8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

1/57

KOMBINATORIALBahan Kuliah : Matematika Diskrit

Oleh: Rinaldi Munir

Penambahan & Revisi : Imam Suhar!"#$%'

%

Source : Program Studi Teknik Informatika ITBDigunakan di Universitas Mercu Buana Yogyakarta

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

2/57

PENDAU!UAN

Se"ua# sandi$%e&at ' password( )an*angnya +sam)ai , karakter- .arakter "o%e# "eru)a #urufatau angka- Bera)a "anyak kemungkinansandi$%e&at yang da)at di"uat/

 

abcdef

aaaade

a123fr

…

erhtgahn

yutresik

…

//// #

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

3/57

DE1INISI

K!mbinat!rial ada%a# ca"ang matematikauntuk meng#itung *um%a# )enyusunan o"*ek$o"*ek tan)a #arus mengenumerasi semuakemungkinan susunannya-

(

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

4/57

KAIDAH DASAR MENGHITUNG

.aida# )erka%ian 'rule of product (

Perco"aan 2: p #asi%

Perco"aan 3: q #asi%

Perco"aan 2 dan  )erco"aan 3:  p  ×  q #asi%

.aida# )en*um%a#an 'rule of sum(

Perco"aan 2: p #asi%

Perco"aan 3: q #asi%

Perco"aan 2 atau  )erco"aan 3:  p  4 q #asi%

)

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

5/57

*!nt!h %+ .etua angkatan I1 3553 #anya 2 orang')ria atau &anita6 tidak "ias gender(- 7um%a# )riaI13553 8 +9 orang dan *um%a# &anita 8 29 orang-

Bera)a "anyak cara memi%i# ketua angkatan/

Penye%esaian:

*!nt!h #+ Dua orang )er&aki%an I13553mendatangai Ba)ak Dosen untuk )rotes ni%aiu*ian- aki% yang di)i%i# 2 orang )ria dan 2 orang&anita- Bera)a "anyak cara memi%i# 3 orang&aki% tesre"ut/

Penye%esaian:

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

6/57

*!nt!h %+ .etua angkatan I1 3553 #anya 2 orang')ria atau &anita6 tidak "ias gender(- 7um%a# )riaI13553 8 +9 orang dan *um%a# &anita 8 29 orang-

Bera)a "anyak cara memi%i# ketua angkatan/

Penye%esaian: +9 4 29 8 ,5 cara-

*!nt!h #+ Dua orang )er&aki%an I13553mendatangai Ba)ak Dosen untuk )rotes ni%aiu*ian- aki% yang di)i%i# 2 orang )ria dan 2 orang&anita- Bera)a "anyak cara memi%i# 3 orang&aki% tesre"ut/

Penye%esaian: +9 × 29 8 ;

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

7/57

BE=APA 7UM!A .EMUN>.INA YAN> ADA/

Ada 9 )ria dan ? &anita :

Per&aki%an 2 )ria dan 2 &anita : 9@? 835

Per&aki%an 3 orang ')asangan "e"as( : ;@,

8

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

8/57

PERLUASAN KAIDAH DASAR

MENGHITUNG

Misa%kan ada n  )erco"aan6 masing$masingdg pi #asi%

2- .aida# )erka%ian 'rule of product (

 p2 ×  p3 ×  ×  pn  #asi%

3- .aida# )en*um%a#an 'rule of sum(

 p2 4 p3 4 4 pn  #asi%

/

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

9/57

*!nt!h (+ Bit "iner #anya 5 dan 2- Bera)a"anyak string "iner yang da)at di"entuk *ika:

'a( )an*ang string 9 "it

'"( )an*ang string , "it '8 2 byte(

Penye%esaian:

'a( 3 × 3 × 3 × 3 × 3 8 39 8 3 "ua#'"( 3, 8 39+ "ua#

0

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

10/57

*!nt!h )+ Bera)a "anyak "i%angan gan*i% antara 2555 dan;;;; 'termasuk 2555 dan ;;;; itu sendiri( yang

'a( semua angkanya "er"eda

'"( "o%e# ada angka yang "eru%ang-

Penye%esaian:

'a( )osisi satuan: 9 kemungkinan angka '26 6 96

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

11/57

*!nt!h )+ Bera)a "anyak "i%angan gan*i% antara 2555 dan;;;; 'termasuk 2555 dan ;;;; itu sendiri( yang

'a( semua angkanya "er"eda

'"( "o%e# ada angka yang "eru%ang-

Penye%esaian:

'a( )osisi satuan: 9 kemungkinan angka '26 6 96

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

12/57

%#

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

13/57

*!nt!h +  Sandi$%e&at ' password( sistem kom)uter)an*angnya + sam)ai , karakter- Tia) karakter "o%e# "eru)a#uruf atau angkaC #uruf "esar dan #uruf keci% tidak di"edakan-Bera)a "anyak sandi$%e&at yang da)at di"uat/

Penye%esaian: 7um%a# karakter )ass&ord 8 3+ 'A$( 4 25 '5$;( 8 + karakter-

 7um%a# kemungkinan sandi$%e&at dengan )an*ang + karakter:'+('+('+('+('+('+( 8 ++ 8 3-2

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

14/57

!ati#an:

1. (a) Berapa banyak bilangan genap 2-angka?

(b) Berapa banyak bilangan ganjil 2-angka dengan setiap angka berbeda?

a. ( 9 ) x ( 5 ) = 45

  Satuan !"2"4"#"$ - ada 5

%ulu&an 1'..9  ada 9

a. ( $ ) x ( 5 ) = 4!

  Satuan 1""5""9 ada 5

%ulu&an 1'..9  ada 9 - 1 = $

2. *ari 1!!.!!! bua& bilangan bulat p+siti, pertaa" berapa banyak bilanganyang mengandung tepat

a. 1 bua& angka

 b. 1 bua& angka 4

. 1 bua& angka 5 %)

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

15/57

-  Tersedia + #uruf: a6 b6 c6 d6 e6 f - Bera)a *um%a#)engurutan #uruf *ika:

'a( tidak ada #uruf yang diu%angC

'"( "o%e# ada #uruf yang "eru%angC'c( tidak "o%e# ada #uruf yang diu%ang6 teta)i#uruf e #arus adaC

'd( "o%e# ada #uruf yang "eru%ang6 #uruf e 

#arus ada

?-  Tentukan "anyak cara )engaturan agar orang ma#asis&a 7urusan Teknik Informatika'I1(6 ? orang ma#asis&a Teknik .imia 'T.(6 ?

orang ma#asis&a Teknik >eo%ogi '>!(6 dan 3orang ma#asis&a 1armasi '1A( da)at dudukda%am satu "aris se#ingga mereka daride)artemen yang sama duduk"erdam)ingan/

%

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

16/57

%,

',('9(8?5

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

17/57

PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI

%-

Setiap byte  disusun +le& $-bit. Berapa banyak jula& byte  yangdiulai dengan /110 atau berak&ir dengan /110?

%enyelesaian

isalkan

 A = &ipunan byte yang diulai dengan /110"

 B = &ipunan byte yang diak&iri dengan /110

 A ∩  B = &ipunan byte yang beraal dan berak&ir dengan /110aka

 A ∪  B = &ipunan byte yang beraal dengan /110 atau berak&irdengan /110

 A = 2# = #4"  B = 2# = #4"  A ∩  B = 24 = 1#.aka

 A ∪  B =  A 3  B   A ∩  B = 2

# 3 2

#  1# = #4 3 #4 1# = 112.

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

18/57

PERMUTASI

%/

 

B+la

m b p

+tak

1 2

Berapa jula& urutan berbeda yang ungkin dibuat dari penepatan b+lake dala k+tak-k+tak tersebut?

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

19/57

%0

+tak 1 +tak 2 +tak 6rutan

b p mbp

m

 p b mpb

m p bmp

b

 p m bpm

m b pmb

 p

b m pbm

7ula& keungkinan urutan berbeda dari penepatan b+la ke

dala k+tak adala& ()(2)(1) = 8 = #.

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

20/57

De1nisi: Permutasi ada%a# *um%a# urutan "er"edadari )engaturan o"*ek$o"*ek-

Permutasi meru)akan "entuk k#usus a)%ikasi kaida#)erka%ian-

Misa%kan *um%a# o"*ek ada%a# n6 maka

 urutan )ertama di)i%i# dari n o"*ek6

 urutan kedua di)i%i# dari n F 2 o"*ek6

 urutan ketiga di)i%i# dari n F 3 o"*ek6

urutan terak#ir di)i%i# dari 2 o"*ek yang tersisa-

Menurut kaida# )erka%ian6 )ermutasi dari n  o"*ekada%a#

n'n F 2( 'n F 3( '3('2( 8 nG #$

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

21/57

HNT PE=MUTASI

*!nt!h ,+ Bera)a "anyak JkataK yangter"entuk dari kata JAPUSK/

Penye%esaian:

Hara 2: '9('?('('3('2( 8 235 "ua# kataHara 3: P'96 9( 8 9G 8 235 "ua# kata

*!nt!h -+ Bera)a "anyak caramengurutkan nama 39 orangma#asis&a/

Penye%esaian: P'396 39( 8 39G#%

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

22/57

P2RM3TASI R DARI N 2L2M2N Ada enam "ua# "o%a yang "er"eda &arnanya dan "ua#

kotak- Masing$masing kotak #anya "o%e# diisi 2 "ua# "o%a-Bera)a *um%a# urutan "er"eda yang mungkin di"uat dari)enem)atan "o%a ke da%am kotak$kotak terse"ut/

Penye%esaian:

 kotak 2 da)at diisi o%e# sa%a# satu dari + "o%a 'ada + )i%i#an(C

kotak 3 da)at diisi o%e# sa%a# satu dari 9 "o%a 'ada 9 )i%i#an(C

  kotak da)at diisi o%e# sa%a# satu dari ? "o%a 'ada ? )i%i#an(-

  7um%a# urutan "er"eda dari )enem)atan "o%a 8 '+('9('?( 8 235##

B+la

m b p h k j

+tak

1 2

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

23/57

Peram)atan:

Ada n "ua# "o%a yang "er"eda &arnanya dan r  "ua# kotak 'r  ≤ n(6 maka

 kotak ke$2 da)at diisi o%e# sa%a# satu dari n "o%a  'ada n )i%i#an( C

kotak ke$3 da)at diisi o%e# sa%a# satu dari 'n F

2( "o%a  'ada n F 2 )i%i#an(Ckotak ke$ da)at diisi o%e# sa%a# satu dari 'n F3( "o%a  'ada n F 3( )i%i#anC

kotak ke$r  da)at diisi o%e# sa%a# satu dari 'n F 'r  F 2( "o%a  'ada n F r  4 2 )i%i#an(

 

 7um%a# urutan "er"eda dari )enem)atan "o%aada%a#: n'n F 2('n F 3('n F 'r  F 2((

#(

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

24/57

DE1INISI PE=MUTASI

Definisi 2. %er-utasi r  dari n ele-en adala& ju-la& ke-ungkinan urutan r

 bua& ele-en yang dipili& dari n bua& ele-en" dengan r  ≤ n" yang dala- &alini" pada setiap ke-ungkinan urutan tidak ada ele-en yang sa-a.

))1()...(2)(1()"(   −−−−=   r nnnnr n P   =)8(

8

r n

n

− 

#)

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

25/57

#

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

26/57

!ATIAN 2

2- Se"ua# mo"i% mem)unyai ? tem)at duduk-Bera)a "anyak cara orang didudukkan

 *ika diandaikan satu orang #arus duduk dikursi so)ir/

Si%a#kan di *a&a" di ke%as6 &aktu maksima%29 menit-

#,

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

27/57

PEMBAASAN !ATIAN 2

.arena ada orang 'Si A6B6H( dan ketiganya"er)e%uang men*adi su)ir6 "erarti ada kemungkinansu)ir-

Untuk setia) satu kemungkinan su)ir 6 ada 3 orangyang #arus diatur )osisi duduknya )ada "ua# kursi'karena 2 orang suda# duduk di kursi su)ir se#inggaorang yang tersisa ada 3 orang dan kursi yang tersisaada kursi(-

Maka *um%a# )engaturan duduk yang mungkin ada%a#:

'Untuk si A se"agai So)ir ada + )engaturan(

.arena ada kemungkinan su)ir maka tota%)engaturan duduk yang mungkin di%akukan ada%a# :

L P'63(8L+8%/ 4en5aturan tem4at duduk+ #-

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

28/57

KM!INASI

Bentuk k#usus dari )ermutasi ada%a#kom"inasi- 7ika )ada )ermutasi urutankemuncu%an di)er#itungkan6 maka )adakom"inasi6 urutan kemuncu%an dia"aikan-

Misa%kan ada 3 "ua# "o%a yang &arnanya sama "ua# kotak- Setia) kotak #anya "o%e# "erisi)a%ing "anyak 2 "o%a-

#/

7u-la& ara -e-asukkan b+la ke dala- k+tak =

2

)2)((

82

81

8

82

)2"(

2

)2"(===

 P  P = .

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

29/57

#0

 

a b

1 2

saa

b a

1 2

a b

1 2 &anya ara

saa

 b a

1 2

a b

1 2

saa

 b a

1 2

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

30/57

($

• Bila sekarang jula& b+la dan jula& k+tak 1!" aka jula& ara easukkan b+la ke dala k+tak adala&

8)$)(9)(1!(

88

81!

8)"1!( == P   

karena ada 8 ara easukkan b+la yang arnanya saa.

• Seara uu" jula& ara easukkan r   bua& b+la yang berarna saa ke dala n bua& k+tak adala&

)8(8

8

8

))1()...(2)(1(

r nr 

n

r 

r nnnn

−=

−−−−= C (n" r ) atau   

  r 

n 

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

31/57

B!A A=NA SAMA DEN>AN 25.TA. 

asi% 8 235 cara

(%

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

32/57

.MBINASI

C'n6 r ( sering di"aca n diam"i% r 6 artinya r  o"*ek diam"i% dari n "ua# o"*ek-

De1nisi (+  .om"inasi r  e%emen dari n e%emen6

atau C'n6 r (6 ada%a# *um%a# )emi%i#an yangtidak terurut r  e%emen yang diam"i% dari n "ua#e%emen-

(#

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

33/57

INTERPRETASI KM!INASI

((

1. C (n" r ) = banyaknya &ipunan bagian yang terdiri dari r   eleen yang

dapat dibentuk dari &ipunan dengan n eleen.

isalkan A = 1" 2" :

7ula& ;ipunan bagian dengan 2 eleen

1" 2: = 2" 1:

1" : = " 1: bua&

2" : = " 2:

atau 8281

8

82)82(

8

2

==

−=  

  

  bua&

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

34/57

()

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

35/57

(

"#nt#$ %. *i antara 1! +rang a&asisa ngkatan2!!2" berapa banyak ara ebentuk sebua& perakilan

 berangg+takan 5 +rang sedeikian se&ingga

(a) a&asisa bernaa A selalu terasuk di dalanya

(b) a&asisa bernaa A tidak terasuk di dalanya

() a&asisa bernaa A selalu terasuk di dalanya" tetapi B tidak(d) a&asisa bernaa B selalu terasuk di dalanya" tetapi A tidak

(e) a&asisa bernaa A dan B terasuk di dalanya

(,) setidaknya sala& satu dari a&asisa yang bernaa A atau B 

terasuk di dalanya.

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

36/57

(,

%enyelesaian

(a) C (9" 4) = 12# ara untuk ebentuk perakilan yang

 berangg+takn 5 +rang sedeikian se&ingga  A  selalu terasuk di

dalanya.

(b) C (9" 5) = 12# ara untuk ebentuk perakilan yang

 berangg+takn 5 +rang sedeikian se&ingga  A  tidak terasuk di

dalanya.

() C ($" 4) = ! ara untuk ebentuk perakilan yang berangg+takan

5 +rang sedeikian se&ingga  A  terasuk di dalanya" tetapi  B 

tidak.

(d) C ($" 4) = ! ara untuk ebentuk perakilan yang berangg+takan

5 +rang sedeikian se&ingga  B  terasuk di dalanya" tetapi  A 

tidak.

(e) C ($" ) = 5# ara untuk ebentuk perakilan yang berangg+takan

5 +rang sedeikian se&ingga A dan B selalu terasuk di dalanya.

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

37/57

(-

(,) 7ula& ara ebentuk perakilan sedeikian se&ingga

setidaknya sala& satu dari A atau B terasuk di dalanya

= jula& ara ebentuk perakilan se&ingga  A  terasuk di

dalanya" B tidak3 jula& ara ebentuk perakilan se&ingga  B  terasuk di

dalanya" A tidak

3 jula& ara ebentuk perakilan se&ingga  A  dan  B 

terasuk di dalanya

= ! 3 ! 3 5# = 19#

%rinsip inklusi-eksklusi

 X  = jula& ara ebentuk perakilan yang enyertakan A

Y = jula& ara ebentuk perakilan yang enyertakan B

 X  ∩ Y  = jula& ara ebentuk perakilan yang enyertakan A dan B" aka

 X  = C (9" 4) = 12# Y  = C (9" 4) = 12#  X  ∩ Y  = C ($" ) = 5#

 X  ∪ Y  =  X  3 Y  -  X  ∩ Y  = 12# 3 12# 5# = 19#

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

38/57

!ati#an:

2- .ursi$kursi di se"ua# "iosko) disusunda%am "aris$"aris6 satu "aris "erisi 25 "ua#kursi- Bera)a "anyak cara mendudukkan +

orang )enonton )ada satu "aris kursi:'a( *ika "iosko) da%am keadaan terang

'"( *ika "iosko) da%am keadaan ge%a)

(/

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

39/57

2. >da 5 +rang a&asisa jurusan ateatika dan +rang a&asisa jurusan n,+ratika. Berapa banyakara ebentuk panitia yang terdiri dari 4 +rang jika

'a( tidak ada "atasan *urusan

'"( semua anggota )anitia #arus dari *urusan Matematika

'c( semua anggota )anitia #arus dari *urusan Informatika

'd( semua anggota )anitia #arus dari *urusan yang sama

'e( 3 orang ma#asis&a )er *urusan #arusme&aki%i-

(0

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

40/57

- Bera)a "anyak cara mem"entuk se"ua#)anitia yang "eranggotakan 9 orang yangdi)i%i# dari < orang )ria dan 9 orang&anita6 *ika di da%am )anitia terse"ut

)a%ing sedikit "eranggotakan 3 orang&anita/

)$

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

41/57

PERMUTASI DAN KM!INASI

!ENTUK UMUM

)%

isalkan ada n  bua& b+la yang tidak seluru&nya berbeda arna(jadi" ada beberapa b+la yang arnanya saa - indistinguishable).

n1 b+la diantaranya berarna 1"

n2 b+la diantaranya berarna 2" nk  b+la diantaranya berarna k "

dan n1 3 n2 3 ' 3 nk  = n.

Berapa jula& ara pengaturan n bua& b+la ke dala k+tak-k+tak

tersebut (tiap k+tak aks. 1 bua& b+la)?

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

42/57

)#

7ika n bua& b+la itu kita anggap berbeda seuanya" aka jula&

ara pengaturan n bua& b+la ke dala n bua& k+tak adala&

 P (n" n) = n8.

*ari pengaturan n bua& b+la itu"

ada n18 ara easukkan b+la berarna 1

ada n28 ara easukkan b+la berarna 2

 ada nk 8 ara easukkan b+la berarna k  

%erutasi n bua& b+la yang ana n1 diantaranya berarna 1" n2 

 b+la berarna 2" '" nk  b+la berarna k  adala&

88...8

8

88...8

)"()"...""(

2121

21

k k 

k 

nnn

n

nnn

nn P nnnn P    ==  

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

43/57

)(

7ula& ara pengaturan seluru& b+la kedala k+tak adala&

C (n n1" n2" '" nk ) = C (n" n1) C (n  n1" n2) C (n  n1  n2 " n)

' C (n  n1  n2  ' nk -1" nk )

=)8(8

8

11  nnn

n

− 

)8(8

)8(

212

1

nnnn

nn

−−

− 

)8(8

)8(

21

21

k nnnnn

nnn

−−−

−−

 

')8...(8

)8...(

121

121

k k k 

k 

nnnnnn

nnnn

−−−−−

−−−−

−

−  

=

k nnnn

n

8...88

8

21

 

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

44/57

))

5esi-pulan

88...8

8

)"...""()"...""( 212121

k 

k k  nnn

n

nnnnC nnnn P    ==  

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

45/57

)

"#nt#$ &'.  Berapa banyak @kataA yang dapat dibentuk dengan

enggunakan &uru,-&uru, dari kata MISSISSIPPI ?

%enyelesaian

S  =  M " I " S " S " I " S " S " I " P  " P  " I :

&uru, M  = 1 bua& (n1)&uru, I  = 4 bua& (n2)

&uru, S  = 4 bua& (n)

&uru, P  = 2 bua& (n4)

n = 1 3 4 3 4 3 2 = 11 bua& = S  

Cara 1 7ula& string  = P (11 1" 4" 4" 2)

= 4#5!)82)(84)(84)(81(

811 =  bua&.

Cara 2 7ula& string  = C (11" 1)C (1!" 4)C (#" 4)C (2" 2)

=)8!)(82(

82.

)82)(84(

8#.

)8#)(84(

81!.

)81!)(81(

811 

=)82)(84)(84)(81(

811 

= 4#5! bua&

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

46/57

),

"#nt#$ &&. Berapa banyak ara ebagikan delapan bua&

angga kepada +rang anak" bila Billy endapat epat bua&angga" dan >ndi serta

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

47/57

)-

"#nt#$ &2. 12 bua& lapu berarna (4 era&" puti&" dan 5 biru)dipasang pada 1$ bua& s+ket dala sebua& baris (sisanya # bua&

s+ket dibiarkan k+s+ng). Berapa jula& ara pengaturan lapu?

%enyelesaian

n = 1$ n1 = 4" n2 = " n = 5" dan n4 = # ( socket  k+s+ng)

7ula& ara pengaturan lapu =)8#)(85)(8)(84(

81$ ara

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

48/57

!ati#an:

2- 255 orang ma#asis&a dikirim ke 9 negara6masing$masing negara 35 orang ma#asis&a-

Bera)a "anyak cara )engiriman ma#asis&a/

3- Bera)a "anyak string  yang da)at di"entukdari #uruf$#uruf kata JHN>=ESSK

sedemikian se#ingga dua "ua# #uruf JSKtidak ter%etak "erdam)ingan/

)/

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

49/57

- Tentukan "anyaknya cara agar ?"uku matematika6 "uku se*ara#6 "uku kimia6 dan 3 "uku sosio%ogi

da)at disusun da%am satu "arissedemikian se#ingga 'untuk masing$masing soa%(

'a( semua "uku yang to)iknya sama

%etaknya "erse"e%a#an6'"( urutan "uku da%am susunan"e"as- )0

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

50/57

KM!INASI DENGAN

PENGULANGAN

$

isalkan terdapat r  bua& b+la yang seua arnanya saa dan n

 bua& k+tak.(i) asing-asing k+tak &anya b+le& diisi paling banyak satu

 bua& b+la.

7ula& ara easukkan b+la C (n" r ).

(ii) asing-asing k+tak b+le& lebi& dari satu bua& b+la (tidak

ada pebatasan jula& b+la)

7ula& ara easukkan b+la C (n 3 r   1" r ).

C (n 3 r   1" r ) = C (n 3 r  1" n  1).

" t $ &( % d 3 3 3 12 d l &

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

51/57

%

"#nt#$ &(.  %ada persaaan  x1  3  x2  3  x  3  x4  = 12"  xi  adala&

 bilangan bulat ≥ !. Berapa jula& keungkinan s+lusinya?

%enyelesaian• >nal+gi 12 bua& b+la akan diasukkan ke dala 4 bua&k+tak (dala &al ini" n = 4 dan r  = 12).

• Bagila& keduabelas b+la itu ke dala tiap k+tak. isalnya"

+tak 1 diisi bua& b+la ( x1 = )

+tak 2 diisi 5 bua& b+la ( x2 = 5)

+tak diisi 2 bua& b+la ( x = 2)

+tak 4 diisi 2 bua& b+la ( x4 = 2)

 x1 3 x2 3 x 3 x4 = 3 5 3 2 3 2 = 12

>da C(4 3 12 1" 12) = C(15" 12) = 455 bua& s+lusi.

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

52/57

#

"#nt#$ &).  2! bua& apel dan 15 bua& jeruk dibagikan kepada 5

+rang anak" tiap anak b+le& endapat lebi& dari 1 bua& apel atau

eruk" atau tidak saa sekali. Berapa jula& ara pebagian yangdapat dilakukan?

%enyelesaian

n = 5" r 1 = 2! (apel) dan r 2 = 15 (jeruk)

ebagi 2! apel kepada 5 anak C (5 3 2! 1" 2!) ara"ebagi 15 jeruk kepada 5 anak C (5 3 15 1" 15) ara.

7ula& ara pebagian kedua bua& itu adala&

C (5 3 2! 1" 2!) × C (5 3 15 1" 15) = C (24" 2!) × C (19" 15)

!ati#an:

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

53/57

!ati#an:

2- Ada 25 soa% di da%am u*ian ak#ir Matematika Diskrit -Bera)a "anyak cara )em"erian ni%ai '"i%angan "u%at()ada setia) soa% *ika *um%a# ni%ai kese%uru#an soa%

ada%a# 255 dan setia) soa% mem)unyai ni%ai )a%ingsedikit 9- '.#usus untuk soa% ini6 nyatakan *a&a"anak#ir anda da%am C'a6 b( sa*a6 tidak )er%u di#itungni%ainya(

3- Di )er)ustakaan Teknik Informatika terda)at *enis"uku: "uku A%goritma dan Pemrograman6 "ukuMatematika Diskrit6 dan "uku Basisdata-Per)ustakaan memi%iki )a%ing sedikit 25 "ua# "ukuuntuk masing$masing *enis- Bera)a "anyak caramemi%i# 25 "ua# "uku/

- Dari se*um%a# "esar koin 39$an6 95$an6 255$an6 dan955$an6 "era)a "anyak cara %ima koin da)at diam"i%/

(

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

54/57

KE*ISIEN !INMIAL

)

( x 3 y)! = 1 1

( x 3 y)1 = x 3 y  1 1

( x 3 y)2 = x

2 3 2 xy 3 y

2  1 2 1

( x 3 y) = x

 3  x

2 y 3  xy

2 3 y

  1 1

( x 3 y)4 = x

4 3 4 x y 3 # x

2 y

2 3 4 xy 3 y

4  1 4 # 4 1

( x 3 y)5 = x

5 3 5 x

4 y 3 1! x

 y

2 3 1! x

2 y

 3 5 xy

4 3 y

5  1 5 1! 1! 5 1 

( x 3 y)n = C (n" !) x

n 3 C (n" 1) x

n-1  y

1 3 ' 3 C (n" k ) x

nk  y

k  3 ' 3

C (n" n) yn = ∑

=

n

k 

k nC !

)"(  xnk 

 yk  

+e,isien untuk  xnk 

 yk  adala& C (n" k ). Bilangan C (n" k ) disebut

+#efisien ,in#mia.

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

55/57

"#nt#$ &. 7abarkan ( x - 2).

%enyelesaian

isalkan a =  x dan b = -2"

(a 3 b) = C (" !) a

 3 C (" 1) a

2b

1 3 C (" 2) a

1b

2 3 C (" ) b

 

= 1 ( x) 3 ( x)2 (-2) 3 ( x) (-2)2 3 1 (-2) = 2 x

  54 x

2 3 # x  $

"#nt#$ &/

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

56/57

,

"#nt#$ &/. 

8/17/2019 01-03-Kombinatorial-2015 (1)

57/57

!ati#an:

-

%erli&atkan ba&a ∑ 2k  C (n" k ) = n 

k =!