Esta unidad sólo comprende los Anexos al ensayo. El resto se ofrece en distintas unidades de capítulos cada una.

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05 Determinismo y Teoría Cuántica. Apéndices Varios.

APÉNDICE AL CAPÍTULO I

CÓMO LLEGÓ MAX PLANCK A LA LEY DE LA RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO

Estos apuntes no van más allá de trazar un breve boceto ilustrativo cuya intencionalidad es ampliar algo más lo expuesto en el primer capítulo.

En primer lugar, veamos cómo se define el concepto de intensidad de la radiación K . El espectro de la radiación emitida por el cuerpo negro contiene una gama variadísima de frecuencias. Podemos considerar en el espectro un pequeño intervalo de frecuencias d que contendría todas las frecuencias entre y d:Como se sabe, en relación con el movimiento vibratorio se denomina frecuencia el número de oscilaciones realizadas en un segundo. En el caso del péndulo, una oscilación completa comprende cuatro etapas: a) desde el estado inicial de reposo hasta alcanzar la máxima altura en un extremo; b) vuelta a la posición inicial; c) pase ahora al extremo opuesto; d) retorno finalmente a la posición inicial. Todo el movimiento vibratorio es una serie periódica de estas cuatro etapas que forman una oscilación completa. El tiempo en segundos que dura la oscilación se llama período. Por definición, frecuencia y período matemáticamente son recíprocos el uno del otro. Se denomina longitud de onda la distancia entre dos crestas sucesivas contiguas; elongación es el desplazamiento de la onda en relación con la posición de equilibrio o reposo, llamándose amplitud la elongación máxima.Pasemos ahora a la definición de la intensidad de radiación K::

Consideremos la radiación emitida en un segundo, a uno de los lados de la superficie de un cuerpo [negro], por la unidad de área; descompongámosla espectralmente y separemos en el espectro un intervalo d, de tal modo que en él se encuentren todas las frecuencias comprendidas entre y d. Si E es la energía radiante emitida en estas condiciones (poder emisivo del cuerpo para la frecuencia ), se puede escribir:

E = 2 K d,

suponiendo, para simplificar la cuestión, que la superficie del cuerpo emite por igual en todas las direcciones, sin que la radiación resulte polarizada.La magnitud K , definida por la fórmula anterior, se denomina “intensidad de la radiación de frecuencia ”, emitida por el cuerpo en cuestión, según nos dice F. Reiche.

En términos menos técnicos y precisos, se podría definir la intensidad como el flujo medio de energía de radiación por unidad de tiempo y por unidad de área.

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Se puede decir que el fracaso de las leyes de Wien y de Rayleigh-Jeans marca el punto de partida de la Teoría Cuántica, del mismo modo que el reiterado fracaso en la detección del viento del éter, puesto de manifiesto obstinadamente en los repetidos experimentos de los estadounidenses Albert Michelson y Edward Morley, estuvo en el origen de la teoría de la Relatividad.

En un principio Max Planck se basó en la siguiente hipótesis:

Partiendo del principio de Kirchhoff según el cual en un espacio, mantenido a temperatura uniforme, basta la presencia de una substancia, emisora y absorbente cualquiera, para la obtención y conservación del estado correspondiente a la radiación negra, adoptó Max Planck, como modelo esquemático de dicha substancia, un sistema de osciladores electromagnéticos lineales e investigó las condiciones del equilibrio establecido entre dichos osciladores y la radiación. He aquí la manera de representarse dicho equilibrio: cada uno de los osciladores de Max Planck que pueden consistir, por ejemplo, en electrones ligados, capaces de oscilar alrededor de una posición de equilibrio posee una frecuencia propia “” y, a causa del poco amortiguamiento de las oscilaciones, no puede ser influido más que por las ondas cuyas frecuencias sean muy próximas a “”, siendo indiferente a todas las demás. El oscilador posee, por lo tanto, una propiedad selectiva análoga a la de los resonadores, pudiendo ser comparado a un diapasón que sólo entra en vibración cuando entre las ondas sonoras, que sobre él inciden, existe precisamente la correspondiente a la nota del diapasón (u otra muy próxima). Gracias a estos fenómenos de resonancia, se producen cambios de energía entre el oscilador y la radiación, puesto que, al actuar como resonador, absorbe energía radiante que emite luego al funcionar como oscilador. De este modo se llega a un equilibrio dinámico entre los osciladores y la radiación de frecuencia . (F. Reiche)

Fue éste un primer intento fallido. En él, Max Planck establecía la relación entre la intensidad de la radiación y la energía media del oscilador, basándose en las leyes de la electrodinámica clásica, mientras que apelaba al segundo principio de la termodinámica para expresar el valor de la energía en función de la frecuencia y de la temperatura, lo que le llevó directamente a la ley de la radiación de Wien. Las pruebas experimentales siguieron confirmando las desviaciones sistemáticas de esta ley en el dominio de las grandes longitudes de onda. Fue entonces cuando Max Planck, inaccesible al desaliento, concibió la idea de la cuantificación de la energía e hizo uso de la relación entre probabilidad y entropía, en línea con el pensamiento de Ludwig Boltzmann al respecto:

Al comunicar al oscilador la totalidad de la energía disponible, supuso que ésta se hallaba compuesta de un número discreto de elementos de energía (quanta de energía) de valor ., los cuales se distribuían al azar entre los diferentes osciladores, lo mismo que cierto número de esferas –por ejemplo, 5– se reparten entre cierto número de cavidades por ejemplo 3. Ahora bien, cada “distribución” (5 esferas en 3 cavidades), puede realizarse de muchas maneras diferentes, debiendo, además, tenerse en cuenta, que no interesa “individualizar” las esferas situadas en cada cavidad, sino únicamente saber su “número”. Cada una de estas “distribuciones” corresponde a un estado determinado del sistema y, por lo tanto, resulta que cada estado puede obtenerse de diferentes maneras y poseerá cierto número de posibilidades de realización. Planck designa este número con el nombre de probabilidad (termodinámica) W del estado correspondiente. Es evidente, en efecto, que la probabilidad de un estado será tanto

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mayor cuanto más grande sea el número de maneras de ser realizado. Aplicando las fórmulas ordinarias del cálculo combinatorio, se puede deducir la probabilidad W de una cierta distribución de los elementos de energía entre los osciladores, es decir, la probabilidad de un estado energético determinado de dichos osciladores, en función de la energía media U de cada uno y de la magnitud del quantum de energía. Ahora bien, L. Boltzmann había enunciado una ley de extraordinaria fecundidad que relacionaba la probabilidad W del estado de un sistema con una magnitud llamada “entropía” S, que representa, como es sabido, en el segundo principio de Termodinámica, un papel semejante al de la energía en el primer principio.

Texto de la obra Teoría de los Quanta de F. Reiche, traducción del profesor D. Julio Palacios.

Max Planck calculó la entropía “S” en función de la “energía media “U” y del quantum de energía “” y, aplicando el segundo principio de la termodinámica, consiguió eliminar la entropía “S” y expresar la “energía media U” en función de la temperatura “T” y del quantum de energía “”. Esto le allanaba el camino hacia la fórmula final. El punto capital, como ya sabemos, fue la cuantificación de la energía:

Es un punto fundamental de la teoría de Planck el que, si se quiere ponerla de acuerdo con la ley del corrimiento de Wien, es necesario admitir que el elemento de energía vale:

= h.

La constante h, que a causa de sus dimensiones (energía x tiempo) se denomina quantum de acción de Planck, representa, según veremos, un papel importantísimo en el desenvolvimiento de la teoría de los quanta.

De la citada obra de F. Reiche, traducción de D. Julio Palacios.

Así es como Max Planck logró establecer una fórmula empírica que se ajustaba correctamente a los datos experimentales, cuya confirmación llevaron a cabo los físicos Kurlbaum y Rubens. La fórmula obtenida resultó ser una feliz conjunción de las dos anteriores en el sentido de que ciertos factores de la misma resultan predominantes en el dominio de las altas frecuencias, mientras que otros factores, contenidos en la fórmula, son determinantes en el dominio de las bajas frecuencias. De este modo, las leyes de Wien y Rayleigh quedaron subsumidas, como casos límite, en la ley de Max Planck.En cuanto a la constante “h”, denominada constante de Planck en su honor, nos dice su descubridor:

Como elemento de energía surgió en la demostración matemática: = a’ v. La constante a’, que es independiente de la naturaleza de los osciladores, la designé con la letra “h” y la llamé “quantum de energía elemental” (= das elementare Wirkungsquantum) o elemento de acción, por poseer la dimensión del producto de energía por tiempo, en contraposición al elemento de energía “hv”.

De la obra ya citada Vorträge und Erinnerungen, de Max Planck.

La mencionada fórmula suele escribirse así:

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W = h v

en la que:

W = Energía,h = Constante de Planck,v = frecuencia o número de oscilaciones por segundo.

Llegados ya a esta altura del camino, conviene hacer dos observaciones. La primera, relativa a la termodinámica. En esta rama de la física, donde la estadística es esencial, y esto no lo debemos olvidar encontró su cuna la Teoría Cuántica. En segundo lugar, los elementos de energía no son todos iguales. Si bien la magnitud “h” es una constante, la frecuencia “” es variable. Los verdaderos elementos iguales, o átomos, se refieren a la magnitud denominada “acción”. Toda energía sería un múltiplo de elementos iguales de acción. Dicho de otro modo, la magnitud “h” es la constante de proporcionalidad entre la energía y la frecuencia.

He aquí, amable lector, la fórmula de Max Planck en función de la frecuencia y temperatura T:

h3 1

= . c2 eh/kT –1

representa la intensidad de la radiación de frecuencia emitida por el cuerpo en cuestión; el elemento de energía, expresado por el producto h, aparece dos veces; en primer lugar, en el segundo factor, concretamente en el numerador del exponente al que está elevado el número “e”, base de los logaritmos naturales y, en segundo lugar, en el primer factor, que podemos descomponer en dos: (h) . (/c)2. Este último expresa la inversa de la longitud de onda en función de la frecuencia y velocidad “c” de la luz, según la fórmula: = c/, o bien, 1/.= /c. El denominador del exponente, al que está elevado el número “e”, es el producto de la constante k y T. Esta última simboliza la temperatura, siendo k = R/N, esto es, el cociente entre la constante absoluta de los gases “R” (que interviene en la ecuación de los gases perfectos) y el número de Avogadro “N”, es decir, el número de moléculas contenidas en una molécula gramo.

Veamos ahora cómo la fórmula de Planck se transforma en las de Wien y Rayleigh en los casos límite mencionados:

Para las pequeñas longitudes de onda, es decir, para grandes frecuencias, más exactamente, para grandes valores de h/kT, la fórmula de Planck se convierte en:

h3

= e -h/kT c2

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y, por lo tanto, está de acuerdo con la experiencia y con la ley de Wien. En el otro extremo, es decir, para grandes longitudes de onda o valores pequeños de la frecuencia, mas exactamente, cuando h/kT es pequeño, la fórmula de Planck toma la forma: 2

= kT c2

que se deduce fácilmente desarrollando en serie la función exponencial eh/kT . Esta ley límite, comprobada por las medidas en el dominio de las grandes longitudes de onda, había sido ya establecida por Lord Rayleigh. Resulta, pues, que la fórmula de Planck contiene, como casos límite, las leyes de Wien y de Rayleigh.

Tomado de Teoría de los Quanta de F. Reiche, según traducción del Dr. D. Julio Palacios.Véase la siguiente figura mostrando varias curvas de la función de Planck a diversas temperaturas.

GRÁFICAS DEL CUERPO NEGRO A DISTINTAS TEMPERATURAS

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1650º

1450º

1260º

1000º

En longitudes de onda

APÉNDICE AL CAPÍTULO III.

MODELO DEL ÁTOMO DE HIDRÓGENO

mv2/r -e

Ze2/r2 r

+Ze

CONDICIÓN DE ESTABILIDAD DE LA ÓRBITA DEL ELECTRÓN (Física clásica)

Fuerza de Coulomb = Fuerza centrípeta

(1/40)(Ze2/r2) = m(v2/r) = ma

L = mvr = n(h/2) = n h n = 1,2,3,…

CONDICIÓN CUÁNTICA DE LAS FRECUENCIAS

h = E1 - E2 = W

= ( E1 – E 2)/h

EL ÁTOMO DE BOHR EN CIFRAS.

Vimos anteriormente cómo Niels Bohr estableció la igualdad siguiente:

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Fe = Fc

e2/(40r2 ) = mv2/r (1)

y que a ella se añadía la condición cuántica de Bohr, relativa al momento angular del electrón en el estado estacionario, simbolizado por L, definido, como sabemos, por el producto de la masa del electrón por su velocidad y por el radio de la órbita que describe en torno al protón, y que debe ser igual a un múltiplo entero de h/2:

L = mvr = n( h/2) n = 1, 2, 3, … (2)

Manipulando algebraicamente las ecuaciones, esto es, haciendo substituciones y pasando términos de un miembro a otro en las ecuaciones (1) y (2), dedujo Niels Bohr la siguiente fórmula para los radios de las órbitas permitidas:

rn = [0 n2 h2 ] / [m e2 ] n = 1, 2, 3, … (3)

El símbolo n es el denominado número cuántico principal. Haciendo n = 1, se obtiene el radio de la órbita más pequeña. Insertando, pues, los valores de las diversas constantes en la fórmula (3), en unidades adecuadas, obtenemos:

r1 = [(6.626x10-34)2 (8.854x10-12)]/[(9.109x10-31)(1.602x10-19)2] = 5.29x10-11 m

Este número, expresado en metros, representa el primer radio de Bohr del átomo de hidrógeno, cifra comparable con medidas obtenidas por otros métodos. Hemos de recordar, no obstante, que los experimentos no avalan la existencia de órbitas bien definidas en el interior del átomo.

En cuanto a la energía del electrón planetario, Bohr tomó la suma de las energías cinética y potencial del mismo:

E = KE + PE

E = ½ mv2 – [e2 /(40 rn )]

que se transforma en:

E = (-me4 )/ [802 h2 n2 ] n = 1, 2, 3, … (4)

Insertando en esta última fórmula (4) los valores de las constantes, que ya conocemos, para n = 1 obtenemos el valor de:

E = - 13.6 Ev (electrón-voltio)

que representa la energía del estado más bajo, o energía del estado fundamental, del hidrógeno.

Así, pues, cuando el átomo de hidrógeno pasa del estado de energía n2 al estado n 1, la energía radiada viene dada por:

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h = E2 - E 1 = [-(me4 )/(802 h2 n2

2)] – [-(me4 )/(802 h2 n1

2] (5)

Substituyendo en (5) = c/ y pasando c y h al segundo miembro, obtenemos:

1/= [(me4 )/(802h3 c] [(1/n1

2 ) – (1/n2

2 )] (6)

que es la conocida ecuación de Rydberg, siendo el contenido del primer corchete la constante que lleva su nombre.

Las fórmulas y datos ofrecidos están tomados del texto de Física, titulado Contemporary College Physics, de los autores Jones/Childers.

La fórmula, tal como aparece, supone que la masa del protón es infinita en relación con la del electrón, lo que no es correcto. En realidad, ambas masas deben moverse alrededor de su centro común de masas. Precisa, pues, la siguiente corrección:

Rm = [M/(m + M)] R

Donde m representa la masa del electrón y M la del protón.

En 1914 los físicos experimentales, Franck y Hertz, comprobaron, mediante colisiones entre los átomos y los electrones libres, la existencia de niveles discretos de energía en los átomos, según predice la teoría de Bohr. Confirmaron, así mismo, la fórmula que relaciona la frecuencia de la radiación emitida con la diferencia de energía de los distintos estados entre los que tiene lugar el salto cuántico.

APÉNDICE AL CAPITULO V

CÓMO SURGEN LAS MATRICES EN LA MECÁNICA MATRICIAL DE HEISENBERG

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EL ASPECTO MATRICIAL DE LA MECÁNICA CUÁNTICA DE HEISENBERG. ILUSTRACIONES AL EFECTO DE SIR JAMES JEANS.

El aspecto matricial, en los textos expuestos en el capítulo correspondiente, ha quedado relegado a un segundo plano, y si bien hoy día hasta los estudiantes no universitarios conocen y manejan el cálculo matricial elemental, convendría visualizar cómo surgen las matrices en la mecánica cuántica y cómo se enlazan con las series de Fourier.

Sir James H. Jeans nos invita a hacer la siguiente comparación. Imaginemos que alguien se interesase por el movimiento de trenes, concretamente por el número de personas que viajan de una ciudad a otra, los kilómetros recorridos y el total recaudado. Para este estudio podría prescindir de observar las locomotoras, los vagones, las vías férreas y las ciudades por las que el tren pasa. Podría permitirse el lujo de considerar tales objetos como inobservables; bastaría con que se centrase en los billetes, donde constan las estaciones de salida y llegada, los precios y el kilometraje. Dispondría los datos en una tabla de dos entradas como ésta:

A B C D E

A 103 23 13 84 22B 23 207 72 28 43C 13 72 90D 84 28E 22 43

Una tabla de doble entrada proporciona el modo de tabular cantidades, cada una de las cuales está asociada con otras dos. En matemáticas se denomina matriz a semejante tabla, y las entradas 103, 23, 13 ... son los elementos de la matriz.La primera entrada, 103, en la tabla anterior, significaría que la oficina principal recibió 103 billetes de Aberdeen a Aberdeen; podemos interpretar éstos como billetes de ida y vuelta, comprados en Aberdeen y que terminan en Aberdeen. La entrada de 23, a la derecha de la anterior, significa que 23 personas viajaron de Aberdeen a Birminham, mientras que la entrada de 23, en la línea siguiente, significa que el mismo número de viajeros hizo el viaje inverso. Esto puede o no ajustarse a los hechos que suceden en los viajes por ferrocarril; pero sí concuerda con el problema original de la física, ya que éste se idealiza hasta que todas las condiciones se hacen lo más sencillas posibles; en especial se supone que el gas que emite fotones está estabilizado. Ello exige que esté en equilibrio con su propia radiación y, por lo tanto, que absorba tantos fotones de cada especie cuantos fotones emite, excepto un número insignificante que se escapan sin afectar a nuestros instrumentos. Así, tantos átomos pasan de un estado a otro, emitiendo fotones, como pasan en la dirección contraria, absorbiendo fotones. El resultado es que en la matriz, que especifica el número de fotones, los elementos correspondientes son iguales, y la matriz es simétrica en el sentido de que cada

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columna vertical contiene exactamente las mismas entradas que la correspondiente línea horizontal.Traducido de la obra New Background of Science (Nuevos Fundamentos de la Ciencia)

Ahora debemos saber qué información contienen nuestros billetes cuánticos, esto es, los fotones emitidos por la radiación. Dado que los fotones son ondas, o en determinadas circunstancias pueden considerarse como tales, contienen información sobre la intensidad o amplitud, frecuencias y fases de las oscilaciones. En matemáticas las oscilaciones monocromáticas, esto es, de un sólo color o tono, se denominan harmónicos simples. Su fórmula matemática más simple es:

y = A sen (2t + ), o bien, y = A cos(2t + ),

donde el coeficiente A es la intensidad o amplitud de la oscilación; es la frecuencia; t, el tiempo; , la fase, que es un espacio angular adicional y constante; el término 2, la velocidad angular, y el término completo 2t, el espacio angular expresado en giros o revoluciones.

Haciendo uso del conocido teorema de Demoivre, que expresa cierta equivalencia entre la forma exponencial y trigonométrica,

e i = cos + i sen ,

y tras otros pequeños retoques, venimos a parar al siguiente símbolo como representación de la información contenida en cada billete cuántico, o fotón.

Ce2it

Las oscilaciones están ahora representadas en forma exponencial, siendo e la base de los logaritmos naturales e i un numero especial, denominado imaginario, esto es, la raíz cuadrada de -1, un concepto matemático muy útil. El término 2t es el ángulo, o espacio angular, que substituye al ángulo definido ahora como el producto de la velocidad angular por el tiempo t.Con esta información previa, veamos cómo Sir James H. Jeans concluye el texto antes iniciado:

Teniendo en cuenta lo expuesto, el conjunto de nuestro conocimiento observable, relativo al raudal de luz recibido de una masa de hidrógeno, por ejemplo, puede ser presentado en una sola matriz de la forma siguiente:

Caae 2i (a-a) t Cbae 2i (b-a) t

Cabe 2i (a-b) t Cbb 2i (b-b) t

Cace 2i (a-c) t Etc.

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en la que la frecuencia, ha sido reemplazada por su conocido valor: a - b , etc., siendo a , b, las frecuencias fundamentales de Ritz. No conocemos por separado los valores de las frecuencias, sino sólo sus diferencias, que son las únicas que concurren en la matriz.

El desarrollo completo, no mucho más extenso que este boceto, lo puede encontrar el amable lector en el ensayo de divulgación de Jeans titulado, New Background of Science (Nuevos Fundamentos de la Ciencia), de donde lo he tomado.

APÉNDICE AL CAPÍTULO VI

LA ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER

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FÓRMULA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ERWIN SCHRÖDINGER. REFRESCANDO, EN LA MEDIDA DE LO POSIBLE, LAS MATEMÁTICAS DE NIVEL MEDIO.

La intención, al ofrecer estas notas elementales de matemáticas, es, simplemente, ayudar a recordar nociones previamente estudiadas, pero casi olvidadas, por tratarse de conceptos y técnicas de las que no nos servimos habitualmente en nuestros quehaceres diarios, incluso profesionales, exceptuando, claro está, un sector muy concreto de los posibles lectores de este ensayo, suficientemente preparados, y que leerán, no sin cierta sonrisa, estos someros apuntes con sus innecesariamente pormenorizados desarrollos.

Vamos ahora a analizar una de las famosas ecuaciones diferenciales de Schrödinger, la llamada ecuación diferencial independiente del tiempo, porque en ella sólo figura la variable de posición x en tres dimensiones y no la variable de tiempo, t.

Una ecuación diferencial relaciona una función desconocida, y = f(x), con su derivada, dy/dx = f’(x); es una ecuación que contiene “y”, dy/dx y además, posiblemente, la variable independiente “x”. Más en general, una ecuación diferencial puede contener la segunda derivada d2y/dx2 = f’’(x) e incluso derivadas de orden superior. En cualquier caso, el problema consiste en encontrar una función, y = f(x), que satisfaga a la ecuación diferencial dada. (R. Courant/H. Robbins: ¿Qué es la Matemática).

Resolver, pues, una ecuación diferencial consiste en hallar una función normal denominada primitiva, o toda una clase de funciones, por medio del proceso de integración, en la cual las derivadas, o cocientes diferenciales, hayan desaparecido.Pongamos un ejemplo sencillo, tomado de la cinemática. Sabemos que la velocidad es la derivada de la distancia recorrida con relación al intervalo de tiempo empleado:

ds/dt = v ,

y que la aceleración es la derivada de la velocidad con relación al intervalo de tiempo:

dv/dt = g,

siendo “g” la constante de aceleración, de lo que se deduce que la aceleración es la derivada segunda de la distancia con relación al intervalo de tiempo:

d2s/dt2 = g ; (a)

En nuestros años jóvenes nos enseñaron cómo llegar, mediante dos integraciones sucesivas de polinomios, a la ecuación del movimiento de Newton. En varias etapas tendríamos:

S = g.dt2

V = g.dt = gt + C1

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S = (gt + C1)dt

S = 1/2gt2 + C1t + C2 ; (e)

Donde C1 y C2 son las llamadas constantes de integración; representan, respectivamente, la velocidad y la posición iniciales del móvil. Así, pues, resolver una ecuación diferencial no consiste en encontrar uno o más números, como hacíamos de jóvenes en la resolución de las ecuaciones de polinomios de segundo grado, sino en encontrar una ecuación, carente de derivadas. El método empleado es la aplicación de las oportunas integraciones, como ocurre en el caso anterior que es el más simple y conocido que he podido encontrar. Alternativamente, podríamos haber imaginado una ecuación como la (e) y, si diferenciada dos veces, nos devuelve a la ecuación diferencial (a), decimos que tal ecuación (e) es solución de la ecuación diferencial (a).

Ahora podremos comprender lo que nos dice a los no-expertos un matemático moderno:

Todas las leyes de la física que fueron descubiertas siguiendo la inspiración básica de Newton, según la cual los cambios en la naturaleza pueden describirse mediante procesos matemáticos, poseen un carácter similar, del mismo modo que las formas en la naturaleza traducen modelos geométricos. Las leyes se formulan como ecuaciones que relacionan, no cantidades físicas de interés primario, sino los ritmos [derivadas primeras o velocidades] a los que dichas cantidades varían en función del tiempo, o los ritmos de variación de los ritmos de variación [derivadas segundas o aceleraciones]. Por ejemplo, “la ecuación del calor”, que determina cómo fluye el calor a través de un cuerpo conductor, sólo expresa el ritmo del cambio de la temperatura del cuerpo; la “ecuación de ondas”, que describe el movimiento de las ondas en el agua, en el aire, o en otros materiales, sólo apunta al ritmo o tasa de cambio del cambio [segunda derivada]. Las leyes físicas acerca de la luz, sonido, electricidad, magnetismo, elasticidad de los materiales, flujo de los líquidos o el curso de reacciones químicas, todas ellas expresan diversas tasas de cambio.Traducido del ensayo Nature’s Numbers de Ian Stewart, que lleva por subtítulo: Indagando el Orden y las Pautas en el Universo.

Erwin Schrödinger, según nos cuenta Walter Moore en su admirable biografía científica, formuló varias ecuaciones diferenciales, siendo la primera de ellas la denominada ecuación diferencial relativista, que no llegó a publicar. Como sabemos, Louis de Broglie, en cuyos trabajos se inspiró Schrödinger, dio a sus ecuaciones una forma relativista, esto es, tales ecuaciones eran invariantes con relación a la transformación de Lorentz. Eso mismo intentó el físico vienés, pero la ecuación encontrada no concordaba con los datos espectroscópicos del hidrógeno. La razón de la discrepancia se debía a que dicha ecuación no incluía el spin de los electrones, a la sazón aún no descubierto. La ecuación relativista de Schrödinger, incorporando el spin, se denomina hoy ecuación de Klein-Gordon. La segunda ecuación formulada por el físico vienés apareció en el artículo, Q1, el primero de una serie de cuatro, enviado a la revista Annalen der Physik el 27 de Enero de 1926. En él se exponía y deducía la ecuación diferencial independiente del tiempo, aplicable, en un principio, al estudio de los estados estacionarios del hidrógeno. En el artículo Q4, aparecido el 23 de Junio 1926, dio a conocer la ecuación diferencial dependiente del tiempo, aplicable a problemas cuyos sistemas cambian con el tiempo, como acontece en los problemas de

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dispersión (scattering) por átomos y moléculas, así como en la absorción y emisión de radiación.La ecuación que vamos a analizar es exactamente la ecuación diferencial independiente del tiempo. Es, posiblemente, la más conocida de ellas; fue objeto del primer trabajo, seguido de otros en la misma línea, que le acreditó como físico de gran prestigio entre sus colegas, si bien Schrödinger, al igual que Planck, Bohr o Heisenberg, jamás alcanzó la popularidad de Einstein. Es la única de las ecuaciones de Schrödinger que, por lo general, suele exponerse en ensayos de divulgación científica y en tratados elementales de física.Si se consulta el manual de Física Cuántica de R. Eisberg/R. Resnick, podremos ver una ecuación diferencial más general del mismo Schrödinger, de la que se derivan las dos anteriores. Los autores no nos dicen en qué fecha concreta fue publicada en los Annalen. Es, como se dice, una ecuación diferencial, lineal, parcial, homogénea, de segundo grado. Se dice, así mismo, que es una ecuación diferencial dependiente del espacio y del tiempo por contener ambas variables De esta ecuación general, mediante la técnica denominada separación de variables, se obtienen las dos ecuaciones diferenciales anteriores: una primera ecuación diferencial de segundo orden e independiente del tiempo, que es la que vamos a exponer, y una segunda ecuación diferencial de primer orden y dependiente del tiempo. En los textos antes citados de W. Heisenberg y P. Jordan, que conviene releer, expresamente he transcrito en caracteres de negrita el contexto físico de los estados estacionarios a los que se aplica la ecuación diferencial, independiente del tiempo, que vamos conjuntamente a analizar.

Desde el punto de vista estrictamente matemático, la ecuación guarda una cierta analogía formal, que no identidad, con una clase de ecuaciones diferenciales muy general y simple, cuya expresión más escueta sería:

d2y/dx2 + cy = 0;

que, a su vez, es un caso particular de una ecuación más general:

a.d2y/dx2 + b.dy/dx + cy = 0,

cuando a = 1 y b = 0.

El estudio de esta ecuación diferencial puede verse en cualquier manual elemental de cálculo, por ejemplo, en el Curso de Matemáticas para Químicos y Físicos, de nivel muy asequible, del Dr. Leonor Michaelis, profesor de la Universidad de Berlín en el período entre las dos guerras mundiales, traducido al castellano por el Dr. D. Julio Palacios.

La ecuación diferencial de Schrödinger independiente del tiempo, en tres dimensiones, suele expresarse así:

(d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2) + (82m/h2 ) (E-V) = 0; (1)

donde:

(d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2) es el llamado operador laplaciano, indicativo de una ecuación diferencial parcial de segundo orden;

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es el símbolo de la función de onda desconocida, el operando sobre el que opera el operador laplaciano;m, la masa del electrón;E, la energía total del sistema;V, la energía potencial;(E - V), representa, en consecuencia, la energía cinética: ½ mv2

y h, son ya viejos conocidos del lector.

Según Walter Moore, parece, por los apuntes conservados, que Schrödinger llegó a la famosa ecuación siguiendo un método similar al utilizado en las exposiciones elementales de esta ecuación. Consiste, en esencia, en la incorporación de la relación de L. de Broglie para la longitud de onda, o frecuencia, de una partícula en la ecuación general de ondas del estado estacionario, destacando, a continuación, el término de energía. Con la introducción de dicha condición cuántica,

= h/mv,

en la ecuación general de ondas, Schrödinger consiguió dos objetivos: en primer lugar, incorporar la constante de Planck en el proceso cuántico que trataba de describir; en segundo lugar, aprovechando las dimensiones del momento (mv), introducir en su ecuación el término de la energía.Sin embargo, la deducción de la ecuación que presentó en el artículo Q1, uno de los documentos físicos más importantes del siglo XX según los expertos, no fue tan sencilla. Parece ser que intencionadamente la presentación en los Annalen fue, según su biógrafo, más bien críptica, esto es, ofreció la deducción recurriendo a sofisticados formalismos de matemáticas superiores, sólo accesibles a sus colegas, los físicos teóricos. La deducción, si merece tal nombre, más sencilla que he podido encontrar de esta ecuación es la que nos ofrece el físico A. Berthoud y en la cual está inspirado el desarrollo siguiente. Para algunos, el término deducción en este caso concreto es un calificativo muy problemático, pero si damos por supuesto que la ecuación general de ondas, así como la condición cuántica de L. de Broglie, son aplicables al electrón, en estos supuestos digo, no parece que el término deducción no sea apropiado. En cualquier caso, la ecuación funciona en un cierto ámbito que abarca multitud de casos, en los que la velocidad del electrón no se acerca a la de la luz, en evitación de efectos relativistas significativos por aumento de masa.

Cuando un fenómeno se propaga por ondas, existe siempre una magnitud que varía en función del tiempo t y de las coordenadas del espacio x, y, z, de conformidad con la ecuación general:

d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2 = (1/u2 ) (d2/dt2 ) (2)

donde u designa la velocidad de propagación de la onda. Cuando las variaciones de en función del tiempo, se representan por una sinusoide, la forma anterior se transforma en ésta:

d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2 = (1/u2) [ -42 2 ] (31)

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donde hemos substituido en la ecuación (31) el resultado obtenido al realizar la doble derivación, que aparece indicada en la ecuación (2). Es muy habitual emplear v en lugar de u. El término “v” lo reservaremos para designar la velocidad del electrón. El símbolo representa, como siempre, la frecuencia; corresponde a la letra “n” en el alfabeto griego.A continuación pasamos todos los símbolos al primer miembro:

d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2 + (1/u2 ) [ 42 2 ] = 0 (32)

y, desplazando de lugar el factor 2, tenemos:

d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2 + (2/u2 ) [ 42 ] = 0 (33)

Hagamos un breve repaso de lo conseguido hasta ahora.

La ecuación (2) se denomina ecuación general diferencial de ondas, aplicable a numerosos procesos ondulatorios, o vibratorios, de muy variada naturaleza física. Para su obtención, se parte de la siguiente función sinusoidal que describe el valor de la amplitud en cada punto del espacio y en cada instante del tiempo, variables s y t.

= A sin 2 [t/ - s/]

Los símbolos s, t, y indican, respectivamente, la distancia, tiempo, longitud de onda y período. Los dos primeros símbolos representan las dos variables independientes de la ecuación, mientras que los dos últimos son constantes.

Al diferenciar parcialmente la ecuación anterior, esto es, una vez por cada variable independiente distancia y tiempo, se obtienen dos ecuaciones diferenciales que, dividida la una por la otra y simplificando, origina la ecuación (2).

La ecuación (32 ) es un simple traspaso de términos, mientras que la ecuación (33 ) destaca el símbolo (2/u2) que vamos a substituir merced a la condición cuántica de Louis de Broglie:

= h/mv,sabiendo, por otra parte, que

u = , o bien: = u/.

De donde se deduce:1/= /u = mv/h;

Debemos hacer, pues, la siguiente substitución:

2/u2 = m 2 v2/h2

donde mv representa el impulso p, o cantidad de movimiento.. Obtenemos así la ecuación siguiente:

(d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2) + (m2v2/h2)(42 ) = 0 ; (41)

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Tras esta substitución, y otras pequeñas modificaciones, puramente algebraicas, la ecuación aparecería así:

(d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2) + 82m/h2(1/2mv2) = 0; (42)

Obsérvese la aparición del número 8. Resulta de multiplicar por 2 el número 4 que aparecía anteriormente, compensado por la introducción de ½ en la expresión de la energía. El símbolo de la masa, m2 = m.m, sigue intacto, pero uno de los factores ha cambiado de posición en la fórmula.

El término de la energía cinética, ½ mv2, puede ser reemplazado por la diferencia entre la energía total y la energía potencial V,

½ mv2 = E - V

con lo que llegamos a la ecuación diferencial del físico vienés, expuesta inicialmente:

(d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2) + (82m/h2 ) (E-V) = 0; (1)

Consta de la suma de dos términos. Vemos, en el primero, la derivada de segundo grado, [(d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2) ]. Representa la tasa de cambio del cambio de la función con relación a las tres variables espaciales. El segundo es el denominado término de la energía.

LA EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA EN LA ECUACIÓN DIFERENCIAL. VALORES PROPIOS DE LA ENERGÍA Y FUNCIONES PROPIAS.

Es fundamental en la ecuación diferencial de Schrödinger saber qué forma reviste el símbolo de la energía, (EV) que figura en el segundo término de la ecuación, ya que el resto de los símbolos, que aparecen en dicho término, representan constantes conocidas. Veamos a este respecto lo que nos dice A. Berthoud: La energía potencial V de un electrón depende de su posición. La energía total E, por el contrario, suma de la energía potencial y de la energía cinética, permanece constante siempre que los desplazamientos del electrón se efectúen sin absorción o emisión de energía. E es, pues, un parámetro de la ecuación. Ahora bien las ecuaciones diferenciales poseen una propiedad conocida desde hace mucho tiempo y que es de una importancia capital para el problema que nos ocupa. Sólo admiten soluciones finitas y continuas para valores determinados de los parámetros, a los que se da el nombre de “autovalores”[eigenvalues]. Así, en la ecuación precedente varía, para ciertos valores de E, de manera continua con las coordenadas x, y, z. En otros términos, se da entre y dichas coordenadas una relación [funcional] que satisface dicha ecuación [diferencial]. Estas funciones, que satisfacen la ecuación diferencial, se llaman “autofunciones” [eigenfunctions].Si E sólo puede asumir determinados valores, significa que la energía del electrón sólo puede variar de un modo discontinuo, de conformidad con la teoría de los quanta. De esta manera, el problema físico de la cuantificación se encuentra reducido, en la ecuación de Schrödinger, a un problema matemático, esto es, a la determinación de los autovalores de una ecuación diferencial.

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Traducido del ensayo Matière & Atomes, ya citado. Los paréntesis han sido añadidos, para una mayor precisión, por el autor de este ensayo.

A. Berthoud presenta un caso muy sencillo, el de un electrón que efectúa oscilaciones lineales, de uno al otro lado de su posición de equilibrio. Su energía potencial sería:

V = 222mx2

Donde “” representa la frecuencia de las oscilaciones y “x” la distancia, constantemente variable, que separa al electrón de su posición de equilibrio. La energía total “E”, una vez insertada en la fórmula general, aparece así:

d2 /dx2 + (82m/h2) (E - 222mx2) = 0;

El análisis de esta función muestra que los autovalores de “E” son iguales a:

E = (2n + 1)h/2

donde “n” representa un número entero. Ello significa que la energía de un oscilador sólo puede ser igual a un múltiplo impar del semi-quantum de acción planckiano, h, esto es:

h/2, 3h/2, 5h/2 etc.

LA FUNCIÓN QUE DESEMPEÑA EL TÉRMINO DE ENERGÍA.

Para cada configuración de un sistema dado, hidrógeno o helio, hay que hallar previamente el término de energía correspondiente, (E - V). Para el caso del hidrógeno tenemos:

V = -e2/r,

donde e representa la carga eléctrica y r la distancia del electrón al núcleo. Para el helio con dos electrones el potencial es:

V = e2/r1-2 - 2e2/r1- 2e2/r2,

donde las distancias que separan los electrones, el uno del otro, o de cada uno de ellos al núcleo, son respectivamente: r1-2, r1 y r2,

Vemos cómo, al explicitar en cada caso la forma de la energía potencial, aparece la variable de posición, simbolizada por x, r o la letra que más convenga al caso.Como advierten R. Eisberg/R. Resnick:

Las propiedades de esta ecuación diferencial (la de Schrödinger), dependen, entre otras cosas, de la forma de la función de energía potencial V(x), lo cual es así ya que V(x) determina la fuerza que actúa sobre la partícula, cuyo comportamiento se supone describen las soluciones de la ecuación diferencial.

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LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER. UN CÁLCULO SENCILLO.

EL CASO DE LA PARTÍCULA EN UNA CAJA.

Veamos ahora la aplicación más elemental que he encontrado de la ecuación de Schrödinger.

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Examinemos el caso de una partícula limitada en sus movimientos en una caja unidimensional. Para mayor sencillez, suponemos que la partícula está confinada entre paredes rígidas, que no ceden, y separadas por la distancia L. Más allá de la región permitida la energía potencial V es infinita y, en consecuencia, la función de onda es cero. Dentro de la caja, el potencial es cero y la partícula posee una función de onda y energía E. Se escoge este caso por ser, tal vez, el más simple. Figura en casi todos los manuales para principiantes.

En una dimensión, la ecuación diferencial de Schrödinger presenta esta forma:

d2 /dx2 + (82m/h2 ) (E V) (1)Para V = 0, sería:

d2 /dx2 = (82m/h2 ) E (2)

Una función, compatible con las condiciones de contorno (boundary conditions) anteriores, sería esta función sinusoide:

(x) = 0 sin (nx/L) (3)

Ahora derivamos dos veces consecutivas la función (3). Como ya vimos anteriormente, la segunda derivada de la función seno es la misma función seno con signo cambiado, precedida del cuadrado de los factores que afectan a la variable independiente “x”:

d2 /dx2 = (n/L)2 (x) (4)

Igualando los dos miembros de la derecha de la ecuaciones (2) y (4), obtenemos:

(82m/h2 ) E = (n/L)2 (5)

Despejando ahora la E de la ecuación anterior (5), obtenemos los valores propios de la energía:

En = (h2 /8mL2 ) n2 n = 1,2,3… (6)

Correspondientes a las funciones propias, de acuerdo con (3):

(x)n = 0 sin (nx/L) n= 1,2,3… (7)

El ejemplo está tomado de la obra de texto Contemporary Physics de Jones/Childers, alterando algo los símbolos usados, explicitando pasos intermedios y recogiendo lo esencial del caso.

EFECTO TUNEL O PENETRACIÓN DE LA BARRERA DE POTENCIAL

Supongamos ahora que la energía potencial más allá de la barrera no es infinita. En este supuesto, la función de onda no se limitará exclusivamente a la región interior de la barrera. No existen ahora soluciones posibles en forma de sinusoidal para la función

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exterior a la barrera, sin embargo existe una solución en forma de función exponencial. En el interior del pozo la función es oscilatoria.

Partimos de la ecuación diferencial de Schrödinger en una dimensión:

d2/dx2 + (82 m/h2 ) (EV) = 0 (1)

En este caso, al ser superior la energía potencial V que la energía total E, el segundo término es negativo:

d2/dx2 (82 m/h2 ) (VE) = 0 (2)

lo que es equivalente a:

d2/dx2 = (82 m/h2 ) (VE) (3)

En estas condiciones nos dicen los autores del manual que la función exponencial que satisface la ecuación diferencial es:

(x) = 0 e x (4)

donde es una constante. Tratemos de averiguar el valor de . Se sabe que una de las soluciones de la ecuación diferencial:

d2y /dx2 = ay (5)es:

y = e (a)x (6)

por lo que el coeficiente debe ser igual a:

= [82 m(VE)/h2 ] = (2/h)[2 m(1/2mv2)] = (2/h)(m2v2)

= (2/h)(mv) = (2)(mv/h) = (2/) (7)

donde hemos hecho uso de las igualdades:

V E = 1/2mv2 ;

= h/mv = h/p; o bien: 1/ = mv/h = p/h

La solución exponencial sería, pues:

(x) = e x = e (2p//h)x = e (2/)x

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APÉNDICE AL CAPÍTULO VII

PRECISIONES SOBRE EL PROBABILISMO CUÁNTICO.

DISTINCIÓN ENTRE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

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Conviene distinguir entre estadística y probabilidad. Hacemos estadística partiendo de muestreos que ordenamos en tablas de frecuencias, y de éstas pasamos al concepto de probabilidad, según nos recuerda A. S. Eddington en su obra New Pathways of Science:

El enunciado:

La probabilidad es p de que un suceso a tiene el resultado e,

debe traducirse:

El suceso a es un miembro de una cierta clase de sucesos A, y la proporción de sucesos en la clase A, que tiene un resultado e, es p.

La proporción de sucesos en una cierta clase, que tiene un resultado e, generalmente se denomina frecuencia de e en dicha clase. Así la medida numérica, la frecuencia, perteneciente a una clase, se transfiere verbalmente al miembro individual de dicha clase, denominándose entonces probabilidad.

Por ello, en el texto ya citado de Jeans podemos hablar de estadística y probabilidad de suicidios en Londres, mas sólo de probabilidad si nos referimos al único habitante de la isla, Robinson Crusoe.Por otra parte, los enunciados acerca de la probabilidad de un mismo suceso dependen de la información que del mismo tengan los que emiten tales enunciados, pudiendo darse el caso de que un mismo suceso posea valores numéricos distintos de probabilidad, como acontece en el siguiente ejemplo propuesto por A. Eddington:

Esto demuestra cómo la probabilidad se convierte en relativa a los datos de que se dispone. Estos nos sirven para definir la clase en que se incluye el acontecimiento en cuestión: una información suplementaria nos obliga a definir de nuevo la clase. De esta manera, a un mismo acontecimiento se le pueden asignar distintas probabilidades. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva mañana, 19 de Abril? Esto puede referirse a la frecuencia de la lluvia el 19 de Abril de cada año; o bien a la frecuencia con que las condiciones meteorológicas, parecidas a las actuales, han sido seguidas de lluvia al día siguiente; o a una clase que satisfaga ambas condiciones. Hay tres o más probabilidades numéricas en relación con el mismo acontecimiento situación perfectamente admisible…En ningún caso la probabilidad es un atributo absoluto de un acontecimiento o de una creencia.

LA INTERPRETACIÓN DE LA MAGNITUD COMO DISTRIBUCIÓN DE LA DENSIDAD DE LA CARGA ELECTRÓNICA, SEGÚN SCHRÖGINGER.

Veamos este otro texto de A. Berthoud, en el que emplea un lenguaje muy preciso desde el punto de vista de la estadística y probabilidad matemáticas, sin dejar por ello de ser sumamente sencillo:

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Hasta ahora hemos expuesto los hechos esenciales relativos a la mecánica ondulatoria sin preguntarnos cuál es la significación física de la función que juega un papel tan importante en los cálculos. De hecho, la cuestión puede dejar indiferente al matemático, puesto que la teoría ha podido desarrollarse sin hipótesis sobre este punto, pero la cuestión no puede menos de plantearse al físico.En un principio Schrödinger supuso que la carga electrónica no se halla localizada en una pequeña región del espacio, como se admite comúnmente, y que en un átomo de hidrógeno la distribución espacial de la carga está determinada por la función Hablando con más precisión, la densidad eléctrica en un punto estaría representada por el cuadrado de la amplitud de las variaciones de en ese punto.En esta hipótesis, la simetría de un átomo sería naturalmente la de la función de este modo el átomo de hidrógeno, en el estado normal caracterizado por el número cuántico principal, sería esférica. Si 2 es la densidad eléctrica en un punto situado a la distancia r del núcleo, la carga total distribuida sobre una superficie esférica de radio r es igual a 4r22.Sin embargo, esta interpretación de Schrödinger ha suscitado objeciones. No existe duda alguna en cuanto a que los electrones libres son partículas muy pequeñas, por lo que es muy improbable que se resuelvan en una nube de cargas eléctricas desde el momento en que forman parte de un átomo...Por otra parte, toda la teoría del átomo de hidrógeno, que se encuentra en perfecto acuerdo con los hechos experimentales, se basa en la suposición de que la energía es igual a -e2 /r, lo que induce a admitir que la carga electrónica se concentra en un pequeñísimo espacio a distancia r del núcleo...

A continuación nos expone la interpretación probabilista de Max Born, explicando en un caso concreto la diferencia entre estadística y probabilidad.

Otra interpretación ha sido propuesta por Born que es actualmente preferida por la mayor parte de los especialistas, incluido el propio Schrödinger. Según esta hipótesis, el electrón es un pequeño corpúsculo, de conformidad con la concepción clásica. En un átomo la posición de los electrones con relación al núcleo es variable y el cuadrado del valor de en un punto representa, no la carga eléctrica, sino la probabilidad de que allí se encuentre un electrón... Si, por ejemplo, para dos valores de r1 y r2 del radio, las expresiones correspondientes, 4r22, están en la razón de 1 a 10, esto significa que entre un gran número de átomos, en un momento dado, los que tienen su electrón a una distancia r2 del núcleo, son 10 veces más numerosos que aquellos otros átomos que están a una distancia r1. Paralelamente, si consideramos un solo átomo durante un tiempo suficientemente prolongado, los intervalos de tiempo en los cuales el electrón se encuentra a distancia de r1 y r2 del núcleo están en la relación de 1 a 10.Está claro que en esta hipótesis un electrón, que forma parte de un átomo, está constantemente en movimiento, como Rutherford y Bohr ya lo habían admitido, mas la teoría no facilita información alguna acerca de su trayectoria o velocidad.Traducido de la obra Matière & Atomes

PROBABILISMO Y EFECTO TÚNEL.

En relación con el probabilismo cuántico, voy a traducir un texto de L. de Broglie que nos explica el efecto túnel. La explicación está teñida de su peculiar lenguaje de ondas asociadas al electrón y rebosante de imágenes intuitivas. Es uno de tantos ejemplos en los que se aplica la interpretación probabilista a los extraños procesos cuánticos:

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En todos estos casos, no existe un límite absolutamente neto para las ondas cuyo amortiguamiento es siempre continuo, aunque con frecuencia muy rápido. Se encuentran casos análogos en la Mecánica ondulatoria de los corpúsculos. Las ondas asociadas a los corpúsculos nunca son completamente detenidas por un obstáculo; siempre podremos encontrar corpúsculos allí donde la onda no está anulada, por lo que jamás serán completamente detenidos por barrera alguna, lo que constituye una diferencia esencial con la antigua Mecánica. Consideremos un corpúsculo animado de una energía “E” que llega a una región donde el potencial posee una marcada pendiente, alcanza un máximo y luego desciende. Es una montaña de potencial. El corpúsculo perderá energía al escalar la montaña de potencial. Si el valor del potencial en la cima de la montaña es superior a “E”, el corpúsculo se detendrá al no poderse hacer negativa su energía cinética, cayendo después hacia atrás sin poder franquearla. La montaña de potencial es, pues, en la mecánica clásica, una barrera infranqueable para los corpúsculos con débil energía. La mecánica ondulatoria prevé un fenómeno diferente. La onda asociada al corpúsculo, al incidir sobre la montaña de potencial, sufrirá una reflexión casi total; pero, no obstante, al menos una pequeña fracción de la onda penetrará en la región situada a la derecha, al otro lado de la montaña. Esto debe interpretarse como sigue: un corpúsculo tiene una gran probabilidad de ser reflejado por la montaña y rechazado hacia la izquierda, de donde procedía, pero, por muy alta que sea la montaña, siempre existe una pequeña probabilidad de poder pasar a la derecha; o si se prefiere, dada una nube de corpúsculos de energía “E”, procedente de la izquierda hacia la montaña de potencial, casi la totalidad de los electrones será rechazada hacia la izquierda, pero siempre habrá algunos que llegarán a franquear la montaña. Resulta que si los corpúsculos se encuentran en una región cerrada del espacio, existiendo un campo antagonista en el límite del espacio que les impida la salida, habrá siempre algunos que se escaparán, por muy alta que sea la pared de la cubeta de potencial. Los corpúsculos encerrados en una especie de circo, circundado por una montaña de potencial, siempre tendrán una cierta probabilidad de evadirse, cualquiera que la altura de la montaña sea. Este es el principio de la teoría de la radioactividad propuesta por Gurney y Condon e, independientemente, por George Gamow…Traducido de la obra Matière et Lumière.

LA FUNCIÓN DE ONDA COMO REPRESENTACIÓN DE CÓMO EVOLUCIONA NUESTRO CONOCIMIENTO ACERCA DE LOS PROCESOS CUÁNTICOS.

Aún a riego de ser reiterativo, invito al amable lector a leer este otro texto de Sir Arthur Eddington. Es cierto que Eddington no participó en la formulación de la teoría cuántica, en ninguna de sus etapas él fue un gran especialista en la teoría de la relatividad pero no es menos cierto que estuvo muy atento a su evolución, siendo de los primeros astrónomos en aplicar, con gran éxito, los resultados de dicha teoría a la naciente ciencia de la Astrofísica. El texto se inicia con el consabido fracaso de la física clásica:

La diferencia es mucho más notable en la moderna teoría cuántica. Según la concepción clásica de la física a nivel microscópico, nuestra tarea era descubrir un sistema de ecuaciones que enlazaran las posiciones, movimientos, etc., de las partículas en un instante dado, con las posiciones, movimientos, etc., en un instante posterior. Este problema resultó totalmente desconcertante; no tenemos razón alguna para creer que exista una solución definida, por lo que su investigación ha sido definitivamente

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abandonada. La moderna teoría cuántica ha substituido esta tarea por otra, esto es, la de indagar las ecuaciones que vinculan el conocimiento de las posiciones, movimientos, etc., en un instante dado, con el conocimiento de las posiciones, movimientos, etc., en un instante posterior. La solución de este problema parecer estar dentro de nuestras posibilidades.

A continuación nos refiere la introducción de las probabilidades en la teoría cuántica:

El simbolismo matemático describe nuestro conocimiento y las ecuaciones matemáticas rastrean los cambios en el tiempo de este conocimiento. El conocimiento de las magnitudes cuánticas es siempre más o menos inexacto; pero la teoría de las probabilidades nos permite expresar con toda precisión el conocimiento inexacto, incluyendo una cuantificación de su inexactitud. La introducción de la probabilidad en las teorías físicas pone claramente de relieve que es de nuestro conocimiento de lo que se trata, pues la probabilidad es un atributo de nuestro conocimiento acerca de un suceso; no es predicable del suceso mismo, que necesariamente tendrá lugar o no.

Veamos cómo se expresa en su propio idioma:

For probabiliy is an attribute of our knowledge of an event; it does not belong to the event itself, which must certainly occur or not occur.

Ahora nos describe cómo evolucionan en el tiempo estas probabilidades hasta desembocar, o bien en el colapso de onda, o bien en los estados más estables, los llamados estados estacionarios:

La mecánica ondulatoria investiga el modo en que la probabilidad se redistribuye conforme transcurre el tiempo; analiza las probabilidades en ondas y determina las leyes de la propagación de estas ondas [ecuación de Schrödinger]. Generalmente las ondas tienden a difundirse por espacios cada vez más amplios, esto es, nuestro conocimiento de la posición, o de cualquier otra característica, de un sistema se va haciendo más indefinido en función del tiempo transcurrido desde que se hizo la primera observación. La adquisición repentina de nuevo conocimiento, como consecuencia de un nuevo experimento, representa una discontinuidad [colapso de onda] en el “mundo” de las ondas de probabilidad; la probabilidad se reconstituye y la propagación se reinicia con una nueva distribución de probabilidades. Existen formas excepcionales de distribución para ciertos sistemas a nivel microscópico que no se dispersan, o se dispersan muy lentamente. Nuestro conocimiento de tales sistemas no envejece tan rápidamente. Se suele prestar especial atención a estos “estados estacionarios” y a las ecuaciones que los describen, ya que permiten predicciones a largo plazo.La afirmación, con frecuencia reiterada, de que en la física moderna el electrón no es una partícula sino una onda, es incorrecta. La “onda” no representa al electrón, sino a nuestro conocimiento del mismo.

Traducido de su obra The Philosophy of Physical Science. En mi opinión este texto, al igual que el anterior de L. de Broglie y otros que podría citar, refleja una de las opiniones más generalizadas entre los físicos que, al finalizar la tercera década del siglo XX, dieron cima a la mecánica cuántica.

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CÓMO SE ENLAZA EL PROBABILISMO CUÁNTICO CON LA FÍSICA CLÁSICA.

Tocante a la acústica, la sensación subjetiva, en condiciones normales, de que un sonido sea más o menos débil o fuerte, depende de su intensidad, la cual, como magnitud física, es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda o vibración, causante de la sensación. En cuanto a la luz y otras radiaciones electromagnéticas, nos dice Louis de Broglie:

En el dominio propio de la nueva Dinámica [Mecánica Ondulatoria] el principio que parece más afianzado es aquel según el cual el cuadrado de la amplitud de la onda, su intensidad, debe medir en cada punto del espacio y en cada instante la probabilidad que el corpúsculo asociado se encuentre en un punto e instante determinados. Basta una breve reflexión para ver que este principio es necesario para dar cuenta de los fenómenos de interferencia y difracción de la luz, dado que, en óptica, allí donde la onda de Fresnel tiene una intensidad [amplitud] máxima, es precisamente allí donde, por término medio, se recoge más energía luminosa. Puesto que nuestra idea directriz es aproximar, en lo posible, la teoría de la materia a la teoría de la luz, parece natural extender este principio, necesario en el caso de la luz, al caso de las partículas materiales.Traducido de su obra Matière et Lumière.

APÉNDICE AL CAPÍTULO XI

ANÁLISIS DEL TÉRMINO ALEMÁN BESTIMMEN (DETERMINAR).

Ha quedado suficientemente destacada la ambigüedad del término determinar en el idioma inglés según los textos, traducidos al castellano, de B. Russell y H. Samuel. En

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castellano se dan, así mismo, los dos sentidos: determinación objetiva causal por un lado, y definición relativa al conocimiento humano, por el otro. Pero veamos con algún detenimiento lo que sucede en el idioma alemán, cuyos científicos tuvieron tanto peso en el inicio y primera etapa del desarrollo de la teoría cuántica, siendo también germano el científico que formuló el famoso principio de indeterminación.

Empecemos con el término Unbestimmheitsrelationen, que es el que nos interesa. El vocablo, como tantos otros alemanes, nos resulta a los latinos un poco largo, pero no olvidemos que estas palabras extensas son en realidad nombres compuestos. El vocablo clave es Unbestimm, el cual, a su vez, se compondría de tres términos: dos prefijos y una raíz. Supongo, pues no soy un experto en el idioma alemán, que la raíz última sería Stimm, de la que procederían los términos Stimme y Stimmen. El primero significa: voz, canto, voto, sufragio; mientras que el segundo indica: afinar o templar un instrumento de música, poner en tono, predisponer, ir o estar de acorde, estar en orden y cuadrar las cuentas, entre otros.

Con la raíz Stimm se encuentran bastantes vocablos entre los que destaco, de los escritos de W. Heisenberg, los siguientes, cuyos significados varían algo según el contexto en el que aparecen:Stimmung: disposición de ánimo, sentimiento, humor, afinación (en música),Zustimmen: estar de acuerdo, asentir, consentir, conformarse,Umzustimmen: cambiar de opinión,Hochstimmung: sentimiento o estado de optimismo,Übereinstimmung: el acto de concordar, de estar de acuerdo,Unbestimmt: indeterminado, inseguro, impreciso,Unbestimmheit: indeterminación, vaguedad.

Como puede observar el amable lector, entre los significados destaca el carácter subjetivo del término. En los diccionarios no encuentro el término Bestimm, pero sí varios vocablos conteniendo esta raíz:Bestimmbar: determinable, definible, clasificable,Bestimmen: fijar, determinar, definir, decidir, ordenar, disponer y otros muy similares.Bestimmt: decidido, cierto, seguro,Bestimmung: determinación, definición, disposición,

Y en los escritos de Heisenberg encuentro estos otros:Selbsbestimmung: autodeterminación (como en el caso del Tirol),Bestimmungsstücke: parámetros, en relación con la frase “parámetros ocultos”,Begriffsbestimmung: formación de conceptos.Völkerrechtsbestimmung: norma de derecho internacional.Creo haber entresacado algunos de los significados más usuales, dejando en el tintero otros muchos que podríamos encontrar en las obras de otros autores, en particular en la literatura no científica.En Max Planck encuentro, aparte de muchos de los términos ya citados, estos otros que me llaman la atención: Vorherbestimmung, que significa previamente determinado, lo que podría parecer un pleonasmo; el vocablo compuesto, y algo largo, Geschwindigkeitsbestimmung (medida o determinación de la velocidad) y, finalmente, Massbestimmung que se podría traducir por determinación métrica, o por el término más general de determinación de la medida. Como es sabido, el idioma alemán posee suma facilidad para la creación de términos compuestos, lo que da la engañosa

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impresión de contener vocablos excesivamente largos, muchos de los cuales no se encuentran ni en los mejores diccionarios.

La lista podría ser inacabable. No quisiera confundir, ni fatigar, al amable lector. Recapitulando diría que la raíz más primitiva de todos estos vocablos parece hacer referencia a la voz humana, como palabra y como canto. Posteriormente se va ampliando y extendiendo su significado, surgiendo diversos matices del mismo: definir, definido, definición, con aplicaciones en la lógica, en las matemáticas y en la medida . El significado relativo a la determinación causal, o al determinismo físico, debió aparecer bastante después, en sintonía con el desarrollo intelectual y de la ciencia, que suelen correr paralelos. Interesa, pues, dejando a un lado los significados musicales, destacar dos significados realmente distintos, en teoría radicalmente diferentes, pero no tan distintos en la práctica, pues inadvertidamente pasamos en ocasiones del uno al otro, como hemos visto en la argumentación de Werner Heisenberg y de Max Born. El primero de estos significados, en mi opinión, es el relativo a la determinación como sinónimo de definición y de medida, que tiene su más cumplida expresión en la lógica aristotélica, logística moderna y en las matemáticas. El segundo significado se refiere al determinismo causal y determinismo físico, términos más bien propios de las diversas ciencias, en especial de la física.

TEXTOS CON EL TÉRMINO BESTIMMEN ASIMILABLE AL DETERMINISMO FÍSICO CAUSAL.

Ahora vamos a ver algunas frases de W. Heisenberg en las que el mismo vocablo bestimmen se emplea unas veces con el significado de un determinismo objetivo causal, y otras con el significado de definición, sin ninguna referencia al determinismo físico. Este primer texto se refiere al determinismo físico causativo.

Die Atomkerne konnten nicht wie die ganzen Atomen mit einem Planetensystem im kleinen verglichen werden, bei dem die stärksten Kräfte von einem zentralen schweren Körper asusgehen, der die Bahnen der umlaufenden leichten Körper bestimmt.

El núcleo atómico no se podía comparar, como ocurre con el átomo entero, con un sistema planetario en pequeño, en el cual las poderosas fuerzas, que proceden de un cuerpo central pesado, determinan las trayectorias de cuerpos ligeros circundantes.

Veamos este otro breve texto:

Das Elementarteilchen ist, wie die stationäre Zustand eines Atoms, durch seine symmetrieeigenschaft bestimmt.

La partícula elemental, al igual que los estados estacionarios del átomo, está determinada por sus propiedades de simetría.

No parece referirse a un determinismo tipo causal, sino a esa especie sui generis que llamo determinismo morfológico (o tal vez, matemático). Podríamos también usar la expresión “está definida por”, pero siempre con un marcado carácter objetivo.

TEXTOS EN QUE EL TÉRMINO ALEMÁN SE ASIMILA A UNA DEFINICIÓN O INDEFINICIÓN CONCEPTUAL.

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Veamos ahora un texto en el que el núcleo Bestimm, está incorporado en el término Unbestimmheit, en castellano indeterminación, como negación de dicho término Bestimmheit, en castellano determinación. La situación es un diálogo que mantiene Heisenberg con un físico americano a quien explica su teoría acerca de qué teorías físicas podrían considerarse conclusas por poseer una axiomática totalmente definida:

Die allgemeine Relativitätstheorie kann whol noch nicht zu den abgeschlossenen Gebieten gerechnet werden, da ihre Axiomatik noch unklar ist und ihre Anwendung auf Fragen der Kosmologie noch viele Lösungen zuzulassen scheint. Man wird sie also einstweilen zu den offenen Theorien rechnen sollen, in denen es noch mancherlei Unbestimmheits gibt.

La teoría general de la relatividad no puede contarse aún entre los sistemas conclusos, ya que su axiomática es todavía obscura, y su aplicación a los problemas de la cosmología parece que permite aún muchas soluciones. Por consiguiente, tendrá que clasificarse entre las teorías abiertas en las cuales quedan aún muchas indefiniciones.

El contexto de la cita siguiente alude al diálogo entre una filósofa kantiana, Grete Hermann, W. Heisenberg y Carl Friedrich von Weizsäcker. La filósofa explica a sus interlocutores la formación del objeto en la teoría kantiana del conocimiento:

Weil es ein object ist. Ohne objecte keine objektive Wissenschaft. Und was Objekte sind, ist durch die Kategorien Substanz, Kausalitä usw. bestimmt. Wenn Sie auf die strenge Anwendung dieser Kategorien verzichten, so verzichten Sie auf die Möglichkeit von Erffahrung überhaupt.

Porque constituye un objeto. Sin objetos no es posible la ciencia. Y lo que los objetos son, viene determinado por las categorías de substancia, causalidad, etc. Si Vd. Renuncia a la aplicación rigurosa de estas categorías, debe también renunciar a la posibilidad de toda experiencia.

Parece claro que el término bestimmt debe traducirse, en este caso, por viene determinado, en el sentido de viene definido. En cualquier caso, no parece tratarse de un determinismo físico causal, sino de un proceso mental.

En cuanto al término Unbestimmheit, lo usual en el idioma alemán es que posea un significado subjetivo, como en el siguiente texto hace observar Grete Hermann, lo que posee un alto valor para la correcta interpretación de este vocablo, dado que la crítica proviene de una persona docta alemán parlante, si tenemos en cuenta la amplia cultura humanística, habitual entre filósofos:

Wen man so redet, so erscheint die Unbestimmheit gewissermassen als eine physikalische Realität, sie erhält einen objektiven Charakter, während doch gewöhnlich Unbestimmheit einfach als Unkenntnis interpretiert wird und insofern etwas rein Subjektives ist.

Cuando se expresa uno de este modo, parece como si la indeterminación fuera una realidad física, y que se la dotara de un carácter objetivo, cuando lo habitual es que la

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indeterminación se interprete como una carencia de conocimiento y, por lo mismo, como algo puramente subjetivo.

Con esta magistral observación de la filósofa Grete Hermann damos por finalizado este breve análisis de un término que posee en alemán, como en otros idiomas modernos europeos, una mezcolanza de significados Por su apariencia externa parecen tener un mismo significado, pero en el fondo pueden poseer significados diametralmente opuestos, según el contexto en el que aparecen. Ello ha podido contribuir a enredar aún más el debate abierto sobre el determinismo. En efecto, como se ha observado repetidas veces a lo largo de este capítulo, en las argumentaciones verbales es frecuente encontrar en las premisas el término bestimmt/unbestimmt con el significado usual de definido/indefinido al hablar de mediciones, mientas que en la conclusión adquiere el significado más duro y objetivo de causalmente determinado/indeterminado, lo que da pie a multitud de falacias lógicas. Los textos de Bertrand Russell y Herbert Louis Samuel apuntaban en este sentido.

APÉNDICE AL CAPÍTULO XIII

EXPERIMENTO MENTAL DE HEISENBER BASADO EN EL MICROSPIO DE RAYOS GAMMA.

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LA PRUEBA DEL PRINCIPIO DE INDETERMINACIÓN DE HEISENBERG, BASADA EN EL EXPERIMENTO IDEAL DEL MICROSCOPIO DE RAYOS GAMMA.

La prueba que vamos a exponer, aludida en capítulo anterior, de fácil accesibilidad conceptual y matemática, está basada en el experimento ideal del microscopio de rayos gamma, tal como aparece expuesto por David C. Cassidy en un recuadro de su artículo antes mencionado. Si el lector, así lo desea, puede omitir la lectura de este apartado. Su lectura es conveniente, mas no esencial.

La versión que intento hacer será, en principio, liberal. No obstante, será una traducción muy fiel en cuanto a la transcripción de los conceptos y, para ayuda de algunos lectores, explicitaré algunos pasos en el desarrollo de las fórmulas, aunque para otros muchos lectores ésta sea una medida innecesaria y hasta ridícula. Algunas frases, dada su importancia, aparecerán literalmente traducidas en cursiva, incluyendo dos textos en inglés que considero claves en la descripción del experimento y en el establecimiento de las fórmulas.

Aprovecho la oportunidad de exponer esta prueba para poner en negrita aquellos términos y frases que implican alguna acción causal.

La prueba se inicia recordando la fórmula, según la cual, un microscopio puede resolver objetos hasta un tamaño x, en función del ángulo y de la longitud de la onda:

x = (2) sin (0)

Así figura en la mencionada revista, en su original inglés, lo que parece un error de imprenta. La versión castellana de la misma revista, aparecida unos meses más tarde, muestra esta otra fórmula:

x = (2 sin ) (1)

Consultado un texto de física (Physics for Scientists and Engeneers, de Douglas G. Giancoli), encuentro la siguiente fórmula relativa al poder de resolución, RP, del microscopio:

RP = 1.22(2sin )

En el esquema adjunto [que he colocado al final de este capítulo], podemos ver a un electrón libre justamente debajo de la lente del objetivo del microscopio. La lente circular forma un cono con un ángulo de 2 con vértice en el electrón. A continuación se ilumina el electrón con un rayo gamma proveniente del lado izquierdo en el esquema.

En el momento en que la luz se difracta dentro del objetivo del microscopio , el electrón retrocede hacia la derecha. Después de la colisión el rayo gamma observado podría haberse dispersado con cualquier ángulo dentro del cono de 2. En el caso extremo de la dispersión hacia el borde delantero (derecho) de la lente, el momento en la dirección del eje de las “x”, sería:

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At the moment the light is diffracted into the microscope objective, the electron recoils to the right. After the collision the observed gamma ray could have scattered into any angle within the cone 2. In the extreme case of scattering to the forward (right) edge of the lens, the momentum in the x direction would be:

Px’ + (h’) sin (2)

El primer término representa el momento del electrón en la dirección de las “x”; el segundo, el momento del fotón del rayo gamma.

En el otro extremo, el rayo gamma se dispersa hacia atrás, golpeando justamente el borde izquierdo de la lente. En este caso, el momento total en la dirección del eje de las abscisas es:

In the other extreme, the gamma ray scatters backward, just hitting the left edge of the left. In this case, the total x momentum is:

Px’’ (h’’) sin (3)

Obsérvese el signo positivo en la expresión (2) y negativo en la expresión (3).

El momento final en la dirección de las “x” en ambos casos debe igualar al inicial.

Igualando, pues, las expresiones (3) y (2), tenemos:

Px’’ (h’’) sin = Px’ + (h’) sin (4)

Px’’ Px’ = (h’’) sin + (h’) sin (4.1)

Cuando el ángulo es muy pequeño, podemos hacer ’ ’’ y entonces la expresión anterior se transforma en:

Px’’ Px’ = Px (2h) sin (5)

Px (2h) sin (5.1)

Ahora volvamos a la igualdad (1) y despejando en dicha fórmula, obtenemos:

= 2 x sin (6)

que introducimos en la igualdad (5.1):

Px [2h (2 x sin)] sin = (2h sin )(2 x sin)] = h x (7)

Px h x (7.1)

Para incertidumbres mayores que las mínimas, se puede introducir la desigualdad siguiente:

Px . x h (8)

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Y concluye David C. Cassidy, afirmando, en relación con la fórmula (8), que es una aproximación a la relación de incertidumbre de Heisenberg.

Esquema del Experimento Mental del Microscopiode Rayos Gama de Werner Heisenberg

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APÉNDICE AL CAPÍTULO XVI

PRINCIPIO DE FALSACIÓN

EXPOSICIÓN DEL MÉTODO HIPOTÉTICO-DEDUCTIVO POR MAX PLANCK .

BREVE RESUMEN DEL APRIORISMO.

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El apriorismo, como método de investigación filosófica Descartes, Spinoza, Leibniz, fue inicialmente impugnado por la filosofía empírica inglesa Locke, Berkeley, Humepero no hasta tal punto que desapareciera del continente europeo. Suelen tender al apriorismo las mentes que cultivan las matemáticas, como fue el caso de Descartes y Leibniz. Hasta hace relativamente poco, en términos históricos, los textos de física se exponían more geométrico, esto es, a base de teoremas y corolarios, en la mejor tradición newtoniana que imitaba el famoso texto de geometría Euclides, y todo ello a pesar de ser la física una ciencia eminentemente experimental. Este tratamiento en la exposición de la física podía causar la impresión que la física era algo así como una prolongación de la matemática, al tiempo que abonaba la proliferación de hipótesis no suficientemente contrastadas con los experimentos, como sucedió con la hipótesis del éter elástico luminífero. Aún hoy día, en relación con la física matemática, se establecen teoremas. Como ya hemos visto en capítulo anterior, Kant, sensible a los argumentos de Hume, intentó una vía media. En realidad lo que hizo fue transformar el apriorismo, digamos ontológico o metafísico, en otra clase de apriorismo, que podríamos denominar lógico o psicológico, según se interprete a Kant, dado que dimana de la constitución de la misma mente humana. Los epígonos de Kant Fichte, Schelling, Hegel extendieron el método apriorístico hasta límites insospechados, creando auténticas fantasmagorías subjetivas (idealismo), lo que dañó seriamente, incluso, las ciencias naturales. Ello provocó una reacción positivista iniciada o acentuada por Comte en Francia, pero aún así la filosofía kantiana (neo-kantismo), con su peculiar apriorismo, seguía dominando en las altas esferas intelectuales. Tal fue la formación filosófica que, intuyo, recibieron en su época personalidades tan eminentes como el matemático Henri Poincaré, el físico Max Planck y el Filósofo Bertrand Russell, si bien posteriormente, y por razones científicas, fueron abandonando paulatinamente postulados claves de la filosofía kantiana. El caso de Russell fue espectacular; capitaneó una sublevación intelectual en la Universidad de Cambridge, en contra de las filosofías de Kant y de Hegel, en particular contra este último. Creo que han sido las formulaciones de la Teoría de la Relatividad y de la Teoría Quanta las que enterraron definitivamente, permítase la expresión, el apriorismo kantiano, considerado como la última metamorfosis o epígono del apriorismo platónico.

EL MÉTODO HIPOTÉTICO-DEDUCTIVO EXPLICADO POR MAX PLANCK.

Lejos de intuir las verdades, temporales o eternas, contingentes o necesarias, en algún medio privilegiado y mediante arcana metodología, accesibles sólo a iniciados en filosofías sublimes o ciencias esotéricas, el hombre, como cualquier otro animal, aprende por las experiencias, by trial and error (mediante la prueba y el error), como dicen los angloamericanos, intercalando entre error y error, entre prueba y prueba, las luces naturales de su propio entendimiento. Así viene a decírnoslo, poco más o menos, Max Planck:

Ocurren en las ciencias naturales, como en cualquier otra rama del saber, que no partimos de conceptos fundamentales fijos y luego tratamos de encontrar su materialización en el mundo que nos rodea, sino que ocurre todo lo contrario. Nosotros, los humanos, venimos al mundo sin una preparación anterior y sin previo aviso nos encontramos insertos en la vida. Con el fin de orientarnos en esta vida, que nos ha sido otorgada, tratamos de ordenar nuestras vivencias con ayuda de las facultades mentales con las que hemos venido a este mundo, construyendo, en la

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medida de nuestras posibilidades, determinados conceptos, adecuados a los sucesos que vivimos o hemos de vivir. Es notorio que en este proceso se introducen arbitrariedades y ambigüedades, como se comprueba con multitud de hechos en los dominios más variados del saber. Quisiera llamar la atención sobre la circunstancia que hoy día, en la más exacta de las ciencias, las Matemáticas, se discute acaloradamente acerca del origen e interpretación de sus conceptos fundamentales.Traducido de la conferencia Die Kausalität in der Natur, 1932.

El británico John Stuart Mill, hacia mediados del siglo XIX, analizó detenidamente los fundamentos lógicos, no deductivos, de la inducción física, estableciendo los cánones precisos de la misma que permitían establecer leyes generalizaciones a partir de la observación y el experimento de los fenómenos físicos. Dichos cánones cumplieron su objetivo en un estadio de la ciencia no excesivamente complejo. Así, por ejemplo, hablando en términos muy generales, se podría decir que las leyes descubiertas por Galileo, Faraday o Ampère, básicamente se obtuvieron por métodos inductivos, mientras que las teorías más generales, asociadas con los nombres de Newton, Maxwell o Einstein, lo fueron sobre la base del denominado método hipotético-deductivo. Los modernos epistemólogos nos hablan amplia y detenidamente de este último; los métodos inductivos apenas se discuten. Sin embargo es rigurosamente cierto que sin la labor previa del método inductivo, sería sumamente difícil, por no decir imposible, la formulación de teorías globales, tales como la teoría del campo electromagnético, de la relatividad y de las mecánicas cuánticas, matricial u ondulatoria. Lo contrario sería entronizar el apriorismo en física, justamente en un momento histórico en el que tal sistema está radicalmente eliminado. Por otra parte, tampoco parece existir una línea divisoria, neta, entre ambos métodos. La realidad de la indagación científica es mucho más compleja, abigarrada y variopinta, que los esquemas abstractos que de la misma los epistemólogos en sus análisis nos presentan.Básicamente consiste el método hipotético-deductivo en emitir hipótesis sobre el comportamiento matemático de los procesos físicos y luego comprobar, mediante la observación o el experimento, si las consecuencias, matemáticamente deducidas de tales supuestos, se cumplen en nuestro mundo. Pero dejemos a Max Planck que nos lo explique:

Para el físico la meta ideal es el conocimiento del mundo exterior; pero sus propios medios de investigación, sus medidas, no le dicen directamente, esto es, de un modo inmediato, en qué consiste el mundo, sino que más bien actúan como embajadores, más o menos inseguros o, como se expresó en cierta ocasión Helmholtz, son signos que le transmite el mundo exterior y que deben ser interpretados a la manera que un especialista en lenguas debe descifrar un documento antiguo, procedente de una cultura que le es totalmente extraña. Lo que se supone de antemano, para que el trabajo se vea coronado por el éxito, es que el contenido del documento tenga sentido.

Esto nos recuerda la hazaña del francés Champollion al conseguir descifrar los jeroglíficos de la famosa piedra Rosetta que cumplía la condición anterior: su contenido tenía sentido. El equivalente de tener sentido en física sería la suposición del orden regular de los procesos. Por ello:

En la confianza del orden regular del mundo exterior, el físico se forma un sistema de conceptos y principios básicos, la llamada Imagen Física del Mundo, que él establece de tal manera que pueda servir de modelo o substituto del mundo real.

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Se ha criticado a los físicos que a veces utilizan conceptos matemáticos no del todo absolutamente definidos. La verdad es que los físicos trasladan la exactitud a otro dominio para ellos más crítico: la correspondencia entre lo que predicen sus teorías y el resultado de los experimentos. Por esto nos advierte Max Planck:

La finalidad de la Imagen Física del Mundo es establecer la más estrecha correspondencia entre el mundo real y las vivencias perceptuales. El físico trabaja con las impresiones que le llegan a través de los sentidos.

En cuanto al establecimiento de la hipótesis, que nos ha de servir de punto de partida, Max Planck exige tres condiciones al físico:

En relación con la formulación de la hipótesis, el creador de la misma es, en principio, libre y soberano en cuanto a elegir los conceptos y principios que ha incorporar a la misma, siempre, claro está, que no contengan contradicción alguna.El nuevo pensamiento, la hipótesis, tiene su origen más allá de la lógica. Para lograr un pensamiento fecundo, el físico debe poseer dos cualidades: conocimiento del oficio y una fantasía creadora.

Una vez formulada la hipótesis, veamos lo que sucede:

En cuanto a la utilidad de una hipótesis establecida se refiere, ésta debe ser sometida a prueba al objeto de constatar las consecuencias que de ella se deducen. Esto se lleva a cabo mediante un proceso matemático, puramente lógico, del contenido de la hipótesis, que sirve de punto de partida y que eventualmente puede convertirse en teoría plenamente desarrollada. Los pronósticos de la teoría, así descubiertos, se confrontan con las mediciones y según sea la correspondencia entre ambos, satisfactoria o no, se obtienen conclusiones acerca de la validez de la hipótesis de partida.

Aún en el supuesto de que la hipótesis sea favorablemente verificada y se eleve, en consecuencia, a la categoría de teoría, no por eso adquiere validez absoluta. Es siempre parte de un proceso evolutivo y esta evolución no es un proceso suavemente continuado. La física evoluciona, según Planck, por saltos bruscos, según la mayor o menor fecundidad de las hipótesis que surgen del trabajo de los investigadores, ya sean experimentalistas o teóricos; los segundos, por lo general, precedidos de los primeros.

Cada nueva hipótesis que surge, representa algo así como una erupción brusca, como un salto en la obscuridad, algo lógicamente inexplicable en su génesis primordial. Tan pronto como ve la luz del día una nueva teoría, es sometida implacablemente a verificaciones y su destino queda fijado en base a las medidas de los experimentos. Si éstos son satisfactorios, la hipótesis gana en prestigio y la teoría desarrollada se aplica a círculos más amplios. Tan pronto como en algún punto aparecen dificultades en la interpretación de las medidas, surgen la duda y la desconfianza en la teoría. Son señales inequívocas de la muerte de la vieja teoría y el momento propicio de gestación de una nueva hipótesis, cuya finalidad es resolver la crisis e inducir una nueva teoría, que retenga las ventajas de la anterior, mejorando sus deficiencias. Mediante este juego de intercambios, unas veces en círculos pequeños, otras en círculos más amplios, prosigue el desarrollo continuado del conocimiento físico en el camino de la

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investigación acerca del mundo real exterior. Así ha sucedido siempre en la historia de la física. Sólo el que ha seguido de cerca, y en sus detalles, las dificultades y el conflicto inicial con las medidas de la bella teoría de Lorentz acerca de la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, ha podido experimentar el sentimiento liberador, mezcla de satisfacción y alivio, justamente merecido, que la formulación de la hipótesis de la relatividad ha llevado a cabo. Podríamos decir otro tanto de la teoría cuántica, sólo que en este caso la crisis aún no ha tocado fin.Textos traducidos liberalmente de la conferencia titulada Positivismus und reale Aussenwelt (Positivismo y el Mundo Exterior, 1930).

Los conflictos con las medidas, en relación con la teoría de Lorentz, no se refieren a los famosos experimentos de Michelson y Morley, que siempre arrojaron resultados en el mismo sentido, sino a los emprendidos por Kaufmann y más tarde por Bucherer y otros, relativos al incremento de masa que predecía la teoría de la relatividad de Lorentz. Los primeros ensayos parecían favorecer la teoría de los electrones indeformables de Abraham; posteriormente confirmaron la fórmula de Lorentz.

Vemos, pues, que el método Hipotético-deductivo es un caso complejo del simple procedimiento denominado trial and error. Nada preexiste excepto nuestra propia facultad de conocer, como diría Leibniz, y el principio de contradicción, algo congénito con todo lo existente y columna vertebral de la mente humana, pero aún esta facultad sólo la encontramos en estado germinal, evolucionando a lo largo de la vida, ya sea ésta individual o social. Creo que todas las ciencias, incluso las matemáticas, siguen, en líneas generales, la misma o parecida pauta. En lugar de formular hipótesis, se formulan axiomas, postulados y definiciones; el resto lo hace el análisis. Es verdad que en las matemáticas no se dan experimentos como en física, pero el análisis y las demostraciones operativas con símbolos los substituyen. Muchas ramas de las matemáticas se han creado al intentar resolver problemas de toda índole, que la propia física, la astronomía, la industria, la economía y otras actividades han presentado a lo largo de la historia a los matemáticos.La razón última del sistema expuesto por Max Planck es una consecuencia lógica de un principio fundamental, que figura repetidas veces en sus conferencias, y que he expuesto ya en otro lugar:

Ahora bien, existen dos teoremas, que juntos, configuran el gozne cardinal sobre el cual gira la estructura toda de la ciencia física:(1) Existe un mundo exterior que es independiente de nuestro acto de conocer, y(2) El mundo real no es directamente cognoscible.

El primero de los dos postulados, o más bien, la primera de las dos hipótesis, es una nítida confesión de fe en la realidad del mundo exterior, un mundo real y objetivo cuyos sucesos transcurren, en la mentalidad de Max Planck, independientemente de los observadores humanos y sus instrumentos de medida, tal como ocurría antes de que en el Universo existieran vida y seres que reflexionan, y como habrá de seguir aconteciendo si en algún momento estos seres desaparecieran. La segunda hipótesis concierne directamente el tema que tratamos. El mundo exterior no es directamente cognoscible, esto es, no es intuible, no es objeto de evidencia mediante ideas claras y distintas y, en muchas ocasiones, ni siquiera visualizable. Escuchemos de nuevo a Max Planck:

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Es cierto que la física se va alejando cada vez más de lo que suele denominarse visualización, o”intuibilidad”, (Anschaulichkeit). Frecuentemente se reprocha a la física teórica su creciente tendencia a utilizar los formalismos abstractos de las matemáticas, que nos hacen perder de vista el terreno que pisamos. Esta crítica es tan estéril como injustificada. El valor de un concepto no depende de su evidencia o “intuibilidad”, sino de su rendimiento.Traducido de su conferencia titulada Determinismus oder Indeterminismus, 1937.

Esta posición epistemológica en que la evidencia, esto es, en que las ideas claras y distintas pasan a un segundo término frente a su rendimiento, es ya un supuesto ineludible en la ciencia, como nos dice W. Heisenberg:

La historia nos enseña que por lo común una teoría es aceptada, no porque esté libre de contradicciones, ni en virtud de su claridad, sino porque uno espera poder participar en su elaboración y verificación.

A lo que cabría añadir: ni siquiera por razones exclusivamente estéticas.

El método hipotético-deductivo, en cierto modo, mide la rentabilidad de los conceptos, contabiliza su riqueza por las importantes consecuencias deducidas y confirmadas por los experimentos. Es una feliz conjunción de imaginación creadora, lógica, matemáticas y experimentación.

Permítame el amable lector una breve digresión. La anterior descripción del método hipotético-deductivo pertenece, como se ha indicado anteriormente, a la conferencia, Positivismus und reale Aussenwelt, pronunciada por Max Planck en la prestigiosa Institución germana, Harnack-Haus, en 1930, esto es, cuatro años antes de que Karl Popper popularizara, entre los filósofos, dicha posición epistemológica en su obra, The Logic of Scientific Discovery, publicada en 1934. Y un año antes, el físico-matemático y astrofísico, James Jeans, enunciaba formalmente en los siguientes términos la esencia misma del Principio de Falsación (expuesto ya en un capítulo anterior), indebidamente atribuido al filósofo de la ciencia, K. Popper:

Tal experimento, como cualquier otro, [se refiere al llamado experimentum crucis] representa, en efecto, una pregunta a la naturaleza. La pregunta nunca será: ¿es la hipótesis A verdadera”, sino esta otra: ¿es la hipótesis A sostenible? La naturaleza puede contestar mostrando un determinado fenómeno que no es compatible con nuestra hipótesis o mostrando un fenómeno que no es incompatible con la misma. Nunca nos mostrará un fenómeno que la pruebe; un solo fenómeno es suficiente para mostrar la falsedad de la hipótesis, pero un millón de millones no son suficientes para probar su verdad. Por esta razón los científicos jamás pretenden conocer algo con absoluta certeza, excepto los hechos de experiencia inmediata.Traducido del ensayo The New Background of Science, editado por la Universidad de Cambridge o, como reza la portada del mismo, Cambridge at the University Press 1933.

Vale la pela reproducir lo esencial del Principio de Falsación en las palabras mismas de Jeans:

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“She [the nature] can never shew us a phenomenon which proves it; one phenomenon is enough to disprove a hypothesis, but a million million do not suffice to prove it.

Nota:Jeans, nacido en Londres, utiliza siempre la grafía “shew” en lugar de “show”.

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EL DETERMINISMO DE LAPLACE EL INDETERMINISMO DE HEISENBERG

APÉNDICE A LA PRIMERA PARTE

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BOSQUEJO DE ULTERIORES DESARROLLOS CUÁNTICOS

Sumario:Objetivo de estos rudimentos de cuántica. La ecuación relativista del electrón de Dirac. Cuantificación del campo electromagnético. Teoría Quantum electro-dynamic. Proliferación de partículas. Las cuatro fuerzas fundamentales. Las extrañas partículas quarks de la teoría standard. Los quarks poseen carga de color. Jerarquía de partículas. Teoría de la Quantum Chromo-dynamic. Los bosones. Teorías de Gran Unificación. ¿Existen en la naturaleza las partículas absolutamente elementales? En el principio era la simetría.

OBJETIVO DE ESTOS RUDIMENTOS DE CUÁNTICA.

El objetivo al exponer sucintamente estos rudimentos de la teoría cuántica, en especial la evolución que ha sufrido la física de partículas, es completar el conocimiento de algunos desarrollos ulteriores de la teoría que, sin ser necesarios a la exposición de la tesis de este ensayo, centrado en el famoso principio de indeterminación de W. Heisenberg, facilitan, no obstante, una perspectiva global de la teoría cuántica en la que este ensayo se enmarca.

LA ECUACIÓN RELATIVISTA DEL ELECTRÓN DE DIRAC.

Ya vimos cómo en la antigua teoría cuántica de N. Bohr, dominada por el principio de correspondencia, Arnold Sommerfeld introdujo nuevos números cuánticos que daban cuenta de los efectos relativistas del electrón, logrando así explicar la estructura superfina del espectro del hidrógeno.En la nueva mecánica cuántica, esta función fue desempeñada por el físico británico Paul Audrien Maurice Dirac, un año más joven que W. Heisenberg. Estudió primero ingeniería eléctrica en la Universidad de Bristol pero, fascinado por la teoría de la relatividad a través de las obras de A. S. Eddington, ingresó en la Universidad de Cambridge donde, bajo la dirección del físico R. H. Fowler, cambió el rumbo de sus estudios especializándose en la teoría cuántica. Dirac, aunque de rasgos típicamente británicos, descendía de una familia oriunda de Suiza y ascendencia francesa, instalada recientemente en Inglaterra.En el verano de 1926 Dirac asistió a una conferencia de W. Heisenberg sobre la nueva mecánica cuántica, auspiciada por Fowler. Un año más tarde P. A. M. Dirac expresó la idea básica de W. Heisenberg en una nueva formulación, creando el álgebra de los números “q”. Esta clase de números, al igual que las matrices, no conmutan, y se refieren a pares de magnitudes físicas observables como posición y momento, energía y tiempo, etc., que constituyen las llamadas magnitudes conjugadas. Algo más tarde Dirac encontró una teoría general, un marco matemático más amplio que englobaba todos los esquemas especiales, matrices y ecuaciones de onda, y facilitaba reglas bien definidas para pasar de un sistema a otro. Se la conoce con el nombre de Teoría de las Transformaciones Dirac-Jordan, ya que también fue independientemente ideada por el joven físico, Pascual Jordan. Tal vez, su contribución más sobresaliente fue la teoría relativista del electrón, presentada en Diciembre de 1927. El formalismo matemático consistía en un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden, parciales y simultáneas, que dan cuatro funciones de onda. Tanto por su elegancia matemática, como por la fecundidad de sus

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resultados, despertó una gran admiración entre los físicos. El físico inglés Charles G. Darwin, nieto del famoso biólogo, anticipó la noticia a Niels Bohr con estas palabras:

He estado en Cambridge hace unos días y he visto a Dirac. Acaba de obtener un sistema de ecuaciones completamente nuevo para el electrón; proporciona el spin correcto para todos los casos y parece ser “la cosa” ¡Sus ecuaciones son diferenciales de primer orden, no de segundo!

Con la frase y parece ser “la cosa” (and seems to be “the thing”), él y otros creyeron ver el formalismo matemático definitivo.En él Dirac utilizó la fórmula relativista de la energía:

E = [c2p2 + (m0c2)2] + V,

en lugar de la expresión clásica empleada por Schrödinger. La teoría de este último aparecía como un caso particular, en el dominio de las bajas velocidades. De sus ecuaciones se deducía con toda naturalidad el spin, o rotación intrínseca del electrón, la estructura superfina del espectro del hidrógeno y, lo que era aún más extraño, la existencia de electrones positivos, o positrones, que en un principio, erróneamente, intentó identificar con los protones, en abierta oposición de otros físicos, en especial de W. Heisenberg, quien propuso la hipótesis según la cual el núcleo sólo contendría protones y neutrones, siendo planetarios todos los electrones. Con Dirac entró en la física el concepto de antimateria: a toda partícula, susceptible de portar alguna clase de carga, eléctrica o de cualquier otra naturaleza, le corresponde otra partícula simétrica con carga opuesta. No caen, pues, bajo esta regla, las partículas no cargadas, llamadas bosones, como los fotones y otras similares.En 1932 el norteamericano Carl D. Anderson detectó en los rayos cósmicos una partícula con carga positiva y comparable en masa con la del electrón. Recibió, como se ha dicho, el nombre de positrón. Nacía así un nuevo mundo, el de la antimateria, al tiempo que se duplicaban las partículas fundamentales, portadoras de alguna clase de carga.

CUANTIFICACIÓN DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.

Uno de los primeros físicos en intentar la cuantificación del campo electromagnético fue P. Jordan a quien, a la edad de sólo 23 años, vimos colaborar con su profesor Max Born en el desarrollo de la mecánica matricial que esbozara en solitario W. Heisenberg. Este último físico, en colaboración con W. Pauli, propuso una nueva teoría del campo unificado. Se dice que los recursos de los alfabetos latino, griego y gótico apenas fueron suficientes para exponer las prolijas y complejas demostraciones contenidas en los dos artículos que publicaron conjuntamente.P. A. M. Dirac criticó la cuantificación del campo Heisenberg-Pauli, por considerarla deficiente en estética matemática, ya que, en su opinión, una teoría matemática cierta debe ser también bella. Hizo aportaciones importantes a la teoría, pero la solución definitiva no estaba reservada a ninguno de estos cuatro físicos eminentes.

PROLIFERACIÓN DE PARTÍCULAS.

El mundo físico del primer cuarto de siglo con sólo sus tres elementos –protón, electrón y fotón- fue, como ya dijimos, un mundo feliz en cuanto al número de partículas se

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refiere. Pero la situación se fue complicando paulatinamente. El neutrón se descubrió en 1932, el positrón en 1933 y el mesón, postulado por el japonés Yukawa, en 1937.Con el tiempo las partículas se hicieron tan numerosas que su ordenamiento y clasificación, en términos de partículas más fundamentales, se hizo tan apremiante como la de los elementos químicos antes del establecimiento de la tabla periódica. Se precisaba, pues, un nuevo Mendeleieff. Su ordenamiento resultó aún más simple que el de la mencionada tabla. La simplificación afectó principalmente, como vamos a ver, a las partículas denominada bariones (pesadas), o hadrones (fuertes), como protones, neutrones, piones, mesones y otras partículas. Dejaron de ser consideradas elementales, al suponerlas constituidas por los extraños quarks y los gluones que los enlazan. Estos términos ya no se tomaron de la sonora lengua griega; proceden del mundo angloamericano que en las últimas décadas tanto ha contribuido al desarrollo de la física sub-nuclear, rompiendo así una tradición según la cual los profesores de física acudían a sus colegas, los catedráticos de griego, en solicitud del vocablo más adecuado. Así, por ejemplo, si la memoria no me falla, creo que fue August Heisenberg, padre de Werner Heisenberg, profesor de filología bizantina en la Universidad de Munich, quien propuso el nombre de positrón para el electrón positivo.

LAS CUATRO FUERZAS FUNDAMENTALES.

Existe un cierto paralelismo entre ciertas propiedades de la materia y las clases de fuerza. Hacia 1800 existían cuatro fuerzas fundamentales y sus correspondientes correlatos materiales: gravitación y masa, electricidad y cargas eléctricas, magnetismo e imanes y, finalmente, la fuerza de cohesión entre moléculas. En la segunda mitad del siglo XIX las tres últimas fuerzas quedaron fusionadas en una sola, gracias, principalmente, al físico experimental M. Faraday y al teórico J. C. Maxwell, quien logró sintetizar las leyes básicas del electromagnetismo, incluyendo la óptica y la física de lo que se denominaba entonces calor radiante, culminando el trabajo de otros ilustres predecesores, entre ellos André Ampère, a quien Maxwell denominó el Newton de la electricidad.Entretanto, han surgido otras fuerzas: la fuerza fuerte de Yukawa que enlaza protones y neutrones, apiñados en el núcleo, y la fuerza débil de Enrico Fermi que gobierna ciertas transformaciones de unas partículas en otras, como la desintegración beta en los elementos radioactivos, en la que el neutrón se transforma en protón con emisión de un electrón y un antineutrino.Estas dos últimas fuerzas no son apreciables a nivel macroscópico. Se detectaron gracias a sofisticados experimentos de laboratorio. La gravedad es, con mucho, la fuerza de menor intensidad pero, dado que no existen masas negativas de gravedad, sus efectos, siempre atractivos, acaban imponiéndose a grandes escalas.Actualmente se considera la fuerza fuerte entre nucleones -protones y neutrones- como un residuo de la fuerza fuerte que enlaza los quarks en el interior de los hadrones, del mismo modo que la fuerza de cohesión es un residuo de las fuerzas electromagnéticas entre el núcleo y las capas electrónicas del átomo.

NOCIÓN DE CAMPO E INTERACCIÓN.

En las teorías físicas se emplean los conceptos de partículas, fuerzas y campos. Dado el carácter elemental de este bosquejo, nos ceñiremos principalmente a las dos primeras, sin menoscabo de decir algo acerca de los campos. En el caso del electromagnetismo, las partículas cargadas generan un campo electromagnético. Las partículas interaccionan

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luego entre sí a través del campo, concebido éste como un medio, no material, sujeto a tensiones, que las separa. Dos partículas interaccionan entre sí intercambiándose una tercera, denominada cuanto del campo o bosón. Una imagen grosera, demasiado burda, sería la de dos tenistas lanzándose y devolviéndose la pelota. Se denomina campo a una magnitud definida en todos los puntos de una región de espacio y tiempo. El valor del campo en un punto viene determinado por la distribución de cargas en torno a dicho punto. Si se trata de la electricidad, el campo eléctrico entre dos puntos viene definido por la diferencia de potencial entre ambos; si hablamos de una plancha metálica, por la diferencia de temperatura entre dos puntos dados. La estructura de este último campo es muy sencilla, bastaría con medir la temperatura en cada uno de los puntos, o diminutas zonas, de la plancha metálica. Son ejemplos de campos escalares, denominados así porque la magnitud en cada punto viene determinada por un solo número de una cierta escala: escala de potenciales o de temperatura en estos dos casos. Pero si queremos conocer la distribución del viento en una comarca, habremos de conocer en cada parcela unitaria tanto la intensidad de la fuerza (módulo), como la dirección del viento, lo que implica conocer los tres componentes espaciales del vector o dos ángulos y el radio vector. Por eso reciben el nombre de campos vectoriales. La inmensa mayoría de los campos físicos son de esta última clase, esto es, magnitudes de más de una dimensión. Como es bien sabido, los vectores se representan gráficamente por flechas; básicamente son distancias, o cualesquiera otras magnitudes, orientadas.

QED, O TEORÍA QUANTUM ELECTRO-DYNAMIC.

Esta teoría, la electrodinámica cuántica, fue desarrollada en los años 1947-1948 por los físicos Sin-Itiro Tomonaga, Richard Feynman, Julian Swinger y Freeman Dysson, y el nudo gordiano que tuvieron que cortar se llama renormalización, de la que Olivier Darrigol, en Le Monde Quantique, nos da esta intuitiva descripción:

Una imagen simple nos permitirá ilustrar esta operación, Una bola, al desplazarse en un líquido, ve aumentada su inercia por el arrastre parcial del líquido que la circunda. La masa física observada al medir su inercia es la suma de la masa propia de la bola desnuda y de la masa del líquido que arrastra. Del mismo modo, un electrón “desnudo”, cuando se desplaza, arrastra consigo fotones y pares de electrón-positrón (llamados “virtuales” porque sólo se trata de una imagen). Si el electrón desnudo es puntual, este cortejo lleva una masa infinita y enmascara completamente la carga eléctrica desnuda. Pero se puede contrapesar estos efectos asumiendo valores infinitos para la masa y la carga “desnuda”, atribuyendo así los valores observados a las masas y cargas físicas.

Del mismo modo que las aportaciones de Sommerfeld perfeccionaron la teoría de Bohr, y las del mismo Dirac en 1927 parecieron a más de un físico constituir la última palabra, la moderna quantum electro-dynamic supera a todas las anteriores desde el punto de vista predictivo. De hecho, lo que motivó la creación de esta teoría fue el intento de explicar el efecto Lamb, un desdoblamiento de determinadas líneas espectrales, esto es, una estructura fina no explicable por la teoría de Dirac.

LAS EXTRAÑAS PARTÍCULAS QUARKS DE LA TEORÍA STANDARD.

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Los nuevos Mendeleieff, aludidos anteriormente, aparecieron en las personas de Murray Gell-Mann y de George Sweig en 1964. En líneas muy generales, el universo se compone de hadrones, leptones y bosones. Se denominan hadrones, del griego fuerte, las partículas que producen y responden a la fuerza nuclear que mantiene la cohesión del núcleo. Los protones, neutrones y mesones son hadrones y poseen estructura interna.Murray Gell-Mann llamó quarks a los componentes de los bariones y mesones. En el modelo original sólo existían tres clases de quarks: up, down y strange. James D. Borken añadió el cuarto que denominó charm. Actualmente se conocen seis clases de quarks que los angloamericanos llaman flavours, esto es, sabores o aromas, según los traductores. Van apareados en familias según el cuadro sinóptico a continuación. El quark Top/Truth (Cima/Verdad), con doble nombre pues no se ha llegado a un acuerdo definitivo sobre su denominación, fue el último en detectarse, por su elevada masa, en 1995, en el Laboratorio Nacional del Acelerador Fermi, en cuyo colisionador Tevatrón tienen lugar colisiones frontales entre protones y antiprotones, previamente acelerados con una energía de 900.000 megaelectrón-voltios. Esta unidad es un múltiplo del electrón-voltio; representa la energía que adquiere un electrón que se acelera al atravesar un campo donde existe la diferencia de potencial de un voltio. MeV simboliza un millón de electrón-voltios; GeV, mil millones y TeV un millón de millones de electrón-voltios. En honor del iniciador de la teoría de los quanta se denomina energía de Planck a una energía equivalente a unas 1019 veces la masa del protón, del orden de las energías generadas en el inicio del Big Bang, o creación del Universo.Los términos ingleses, con sus correspondientes en castellano y sus respectivos símbolos, figuran en el cuadro adjunto:

Símbolos u d c s t bInglés Up Down Charm Strange Top/Truth Bottom/Beauty

Castellano Arriba Abajo Encanto Extraño Cima/Verdad Valle/Belleza

Es característico de los quarks el hecho de que su carga eléctrica no es un entero respecto a la carga del protón o del electrón, mas la combinación de los quarks para formar protones, neutrones y mesones debe ser tal que la carga total sea un entero, esto es, la unidad positiva para el protón y cero para el neutrón. Así, pues, un protón, cuya composición se expresa por uud, está formado por dos quarks u, con carga fraccionaria de 2/3, y un quark d, con carga –1/3, esto es, + 2/3 + 2/3 – 1/3, cuya suma algebraica da la unidad. El neutrón, cuya composición se indica por ddu, se compone de dos quarks d y de un quark u, esto es, -1/3 –1/3 + 2/3, con carga total igual a cero.

LOS QUARKS POSEEN CARGA DE COLOR.

Los quarks son portadores de una carga especial, la carga de color, sobre la que actúa la fuerza fuerte. Del mismo modo que el átomo es neutro porque las cargas eléctricas de signo contrario se compensan, los protones, neutrones y mesones carecen de color en cuanto tales, porque sus componentes, aunque dotados de color, se compensan

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mutuamente, resultando la composición incolora. La imagen de la carga de color se ha tomado de la óptica por cierta analogía en su comportamiento, mas no por su naturaleza física. Así, sabemos que la luz blanca es incolora porque en su composición entran todos los colores.Cada sabor de quark puede llevar una de las tres clases de color: rojo, verde o azul. La partícula antimateria del quark se denomina antiquark. A un quark rojo le corresponde un antiquark con carga de color antirojo, que suele denominarse cian. Los otros dos antiquarks llevan carga antiverde (magenta) y antiazul (amarilla).Las únicas combinaciones permitidas son, de una parte, las de un quark y su antiquark, con sus colores opuestos, que originan mesones; y, por otra parte, tenemos la combinación de los quarks rojo, verde y azul, que forman los bariones, como el protón y el neutrón, aparte, claro está, la combinación paralela de los antiquarks que constituirían la antimateria. Si cada quark coloreado se tomara como una partícula distinta, habría 18 variedades de los mismos.El protón y partículas formadas por tres quarks poseen número bariónico +1; mesones, piones y otras partículas que constan de quark y antiquark tienen número bariónico 0. Como cada hadrón posee un spin ½, los mesones tendrán un spin 0 si sus componentes giran en sentido contrario, y spin 1 si lo hacen en la misma dirección.Al igual que los leptones, los quarks experimentan interacciones débiles que cambian una especie o sabor en otra. Por ejemplo en la desintegración beta de un neutrón en protón, antes mencionada, uno de los quarks d se transforma en un quark u, emitiéndose, a lo largo de este proceso, un electrón y un antineutrino, que es la partícula antimateria del neutrino.Sabemos que el alcance de la fuerza electromagnética es infinito y que la intensidad se debilita con la distancia, mientras que el alcance de la interacción fuerte es menor que 10-13 centímetros, con la particularidad de que la intensidad de la fuerza crece con la distancia. Esta es la razón por la que los quarks están permanentemente confinados en el núcleo atómico y, no obstante, asintóticamente son libres a distancias extremadamente cortas. Es lo que se denomina el confinamiento de los quarks.

LOS QUARKS EN LA JERARQUÍA DE PARTÍCULAS.

Existe una gradación decreciente en el tamaño del diámetro en la jerarquía de las partículas:

Jerarquía de Partículas

Clases de Partículas Átomo Núcleo Protón Quark

Diámetro en centímetros

10-8 10-12 10-13 10-16

A continuación tendríamos que añadir las partículas pre-quarks de las que ya hablan algunos teóricos. Todo ello nos recuerda la ficción de Jonathan Swift cuando escribió:

Así, naturalista, observa: una moscaPorta moscas más pequeñas que la devoran,

Y éstas, a su vez, otras aún más pequeñas que las muerden,

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Y así sucesivamente hasta el infinito.

LEPTONES.

La clase de leptones comprende, entre otros menos conocidos, el electrón y su neutrino electrónico. El electrón, el muón y el tau portan carga eléctrica negativa igual a –1, siendo la masa del muón unas doscientas veces la del electrón y la del tau, unas 3.500. Las diversas clases de neutrinos, como sus nombres indican, son neutras, estando dotados de masas despreciables excepto el neutrino tauónico. Los leptones carecen de carga de color.

CROMODINÁMICA CUÁNTICA Y BOSONES.

La teoría cuántica del electromagnetismo, que describe las interacciones mediadas por fotones entre protones y electrones, cargados eléctricamente, se conoce como electrodinámica cuántica, o Quantum Electro-Dynamic (QED). Paralelamente se ha desarrollado otra teoría similar, la cromodinámica cuántica, o Quantum Chromo-Dynamic (QCD), basada en la interacción fuerte, esto es, en la carga de color (de chromo, en griego , color) en lugar de la carga eléctrica (electrón, en griego , ámbar). Ambas teorías pertenecen a la clase de las llamadas teorías de aforo (Gauge). En estas teorías cada fuerza se transmite de una partícula a otra mediante campos portadores que, a su vez, se encarnan en partículas, o bosones de aforo. Entre los bosones tenemos: el fotón para la fuerza electromagnética, los bosones vectoriales débiles para la fuerza débil, y los gluones para la fuerza fuerte. En calidad de bosones, su spin posee número entero. Fotones y gluones carecen de masa en reposo y de carga eléctrica, pero estos últimos poseen carga de color como los quarks, razón por la cual la emisión o absorción de un gluón por un quark cambia el color de los quarks, mientras que los fotones no alteran la carga de las partículas con las que interaccionan, pero sí cambian la fase de los campos de los electrones. El campo del electrón puede concebirse como un paquete de ondas en movimiento. No se trata del campo eléctrico creado por el electrón en su entorno, sino de un campo de materia que representa las oscilaciones en la amplitud de las componentes reales e imaginarias del campo. Dicho campo define la probabilidad de encontrar al electrón en un determinado estado de spin, en un punto y un instante dados. La fase mide el desplazamiento angular de la onda desde un sistema de referencia arbitrario, expresándose en grados o radianesLos fotones que se intercambian tienen características propias que los distinguen de los fotones de la luz, o de los cuantos de cualquier otra radiación electromagnética. Por ello reciben el apelativo de virtuales; no podemos descubrir su presencia mediante un detector de partículas, mientras que los fotones emitidos, al pasar el electrón de una órbita dada a otra interior, son reales y detectables.

En cuanto al comportamiento como grupo, los fermiones, con valor de medio spin, siguen la estadística denominada Fermi-Dirac, mientras que los bosones, con spin cero o la unidad, siguen las reglas de la estadística Bose-Einstein. En consecuencia, el comportamiento como grupo de ambas clases de partículas es marcadamente diferente. Los fermiones, como ya vimos, están sometidos al principio de exclusión de Pauli. Así, en el átomo, dos electrones no pueden poseer los mismos cuatro números cuánticos. Esta profunda aversión a compartir los mismos números cuánticos explica la estabilidad y consistencia tanto de nuestros cuerpos como de las estrellas y galaxias. Los bosones,

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por otra parte, tienden a agruparse en estados idénticos, como ovejas de un rebaño, todas idénticas entre sí y sin espacio propio y privativo para cada miembro del conjunto. Pero esta distinción en el comportamiento como grupo no es tajante: una partícula compuesta de un número impar de fermiones se comporta como un fermión; con número par, se comporta como un bosón. El caso del helio es paradigmático: con dos protones, dos neutrones y dos electrones, abandona el carácter huraño de los fermiones para hacerse manso y sociable como un bosón (átomos del helio 4 superfluido).

GLUONES Y SIMETRÍAS.

Los cuantos del campo de color se llaman gluones, término derivado del inglés glue (goma, pegar), por cierta analogía con las tiras de goma. Éstas, cuando distendidas, dejan en libertad a los objetos en ellas prendidos, pero los retienen con tanta más fuerza cuanto más tratamos de desprenderlos. Este comportamiento nos ofrece una imagen plástica del extraño confinamiento de los quarks. No se ha conseguido aislarlos como acontece con otras partículas. Existen ocho clases de gluones, compuestos cada uno de un color y su anticolor respectivo. Poseen, pues, carga de color, mas eléctricamente son neutros y tienen masa nula, como los fotones. Los quarks interaccionan intercambiando gluones, que cambian los colores de los propios quarks de modo tal que no pueda darse un cambio neto del color de los hadrones. Se dice entonces que los gluones conservan la simetría local del color, de un modo análogo a como los fotones conservan la simetría local de la fase del campo de materia del electrón. La simetría puede definirse como la invarianza de un determinado estado del sistema al aplicarle una determinada transformación. Si giramos 60º un copo de nieve, la figura permanece idéntica. La transformación aplicada aquí es la rotación de 60º. En un campo eléctrico en reposo, si invertimos la polaridad de las cargas, las fuerzas entre las mismas siguen las mismas, esto es, invariantes. Es como si en álgebra multiplicásemos todos los términos de los miembros de una ecuación por 1; la igualdad subsistiría. En ambos casos las simetrías son globales, esto es, precisamos aplicar la transformación en todos los puntos del sistema, mas en el caso de fotones y gluones la transformación puede aplicarse independientemente en cualquier punto, por lo que se denomina simetría local.

OTRAS PARTÍCULAS: EL GRAVITÓN Y LOS BOSONES DE LA FUERZA DÉBIL.

La partícula conjeturada, denominada gravitón, sería el bosón correspondiente a la fuerza de gravitación, fuerza ésta que aún no está integrada en el marco de la teoría cuántica.El alcance de las fuerzas resulta ser inversamente proporcional a la masa de las partículas que las transmiten, lo que explica los altos valores de masa de los bosones de la fuerza débil con mínimo alcance, y la masa en reposo nula de los fotones, o bosones de la fuerza electromagnética, cuyo alcance teórico es infinito. El rasgo más notable de la fuerza débil es su exiguo alcance, inferior a 10-16 centímetros, algo así como una milésima parte del diámetro del protón. El corto alcance implica una masa importante de las partículas vectoriales, intercambiadas en las interacciones.Las tres partículas transmisoras de la fuerza débil, llamadas bosones vectoriales débiles, son: el W+, con carga débil y carga eléctrica +1, el W- con carga débil y carga eléctrica –1 y finalmente el W0, que es neutro con respecto a las fuerzas débiles y electromagnéticas, al igual que el fotón y dos de los ocho gluones, el G1 y G2. Los bosones neutros transmiten las fuerzas entre las partículas que llevan carga débil, electromagnética o de color, pero no alteran ninguna de sus propiedades.

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LA TEORÍA ELECTRODÉBIL DE WEINBERG-SALAM-WARD

Existe una teoría, el modelo Weinberg-Salam-Ward, denominado así por el nombre de los tres científicos que contribuyeron a su creación, que abarca en su descripción tanto las fuerzas débiles como las electromagnéticas. La teoría, una aplicación de la teoría de Yang-Mills y de los campos de Higgs, es compleja y extraña, pero sus predicciones sobre los comportamientos de los bosones vectoriales intermedios, W+, W- y Z0, antes mencionados, que intervienes en las interacciones, así como acerca de sus masas respectivas, han sido admirablemente confirmadas en los experimentos. El físico Carlo Rubbia, dirigió el equipo, integrado por varios centenares de físicos, que descubrieron en 1983 las tres partículas

MATERIA ORDINARIA.

Protones, neutrones y electrones componen la materia ordinaria que nos rodea y que está compuesta de los 92 elementos químicos de la tabla periódica. Está formada por lo que se llama la primera generación que comprende: el electrón, el neutrino electrónico, el quark d y el quark u, cada uno en sus tres colores. En total ocho partículas darían cuenta de la materia ordinaria. El resto de las partículas se observan en el laboratorio y en colisiones de partículas en los grandes aceleradores. Con las partículas sobrantes, nos dicen los expertos, se podrían formar otras clases de materia y otros mundos; serían inestables y acabarían desintegrándose en protones, neutrones y electrones. Pero no sucedería así con los universos constituidos de antimateria. Una aproximación excesiva entre mundos de materia y antimateria significaría su aniquilación mutua por fusión en una radiación gigantesca de energía puraEn cuanto a la materia no ordinaria, algún físico se ha preguntado ¿Quién ordenó tales partículas? En un principio se encontraron en los extraños sucesos de la radiación cósmica, posteriormente como resultado de las enormes colisiones entre partículas en los grandes aceleradores, y algunas de ellas, las más extrañas e hipotéticas, entre ellas el bosón de Higgs, tienen su origen en calidad de las piezas faltantes de un gigantesco y fantástico puzzle, que los físico-matemáticos denominan grupos de simetrías subyacentes de las partículas y fuerzas de la naturaleza.

TEORÍAS DE GRAN UNIFICACIÓN.

Los físicos modernos, auténticos filósofos de la naturaleza, en el sentido más noble de esta expresión, andan tan enamorados, en pos de la unidad de todas las fuerzas de la naturaleza, como en otros tiempos sus antepasados los filósofos naturalistas jónicos de la antigua Hélada.En cualquier artículo de divulgación científica podemos leer afirmaciones como éstas:

La fuerza débil y electromagnética se fundirían en una sola, la fuerza electrodébil, a energías por encima de 100 GeV, esto es, cien mil millones de electrón-voltios, equivalente a la energía que prevalecía en el Universo cuando éste contaba tan sólo la fracción de 10-10 de un segundo. Los científicos abrigan la esperanza de que las fuerzas fuerte y electrodébil se fundirían a unas energías de 1015 GeV, e incorporarían la fuerza de la gravedad al alcanzarse la energía de 10 19 GeV aproximadamente.

Ello parece plausible porque la fuerza nuclear fuerte se torna cada vez más débil en

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niveles ascendentes de energía, mientras que las fuerzas electromagnética y débil se hacen más fuertes a esos mismos niveles, lo que implica un punto de convergencia y encuentro final. En esta línea de unificación, los teóricos han creado una nueva teoría de aforo que haría posible la transformación de quarks en leptones y viceversa. Como en toda teoría de aforo, la interacción entre partículas se efectúa por mediación de un bosón, o partícula de fuerza, el bosón X. Según la más sencilla de estas teorías, las interacciones fuerte y electrodébil convergen y se convierten en una única interacción a una distancia de 10 -29

cm, correspondiente a una energía de 1024 electrón-voltios. Esta es una energía tal que no puede alcanzarse en los aceleradores actuales, pero de la teoría se deducen consecuencias que se podrían contrastar. Una de ellas es la desintegración del protón, último reducto en que parece haberse refugiado la categoría aristotélico-kantiana de substancia. Según los expertos, si los dos quarks u de un protón se acercaran uno al otro hasta una distancia menor de 10-29 cm, se fusionarían en un bosón X y un antiquark d. Este antiquark se combinaría con el otro quark d, remanente del protón, para formar un pión neutro, el cual terminaría desintegrándose en dos fotones. En el proceso la mayor parte de la masa del protón se transformaría en energía. El pión, como ya se dijo, denominado también mesón-, pertenece a la clase de los mesones.Se está tratando de verificar esta predicción de la teoría. Se calcula la vida media del protón en unos 1030 años o más. Se precisa, pues, una masa ingente de materia para que dicha desintegración resulte probable. Uno de los experimentos dispuestos, uno de los más ambiciosos, tiene lugar en un tanque de agua purificada de 21 metros de lado, circundado de instrumentos, en la mina de sal de Morton, cerca de Cleveland, U.S.A. Se controla el experimento desde hace ya varios años. No existe evidencia cierta de que algunos de los más de 1023 protones que contiene el tanque de agua se haya desintegrado. Los científicos, inaccesibles al desaliento, empiezan a sospechar que, tal vez, la vida media de los protones sea superior a la estimada. Existen otros experimentos en marcha que podrían algún día corroborar la desintegración protónica.

¿EXISTEN EN LA NATURALEZA LAS PARTÍCULAS ABSOLUTAMENTE ELEMENTALES?

Sólo la experimentación lo decidirá. De momento ya se habla de hipotéticas partículas pre-quarks, de partículas exóticas. ¿Dónde está el límite? La espléndida floración de partículas cuánticas es consecuencia de los métodos experimentales empleados en los aceleradores: colisiones de partículas aceleradas a muy altas energías. Cuanto mayor sea la energía de colisión, tanto mayor es la probabilidad de encontrar ciertas partículas que actualmente se postulan, como el bosón de Higgs, o partículas totalmente desconocidas. De paso diremos que originariamente se postuló el bosón de Higgs para aportar rigor matemático al modelo standard de las partículas elementales, aunque posteriormente se haya prestado más atención a otra función, la de conferir masas a dichas partículas. Dicho bosón es una pieza clave en la teoría SU(5), de gran unificación, a la que se hará breve referencia más tarde.En el proyectado Supercolisionador Superconductor, con un anillo de una treintena de kilómetros de diámetro, se confinarían dos haces de protones girando en direcciones opuestas, acelerados a energía de 20 TeV, necesarios para producir 1 TeV en las interacciones de quarks y gluones dentro de los protones. Un TeV, o tera-electrón-voltios, es igual a 1012 eV. Se esperaba que entraría en funcionamiento en el año 1994, con un coste de 3.000 millones de dólares. Por desgracia el proyecto fue cancelado por el Congreso de los Estados Unidos en Octubre de 1993, cuando los gastos incurridos

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estaban próximos a trescientos mil millones de pesetas. Los físicos tienen ahora puestas sus esperanzas en el Gran Colisionador de Hadrones, o LHC, el triturador de protones, un proyecto parecido al Supercolisionador Superconductor, o SSC, pero más pequeño que, como se mencionó anteriormente, se está construyendo en el CERN.Según los expertos, un acelerador, análogo al Tevatrón del Laboratorio Nacional Fermi, cuya energía fuera suficiente para comprobar una hipótesis del tipo TGU, Teoría de la Gran Unificación, llegaría hasta las estrellas más próximas, y una máquina para comprobar la TOE, Theory of Everything (Teoría del Todo), se extendería hasta el mismo centro de nuestra Galaxia. La teoría TOE describiría audazmente, y con un solo sistema de ecuaciones, las interacciones entre todas las partículas, unificando todas las fuerzas, incluida la gravitación. Los legos en la materia, sólo podemos exclamar, pasmados, con la misma frase de Don Juan Tenorio: ¡Cuán largo me lo fiáis!

EN EL PRINCIPIO ERA LA SIMETRÍA.

¿Conseguirán los científicos encontrar las partes más simples o elementales de la materia? ¿y cómo sabríamos que hemos alcanzado los componentes últimos? ¿tendrá que haber siempre unas partes dentro de otras? ¿conservará indefinidamente validez la frase componerse de? Werner Heisenberg no lo creía:

La estructura fundamental de la materia es hoy día uno de los problemas centrales, un problema que desde los tiempos de Demócrito ha estado presidido por el concepto de partícula elemental, como delatan claramente las imágenes y preguntas que utilizamos. Un trozo de materia consta de moléculas; una molécula consta de átomos; un átomo consta de núcleo y electrones. Un protón…, bueno podría ser una partícula “elemental”, si a su vez no pudiera dividirse; nos gustaría, pues, que tuviese una masa y una carga puntuales. Pero el protón tiene un tamaño finito y puede ser dividido. De una colisión entre dos protones pueden surgir muchas partes. Mas esas partes no son menores que el protón, sino partículas parecidas a él, es decir, son ciertos objetos de todo un espectro de partículas, cuya carga, siempre que no sea nula, no es menor que la del protón. De ahí que lo que observamos en una colisión de este tipo, no deberíamos llamarlo fisión del protón; se trata de la creación de nuevas partículas a partir de la energía cinética de los protones que chocan… Estamos abocados a utilizar palabras como “dividir”, “constar de”, o “número de partículas” y al mismo tiempo las observaciones nos dicen que semejantes expresiones son de muy dudosa aplicación…Lo que necesitamos es un cambio en los conceptos fundamentales. Tendremos que abandonar la filosofía de Demócrito y el concepto de partícula elemental y, en lugar de ello, deberíamos aceptar el concepto de simetrías fundamentales que deriva de la filosofía de Platón. Así como Copérnico y Galileo abandonaron en su método la ciencia descriptiva de Aristóteles y asumieron la ciencia estructural de Platón, también es probable que en nuestros conceptos tengamos que abandonar el materialismo atómico de Demócrito y recurrir a las ideas de simetría de la filosofía platónica…

Volviendo al tema de si en la física de las partículas se han descubierto estructuras fundamentales de la naturaleza, mi opinión es que se han hallado las simetrías fundamentales. Con la expresión “simetría fundamental” queremos decir que la ley natural, de la cual depende el espectro de partículas y sus interacciones, es invariante bajo determinados grupos de transformaciones.De la colección de discursos Tradition in der Wissenschaft

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Y en su autobiografía científica escribe:

Tal vez, no existan esas partículas, supuestas las más pequeñas e imposibles de seccionar. Es posible que podamos dividir más y más la materia, pero en último término no encontraríamos partes sino que estaríamos transformando energía en materia, y las partes encontradas no serían más pequeñas que lo partido. Pero ¿Qué había en un principio? ¿Una ley natural, matemáticas, simetrías? “En el principio era la simetría”.Traducido del ensayo: Der Teil und das Ganze

Este texto, si bien fue escrito cuando ya había surgido la propuesta de los quarks, la teoría de los mismos no estaba aún totalmente afianzada y desarrollada en los planos teórico y experimental.

JERARQUIA DE GRUPOS DE SIMETRÍAS.

Existe una jerarquía de simetrías aplicables a las partículas. La simetría más sencilla, la correspondiente al electromagnetismo, tiene por símbolo U(1).

Decimos así que la QED es una teoría U(1). U(1) es un término empleado en la teoría matemática de grupos. El 1 se refiere al hecho de que el fotón interacciona con una sola clase de partícula en un instante. El fotón nunca transforma una partícula de una clase en otra partícula de otra clase. Las interacciones fuertes y débiles son más complicadas en este aspecto, y más complejos los grupos que las describen (Howard Georgi). El grupo de simetría SU(2) de la interacción débil induce todas las posibles transformaciones de dos objetos, o de una matriz dos por dos.

La fuerza débil actúa sobre dobletes. La teoría que describe es una teoría SU(2), en la que los dos miembros del doblete pueden transformarse entre sí. Por ejemplo, el neutrino levógiro y el electrón levógiro constituyen un doblete; se les asignan, respectivamente, cargas débiles de +1/2 y –1/2. (Howard Georgi).

El grupo de simetría SU(2)xU(1), que incluye los dos grupos anteriores, está en la base de la teoría que unifica las fuerzas electromagnética y débil, creada entre los años 1960 y 1970 por Sheldon Lee Glashow, Steven Weinberg y Abdus Salam en sucesivas etapas. Howard Georgi califica la teoría SU(2)xU(1) de unificación parcial, dado que incluye sólo dos fuerzas distintas, cada una con su propio grupo de simetría.Siguiendo la analogía con la simetría U(1) de la QED, se ha construido el grupo de simetría SU(3) de la QCD.

De la Cromodinamica cuántica (QCD) se dice que es una teoría SU(3). El 3 se refiere a los tres colores que se transforman unos en otros, a través de los gluones. La “S” indica que la suma de las cargas de color en cada familia SU(3) es nula. Análogamente al U(1) de la QED, el SU(3) de QCD describe un grupo de simetría que está asociada con la conservación de la carga de color y con el hecho de que los gluones carecen de masa.El orden elevado de simetría en la teoría de color SU(3) no la puede poner de manifiesto una representación geométrica.

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Howard Giorgi, juntamente con Glashow, propuso en 1973 una teoría unificada, basada en el grupo de simetría SU(5). Esta simetría abarca todas las transiciones posibles en la familia integrada de cinco. Los grupos de simetrías integradas son: la simetría SU(3) de las interacciones fuertes, la simetría SU(2) de la fuerza débil y la simetría U(1) del electromagnetismo. La teoría SU(5) postula doce nuevas partículas, denominadas partículas X, que median las transformaciones de un quark en leptón y de un leptón en quark. La interconversión de quarks y leptones es sólo posible en una teoría unificada y avala, en teoría, la desintegración del protón. Se admite la posibilidad de que actualmente no haya energía suficientemente alta en el universo para la creación de las partículas X. Habría que remitirse a los primeros instantes de la creación, o Big Bang, como el único escenario adecuado:

Unos 10-40 segundos después de la explosión inicial, el tamaño del Universo sería comparable a la escala de unificación. La temperatura del Universo era entonces tan elevada (alrededor de 1018 grados Kelvin) que todas las partículas tenían energías comparables a la masa de la partícula X. Por consiguiente la simetría SU(5) empezaba a romperse y las conversiones quark-leptón eran tan frecuentes como cualquier otra interacción. No había diferencia fundamental entre los quarks y los leptones, o entre las fuerzas fuertes, débiles y electromagnéticas: había una sola clase de materia y una sola fuerza.(Howard Georgi)

Resumiendo podemos decir: la teoría de los quarks puede considerarse como un fruto granado del estudio de las simetrías. Murray Gell-Mann y George Sweig tuvieron el acierto de descubrir que en el fondo de un determinado grupo de simetrías se escondían los quarks.Cerraremos este capítulo con la frase de Heisenberg, a imitación del inicio del evangelio según San Juan:

AM ANGANF WAR DIE SYMMETRIE, esto es, EN EL PRINCIPIO ERA LA SIMETRÍA.

La frase más completa es:

“En el principio era la Simetría”. Esto es seguramente más correcto que el enunciado de Demócrito: “En el principio era la Partícula”. Las partículas elementales materializan las simetrías; son su representación más simple, pero, ante todo, son una consecuencia de las simetrías.

Del ensayo Der Teil und das Ganze, El Todo y la Parte.

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