Números Complejos

M. en I. Gerardo Avilés Rosas

NÚMEROS COMPLEJOS (G€®) 1

Tema 3

Números Complejos

Objetivo: El alumno usará los números complejos en sus diferentes representaciones y sus propiedades, para resolver ecuaciones con una incógnita que contengan números complejos. Contenido: 3.1 Forma binómica

3.1.1 Definición de un número complejo, de igualdad y de conjugado 3.1.2 Representación gráfica. 3.1.3 Operaciones y sus propiedades: adición, sustracción, multiplicación y

división. 3.1.4 Propiedades del conjugado.

3.2 Forma polar o trigonométrica 3.2.1 Transformación de la forma binómica a polar y viceversa. Definición de módulo, de argumento y de igualdad de números complejos en forma polar. 3.2.2 Operaciones en forma polar: multiplicación, división, potenciación y radicación. 3.3. Forma exponencial o de Euler 3.3.1 Equivalencia entre la forma polar y la exponencial. 3.3.2 Operaciones en la forma exponencial: multiplicación, división,

potenciación y radicación. 3.4. Resolución de ecuaciones con una incógnita que involucren complejos.

FORMA BINÓMICA

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3.1 Forma Binómica

3.1.1 Definiciones

El campo de los números complejos

El conjunto de los números complejos, que denotamos como ℂ se define como:

ℂ | , 1z z a bi a b e i

Un número de la forma bi se llama imaginario, aunque estrictamente, el único número imaginario es i .

Igualdad en ℂ

Sean 1 2, z a bi z c di ; dos números complejos con , , ,a b c d ; decimos que:

1 2, si y z z a c b d

Conjugado de un número complejo

Sea z a bi un número complejo. El conjugado de z , que representaremos como z , se define como:

z a bi

3.1.2 Representación gráfica

Como consecuencia del isomorfismo que existe entre los conjuntos ℂ y 2 , es posible representar

gráficamente a los números complejos z a bi mediante un par ordenado perteneciente a 2 ; este plano se denomina Plano de Argand.

a

a + bi

R

I

0

b .

En el Diagrama de Argand el eje de las abscisas se denomina eje real, (el eje X del plano cartesiano), y el de las ordenadas se llama eje imaginario, (el eje Y de plano cartesiano). De aquí, el hecho de que el Diagrama de Argand, también conocido como el Plano Complejo, muestre gran similitud con el plano cartesiano. En ocasiones, un número complejo z a bi se denota como ( , )a b y se dice que es un punto en el plano complejo.

FORMA BINÓMICA

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R

I

0 a

.

.

b

-b

a + bi

a - bi

Conjugado de un complejo

R

I

0 a

b a + bi

-b

.

.-a - bi

Simétrico de un complejo

3.1.2 Operaciones y sus propiedades

Sean 1 2, z a bi z c di , dos números complejos, donde , , ,a b c d ;

i. 1 2 ( ) ( )z z a c b d i (adición)

ii. 1 2 ( ) ( )z z ac bd ad bc i (multiplicación)

iii. 1 2 ( ) ( )z z a c b d i (sustracción)*

En el caso de la división, tenemos:

21

2 2 2 2 22

( ) ( )z a bi c di ac adi bci bdi ac bd bd ad i

z c di c di c cdi cdi d i c d

Entonces:

iv. 12 2 2 2

2

( ) ( )z ac bd bc adi

z c d c d

(división)*

* Tanto la sustracción como la división son casos particulares de la adición y multiplicación respectivamente.

Propiedades de la Adición y la Multiplicación

Para todo 1 2 3, ,z z z ℂ

i. 1 2z z ℂ

1 2z z ℂ (Cerradura)

ii. 1 2 2 1z z z z

1 2 2 1z z z z (Conmutatividad)

FORMA BINÓMICA

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iii. 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z

1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z (Asociatividad)

iv. 1 1(0 0 )z i z

1 1(1 0 )z i z (Elemento idéntico)

v. 1 1( ) 0 0z z i 1

1 1 1 0z z i (Elemento inverso)

vi. 1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) ( )z z z z z z z (Distributividad)

3.1.4 Propiedades del Conjugado de un Complejo

Para todo 1 2, ,z z z ℂ

i. z z ii. z z z

iii. z z iv. z z

v. 2

z z z

vi. 1 2 1 2z z z z

vii. 1 2 1 2z z z z

viii. Re( ) ; e Im( )2 2

z z z zz z

i

ix. ( )n nz z

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA

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3.2 Forma Polar o Trigonométrica

3.2.1 Transformaciones de la forma binómica a polar y visceversa

La forma polar de un número complejo z ℂ es:

; 0 y [ , ]z r cis r grados

Definición de módulo y argumento

Si representamos de forma gráfica en el Diagrama de Argand,

Se dice que el módulo de z es r y el argumento de z es ; estos también se pueden representar

con z y arg( )z , respectivamente.

Asimismo, se pueden determinar a partir de su forma binómica con las fórmulas:

2 2 1 y arg( ) tanb

r z a b za

De manera que ( cos ) ( ) (cos )z a bi r rsen i r isen , por lo que

z r cis

Se llama argumento principal al valor tal que:

0 360 ;o

cuando el argumento “es negativo”, habrá que sumarle tantas vueltas como sean necesarias (1 vuelta equivale a 360º), hasta lograr el argumento principal.

0

. (a,b)

r

I

R

a

b2 2

1

cos

tan

r a b

a r

b rsen

b

a

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA

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Criterio de Igualdad

Sean 1 1 1 2 2 2 , z r cis z r cis ; dos números complejos expresados cada uno en su forma polar,

entonces 1 2z z sí y solo sí:

i. 1 2 y,r r

ii. 1 2+k 360 con 0,1,2,3,...o k

3.2.2 Operaciones en forma polar

Multiplicación y división

Sean 1 1 1 2 2 2 , z r cis z r cis ; dos números complejos expresados cada uno en su forma polar,

entonces la multiplicación y la división en la forma polar puede realizarse de la siguiente manera:

i. 1 1 2 2 1 2 1 2 r cis r cis r r cis

ii. 1 1 11 2

2 2 2

r cis rcis

r cis r

Potenciación

Si z es un número complejo, entonces la potencia enésima de z en su forma polar es:

( ) n nr cis r cis n n

Propiedades

Sean z un número complejo y ,n m ;

i. n m n mz z z

ii. m

n n mz z

Raíz enésima de un Número Complejo

Sean z ℂ y n . Si nw z se dice que w es la raíz enésima de z y se representa con nw z

Si z es un número complejo, entonces su raíz enésima en su forma polar es:

360 ; 0,1,2,3,4,...,( 1)

onn k

r cis r cis k nn

Se denomina raíz principal a la que se obtiene con 0k .

FORMA EXPONENCIAL O DE EULER

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3.3 Forma Exponencial o de Euler

3.3.1 Equivalencias entre la forma Polar y la de Euler

La forma de Euler de un número complejo es:

; [ , ]iz r e rad

donde cos ; ie isen

3.3.2 Operaciones en forma polar

Multiplicación y división

Sean 1 2

1 1 2 2 , i iz r e z r e ; dos números complejos expresados cada uno en su forma de Euler,

entonces la multiplicación y la división en la forma polar puede realizarse de la siguiente manera:

iii. 1 21 2

1 2 1 2 ii ir e r e r r e

iv. 1

1 2

2

1 1

22

ii

i

r e re

rr e

Potenciación

Si z es un número complejo, entonces la potencia enésima de z en su forma de Euler es:

( ) n

i n n ir e r e n

Raíz enésima de un Número Complejo

Sean z ℂ y n . Si nw z se dice que w es la raíz enésima de z y se representa con nw z

Si z es un número complejo, entonces su raíz enésima en su forma de Euler es:

360

; 0,1,2,3,4,...,( 1)

oki

nin nr e r e k n

Se denomina raíz principal a la que se obtiene con 0k .