02 Metode Deformasi Konsisten
-
Upload
deo-harita -
Category
Documents
-
view
558 -
download
45
Transcript of 02 Metode Deformasi Konsisten
9/3/2013
1
K L 3 1 0 1 , K E L A S 0 1S E M E S T E R I 2 0 1 3 / 2 0 1 4
2 Metode Deformasi Konsisten
Pengantar
Telah dipelajari sebelumnya bahwa keseimbanganmerupakan persyaratan yang harus dipenuhi olehsistem struktur yang menerima beban reaksidan gaya dalam mengimbangi beban yang bekerja.
Jika reaksi dan gaya dalam struktur dapatditentukan hanya dengan menggunakan persamaankeseimbangan, maka struktur termasuk kategoristatis tertentu (statically determinate).
9/3/2013
2
2D 3D
Persamaan Keseimbangan
0
0
0
x
y
z
F
F
M
0 0
0 0
0 0
x x
y y
z z
F M
F M
F M
Ketaktentuan Statis
Jika terdapat lebih banyak reaksi dan/atau gaya dalamdaripada jumlah persamaan keseimbangan, strukturdikatakan sebagai statis tak tentu (statically indeterminate).
Hal ini bukan berarti reaksi dan gaya dalam tidak bisaditentukan. Hanya persamaan keseimbangan tidak cukupuntuk menentukan besar reaksi dan gaya dalam tersebut.
A B
wMA
RAy RB
9/3/2013
3
Gaya Kelebihan
Struktur statis tak tentu dapat diubah menjadi struktur statis tertentu dengan menghilangkan sejumlah gaya(reaksi atau gaya dalam) yang nilainya belum diketahui.
Gaya-gaya yang dihilangkan ini disebut gaya kelebihan (redundant forces).
Jumlah gaya kelebihan ini sama dengan derajat kestatistaktentuan struktur.
Struktur statis tertentu yang dihasilkan disebut struktur primer.
Sembarang reaksi atau gaya dalam dapat dipilih sebagai gaya kelebihan selama struktur primer yang dihasilkan stabil.
Prinsip Dasar
Struktur statis tak tentu dapat dianalisis sebagai penjumlahan dari struktur primer yang dikenai beban luar dan struktur primer yang dikenai gaya-gaya kelebihan.
=
+
A B
wMA
RAy RB
A B
w
RAy0
MA0
AB
RBRAy1
MA1
MA = MA0 + MA1RAy = RAy0 + RAy1
9/3/2013
4
Prinsip Dasar
Agar deformasi struktur primer di tempat gaya kelebihan bekerja konsisten dengan struktur statis tak tentu semula, diperlukan syarat kompatibilitas.
=
+
A B
wMA
RAy RB
w
RAy0
MA0
0
RBRAy1
MA11
B = 0 B = 0 + 1
0 + 1 = 0persamaankompatibilitas
Prinsip Dasar
Setiap persamaan kompatibilitas mengandung gaya kelebihan yang belum diketahui nilainya.
Jumlah persamaan kompatibilitas sama banyak dengan jumlah gaya kelebihan.
Dengan demikian penyelesaian persamaan kompatibilitas secara simultan akan menghasilkan nilai semua gaya kelebihan.
9/3/2013
5
Ilustrasi Perhitungan
w
RAy0
MA0
0
2
0 0
4
0
;2
8
Ay AwLR wL M
wLEI
RBRAy1
MA11
1 1
3
1
;
3
Ay B A B
B
R R M R L
R LEI
Ilustrasi Perhitungan
Persamaan kompatibilitas:
Reaksi lainnya:
34
0 1 0 08 3
BR LwLEI EI
38BwLR
0 1
2 2
0 1
3 58 8
3 CCW2 8 8
Ay Ay Ay
A A A
wL wLR R R wL
wL wL wLM M M L
9/3/2013
6
Gaya Dalam sebagai Gaya Kelebihan
Selain reaksi, gaya dalam dapat pula dipilih sebagai gaya kelebihan.
Misalnya untuk struktur balok berikut:
Momen lentur di B, MB, dapat dijadikan gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer berikut:
A B
wC
A B
w MB
B C
wMB
A B
w
ΔBA0
Syarat kompatibilitas:
B C
w
ΔBC0
A B
MB
ΔBA1
B C
wMB
ΔBC1
0 0 1 1 0BA BC BA BC
Selesaikan persamaan kompatibilitas di atas untuk memperoleh nilai MB, kemudian tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam pada balok tersebut!
9/3/2013
7
Penamaan Variabel
Gaya-gaya kelebihan diberi nama Xi. Perpindahan struktur primer akibat beban luar
dalam masing-masing arah gaya kelebihan diberi nama Δ0i.
Perpindahan struktur primer dalam arah Xi akibat gaya kelebihan Xj diberi nama Δij.
w
RAy0
MA0
01
X1RAy1
MA111
Koefisien Fleksibilitas
Untuk memisahkan unknown Xi dalam perhitungan, terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 satuan dalam masing-masing arah gaya kelebihan.
Perpindahan akibat gaya 1 satuan ini diberi nama δij, yaitu perpindahan dalam arah gaya kelebihan ke-i(Xi) akibat gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan ke-j (Xj).
δij disebut juga koefisien fleksibilitas.
9/3/2013
8
Koefisien Fleksibilitas
X1RAy1
MA111
1rAy1
mA1δ11
11 11 1
1 1 1
1 1 1
A A
Ay Ay
XM m XR r X
Koefisien Fleksibilitas
Dengan metode beban satuan, nilai perpindahan struktur primer Δ0i dan koefisien fleksibilitas δijadalah:
Persamaan kompatibilitas sekarang dapat dituliskan dalam bentuk:
00
0 0
;L L
i jii ij
m mM m dx dxEI EI
M0 = momen lentur pada struktur primer akibat beban luar.mi = momen lentur pada struktur primer akibat gaya 1 satuan
dalam arah gaya kelebihan Xi.
01 11 10 11 10 0X
11 1 01X
9/3/2013
9
Koefisien Fleksibilitas
Untuk struktur rangka batang, nilai perpindahan struktur primer Δ0i dan koefisien fleksibilitas δij adalah:
00
1 1
;N N
ki kj kk ki ki ij
k kk k k k
s s LS s LE A E A
Sk0 = gaya batang k pada struktur primer akibat beban luar.ski = gaya batang k pada struktur primer akibat gaya 1 satuan
dalam arah gaya kelebihan Xi.
Contoh 1
Pilih reaksi momen di A sebagai gaya kelebihan dan gunakan metode deformasi konsisten untuk menentukan reaksi dari struktur balok seperti tergambar.
A B
wMA
RAy RB
A B
wX1
RAy RB
9/3/2013
10
Syarat kompatibilitas: Putaran di tumpuan A harus nol, karena A adalah tumpuan jepit.
01 11 1 0X
01 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat beban luar,11 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat momen satu satuan
dalam arah X1.
A B
w
RAy0 = wL/2 RB0 = wL/2
Δ01
A B1
rAy1 = –1/L rB1 = 1/L
δ11
m1
1+
M0
wL2/8
+Diagrammomen
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
1 111
0
1 13
3
L m m LdxEI EI
LEI
2
0 101
03
1 26 8
24
L M m L wLdxEI EI
wLEI
Koefisien fleksibilitas:
Persamaan kompatibilitas:
01 11 1 0X 3
1
2
1
024 3
8
wL L XEI EI
wLX
2
CCW8A
wLM
9/3/2013
11
Reaksi lainnya:
0 1 1
2
0 1 1
2
1 5 2 8 8
1 3 2 8 8
Ay Ay Ay
B B B
R R r X
wL wL wLL
R R r X
wL wL wLL
w
A B
3wL/85wL/8wL2/8
Contoh 2
Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur seperti tergambar.
Balok AB dan kolom BCmemiliki modulus elastisitas E dan inersia penampang I.
8 m
6 m
20 kN/m
A B
C
9/3/2013
12
Syarat kompatibilitas:
Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu derajat 1 (terdapat 1 gaya kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di C (RCx).
20 kN/m
A B
CX1
Perpindahan horizontal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah sendi:
01 11 1 0X
01 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat beban luar,11 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat gaya
satu satuan dalam arah X1
Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:
+
(c) M0
160
(b) ri1
(d) m1
–
–
80 kN
80 kN
20 kN/m
(a) Ri0
0.75
0.75
1
1
6
6
9/3/2013
13
Perpindahan strukturprimer akibat beban luar:
1 111
0
8 6 6 6 6 6 1683 3
L m m dxEI
EI EI EI
0 101
0
8 6 2 1606
2560
L M m dxEI EI
EI
Koefisien fleksibilitas:(perpindahan struktur primerakibat beban 1 satuan)
Persamaankompatibilitas: 10 11 1 0X
1
1
2560 168 0
2560 15.24 kN 168
XEI EI
X
15.24 kN CxR
Reaksi lainnya:
0 1 1
0 1 1
0 1 1
0 1 15.24 15.24 kN
80 0.75 15.24 68.57 kN
80 0.75 15.24 91.43 kN
Ax Ax Ax
Ay Ay Ay
Cy Cy Cy
R R r X
R R r X
R R r X
+
(c) Momen lentur M [kN-m]
–
(a) Reaksi
–
(b) Gaya geser V [kN]
–
+
+ 20 kN/m
15.24 kN
91.43 kN
15.24 kN
68.57 kN
68.5715.24
91.43
117.55
91.43
9/3/2013
14
Contoh 3
Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari strukturrangka batang sepertitergambar.
Semua batang terbuatdari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luaspenampang A.
1
2
3
4
5 6
7
6 m 6 m
E
9 mD
CA B
90 kN
Syarat kompatibilitas:
Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu luar derajat 1 (terdapat 1 reaksi kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi di C.
Perpindahan vertikal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah rol:
01 11 1 0X
01 = perpindahan vertikal titik C pada struktur primer akibat beban luar,11 = perpindahan vertikal titik C pada struktur primer akibat gaya
satu satuan dalam arah X1
S1
REx
D
CA B
90 kN X1
REy
RA
S2
S3
S4
S5 S6
S7
9/3/2013
15
Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer:
90 kN60 kN
90 kN
60 kN
–75–45
75
0
–90
0
0
1.33
1
1.33
0
11.33 1.33
–1.67
–1.67
0
0
Ri0 dan Si0 ri1 dan si1
Perhitungan deformasi:
Batang Li[m]
Si0[kN] si1 Si0 si1 Li si1 si1 Li Si [kN]
1 7.5 –75 –1.67 937.5 20.83 –50.20
2 9 –45 0 0 0 –45
3 7.5 75 0 0 0 75
4 6 0 1.33 0 10.67 –19.84
5 4.5 –90 0 0 0 –90
6 7.5 0 –1.67 0 20.83 24.80
7 6 0 1.33 0 10.67 –19.84
937.5 63
01937.5
EA 11
63EA
9/3/2013
16
Persamaan kompatibilitas:
01 11 1 0X
1
1
937.5 63 0
14.88 kN
XEA EA
X
Reaksi lainnya:
0 1 1
0 1 1
0 1 1
60 1.33 14.88 40.16 kN
60 1.33 14.88 40.16 kN
90 1 14.88 75.12 kN
A A A
Ex Ex Ex
Ey Ey Ey
R R r X
R R r X
R R r X
Gaya-gaya batang:
0 1 1i i iS S s X
Hasil perhitungan dituliskan di kolom paling kanan pada tabel perhitungan di atas dan pada gambar di samping.
90 kN40.16 kN
40.16 kN
75.12 kN
14.88 kN
–50.20
24.80
–19.84–19.84
–9075
–45
Contoh 4
Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari strukturrangka batang sepertitergambar.
Semua batang terbuatdari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luaspenampang A.
1
2
3 45
6
4 m
3 m
D
A B
80 kN
C30 kN
9/3/2013
17
Syarat kompatibilitas
Struktur primerSalah satu gaya batang dapat dipilih sebagai gayakelebihan, misalnya gaya batang 3. Batang 3 seolah-olah“diputus” di tengah dan dapat berpindah relatif terhadapsatu sama lain akibat beban luar dan akibat beban 1 satuandalam arah X1.
Total perpindahan antara kedua ujung batang 3 yang “diputus” harus sama dengan nol.
01 = perpindahan relatif kedua ujung batang 3 yang “diputus” akibat beban luar,11 = perpindahan relatif kedua ujung batang 3 yang “diputus” akibat beban
satu satuan dalam arah X1
ReaksiReaksi dapat langsung dihitung menggunakan persamaan keseimbangan. Struktur ini merupakan struktur statis tak tentu dalam derajat 1 (terdapatkelebihan 1 batang).
S1
X1
S2 S4S5
S6
D
A B
80 kN
C30 kN
X1
01 11 1 0X
Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer:
30 kN
40 kN
–50
30
–40 0
Ri0 dan Si0
D
A B
80 kN
C30 kN
40 kN
30
1
ri1 dan si1
D
A B
C
1
–0.6
–0.6
–0.8 –0.81
9/3/2013
18
Perhitungan deformasi:
Batang Li[m]
Si0[kN] si1 Si0 si1 Li si1 si1 Li Si [kN]
1 3 30 –0.6 –54 1.08 22.01
2 4 –40 –0.8 128 2.56 –50.65
3 5 0 1 0 5 13.31
4 5 –50 1 –250 5 –36.69
5 4 0 –0.8 0 2.56 –10.65
6 3 30 –0.6 –54 1.08 22.01
–230 17.28
01230EA
1117.28
EA
Persamaan kompatibilitas:01 11 1 0X
1
1
230 17.28 0
13.31 kN tarik
XEA EA
X
Gaya-gaya batang lainnya:
0 1 1i i iS S s X
30 kN
40 kN 40 kN
–50
.65
22.01
–10
.65
4 m
3 m
D
A B
80 kN
C30 kN22.01
9/3/2013
19
Derajat Kestatistaktentuan > 1
Untuk struktur dengan derajat kestatistaktentuan > 1, diterapkan pola penyelesaian yang sama: Ubah menjadi struktur primer statis tertentu dengan sejumlah
gaya kelebihan. Tetapkan syarat kompatibilitas. Selesaikan persamaan kompatibilitas menggunakan nilai
perpindahan struktur primer akibat beban luar (Δ0i) dan koefisien fleksibilitas (δij) untuk memperoleh nilai gaya kelebihan.
Tentukan nilai reaksi lainnya.
Ilustrasi
w
A B
RAy
RAx
RB
MA
C
RC
w
A B
X1 = RB
C
X2 = RC
1 = B = 0
struktur statistak tentu
struktur primerdan gaya kelebihan
syarat kompatibilitas 2 = C = 0
9/3/2013
20
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
RAy002
01
MA0
1
2111
mA1
rAy1
1
mA2 12
rAy2
22
Koefisien fleksibilitas:(perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan)
Persamaan kompatibilitas:
1 01 11 1 12 2
2 02 21 1 22 2
0 00 0
X XX X
Sekarang persamaan kompatibilitas dapat dituliskan dalambentuk matriks:
0111 12 1
0221 22 2
00
XX
atau dalam formula yang lebih umum:
0X
[] = matriks fleksibilitas yang berisikan koefisien fleksibilitas{X} = vektor gaya kelebihan yang nilainya belum diketahui{} = vektor perpindahan tumpuan yang umumnya bernilai nol,
kecuali jika terjadi perpindahan tumpuan{0} = vektor perpindahan struktur primer pada setiap arah gaya kelebihan
akibat beban luar
9/3/2013
21
Gaya kelebihan:
10X
Reaksi dan gaya dalam lainnya:
0 1 1 2 2
01
0 1 1 2 2
01
i i i i iN NN
i ik kk
i i i i iN NN
i ik kk
R R r X r X r X
R r X
S S s X s X s X
S s X
Teorema Betti-MaxwellJames C. Maxwell (1864)
Perpindahan suatu titik pada struktur (titik A) akibat beban satuan yang bekerja di titik yang lain (titik B) sama dengan perpindahan titik B akibat beban satuan yang bekerja di titik A.
Dengan kata lain: δij = δji
Implikasi: matriks fleksibilitas simetris.
9/3/2013
22
Prosedur Metode Deformasi Konsisten
Tentukan derajat kestatistaktentuan struktur. Pilih gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer
yang stabil. Tetapkan syarat kompatibilitas yang sesuai dengan gaya
kelebihan yang dipilih. Susun persamaan kompatibilitas dalam bentuk:
dengan menentukan nilai δij (perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan) dan Δ0i (perpindahan struktur primer akibat beban).
0X
Prosedur Metode Deformasi Konsisten
Selesaikan persamaan kompatibilitas untuk memperoleh nilai gaya kelebihan {X}.
Hitung reaksi dan gaya-gaya dalam lainnya:
10X
01
01
N
i i ik kkN
i i ik kk
R R r X
S S s X
0
0
R R r X
S S s X
9/3/2013
23
Contoh 5
Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur balok seperti tergambar.
Balok AB dan BC memiliki modulus elastisitas E, panjang L, dan inersia penampang I.
A B
w
C
Struktur primer dan gaya kelebihan:
w
A B
X1 = RB
C
X2 = RC
Syarat kompatibilitas: 1 = B = 0 2 = C = 0
Persamaan kompatibilitas:
11 1 12 2 01
21 1 22 2 02
X XX X
Diagram momen akibat beban luar dan beban 1 satuanpada masing-masing arah gaya kelebihan:
– + +
2wL2
2wL
w
2wL2
M0
L 2L
11
11
m1 m2
L 2L
9/3/2013
24
Koefisien fleksibilitas:
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
31 1
110
31 2
120
32 2
220
13 3
2 21 56 6
2 2 21 83 3
L
L
L
L L Lm m LdxEI EI EI
L L L Lm m LdxEI EI EI
L L Lm m LdxEI EI EI
2 2 40 1
010
2 2 40 2
020
2 2 1.1251 176 24
2 2 2 2 0.51 26
L
L
L L wL wLM m wLdxEI EI EI
L L wL wLM m wLdxEI EI EI
Persamaan kompatibilitas:
Reaksi lainnya:
0X
0 1 2 1
0 1 2 2
2
2 1 1 32 132 2 11 228 28
AA A A
AA A A
RR r r XMM m m X
wL wL wLwL L L L
8 11 ; 7 28B CwL wLR R
213 ; CCW
28 14A AwL wLR M
3 41
2
11
2
2 5 175 16 486 24
2 5 175 16 484
16 5 17 3215 2 48 114 7 28
XL wLXEI EI
X wLX
wL wL
9/3/2013
25
Diagram gaya-gaya dalam:
A B C
87wL 11
28wL13
28wL
2
14wL
w
1328wL
1528wL
1728wL
1128wL
+ +
– –V
M
0.0714wL2
0.0364wL2
0.1071wL2
0.0772wL2
+ +
– –
Contoh 6
Tentukan reaksi dari struktur seperti tergambar.
Balok AB dan kolom BCmemiliki modulus elastisitas Edan inersia penampang I.
8 m
6 m
20 kN/m
A B
C
9/3/2013
26
Struktur primer dan gaya kelebihan:
20 kN/m
A B
C X1
X2 Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:
20 kN/m
A B
C
80 kN
80 kN
Ri0
160 kN-m
M0
Misalnya reaksi horizontal dan momen di Bdipilih sebagai gaya kelebihan.
A B
C
0.75
ri1
0.75
1
1
m1
–
–
6
6
A B
C
0.125
ri2
0.1251
m2
+
+
1
1
9/3/2013
27
Koefisien fleksibilitas:
1 111
0
1 212
0
2 222
0
8 6 6 6 6 6 1683 3
8 6 1 6 6 1 343 2
8 1 1 6 1 1 263 3
L
L
L
m m dxEI EI EI EI
m m dxEI EI EI EI
m m dxEI EI EI EI
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
0 101
0
0 202
0
8 6 2 160 25606
8 1 2 160 12806 3
L
L
M m dxEI EI EI
M m dxEI EI EI
Persamaan kompatibilitas:
1
2
1
2
504 102 76801 1102 26 12803 3
25.6CCW51.2
Cx
C
XXEI EI
RXMX
0 1 0 25.625.6
80 0.75 0.125 67.251.2
80 0.75 0.125 92.8
Ax
Ay
Cy
RRR
Reaksi lainnya:
20 kN/m
A B
C
67.2 kN
92.8 kN51.2 kN-m
25.6 kN
25.6 kN
9/3/2013
28
Contoh 7
Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari struktur rangka batang seperti tergambar.
Semua batang terbuat dari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luas penampang A.
1
2
3 45
6
4 m
3 m
D
A B
80 kN
C30 kN
Struktur primer dan gaya kelebihanSatu reaksi dan satu gaya batang harus dipilih sebagaigaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di B dan gayabatang 3, seperti tergambar.
S1
X1
S2 S4S5
S6
D
AB
80 kN
C30 kN
X1
X2 Reaksi dan gaya-gaya batang pada
struktur primer:
30 kN
40 kN
–50
30
–40 0
Ri0 dan Si0
D
A B
80 kN
C30 kN
40 kN
30
1 1
ri1 dan si1
1
1
ri2 dan si2
D
A B
C
1
–0.6
–0.6
–0.8 –0.81
9/3/2013
29
Perhitungan koefisien fleksibilitas dan perpindahan struktur primer:
# L[m]
S0[kN] s1 s2 s1s1L s1s2L s2s2L S0s1L S0s2L
S[kN]
1 3 30 –0.6 1 1.08 –1.8 3 –54 90 0
2 4 –40 –0.8 0 2.56 0 0 128 0 –48.69
3 5 0 1 0 5 0 0 0 0 10.86
4 5 –50 1 0 5 0 0 –250 0 –39.14
5 4 0 –0.8 0 2.56 0 0 0 0 –8.69
6 3 30 –0.6 0 1.08 0 0 –54 0 23.48
17.28 –1.8 3 –230 90
11 12 22 01 02
Persamaan kompatibilitas: 0
1
2
11
2
17.28 1.8 0 2301 11.8 3 0 90
17.28 1.8 2301.8 3 90
10.8623.48
X
XXEA EA
XX
3 10.86 kN tarik
23.48 kNBx
S
R
Reaksi dan gaya batang lainnya:
10 1 2
2
10 1 2
2
i i i i
i i i i
XR R r r
X
XS S s s
X
9/3/2013
30
Pengaruh Perpindahan Tumpuan
Berbeda dengan struktur statis tertentu, perpindahan tumpuan pada struktur statis tak tentu akan menimbulkan gaya-gaya dalam pada struktur.
Dalam struktur yang sebenarnya, perpindahan tumpuan ini dapat diakibatkan oleh penurunan tanah atau pondasi, kesalahan pengukuran pada saat konstruksi, perubahan ukuran material akibat perubahan suhu, susut dan rangkak pada beton, kesalahan fabrikasi, atau sebab-sebab lainnya.
Pengaruh Perpindahan Tumpuan
Pada metode fleksibilitas, perpindahan tumpuan ini dimasukkan ke dalam analisis dengan mengubah nilai perpindahan pada persamaan kompatibilitas.
Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi: Perpindahan pada arah yang dipilih sebagai gaya kelebihan. Perpindahan tumpuan struktur primer (yang tidak dipilih
sebagai gaya kelebihan).
9/3/2013
31
Perpindahan pada arahyang dipilih sebagai gaya kelebihan
02 21 1 22 2 1X X
0111 12 1
0221 22 2
01
XX
w
A BC
C = 1Tumpuan C mengalamipenurunan sebesar1 satuan.
w
A B
X1 = RB
C
X2 = RC
Struktur primer dan gayakelebihan yang dipilih.
Syarat kompatibilitas di tumpuan C :
sehingga persamaankompatibilitas menjadi:
Perpindahan tumpuan struktur primer
A B C
w Tumpuan A mengalamiputaran sebesar 0.1 radsearah putaran jarum jam.
w
A B
X1 = RB
C
X2 = RC
2s = –0.2L1s = –0.1L
Struktur primer dan gayakelebihan yang dipilih.
01 10
02 2
s
s
0111 12 1
0221 22 2
0.100.20
LXLX
Perpindahan dalam arah masing-masing gaya kelebihan akibat perpindahan struktur primer.
9/3/2013
32
Contoh 8
Tentukan reaksi pada struktur balok seperti tergambar apabila tumpuan B mengalami perpindahan vertikal sebesar 1 satuan (ke arah atas).
1
A
B
Struktur primer dan gaya kelebihan
X1
X2
Koefisien fleksibilitas
11
L
+L
1
+1
1
3 2
11 12
22
1;
3 3 2 21 1
L L L L LL LEI EI EI EI
L LEI EI
9/3/2013
33
Persamaan kompatibilitas
Reaksi lainnya
21
2
1 02 30 06 3 6
XL LLXEI L
122 3
2
6 3 1 126 13 2 0 63
X LEI EIX L L LL L L
3
3
0 1 0 120 1 6
126
Ay
A
R EIM L LL
EILL
1
312EI
L
312EI
L
26EIL
26EIL
Contoh 9
Tentukan reaksi pada struktur seperti tergambar, jika tumpuan A mengalami putaran sebesar 1 satuan searah putaran jarum jam.
Gunakan struktur primer dan matriks fleksibilitas dari Contoh 8.
1
AB