01 2 Triangle
10
หน่วยที่ 1 ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการคานวณแผนที่ 1.2 ความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับรูปเหลี่ยม บริเวณที่ช่างสารวจทาการรังวัดส่วนใหญ่ โดยมากมีรูปร่างเป็นเหลี่ยมต่าง ๆ มากมายหลาย เหลี่ยม หรือเป็นรูปร่างที่เกิดจากรูปเรขาคณิตเรียงต่อเนื่อง หรือทับซ้อนกันจนเต็มพื้นที่หากว่ารูปร่าง ที่ปรากฏนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยม หรือสี่เหลี่ยมด้วยแล้ว ช่างสารวจก็สามารถคานวณหาพื้นที่ได้ง่าย และขึ้นรูปแผนที่ได้สะดวก เป็นต้น ในความเป็นจริงพื้นที่ที่สารวจส่วนมาก มักเป็นรูปหลายเหลี่ยม หรือมีลักษณะอื่น ๆ นอกเหนือไปจากรูปเรขาคณิต ทาให้เกิดความยุ่งยากในการคานวณหาพื้นที่ และ มีความซับซ้อนในการขึ้นรูปแผนที่เป็นอย่างมาก ช่างสารวจสมัยก่อนจึงเกิดแนวคิดต่าง ๆ เพื่อหาวิธี คานวณอยู่ในรูปที่ง่าย สะดวก รวดเร็ว และมีความผิดพลาดน้อยที่สุด โดยเอารูปเรขาคณิตที่ง่ายต่อ การรังวัด การคานวณ และการลงที่หมายหรือสร้างรูปแผนที่ เช่น รูปสามเหลี่ยม และหรือรูปสี่เหลี่ยม ซึ่งจัดเป็นรูปเรขาคณิตที่ไม่มีความซับซ้อน และสะดวกต่อการคานวณเป็นอย่างมาก ดังนั้นช่างสารวจ มือใหม่ จึงมีความจาเป็นอย่างยิ่งที่ต้องศึกษาให้เกิดความเข้าใจในคุณสมบัติ รูปร่าง เอกลักษณ์ต่าง ๆ ตลอดจนสูตรคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง เช่น สมการตรีโกณพื้นราบ กับการแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่อาจ เกิดขึ้น สูตรการหาพื้นที่และปริมาตรของรูปต่าง ๆ เป็นต้น ดังจะได้กล่าวในรายละเอียดต่อไป 1.2.1 การจาแนกรูปสามเหลี่ยม รูปเหลี่ยมที่ช่างสารวจทุกคนต้องมีความรู้ ความเข้าใจ และสามารถนาไปประยุกต์ ใช้ได้ง่าย และสะดวก เช่น รูปสามเหลี่ยม (Triangle) เป็นต้น รูปสามเหลี่ยมยังเป็นรูปพื้นฐานของ งานคานวณอื่น ๆ อีกมากด้วย รูปสามเหลี่ยมจะประกอบด้วยจุดยอดสามจุด และด้านที่เป็นเส้นตรง สามด้าน ซึ่งเราอาจจาแนกรูปสามเหลี่ยมได้ 2 กลุ่มใหญ่ ๆ ดังนี้ 1.2.1.1 จาแนกตามความยาวของด้าน พอที่จะสรุปออกมาได้ 3 รูปด้วยกันดังนี้ 1) สามเหลี่ยมด้านเท่า (Equilateral triangle) จะมีด้านทุกด้านยาว เท่ากัน มุมยอดของรูปก็ต้องเท่ากันทุกมุม โดยแต่ละมุมจะมีขนาดเท่ากับ 60° ดังแสดงในรูปที่ 1.2.1 รูปที่ 1.2.1 แสดงลักษณะของสามเหลี่ยมด้านเท่า
description
Basic concepts on triangle and quadriangle,MATHS
Transcript of 01 2 Triangle
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
1.2 ความเขาใจพนฐานเกยวกบรปเหลยม
บรเวณทชางส ารวจท าการรงวดสวนใหญ โดยมากมรปรางเปนเหลยมตาง ๆ มากมายหลายเหลยม หรอเปนรปรางทเกดจากรปเรขาคณตเรยงตอเนอง หรอทบซอนกนจนเตมพนทหากวารปรางทปรากฏนนเปนรปสามเหลยม หรอสเหลยมดวยแลว ชางส ารวจกสามารถค านวณหาพนทไดงาย และขนรปแผนทไดสะดวก เปนตน ในความเปนจรงพนททส ารวจสวนมาก มกเปนรปหลายเหลยม หรอมลกษณะอน ๆ นอกเหนอไปจากรปเรขาคณต ท าใหเกดความยงยากในการค านวณหาพนท และมความซบซอนในการขนรปแผนทเปนอยางมาก ชางส ารวจสมยกอนจงเกดแนวคดตาง ๆ เพอหาวธค านวณอยในรปทงาย สะดวก รวดเรว และมความผดพลาดนอยทสด โดยเอารปเรขาคณตทงายตอการรงวด การค านวณ และการลงทหมายหรอสรางรปแผนท เชน รปสามเหลยม และหรอรปสเหลยม ซงจดเปนรปเรขาคณตทไมมความซบซอน และสะดวกตอการค านวณเปนอยางมาก ดงนนชางส ารวจมอใหม จงมความจ าเปนอยางยงทตองศกษาใหเกดความเขาใจในคณสมบต รปราง เอกลกษณตาง ๆ ตลอดจนสตรคณตศาสตรทเกยวของ เชน สมการตรโกณพนราบ กบการแกปญหาตาง ๆ ทอาจเกดขน สตรการหาพนทและปรมาตรของรปตาง ๆ เปนตน ดงจะไดกลาวในรายละเอยดตอไป
1.2.1 การจ าแนกรปสามเหลยม
รปเหลยมทชางส ารวจทกคนตองมความร ความเขาใจ และสามารถน าไปประยกต ใชไดงาย และสะดวก เชน รปสามเหลยม (Triangle) เปนตน รปสามเหลยมยงเปนรปพนฐานของ งานค านวณอน ๆ อกมากดวย รปสามเหลยมจะประกอบดวยจดยอดสามจด และดานทเปนเสนตรง สามดาน ซงเราอาจจ าแนกรปสามเหลยมได 2 กลมใหญ ๆ ดงน
1.2.1.1 จ าแนกตามความยาวของดาน พอทจะสรปออกมาได 3 รปดวยกนดงน
1) สามเหลยมดานเทา (Equilateral triangle) จะมดานทกดานยาวเทากน มมยอดของรปกตองเทากนทกมม โดยแตละมมจะมขนาดเทากบ 60° ดงแสดงในรปท 1.2.1
รปท 1.2.1 แสดงลกษณะของสามเหลยมดานเทา
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
2) สามเหลยมดานไมเทา (Scalene triangle) เปนรปสามเหลยมทม ความยาวของดานทงสามแตกตางกนและไมเทากน มมภายในกจะมขนาดเแตกตางกนดวยดงแสดงในรปท 1.2.2.
รปท 1.2.2 แสดงลกษณะของสามเหลยมดานไมเทา
3) สามเหลยมหนาจว (Isosceles triangle) เปนรปสามเหลยมทมดานสองดานยาวเทากน มมมเทากนสองมม และอยตรงขามดานทเทากนดวยเสมอ ดงแสดงในรปท 1.2.3
รปท 1.2.3 แสดงลกษณะของสามเหลยมหนาจว
1.2.1.2 จ าแนกตามขนาดของมมภายในทใหญทสด จ าแนกออกได 3 รปดงน 1) สามเหลยมมมฉาก (Right triangle) เปนสามเหลยมทมมมภายใน หนงมมมขนาด 90° (มมฉาก) ดานทอยตรงขามกบมมฉากจะเปนดานทยาวทสด และอกสองดานนยมเรยกวา ดานประกอบมมฉาก ดงรปท 1.2.4
รปท 1.2.4 แสดงลกษณะของสามเหลยมมมฉาก
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
2) สามเหลยมมมปาน (Obtuse triangle) เปนสามเหลยมทมมมภายในมมใดมมหนงขนาดใหญกวา 90° เสมอ ดงรปท 1.2.5
รปท 1.2.5 แสดงลกษณะของสามเหลยมมมปาน
3) สามเหลยมมมแหลม (Acute triangle) เปนสามเหลยมทมมมภายในทกมมมขนาดเลกกวา 90° และมขนาดไมเทากนดวย ดงรปท 1.2.6
รปท 1.2.6 แสดงลกษณะของสามเหลยมมมแหลม
1.2.2 เรขาคณตของรปสามเหลยม
1.2.2.1 สามเหลยมใด ๆ หรอสามเหลยมดานไมเทา (Scalene triangle)
1) มมภายในรวมกนได 2 มมฉาก หรอ 180° หรอ rad หรอ g200
รปท 1.2.7 แสดงการรวมมมภายในของรปสามเหลยม
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
2) มมภายนอกบนดานหนงของรปจะมขนาดเทากบ ผลรวมของมมทไมใชมมประชดกบมมภายนอก ดงรปท 1.2.8
รปท 1.2.8 แสดงผลรวมของมมทไมใชมมประชดกบมมภายนอก เทากบมมภายนอก
3) เสนตรงหรอระนาบราบ (Horizontal plane) ทตดผานจดกงกลางของดานสองดานยอมขนานกบดานทเหลอเสมอ ดงรปท 1.2.9 หากให AX = CX และ BY = CY
จะท าให XY‖AB เสมอ
รปท 1.2.9 แสดงแนวระนาบทตดผานกงกลางของดานสองดาน
4) เสนตรงทลากผานจดยอดของสามเหลยมไปยงกงกลางดานฐานทอยตรงขามกบจดนน ๆ ยอมตดกนเปนจดเดยวกนดวย ในทางคณตศาสตรเรยกจดนวา จดเซนทรล (Central point) และระยะทางจากจดเซนทรลถงจดยอดของสามเหลยม จะเทากบสองเทาของระยะทางจากจดเซนทรล (O) ถงกงกลางดานฐานแตละดานเสมอ ดงรปท 1.2.10 หากเราให AY = YC, AZ = ZB และ BX = XC แลวจะท าให OC = 2(OZ), OA = 2(OX) และ
OB = 2(OY) เปนตน
รปท 1.2.10 แสดงเสนทลากผานจดยอดและตดผานกงกลางของดานทงสาม
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
1.2.2.2 คณสมบตของสามเหลยมหนาจว (Isosceles triangle) อกประการหนงกลาว คอ ระนาบดงทผานกงกลางดานฐาน และมมยอดทอยตรงขามดาน ยอมแบงครงมมยอด และตงฉากกบดานทแนวระนาบผานดวยเสมอ ในรปท 1.2.11 หากให AX = XB และ = ยอมท าให CX AB เสมอ
รปท 1.2.11 แสดงแนวระนาบดงทตดผานกงกลางของดานฐานของรป
1.2.2.3 คณสมบตของสามเหลยมมมฉาก (Rightangled triangle) เปนรปสามเหลยมทมมมใดมมหนงเปนมมฉาก หรอขนาดมมเทากบ 90° หรอ g100 หรอ rad5.0
สามเหลยมมมฉากน H.S. Hall, M.A. & F.H. Stevens, M.A.4 ไดกลาวถง คณสมบต
ของสามเหลยมมมฉากตามทฤษฎพทากอรส (Pythagoras theorem) ไววา ดานตรงขาม มมฉากจะมขนาดเทากบ รากทสองของผลรวมของดานประกอบมมฉากทงสองรวมกน หรอพนทของรปจตรส ทอยตรงขามมมฉาก จะเทากบผลรวมของพนทรปจตรสทอยบนดานประกอบมมฉากทงสองเสมอ ดงแสดงในรปท 1.2.12 เมอให A เปนมมฉากแลว เราสามารถเขยนคณสมบตไดวา
2a = 22 cb
หรอ a = 22 cb
รปท 1.2.12 แสดงคณสมบตของสามเหลยมมมฉาก
4 ทมา : H.S. Hall, M.A. & F.H. Stevens, M.A., School Geometry. 1955. (หนา 118119)
........................ (1.2.1)
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
1.2.2.4 คณสมบตของสามเหลยมคลาย (Analogous triangle) มกจะใชกบสามเหลยมตงแตสองรปขนไป ซงตางกมขนาดของมมทเทากนมมตอมม ผลทไดตามมาคอ ดานทอยตรงขามมม ทเทากน ยอมมความยาวเปนสดสวน หรออตราสวนกนเสมอ ดงรป ท 1.2.13 เมอก าหนดให CAB = MNB และ ACB = NMB เราจะไดอตราสวนดงน
BA
BN=
BC
BM = AC
NM .................... (1.2.2)
รปท 1.2.13 แสดงคณสมบตของสามเหลยมคลาย
ส าหรบคณสมบตของสามเหลยมทกลาวมาแลวน เปนเพยงสวนหนงทอาจน ามาชวย ในการค านวณงานส ารวจได และนยมใชกนเทานน ซ งนอกเหนอจากนจะไมขอกลาวถ ง สวนรปสามเหลยมทชางส ารวจใชกนบอยมากคอ สามเหลยมใด ๆ และสามเหลยมมมฉาก จดเปน รปทใชในการรงวดมากทสด การวดระยะทางในงานส ารวจภมประเทศมกนยมใชขอมลเกยวกบระยะทางในรปของสามเหลยม และใหมความใกลเคยงกน หรอพยายามใหเปนรปสามเหลยมดานเทา ใหมากทสด และไมนยมวดใหเปนรปสามเหลยมทมมมปานหรอมมแหลมมากเกนไป ทงนเพอให รปสามเหลยมเกดความมนคงสงทสดนนเอง
1.2.3 คณสมบตของรปเหลยมทวไป เปนคณสมบตทวไปของรปเหลยมตาง ๆ ทควรร เชน รปสเหลยม หาเหลยม หรอมากกวา จะขอกลาวเพยงสงเขปดงน 1.2.3.1 สเหลยมจตรสหรอดานเทา (Square) หมายถง รปสเหลยมทมมมทกมม เปนมมฉาก และความยาวของดานทงสเทากน จะท าใหความยาวของเสนทแยงมมมขนาดเทากนดวย ดงรปท 1.2.14 หากให A = B = C = D = 90° และ AB= BC = CD = DA เราจะพบวา AC= BD
รปท 1.2.14 แสดงคณสมบตของสเหลยมจตรสหรอดานเทา
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
1.2.3.2 สเหลยมผนผาหรอดานฉากหรอมมฉาก (Rectangle) เปนรปสเหลยมทม มมทกมมเปนมมฉาก และความยาวของดานทอยตรงขามกนจะมขนาดเทากนเปนค ๆ เสมอ ดงแสดงในรปท 1.2.15 โดย A = B = C = D = 90° (ทกมมเปนมมฉาก) ดาน AB= CD และ BC = DA จะไดวา AC= BD เชนกน
รปท 1.2.15 แสดงคณสมบตของสเหลยมผนผาหรอดานฉากหรอมมฉาก
1.2.3.3 สเหลยมดานขนานหรอคขนาน (Parallelogram) หมายถง สเหลยมทม ดานตรงขามกนขนาดเทากน และขนานกนเปนค ๆ ดงแสดงในรปท 1.2.16 จะพบวา AB‖CD,
BC‖DA, AB = CD และ AD = BC
รปท 1.2.16 แสดงคณสมบตของสเหลยมดานขนานหรอคขนาน
1.2.3.4 สเหลยมคางหม (Trapezoid) หมายถง สเหลยมทมดานตรงขามกนขนานกนเพยงคเดยว และมความยาวไมเทากน ดงแสดงในรปท 1.2.17 จะไดวา AB‖CD, AB ≆ CD
และ AD ≆ BC.
รปท 1.2.17 แสดงคณสมบตของสเหลยมคางหม
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
1.3.3.5 สเหลยมขนมเปยกปน (Rhombus) หมายถง สเหลยมทมความยาวของ
เสนทะแยงมมไมเทากน แตตงไดฉากและแบงครงซงกนและกน ดงรปท 1.2.18 จะไดวา AC BD,
AO = OC และ BO = OD
รปท 1.2.18 แสดงคณสมบตของสเหลยมขนมเปยกปน
1.2.3.6 สเหลยมใด ๆ หรอดานไมเทา (Quadrilateral) หมายถง รปสเหลยมทม ดานประกอบมมทงสขนาดไมเทากน แตสมนยกนซงกนและกน ในบางครงเราอาจเรยกวาสเหลยมดานไมเทากได ดงในรปท 1.2.19 จะเหนวา AB ≠ BC ≠ CD ≠ DA และ A ≠ B ≠ C ≠ D
รปท 1.2.19 แสดงคณสมบตของสเหลยมใด ๆ หรอดานไมเทา
นอกจากรปสเหลยมตาง ๆ ทกลาวขางตน ยงอาจมรปเหลยมอน ๆ อกมากมาย แตมกฎเกณฑทควรจดจ า คอ รปเหลยมใด ๆ สามารถหาผลรวมของมมภายใน และผลรวมมมภายนอกของรปเหลยม5 ไดจากสมการ (1.2.3) และ สมการ (1.2.4) ดงน
ผลรวมของมมราบภายใน = 1802n
หรอ = radn 2
หรอ = gn 2002
5 ทมา : ยรรยง ทรพยสขอ านวย. วศวกรรมส ารวจ 1. 2550. (หนา 249)
..................... (1.2.3)
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
และ ผลรวมของมมภายนอก = 1802n
หรอ = radn 2
หรอ = gn 2002
เมอ n = จ านวนมม หรอดาน หรอจดของรปเหลยมนน ๆ
..................... (1.2.4)
หนวยท 1 ความรพนฐานเกยวกบการค านวณแผนท
