Gerberovi nosaci (2)

K. F. & V. S.

4. Superpozicijski postupak

Zamislit cemo na trenutak da je umjesto Gerberova nosaca sa slike 12.a. nad istim otvo-

rima zadan sistem prikazan na gornjem crtezu slike b., sastavljen od jednostavno oslonjene

grede AB i grede s prepustom BDE, sa zajednickim lezajem B. Razmjestaj opterecenja na

oba je sistema jednak.

Na donjem je dijelu slike b. prikazan dijagram momenata savijanja M0 za zadano

opterecenje na zamisljenome zamjenjujucem sistemu. Ocito je da to nije i ne moze biti di-

jagram na izvornom Gerberovu nosacuna mjestu njegova zgloba C vrijednost momenta

nije jednaka nuli. Druga je, mozda manje uocljiva, ali jednako vazna razlika nepostoja-

nje momenta savijanja nad srednjim lezajem. Pokusat cemododavanjem tog momenta

zamisljeni sistem dovesti u mehanicko stanje u kojemu je Gerberov nosac.

Kako je na zamisljenom sistemu nad lezajem B zglob, dodati moramo, kao vanjsko

djelovanje, par koncentriranih momenata MB jednakih intenziteta, jedan moment para

neposredno lijevo, a drugi, suprotnoga smisla vrtnje, neposredno desno od zgloba (gornji

crtez na slici 12.d.). Problem je, medutim, u tome sto nam vrijednost MB tih momenata

nije (barem naizgled) poznata prije nego sto rijesimo izvorni Gerberov nosac. Na srednjem

su dijelu slike d. skicirana tri momentna dijagrama za tri razlicite vrijednosti MB; samo je

dijagram nacrtan crnom linijomonaj pravi, trazeni: jedino njegov srednji segment sijece

os u tocki koja odgovara zglobu Gerberova nosaca.

Buduci da je vrijednost Mpxq momenta savijanja u svakom presjeku x jednaka zbroju

vrijednosti M0pxq momenta izazvanoga djelovanjem zadanoga opterecenja (u nasem pri-

mjeru sile F ) i vrijednosti MBpxq momenta zbog djelovanja dodanoga para momenata MB,

ta se dva utjecaja na mjestu zgloba C moraju ponistiti:

M0pxCq MBpxCq 0 ili, sazetije zapisano, M

0C M

B

C 0.

Odmah slijedi:

MBC M0C.

Ta nam jednakost daje jednostavan postupak grafickoga nalazenja trazene vrijednosti MB.

Znamo [znamo li?] da ce, djeluju li na nas zamisljeni nosac samo momenti MB, momentni

dijagram biti sastavljen od dijelova pravaca (slika 12.c.). Za crtanje pravca nad poljem BD

poznavati treba dvije njegove tocke. Jedna od njih je tocka na osi koja odgovara lezaju D, jer

vrijednost momenta nad tim lezajem mora biti jednaka nuli [zasto?]. Za drugu cemo tocku

u dijagramuM0 na donjem crtezu slike b. ocitati vrijednostM0Ci nanijeti je, zbog promjene

23

A B C D E

F

1 2/4 2/4 2/2 3

a.

A B D E

F

b.

F2

4

M0CM

0

MBMB

c.

MB MBCM

B

FMBMB

d.

C

Slika 12.

predznaka, na suprotnu stranu osi kao MBC. Produljimo li spojnicu tih dviju tocaka nad

lezaj B, dobivamo i vrijednostMB. Tu vrijednost mozemo i izracunati primjenom slicnosti

trokuta:MB

2

MBC

3

42

MB 4

3MB

C

4

3M0

C.

24

Uz poznatu je vrijednost momenta nad lezajem lako dovrsiti dijagram MB odsjeckom

pravca nad poljem AB: nad lezajem A vrijednost je momenta savijanja jednaka nuli.

Konacni dijagram momenata savijanja za zajednicko djelovanje opterecenja zadanog

na izvornom nosacu i dodanoga para momenata mozemo nacrtati tako da na dijagramMB

objesimo odgovarajuce dijelove dijagrama M0: u nasem cemo primjeru u poloviste od-

sjecka dijagrama MB nad poljem BD iz dijagrama M0 prenijeti vrijednost F2{4 momenta

savijanjaispod sile F (vec spomenuti dijagram nacrtan crnom linijom na srednjem crtezu

slike 12.d.; kako u polju AB nema zadanoga opterecenja, pripadni se dio dijagrama MB ne

mijenja).

Cijelu je graficku konstrukciju momentnoga dijagrama na zamjenjujucem sistemu za

mehanicko stanje koje se podudara s mehanickim stanjem Gerberova nosaca, utemeljenu

na opisanim zamislima, najpogodnije provesti na jednom crtezu. Prvo cemo za zadano op-

terecenje na zamjenjujucem sistemu na uobicajeni nacin nacrtati dijagramM0 (slika 13.b.).

Dijagram MB pak zrcalimo u osi i crtamopreko dijagrama M0. Znamo da su MB

D 0 i

MBC M0

C, pa cemo odsjecak dijagrama MB nad poljem BD stoga provuci kroz tocku na

osi nad lezajem D i kroz tocku dijagrama M0 koja daje M0C

(tocke 1 i 2 na drugom crtezu

slike c.). Time dobivamo i vrijednost MB nad lezajem B, pa je spojnica s tockom na osi

nad lezajem A (jer je MBA 0) odsjecak nad poljem AB (treci crtez na slici c.).

Takvo crtanje omogucava neposredno graficko oduzimanje drugog dijagrama od prvoga:

preklopljene se povrsine izmedu osi i linija tih dijagrama medusobno ponistavaju, a linija

drugoga dijagrama postaje novom, doduse izlomljenom osi, sto znaci da se vrijednosti

razlike odmjeravaju od nje (najdonji crtez slike 13.c.). Posebno, buduci da na mjestu

zgloba C linija dijagrama sijece novu os, vrijednost je momenta savijanja u toj tocki jednaka

nuli.

Treba li, nova se os lako moze iizravnati (slika 13.d.).

Slican je Gerberov nosac, s nesto slozenijim opterecenjem, zadan na slici 14.a. Dija-

gram M0 za isti raspored opterecenja na zamisljenom zamjenjujucem sistemu, sastavljenu

ponovno od jednostavno oslonjene grede i grede s prepustom sa zajednickim srednjim

lezajem, prikazan je na slici b.; momenti savijanja postoje sada u oba polja i na prepustu.

Kao i u prethodnom primjeru, zelimo li zamjenjujuci sistem dovesti u mehanicko stanje u

kojemu je izvorni Gerberov nosac, od tog dijagrama moramo oduzeti dijagram momenata

savijanja zbog para momenata zasad nepoznate vrijednosti koji djeluju neposredno lijevo

i desno od zgloba nad lezajem B. Kako je dijagram MB sastavljen od odsjecaka pravaca,

njegovo crtanje mozemo i moramo zapoceti nad poljem u kojem su u dvije tocke pozna-

te konacne vrijednosti momenata. U lijevome je polju zasad poznata samo vrijednost u

lezaju A [kolika je?], ali znamo da na mjestu zgloba C vrijednost mora biti jednaka nuli i

da se nad lezajem D vrijednost F23 ne moze promijeniti [zasto?]. Stoga prvo crtamo od-

sjecak dijagrama MB nad poljem BDodsjecak oznacen sa 1 na donjem crtezu slike 14.c.

Taj odsjecak prolazi tockom na osi nad lezajem D, tako da tu konacna vrijednost osta-

je F23, i donjom tockom skoka u dijagramu M0 na mjestu tocke C; zadani koncentrirani

25

A B C D E

F

1 2/4 2/4 2/2 3

a.

A B D

F

b.

F2

4 M0

A B C D

F

c.

1

2

MB

MB

MF

MB

MFM

d.

Slika 13.

moment Mdesno, naime, na Gerberovu nosacu djeluje neposredno desno od zgloba C, pa ko-

nacni dijagram slijtieaccentlowercaseevaulazi u nulu. Odsjecak 1 daje vrijednost momenta nad lezajem B,

26

pa su sada i u polju AB poznate dvije vrijednosti, te mozemo nad tim poljem nacrtati

odsjecak 2.

A B

C

D

E

F1Mdesno

F2

21/3 1/3 2/3 22/3 3

a.

F1Mdesno

F2

b.

2

9F11

F23

2

3Mdesno

1

3Mdesno

M0

F1Mdesno

F2

c.

1

2

M1

F23

Mdesno

M

d.

Slika 14.

Odsjecci 2 i 1 i diostare osi nad prepustom cine izlomljenu os konacnoga dijagrama.

To je, ponovit cemo, dijagram momenata savijanja na zamisljenom zamjenjujucem sistemu

koji je u istom mehanickom stanju kao i izvorni Gerberov nosaca, pa, prema tome, i

27

dijagrama momenata na tom Gerberovu nosacu. (Dijagram, s osi svedenom na horizontalu,

prikazan je na slici 14.d.)

Do sada smo govorili o oduzimanju dijagrama MB od dijagrama M0, ali ponegdje se,

u stvari, ti dijagrami zbrajaju. Tako u nasem primjeru linije dijagrama M0 i MB izmedu

tocaka C i D leze s razlicitih strana osi, pa se, kao sto vidimo na slici 14.c., povrsine izmedu

osi i tih linija u osi nadovezuju i, stoga, zbrajaju.

Iz opisa postupka mozemo izvesti opce pravilo za graficko zbrajanje/oduzimanje dviju

funkcija: graf druge funkcije crta se s promijenjenim predznacima svih vrijednosti i pre-

tvara u novu os. Pritom se vrijednosti, koje se nadovezuju, pribrajaju, a preklopljene se

vrijednosti ponistavaju.

Buduci da zamjenjujuci sistem dovodimo u mehanicko stanje u kojemu je Gerberov

nosac zbrajanjem/oduzimanjem ili, u rjecniku statike, superponiranjem dvaju stanja

stanja pri djelovanju opterecenja prenesenih s Gerberova nosaca i stanja pri djelovanju

para momenata oko zgloba nad lezajempostupak nazivamo superpozicijskim postupkom.

Ako, kao u prethodnim primjerima, karakteristicne vrijednosti potrebne za crtanje di-

jagrama M0 izracunavamo, provedba je postupka grafoanalitickatek u drugom koraku

na crtezu nalazimo tocke kojima prolazi nova os. Na primjeru sa slike 15.a. prikazat cemo

cisto graficku provedbu postupka; razlika je, naravno, samo u prvome koraku.

Zamjenjujuci je sistem sada niz dviju jednostavno oslonjenih greda i grede s prepustom

(slika 15.b.). Na slici 15.d. smo linije momentnih dijagrama na pojedinim gredama, za

djelovanje sila s izvornoga nosaca, nacrtali kao verizne poligone, s pomocu poligona sila

sa slike c. Pritom smo distribuiranu silu zamijenili koncentriranim silama, pa je verizni

poligon na gredi s prepustom tangentni poligon verizne krivulje. (Uskoro cete saznati zasto

smo distribuiranu silu u polju podijelili na mjestu zgloba Gerberova nosaca.) Verizni se

poligoni u tockama koje odgovaraju zajednickim lezajevima susjednih greda nadovezuju

jedan na drugi. Kako bi mjerila vrijednosti momenata u sva tri dijagrama bila jednaka,

sva smo tri pola u poligonu sila stavili na jednake udaljenosti od pravca na koji smo nanizali

vektore sila.

Rekosmo malocaslinije momentnih dijagrama, a ne

momentne dijagrame buduci

da jos nismo ucrtali zakljucne linije, dijagrami nemaju osi, pa nisu dovrseni. Kad bi nas

zanimali dijagrami na gredama zamjenjujucega sistema samo za djelovanje koncentriranih

sila Pi i distribuirane sile q0, za prvu bi gredu zakljucna linija prosla tockama u kojima

vertikale kroz prvi i drugi lezaj sijeku stranice 0 i 2 prvoga veriznog poligona, za drugu

gredu tockama u kojima vertikale kroz drugi i treci lezaj sijeku stranice 3 i 4 drugog poli-

gona, a za polje izmedu lezajeva trece grede tockama u kojima vertikale kroz treci i cetvrti

lezaj sijeku stranice 5 i 8 treceg poligona, dok bi se za prepust poklapala sa stranicom 8.

Kako, medutim, trazimo mehanicko stanje Gerberova nosaca, zakljucne su linije, prema

pravilu za graficko zbrajanje/oduzimanje funkcija, linije momentnih dijagrama zbog djelo-

vanja dodanih parova uravnotezenih koncentriranih momenata oko zglobova nad drugim i

trecim lezajem i dodanoga koncentriranog momenta neposredno desno od zgloba u prvom

28

P1 P2 P3 q0

a.

P1 P2 P3 Q1 Q2 Q3

b.

P1

P2

P3

Q1

Q2

Q3

H

0

1

2

O1

3

4

O2

5

6

7

8

O3

c.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

d.

0

1

2

3

4

5

6 7

8

9

e.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f.

0

1

2

34

5

6

7

8

9

1011

g.

Slika 15.

29

lezaju (drugi moment para ovdje djeluje na podlogu), crtaneiza zrcala. Vrijednosti tih

koncentriranih momenata nisu nam poznate, ali znamo da njima izazvani momenti savi-janja moraju na mjestima zglobova Gerberova nosaca ponistiti momente savijanja zbogsila Pi i q0. To znaci da zakljucne linije moraju sijeci stranice veriznih poligona

ispod tihzglobova.

U prvom su polju Gerberova nosaca dva zgloba, pa u odgovarajucim presjecima za-mjenjujucega sistema momenti savijanja moraju isceznuti. Prema tome, u prvom su poljupoznate dvije tocke kojima prolazi zakljucna linija. Povlacenjem odsjecka zakljucne linijeizmedu prvoga i drugog lezaja, na slici 15.e. oznacenoga sa 9, dobivamo i vrijednosti mo-menata nad tim lezajevima, pa je poznata i vrijednost momenta na pocetku drugoga polja.To je, medutim, jedina poznata vrijednost u drugom poljuu njemu nema zglob(ov)a,a zasad ne znamo vrijednost momenta nad trecim lezajem. Drugo polje moramo, stoga,preskociti; mozda cemo vise srece imati u trecem polju. I zaista, Gerberov nosac u njemuima zglob, a kako preko cetvrtoga lezaja prelazi (optereceni) prepust, vrijednost je momen-ta savijanja nad tim lezajem poznata, iako nije jednaka nuli. Jedna tocka kojom prolazizakljucna linija za trece polje sjeciste je vertikale kroz cetvrti lezaj i stranice 8 verizno-ga poligona (koja je ujedno i zakljucna linija za prepust). Buduci da smo distribuiranusilu izmedu lezajeva razdvojili u dijelove, koje smo zamijenili koncentriranim silama Q1i Q2, u tocki koja odgovara zglobu Gerberova nosaca, diraliste verizne krivulje na stranicipoligona izmedu tih sila stranici 6bit ce upravo na vertikali kroz zglob; ta je tockanististe momentnog dijagrama u trecem polju i, stoga, druga poznata tocka kojom ce prociodsjecak 10 zakljucne linije (slika 15.f.). Taj odsjecak daje i vrijednost momenta savijanjanad trecim lezajem i, time, vrijednost na kraju drugoga polja, pa se sada mozemo

vratiti

i ucrtati odsjecak 11 zakljucne linije za to polje (slika g.).

Na kraju se, naravno, izlomljena zakljucna linija 911108 moze i izravnati. Vec smo uodjeljku o jednostavno oslonjenoj gredi pokazali da se

iskrivljenimomentni dijagram, koji

smo konstruirali kao verizni poligon, na horizontalnu os moze svesti na dva nacina. Prvije neposredno prenosenje odabranih vrijednosti u novi dijagram: po vertikalama izmjereneduljine odsjecaka izmedu vrhova veriznoga poligona i zakljucne linije (slika 16.c.) vrijednostisu momenata u karakteristicnim tockama (slika d.).

Druga je mogucnost odredivanje trazenih nagiba stranica veriznog poligona u poligonusila (slika 16.b.): uvedemo li nove polove O1, O2, O3 i, za prepust,

O3 na razinama sje-cista pravca na kojemu leze vektori zadanih sila sa zrakama 9, 11, 10 i 8, paralelnima sodsjeccima izlomljene zakljucne linije, novi ce verizni poligon, cije su stranice paralelne snovim zrakama, oznacenima sa 0, 1, 2, . . . , 7 i, na prepustu, 7, imati, ocito je, horizontalnuzakljucnu liniju. U veriznom poligonu/dijagramu momenata savijanja na slici d. ucrtanisu i dijelovi kvadratnih parabola u trecem polju i na prepustu.

Spomenuta sjecista zraka usporednih s odsjeccima zakljucne linije i pravca vektorazadanih sila daju i vektore reakcija Av, B, C i D (slika 16.b.).

Dijagram poprecnih sila prikazan na slici 16.e. mozemo na temelju diferencijalnog odno-sa T M 1

izvuci iz momentnoga dijagrama. Naime, dobro je znano da je geometrijsko

30

MA

Av B C D

P1 P2 P3 Q1 Q2 Q3a.

D

C

B

Av

8

11

10

O1

O2

O3

0

2

3

4

5

7

7

9

11

10

8

O1

O2

O3

O3

b.

0

1

2

34

5

6 7

8

9

1011

c.

5

67

7

M

d.

1

T dA

1

T dA

1

T dC

1

T dC

T dAT dC

+

+

+

+

T

e.

Slika 16.

znacenje derivacije funkcije u nekoj tocki nagib tangente na graf funkcije u toj tocki. Prema

tome, vrijednost poprecne sile bit ce jednaka prirastu tangente pri jedinicnom prirastu aps-

cise. Na slikama c. i d. na taj su nacin odredene poprecne sile neposredno desno od lezaja Ai neposredno desno od lezaja C. Priraste tangenata u momentnom dijagramu s nakosenim

odsjeccima osi treba, kao na slici c., ocitavati od pravaca usporednih s tim odsjeccima; jedi-

nicni se prirasti apscise, medutim, moraju izmjeriti po horizontali, jer su pojedini dijelovidijagrama s nakosenim odsjeccima osi

posmicno deformirane slike odgovarajucih dijelova

dijagrama s horizontalnom osi.

Ako je nosac nacrtan u mjerilu 1 cm :: nm i ako je u poligonu silaudaljenost polova

od pravca vektora sila H kN, mjerilo je momentnog dijagrama, konstruiranoga kao verizni

poligon, 1 cm :: nH kNm, dok je mjerilo na opisani nacin ocitanih vrijednosti poprecnih

sila 1 cm :: nH kN.

31