04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang
-
Upload
shivafridavincia -
Category
Documents
-
view
188 -
download
42
description
Transcript of 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang
![Page 1: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/1.jpg)
26/04/23 15:53 1
Aljabar LinearPAC 202
3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
![Page 2: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/2.jpg)
26/04/23 15:53 2
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :1. Notasi dan Operasi Vektor2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :• Proses Grafika Komputer• Kuantisasi pada proses kompresi• Least Square pada Optimasi• Dan lain-lain
![Page 3: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/3.jpg)
26/04/23 15:53 3
Notasi dan OperasiVektor besaran yang mempunyai arah Notasi vektor
321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccckcjcicccc
c
Notasi panjang vektor
3
2
1
ccc
c
adalah 2
32
22
1 cccc
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
![Page 4: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/4.jpg)
26/04/23 15:53 4
Operasi Vektor meliputi :1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)• Hasil kali silang (Cross Product)
![Page 5: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/5.jpg)
26/04/23 15:53 5
Penjumlahan Vektor
u
v vu
u
u v
vu
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka
![Page 6: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/6.jpg)
26/04/23 15:53 6
u
u2
u2
Perkalian vektor dengan skalar
u uk
u
uu
Perkalian vektor dengan skalar k, didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah Jika k > 0 searah dengan
Jika k < 0 berlawanan arah dengan
![Page 7: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/7.jpg)
26/04/23 15:53 7
Scaling
PP
P’P’
![Page 8: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/8.jpg)
26/04/23 15:53 8
321 ,aaaa 321 ,, bbbb
332211 ,,.1 babababa
332211 ,,.2 babababa
321 ,,.3 kakakaak
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka
Misalkan
![Page 9: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/9.jpg)
26/04/23 15:53 9
Perkalian antara dua vektor• Hasil kali titik (dot product)• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)
![Page 10: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/10.jpg)
26/04/23 15:53 10
Dot Product
Misalkan adalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana : panjang : panjang
: sudut keduanya
cosbaba
,a b
a
b
a
b
![Page 11: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/11.jpg)
26/04/23 15:53 11
Ilustrasi dot product vektor A dan BcosBABA
![Page 12: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/12.jpg)
26/04/23 15:53 12
Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan
Jawab :
Karena tan = 1 , artinya = 450
= 4
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2
cosbaba
2182
![Page 13: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/13.jpg)
26/04/23 15:53 13
Ingat aturan cosinus
Perhatikan
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac
b
a
b
a
b
ab
cos2222
babaab
b
![Page 14: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/14.jpg)
26/04/23 15:53 14
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
cosba
22221 abba
cos1. baba
222
21
2....2 naaaa
222
21
2....3 nbbbb
2222
211
2....4 nn abababab
nnnn
nn
abababaaabbb
2...22......
11
222
21
222
21
nnbabababa ...2211
![Page 15: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/15.jpg)
26/04/23 15:53 15
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya
= 2 (2) + 0 (2)= 4
Beberapa sifat hasilkali titik :1.2.3.
2211 bababa
nnbabababa ...2211
abba
cabacba
Rkbkabakbak dimana,
![Page 16: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/16.jpg)
26/04/23 15:53 16
Proyeksi Ortogonal
Karenaaproyc b
a
b
w
cwa bcwba
bcbw
bbk
bbk
bkc
bahwaterlihat
2bbak
![Page 17: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/17.jpg)
26/04/23 15:53 17
Jadi, rumus proyeksi diperoleh :
Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal
vektor
terhadap vektor
342
u
431
v
bbbaaoyb 2Pr
![Page 18: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/18.jpg)
26/04/23 15:53 18
Jawab :
431
431
2626
431
26)12()12(2
431
)4(314
31
342
Pr
222
2 vvvuuoyv
![Page 19: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/19.jpg)
26/04/23 15:53 19
Cross Product (hasilkali silang)Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
321
321
ˆˆˆ
BBBAAAkji
BxAC
kBBAA
jBBAA
iBBAA ˆˆˆ
21
21
31
31
32
32
![Page 20: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/20.jpg)
26/04/23 15:53 20
Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)BxAC
![Page 21: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/21.jpg)
26/04/23 15:53 21
Contoh :Tentukan ,dimana
Jawab :
vuw
321
321
ˆˆˆ
vvvuuukji
w
2,2,1 u )1,0,3(v
103221
ˆˆˆ
kji
i)2(01.2 j)2(31.1 k2.30.1
kji ˆ6ˆ7ˆ2
![Page 22: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/22.jpg)
26/04/23 15:53 22
Beberapa sifat Cross Product :a.b.c. 2222 vuvuvu
0 vxuu
0 vxuv
![Page 23: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/23.jpg)
26/04/23 15:53 23
Dari sifat ke-3 diperoleh
2222 vuvuvu
222 cos vuvu
22222 cos vuvu
222 cos1 vu
222 sin vu
sin, vuvxuJadi
![Page 24: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/24.jpg)
26/04/23 15:53 24
Perhatikan ilustrasi berikut :
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah
u
v
sinv
u
sinGenjangJajaran Luas vuvxu
vu21segitigaLuas
![Page 25: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/25.jpg)
26/04/23 15:53 25
Contoh :Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC !
Jawab :Tulis
= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)
AB
AC
![Page 26: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/26.jpg)
26/04/23 15:53 26
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
AB AC541223
ˆˆˆ kji
kji ˆ10ˆ13ˆ2
100169421
Luas
27321
![Page 27: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/27.jpg)
26/04/23 15:53 27
Orientasi pada titik B
BA ba
BC bc
BCBA
322223
ˆˆˆ
kji
jki ˆ10ˆ13ˆ2
BCxBA21
100169421
27321
= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
=
![Page 28: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/28.jpg)
26/04/23 15:53 28
Latihan Bab 41. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh
pasangan vektor berikut : a. dan
b. dan
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:a. dan
b. dan
21
u
8
6v
73
1u
22
8v
12
a
23
b
31
2a
221
b
![Page 29: 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050700/55cf9040550346703ba45069/html5/thumbnails/29.jpg)
26/04/23 15:53 29
3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
dan
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
2
3u
137
u
402
v