A+ B.

a) 45 b) 46 c) 47d) 48 e) 49

02. Hallar la suma de las cifras de: M + N.Si: M = 64 888 888 888 125

N = 13 222 222 750 25

a) 62 b) 64 c) 66d) 74 e) 68

03. Hallar la suma de las cifras de:A+ B + C, si:

A= 444 488 223 224 5B = 284 428 361 648 25C = 2 432 084 856 125

a) 51 b) 52 c) 53d) 54 e) 55

324 156 11 + 122 233 244 11

a) 22 b) 25 c) 28d) 32 e) 34

05. Hallar la suma de las cifras de: P+ Q + R, si:P= 2 112 112 117 5Q = 20 120 120 150 25R = 12 221 111 200 125

a) 45 b) 40 c) 35d) 44 e) 25

06. Hallar la suma de las cifras de: A+ B, si:

A= 333 333 333

B = 999 999 999

a) 72 b) 81 c) 89d) 99 e) 100

6 6 6(x y) (y z) (x z)A

- + - + -=

V ... 5 3 1 2 4 6 ...= - - - + + + +14444244443

400 términos

07. Hallar la suma de las cifras de:

M = 66 666 666 9 999 999

a) 72 b) 54 c) 60d) 58 e) 63

08. Hallar la suma de las cifras de: P+ Q, si:

a) 18 b) 24 c) 27d) 36 e) 45

E = (222....222) 9

a) 300 b) 600 c) 900d) 1800 e) 81

M = (10 - 1) (10 - 1)

a) 81 b) 72 c) 99d) 90 e) 121

P 111110 888 889

Q 999 998 000 001

01. Calcular:

02. Calcular:

Indicar la suma de las cifras del resultado.a) 120 b) 600 c) 200d) 800 e) 300

03. Calcular:

a) 10 b) 20 c) 40d) 30 e) 50

(9 999 999 999)

a) 180 b) 90 c) 150d) 240 e) 360

05. Calcular la suma de las cifras de “A”.

a) 450 b) 480 c) 510d) 540 e) 630

06. Calcular:

07. Calcular:

M = (20 005) + (19 995)

08. Hallar la suma de las cifras del resultado de “A”, si:

A = (10 - 1) (10 - 1)

a) 400 b) 410 c) 420d) 440 e) 450

09. Reducir:

Dar como respuesta la suma de las cifras.a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35

10. Hallar la suma de las cifras del producto siguiente:

a) 18 000 b) 18 009 c) 18 099d) 18 999 e) 18 899

50 50´

A 111 ... 111 222 ... 222= -

B [222....222 444....444] 2= - ¸

24 808 24 792 64

616 624 16

2E ( 123 454 321 1 234 321 5)= - -

P 111...111 999....999= ´14243 14243

100 cifras

123 123

E 999....999 1999....998= -

18 cifras 10 cifras

2A 81 (111....111)= ´14243

50 cifras

En este capítulo conoceremos si una figura se pueden construir sin levantar el lápiz del papel, ni repetir el trazo porsegunda vez. Para ello es necesario fijarse si los puntos de intersección son pares o impares.

Punto ParEs un punto formado por la intersección de unnúmero par de líneas.

Ejemplo 1Punto par: hay4 líneas que seencuentran.

Punto par: hay2 líneas que seencuentran.

* En la figura, hay 16 puntos de intersección que sontodos pares.

POSTULADO DE LEONARD EULER

CASO I

Para construir una figura sin levantar el lápiz delpapel, ni repetir el trazo por segunda vez, es necesarioque todos los puntos de intersección sean pares.

Ejemplos:

PP P PP

Punto ImparEs un punto formado por la intersección de unnúmero impar de líneas.

Ejemplo 1Punto impar:hay 3 líneas quese encuentran.

Punto impar: hay5 líneas que seencuentran.

* En la figura, hay 12 puntos de intersección que sontodos impares.

Ejemplo 2 Punto impar:hay 3 líneas quese encuentran.

Punto impar:hay 5 líneas quese encuentran.

Para demostrar que estas figuras se pueden construir,puedes empezar por cualquier punto par, como semuestra a continuación

punto de partidapunto departida

Trazado de FigurasTEMA

CASO II

Para que una figura pueda ser construida sin levantarel lápiz del papel, ni repetir el trazo por segunda vezes necesario que existan a lo más 2 puntos impares,siendo todos los demás puntos pares.

Para demostrar que estas figuras se pueden construir,puedes empezar por cualquiera de los puntos impares,como se muestra a continuación:

IP P P

P P PPP

P PPPP

Punto departida Punto de

partida

CASO III

Si la figura presenta más de dos puntos impares, jamás se podrá trazar la figura de un solo trazo sin levantar ellápiz del papel, ni repetir el trazo por segunda vez.

01. Hallar el número de puntos pares e impares que hay en:

Identificando los puntos de intersección, en la figura,tenemos:

Podemos observar que hay 12 puntos de intersección,de los cuales 6 son puntos pares y 6 son puntos impares.

Resolución:

Rpta.:

02. Hallar el exceso de puntos pares con respecto a lospuntos impares, en la siguiente figura:

Identificando los puntos de intersección en la figura:

P= 12I = 8Exceso = 12 - 8 = 4

Resolución:

Rpta.: 4

IIIIIPP

Ejemplos:

Ejemplo:

En este capítulo conoceremos si una figura se pueden construir sin levantar el lápiz del papel, ni repetir el trazo porsegunda vez. Para ello es necesario fijarse si los puntos de intersección son pares o impares.

Punto ParEs un punto formado por la intersección de unnúmero par de líneas.

POSTULADO DE LEONARD EULER

CASO I

Para construir una figura sin levantar el lápiz delpapel, ni repetir el trazo por segunda vez, es necesarioque todos los puntos de intersección sean pares.

Ejemplos:

PP P PP

Punto ImparEs un punto formado por la intersección de unnúmero impar de líneas.

Ejemplo 1Punto impar:hay 3 líneas quese encuentran.

Punto impar: hay5 líneas que seencuentran.

Ejemplo 2 Punto impar:hay 3 líneas quese encuentran.

Punto impar:hay 5 líneas quese encuentran.

Para demostrar que estas figuras se pueden construir,puedes empezar por cualquier punto par, como semuestra a continuación

punto de partidapunto departida

Trazado de FigurasTEMA

CASO II

Para que una figura pueda ser construida sin levantarel lápiz del papel, ni repetir el trazo por segunda vezes necesario que existan a lo más 2 puntos impares,siendo todos los demás puntos pares.

Para demostrar que estas figuras se pueden construir,puedes empezar por cualquiera de los puntos impares,como se muestra a continuación:

IP P P

P P PPP

P PPPP

Punto departida Punto de

partida

CASO III

Si la figura presenta más de dos puntos impares, jamás se podrá trazar la figura de un solo trazo sin levantar ellápiz del papel, ni repetir el trazo por segunda vez.

01. Hallar el número de puntos pares e impares que hay en:

Identificando los puntos de intersección, en la figura,tenemos:

Podemos observar que hay 12 puntos de intersección,de los cuales 6 son puntos pares y 6 son puntos impares.

Resolución:

Rpta.:

02. Hallar el exceso de puntos pares con respecto a lospuntos impares, en la siguiente figura:

Identificando los puntos de intersección en la figura:

P= 12I = 8Exceso = 12 - 8 = 4

Resolución:

Rpta.: 4

IIIIIPP

Ejemplos:

Ejemplo:

04. ¿Cuántos puntos pares hay en el siguiente gráfico?

03. ¿Qué figuras se pueden realizar con un trazo continuo ysin pasar dos veces por el mismo trazo, pudiendocruzarse los trazos?

Identificando los puntos de intersección, de cada figuradada:

Resolución:

No se puede construirde un solo trazo,porque la figuratiene más de2 puntos impares.

Sí se puede construirde un solo trazo,porque todos lospuntos de intersecciónde la figura sonpuntos pares.

Rpta.: I y III

(I) (II) (III)

Sí se puedeconstruir de unsolo trazo continuo,porque la figurasólo tiene dospuntos impares.

Resolución:

Puntos ParesPara:

n = 1 Þ Þ P = 1(4) + 2(0) = 4

n = 2 Þ Þ P = 2(4) + 2(1) = 10

n = 3 Þ Þ P = 3(4) + 2(2) = 16

n = 4 Þ Þ P = 4(4) + 2(3) = 22

Para: n = 100 P = 100(4) + 2(99)Þ

400 + 198

Rpta.: Hay 598 puntos pares.

07. Hallar el exceso de puntos pares con respecto a lospuntos impares de la siguiente figura:

08. ¿Qué figura(s) se puede(n) realizar con un trazocontinuo y sin pasar dos veces por el mismo trazo,pudiendo cruzarse los trazos?

a) Sólo I b) II y III c) I y IIId) I y II e) Todas

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) Los tres e) I y III

10. De las figuras que se muestran a continuación,¿cuántos no se pueden realizar con un trazo continuopudiendo cruzarse los trazos? Sugerencia: Marcar conun aspa (x) en los paréntesis para indicar si cumpledicho condición.

01. ¿Cuántos puntos pares se pueden contar como máximoen la siguiente figura?

02. ¿Cuántos puntos impares hay en la siguiente figura?

04. ¿Cuántos puntos pares hay en la siguiente figura?

05. En la figura, hallar el exceso de puntos pares conrespecto a los puntos impares.

a) 745

b) 746

c) 747

d) 748

e) 750

150149

(I) (II) (III)

( ) ( )

03. ¿Qué figuras se pueden realizar con un trazo continuo ysin pasar dos veces por el mismo trazo, pudiendocruzarse los trazos?

Identificando los puntos de intersección, de cada figuradada:

Resolución:

No se puede construirde un solo trazo,porque la figuratiene más de2 puntos impares.

Sí se puede construirde un solo trazo,porque todos lospuntos de intersecciónde la figura sonpuntos pares.

Rpta.: I y III

(I) (II) (III)

Sí se puedeconstruir de unsolo trazo continuo,porque la figurasólo tiene dospuntos impares.

Resolución:

Puntos ParesPara:

n = 1 Þ Þ P = 1(4) + 2(0) = 4

n = 2 Þ Þ P = 2(4) + 2(1) = 10

n = 3 Þ Þ P = 3(4) + 2(2) = 16

n = 4 Þ Þ P = 4(4) + 2(3) = 22

Para: n = 100 P = 100(4) + 2(99)Þ

400 + 198

Rpta.: Hay 598 puntos pares.

07. Hallar el exceso de puntos pares con respecto a lospuntos impares de la siguiente figura:

a) Sólo I b) II y III c) I y IIId) I y II e) Todas

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) Los tres e) I y III

10. De las figuras que se muestran a continuación,¿cuántos no se pueden realizar con un trazo continuopudiendo cruzarse los trazos? Sugerencia: Marcar conun aspa (x) en los paréntesis para indicar si cumpledicho condición.

01. ¿Cuántos puntos pares se pueden contar como máximoen la siguiente figura?

05. En la figura, hallar el exceso de puntos pares conrespecto a los puntos impares.

a) 745

b) 746

c) 747

d) 748

e) 750

150149

(I) (II) (III)

( ) ( )

14. ¿Se puede dibujar el siguiente gráfico sin levantar ellápiz de papel y sin pasar por una misma línea más deuna vez?

a) Si empezamos por “A”.b) Si empezamos por “C”.c) Posible, pero si empezamos por “M”.d) Si empezamos por “B”.e) Imposible.

15. Un lindo perrito desea ir por un pequeño hueso peropara ello debe seguir el siguiente rastro. ¿Podrá elperrito dirigirse a recoger su hueso, según el trayecto,de manera que no pase dos veces por el mismo sitio,pudiendo cruzar los recorridos hechos?

a) Sí puede.b) No puede.c) Es imposible.d) Se pierde.e) Necesita que lo guíen.

16. ¿Cuántas de las siguientes figuras se pueden dibujar sinlevantar ni pasar dos veces el lápiz por el mismo sitio?Sugerencia: Marcar un aspa (x) en los paréntesis paraindicar si cumple dicha condición.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

17. ¿Cuántos puntos pares hay en la figura?

a) 120 b) 80 c) 150d) 50 e) 100

18. ¿Cuál de las siguientes figuras se pueden dibujar de unsolo trazo?

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Todas

11. De las figuras que se muestran a continuación,¿cuántos se pueden realizar con un solo trazo continuo,pudiendo cruzarse los trazos? Sugerencia: Marcar conun aspa (x) en los paréntesis para indicar si cumpledicha condición.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Romeo debe rescatar a Julieta para lo cual debe recorrerel siguiente laberinto, con la condición de que norecorra dos veces el mismo tramo; ¿podrá Romeorescatar a su amada Julieta?

a) Romeo no rescata a Julieta.b) Romeo consigue rescatar a Julieta.c) Depende del tiempo que le den para rescatar a

Julieta.d) Romeo se aburre de buscar a Julieta y se vuelve al

lugar de partida.e) Romeo no logra recorrer el laberinto.

13. Podrá una persona entrar a un laberinto y recorrer todoslos caminos, sin pasar dos veces por el mismo tramo,pudiendo cruzarse los recorridos hechos.

a) Síb) Noc) Depende del tiempo.d) Es imposible recorrer todos los caminos.e) Se pierde.

1 2 3 25

(I) (II) (III)

( ) ( )

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

02. ¿En cuánto excede el número de puntos pares alnúmero de puntos impares en la siguiente figura?

04. Decir qué figura(s) se puede(n) construir sin levantar ellápiz del papel ni repetir el trazo por segunda vez.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y III e) I y II

05. ¿Cuántos vértices pares podemos contar en la figura?

06. De las figuras que se muestra a continuación, ¿cuántosse pueden realizar con un trazo continuo y sin pasardos veces por el mismo trazo, pudiendo cruzarse lostrazos? Sugerencia: Marcar con un aspa (x) en losparéntesis para indicar si cumple dicha condición.

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 0

07. Decir qué figura(s) no se puede(n) construir sinlevantar el lápiz del papel, repetir el trazo por segundavez.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y IIId) I y II e) II y III

(I) (II) (III)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(I) (II) (III)

19. ¿Se puede dibujar el siguiente gráfico sin levantar ellápiz del papel y sin pasar por una misma línea más deuna vez?

a) Si empezamos por “A”.b) Si empezamos por “F”.c) Posible, pero si empezamos por “M”.d) Si empezamos por cualquiera de los puntos

indicados.e) Imposible.

20. ¿Cuántos segmentos deben agregarse como mínimo,para que la figura sea realizable de un solo trazo?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

( ) ( ) ( ) ( )

14. ¿Se puede dibujar el siguiente gráfico sin levantar ellápiz de papel y sin pasar por una misma línea más deuna vez?

a) Si empezamos por “A”.b) Si empezamos por “C”.c) Posible, pero si empezamos por “M”.d) Si empezamos por “B”.e) Imposible.

15. Un lindo perrito desea ir por un pequeño hueso peropara ello debe seguir el siguiente rastro. ¿Podrá elperrito dirigirse a recoger su hueso, según el trayecto,de manera que no pase dos veces por el mismo sitio,pudiendo cruzar los recorridos hechos?

a) Sí puede.b) No puede.c) Es imposible.d) Se pierde.e) Necesita que lo guíen.

16. ¿Cuántas de las siguientes figuras se pueden dibujar sinlevantar ni pasar dos veces el lápiz por el mismo sitio?Sugerencia: Marcar un aspa (x) en los paréntesis paraindicar si cumple dicha condición.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

a) 120 b) 80 c) 150d) 50 e) 100

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Todas

11. De las figuras que se muestran a continuación,¿cuántos se pueden realizar con un solo trazo continuo,pudiendo cruzarse los trazos? Sugerencia: Marcar conun aspa (x) en los paréntesis para indicar si cumpledicha condición.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Romeo debe rescatar a Julieta para lo cual debe recorrerel siguiente laberinto, con la condición de que norecorra dos veces el mismo tramo; ¿podrá Romeorescatar a su amada Julieta?

a) Romeo no rescata a Julieta.b) Romeo consigue rescatar a Julieta.c) Depende del tiempo que le den para rescatar a

Julieta.d) Romeo se aburre de buscar a Julieta y se vuelve al

lugar de partida.e) Romeo no logra recorrer el laberinto.

13. Podrá una persona entrar a un laberinto y recorrer todoslos caminos, sin pasar dos veces por el mismo tramo,pudiendo cruzarse los recorridos hechos.

a) Síb) Noc) Depende del tiempo.d) Es imposible recorrer todos los caminos.e) Se pierde.

1 2 3 25

(I) (II) (III)

( ) ( )

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

02. ¿En cuánto excede el número de puntos pares alnúmero de puntos impares en la siguiente figura?

04. Decir qué figura(s) se puede(n) construir sin levantar ellápiz del papel ni repetir el trazo por segunda vez.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y III e) I y II

05. ¿Cuántos vértices pares podemos contar en la figura?

06. De las figuras que se muestra a continuación, ¿cuántosse pueden realizar con un trazo continuo y sin pasardos veces por el mismo trazo, pudiendo cruzarse lostrazos? Sugerencia: Marcar con un aspa (x) en losparéntesis para indicar si cumple dicha condición.

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 0

07. Decir qué figura(s) no se puede(n) construir sinlevantar el lápiz del papel, repetir el trazo por segundavez.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y IIId) I y II e) II y III

(I) (II) (III)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(I) (II) (III)

19. ¿Se puede dibujar el siguiente gráfico sin levantar ellápiz del papel y sin pasar por una misma línea más deuna vez?

a) Si empezamos por “A”.b) Si empezamos por “F”.c) Posible, pero si empezamos por “M”.d) Si empezamos por cualquiera de los puntos

indicados.e) Imposible.

20. ¿Cuántos segmentos deben agregarse como mínimo,para que la figura sea realizable de un solo trazo?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

( ) ( ) ( ) ( )

01. ¿Cuántos puntos pares habrá en F ?58

a) 3600 b) 3200 c) 2800d) 4500 e) 4900

a) Sólo I b) I y II c) I y IIId) II y III e) Todas

10. Decir qué figura(s) no se puede(n) construir sinlevantar el lápiz del papel, ni repetir el trazo porsegunda vez.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) I y III

08. ¿Qué figura(s) se puede(n) realizar un trazo continuo ysin pasar dos veces el mismo trazo, pudiendo cruzarselos trazos?

a) Sólo I b) Sólo III c) I y IId) II y IV e) I y III

09. ¿Cuántos segmentos debemos agregar como mínimopara que la figura sea realizable de un solo trazo?

F1 F2 F3

(I) (II) (III)

03. ¿Cuántos vértices pares podemos contar en el gráfico?

a) 120

b) 110

e) 100

04. ¿Cuántos puntos impares hay en F ?

a) 20 b) 30 c) 40

d) 42 e) 48

a) 52 b) 54 c) 56d) 58 e) 60

F1 F2 F3

(I) (II) (III) (IV)

; ...;;

; ; ; ...

06. ¿Cuántos segmentos debe(n) agregarse como mínimopara que la figura sea realizable de un solo trazo?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. ¿Cuál de las siguientes figuras se pueden dibujar con unsolo trazo?

a) I y II b) I y III c) II y IIId) Sólo I e) Todas

08. ¿Cuántos segmentos deben agregarse como mínimo,para que la figura desde cualquier punto sea realizablede un solo trazo?

a) I y II b) Sólo III c) I y IIId) II y III e) Todas

10. ¿Se puede dibujar el siguiente gráfico sin levantar ellápiz y sin pasar por una línea más de una vez?

a) Sí empezando por “A”.b) Sí empezando por “D”.c) Sí empezando por “M”.d) Sí empezando por “C”.e) Imposible.

1 2 3 4 5 17 18 19 20

1 2 3 4 19 20

01. ¿Cuántos puntos pares habrá en F ?58

a) 3600 b) 3200 c) 2800d) 4500 e) 4900

a) Sólo I b) I y II c) I y IIId) II y III e) Todas

10. Decir qué figura(s) no se puede(n) construir sinlevantar el lápiz del papel, ni repetir el trazo porsegunda vez.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) I y III

08. ¿Qué figura(s) se puede(n) realizar un trazo continuo ysin pasar dos veces el mismo trazo, pudiendo cruzarselos trazos?

a) Sólo I b) Sólo III c) I y IId) II y IV e) I y III

09. ¿Cuántos segmentos debemos agregar como mínimopara que la figura sea realizable de un solo trazo?

F1 F2 F3

(I) (II) (III)

03. ¿Cuántos vértices pares podemos contar en el gráfico?

a) 120

b) 110

e) 100

04. ¿Cuántos puntos impares hay en F ?

a) 20 b) 30 c) 40

d) 42 e) 48

a) 52 b) 54 c) 56d) 58 e) 60

F1 F2 F3

(I) (II) (III) (IV)

; ...;;

; ; ; ...

06. ¿Cuántos segmentos debe(n) agregarse como mínimopara que la figura sea realizable de un solo trazo?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. ¿Cuál de las siguientes figuras se pueden dibujar con unsolo trazo?

a) I y II b) I y III c) II y IIId) Sólo I e) Todas

08. ¿Cuántos segmentos deben agregarse como mínimo,para que la figura desde cualquier punto sea realizablede un solo trazo?

a) I y II b) Sólo III c) I y IIId) II y III e) Todas

10. ¿Se puede dibujar el siguiente gráfico sin levantar ellápiz y sin pasar por una línea más de una vez?

a) Sí empezando por “A”.b) Sí empezando por “D”.c) Sí empezando por “M”.d) Sí empezando por “C”.e) Imposible.

1 2 3 4 5 17 18 19 20

1 2 3 4 19 20

CONTEO DE FIGURAS

* Consiste en averiguar la cantidad exacta de figuras que piden (triángulos, cuadriláteros, segmentos, cubos,etc.) que se encuentran en la figura dada; dicha cantidad es la máxima.

Observa bien las siguientes figuras:

En la primera de ellas se aprecia el mapa del Perú con sus departamentos. Imaginémonos que es unrompecabezas, le sacamos sus piezas y lo que nos queda es sólo el contorno del mapa, es decir, la segundafigura.Una vez acomodadas convenientemente las piezas, éstas forman el mapa del Perú. Si consideramos almapa completo como una , entonces a cada una de las piezas que lo conforman (en estecaso los departamentos) la consideramos como una . Ambas expresiones,

y , adquieren importancia notable cuando se trata de buscar y contar figurasen un problema dado.Según lo anterior, una figura puede ser simple o compuesta:

En la figura 1, apreciamos ejemplos de figuras simples, es decir, no contienen otras figuras en su interior.Mientras que en la figura 2, se observa un punto que parte al segmentoAB, y líneas que dividen el triángulomayor en otros más pequeños, es decir, aparecen otras figuras secundarias; por ello diremos que estamosante figuras compuestas.

figura compuestafigura simple “figura

compuesta” “figura simple”

El mapa del Perú es unafigura compuesta.

Contorno del mapa delPerú.

Cada una de las piezasdel rompecabezas representaun departamento del Perúy es una figura simple.

A B B CA

Figura 1 Figura 2

Conteo de Figuras

A. MÉTODO DELCONTEO DIRECTO

Conteo por simple inspección

Ejemplo:

Resolución:

B. MÉTODO DELCONTEO POR INDUCCIÓN

Como se ha visto, el conteo directo se realizavisualmente o por “simple inspección” y enumerandolas figuras simples que conforman la figura principal;en este caso se dice que estamos contando “porcombinación”.

Hay problemas en los cuales basta observarminuciosamente la figura principal y las figurassimples que la componen buscando las característicasque satisfagan las condiciones requeridas por lapregunta.Veamos:

En la figura mostrada:I. ¿Cuántas figuras simples hay?II. ¿En cuántas figuras simples hay 2 asteriscos?

Observemos atentamente la figura principal ycontemos cada una de las figuras simples que lacomponen (Podemos ayudarnos con lápices decolores e ir delineando con un color los bordes ocoloreando el interior de cada figura simple). Asítenemos:I. Como podemos apreciar, hay 8 regiones simples.II. Hay 3 regiones simples en las cuales hay 2

asteriscos.

Observa la figura, ¿has jugado ajedrez o damas algunavez?, seguro que sí; y habrás utilizado un tablero comoel que se muestra en la figura.

Podemos apreciar un tablero cuadrado con 8 cuadraditospor lado.Ahora tomemos un lápiz y tracemos una línea queuna los puntos A y B del tablero (hemos trazado la diagonaldel tablero cuadrado), al hacerlo notamos que aparecenunos triángulos pequeños situados a ambos lados de ladiagonal. ¿Serán los únicos o habrán más?, ¿cuántostriángulos tiene realmente la figura mostrada?

Para saberlo podríamos suponer que el tablero estáformado sólo por un cuadrado, luego que está formado pordos cuadraditos por lado y así sucesivamente aumentamosel número de cuadriláteros por lado, ¿recuerdas cómo sellama este proceso?

Lo que estamos sugiriendo es trabajar por inducción, esdecir, reducimos el problema a un caso más sencillo y loestudiamos; luego, complicamos poco a poco lassituaciones y buscamos características notables que estaránpresentes en todos los casos, analizamos dichos casos yfinalmente generalizamos.Vamos a empezar con un tablero de un cuadrado por lado yle trazamos su diagonal. Veamos:

Aplicando el conteo por combinación que ya hemosestudiado, encontramos que hay : 1 y 2.

Ahora consideramos un tablero con 2 cuadrados por lado.Otra vez contando por combinación hallaremos aquí:

: 1; 2; 5; 6; 135 y 246.

El tablero tiene 3 cuadrados por lado.Procediendo en forma análoga a los anteriores casosobtenemos: , podríamos continuar así en losdemás casos pero... hagamos un resumen y generalicemos:

2 triángulos

6 triángulos

12 triángulos

5 9 1112

CONTEO DE FIGURAS

* Consiste en averiguar la cantidad exacta de figuras que piden (triángulos, cuadriláteros, segmentos, cubos,etc.) que se encuentran en la figura dada; dicha cantidad es la máxima.

Observa bien las siguientes figuras:

En la primera de ellas se aprecia el mapa del Perú con sus departamentos. Imaginémonos que es unrompecabezas, le sacamos sus piezas y lo que nos queda es sólo el contorno del mapa, es decir, la segundafigura.Una vez acomodadas convenientemente las piezas, éstas forman el mapa del Perú. Si consideramos almapa completo como una , entonces a cada una de las piezas que lo conforman (en estecaso los departamentos) la consideramos como una . Ambas expresiones,

y , adquieren importancia notable cuando se trata de buscar y contar figurasen un problema dado.Según lo anterior, una figura puede ser simple o compuesta:

En la figura 1, apreciamos ejemplos de figuras simples, es decir, no contienen otras figuras en su interior.Mientras que en la figura 2, se observa un punto que parte al segmentoAB, y líneas que dividen el triángulomayor en otros más pequeños, es decir, aparecen otras figuras secundarias; por ello diremos que estamosante figuras compuestas.

figura compuestafigura simple “figura

compuesta” “figura simple”

El mapa del Perú es unafigura compuesta.

Contorno del mapa delPerú.

Cada una de las piezasdel rompecabezas representaun departamento del Perúy es una figura simple.

A B B CA

Figura 1 Figura 2

Conteo de Figuras

A. MÉTODO DELCONTEO DIRECTO

Conteo por simple inspección

Ejemplo:

Resolución:

B. MÉTODO DELCONTEO POR INDUCCIÓN

Como se ha visto, el conteo directo se realizavisualmente o por “simple inspección” y enumerandolas figuras simples que conforman la figura principal;en este caso se dice que estamos contando “porcombinación”.

Hay problemas en los cuales basta observarminuciosamente la figura principal y las figurassimples que la componen buscando las característicasque satisfagan las condiciones requeridas por lapregunta.Veamos:

En la figura mostrada:I. ¿Cuántas figuras simples hay?II. ¿En cuántas figuras simples hay 2 asteriscos?

Observemos atentamente la figura principal ycontemos cada una de las figuras simples que lacomponen (Podemos ayudarnos con lápices decolores e ir delineando con un color los bordes ocoloreando el interior de cada figura simple). Asítenemos:I. Como podemos apreciar, hay 8 regiones simples.II. Hay 3 regiones simples en las cuales hay 2

asteriscos.

Observa la figura, ¿has jugado ajedrez o damas algunavez?, seguro que sí; y habrás utilizado un tablero comoel que se muestra en la figura.

Podemos apreciar un tablero cuadrado con 8 cuadraditospor lado.Ahora tomemos un lápiz y tracemos una línea queuna los puntos A y B del tablero (hemos trazado la diagonaldel tablero cuadrado), al hacerlo notamos que aparecenunos triángulos pequeños situados a ambos lados de ladiagonal. ¿Serán los únicos o habrán más?, ¿cuántostriángulos tiene realmente la figura mostrada?

Para saberlo podríamos suponer que el tablero estáformado sólo por un cuadrado, luego que está formado pordos cuadraditos por lado y así sucesivamente aumentamosel número de cuadriláteros por lado, ¿recuerdas cómo sellama este proceso?

Lo que estamos sugiriendo es trabajar por inducción, esdecir, reducimos el problema a un caso más sencillo y loestudiamos; luego, complicamos poco a poco lassituaciones y buscamos características notables que estaránpresentes en todos los casos, analizamos dichos casos yfinalmente generalizamos.Vamos a empezar con un tablero de un cuadrado por lado yle trazamos su diagonal. Veamos:

Aplicando el conteo por combinación que ya hemosestudiado, encontramos que hay : 1 y 2.

Ahora consideramos un tablero con 2 cuadrados por lado.Otra vez contando por combinación hallaremos aquí:

: 1; 2; 5; 6; 135 y 246.

El tablero tiene 3 cuadrados por lado.Procediendo en forma análoga a los anteriores casosobtenemos: , podríamos continuar así en losdemás casos pero... hagamos un resumen y generalicemos:

2 triángulos

6 triángulos

12 triángulos

5 9 1112

Luego, en nuestro problema hemos encontrado que el número total de triángulos que se formarían al trazar la diagonal deltablero que une los puntos “A” y “B” sería: 72Acontinuación analicemos algunos “problemas tipo” de conteo de figuras que se resuelven por el método de inducción.

321 4 5 6 7 812345678

Nº de Triángulos: 1 2´2

2 3´6

3 4´12

8 9 = 72´

CONTEO DE SEGMENTOS

Ejemplo:

Resolución:

CONTEO DE ÁNGULOS

Ejemplo:

Resolución:

¿Cuántos segmentos hay en total en la siguiente figura?

Procederemos por inducción:

¿Cuántos ángulos agudos existen en la siguiente figura?

CONTEO DE TRIÁNGULOS

CONTEO DE CUADRADOS

Si trabajas por inducción, comprobarás fácilmente laexpresión:

Donde “n” es el número de triángulos numerados tal comose muestra en la figura dada.

1 2 3 n-1 n

Si: n = 1

Si: n = 2

Si: n = 3

Nº de segmentos:1 segmento

1 + 2 segmentos1 2

1 + 2 + 3 segmentos21 3

n = 1n = 2n = 3

1 = 13 = 1 + 26 = 1 + 2 + 3

Nº de ángulos

En general:

Nº total de ángulos agudos: 1 + 2 + 3 + ... + n =n(n 1)

1 2 3 n

1 + 41 + 2

2 2= 5

1 + 4 + 91 + 2 + 3

2 2 2= 14

1 + 4 + 9 + 161 + 2 + 3 + 4

2 2 2 2= 30

En general:

1 + 2 + 3 + 4 ..... + n2 2 2 2 2

Nº total decuadrados

n(n 1)(2n 1)

1 2 323

1 2 3 4

2 3 41234

n(n 1):1 2 3 ... n

++ + + + =Nº total de

segmentos

CASO: La figura principal es un cuadrado.

En general:

n(n 1)Nº total de triángulos

CONTEO DE CUBOS YPARALELEPÍPEDOS

1° CASO: Conteo de Cubos

2º CASO: Conteo de Paralelepípedos

Se presenta dos posibilidades, el sólido es un cubo formado por cubos simples.Así:

En la figura se muestra un paralelepípedo que puede estar formado ya sea por cubos simples o por paralelepípedossimples. Procediendo por inducción, es sencillo demostrar que:

Número totalde cubos: 1

31 + 2

3 3............ 1 + 2 + 3 + ..... + n =

3 3 3 3

2n(n 1)

+é ùê úë û

1 + 2 + 33 3 3

En general: Número totalde cubos

2n(n 1)

+é ù= ê úë û

Número total deparalelepípedos

n(n 1) m(m 1) p(p 1)

+ + += ´ ´

03. Hallar el número total de triángulos en la siguiente

figura:

04. Calcular el número total de triángulos en:

d) 100

e) 110

01. Hallar el número total de cuadriláteros en la siguiente

figura:

a) 762

b) 760

c) 758

d) 756

e) 754

Ejercicios para la Clase

Luego, en nuestro problema hemos encontrado que el número total de triángulos que se formarían al trazar la diagonal deltablero que une los puntos “A” y “B” sería: 72Acontinuación analicemos algunos “problemas tipo” de conteo de figuras que se resuelven por el método de inducción.

321 4 5 6 7 812345678

Nº de Triángulos: 1 2´2

2 3´6

3 4´12

8 9 = 72´

CONTEO DE SEGMENTOS

Ejemplo:

Resolución:

CONTEO DE ÁNGULOS

Ejemplo:

Resolución:

¿Cuántos segmentos hay en total en la siguiente figura?

¿Cuántos ángulos agudos existen en la siguiente figura?

CONTEO DE TRIÁNGULOS

CONTEO DE CUADRADOS

Si trabajas por inducción, comprobarás fácilmente laexpresión:

Donde “n” es el número de triángulos numerados tal comose muestra en la figura dada.

1 2 3 n-1 n

Si: n = 1

Si: n = 2

Si: n = 3

Nº de segmentos:1 segmento

1 + 2 segmentos1 2

1 + 2 + 3 segmentos21 3

n = 1n = 2n = 3

1 = 13 = 1 + 26 = 1 + 2 + 3

Nº de ángulos

En general:

Nº total de ángulos agudos: 1 + 2 + 3 + ... + n =n(n 1)

1 2 3 n

1 + 41 + 2

2 2= 5

1 + 4 + 91 + 2 + 3

2 2 2= 14

1 + 4 + 9 + 161 + 2 + 3 + 4

2 2 2 2= 30

En general:

1 + 2 + 3 + 4 ..... + n2 2 2 2 2

Nº total decuadrados

n(n 1)(2n 1)

1 2 323

1 2 3 4

2 3 41234

n(n 1):1 2 3 ... n

++ + + + =Nº total de

segmentos

CASO: La figura principal es un cuadrado.

En general:

n(n 1)Nº total de triángulos

CONTEO DE CUBOS YPARALELEPÍPEDOS

1° CASO: Conteo de Cubos

2º CASO: Conteo de Paralelepípedos

Se presenta dos posibilidades, el sólido es un cubo formado por cubos simples.Así:

En la figura se muestra un paralelepípedo que puede estar formado ya sea por cubos simples o por paralelepípedossimples. Procediendo por inducción, es sencillo demostrar que:

Número totalde cubos: 1

31 + 2

3 3............ 1 + 2 + 3 + ..... + n =

3 3 3 3

2n(n 1)

+é ùê úë û

1 + 2 + 33 3 3

En general: Número totalde cubos

2n(n 1)

+é ù= ê úë û

Número total deparalelepípedos

n(n 1) m(m 1) p(p 1)

+ + += ´ ´

figura:

04. Calcular el número total de triángulos en:

d) 100

e) 110

figura:

a) 762

b) 760

c) 758

d) 756

e) 754

Ejercicios para la Clase

10. ¿Cuántos cuadriláteros convexos hay en la siguiente

figura?

a) 250

b) 360

c) 800

d) 1200

e) 1600

11. ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular hay en el

sólido mostrado?

a) 280 b) 190 c) 200

d) 210 e) 220

12. En la figura mostrada:

A= Nº total de hexágonos.

B = Nº total de cuadriláteros.

C = Nº total de octágonos.

Hallar: A- B - C

13. ¿Cuántos trapecios hay en la figura?

a) 98 b) 96 c) 94

d) 92 e) 90

figura:

c) 110

d) 132

e) 124

06. Hallar el número total de segmentos que se pueden

contar en:

07. Hallar el total de cuadrados que se pueden contar en:

a) 308

b) 306

c) 304

d) 302

e) 300

08. Hallar el número total de semicírculos en la siguiente

figura:

09. Hallar el número total de cubos en la siguiente figura:

a) 360 b) 380 c) 390

d) 400 e) 420

14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

figura:

17. En la figura mostrada, calcular la diferencia entre el

número total de triángulos y el número total de

cuadriláteros.

18. ¿Cuántos triángulos en total se pueden contar en la

siguiente figura?

a) 6186 b) 6206 c) 6216

d) 6236 e) 6316

19. ¿Cuántos arcos de circunferencia hay en el gráfico?

a) 940 b) 1040 c) 1080

d) 1100 e) 1140

figura dada?

a) 408 b) 348 c) 413

d) 410 e) 308

1 2 3 4 5 6 19 20 21..........

..........

............

......

1 2 3 4 40 41 42......

01. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

02. ¿Cuántos cuadriláteros hay en total?

10. ¿Cuántos cuadriláteros convexos hay en la siguiente

figura?

a) 250

b) 360

c) 800

d) 1200

e) 1600

11. ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular hay en el

sólido mostrado?

a) 280 b) 190 c) 200

d) 210 e) 220

12. En la figura mostrada:

A= Nº total de hexágonos.

B = Nº total de cuadriláteros.

C = Nº total de octágonos.

Hallar: A- B - C

13. ¿Cuántos trapecios hay en la figura?

a) 98 b) 96 c) 94

d) 92 e) 90

figura:

c) 110

d) 132

e) 124

06. Hallar el número total de segmentos que se pueden

contar en:

07. Hallar el total de cuadrados que se pueden contar en:

a) 308

b) 306

c) 304

d) 302

e) 300

08. Hallar el número total de semicírculos en la siguiente

figura:

09. Hallar el número total de cubos en la siguiente figura:

a) 360 b) 380 c) 390

d) 400 e) 420

figura:

17. En la figura mostrada, calcular la diferencia entre el

número total de triángulos y el número total de

cuadriláteros.

siguiente figura?

a) 6186 b) 6206 c) 6216

d) 6236 e) 6316

19. ¿Cuántos arcos de circunferencia hay en el gráfico?

a) 940 b) 1040 c) 1080

d) 1100 e) 1140

figura dada?

a) 408 b) 348 c) 413

d) 410 e) 308

1 2 3 4 5 6 19 20 21..........

..........

............

......

1 2 3 4 40 41 42......

02. ¿Cuántos cuadriláteros hay en total?

07. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

a) 110

b) 115

c) 120

d) 125

e) 130

08. ¿Cuántos paralelepípedos hay en la siguiente figura?

a) 136

b) 138

c) 140

d) 142

e) 144

10. ¿Cuántos hexágonos hay en la siguiente figura?

03. ¿Cuántos semicírculos hay en total?

04. Hallar el número total de triángulos en la figura

mostrada.

05. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura?

a) 230

b) 231

c) 232

d) 233

e) 234

01. ¿Cuántos cuadrados se contarán en la posición

número 20?

b) 144

c) 400

d) 399

02. ¿Cuántos caminos posibles existen para ir de “A”

hasta “B” sin pasar dos veces por un mismo punto?

(1) (2) (3)

03. Hallar el número total de cubos.

04. ¿Cuántos cuadrados sombreados se contarán en la

posición (25)?

a) 500

b) 600

c) 450

d) 720

e) 650

05. Hallar el número total de triángulos en:

a) 4n - 1

b) 4n - 3

d) 4n + 1

e) 2n - 3

06. ¿Cuántos segmentos se cuentan en total?

a) 11 112

b) 11 111

c) 12 111

d) 13 112

e) 13 211

a) 197

b) 193

c) 186

d) 195

e) 189

09. ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular hay en la

figura?

a) 572

b) 462

c) 584

d) 594

e) 576

(1) (2) (3)

n (n-1) (n-2) 3 2 1

1009997

2021212120

07. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

a) 110

b) 115

c) 120

d) 125

e) 130

08. ¿Cuántos paralelepípedos hay en la siguiente figura?

a) 136

b) 138

c) 140

d) 142

e) 144

10. ¿Cuántos hexágonos hay en la siguiente figura?

03. ¿Cuántos semicírculos hay en total?

04. Hallar el número total de triángulos en la figura

mostrada.

05. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura?

a) 230

b) 231

c) 232

d) 233

e) 234

01. ¿Cuántos cuadrados se contarán en la posición

número 20?

b) 144

c) 400

d) 399

02. ¿Cuántos caminos posibles existen para ir de “A”

hasta “B” sin pasar dos veces por un mismo punto?

(1) (2) (3)

03. Hallar el número total de cubos.

04. ¿Cuántos cuadrados sombreados se contarán en la

posición (25)?

a) 500

b) 600

c) 450

d) 720

e) 650

a) 4n - 1

b) 4n - 3

d) 4n + 1

e) 2n - 3

06. ¿Cuántos segmentos se cuentan en total?

a) 11 112

b) 11 111

c) 12 111

d) 13 112

e) 13 211

a) 197

b) 193

c) 186

d) 195

e) 189

09. ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular hay en la

figura?

a) 572

b) 462

c) 584

d) 594

e) 576

(1) (2) (3)

n (n-1) (n-2) 3 2 1

1009997

2021212120

ENUNCIADO EXPRESIÓN MATEMÁTICA

La suma de dos números consecutivosmás 3.

(x) + (x + 1) + 3

Yo tengo S/. 20 más que tú. lo que yotengo

lo que tútienes= 20 + ;

yo : 20 + xtú : x

El cuadrado de la suma de dos númerose“x” “y”

(x + y)2

La suma de los cuadrados de dos númerose“x” “y”

x + y2 2

El cuádruple de lo que tengo, aumentadoen 20.

4y + 20; tengo: y

El cuádruple, de lo que tengo aumentadoen 20.

4(y + 20); tengo: y

Yo tengo S/. 40 menos que tú o también sedice tú tienes S/. 40 más que yo.

y = x - 40;yo: x - 40tú: x

“A” excede a “B” en 4;lo cual se puede enunciar como:“A” es mayor que “B” en 4.El exceso de “A” sobre “B” es 4.“B” es excedido por “A” en 4.La diferencia entre “A” y “B” es 4.

A - B = 4;A: x + 4B: x

“A” es el doble de “B” o equivalentemente:“A” es dos veces “B”.“B” es la mitad de “A”.

A = 2B ;A = 2kB = k

dos veces

Aquí también podemos afirmar que “A” tieneuna vez más de lo que posee “B”. Entonces lafrase “una vez más” equivale a .“el doble”

“A” es dos veces más que “B”.“A” es dos veces mayor que “B”.

A = 3B ; A : 3xB : x

tres veces < > dos veces más < > 2 veces mayor

“A” tiene el triple de lo que tiene “B” o “A” tiene de lo que tiene “B”.En resumen:Una vez más <> el dobleDos veces más <> el tripleTres veces más <> el cuádruple

dos veces más

NOCIONES PREVIAS

¿Qué es una identidad?

Ejemplo:

Antes de entrar al tema de planteo de ecuaciones daremosalgunos alcances teóricos.

Es una igualdad absoluta que se verifica para todo valor queasuman las variables involucradas.

(a + b) = a + 2ab + b

Si: a = 1; b = 2 9 9

Si: a = 2 ; b = 2 16 16

Si: a = 3 ; b = -1 4 4

Plantear una ecuación es traducir un problema del lenguaje escrito u oral al lenguajematemático (ecuaciones).

Lenguajeescrito

Lenguajematemático“ecuación”

Lectura einterpretación

Método básico para plantear una ecuación

1º Leer detenidamente comprendiendo el enunciado.

2º Extraer datos.

3º Ubicar la incógnita y representarla.

4º Relacionar los datos construyendo una igualdad lógica.

5º Una vez planteada la ecuación, resolverla.

¿Qué es una ecuación?

Ejemplo:

Es una relación de igualdad que se establece entre dosexpresiones algebraicas que tienen como mínimo unavariable. Esta igualdad puede verificarse o no y si es que severifica, esto ocurre para un valor de su variable o undeterminado conjunto de valores asignados a sus variables.Además a las variables que intervienen en una ecuación seles denomina incógnitas y a los valores que satisfacen laigualdad se llaman soluciones de la ecuación.Así:

Se suele decir también que una ecuación es un enunciadoabierto o igualdad relativa. De acuerdo a esto, se tiene:

3x + 12 = 42Para: x = 8 3(8) + 12 = 36Para: x = 9 3(9) + 12 = 39

Para: x =11 3(11) + 12 = 45

Luego el único valor que verifica la igualdad es: x = 10.

Para: x =10 3(10) + 12 = 42

Planteo de EcuacionesTEMA

La suma de dos números consecutivosmás 3.

(x) + (x + 1) + 3

Yo tengo S/. 20 más que tú. lo que yotengo

lo que tútienes= 20 + ;

yo : 20 + xtú : x

El cuadrado de la suma de dos númerose“x” “y”

(x + y)2

La suma de los cuadrados de dos númerose“x” “y”

x + y2 2

El cuádruple de lo que tengo, aumentadoen 20.

4y + 20; tengo: y

El cuádruple, de lo que tengo aumentadoen 20.

4(y + 20); tengo: y

Yo tengo S/. 40 menos que tú o también sedice tú tienes S/. 40 más que yo.

y = x - 40;yo: x - 40tú: x

“A” excede a “B” en 4;lo cual se puede enunciar como:“A” es mayor que “B” en 4.El exceso de “A” sobre “B” es 4.“B” es excedido por “A” en 4.La diferencia entre “A” y “B” es 4.

A - B = 4;A: x + 4B: x

“A” es el doble de “B” o equivalentemente:“A” es dos veces “B”.“B” es la mitad de “A”.

A = 2B ;A = 2kB = k

dos veces

Aquí también podemos afirmar que “A” tieneuna vez más de lo que posee “B”. Entonces lafrase “una vez más” equivale a .“el doble”

“A” es dos veces más que “B”.“A” es dos veces mayor que “B”.

A = 3B ; A : 3xB : x

tres veces < > dos veces más < > 2 veces mayor

“A” tiene el triple de lo que tiene “B” o “A” tiene de lo que tiene “B”.En resumen:Una vez más <> el dobleDos veces más <> el tripleTres veces más <> el cuádruple

dos veces más

NOCIONES PREVIAS

¿Qué es una identidad?

Ejemplo:

Antes de entrar al tema de planteo de ecuaciones daremosalgunos alcances teóricos.

Es una igualdad absoluta que se verifica para todo valor queasuman las variables involucradas.

(a + b) = a + 2ab + b

Si: a = 1; b = 2 9 9

Si: a = 2 ; b = 2 16 16

Si: a = 3 ; b = -1 4 4

Plantear una ecuación es traducir un problema del lenguaje escrito u oral al lenguajematemático (ecuaciones).

Lenguajeescrito

Lenguajematemático“ecuación”

Lectura einterpretación

Método básico para plantear una ecuación

1º Leer detenidamente comprendiendo el enunciado.

2º Extraer datos.

3º Ubicar la incógnita y representarla.

4º Relacionar los datos construyendo una igualdad lógica.

5º Una vez planteada la ecuación, resolverla.

¿Qué es una ecuación?

Ejemplo:

Es una relación de igualdad que se establece entre dosexpresiones algebraicas que tienen como mínimo unavariable. Esta igualdad puede verificarse o no y si es que severifica, esto ocurre para un valor de su variable o undeterminado conjunto de valores asignados a sus variables.Además a las variables que intervienen en una ecuación seles denomina incógnitas y a los valores que satisfacen laigualdad se llaman soluciones de la ecuación.Así:

Se suele decir también que una ecuación es un enunciadoabierto o igualdad relativa. De acuerdo a esto, se tiene:

3x + 12 = 42Para: x = 8 3(8) + 12 = 36Para: x = 9 3(9) + 12 = 39

Para: x =11 3(11) + 12 = 45

Luego el único valor que verifica la igualdad es: x = 10.

Para: x =10 3(10) + 12 = 42

Planteo de EcuacionesTEMA

“A” es a “B” como 3 es a 5.La relación entre “A” y “B” es 3/5.“A” y “B” están en la razón de 3 a 5.“A” es a 3 como “B” es a 5.

A = 3k

B = 5k;

Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichasazules.

rojas 3

azules 4=

rojas = 3k

azules = 4k;

Tres menos dos veces un número “x”. 3 - 2x

Tres menos de dos veces un número “x”. 2x - 3

El producto de cinco números consecutivoses “m”.

(x)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = m(a-2)(a-1)(a)(a+1)(a+2) = m

Tú tienes el doble de mi dinero que esS/. 30 más que el dinero de él.

30 + x

2(30 + x)

k - 30

Si tú me das S/. 20, entonces tendremosigual cantidad de dinero.

a + 40

Notemos que si tú me dasS/. 20 entonces tendremoslo mismo.

01. Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple delo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás,tendrías lo que yo tengo, que es nueve soles más de loque tú tendrás. ¿Cuánto más que tú es lo que tengo?

Luego:

Resolución:

02. En una feria, Isabel juega el ‘tiro al blanco con lacondición de que por cada tiro que acierte recibirá“a” soles y pagará “b” soles por cada uno de los quefalle. Después de “n” tiros ha recibido “c” soles.¿Cuántos tiros dio en el blanco?

Como recibe una cantidad de soles, se deduce quelo que él gana por los aciertos es mayor de lo que élpaga por los que no acierta; por lo tanto, la diferencia eslo que recibe.Recibe: ax - b(n - x) = c

Resolución:

“c”

Tútenías123

Tútienes123

Tútendrás123

Lo queyo tengo123

x2x 3x

Si tuvieras: x + 2x + 3x = 6x

6x - 3x = 9 ® 3x = 9x = 3

yo 9 + 3(3) = 18

tú S/. 3

\ 18 - 3 = S/. 15

Efectúa“n” tiros

Aciertax

No aciertan - xtiros

c/u. S/. a c/u. S/. b

Un problema muy remoto que se solían plantearlos juristas romanos decía:“Una viuda estaba obligada a repartirse con elhijo que debía nacer una herencia de3500 monedas que le dejó su marido. Si nada unaniña, la madre, de acuerdo con las leyes romanas,debería recibir el doble de la hija Si nacía unniño, la madre recibía la mitad de la parte delhijo. Pero ¡nacieran mellizos: un niño y unaniña!”.

¿Cómo hay que dividir la herencia para cumplircon las condiciones impuestas por dicha ley?

Resolución:Observemos el siguiente esquema:

El reparto debe efectuarse del siguiente modo:

niña S/. 500mamá S/. 1000niño S/. 2000

Como podemos observar, para resolver elproblema, luego de interpretar adecuadamente eltexto, hemos ido transformando las condicionesen una igualdad que bien pudo haberse incluidovariables para originar una ecuación.

Entonces dividiendo 3500 entre 7 partes nosresulta a S/. 500 cada parte.

®®®

Y ahora,¿qué hacemos?

123 1442443

= 3500

Niñomamániña

Recibe el doblede la niña

Recibe el doblede la mamá

x + 2x + 4x = 3500

7x = 3500 = 500\

123 123 123

niña mamá niño

Veamos otro caso:

I. Cuatro jóvenes jalan la soga tan fuerte comocinco señoritas.

II. Dos señoritas y un joven jalan la soga tan fuerte comoun perro.

III. El perro y tres señoritas se enfrentan ahora concuatro jóvenes.

El Combate de Tirar de una Cuerda

¿Qué lado ganará en este último caso?

En el último caso se puede reemplazar al perro por2 señoritas y un joven (y esto gracias a la parte II) entoncestendremos un enfrentamiento entre cinco señoritas más unjoven a la izquierda y cuatro jóvenes, a la derecha.

Luego, se deduce que el grupo de 5 señoritas y 1 jovenganará el lance.

El arte de plantear ecuaciones es una habilidad sumamenteimportante para la resolución de problemas, para ellotenemos que traducir un problema dado en un lenguajeconvencional, al lenguaje matemático con ayuda desímbolos, variables o incógnitas.

A continuación, resolveremos a modo de ejercicio latraducción de ciertos enunciados dados en forma verbal asu forma simbólica matemática.

Resolución:

Estos 2 grupos tienen la misma fuerza (para I).Este joven marca la diferencia.

EL ARTE DE PLANTEAR UNA ECUACIÓN

“A” es a “B” como 3 es a 5.La relación entre “A” y “B” es 3/5.“A” y “B” están en la razón de 3 a 5.“A” es a 3 como “B” es a 5.

A = 3k

B = 5k;

Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichasazules.

rojas 3

azules 4=

rojas = 3k

azules = 4k;

Tres menos dos veces un número “x”. 3 - 2x

Tres menos de dos veces un número “x”. 2x - 3

El producto de cinco números consecutivoses “m”.

(x)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = m(a-2)(a-1)(a)(a+1)(a+2) = m

Tú tienes el doble de mi dinero que esS/. 30 más que el dinero de él.

30 + x

2(30 + x)

k - 30

Si tú me das S/. 20, entonces tendremosigual cantidad de dinero.

a + 40

Notemos que si tú me dasS/. 20 entonces tendremoslo mismo.

01. Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple delo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás,tendrías lo que yo tengo, que es nueve soles más de loque tú tendrás. ¿Cuánto más que tú es lo que tengo?

Luego:

Resolución:

02. En una feria, Isabel juega el ‘tiro al blanco con lacondición de que por cada tiro que acierte recibirá“a” soles y pagará “b” soles por cada uno de los quefalle. Después de “n” tiros ha recibido “c” soles.¿Cuántos tiros dio en el blanco?

Como recibe una cantidad de soles, se deduce quelo que él gana por los aciertos es mayor de lo que élpaga por los que no acierta; por lo tanto, la diferencia eslo que recibe.Recibe: ax - b(n - x) = c

Resolución:

“c”

Tútenías123

Tútienes123

Tútendrás123

Lo queyo tengo123

x2x 3x

Si tuvieras: x + 2x + 3x = 6x

6x - 3x = 9 ® 3x = 9x = 3

yo 9 + 3(3) = 18

tú S/. 3

\ 18 - 3 = S/. 15

Efectúa“n” tiros

Aciertax

No aciertan - xtiros

c/u. S/. a c/u. S/. b

Un problema muy remoto que se solían plantearlos juristas romanos decía:“Una viuda estaba obligada a repartirse con elhijo que debía nacer una herencia de3500 monedas que le dejó su marido. Si nada unaniña, la madre, de acuerdo con las leyes romanas,debería recibir el doble de la hija Si nacía unniño, la madre recibía la mitad de la parte delhijo. Pero ¡nacieran mellizos: un niño y unaniña!”.

¿Cómo hay que dividir la herencia para cumplircon las condiciones impuestas por dicha ley?

Resolución:Observemos el siguiente esquema:

El reparto debe efectuarse del siguiente modo:

niña S/. 500mamá S/. 1000niño S/. 2000

Como podemos observar, para resolver elproblema, luego de interpretar adecuadamente eltexto, hemos ido transformando las condicionesen una igualdad que bien pudo haberse incluidovariables para originar una ecuación.

Entonces dividiendo 3500 entre 7 partes nosresulta a S/. 500 cada parte.

®®®

Y ahora,¿qué hacemos?

123 1442443

= 3500

Niñomamániña

Recibe el doblede la niña

Recibe el doblede la mamá

x + 2x + 4x = 3500

7x = 3500 = 500\

123 123 123

niña mamá niño

Veamos otro caso:

I. Cuatro jóvenes jalan la soga tan fuerte comocinco señoritas.

II. Dos señoritas y un joven jalan la soga tan fuerte comoun perro.

III. El perro y tres señoritas se enfrentan ahora concuatro jóvenes.

El Combate de Tirar de una Cuerda

¿Qué lado ganará en este último caso?

En el último caso se puede reemplazar al perro por2 señoritas y un joven (y esto gracias a la parte II) entoncestendremos un enfrentamiento entre cinco señoritas más unjoven a la izquierda y cuatro jóvenes, a la derecha.

Luego, se deduce que el grupo de 5 señoritas y 1 jovenganará el lance.

El arte de plantear ecuaciones es una habilidad sumamenteimportante para la resolución de problemas, para ellotenemos que traducir un problema dado en un lenguajeconvencional, al lenguaje matemático con ayuda desímbolos, variables o incógnitas.

A continuación, resolveremos a modo de ejercicio latraducción de ciertos enunciados dados en forma verbal asu forma simbólica matemática.

Resolución:

Estos 2 grupos tienen la misma fuerza (para I).Este joven marca la diferencia.

EL ARTE DE PLANTEAR UNA ECUACIÓN

03. Veamos el siguiente caso:

¿Cuántas canicas tienen Carlos y Pedro?

Según Carlos, si Pedro le entrega 5 canicas quedaríanigualados; entonces deducimos que Pedro tiene máscanicas que Carlos, exactamente 10 canicas más.Así:

Según Pedro; si Carlos te da 10 canicas, dice quetendría el triple de las que le queden a Carlos.

a + 20 = 3(a - 10)Resolviendo: a = 25

Nº canicas de Carlos: 25Nº canicas de Pedro: 35

Resolución:

Dame 5 de tus canicasy tendremos tanto el

uno como el otro.

Mejor dame 10 de lastuyas y tendré el triplede las que te queden.

Carlos Pedro

Carlos

a + 10

Carlos

a + 10

a - 10 a + 20

04. En una fiesta, la relación de mujeres y hombres es de3 a 4. En un momento dado se retiran 6 damas y llegan3 hombres con lo que la relación es ahora de 3 a 5.Indicar cuántas mujeres deben llegar para que larelación sea de 1 a 1.

Luego: n = 13

Entonces, ahora hay 33 mujeres y 55 hombres.Digamos que deben llegar “x” mujeres para que larelación sea de 1 a 1.Cuando dos cantidades están en relación de 1 a 1significa que deben ser iguales.

33 + x = 55x = 22

Deben llegar 22 mujeres.

Resolución:

Mujeres Hombres

Antes :

Ahora :

3n - 6 3n + 3

3n 6 3

4n 3 5

01. La suma de cinco números impares consecutivos esigual a 645. Hallar el producto del menor por el mayor.Dar como respuesta la suma de las cifras.a) 24 b) 23 c) 22d) 21 e) 20

02. Una persona tiene S/. 160 y otra S/. 50, después quecada una de ellas gastó la misma cantidad de dinero, a laprimera le queda el quíntuplo de lo que le queda a lasegunda. ¿Cuánto le queda en conjunto a ambaspersonas?a) 180 b) 190 c) 200d) 210 e) 220

03. Si subo de 3 en 3 las escaleras, doy 8 pasos más quesubiendo de 5 en 5. ¿Cuántos escalones tiene laescalera?a) 52 b) 54 c) 58d) 60 e) 65

04. En una reunión el número de damas excede en 10 al devarones, además, si se retiran la quinta parte de damas yla tercera parte de los varones, quedan 52 personas.¿Cuántas damas habían inicialmente?a) 30 b) 35 c) 40d) 50 e) 60

05. Al comprar libros de dos tipos, un comerciante gastóS/. 3460. Por cada libro de R.M. pagó S/. 85 y por cadalibro de R.V. pagó S/. 75. Si compró 12 libros más deR.V., respecto de la cantidad de libros de R.M.¿Cuántos libros de cada tipo compró?a) 16 y 28 b) 14 y 26 c) 15 y 27d) 17 y 29 e) 13 y 25

06. El producto de dos números es 84, si al multiplicandose le aumenta 4 unidades, entonces el nuevo productoes 112. Hallar el multiplicador.a) 5 b) 7 c) 9d) 12 e) 16

07. En una granja se tiene cerdos, patos y gallinas. Sincontar los cerdos tenemos 9 animales, sin contar lospatos se tendrá 12 animales y sin contar las gallinastenemos 15 animales. ¿Cuántos cerdos hay?a) 3 b) 6 c) 9d) 10 e) 12

08. Luisito recibió 9 soles y tuvo entonces 4 veces lo quehubiera tenido si hubiera perdido 3 soles. ¿Cuánto tieneahora?a) 7 b) 8 c) 16d) 17 e) 20

09. A los habitantes de un pueblo le corresponde 90 litrosde agua diarios, al aumentar la población en54 habitantes, a cada uno le corresponde 10 litrosmenos. ¿Cuántos habitantes tiene ahora el pueblo?a) 180 b) 190 c) 189d) 179 e) 169

10. Gasté 2/5 de los que no gasté, de lo que no gasté pagué3/7 de lo que no pagué. Si aún tengo S/. 280. ¿Cuántotenía inicialmente?a) 480 b) 500 c) 520d) 540 e) 560

11. Hallar un número cuyo quíntuplo excede a suquinta parte en una cantidad igual a nueve veces latercera parte del número aumentado en 330 unidades.a) 440 b) 550 c) 660d) 220 e) 330

12. He gastado los 4/7 de mi dinero, si hubiera gastadoS/. 52 más me quedaría los 2/9 de lo que teníainicialmente, ¿cuánto dinero tenía inicialmente?a) 249 b) 250 c) 251d) 252 e) 253

13. Un granjero tiene aves y reses, todos estos animalesjuntos tienen 60 cabezas y 164 patas. ¿Cuántas avestiene el granjero?a) 76 b) 78 c) 86d) 88 e) 92

14. La diferencia de dos números es 21, si al mayor se ledivide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo elmayor posible. Hallar los números.a) 12 y 33 b) 15 y 42 c) 11 y 32d) 10 y 29 e) 30 y 42

15. Si vendo mis libros en S/. 13 cada uno, perdería S/. 89;pero si los vendo a S/. 24 cada uno, ganaría S/. 43.¿Cuántos libros tengo para vender?a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

16. Elena pagó por 2 pollos y 5 pavos un total de 495 soles.Si cada pavo cuesta 15 soles más que un pollo.¿Cuántos soles cuesta un pollo y un pavo juntos?a) 160 b) 165 c) 170d) 175 e) 185

17. En un banquete habían sentados 8 invitados en cadamesa, luego se trajeron 4 mesas más y entonces sesentaron 6 invitados en cada mesa. ¿Cuántos invitadoshabían?a) 12 b) 14 c) 90d) 93 e) 96

18. Si se forman filas de 8 niños sobran 4 pero faltarían8 niños para formar 4 filas más de 6 niños. ¿Cuántosniños son?a) 48 b) 50 c) 52d) 56 e) 58

19. En un corral se observan 3 gallinas por cada 5 patos y6 conejos por cada 7 patos. Si en total se cuentan430 cabezas. ¿Cuál es el número total de patas?a) 1100 b) 1160 c) 1200d) 1260 e) 1300

20. El exceso de 5 veces un número sobre 300 equivale alexceso de 400 sobre el doble de dicho número. Calcularel exceso de 150 sobre el número.a) 50 b) 100 c) 150d) 200 e) 250

01. A una reunión asistieron 312 personas entre hombres,mujeres y niños. Si el número de hombres es el doble demujeres y el de mujeres es el cuádruple que el de losniños. ¿Cuántas mujeres hay en la reunión?a) 96 b) 94 c) 92d) 90 e) 88

02. Un número par menos cuatro veces su par antecesor es-226. ¿Cuál es el número?a) 72 b) 74 c) 76d) 78 e) 79

03. La quinta parte de la diferencia entre un número y 15 es36. ¿Cuál es el número?a) 175 b) 180 c) 185d) 195 e) 200

04. La suma de cuatro números enteros es -41. Si elprimero es 36 unidades mayor que el segundo, 38unidades más que el tercero y 35 unidades más que elcuarto. ¿Cuál es el menor de ellos?a) -16 b) -18 c) -21d) -25 e) -27