Plastiques - Polymères fluorés: dispersions et matériaux ...
001 - Physique des polymères
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PHYSIQUE DES MATRIAUX :
PARTIE POLYMRESPr. J. Lecomte-Beckers
Chapitre 6 : Rhologie des matriaux polymres
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit
6.0.1 Introduction
La thorie de llasticit tudie la relation entre les dformations subies par un objet et les
forces qui lui sont appliques.
Pour les petites dformations, lanalyse du comportement lastique dun matriau se
ramne ltude dun certain type de dformations simples et la dtermination des
constantes lastiques correspondantes.
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Types de dformations Constantes lastiquesExtension uniaxiale E (Module de Young)
Cisaillement simple G (Module de cisaillement)
Compression uniforme K (Module de compressibilitvolumique)
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit
6.0.2 Extension uniaxiale
Si on applique une force de traction F sur une prouvette prismatique
Allongement de lprouvette proportionnellement sa longueur initiale x0
Apparition dune force de rtraction Fr qui est galeen valeur absolue et de sens oppose la force
applique F :
Si on se limite aux petites dformations (max 0.1%) :
E (Module de Young ou dlasticit) caractrise la rsistance du solide
la dformation uniaxiale.3
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit 6.0.3 Contraction latrale et coefficient de Poisson
Allongement x de lprouvette dans le sens de la traction de son volume
Si dformation lastique compensation partielle de cette augmentation de volume par
contraction latrale de lprouvette (y etz) suivant les directions perpendiculaires la
traction.
La dformation relative dans les directions y et z scrit :
On dfinit aussi le coefficient de Poisson comme tant :
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Sont gaux pour unmatriau isotrope
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit 6.0.3 Contraction latrale et coefficient de Poisson (suite)
Les caoutchoucs se dforment en traction de manire lastique sans de volume6
(On nglige les termes infinimentpetits dordre 2 et suprieurs)
(=0.49~0.5)
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit
6.0.4 Cisaillement simple
Une barre prismatique est fixe par une surface S0sur un support rigide. Sur la face oppose, on applique
une force transversale F//au plan xy.
(Exemple : trier qui sert un frein disque dune voiture)
La relation liant langle de cisaillement et la contrainte de cisaillement est :
7
.
Module de cisaillement
Pour les petites dformations
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit 6.0.5 Compression uniforme (hydrostatique)
Compression uniforme solide soumis une pression hydrostatique
La relation liant la pression hydrostatique p et la variation relative de volume est :
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Module de compressibilit
Signe (-) car V est ngative lorsque p est positif
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit
6.0.6 Relations entre les diffrents modules lastiques
Les 3 modules E, G et K permettent de caractriser le comportement lastique dun
matriau. Ces constantes rsultent de la relation existante entre la contrainte et la
dformation :
Dans le cas des lastomres :
- ce sont des segments de chanes qui se dplacent et non des atomes isols
- E et G sont faibles (0.01 0.001 GPa)
- ils sont trs dformables en extension uniaxiale et en cisaillement simple
- en compression uniforme, ils se comportent comme des matriaux haut module
comme les liquides avec un module de compression K > 1GPa.9
Valable uniquement pour lespetites dformations (lasticit linaire)
Cette limite 0.1 % pour les mtaux
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit
6.0.6 Relations entre les diffrents modules lastiques (suite)
E, G, K et sont relis entre eux par
Parmi les 4 constantes lastiques (solide isotrope), seules 2 sont indpendantes.
Dans le cas dun solide anisotrope, il existe 21 constantes lastiques indpendantes.
Pour des matriaux isotropes :
Cisaillement simple Volume reste constant
Compression uniforme Forme de lprouvette reste constant
Elongation uniaxiale Volume et forme de lprouvette varie (sauf pour les caoutchoucs)
Pour les caoutchoucs : K >> E et G (pratiquement incompressible 0.5)
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Dformation lmentaire
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit
6.0.7 Dpendance temporelle des contraintes et dformations
Lorsquon applique une contrainte mcanique
Les chanes polymres ne peuvent se dplacer
instantanment vers les nouvelles positions
dquilibres.
Les proprits mcaniques voluent
au cours du temps.
(a) Echelon instantan
(b) Matriau lastique
(c) Fluide visqueux
(d) Matriau visco-lastique11
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.0 Aspects phnomnologiques de llasticit
6.0.7 Dpendance temporelle des contraintes et dformations (suite)
En viscolasticit il existe deux modes de dformations caractrisant le comportement
viscolastique:
- La relaxation des contraintes (a) qui consiste imposer au matriau un chelon de
dformation, et observer lvolution de la contrainte en fonction du temps qui en rsulte.- Le fluage (b) qui consiste imposer un chelon de contrainte et observer lvolution de
la dformation en fonction du temps.
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6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.1 Introduction
Les caoutchoucs naturels et synthtiques :
- sont capables de subir une dformation rversible de 600 700 %.
- ont un module dlasticit qui augmente avec la T.
Pour que la dformation des caoutchoucs soit compltement rversible, la vulcanisation
est ncessaire.
Les chanes pontes (rsultat de la rticulation) empchent le glissement desmolcules les unes par rapport aux autres.
La composante relative lcoulement (lie la dformation permanente) est limine.
Lorsqu une contrainte est applique un caoutchouc rticul, lquilibre stablit
rapidement.
A lquilibre, les proprits du caoutchouc peuvent tre tudies par la thermo.13
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit
Considrons un lment de matriau de dimensions (a x b x c).
1re loi de la thermodynamique :
Convention de signe : le travail fourni par le systme lenvironnement est > 0
14
(a) non sollicit
(c) cisaillement pur(d) compression
isotrope
(b) traction
uniaxiale
Changement dnergieinterne du systme
La chaleur et le travailchang entre le systme
et son environnement
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
Le travail mcanique peut tre de trois types :
1. Le travail produit par une force de traction uniaxiale
2. Le travail produit par un effort de cisaillement
3. Le travail produit par une pression isotrope lors dun changement de volume
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dl = variation infinitsimale de longueur dusystme dans la direction la force f
V = volume du systme = abc = dformation de cisaillement
( P>0, dV
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6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
Si la dformation est assimile une transformation rversible (au sens thermo.) :
En combinant les 5 quations prcdentes, on peut obtenir la relation gnrale donnant
la variation dnergie interne dun lment du matriau sous leffet dune dformation
Infinitsimale :
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S = entropieT = temprature
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc 6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
3 types de dformations individuels :
1. La traction uniaxiale Tet V constants (dV = = 0)
En divisant la relation gnrale par dl on obtient :
2. Le cisaillement pur Tet V constants (dV = f = 0)
En divisant la relation gnrale par d on obtient :
3. La compression isotrope Tconstante (f = = 0)
En divisant la relation gnrale par dV on obtient : 17
Force de rtraction interne
(ou enthalpique)
Force de rtraction entropique
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6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
Difficile de raliser des essais de traction V cst
Difficile de mesurer ces drives partielles
La plupart des essais sont raliss P cste
Cette quation est cependant presque valide car :
-Vcaoutchouc (variation de volume) est faible dans les essais uniaxes
- (Coefficient de Poisson) 0,5
Dans le cas du cisaillement pur, lquation est valide aussi car le volume est maintenu
constant lors de la dformation.
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
A. Types dlasticit
Les 3 quations aux drivs partielles prcdentes rvlent lapport de lnergie et de
lentropie la force de traction, la contrainte de cisaillement et la pression isotrope.
Dans les polymres, lnergie dlasticit reprsente lemmagasinement dnergie qui
rsulte de :
- la rotation autour des liaisons
- la variation des angles de liaison
- la variation des distances dquilibre entre atomes
Lnergie dlasticit est une contribution
des liaisons intramolculaires (au sein
mme dune molcule) plutt que
des liaisons intermolculaires.
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
A. Types dlasticit (suite)
Considrons une molcule polymre soumise de la traction.
Etat libre : Grand nombre de configurations possibles pour la molcule
Etat tendu : Nombre de configurations possibles
car la molcule subit des internes ne peut prendre certaines formes
Si , le nombre de configurations gomtriquesque la molcule peut adopter
Lentropie dlasticit est cause par la diminution
de lentropie sous leffet de la dformation.20
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
A. Types dlasticit (suite)
Lentropie dlasticit est cause par la diminution de lentropie sous leffet de la
dformation.
Le lien entre le nombre de configurations () et lentropie (S) est donn par :
Leffet de la Test linverse de celui de la force de traction.
Si T , le nombre de configurations possibles des chanes Plus grande libert des chanes Lentropie
Lentropie dlasticit est leve lorsque :
- le matriau est une T> Tg
- la quantit de phase cristalline prsente est faible
21
constante de Boltzmann
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
B. Le caoutchouc idal
Le caoutchouc idal est dfini par analogie du gaz parfait.
Pour un gaz parfait, il nexiste pas de liaisons entre les molcules de ce gaz
Par analogie, dans un caoutchouc idal, on dit que les termes lastiques sont
nuls. Sous cette hypothse, llasticit provient uniquement du terme entropique.22
Contributionnergtique
Contributionentropique
Gain dnergie interne par rapport une variation de volume
Gain dentropie par rapport
cette mme variation de volume
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc 6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
B. Le caoutchouc idal (suite)
Si pour la plupart des gaz (en pression modres)
Alors il en est de mme pour les caoutchoucs habituels
23
Contribution lastique (fU)
Contribution entropique (fS)contrainte de traction dun caoutchouc (f) = fU+fS
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6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
B. Le caoutchouc idal (suite)
Mtaux
Llasticit provient de la force de rappel
entre atomes (mais courte porte).
(contribution enthalpique)
Elastomres
Cest la contribution entropique qui provoque
llasticit par les configurations que
peuvent adopter les chanes en fonction
de lallongement.24
Mtaux et cramiques Elastomres
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6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
C. Effets de la temprature force constante
Considrons une pice en caoutchouc soumise un effort de traction constant
dont le volume reste constant ( = 0.5) pression constante (dV==0).
Analysons leffet de la Tsur la longueur de cette pice.
A partir de lquation gnrale, on obtient :
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6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
C. Effets de la temprature force constante (suite)
- La diffrentielle totale exacte dune variable X=X(T,P,V,) est
- A P et V constants (dP=dV=0), on a
- Si on drive lquation [ ] par rapport T on obtient :
Approximation au premier ordre:
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
C. Effets de la temprature force constante (suite)
Donne linfluence de Tsur llongation l
Contribution nergtique (terme positif) : f >0 et U crot avec la T(thermique > 0)
Contribution entropique (terme positif) : Tet f >0, et lentropie augmente avec la T
Dans les caoutchoucs, la contribution entropique est prpondrante :
Sous leffet d une tension constante, si Taugmente contraction du caoutchouc
(tout autres choses restant gales) et inversement.
Lamplitude de la contraction (caoutchoucs) > lamplitude de la dilatation (mtaux,)
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Contributionnergtique
Contributionentropique
Nombre de configurationspossibles augmente avec T
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc 6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
D. Effets de la temprature longueur constante
Equilibre entre les deux termes
Dans les caoutchoucs, si f est suffisamment grand alors la contribution entropique
peut lemporter sur la contribution nergtique .29
Contribution positive : (f et Tsont >0)Si T ,ce terme provoque une de la force
Contribution souvent ngativeSi T ,ce terme provoque une de la force
Terme souvent positif(cf. nergie stocke dans un ressort)
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.2 Thermodynamique de llasticit (suite)
D. Effets de la temprature longueur constante (suite)
Dans le cas des caoutchoucs idaux
Analogie avec la loi linaire des gaz parfaits (P et T)
30
Intgration par sparationde variables
Pente positive
Pente ngative
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.3 Statistiques de llasticit du caoutchouc idal
Caoutchouc typique = longues chanes polymres connectes entre elles par
des liaisons rticules toutes les quelques centaines datomes de carbone.
Les segments de chanes entre les points de rticulation sont les chanes de rseau.
La variation dentropie lors de ltirage dun chantillon contenant N moles de chanes
de rseau est donne par :
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tat naturel
tat tir
Nombre de configurations possiblespour les N mles de chane du rseau
Constante desgaz parfaits
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc 6.1.3 Statistiques de llasticit du caoutchouc idal (suite)
Pour une dformation volume constant, on arrive par une approche statistique de
Pour un caoutchouc idal, la tension est donn par
De plus,
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc 6.1.3 Statistiques de llasticit du caoutchouc idal (suite)
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Valable pour les petites dformations
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.3 Statistiques de llasticit du caoutchouc idal (suite)
Les polymres non rticuls ( chanes libres) ont des proprits caoutchouteuses
si T>Tg pendant un temps limit de sollicitation.
Cause : enchevtrement des chanes qui agit temporairement comme un tat
structural rticul34
Pour un caoutchouc idal maintenu dans un tat particulier
de dformation : la force ou le module de Young est T
La force ou le module de Young est 1/Si la rticulation augmente la force augmente
peut tre dtermine partir de
Permet dvaluer les procdures de rticulation
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6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.3 Statistiques de llasticit du caoutchouc idal (suite)
Cette quation est vrifi exprimentalement dans le cas de la compression et de la
traction pour des valeurs de 1.5, les forces calcules sont infrieures aux rsultats exprimentaux Cause :
- Lquation suppose une distribution
Gaussienne des longueurs de chanes de rseau. Cette hypothse est fausse pour >>
et lorsque la rticulation se produit dans une configuration o le matriau est dform.
- On ne tient pas compte des bouts de chanes qui affaiblissent le matriau car ne
supportent pas la charge en ne transmettant pas les efforts.
- Certains caoutchoucs ont tendance cristalliser sous leffet des tensions.
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.1 Thorie de llasticit du caoutchouc
6.1.3 Statistiques de llasticit du caoutchouc idal (suite)
Des amliorations de la thorie du comportement mcanique des caoutchoucs ont en
consquence t apports pour tenir compte des deux premiers facteurs.
En pratique, les caoutchoucs sont rarement utiliss sous forme pure.
Ils sont souvent renforcs avec :
- du noir de carbone,
- dautres charges,
- des plastifiants,
- des huiles,
qui influencent tous les courbes de traction/compression
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.1 Introduction (suite)Les matriaux traditionnels (eau, air, acier, bton) rentrent, avec une assez bonne
approximation dans les catgories fluide visqueux et solides lastiques, mais pas totalement
les polymres.
Pour les polymres, on doit tenir compte de ces 2 phnomnes (fluage et
relaxation) dans des conditions dusage courantes.
37
MatriauxT laquelle on observe un comportement
particulier au fluage et la relaxation
Polymres T AmbianteMtaux > 500C
Verres et cramiques 80-95 % de TFusion
Matriauxtraditionnels
Polymres
La courbe (-) est assez indpendantede la vitesse de dformation.
Comportement (-) dpendde la vitesse de dformation.
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6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire
Modles viscolastiques linaires :
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Elastiquelinaire
Elment deMaxwellLinaire
visqueux
Modle 4 paramtres (Boltzmann)
Modle
3 paramtres
Elment deVoigt-Kelvin
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6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
Il existe des modles mcaniques linaires (ressort et amortisseur) permettant de
reprsenter des cas extrmes de rponses viscolastiques.
Le ressort reprsente un solide lastique linaire
Module de cisaillement suppos constant
Contrainte de cisaillement
Taux de cisaillement
Lamortisseur reprsente un lment linaire visqueuxou un fluide de Newton (piston qui peut bouger dans uncylindre rempli dun fluide Newtonien)
39viscosit
La dformation est reprsente par lallongement du systme
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
Les modles ne sont pas relatifs aux matriaux mais bien leur comportement.
Dans le cas du modle de Hooke, la rponse linaire est celle pour laquelle le rapport
de la contrainte et de la dformation est une fonction uniquement du temps et non de
lamplitude de la dformation ou de la contrainte :
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6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
a. Ressort de Hooke :
Si on applique une contrainte 0
Atteint lquilibre instantanment Maintient la dformation tant que 0 est maintenue
Si on relche spontanment les contraintes
Retour instantan du ressort dans son tat initial
Pas deffet dinertie dans le modle de Hooke
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
b. Amortisseur :
Si on applique une contrainte brutale 0 La dformation augmente avec le temps
(on considre une dformation initiale nulle)
Si on double la contrainte 0 On double la pente de la courbe de graphique dformation-temps (-t)
A tout moment, le module ne dpend que de t
L amortisseur est linaire
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
Validit du modle linaire par rapport au comportement rel dun matriau :
Il peut tre montr que nimporte quelle combinaison dlments linaire conduit un
lment linaire.Pour la plupart des polymres qui sont dforms une vitesse de dformation > 0.1 s-1
lapproche linaire nest pas quantitative.
Nanmoins, ces modles sont extrmement simple analyser et permettent de
comprendre comment et pourquoi un changement structural dans le polymre influencela rponse.
Une combinaison de ses modles (ressorts et amortisseurs) permettent de dcrire
les polymres et de donner une rponse au comportement de ces matriaux. 43
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell
Ni llment lastique linaire (ressort) ni llment visqueux linaire (amortisseur)
suffisent pour dcrire la dformation de certains matriaux (ex. asphaltes).
Modle de Maxwell
Mise en srie dun ressort et dun amortisseur subissant la mme contrainte.
44
Temps de relaxation[sec.]
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell - Essai de fluage
Examinons la rponse du modle de Maxwell travers deux tests mcaniquescouramment appliqus aux polymres : fluage et relaxation
On applique une contrainte 0 instantanment au matriau et on observe lvolution de la
dformation au cours du temps.
Si dchargement de la contrainte Dformation rmanente
45
-
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell - Essai de fluage (suite)
Application soudaine dune contrainte 0
Extension instantane du ressort jusqu Lamortisseur stend linairement au cours du temps avec une pente de et
continue se dformer tant que la charge est applique
Le modle de Maxwell se comporte comme un fluide car il continue se dformer tantquil est sollicit
46
-
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell - Essai de fluage (suite)
On calcule laptitude au fluage Jc(t) comme tant :
Cette grandeur est indpendante de la charge et permet de reprsenter la rponse au
fluage.
47
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell - Essai de fluage (suite)
Lorsque la contrainte 0 est subitement supprime
Le ressort se contracte instantanment (retour lastique)
Lamortisseur na pas de force de rappel (conserve une dformation permanente )
(dformation acquise pendant la sollicitation)
Les matriaux rels nadoptent pas ce type de
comportement (Maxwell)48
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell - Essai de fluage (suite)
On calcule laptitude au fluage Jc(t) comme tant :
Cette grandeur est indpendante de la charge et permet de reprsenter la rponse au
fluage.
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell - Essai de relaxation (des contraintes)
Un essai de relaxation des contraintes consiste appliquer subitement une dformation
(cste) un chantillon et suivre lvolution de la contrainte en fonction du temps.
Si on impose une dformation spontane 0 Seul le ressort peut rpondre instantanment et la contrainte atteint alors (Hooke)
Ensuite le ressort commence ce contracter, mais ce retour lquilibre est frein par
lamortisseur.
Plus le ressort ce contracte Plus la force de rappel diminue
La vitesse de dformation du ressort chute rapidement50
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell - Essai de relaxation (des contraintes) (suite)
51
quation diffrentiellelinaire et homogne
Dformationimpose
Polynmecaractristique
A t=0 toutes la dformationest reprise par le ressort
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell - Essai de relaxation (des contraintes) (suite)
On dfinit le module de relaxation Gr(t) :
Cette grandeur ne dpend pas de la dformation impose
Gr(t) est plus caractristique du matriau que lexpression de (t) seule
52
Dcroissance exponentielleavec une asymptote horizontale
Dans la pratique, les polymres chane linaire
suivent qualitativement le modle de Maxwell.
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell (Exemple)
Examiner la rponse dun lment de Maxwell dans un essai de traction (-)
valeurs de vitesse de dformation (suppose constante)
53
Vitesse de dformationconstante
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell (Exemple) (suite)
Examiner la rponse dun lment de Maxwell dans un essai de traction (-)
valeurs de vitesse de dformation (suppose constante)
54
La vitesse de dformation a uneffet important sur la courbe (-)
Ce paramtre doit tre maitris(norm) lors des essais
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
c. Elment de Maxwell (Exemple) (suite)
Le PVC pourrait tre modlis facilement par le modle de Maxwell si on connait Vdformation.
Le HDPE est plus difficile modliser car il est biphas :
tenir compte du comportement de chacune des phases
tenir compte de lvolution de lorientation des cristallites au cours de la dformation
55
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
d. Elment de Voigt Kelvin
Mise en parallle dun ressort et dun amortisseur.
On suppose que : - le ressort et lamortisseur ont tout instant la mme dformation
- les contraintes supportes par chacun de ces lments sadditionnent
56
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
d. Elment de Voigt Kelvin : Essai de fluage
1. Lorsque la charge est appliqu brusquement, la vitesse de dformation est importante
Lamortisseur reprend lessentiel de leffort ( )
Le systme sallonge trs peu et le ressort nagit quasiment pas
2. Ensuite, le ressort se tend peu peu Leffet de sa force de rappel augmente
3. Lorsque cette force interne quilibre la charge extrieur
La vitesse de dformation sannule et le systme reste dans sa position dquilibre57
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
d. Elment de Voigt Kelvin : Essai de fluage (suite)
58
t=0
polynme
caractristique
C R
-
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
d. Elment de Voigt Kelvin : Essai de fluage (suite)
59
Supposons que la dformationinitiale est nulle
Aptitude au fluage
Si t tend vers linfini pour une charge nulle
la dformation tend vers 0 pas de dformation rsiduelle aprs dchargement
C 6 R
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.2 Rponse des modles mcaniques viscolasticit linaire (suite)
e. Modle 3 paramtres
Si on ajoute un amortisseur en srie avec le modle de Voigt-Kelvin,
on obtient un liquide
Lquation diffrentielle de ce modle peut tre crite sous forme doprateurs de la forme
Pour plus de prcision, on peut conserver les plus hauts ordres de drivation et constantes
60
C 6 R
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.3 Le modle 4 paramtres et la rponse molculaire
f. Modle 4 paramtres
Combinaison en srie dun lment de Maxwell et dun lment
de Voigt-Kelvin.
Lquation diffrentielle de ce modle est donne par :
La rponse au fluage du modle est la somme des rponses au fluage des lments deMaxwell et de Voigt Kelvin :
61
(Principe de superposition)
Maxwell
Voigt-Kelvin
C 6 R
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.3 Le modle 4 paramtres et la rponse molculaire (suite)f. Modle 4 paramtres (suite)
Au niveau structural, chaque lment du modle a une signification physique :
- Lamortisseur 1 reprsente le glissement de translation des molcules. Ce glissement est
responsable de lcoulement ( ).
- Le ressort 1 reprsente la dformation lastique des angles et des longueurs de liaisons.G1 caractrise la force qui sexerce lors de leur modification par rapport leur valeur
dquilibre. Comme ces modifications se font lchelle atomique, elles se produisent
instantanment dun point de vue macroscopique
Ce type dlasticit est dfini comme l nergie dlasticit62
Maxwell
Voigt-Kelvin
C 6 R
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.3 Le modle 4 paramtres et la rponse molculaire (suite)
f. Modle 4 paramtres (suite)
Au niveau structural, chaque lment du modle a une signification physique :
- Lamortisseur 2 reprsente la rsistance des chanes polymres au bobinage et audbobinage provoque par lenchevtrement des chanes et au frottement molculaire.
Or le bobinage et le dbobinage ncessite un mouvement densemble des chanes
ne peuvent se produire instantanment
lasticit retarde
- Le ressort 2 reprsente la force de rappel qui sexerce suite lagitation thermique des
segments de chanes qui tendent retourner dans des configurations dsordonnes.
Ce type dlasticit est dfini comme tant llasticit entropique
63
C 6 R O OG S O S
-
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.3 Le modle 4 paramtres et la rponse molculaire (suite)
f. Modle 4 paramtres (suite)
64
Maxwell
Voigt-Kelvin
Ltendue de lchelle de temps dpend
de la valeur des paramtres du modle
Les deux viscosits dpendent fortementde la temprature :
Pour T>
Le temps pour observer de lcoulement
ou de llasticit retarde est >> (jours)
Pour T>Tg ts
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.3 Le modle 4 paramtres et la rponse molculaire (suite)
f. Modle 4 paramtres : Exemple
En utilisant ce modle, dessiner qualitativement leffet de :
(a) laugmentation du poids molculaire
(b) laugmentation du niveau de rticulation sur la rponse au fluage
dun polymre amorphe et linaire
(a) Si le poids molculaire la viscosit car rduction de la mobilit des chanes
La pente (asymptote, ) dans la rgion dquilibre
La dformation permanente ( ) diminue galement
(b) Si le niveau de la rticulation La constante 1 (tend vers linfini) car
les chanes ne peuvent plus glisser les unes sur les autres. (2 et G2 aussi)
Pour les hauts degr de rticulation, la rponse est quasiment lastique pure
65
CHAPITRE 6 RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
-
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.3 Le modle 4 paramtres et la rponse molculaire (suite)
f. Modle 4 paramtres : Exemple (suite)
66
(a) Si le poids molculaire La pente dans la rgion dquilibre
La dformation permanente galement
(b) Si le niveau de la rticulation La constante 1 (tend vers linfini)
(2 et G2 aussi)
Pour les hauts degr de rticulation, la rponse est quasiment lastique pure
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
-
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.3 Le modle 4 paramtres et la rponse molculaire (suite)f. Modle 4 paramtres : Exemple (suite)
Le modle 4 paramtres fonctionne bien pour dcrire la rponse viscolastique dans le
cas trait dans lexemple.
Amortisseur 1 : permet lcoulement visqueux
Ressort 1 et 2 : fournissent la force de rappel des caoutchoucs
Le module de Young des polymres tend crotre avec la dformation
- Pour les taux de dformations importantes, le ressort 1 fournit la principale rponse la
sollicitation- Lorsque le niveau de dformation est abaiss, lamortisseur1 et llment de V-K
contribue de plus en plus la dformation globale
Donne une plus grande dformation pour chaque surcrot de contrainte
quivaut un module de Young plus faible67
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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7/31/2019 001 - Physique des polymres
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire 6.2.4 Le nombre de Deborah
Le nombre de Dborahpermet de dterminer si un matriau adopte plutt un
comportement visqueux ou plutt lastique dans des conditions donnes.
Le comportement dpend du temps dobservation (ts) et du temps caractristique (c).
Le temps caractristique est le temps quil faut au matriau pour atteindre
de sa dformation finale lors dun changement brusque de charge.
Si le temps caractristique est grand Rponse visqueuse
Si le temps caractristique est faible Rponse lastique
68
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.4 Le nombre de Deborah (suite)Exemple : Rponse au fluage du modle de Boltzmann ( 4 paramtres)
Le temps caractristique choisi sera celui de sa composante Voigt-Kelvin
car sa composante Maxwell na pas de temps de rponse fini (allongement instantan du
ressort 1 et allongement perptuel de lamortisseur1).
Pour ( )
Lamortisseur1 et llment de V-K nont pas le temps de rpondre.
Seul le ressort 1 subit une dformation instantane Rponse quasi-lastique
Pour ( )
Le ressort 1 sallonge instantanment ds le dbut de lobservation. Llment de V-K tend
lui aussi vers un quilibre. Lamortisseur1 sallonge tout au long de lobservation
Rponse visqueuse pour t longs Polymre Fluide visqueux69
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES.
-
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.4 Le nombre de Deborah (suite)Exemple : Deux gobelets en carton sont placs sur un support plat. On remplit un deau et
lautre dune solution polymre assez concentre.
On tire une balle de pistolet travers chaque gobelet. Le gobelet rempli deau ne bouge
Pas alors que celui rempli de solution de polymre est emport qques m plus loin par le tir.
Expliquer.
Dans les deux cas, le temps dobservation est trs court (ts
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.4 Le nombre de Deborah (suite)Exemple (suite)
Pour le polymre, le temps caractristique est plus important car sa viscosit est plus
leve.
71
Rponse lastique
La balle arrive si vite que les chanes polymres nont pas le temps de se rorienter
par coulement visqueux et donc la rponse lastique est importanteLa balle rentre dans un solide et donc le transfert de quantit de mouvement estplus important
Le gobelet est propuls sous leffet du tir
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
-
7/31/2019 001 - Physique des polymres
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.5 Principe de superposition de Boltzmann
(Essai de relaxation)
Supposons un matriau sans dformation initiale et sans contrainte.
On le soumet soudainement une dformation impose (t0) au temps t0=0constante.
La contrainte diminue selon le module de relaxation Gr(t) du matriau
Au temps t1, si on modifie subitement le niveau de dformation (t1) pendant un certain
temps puis au temps t2on passe (t2), etc Evolution de (t) ?
72
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.5 Principe de superposition de Boltzmann
Daprs Boltzmann (1876) :
Les contraintes rsultantes de chaque chelon de dformation sont additifs linairement :
73
Incrment (augmentation ou diminution) de contraintersultant de lincrment de dformation
Largument (t-ti) est le temps qui suit lapplication dun incrmentparticulier de dformation
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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7/31/2019 001 - Physique des polymres
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.5 Principe de superposition de Boltzmann (suite)La contrainte dans le matriau tout temps t dpend
de lhistoire complte des dformations passes.
Cependant au plus les incrments de dformation
sont passs au plus leur influence est faible sur
les contraintes prsentes.
La mmoire des matriaux viscolastiques sestompeavec la grandeur Gr(t) connue comme la fonction mmoire.
Le concept est galement valide en labsence dadditivit linaire mais
est plus difficile quantifier.74
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.5 Principe de superposition de Boltzmann (suite)Exemple :
Un lment de Maxwell est initialement libr de toute dformation et de toute contrainte.
Au temps t=0, une dformation damplitude 0constante est soudainement applique et
maintenue jusquau temps t=/2.
A partir du temps t=/2, la dformation est inverse -0et conserve.
Donner lexpression de (t) et dessiner cette fonction ?
Solution
module de relaxation (fonction mmoire) Gr(t) pour un lment de Maxwell
75
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.5 Principe de superposition de Boltzmann (suite)
76
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.5 Principe de superposition de Boltzmann (suite)Toutes les histoires de dformations ne sont pas une succession de simples incrments de
dformation. Il faut passer la limite pour lquation
77
Diffrentielle totale exacte
est fonctionuniquement de t
t=temps prsent t=temps pass
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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7/31/2019 001 - Physique des polymres
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.5 Principe de superposition de Boltzmann (suite)
Pour valuer la contrainte au temps prsent t, il faut intgrer sur lentiret de lhistoire
passe de lchantillon jusqu la limite t= - .
(Dans certains cas on suppose que ==0 pour t
-
7/31/2019 001 - Physique des polymres
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.5 Principe de superposition de Boltzmann (suite)
Lorsque la variable indpendante est (t) on peut connatre lvolution de (t) partir de
laptitude au fluage Jc(t).
Les modles ressort-amortisseur qui sont linaires respectent le principe de Boltzmann.
Les grandeurs dont nous avons besoin pour dterminer la rponse sont Gr(t) et Jc(t)
79
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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7/31/2019 001 - Physique des polymres
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.5 Principe de superposition de Boltzmann (suite)Exercices : Donner lexpression de la courbe traction-dformation du modle de Maxwell en
fonction de la vitesse de dformation (suppos constante) partir du principe de Boltzmann
Solution
module de relaxation des contraintes en traction pour un lment de Maxwell
80
Intgration par rapport lhistoire du matriau
de t=0 jusque t=t
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques
Le fluage et la relaxation des contraintes correspondent des techniques permettant
danalyser la rponse une impulsion ou une srie dimpulsions de dformation ou de
contraintes.
Il existe dautres techniques de sollicitations des modles dcrits (Maxwell, V-K, Boltzmann)
Analyse de la rponse des vibrations sinusodales de frquence particulire.
(essai mcanique dynamique appliqu aux matriaux viscolastiques)
Cette technique est bas sur la rponse entre les lments visqueux et lastiques une
contrainte ou une dformation caractre sinusodal.
81
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
82
Si on applique une dformation caractre sinusodal
Pour un ressort linaire, leffort rsultant sera
(en phase avec la dformation)
Pour un amortisseur linaire, leffort rsultant sera
(dphas de 90avec la dformation)
Frquence angulaire (rad/s)
/2
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Les matriaux viscolastiques ont une rponse situe entre la rponse lastique et la
rponse visqueuse.
Pour un matriau purement lastique langle de phase est nul
Pour un matriau purement visqueux langle de phase vaut 90
La rponse relle dun matriau viscolastique est donc retarde dun angle de
phase par rapport la sollicitation.
On peut voir cela par la projection de deux vecteurs * et * tournant dans le plan complexe.
* est la somme vectorielle de la rponse lastique () et de la rponse visqueuse ()
* = et = 0 (car on travaille dformation impose : variable indpendante)83
Vecteur en phase
Vecteur en quadrature de phase
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
84
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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7/31/2019 001 - Physique des polymres
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
85
Facteur de perte
ou damortissement
Module hors phaseou de perte
Module de phaseou de conservation
Module de cisaillementcomplexe
Viscositcomplexe
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Analysons ce qui se passe au niveau nergtique lorsquun chantillon est soumis une
dformation cyclique.
Le travail volumique effectu par un matriau soumis a du cisaillement pur est :
La rponse cette sollicitation est :
86
Diffrentiation
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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C 6 O OG S U O S
6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Travail ralis lors du premier quart de cycle de dformation (intgration entre 0 et /2) :
En termes de modules ou de viscosits (par calcul trigonomtrique) :
87
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
(1) - Travail effectu par un ressort linaire de module de conservation G, sur une distance (aire sous la courbe contrainte-dformation du ressort).
- Ce terme reprsente donc lnergie emmagasine lastiquement dans le matriau
durant sa dformation lors du 1er cycle.
(2) - Ce terme reprsente le travail mcanique qui nest pas stocke lastiquement (perdu)
- Ce travail est converti en chaleur par la friction molculaire provoquant une dissipation
visqueuse dans le matriau (G est le module de perte)
(1) - Lnergie lastique est proportionnelle
(2) - Lnergie perdue est proportionnelle 88
(1) (2) (1) (2)
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
En considrant le second quart du cycle, lintgration entre /2 et donne les mmes
rsultats que le premier cycle hors-mis que le premier terme est de signe oppos celui
relatif au premier quart de cycle.
Cela signifie que lnergie lastique emmagasine de 0 est restitue de 0.
Pour un demi-cycle ou un cycle complet, la composante lastique ne consomme ou nefournit aucun nergie (ou travail net).
Le signe du second terme est toujours positif Pour un cycle complet, la perte est :89
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Pour un cycle complet, la perte (lnergie dissipe) est :
La puissance de dissipation moyenne est obtenu en divisant lnergie dissipe par cycle par
la priode du cycle (temps), 2/
90
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Cas pratique :
- (Pour minimiser la dgradation rapide et lusure des pneus dues aux hautes T)
Un compos caoutchouteux qui a un module de perte G faible (ou faible) permet de
minimiser la dissipation thermique et donc lchauffement du matriau.
- (Pour empcher la transmission des vibrations dun moteur)
Un matriau dot dun grand G (ou lev) provoquerait une dissipation importante delnergie de vibration en chaleur plutt que de les transmettre aux passagers.
Attention lors de la conception des pices en polymres qui sont sujettes
une dformation cyclique.91
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Exemple : Obtenir lexpression des quantits G, G, G* , tan , , , *
pour un lment de Maxwell. (Dformation en cisaillement cyclique impose)
Le principe de superposition de Boltzmann peut tre appliqu au modle de Maxwell :
92
Manipulationtrigonomtrique ettables dintgrales
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
93
En phase
(
)
Dphas de
90(
)
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
94
Modules dynamiques adimensionnels
Mme allure que les vraies courbes dynamiques isothermes en fonction de la frquence
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Llment de Maxwell ne donne pas une approche quantitative valable des matriaux
mais bien qualitative.
Dans ce modle (Maxwell), lamortisseur ne peut rpondre aux trs hautes frquences. Seul le ressort rpond la sollicitation (lamortisseur dissipe peu dnergie)
De mme, basse frquence, lamortisseur offre une faible rsistance au mouvement et
dissipe donc peu dnergie.
La rigidit apparente G* augmente jusqu une valeur limite en fonction de la frquence.
Le maximum de G est observ dans la plage de frquence pour laquelle G et G*
chutent de leur valeur limite suprieure. 95
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)Avec des matriaux rels , la limite de haute frquence de G et G* correspond
quantitativement au module obtenu pour des temps trs courts dans le mesures de
relaxation net de fluage :
La limite basse frquence mesure et * correspond au taux de cisaillement zro relatif
lcoulement visqueux stationnaire de viscosit 0 :
La chute de * avec la frquence ressemble la variation de la viscosit avec le taux de
cisaillement en coulement stationnaire : (approximation)
96
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Pour le modle de Maxwell gnralis consistant n lments, on a :
- Les autres proprits peuvent tre dduites (comme dans lexemple de Maxwell).
- En passant la limite (c--d lintgrale), ces quations peuvent tre tendues au cas des
sollicitations continues.
97
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Il existe 3 mthodes pour dterminer les proprits dynamiques :
- Loscillation libre
- Loscillation force
- La rotation ltat stationnaire
1 - Mesures par oscillations libre (pendule de torsion)
On donne lchantillon un angle de torsion initial.
On observe la frquence et lamplitude des oscillations partir du relchement.
G est dterminer partir de :
- la gomtrie de lchantillon (R, L, )
- le moment dinertie du mcanisme oscillant (I)
- la priode doscillation observe (P)98Pour un cylindre
de longueur L et de rayon R
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Le dcrment logarithmique est calcul partir de la
diminution de lamplitude des oscillations
(Pour un matriau parfaitement lastique,
il ny a pas de diminution) :
- Les chantillons solides ou les caoutchoucs sont tordus ltat de tiges, de tubes,
- Les liquides et les solides mous peuvent tre contenus dans une gomtrie propre aux
viscosimtres de Couette ou cne plan 99
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
2- Mesures par oscillations forces
Ces appareils imposent une dformation ou une contrainte sinusodale damplitude et de
frquence connues.
Leffort ou la dformation rsultante est mesur.
Les proprits dynamiques sont calculs partir des relations effort-dformation
Les proprits dynamiques en traction (E, E, ) peuvent tre ainsi dtermines.
Ces grandeurs sont lies aux proprits en cisaillement par :
( : coefficient de poisson)
=0.5 pour les matriaux incompressibles100
Ces essais peuvent se raliser en :- Cisaillement- Compression- Flexion
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Les oscillateurs forcs sont souvent employs pour tudier les proprits dynamiques en
fonction de la temprature et de la frquence.
Lamplitude et la frquence de la dformation applique peuvent tre contrles avec
prcision sur une large plage.
Exemple :
Essai DMTA (Dynamical Mechanical Thermal Analysis)
PMMA (Mthacrylate de polymthyle)
101
G
Polymre amorphe chanes linaire
Tg
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)
Exemple :
Essai DMTA (Dynamical Mechanical Thermal Analysis)
PMMA (Mthacrylate de polymthyle)
- G diminue de plus en plus avec la T
- De 20C 125C G est divis par 10 (1GPa 0.1GPa)
- Au del de 100C, G chute rapidement
- Le PMMA est rigide aux plus basses TLe fait que les chanes soient linaires limite fortement lagrgation et lenchevtrement
des molcules Les proprits mcaniques chutent au-dessus de la Tg.
102
G
Polymre amorphe chanes linaire
Tg
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)PMMA (Mthacrylate de polymthyle)
- augmente avec la T (0.08 -50C 2.3 130C)
A ltat vitreux, T
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.6 Essais mcaniques dynamiques (suite)Lunit de la frquence est linverse du temps.
Pour les dformations dynamiques, le Nombre de Deborah se dfini comme :
De >>1 Rponse lastique
De 0 Rponse visqueuse
Dans les tests dynamiques, un matriau viscolastique adopte un comportement plutt
solide lastique lorsque est augmente car la contrainte change vite de signe
les mcanismes de rponse qui dpendent du temps (enchevtrement, glissement)
sont moins susceptibles de ragir. Pour >>, la seule rponse effective est la dformation des angles et des longueurs de
liaisons
comportement lastique du polymre mme si T>Tg
Dans les essais DMTA o la >>, la Tg perue > la Tg relle104
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.7 Equivalence temps temprature
Les polymres (ex : PMMA) adoptent un comportement dautant plus vitreux
(lastique rigide) que la Test basse.
Lchelle des temps (ou frquence) relative lapplication dune contrainte influence
considrablement les proprits mcaniques :
- Des temps courts (hautes frquences) correspondent de basses T
-Des temps longs (basses frquences) sont relatifs de hautes T
Ce principe porte le nom de : Equivalence Temps - Temprature
Il est caractristique de lactivation statistique de phnomnes viscolastiques par la T:
Un tat activ nergtiquement a dautant plus de chance de se produire
que le temps dobservation est long et que la Test leve.105
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.7 Equivalence temps temprature (suite)Lquivalence temps-temprature peut tre rapport au nombre de Deborah qui dtermine
la rponse dun matriau en fonction de son temps caractristique c (tat structural) et du
temps dobservation ts (ou ).
- La nature de la dformation dtermine ts (ou )
- Le temps caractristique c du polymre est une fonction de la temprature
Plus la Test leve, plus les segments de chanes polymres sont nergtiques et plus
rapidement ils sont capables de rpondre (temps caractristique c faible)
Si on veut doubler la valeur du nombre de Deborah alors :
- Soit on divise ts par 2 (ou en doulant )
- Soit on double c en abaissant la T106Le changement de rponse
mcanique sera identique
Equivalence Temps - Temprature
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.7 Equivalence temps temprature (suite)
Lquivalence temps-temprature est applicable nimporte quel essai de rponse dun
matriau viscolastique (fluage, relaxation,)
Exemple : Relaxation des contraintes en traction du poly-isobutylne (Tg = -70C)
107
Force de traction mesur dformation constante
Le Module de Young (en relaxation) Er (t) :- dcrot en fonction de T, un temps donn- dcrot une Tdonne
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.7 Equivalence temps temprature (suite)
Cette courbe est dtermine en disposant bout bout les diffrentes courbes de Er (tT)
A la Tde rfrence 25C, il existe 5 zones caractristiques pour la courbe Er(t25).108
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.7 Equivalence temps temprature (suite)
Faire glisser la courbe temprature le long de laxe logarithmique du temps correspond
diviser chaque valeur de son abscisse par un facteur constant (facteur de dplacement
de la temprature).
Ce facteur permet la construction dune courbe par une suite de courbes des
temprature successives T. Labscisse de la courbe obtenue est
Pour T> Trfrence, il faut moins de temps pour atteindre une rponse particulire
(temps de relaxation plus faible) aT < 1 (et vice versa)109
Temps requis pour atteindre un tat
particulier de Er
Temps relatif la Tde rfrence pouratteindre ce mme tat
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.7 Equivalence temps temprature (suite)
- Le mme facteur de dplacement de la T(aT) sapplique un polymre particulier
quelque soit la nature de la rponse mcanique.
- Si la Tg est choisie comme Tde rfrence, pour la plage (Tg < T < Tg + 100C) on a
Equation de Williams-Landel-Ferry (WLF)
La relation est une excellente approximation pour beaucoup de polymres
110
Temprature en Kelvins
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire 6.2.7 Equivalence temps temprature (suite)
1- Tbasses ou temps courts (De > (De
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6.2 Viscolasticit linaire 6.2.7 Equivalence temps temprature (suite)
Le poids molculaire (Mn) na pas dinfluence significative sur la modification des angles et
des longueurs de liaisons ou sur le dsenchevtrement.
Module de Young ltat vitreux et caoutchouteux reste assez constant
Laugmentation du poids molculaire retarde lcoulement.
plateau caoutchouteux est tendu
- Mn > coulement totalement empch
(correspond une lgre rticulation)
Le plateau se prolonge jusqu la Tde
dgradation du polymre
Si le degr de rticulation est >>
empche le dsenchevtrement
rponse uniquement par les angles et longueurs de liaisons 112
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.7 Equivalence temps temprature (suite)
Les effets de la cristallinit sur les proprits sont les mmes que ceux de la rticulation.
Lapplicabilit du principe de superposition temps-temprature travers des rgions
cristallines et amorphes pose des questions)
(Cependant un dplacement vertical des courbes a t suggr afin de tenir compte de
ces phnomnes dans les polymres semi-cristallins)
113
CHAPITRE 6 : RHOLOGIE DES MATRIAUX POLYMRES
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6.2 Viscolasticit linaire
6.2.7 Equivalence temps temprature (suite)
-A ltat vitreux, toutes les variantes ont
le mme comportement
(mme angles et longueurs de liaisons)
- Au-del de la Tg, les polymres cristallins
et les caoutchoucs prsentes des
proprits lastiques
- Au-del de la Tg, les polymres non-rticuls ont des proprits qui diminuent fortement.
(dautant plus vite que le poids molculaire est faible)
Le dsenchevtrement est dautant plus facile que la longueur de chanes est faible
Tg
TF
Aprs 10 h
Er (polystyrne) en fonction de la T
pour un temps donn (10h)
Amorphe /linaire [poids molculaire (A)