04 - Probabilidade
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1
Curso: Engenharias
Disciplina: Probabilidade e Estatística
Aula 04: Probabilidade
Prof. Dr. Antônio C. Marangoni
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Probabilidade
1
Fenômeno
aleatório População
Modelo
probabilístico
Amostra
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2
- Qual é a probabilidade de um novo método de
montagem aumentar a produtividade?
- Qual é a probabilidade de um projeto terminar no prazo?
- Quais são as chances de um novo investimento ser
lucrativo?
Definição do experimento
Definição dos resultados possíveis do
experimento
- Determinístico - Aleatório
Experimento
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3
Experimento Resultado experimental
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3
Experimento Resultado experimental
Jogar uma moeda Cara, coroa
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3
Experimento Resultado experimental
Jogar uma moeda Cara, coroa
Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa
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3
Experimento Resultado experimental
Jogar uma moeda Cara, coroa
Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa
Medir a resistência à compressão x R+
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Espaço amostral
3
Experimento Resultado experimental
Jogar uma moeda Cara, coroa
Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa
Medir a resistência à compressão x IR+
Jogar um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ponto amostral
Espaço amostral : - Discreto: no de microporos nos fios: = {0, 1, 2, 3, ...} - Contínuo: resistência à tração dos fios: = {x IR+}
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Evento
4
- Qualidade de tratamento:
- fios com até um microporo
E1 = {0, 1}
- fios com mais de 3 microporos
E2 = {4, 5, 6, ...} ou E2 = {n IN : n > 3}
- Resistência:
- fios com resistência à tração de até 12,00
E3 = {R IR : R 12,00}
- fios com resistência à tração superior a 20,00
E4 = {R IR : R > 20,00}
E1, E2, E3, E4: eventos subconjuntos do espaço amostral
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Representação gráfica
5
A
B
: espaço amostral
A, B: eventos
Evento certo: E = .
Ex.: evento “ocorrer um número” no lançamento de
um dado
Evento impossível: E = .
Ex.: “ocorrer o número 7” no lançamento de um dado
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Probabilidade de um evento
Probabilidade P(E): medida numérica com
a qual se avalia a plausibilidade, ou seja, “o
quão provável” é a ocorrência de um certo
evento, quando o experimento é executado.
6
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Aposta de 6 dezenas:
Eventos igualmente prováveis
Megasena: acertar as 6 dezenas sorteadas
(evento) em um conjunto de 60 números
(espaço amostral).
7
Número total de combinações:
!660!6
!60
6
6060
6C 50.063.860 combinações!
860.063.50
1Probabilidade P(E) de ganhar:
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Eventos igualmente prováveis
Formalizando:
8
emelementosdeNúmero
EemelementosdeNúmero
k
mEP )(
Não é necessário explicitar completamente e E.
Basta calcular m e k.
Análise combinatória:
- Combinação
- Permutação
- Arranjo
Método
clássico
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9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
0 4
1 10
2 12
3 8
4 6
Total 40
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9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
Frequência
relativa fi
0 4
1 10
2 12
3 8
4 6
Total 40
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9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
Frequência
relativa fi
0 4 4 / 40 = 0,10
1 10 10 / 40 = 0,25
2 12 12 / 40 = 0,30
3 8 8 / 40 = 0,20
4 6 6 / 40 = 0,15
Total 40 1,00
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9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
Frequência
relativa fi
Probabilidade P(Ei)
0 4 4 / 40 = 0,10
1 10 10 / 40 = 0,25
2 12 12 / 40 = 0,30
3 8 8 / 40 = 0,20
4 6 6 / 40 = 0,15
Total 40 1,00
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Probabilidade e frequência relativa
9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
Frequência
relativa fi
Probabilidade P(Ei)
0 4 4 / 40 = 0,10 0,10
1 10 10 / 40 = 0,25 0,25
2 12 12 / 40 = 0,30 0,30
3 8 8 / 40 = 0,20 0,20
4 6 6 / 40 = 0,15 0,15
Total 40 1,00 1,00
Método empírico
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Probabilidade e frequência relativa
10
n 1 2 0 0 1 0 0 0 8 0 0 6 0 0 4 0 0 2 0 0 0
1 , 0
0 , 9
0 , 8
0 , 7
0 , 6
0 , 5
0 , 4
0 , 3
0 , 2
0 , 1
fn(E)
probabilidade do evento E
n
repetiçõesnemocorreEquevezesdeNúmeroEfn )(
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Propriedades da probabilidade
11
0 P(E) 1
Se E é um evento certo (E = ): P(E) = 1
Se E é um evento impossível (E = ): P(E) = 0
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Relações básicas de probabilidade
12
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
132AP
240
138HP
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Intersecção de eventos
13
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: intersecção de A e H 240
84HAP
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14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
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14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
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14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
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14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
![Page 27: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/27.jpg)
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
![Page 28: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/28.jpg)
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
![Page 29: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/29.jpg)
Reunião de eventos
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
![Page 30: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/30.jpg)
Reunião de eventos
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
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15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
![Page 32: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/32.jpg)
15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
![Page 33: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/33.jpg)
15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
![Page 34: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/34.jpg)
15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
![Page 35: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/35.jpg)
Eventos mutuamente exclusivos
15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A C = e P(A C) = 0
A e C são mutuamente exclusivos ou disjuntos
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
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Regra da adição de probabilidade
16
Formalizando:
Se A e B são dois eventos quaisquer:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Se A e B são disjuntos: P(A B) = P(A) + P(B)
Para três eventos, A1, A2 e A3:
P(A1 A2 A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)
– P(A1 A2) – P(A1 A3) – P(A2 A3)
+ P(A1 A2 A3)
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17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
![Page 38: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/38.jpg)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
![Page 39: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/39.jpg)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
![Page 40: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/40.jpg)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
![Page 41: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/41.jpg)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
![Page 42: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/42.jpg)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
![Page 43: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/43.jpg)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
![Page 44: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/44.jpg)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
![Page 45: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/45.jpg)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
![Page 46: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/46.jpg)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
![Page 47: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/47.jpg)
Eventos complementares
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A D = e A D = A e D são eventos complementares
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
![Page 48: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/48.jpg)
Eventos complementares
18
Formalizando:
O evento que consiste dos pontos amostrais em
que não pertencem a um evento E é chamado de
complemento de E, e é indicado por EC.
P(E) + P(EC) = 1
E
EC
![Page 49: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/49.jpg)
Probabilidade condicional
19
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
Informação:
O diâmetro selecionado está na faixa de 25 a 40 mm (B).
72
42B|MPmm40a25|MoacirP
Qual a probabilidade de ter sido fabricado por Moacir (M)?
![Page 50: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/50.jpg)
Probabilidade condicional
20
Para dois eventos quaisquer, A e B, a probabilidade
condicional de A dado B, P(A | B), é:
Formalizando:
BP
BAPBAP
|
Regra do produto de probabilidades:
ABPAPBAPBPBAP ||
![Page 51: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/51.jpg)
Probabilidade condicional
20
Para dois eventos quaisquer, A e B, a probabilidade
condicional de A dado B, P(A | B), é:
Formalizando:
BP
BAPBAP
|
Regra do produto de probabilidades:
ABPAPBAPBPBAP ||
![Page 52: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/52.jpg)
Probabilidade condicional - exemplo
21
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
72BP
240
42 BMP
72
42
240
72240
42
|
BP
BMPBMP
![Page 53: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/53.jpg)
Probabilidade condicional - exemplo
21
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
72BP
240
42 BMP
72
42
240
72240
42
|
BP
BMPBMP
![Page 54: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/54.jpg)
Probabilidade condicional - exemplo
21
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
72BP
240
42 BMP
72
42
240
72240
42
|
BP
BMPBMP
![Page 55: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/55.jpg)
22
![Page 56: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/56.jpg)
22
A
![Page 57: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/57.jpg)
22
A
B
![Page 58: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/58.jpg)
22
A
B
C
![Page 59: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/59.jpg)
22
A
B
C
P(A) =
132 / 240
![Page 60: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/60.jpg)
22
A
B
C
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
![Page 61: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/61.jpg)
22
A
B
C
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
![Page 62: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/62.jpg)
22
A
B
C
H
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
![Page 63: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/63.jpg)
22
A
B
C
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
![Page 64: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/64.jpg)
22
A
B
C
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
![Page 65: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/65.jpg)
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
![Page 66: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/66.jpg)
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
![Page 67: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/67.jpg)
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240
![Page 68: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/68.jpg)
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240
P(B H) = P(B) . P(H | B) = 30 / 240
![Page 69: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/69.jpg)
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240
P(B H) = P(B) . P(H | B) = 30 / 240
P(B M) = P(B) . P(M | B) = 42 / 240
![Page 70: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/70.jpg)
Árvore de probabilidades
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240
P(B H) = P(B) . P(H | B) = 30 / 240
P(B M) = P(B) . P(M | B) = 42 / 240
P(C H) = P(C) . P(H | C) = 24 / 240
P(C M) = P(C) . P(M | C) = 12 / 240
![Page 71: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/71.jpg)
Problema: máquinas com desajuste
23
Uma empresa produz peças em duas máquinas I e II, que
podem apresentar desajustes com probabilidade de,
respectivamente, 0,05 e 0,10. No início do dia de
operação um teste é realizado e, caso a máquina esteja
fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia, passando
por revisão técnica. Para cumprir o nível mínimo de
produção pelo menos uma das máquinas deve operar. A
empresa corre o risco de não cumprir com suas metas
de produção?
![Page 72: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/72.jpg)
O1: evento da máquina 1 estar operando
O1C: evento da máquina 1 estar em falha
O2: evento da máquina 2 estar operando
O2C: evento da máquina 2 estar em falha
A eventual falha de ajuste em uma máquina não interfere no
comportamento da outra independência dos eventos O1
e O2.
P(O2 | O1) = P(O2) = 0,90; P(O2 | O1C) = P(O2) = 0,90;
P(O2C | O1) = P(O2
C) = 0,10; P(O2C | O1
C) = P(O2C) = 0,10
Problema: máquinas com desajuste
24
O1
O1C
O2
0,95
0,05
0,90
0,10
0,90
0,10
O2
O2C
O2C
Eventos independentes
![Page 73: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/73.jpg)
25
Eventos Independentes
Dados dois eventos A e B, se:
P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B) A e B são
independentes. Neste caso:
P(A B) = P(A) . P(B)
Formalizando:
Se A1, A2 e A3 são independentes, então eles
devem ser independentes 2 a 2 e 3 a 3.
P(Aj Ak) = P(Aj) . P(Ak), j k, onde: j, k = 1, 2, 3
E também:
P(A1 A2 A3) = P(A1) . P(A2) . P(A3)
![Page 74: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/74.jpg)
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2
O1 O2C
O1C O2
O1C O2
C
![Page 75: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/75.jpg)
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855
O1 O2C
O1C O2
O1C O2
C
![Page 76: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/76.jpg)
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855
O1 O2C 0,95 x 0,10 = 0,095
O1C O2
O1C O2
C
![Page 77: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/77.jpg)
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855
O1 O2C 0,95 x 0,10 = 0,095
O1C O2 0,05 x 0,90 = 0,045
O1C O2
C 0,05 x 0,10 = 0,005
![Page 78: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/78.jpg)
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855
O1 O2C 0,95 x 0,10 = 0,095
O1C O2 0,05 x 0,90 = 0,045
O1C O2
C 0,05 x 0,10 = 0,005
Evento: pelo menos uma máquina funcionando
(O1 O2) (O1 O2C) (O1
C O2)
P[(O1 O2) (O1 O2C) (O1
C O2)] =
P(O1 O2) + P(O1 O2C) + P(O1
C O2) =
0,855 + 0,095 + 0,045 = 0,995
![Page 79: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/79.jpg)
Teorema de Bayes
27
Uma empresa fabricante recebe lotes de peças de dois
fornecedores diferentes.
A1 é o evento em que uma peça é do fornecedor 1: P(A1) = 0,65
A2 é o evento em que um peça é do fornecedor 2: P(A2) = 0,35
Fornecedor Peças boas (%) (B) Peças ruins (%) (R)
1 (A1) 98 2
2 (A2) 95 5
Avaliações de qualidade dos dois fornecedores
P(B | A1) = 0,98
P(B | A2) = 0,95
P(R | A1) = 0,02
P(R | A2) = 0,05
![Page 80: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/80.jpg)
Árvore de probabilidades
28
![Page 81: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/81.jpg)
Árvore de probabilidades
28
Etapa 1
(Fornecedor)
![Page 82: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/82.jpg)
Árvore de probabilidades
28
Etapa 1
(Fornecedor)
![Page 83: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/83.jpg)
Árvore de probabilidades
28
P(A1)
Etapa 1
(Fornecedor)
0,65
![Page 84: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/84.jpg)
Árvore de probabilidades
28
P(A1)
P(A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
0,35
0,65
![Page 85: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/85.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
![Page 86: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/86.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
![Page 87: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/87.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
0,98
![Page 88: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/88.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
0,98
0,02
![Page 89: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/89.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
0,02
0,98
0,95
![Page 90: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/90.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
0,95
0,98
0,02
0,05
![Page 91: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/91.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
![Page 92: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/92.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370
![Page 93: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/93.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370
P(A1 R) = P(A1) . P(R | A1) = 0,0130
![Page 94: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/94.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370
P(A1 R) = P(A1) . P(R | A1) = 0,0130
P(A2 B) = P(A2) . P(B | A2) = 0,3325
![Page 95: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/95.jpg)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370
P(A1 R) = P(A1) . P(R | A1) = 0,0130
P(A2 B) = P(A2) . P(B | A2) = 0,3325
P(A2 R) = P(A2) . P(R | A2) = 0,0175
![Page 96: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/96.jpg)
Teorema de Bayes
29
Temos que calcular as probabilidades posteriores:
P(A1 | R) e P(A2 | R)
Suponha agora que uma máquina se quebrou porque
estava tentando processar uma peça ruim. Dada a
informação de que a peça é ruim, qual a probabilidade
de que ela venha do fornecedor 1 e qual a
probabilidade de que ela venha do fornecedor 2?
![Page 97: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/97.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
![Page 98: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/98.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
![Page 99: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/99.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
Portanto:
2211
111
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
![Page 100: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/100.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
Portanto:
2211
111
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
![Page 101: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/101.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
Portanto:
2211
111
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
![Page 102: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/102.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
Calculando:
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
![Page 103: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/103.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
Calculando:
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
![Page 104: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/104.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
Calculando:
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
5738,005,035,002,065,0
05,035,0|2
RAP
![Page 105: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/105.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
Calculando:
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
5738,005,035,002,065,0
05,035,0|2
RAP
![Page 106: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/106.jpg)
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
Calculando:
P(A1) = 0,65
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
5738,005,035,002,065,0
05,035,0|2
RAP
P(A1 | R) = 0,4262
P(A2) = 0,35
P(A2 | R) = 0,5738
![Page 107: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/107.jpg)
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
![Page 108: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/108.jpg)
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
![Page 109: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/109.jpg)
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
![Page 110: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/110.jpg)
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
![Page 111: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/111.jpg)
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
![Page 112: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/112.jpg)
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
![Page 113: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/113.jpg)
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
Aplicável quando:
- os eventos são mutuamente exclusivos.
- as uniões dos eventos são o espaço amostral inteiro.
![Page 114: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/114.jpg)
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1)
Evento
Ai
A1
A2
![Page 115: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/115.jpg)
33
(1) (2)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
A1
A2
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 116: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/116.jpg)
33
(1) (2)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
A1 0,65
A2
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 117: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/117.jpg)
33
(1) (2)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
A1 0,65
A2 0,35
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 118: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/118.jpg)
33
(1) (2)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
A1 0,65
A2 0,35
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 119: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/119.jpg)
33
(1) (2) (3)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
A1 0,65
A2 0,35
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 120: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/120.jpg)
33
(1) (2) (3)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
A1 0,65 0,02
A2 0,35
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 121: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/121.jpg)
33
(1) (2) (3)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
A1 0,65 0,02
A2 0,35 0,05
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 122: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/122.jpg)
33
(1) (2) (3) (4)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
A1 0,65 0,02
A2 0,35 0,05
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 123: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/123.jpg)
33
(1) (2) (3) (4)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
A1 0,65 0,02 0,0130
A2 0,35 0,05
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 124: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/124.jpg)
33
(1) (2) (3) (4)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
A1 0,65 0,02 0,0130
A2 0,35 0,05 0,0175
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 125: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/125.jpg)
33
(1) (2) (3) (4)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
A1 0,65 0,02 0,0130
A2 0,35 0,05 0,0175
1,00 P(R) = 0,0305
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 126: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/126.jpg)
33
(1) (2) (3) (4) (5)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
Probabilidade
posterior P(Ai | R)
A1 0,65 0,02 0,0130
A2 0,35 0,05 0,0175
1,00 P(R) = 0,0305
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 127: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/127.jpg)
33
(1) (2) (3) (4) (5)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
Probabilidade
posterior P(Ai | R)
A1 0,65 0,02 0,0130 0,0130 / 0,0305 =
0,4262
A2 0,35 0,05 0,0175
1,00 P(R) = 0,0305
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 128: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/128.jpg)
33
(1) (2) (3) (4) (5)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
Probabilidade
posterior P(Ai | R)
A1 0,65 0,02 0,0130 0,0130 / 0,0305 =
0,4262
A2 0,35 0,05 0,0175 0,0175 / 0,0305 =
0,5738
1,00 P(R) = 0,0305
Teorema de Bayes - Tabela
![Page 129: 04 - Probabilidade](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050809/5695d41b1a28ab9b02a05031/html5/thumbnails/129.jpg)
33
(1) (2) (3) (4) (5)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
Probabilidade
posterior P(Ai | R)
A1 0,65 0,02 0,0130 0,0130 / 0,0305 =
0,4262
A2 0,35 0,05 0,0175 0,0175 / 0,0305 =
0,5738
1,00 P(R) = 0,0305 1,0000
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