МОМЕНТИ НА РАМНИ

ПОВРШИНИ

Моменти на инерција

Статички момент

Отпорен момент

10.03.2015

Геометриски карактеристики на

рамни пресеци

Геометриски карактеристики на

рамни пресеци

• Површина: A (должина)

• Тежиште: Xc; Yc

• Моменти на инерција: J (должина4)

• Статички момент: S (должина3)

• Отпорен момент: W (должина3)

Статички момент

• Дефиниција – општ случај

• Статички момент во однос на тежишните оски

• Статички момент за парцијални површини

• Статички момент за елементарни пресеци:

• Правоаголен напречен пресек

• Квадратен напречен пресек

• Триаголен напречен пресек

• Кружен напречен пресек

Моменти на инерција на рамни

површини

• Поделба:

• Аксијални моменти на инерција, Jx, Jy

• Поларен момент на инерција, Jp

• Центрифугален момент на инерција, Jxy

моменти на инерција при

транслација на координатните оски

– ШТАЈНЕРОВА ТЕОРЕМА –

Промена на моментите на инерција

при ротација на координатниот систем

- главни оски

- главни моменти на инерција

- радиус на инерција

- елипса на инерција

Моменти на инерција на елементарни пресеци

Правоаголен

пресек

2/

2/

32/

2/

22

3

h

h

h

hA

xc

ybdyybydAJ

+

−

+

−

⋅=⋅=⋅= ∫∫

( ) ( )123

2

3

2 333hbh/h/

bJ xc⋅

=

−−=

∫ ⋅=A

xdAJyc 2

12

32/

2/

22 bhdxxhdxxhJyc

b

b

⋅=⋅=⋅⋅= ∫ ∫

−

)(121212

2233

hbhbbhhb

JJJ ycxcp +⋅

=⋅

+⋅

=+=

Моменти на инерција на елементарни пресеци

Квадратен пресек

1212

43 abhJ xc ==

1212

43 ahbJ yc ==

Моменти на инерција на елементарни пресеци

Кружен пресек

Моменти на инерција на елементарни пресеци

Полукружна површина

Моменти на инерција на елементарни пресеци

Четвртина круг

16

r

4

r

4

1Jx

4

1JyJx

44

C

ππππ====

ππππ⋅⋅⋅⋅============

2C eAJxJx ⋅⋅⋅⋅++++==== ππππ

========3

r4yce

ππππ−−−−

ππππ====

ππππ⋅⋅⋅⋅

ππππ−−−−

ππππ====⋅⋅⋅⋅−−−−====

9

r4

16

r)

3

r4(

4

r

16

reAJxJx

442

242

C

44CC r0548.0)

9

4

16(rJyJx ≅≅≅≅

ππππ−−−−

ππππ========

44CC r0165.0)

9

4

8

1(ryJx −−−−≅≅≅≅

ππππ−−−−====

Моменти на инерција на елементарни пресеци

Триаголна површина

12

bhdy)yh(

h

b yydAJx

3

A A

22 ====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫

36

bh

18

bh

12

bh)

3

h(

2

bh

12

hbeAJxJx

3332

32

C ====−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅

====⋅⋅⋅⋅−−−−====

Моменти на инерција на елементарни пресеци

Правоаголен триаголник

dy)yh(h2

b.ydy

2.ydy

2ydAxyJ 2

2

2

A A A A

2

xy −−−−====⋅⋅⋅⋅ξξξξ

====⋅⋅⋅⋅ξξξξξξξξ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫

)dyydyyh2dyyh(h2

bdy)yyh2h(y

h2

bJ

h

0

3

A

h

0

h

0

22

2

222

2

2

xy ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ++++−−−−⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅++++−−−−====

24

hbJ

22

xy ====

24

hbJ

22

xy ====

72

hb

18

hb

24

hb

2

bh)

3

b()

3

h(

24

hbJ

22222222

yx CC−−−−====−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====

Моменти на инерција на елементарни пресеци

Правоаголен триаголник

24

hbJ

22

xy ====

Моменти на инерција на сложени пресеци24

hbJ

22

xy ====

Jx= JxI + JxII + JxIII Jx= JxI - JxII - JxIII

Моменти на инерција на сложени пресеци24

hbJ

22

xy ====

Отпорен момент на рамна површина24

hbJ

22

xy ====

max

xx

y

JW ====

max

yy

x

JW ====

,

.

[[[[ ]]]]3

max

pp cm

JW

ρρρρ====

Отпорен момент на рамна површина24

hbJ

22

xy ====

- Отпорен момент на правоаголен пресек

- Отпорен момент на кружен пресек

- Отпорен момент на рамнокрак

триаголен пресек

- Отпорен момент на сложен пресек