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03 – Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asistente
Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales
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Contenido
● Variables aleatorias discretas: función de probabilidad y de distribución
● Variables aleatorias continuas: función de densidad y de distribución
● Características de las variables aleatorias: valor esperado, varianza
● Aplicación práctica, representaciones
Variable aleatoriaSea Ω un espacio muestral. Una función
se conoce como variable aleatoria (random variable en inglés)
Nota: la definición real es en verdad algo más complicada. Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable#Formal_definition
● La variable aleatoria transforma los resultados del espacio muestral en cantidades numéricas.
● La letra mayúscula X denota la función (la variable aleatoria).
● La letra minúscula x denota el valor que toma la variable aleatoria, es decir, x=X(ω)
● Observe que una “variable” aleatoria NO es una variable como tal sino que es una función
(1,1) 2 1 1/36(1,2), (2,1) 3 2 2/36(1,3), (2,2), (3,1) 4 3 3/36(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 5 4 4/36(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 6 5 5/36(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 7 6 6/36(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 8 5 5/36(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 9 4 4/36(4,6), (5,5), (6,4) 10 3 3/36(5,6), (6,5) 11 2 2/36(6,6) 12 1 1/36
∑ = 36 ∑ = 1
Resultado (ω) x := X(ω) Número de ocurrencias
Probabilidad
Lanzamientos de dos dadosX denota la suma de los resultados de las dos caras
Valor de lavariable aleatoria
● Una variable aleatoria X es discreta si D tiene una cardinalidad finita o infinita contable (es decir si los elementos de D se pueden poner en una correspondencia uno a uno con los números naturales)
● Una variable aleatoria X es continua si D tiene una cardinalidad infinita no contable, es decir si D está formado por intervalos de la recta real
Eventos definidos por la variable aleatoria X:Ω→R
Descripción probabilista de las variables aleatorias
● Las variables aleatorias discretas se describen mediante:– Función de Masa de Probabilidades (FMP)
– Función de Distribución de Acumulada (FDA)
● Las variables aleatorias continuas se describen mediante:– Función de Densidad de Probabilidades (FDP)
– Función de Distribución de Acumulada (FDA)
Función de Masa de ProbabilidadesDefinición matemática
Función de Masa de Probabilidades
Una función de masa de probabilidades (FMP)es una funcion que dice la probabilidad que una variable aleatoria discreta tome exactamente un valor.
Una FMP. Observe que todos los valores de esta función son no-negativos y suman 1.
Una FMP de un dado equilibrado. Todos los números en el dado tienen igual probabilidad de aparecer.
Graficando FMPs en MATLAB
Propiedades de la FMP
Las FMP deben satisfacer las siguientes propiedades:
La función Delta de Dirac
Representación de una FMP utilizando Deltas de Dirac
Ejemplo
Para verificar la calidad de un lote de cilindros de concreto, un ingeniero extrae al azar 3 muestras. Suponiendo que la probabilidad que el cilindro no cumpla las especificaciones es del 10%, cual es la probabilidad que:● a) los tres cilindros cumplan con las especificaciones
● b) sólo dos cilindros cumplan con las espeficicaciones
● c) sólo un cilindro cumpla con las espeficicaciones
● d) ninguno de los cilindros cumpla con las especificaciones
s – cilindro que cumple con las especificaciones
n – cilindro que NO las cumple
P(s) = p P(n) = 1-p
P[0 OK] = (n,n,n) = (1-p)(1-p)(1-p) = (1-p)3
P[1 OK] = (n,n,s)+(n,s,n)+(s,n,n) = 3(1-p)2p
P[2 OK] = (n,s,s)+(s,s,n)+(s,n,s) = 3p2(1-p)
P[3 OK] = (s,s,s) = p3
FMP binomial
En el caso del ejemplo p = 0.90, siendo la FMP:
P[0 OK] = (1-p)3 = (0.1)3 = 0.001P[1 OK] = 3(1-p)2p = 3 (0.1)2 x 0.9 = 0.027P[2 OK] = 3p2(1-p) = 3 (0.9)2 x 0.1 = 0.243P[3 OK] = p3 = (0.9)3 = 0.729
En la práctica de control de calidad, el ingeniero debe tomar la decisión acerca de si el material se encuentra dentro de las especificaciones o no basado en una observación de dos muestras malas en una muestra de tamaño tres. Suponiendo que el material es satisfactorio, la probabilidad de tal suceso es muy pequeña (2,7%), y por lo tanto, el ingeniero decidirá usualmente que el material no cumple con las especificaciones.
Ejemplo lanzamiento de una moneda
¿Cuántas veces se debe lanzar una moneda para obtener caras?
1 – C P(C) = 0.5
2 – SC P(SC) = 0.52
3 – SSC P(SSC) = 0.53
4 – SSSC P(SSSC) = 0.54
... ...
n – S...SSC P(S...SSC) = 0.5n
se extiendehasta el infinito
n-1 veces
Función de Densidad de Probabilidades (FDP)
Intelligence quotient IQ μ=100, σ=15
Motivación
● Las FDPs se pueden entender como el límite de un histograma cuando el ancho de cada subintervalo tiende a cero.
● Cuando la altura de una persona es 172 cm, es lógico entender como [171.5 cm, 172.5 cm]; por lo tanto, en el caso continuo es más lógico visualizar las probabilidades de intervalos que de un punto en particular.
Interpretación de la FDP
● La FDP fX del caso continuo se debe entender
de forma diferente a la FMP pX
del caso
discreto: – Con las FMPs, la probabilidad que x tome un valor
específico puede ser diferente de cero.
– Con las FDPs, la probabilidad que x tome un valor específico x es cero.
● Por lo tanto, la FDP no representa la probabilidad que X=x. Mas bien proporciona un medio para determinar la probabilidad de un intervalo a≤X≤b.
Interpretación de la FDP
● El valor de fX(x) solo es una medida de la
densidad o intensidad de la probabilidad en el punto x.
Interpretación de la FDP
● El valor de fX(x) solo es una medida de la
densidad o intensidad de la probabilidad en el punto x.
Colas de la FDP menos frecuencia
más frecuencia
Función de Distribución Acumulada (FDA)
FDA de una función de masa de probabilidades (FMP)
FDA de una función de densidad de probabilidades continua
FDA de una función de densidad de probabilidades que tiene un componente continuo y una parte discreta.
Continuidad por la derecha y por la izquierda
Función continua porla derecha
Función continua porla izquierda
Función de Distribución Acumulada (FDA)
Función de Distribución Acumulada (FDA)
FMP vs FDA
Ejemplo: FMP y FDA uniforme discreta
Ejemplo: FDA discreta (Poisson)P
(X≤k
)
k
λ>0 representa el número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado de tiempo. Por la FDA del evento que lleguen k clientes a un banco dado que en promedio llegan λ=1, 4 y 10 clientes/minuto se muestra a continuación:
FDP vs FDA
FDP vs FDA
Ejemplo
Continuación ejemplo
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Función de distribución de probabilidades empírica
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Función de distribución de probabilidades empírica
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El comando disttool del toolbox de estadística de MATLAB
Dicho comando es extremadamente útil
para explorar la forma de las FDPs y FDAs
Variables aleatorias mixtas
La variable aleatoria puede ser a la vez discreta y continua, es decir asume valores puntuales con una probabilidad diferente de cero, al igual que valores por intervalos. Este es el caso de ensayo de equipos, donde X es el tiempo de funcionamiento del equipo, existe una probabilidad de que el artículo no funcione del todo, falla en el tiempo X = 0; ó también cuando Y es la variable aleatoria que representa la demora de un motorista al hacer un pare obligatorio, existe una probabilidad de que no haya tráfico y el motorista no tenga demora X = 0, sí tiene que esperar, lo debe hacer por un tiempo continuo.
Variables aleatorias mixtas
g(x)
Variables aleatorias mixtas
Ejemplo 2: variables aleatorias
mixtas
FDP truncada
● http://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_distribution
FDP condicional
● Suponga que estamos interesados en la distribución de la demanda o carga X dado que sea mayor que algún valor de umbral x
0.
● HACER GRAFICO FDP truncada
FDP de una función g(X)
FDP a partir de observaciones● Kernel smoothing methods (tambien llamado
ventanas de Parzen (Parzen windows). El comando de MATLAB asociado es ksdensity.
Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation
FDP a partir de observaciones
Existen otro métodos basados en la utilización de polinomios ortogonales de Legendre. Ver por ejemplo:
X.B. Li y F.Q. Gong (2009). A method for fitting probability distributions to engineering properties of rock masses using Legendre orthogonal polynomials. Structural Safety. Volume 31, Issue 4, July 2009, Pages 335-343
Applying the Gram-Schmidt process to the functions 1, x, x^2, ... on the interval [-1,1] with the usual L^2 inner product gives the Legendre polynomials
Valor esperado de una variable aleatoria
El valor promedio de una variable aleatoria después de un número grande de experimentos es su valor esperado.
Se dice valor esperado (expected value) o también esperanza matemática (mathematical expectation)
Valor esperado de una variable aleatoria
Valor esperado de una variable aleatoria
Ver:– http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann-Stieltjes_Integration
– http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution
Ejemplo: valor esperado
El valor esperado no necesariamente toma un valor que pudiera tomar la variable aleatoria.
Paradoja de San Petersburgohttp://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox
Paradoja de San Petersburgohttp://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox
Valor esperado VA uniforme continua
Valor esperado VA exponencial
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
● Valor esperado de una constante:
● Desigualdades:
Interpretación del valor esperado
● El término “valor esperado” no debe entenderse como el valor más probable.
● El valor esperado se debe entender como el valor promedio que toma la variable aleatoria después de efectuar muchos experimentos independientemente.
● El valor esperado se puede asociar al centro de gravedad de la FDP.
Importancia práctica del valor esperado
En un problema físico, en que un fenómeno tiene como modelo una variable aleatoria, generalmente el número más significativo que el ingeniero puede obtener es el valor medio de esa variable; es una medida de la tendencia central de la variable y muchas veces, si se van a hacer observaciones repetidas del fenómeno, del valor alrededor del cual se pude esperar la dispersión. La media muestral de muchas de tales observaciones estará con alta probabilidad muy cerca a la media de la variables aleatoria fundamental.
Valor esperado de una función g(X)
Valor esperado de una función g(X)
● Tenga en cuenta que
● Otra propiedad del valor esperado es:
Ejemplo: valor esperado de g(X)
Esperanza condicional
Ejemplo 1 esperanza condicional
Ejemplo 2 esperanza condicional
Momentos de una variable aleatoria
Los momentos de una variable aleatoria X son los valores esperados de ciertas funciones de X. Estas forman una colección de medidas descriptivas que pueden emplearse para caracterizar la distribución de probabilidad de X y especificarla si todos los momentos de X son conocidos. A pesar de que los momentos de Xpueden definirse alrededor de cualquier punto de referencia, generalmente se definen alrededor del cero (momentos no centrales) o del valor esperado de X (momentos centrales).
Momentos no centrales
Momentos centrales
Algunos momentos centrales
Media cuadrática VA uniforme continua
Media cuadrática VA exponencial
Notas sobre los momentos
● Tenga en cuenta que todas las proposiciones anteriores con respecto a los momentos se encuentra sujetas a la existencia de las sumas o integrales que las definan.
● El uso de los momentos de una variable aleatoria para caracterizar a la FDA es útil especialmente en un medio en el que el experimentador conozca la FDA.
Varianza
La varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria.
Varianza
La varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria.
Relacionando la varianza con la media y la media cuadrática
Un dado perfecto
Varianza FDP exponencial
Varianzas
Uniforme
Exponencial
Propiedades de la varianza
Notas sobre la varianza
Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice k satisface 1 < k ≤ 2.
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Ley de la esperanza total
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Ley de la varianza total
Coeficiente de variación (C.O.V.)Es una medida normalizada de la dispersión, utilizada en control de calidad. Está definida por:
Está definida para valores positivos de μ.●Es útil porque la desviación estándar se debe entender siempre en contexto con la media. Como no tiene dimensión, sirve para comparar dispersiones de datos con medias diferentes
●Es sensitiva a pequeños cambios en la media cuando esta se acerca a cero, limitando su utilidad.
●NOTA: No confundir con la covarianza
Coeficiente de asimetría (skewness)
g1 < 0 distribución asimétrica negativamente
g1 > 0 distribución asimétrica positivamente
Coeficiente de apuntalamiento (curtosis)
Desigualdad de Chebyshev
Otras medidas de tendencia central y dispersión
La media de una variable aleatoria es generalmente la medida preferida de tendencia central. Sin embargo, en algunas situaciones la mediana y en menor grado la moda, pueden ser mediadas de tendencia central mucho más apropiadas. Por ejemplo, en distribuciones unimodales cuya asimetría es grande, el valor esperado de la variable aleatoria puede verse afectado por los valores extremos de la distribución, mientras que la mediana no lo estará.
Relación entre la media, la mediana y la moda en distribuciones
unimodales
Mediana de una FMP/FDP
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Cuantil de una FMP/FDP
Algunos cuartiles:
- Percentil q = 0.01
- Decil q = 0.10
- Cuartil q = 0.25
- Mediana q = 0.50
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Moda de una FMP/FDP
103
Otras medidas de dispersión