07 Integral Lipat Tiga

Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom

[MA1124] KALKULUS II

Integral Integral LipatLipat TigaTiga

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

2

Integral Integral LipatLipat TigaTiga padapada BalokBalok

xy

z

∆xk

∆yk

1. Partisi balok B menjadi n bagian;B1, B2, …, Bk, …, Bn

Definisikan ||∆|| = diagonal ruang terpanjang dari Bk

2. Ambil3. Bentuk jumlah Riemann

4. Jika ||∆|| 0 diperoleh limit jumlah Riemann

Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis

)z,y,x( kkk

B

Bk ∆zk

kkkk B)z,y,x( ∈

k

n

1kkkk0

V)z,y,x(flim ∆∑=

→∆

∑=

∆n

1kkkkk V)z,y,x(f

k

n

1kkkk0

B

V)z,y,x(flimdV)z,y,x(f ∆= ∑∫∫∫=

→∆


3

Integral Integral LipatLipat TigaTiga padapada BalokBalok (2)(2)

∆vk = ∆xk ∆yk ∆zk dV = dx dy dzSehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

∫∫∫∫∫∫ =BB

dzdydx)z,y,x(fdV)z,y,x(f


4

ContohContoh

∫∫∫B

dVyzx2Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran

B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2}

Jawab.

∫∫∫B

dVyzx2 dzdydxyzx∫ ∫ ∫=2

1

1

0

2

1

2

dzdyxyz∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

1

1

0

2

1

3

31

dzyz∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

1

1

0

2

21

37

2

1

2

21

67

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= z

47

=


5

Integral Integral LipatLipat TigaTiga padapada DaerahDaerahSembarangSembarang

Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

xy

z

B

S

∫∫∫S

2 dVyzxHitung , Jika S benda padat sembarang

(gb. 1)


6

Integral Integral LipatLipat TigaTiga padapada DaerahDaerahSembarangSembarang (2)(2)

Jika S dipandang sebagaihimpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=ψ1(x,y) danz=ψ2(x,y), dan proyeksi S padabidang XOY dipandang sebagaidaerah jenis I) maka:

Catatan:Jika f(x,y,z) = 1, makamenyatakan volume bendapejal S

∫ ∫ ∫∫∫∫ =b

a

x

x

yx

yxS

dxdydzzyxfdVzyxf)(

)(

),(

),(

2

1

2

1

),,(),,(φ

φ

ψ

ψ

∫∫∫S

dVzyxf ),,(x

y

z

S

Sxyb

a

y=φ2(x)y=φ1(x)

z=ψ2(x,y)

z=ψ1(x,y)

(gb. 2)


7

ContohContoh

∫∫∫S

dVzyxf ),,(Hitung dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda

padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 danbidang-bidang z = 0, y=x, y=0

y=0

y=xz=2–½ x2

x

z

Sxy2

0

Jawab.

Dari gambar terlihat bahwa

S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x0≤z≤ 2 – ½x2}

y

Sxy = proyeksi S pada XOY(segitiga)

Sehingga,

∫∫∫S

dVxyz2 ∫ ∫ ∫−

=2

0 0

21

2

0

2

2x

x

dxdydzxyz

∫ ∫−

=2

0 0

21

2

0

22x

xdxdyzxy


8

ContohContoh ((lanjutanlanjutan))

∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2

0 0

22

21

2x

dxdyxxy

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

2

0 0

242

21

41

24 dxyxxxx

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

2

0

753

81

2 dxxxx

2

0

864

641

61

21

xxx +−=

34

4332

8 =+−=


9

LatihanLatihan

∫∫∫S

dVz1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang

dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabungx2 + z2 = 1.

2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasitabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dantuliskan dan hitung integral lipatnya.

3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0.b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0.c. x2 = y, z2 =y, y = 1,x = 0.d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.

∫ ∫ ∫π

++2/

0

z

0

y

0

dxdydz)zyxsin(4. Hitung


10

Integral Integral LipatLipat TigaTiga ((KoordinatKoordinat TabungTabungdandan Bola)Bola)

θ r

z

P(r,θ,z)

xy

z

θ r

z

P(ρ,θ,φ)

xy

z

φρ

Syarat & hubungan dg Kartesiusr ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π

x = r cos θy = r sin θz = zr2 = x2 + y2

Syarat & hubungan dg Kartesiusρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ πx = r cos θr = ρ sin φy = r sin θr = ρ sin φz = ρ cos φx2 + y2 + z2 = ρ2

} x = ρ cos θ sin φ

} y = ρ sin θ sin φ

Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat TabungJika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola

Koordinat Tabung Koordinat Bola


11

ContohContoh1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh

tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4z

Jawab.

x

yrθ2

2

4

D dalam koordinat:

a. Cartesius:D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ ,

0≤z≤4}

24 x−

b. Tabung:D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤θ≤ π/2,

0≤z≤4}

0

x2+y2=4


12

ContohContoh2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.

Jawab.z

D dalam koordinat:

x

yrθ2

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ }

a. Cartesius:24 x−

b. bola:D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2,

0≤θ ≤ π/2}

2

2

ρ

224 yx −−0

224 yxz −−=


13

PenggantianPenggantian PeubahPeubah dalamdalam Integral Integral LipatLipat TigaTiga

Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w)maka:

dimana

∫∫∫∫∫∫ =DD

dwdvdu)w,v,u(J))w,v,u(p),w,v,u(n),w,v,u(m(fdzdydx)z,y,x(f

wz

vz

uz

wy

vy

uy

wx

vx

ux

)w,v,u(J

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

Jacobian


14

KoordinatKoordinat KartesiusKartesius TabungTabungx = r cos θy = r sin θz = z

Matriks Jacobiannya:

rsinrcosr1000cosrsin0sinrcos

zzz

rz

zyy

ry

zxx

rx

)w,v,u(J 22 =θ+θ=θθθ−θ

=

∂∂

θ∂∂

∂∂

∂∂

θ∂∂

∂∂

∂∂

θ∂∂

∂∂

=

∫∫∫∫∫∫ θθθ=DD

dzddrr)z,sinr,cosr(fdzdydx)z,y,x(f


15

KoordinatKoordinat KartesiusKartesius BolaBolax = ρ cos θ sin φy = ρ sin θ sin φz = ρ cos φMatriks Jacobiannya:

φρ−=φ

θφρθφρθφθφρθφρ−θφ

=

φ∂∂

θ∂∂

ρ∂∂

φ∂∂

θ∂∂

ρ∂∂

φ∂∂

θ∂∂

ρ∂∂

= sin10cos

sincoscossinsinsincoscossinsincossin

zzz

yyy

xxx

)w,v,u(J 2

∫∫∫∫∫∫ φθρφρφρθφρθφρ=D

2

D

dddsin)cos,sinsin,cossin(fdzdydx)z,y,x(f


16

ContohContoh ((TabungTabung))

1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloidz = x2 + y2 dan z = 4.

Jawab.Z

x

y

z = 4

S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ , x2 + y2 ≤ z ≤ 4}

Daerah S dalam Koordinat Cartesiusadalah:

24 x−24 x−−

Dalam koordinat tabung:S={(r,θ,z)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π , r2 ≤ z ≤ 4}

Sxy

Sehingga, volume benda pejalnya adalah

∫ ∫ ∫=2

0

2

0

4

2

π

θr

drddzr∫∫∫=S

dVV 1


17

ContohContoh ((LanjutanLanjutan))

∫ ∫ ∫=2

0

2

0

4

2

π

θr

drddzrV

∫ ∫=2

0

2

0

42

π

θ drdzrr

( )∫ −=2

0

2

024 drrr

πθ

0

242

41

22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= rrπ π8=

Jadi volume benda pejalnya adalah 8π


18

ContohContoh (bola)(bola)

2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I

Jawab.z

x

yθ2

2

2

ρ0

224 yxz −−= D dalam koordinat:

a. Cartesius:D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ ,

0≤z≤ }

24 x−

b. Bola:D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2,

0≤θ ≤ π/2}

224 yx −−

Sehingga, volume benda pejalnya adalah

∫ ∫ ∫=2/

0

2/

0

2

0

2 sinπ π

θφρφρ ddd∫∫∫=S

dVV 1


19

ContohContoh ((LanjutanLanjutan))

∫ ∫ ∫=2/

0

2/

0

2

0

2 sinπ π

θφρφρ dddV

∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2/

0

2/

0

2

0

3

31sin

π π

θφρφ dd

( )∫ −=2/

0

2/

0cos

38π π

θφ d

( ) 2/

038 πθ= π

34

=

Jadi volume benda pejalnya adalah 4π/3


20

LatihanLatihan

∫∫∫D

2 dVx1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi

z =9 – x2 – y2 dan bidang xy. 2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi

bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4. 3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z. 4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid

z = x2 + y2 dan bidang z =4.

5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola

x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secaramenyamping oleh tabung x2+y2=4.


21

LatihanLatihan LanjutanLanjutan

6. Hitung volume benda pejal, daerah yang dibatasi oleh bola

x2+ y2+ z2 = 9, dan berada dalam kerucut 22 yxz +=

( )∫ ∫ ∫−

−

−−

−−

−−−

++3

3

9

9

9

9

2/32222

2

22

22

x

x

yx

yx

dxdydzzyx7. Hitung

∫ ∫ ∫−

+3

0

9

0

2

0

22

2x

dxdydzyx8. Hitung

∫ ∫ ∫− −−

−−2

0

4

0

4

0

222 22

4x yx

dxdydzyxz9. Hitung

07 Integral Lipat Tiga

Documents

Transcript of 07 Integral Lipat Tiga